unidades de medidas de Ángulos · ejercicio 6 : en un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 15...
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UNIDADES DE MEDIDAS DE ÁNGULOS EJERCICIO 1
a Pasa a radianes los siguientes ángulos: 210 y 70 rad53, yrad6
7 :ángulos los grados a Pasab)
Solución:
rad6
7rad180
210210 a)
rad
187rad
1807070
2101806
7rad6
7 b)
"7'3220018053rad53
,,
EJERCICIO 2 : Completa la tabla:
Solución:
rad1813rad
180130130
24018034rad
34
rad6
11rad180
330330
"37'568518051rad51
,,
Por tanto:
ÁNGULOS DE MEDIDAS CUALESQUIERA
EJERCICIO 3 : :)hallar (sin calcula cuadrante, primer el en está que ángulo un esy31Si αααtg
αtgαtgαtgαtg 360 d)360 c)180 b)180 a) Solución:
31180 a) tgtg
31180tg b) tg
31360 c) tgtg
31360 d) tgtg
EJERCICIO 4 : Si sen 0,35 y 0 < < 90 halla sin calcular :
αcosαsen 180 b)180 a) Solución:
350180 a) ,sensen
coscos 180 b)
Necesitamos saber cuánto vale cos : 13501 2222 cos,cossen
87750112250 22 ,coscos, )900 pues positivo, (es 94,0 cos
940180 :tanto Por ,coscos
EJERCICIO 5 : Sabiendo que sen 50 0,77, cos 50 0,64 y tg 50 1,19, calcula sin utilizar las teclas trigonométricas de la calculadora:
310 d)230 c)310 b)130 a) sencostgcos Solución:
64,050150180130 a) coscoscos
19,15050360310 b) tgtgtg
64,05050180230 c) coscoscos
77,05050360310 d) sensensen RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS EJERCICIO 6 : En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 15 cm y uno de los catetos mide 12 cm. Calcula la longitud del otro cateto y la medida de sus ángulos. Solución: Aplicamos el teorema de Pitágoras para hallar el otro cateto:
cm 9b81144225b225b14415b12cba 22222222
Hallamos los ángulos: "12'523660159 B,Bsen
cbBsen 48"'75390 BA
Por tanto: 90C cm; 15c;"12'5236B cm; 9b;48"'753A cm; 12a EJERCICIO 7 : Para sujetar un mástil al suelo como indica la figura hemos necesitado 10 metros de cable.
Halla la altura del mástil y la distancia entre los puntos A y B. Solución:
hsenz
hsenz
zhsen
zhsen
3510
60
1035
60
35351060351060 senzsensenzsenzsenz
3510356035103560 sensensenzsensenzsenz m 9833560
3510 ,sensen
senz
m 453356060351060 ,
sensensensensenzh
La altura del mástil es de 3,45 m
Para hallar la distancia entre A y B, tenemos que hallar x e y:
m 99160453
6060 ,
tg,
tghy
yhtg
m 93435453
3535 ,
tg,
tghx
xhtg
Por tanto, la distancia entre A y B es de x y 4,93 1,99 6,92 m.
EJERCICIO 8 : Raquel ve el punto más alto de una antena bajo un ángulo de 55. Alejándose 7 metros en línea recta, el ángulo es de 40. ¿Cuál es la altura de la antena?
Solución:
htgx
htgx
xhtg
xhtg
407
55
740
55 407405540755 tgtgxtgxtgxtgx
40740554074055 tgtgtgxtgtgxtgx m 9794055
407 ,tgtg
tgx
m 241440555540755 ,
tgtgtgtgtgxh
La altura de la antena es de 14,24 metros.
EJERCICIO 9 : Las diagonales de un rombo miden 10 y 14 cm, respectivamente. Calcula el lado del rombo y sus ángulos. Solución:
Hallamos la hipotenusa aplicando el teorema de Pitágoras: cm 687457 2222 ,lll
Hallamos los ángulos: "44'275490"16'323575 ABAAtg
Los ángulos del rombo miden:"29'55108ˆ2
"31'471ˆ2
BA
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA EJERCICIO 10 : En dos estaciones de radio, A y C, que distan entre sí 50 km, son recibidas señales que manda un barco, B. Si consideramos el triángulo de vértices A, B y C, el ángulo en A es de 65 y el ángulo en C es de 80. ¿A qué distancia se encuentra el barco de cada una de las dos estaciones de radio? Solución
:B ángulo el Hallamos 35180 CAB
Hallamos los valores de a y c aplicando el teorema de los senos:
km 7935
655035
5065
sensena
sensena
km 858535
805035
5080
,sen
sencsensen
c
Por tanto, el barco está a 79 km de la estación C y a 85,85 km de la estación A. Los metros de valla necesarios serían: m 49,5549,201520 cba
EJERCICIO 11 : Resuelve este triángulo, es decir, halla sus lados y sus ángulos:
Solución: Hallamos el lado c con el teorema del coseno:
8548162590504592459
2
2
222
222
,,ccos,,c
Ccosabbac
cm 5874572 ,c,c
Como conocemos los tres lados, la solución es única. :ˆ ángulo el Hallamos A
5875059
5058759
,sen,Asen
sen,
Asen,
Csenc
Asena
"24'4573960 A,Asen
"36'1456180 CAB
Por tanto: 50C cm; 58,7c ;"36'1456B cm; 4b ;"24'4573A cm; 5,9a EJERCICIO 12 : Halla los lados y los ángulos de este triángulo:
Solución:
:senos los de teorema el con ángulo el Hallamos B
BsensenBsenb
Asena 8
10815
46"'2830507015
1088
B,senBsen
relación). unahay solo agudos, ser de han ˆ y ˆ obtuso, es ˆ (Como CBA
:ˆ ángulo el Hallamos C "14'3141180 BAC
Calculamos el lado c: m 4610108
15"14'3141
,csensen
cAsen
aCsen
c
Por tanto: "14'3141C m; 46,10c ;"46'2830B m; 8b;108A m; 15a EJERCICIO 13 : Calcula los lados y los ángulos del siguiente triángulo:
Solución: Como conocemos los tres lados y cada lado es menor que la suma de los otros dos, existe solución única. Hallamos los ángulos A y B con el teorema del coseno:
Acosbccba 2222 Acos,, 423625128451
845136251242 ,,Acos 59342 ,Acos
"12'54948500 A,Acos
Bcos,,,Bcosaccab 4863684512512222
87502512368451486 ,Bcos,,Bcos, "7'5828ˆ B
"41'756ˆˆ180ˆ BAC
Por tanto: "41'756C cm; 6c;"7'5828B cm; 5,3b;"12'5494A cm; 2,7a EJERCICIO 14 : Dos barcos salen de un puerto a la misma hora con rumbos distintos, formando un ángulo de 110. Al cabo de 2 horas, el primer barco está a 34 km del punto inicial y el segundo barco, a 52 km de dicho punto. En ese mismo instante, ¿a qué distancia se encuentra un barco del otro?
Solución: Hallamos la distancia, x, aplicando el teorema del coseno:
38209170421561110523425234
2
222
,xcosx
km 20713850692
,x,x
Por tanto, la distancia entre los dos barcos es de 71,20 km. EJERCICIO 15 : Se desea unir tres puntos, A, B y C, mediante caminos rectos que unan A con B, B con C y C con A. La distancia de A a B es de 100 metros, el ángulo correspondiente a B es de 50, y el ángulo en A es de 75. ¿Cuál es la distancia entre B y C ? ¿Y entre A y C ? Solución:
: ángulo el Hallamos C 55180 BAC Calculamos a y b aplicando el teorema de los senos:
m 9211755
7510055
10075
,sen
senasensen
a
m 529355
5010055
10050
,sen
senbsensen
b
Por tanto, la distancia entre B y C es de 117,92 m y la distancia entre A y C es de 93,52 m. EJERCICIO 16 : Resuelve el siguiente triángulo, es decir, halla el valor de sus lados y de sus ángulos:
Solución:
:senos los de teorema el con ángulo el Hallamos B
BsensenBsenb
Asena 6
10510
"9'253558010
1056
B,senBsen
solución). unahay solo agudos; ser de han y obtuso, es (Como CBA
: de ángulo el Hallamos C "51'3439180 BAC
Calculamos el lado c: m 66105
10"51'3439
,csensen
cAsen
aCsen
c
Por tanto: "51'3439C m; 6,6c;"9'2535B m; 6b;105A m; 10a EJERCICIO 17 : Sara y Manolo quieren saber a qué distancia se encuentra un castillo que está en la orilla opuesta de un río. Se colocan a 100 metros de distancia el uno del otro y consideran el triángulo en cuyos vértices están cada uno de los dos, y el castillo. El ángulo correspon-diente al vértice en el que está Sara es de 25 y el ángulo del vértice en el que está Manolo es de 140. ¿A qué distancia se encuentra Sara del castillo? ¿Y Manolo? Solución:
:será ángulo El C 1514025180 C
Con el teorema de los senos hallamos los lados x e y:
m 3524815
14010015
100140
,sen
senxsensen
x
m 2916315
2510015
10025
,sen
senysensen
y
Por tanto: Sara está a 248,35 m del castillo y Manolo, a 163,29 m.
DEMOSTRAR IGUALDADES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIO 18 : Demuestra que:
a) xsenxcos
xcosxcos
xsenxsen
xcos
221
2111
b) 1
21
22 2
xcosxcos
c) ysenxsenyxsenyxsen 22 d) xsenxsenxcos
xcosxcosxsen 212
e) xcosxcosxsen
x2tgxsen 2
2
Solución:
a)
2
211
1111
1
22222
xcos xsenxcos
xsenxcosxcosxsenxcos
xsenxcosxcos xsen
xsenxsenxcosxcos
xsenxsen
xcos
xsenxosc
xosc
221
21
b) 1121
212
21
22 2
xcosxcosxcosxcosxcosxcos
c) 22 ysenxcosycosxsenysenxcosycosxsenysenxcosycosxsenyxsenyxsen
ysenxsenxsenysenxcosysenxsenyxsencosycosxsen 2 2222222222 1
ysenxsenysenxsenysenysenxsenxsenysenxsen 22222222221
d)
xsenxcosxsenxcos
xcosxcosxsenxcosxsenxsenxcos
xcosxcosxsen 22
xcos
xcosxcosxsenxcosxsenxsenxcos
xcosxcosxsen2
222 22
22
2
xsenxcosxsenxcosxsenxcosxsen 2121222
e) xcosxsen
xcosxsenxsen
xcosxsen
xtgxsen 22
22
22
2
xcosxsen
xcosxsenxsenxcosxsen
xcosxsen
xsenxcosxsen 2222
22
222
xcosxcosxcos
xcosxsenxsenxcos
xcosxsen
xcosxsenxcos
2222222
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIO 19 : Resuelve: a) 14545 xsenxsen b) sen 2x cos x 0 c) cos x sen 2x sen x 0 d) xsenxcosxcosxcos 333 e) xcosxcos 3124 f) xsenxcosxcosxsen 22122 Solución: a) 14545 xsenxsen 145454545 senxcoscosxsensenxcoscosxsen
1452 cosxsen 22
21121
22
2 xsenxsenxsen
kxk
kx
360135 donde
36045Z
b) 0120202
xsenxcosxcosxcosxsenxcosxsen
donde360330360210
21012
360270360900
Zkkxkxxsenxsen
kxkxxcos
c) 01xcos2xsen0xsenxcosxsen2xcos0xsenx2senxcos 2
22
21
21012
36018036000
22 xcosxcosxcos
kxkxxsen
kxkxxcos
kxkxxcos
360225360135
22
36031536045
22
Por tanto, las soluciones son:
. donde
360225360315360180360135360453600
Z
k
kxkxkxkxkxkx
d) xsenxcosxcosxcos 333 0333 xsenxcosxcosxcos 0332 xsenxcosxcos
0331 2 xsenxsenxcos 0232 xsenxsenxcos 0232 xsenxsenxcos
023360270
360900
2 xsenxsenkx
kxxcos
vale) (no 2
1
213
213
2893
xsen
kxxsen 3602701
Por tanto las soluciones son:
Z siendo
360270
36090k
kx
kx
e) xcos31xsenxcos4xcos31x2cos4 22 xcos31xsen4xcos4 22
xcos31xcos14xcos4 22 05xcos3xcos8xcos31xcos44xcos4 222
185
16133
161693
1616093
xcos
kxxcosk
kxkxxcos
3601801 siendo
360"56'40308360"4'1951
85
Z
f) xsenxcosxcosxsen 22122 xsenxcosxsenxcosxcosxsen 222 212 0212 222 xsenxcosxsenxcosxcosxsen 012 22 xcosxsenxcosxcosxsen
0112 xcosxcosxsen 02 xcosxcosxsen 012 xsenxcos
kxkxxx
kkx
kxx
36015036030
21sen01sen2
siendo 360270
360900cos
Z
REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIO 20
a Representa la siguiente función trigonométrica:
2xcosy
b Escribe la ecuación de la función cuya gráfica es la siguiente:
Solución: a Hacemos una tabla de valores:
La gráfica sería:
b La gráfica corresponde a la función y cos x. EJERCICIO 21 a Escribe la ecuación de la función correspondiente a esta gráfica:
b Representa la siguiente función: y cos x
Solución: a La gráfica corresponde a la función y sen x. b Hacemos una tabla de valores:
La gráfica sería:
CAMBIOS DE UNIDADES EJERCICIO 1 : Expresa en radianes las medidas de los siguientes ángulos: a) 45º b) 120º c) 690º d) 1470º EJERCICIO 2 : Expresa en grados los siguientes ángulos:
a) 3 rad b) 2,5 rad c) 72 rad d)
5 rad
EJERCICIO 3 : Calcular 3/4 rad + 0,5 rectos + 50º 40’ 3’’ expresándolo en radianes. OPERAR CON ÁNGULOS CONOCIDOS EJERCICIO 4 : Halla, sin utilizar la calculadora, el cuadrante y las razones trigonométricas de los siguientes ángulos: a) 135º b) 450º c) 210º d) –60º EJERCICIO 5 : Calcula, razonadamente, las razones trigonométricas de los siguientes ángulos: a) 1035º b) –3400º c) 10.000º d) 2700º EJERCICIO 6 : Calcula los valores de las siguientes expresiones, sin calculadora: a) 2.tag 30º + 5.tag 240º - cos 270º b) cos 60º + sen 150º + sen 210º + cos 240º EJERCICIO 7 : Calcular las razones trigonométricas de 120º. EJERCICIO 8 : Sabiendo que sen 25 0,42, cos 25 0,91 y tag 25 0,47, halla sin utilizar las teclas trigonométricas de la calculadora las principales razones trigonométricas de 155 y de 205. EJERCICIO 9 : Calcula las principales razones trigonométricas de 130 y de 230, sabiendo que:
08440tg;77,040cos;64,040sen CAMBIO DE CUADRANTES EJERCICIO 10 : Sabiendo que sec = -4 y 0 < < , calcular: a) cosec (3/2 + ) b) sen (/2 - ) c) tag(630º - ) EJERCICIO 11 : Sabiendo que sen = 2/3 y /2 < < 3/2. Calcular: a) cos (3/2 + ) b) tag ( - ) EJERCICIO 12 : Sabiendo que cos = -2/3 y < < 2. Calcular, sin calculadora: a) cos (3/2 - ) b) tag ( + ) EJERCICIO 13 : Sabiendo que cos 53º = 0,6. Calcular: a) cos 37º b) sen 143º c) tag 127º d) cotag 233º e) sec (-53º) EJERCICIO 14 : Sabiendo que tag = ½ y que < < 3/2, calcular:
a) sen (/2 + ) b) cos ( + ) c) tag (/2 - ) d) sec (360º - ) EJERCICIO 15 : Sabiendo que cotag = -2 y que < < 2, calcular: a) cos(/2 + ) b) sen ( + ) c) cotag (/2 -) EJERCICIO 16 : Sabiendo que sen (/2 + ) = -1/3 . Calcular sen y cos ( pertenece al 2º cuadrante)
EJERCICIO 17 : Hallar el valor de la expresión )xsen()xcos(
)xsen()xcos()x2/sen(
EJERCICIO 18 : Calcular el valor de la expresión: )(tag.2
)x2/sen().x2/(agcot
EJERCICIO 19 : Hallar el valor de : )x2/cos().x(agcot
)xcos().x(tag
FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIO 20 : Sea /2 < < 2 tal que tg = 3/4 calcular, sin utilizar la calculadora, el valor y el cuadrante de : a) sen (x/2) b) tg (x + 3/4) EJERCICIO 21 : Si cos x = -4/5 y x 2 Calcular, sin utilizar la calculadora, el cuadrante y el valor de cos (x/2) y sen (2x) EJERCICIO 22 : Conociendo sen x = - 3/5 y sabiendo /2 x 3/2, calcular, sin utilizar la calculadora, el valor y el cuadrante de: a) tag ( x - /4) b) sen (x/2) EJERCICIO 23 : Si cos = -5/13 y < < 2.. Calcular, sin utilizar la calculadora, el valor y el cuadrante al que pertenecen los siguientes ángulos. a) sen(2.) b) tag (/2) EJERCICIO 24 : Si x es un ángulo comprendido entre /2 y 3/2 y su seno vale 3/5. Calcular, sin utilizar la calculadora, el sen (2x) y cos(x/2). Razona los signos. EJERCICIO 25: Si sen x = -3/5 90º x 270º Calcular y razona en que cuadrante están: a) sen (x/2) b) cos (2x) EJERCICIO 26 : Sabiendo que /2 < < 3/2 y sen = 1/3 a) Hallar el cuadrante y el resto de razones trigonométricas de b) Hallar el cuadrante y el valor del cos (2) c) Hallar el cuadrante y el valor del sen (/2) a) Hallar el cuadrante y el valor de tag ( - /4) EJERCICIO 27 : Sabiendo que 90º < x < 270º y sen x = -2/5, hallar, sin utilizar calculadora, el cuadrante y el valor de : a) sen (2x) b) cos (x/2) c) ctg (x + 45º)
SIMPLIFICAR EJERCICIO 28 : Simplificar las siguientes expresiones trigonométricas
a) tagx.xsenxcos
xsec.xsen.xtag122
22
b)
x
2cos
xcos.xcos1.x2
sec
x2
tag.xsen2
22
c) 2xsen1
1xsen1
1
d) 22
2 xcosxsenxcosxsen:xtag1
xsec
DEMOSTRAR IDENTIDADES EJERCICIO 29 : Comprobar si son ciertas las siguientes identidades trigonométricas:
a) cos
cossen1 2
b) xcos1
1.tagxtagx
1tagx 2
c) cos2x + sen2x + tag2x = xcos
12 d)
xsen1
xtag11 22
EJERCICIO 30 : Demuestra las siguientes igualdades:
a) x2tg21
xsenxcosxcosxsen
22
b) ysenxsenyxsenyxsen 22
c) x2cos2145xcos45xcos d)
21xcos5
2xcos
xsenx2sen 2
e) 12xsen2xcos 2 f)
x2senxsen2xcos44
xsenxcos1
xcos1xsen
ECUACIONES EJERCICIO 31 : Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica: a) tag2x – tag x = 0 b) 2cos2x – sen2x + 1 = 0 c) 2senx.cos2x – 6sen3x = 0
d) cos (2x + 20º) = - 23 e) 3sec x - 2sen x.tag x = -3 f) sen2 x +
45
xsec1
EJERCICIO 32 : Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 1xsen3x2cos b) xcos1xsen 22 c) xcos21xsen 22
d) 0xsen2x2senxsen 2 e) xsen2xcos42 2 f) 021xsenx2cos 2
g) 145xsen45xsen h) 41xcos
2xcos2 i) cos 2x cos2 x 2
j) cos (6.x) + cos (8.x) = - 3 .cos x k) cos5x + cos 3x = 2 .cos4x REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIO 33 : Representa gráficamente y estudia las propiedades de las siguientes funciones: a y cos x b y sen x + 1
PROBLEMAS EJERCICIO 34 : Un barco, pide socorro recibiéndose la señal en dos estaciones A y B que distan entre sí 45 Km. Desde cada estación se miden los ángulos BAC = 44º 55’ y ABC = 52º 16’. ¿A qué distancia se encuentra el barco de cada estación? EJERCICIO 35 : Tres puntos A, B y C están unidos por carreteras rectas y llanas. La distancia AB es de 6 Km, la de BC es de 9 Km, el ángulo que forman AB y BC es de 120º. ¿Cuál es la distancia de A a C?. Calcular los otros dos ángulos. EJERCICIO 36 : Desde dos puntos situados en la misma orilla de un río y separados entre si 30 m se observa un árbol situado en la otra orilla. La distancia del primer punto al pie del árbol es de 24 m y el ángulo que forma la visual del segundo punto con respecto al árbol es de 45º 37’. Calcular la distancia del segundo punto al árbol y el ángulo que forma la visual del primer punto. EJERCICIO 37 : Resolver el siguiente triángulo: A = 30º, a = 40 m, b = 65 m. Calcular su área. ( Enuncia las resultados teóricos que utilices ). EJERCICIO 38 : Dos amigos parten de un mismo punto en dirección a dos ciudades situadas a 200 y 300 Km, respectivamente, del punto de partida. El ángulo que forman dichas carreteras es de 60º. En sus coches llevan un teléfono móvil que tiene un radio de alcance de 250 Kms. ¿Podrán ponerse en contacto cuando lleguen a su destino?. Calcular los otros dos ángulos. EJERCICIO 39 : Dos asistentes a una conferencia se sitúan en las dos butacas extremas de una fila. Cada uno desde su posición, mide el ángulo que determinan el conferenciante y el otro asistente obteniéndose resultados de 37º y 42º. ¿A qué distancia está cada uno de ellos del conferenciante?. ¿A qué distancia se encuentran ambos del escenario?. Desde una butaca a la otra hay una distancia de 30 m. EJERCICIO 40 : Una antena de telefonía móvil está sujeta al suelo con dos cables desde su punto más alto, y uno de los cables tiene doble longitud que el otro. Los puntos de sujeción de los cables al suelo están alineados con el pie de la antena, la distancia entre dichos anclajes es de 70 metros y el ángulo formado por los cables es de 120º. Calcula la longitud de cada uno de los cables y la altura de la antena de telefonía. EJERCICIO 41 : De un triángulo ABC sabemos que a = 12 cm, b = 18 cm y A + B = 110º ¿Cuánto valen A y B? EJERCICIO 42 : En un mapa de carreteras observamos los pueblos A, B, C y D como se indica en la figura. Por un error no aparece la distancia entre los pueblos A y D, pero si las distancias y ángulos que forman las carreteras que los unen. Calcula la distancia entre los pueblos A y D. EJERCICIO 43 : En una circunferencia de radio 10 cm trazamos la cuerda AB de 8 cm. Si O es el centro de la circunferencia, halla el ángulo AOB. EJERCICIO 44 : Desde una carretera se ve el punto más alto de una montaña, y la visual de dicho punto forma un ángulo de 40º con la horizontal. La carretera avanza hacia la montaña en línea recta, y después de avanzar 5 Km, vemos que la visual con el pico y la horizontal forma un ángulo de 75º. ¿Qué altura tiene la montaña?
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