unidad iii: generacion de numeros aleatorios (simulaciÓn)

Las variables aleatorias son aquellas que tiene un

comportamiento probabilístico en la realidad. Por ejemplo, el

número de clientes que llegan cada hora a un banco depende

del momento del día, del día de la semana y de otros factores.

La generación de variables

aleatorias o estocásticas significa

la obtención de variables que

siguen una distribución de

probabilidad determinada.

Requiere de dos etapas:

Generar números aleatorios

distribuidos uniformemente

(R)

Generar con R y con las

distribuciones de

probabilidad las variables

aleatorias o estocásticas.

La generación de estadísticas simuladas, o sea de los valores de las

variables aleatorias, tienen una naturaleza enteramente numérica y debe

soportarse por números aleatorios, generados por algún método

Una secuencia de números aleatorios R1, R2,... debe tener dosimportantes propiedades estadísticas: uniformidad e independencia.

Cada número aleatorio Ri es una muestra independiente tomada de unadistribución continua uniforme entre cero y uno. Esto es, la función dedensidad de probabilidad es:

Si el intervalo (0, 1) es dividido enn clases, o sub-intervalos delongitudes iguales, el númeroesperado de observaciones encada intervalo es N/n, donde N esel número total de observaciones. La probabilidad de observar un

valor en un intervalo en

particular es independiente de

los valores previamente

observados.

Entidad que puede tomar un valor cualesquiera

durante la duración de un proceso dado.

Discreta

Continua

independiente

Una variable aleatoria discreta puede tomar valores numéricos

específicos, como el resultado de lanzar un dado, o la cantidad de

dólares en una cuenta bancaria elegida al azar. Las variables aleatorias

discretas sólo pueden tomar un número finito de muchos valores y se les

llama variables aleatorias finitas.

Existen diversos métodos para generar variablesaleatorias discretas:

1. Transformada Inversa

2. De aceptación-rechazo, o método de rechazo.

3. De composición.

4. Métodos mejorados según la distribución.

Una variable aleatoria X es discreta, si solamente puede tomar un

conjunto numerable de valores.

Ejemplos: El número de libros en una biblioteca, el número de

habitantes en una población, la cantidad de dinero que una persona trae

en su bolsillo, el número de aves en un gallinero, el número de

admisiones diarias a un hospital, el número de accidentes

automovilísticos en una carretera durante un año, etc.

Es aquella que se encuentra dentro de un intervalo comprendido

entre dos valores cualesquiera; ésta puede asumir infinito número

de valores y éstos se pueden medir.

Existen varios métodos paragenerar variables aleatoriassiendo los más importantes:transformada inversa, convolucióny aceptación-rechazo. Medianteestos métodos es posible generarvariables aleatorias discretas(binomial, poisson, etc.) ycontinuas (uniforme, exponencial,normal, etc.).

El método de aceptación y rechazo no es un

método directo y puede ser útil cuando alguno de

los métodos directos no es eficiente debido a que

no sea posible conocer la función de distribución

como es el caso de la distribución normal.

Consiste en generar un valor de la variable

aleatoria e inmediatamente probar que dicho valor

simulado proviene de la distribución de

probabilidad que se está analizando.

Generar dos números uniformes U(0,1)llamados U1 y U2.

Determinar el valor de la variable aleatoria Xde acuerdo a la siguiente relación lineal deU1:

Evaluar la función de probabilidad en X =a+(b-a)U1.

Determinar si la siguiente desigualdad secumple:

Se utiliza a X = a+(b-a)U1 si la respuesta esafirmativa como un valor simulado de lavariable aleatoria. De lo contrario, esnecesario regresar nuevamente al paso 1tantas veces como sea necesario.

El método consiste en:

Definir la función de Densidad f(x) que

representa la variable a modelar.

Calcular la función acumulada f(x).

Despejar la variable aleatoria x y obtener la

función acumulada inversa f(x)-1.

Generar las variables aleatorias x, sustituyendo

valores con números pdeudoaleatorios ri ~U

(0,1) en la función acumulada inversa.

EJEMPLO:

El método de convolución asume que

existen Y1, Y2,…, Ym variables

aleatorias, tal que la suma de todas

ellas tiene la misma distribución que

X, entonces se calcula:

1. Genere Y1, Y2, …, Ym variables

aleatorias IID cada una con función

de distribución G.

2. Aplique X = Y1 + Y2 +… Ym.

La distribución de probabilidad de la suma de dos o más variables

aleatorias independientes es llamada la convolución de las distribuciones

de las variables originales. El método de convolución es entonces la suma

de dos o más variables aleatorias para obtener una variable aleatoria con

la distribución de probabilidad deseada. Puede ser usada para obtener

variables con distribuciones Erlang y binomiales.

La suma de un gran número de variables de determinadadistribución tiene una distribución normal. Este hecho es usadopara generar variables normales a partir de la suma denúmeros U (0,1) adecuados.

Una variable Pascal es la suma de m geométricas.

La suma de dos uniformes tiene una densidad triangular.

Una variable Erlang-k es la suma de k exponenciales.

Una variable Binomial de parámetros n y p es lasuma de n variable Bernoulli con probabilidad deéxito p.

La chi-cuadrado con v grados de libertad es la sumade cuadrados de v normales N (0,1).

Mediante este método la distribución de probabilidad F(x) se expresa

como una mezcla de varias distribuciones de probabilidad F(x)

seleccionadas adecuadamente.

El procedimiento para la selección de las F(x) se basa en el objetivo se

minimizar el tiempo de computación requerido para la generación de

valores de la variable aleatoria analizada.

1. Dividir la distribución de

probabilidad original en sub-áreas, tal

como se muestra en la figura

2. Definir la distribución de

probabilidad para cada sub-

área.

3.- Expresar la distribución deprobabilidad original en la formasiguiente:

F(x)=A1F1(x) + A2F2(x) +…AnFn(x) y ∑Ai = 1

4.- Obtener la distribución

acumulada de las áreas:

5. Generar dos números uniformes R1, R2

6. Seleccionar la distribución deprobabilidad F(x) con la cual se vasimular el valor de x. La selección de estadistribución se obtiene al aplicar elmétodo de la transformada inversa, en lacuel el eje Y está representado por ladistribución acumulada de las areas, y eleje X por las distribuciones F(x). Paraesta selección se utiliza el numerouniforme R1.

7. Utilizar el numero uniforme R2 parasimular por el método de la transformadainversa o algún otro procedimiento especial,números al azar que sigan la distribución deprobabilidad F(x) seleccionada en el pasoanterior.

Existen algunas distribuciones como la distribucion

erlang, la distribucion normal, etc., cuya simulacion

a través del metodo de la transformada inversa

sería demasiado compliacado. Para estas y algunas

otras distribuciones, es posible utilizar algunas de

sus propiedades para facilicitar y agilizar el proceso

de generación de numeros al azar.

Muchas variables aleatorias discretas corresponden a conteos de

objetos con una característica, relativamente rara, dentro de un conjunto

grande de objetos: átomos de un isótopo, moléculas de un elemento

químico, bacterias, virus, individuos que poseen un gen especial... Con

frecuencia se emplea una ley de Poisson como modelo para estos

conteos. Una variable aleatorio sigue una ley de Poisson de parámetro

si ella toma sus valores en y si para todo :

Es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos

en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con

una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos. Un

experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo

son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una

probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1

- p.

En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, deforma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de undeterminado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, dehecho, en una distribución de Bernoulli.

En la construcción del modelo de simulación es importante

decidir si un conjunto de datos se ajusta apropiadamente a

una distribución específica de probabilidad. Al probar

la bondad del ajuste de un conjunto de datos, se comparan

las frecuencias observadas FO realmente en cada

categoría o intervalo de clase con las frecuencias

esperadas teóricamente FE.

Es una rama de la estadística las pruebas y modelos estadísticos cuya

distribución subyacente no se ajuste a los llamados criterios

paramétricos. Las pruebas paramétricas no asumen ningún parámetro

de distribución de las variables muéstrales. Las pruebas paramétricas

asumen los parámetros de las variable (media y varianza) y un tipo de

distribución normal.

Es la prueba estadística de elección

cuando la prueba de Chi-cuadrada no

puede ser empleada por tamaño

muestral insufiente.

Se basa en la hipótesis nula (Ho) de que no hay diferencias

significativas entre la distribución muestral y la teoría.

Mientras que la hipótesis alternativa (H1), siempre se

enuncia como que los datos no siguen la distribución

supuesta.

Esta definido como la sumatoria delos residuos expresados en términosde las frecuencias esperadas paracada una de las clases.

Interpretación. Cuanto mayor sea elvalor de , menos verosímil es que lahipótesis Ho sea correcto.

Si = 0. La frecuencia teórica yobservada concuerda exactamente.

Si > 0. Mientras mayor es ladiferencia mayor es la discrepancia.

En la practica: si Ho = 0 no existediferencia significativa es ladistribución de la frecuenciaobservada y la distribución teóricaespecíficamente los mismosparámetros.

http://simulacion-itstb.blogspot.mx/p/unidad-tres-generacion-de-variables.html

http://simulacionunilibre.blogspot.mx/2011/04/generacion-de-variables-aleatorias.html

http://simulacionitca.blogspot.mx/2012/03/metodo-de-la-transformada-inversa.html

www.frsf.utn.edu.ar/matero/visitante/bajar_apunte.php%3Fid_catedra%3D150%26id_apunte%3D3047+&cd=

3&hl=es&ct=clnk&gl=mx

http://www.sites.upiicsa.ipn.mx/polilibros/portal/Polilibros/P_terminados/SimSist/doc/SIMULACI-N-128.htm

http://www.sites.upiicsa.ipn.mx/polilibros/portal/Polilibros/P_terminados/SimSist/doc/SIMULACI-N-136.htm

http://ssfe.itorizaba.edu.mx/bvirtualindustrial/index.php/image-gallery/114-library/simulacion/1446-323-el-

metodo-de-convolucion

http://ssfe.itorizaba.edu.mx/bvirtualindustrial/index.php/image-gallery/114-library/simulacion/1445-

324-el-metodo-de-aceptacion-y-rechazo

http://www.sites.upiicsa.ipn.mx/polilibros/portal/Polilibros/P_terminados/Probabilidad/doc/Unidad

%202/2.1.HTM

http://books.google.com.mx/books?id=iY6dI3E0FNUC&pg=PA10&lpg=PA10&dq=3.5Procedimient

os+especiales+simulacion&source=bl&ots=uIV93c6L9w&sig=B9yXqXNspI7vemr7Aj6dp3wYL0U

&hl=es&sa=X&ei=ezGVUu3oDMi62wW4wYH4Cw&ved=0CD8Q6AEwAw#v=onepage&q=3.5Proc

edimientos%20especiales%20simulacion&f=false

http://simulacionkarla.blogspot.mx/p/unidad-ii.html

http://www.slideshare.net/uzita1/simulacin-15675046

http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:bsEQRl64VdcJ:blearning.itmina.edu.mx/dep/sada/carreras/Ingenieria%2520en%2520Sistemas%2520Computacionales/6to%2520Semestre/Simulacion/I.S.C.%2520-%25206to%2520Sem%2520-%2520Simulacion.doc+&cd=2&hl=es&ct=clnk&gl=mx

http://books.google.com.mx/books?id=iY6dI3E0FNUC&pg=PA10&lpg=PA10&dq=3.5Procedimientos+especiales+SIMULACION&source=bl&ots=uIV91e0L6w&sig=WfZc8oxjqn-3wq-WNE80hM_FH2k&hl=es&sa=X&ei=zVqSUvPaIeyD2AX0s4GoCA&ved=0CD0Q6AEwAw#v=onepage&q=3.5Procedimientos%20especiales%20SIMULACION&f=false

http://us.123rf.com/400wm/400/400/braverabbit/braverabbit1007/braverabbit100700033/7350459-gran-rojo-verde-y-azul-3d-na-meros-123--3d-fotorrealismo-o-una-ilustracia-n.jpg

http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_binomial

http://www.sites.upiicsa.ipn.mx/polilibros/portal/Polilibros/P_terminados/P

robabilidad/doc/Unidad%202/2.1.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Variable_aleatoria

http://www.itapizaco.edu.mx/~joseluis/apuntes/estadistica/distribuciones

%20discretas.pdf

http://pendientedemigracion.ucm.es/info/genetica/Estadistica/estadistica

_basica%201.htm#Variables aleatorias continuas

http://www2.famaf.unc.edu.ar/~jgimenez/Modelos_y_Simulacion/2013/cl

ase9.pdf

http://lasimulaciondeprocesos.blogspot.mx/2011/02/blog-post_8837.html

http://simulacion-de-procesos.blogspot.mx/2011/04/blog-post.html

http://simulacion2010.wordpress.com/2010/05/18/3-5-procedimientos-

especiales-simulacion/