unidad 7: trigonometría. - nodo universitario
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1
Unidad 7: Trigonometría.
7.1 Medida de un ángulo.
7.1.1 Ángulo.
Es la abertura comprendida entre dos semirrectas que tienen un punto en común, llamado
vértice.
Los ángulos se representan por: ∠𝐴, ∠𝐵𝐴𝐶, â o con las letras del alfabeto griego.
7.1.2 Sistemas de medición de ángulos.
7.1.2.1 Sistema sexagesimal.
En este sistema se divide a la circunferencia en 360 partes llamadas grados, el grado en sesenta
minutos y el minuto en sesenta segundos.
1° = 60′ ; 1′ = 60"
7.1.2.2 Sistema cíclico o circular.
Este sistema tiene como unidad fundamental el radián es el ángulo central subtendido por un
arco, igual a la longitud del radio del circulo y se llama valor natural o valor circular del ángulo.
Lado inicial
Lado final
A B
C
â
A
B
O r
r
r
a
2
7.1.3 Conversión de grados a radianes y radianes a grados.
▪ Para convertir grados en radianes se multiplica el número en grados por el factor 𝜋
180°,
el resultado se simplifica, de ser posible.
▪ Para convertir radianes en grados se multiplica el número en radianes por el factor 180°
𝜋,
el resultado se simplifica, de ser posible.
Ejemplos:
1.- 60° en radianes se expresa como:
a) 𝜋
4 rad b)
𝜋
3 rad c)
𝜋
6 rad d)
𝜋
2 rad
Solución:
▪ Se multiplica 60° por el factor 𝜋
180°:
60 (𝜋
180°) =
60°𝜋
180=
1𝜋
3=
𝜋
3 rad
2.- 5𝜋
6 en grados, se expresa como:
a) 120° b) 60° c) 150° d) 225°
Solución:
▪ Se multiplica 5𝜋
6 por el factor
180°
𝜋 :
(5𝜋
6) (
180°
𝜋) =
900°𝜋
6𝜋= 150°
7.2 Razones trigonométricas.
7.2.1 Triángulo rectángulo.
Es el triángulo que tiene un ángulo recto (90°); a los lados que forman el ángulo recto se les
llama catetos y el lado que se opone a dicho ángulo se llama hipotenusa.
3
7.2.1.1 Teorema de Pitágoras.
Establece la relación de los lados de un triángulo rectángulo.
(hipotenusa)2 = (cateto 1)2 + (cateto 2)2
Ejemplos:
¿Cuál es el valor de lado 𝑥 en el siguiente triángulo?
a) 12 b) 17 c) 24 d) 28
Solución:
▪ Al aplicar el teorema de Pitágoras se obtiene:
(hip)2 = (cat 1)2 + (cat 2)2 → (25)2 = (7)2 + (𝑥)2 → 625 = 49 + 𝑥2
625 − 49 = 𝑥2
576 = 𝑥2
𝑥 = √576 = 24
A
B C x
7 25
4
7.2.1.2 Razones trigonométricas.
Abreviatura Abreviatura
Seno =cateto opuesto
hipotenusa
sen 𝜃 Cotangente =cateto adyacente
cateto opuesto cot 𝜃 = ctg 𝜃
Coseno =cateto adyacente
hipotenusa
cos 𝜃 Secante =hipotenusa
cateto adyacente sec 𝜃
Tangente =cateto opuesto
cateto adyacente
tan 𝜃 = tg 𝜃 Cosecante =hipotenusa
cateto opuesto csc 𝜃
En el triángulo 𝐴𝐵𝐶 los catetos se designan de acuerdo al ángulo del que se desea obtener sus
razones trigonométricas.
Ejemplos:
1.- ¿Cuál es el coseno del ángulo 𝐵 en el siguiente triángulo?
a) 6
10 b)
8
6 c)
10
6 d)
8
10
A
B C a
b c
Para el ángulo A: c = hipotenusa a = cateto opuesto b = cateto adyacente
Para el ángulo B: c = hipotenusa b = cateto opuesto a = cateto adyacente
A
B C 8
6 10
5
Solución:
▪ Para el ángulo 𝐵:
cateto opuesto = 6 cateto adyacente = 8 hipotenusa = 10
▪ Luego:
cos 𝐵 =cateto adyacente
hipotenusa=
8
10
2.- De acuerdo con la figura, la razón 𝑞
𝑝 corresponde a la función:
a) tan 𝑄 b) sen 𝑃 c) cos 𝑄 d) sec 𝑃
Solución:
▪ Para el ángulo 𝑄
cateto opuesto = 𝑞 cateto adyacente = 𝑝 hipotenusa = 𝑟
▪ La razón 𝑞
𝑝 es:
𝑞
𝑝=
cateto opuesto
cateto adyacente= tan 𝑄
3.- En el siguiente triángulo el seno del ángulo 𝑀 y la secante de 𝑁 son:
Q
P R q
p r
M
N R 2
√3 7
6
a) √3
7,
7
2 b)
2
7,
7
2 c)
7
√3,
√3
2 d)
√3
2,
7
√3
Solución:
▪ Para el ángulo 𝑀:
cateto opuesto = 2 cateto adyacente = √3 hipotenusa = 7
▪ La razón trigonométrica seno se define por:
sen 𝑀 =cateto opuesto
hipotenusa=
2
7
▪ Para el ángulo 𝑁:
cateto opuesto = √3 cateto adyacente = 2 hipotenusa = 7
▪ La razón trigonométrica secante se define por:
sen 𝑀 =hipotenusa
cateto adyacente=
7
2
7.3 Solución de triángulos rectángulos.
Resolver un triángulo rectángulo es hallar la medida de los ángulos y lados faltantes en función
de los datos proporcionados.
▪ Para resolver un triángulo se utiliza tanto el teorema de Pitágoras como las funciones
trigonométricas.
7.3.1 Valores de funciones trigonométricas para ángulos notables 0°, 90°, 180°, 270° y
360°.
Radianes 0 𝜋
6
𝜋
4
𝜋
3
𝜋
2 𝜋
3𝜋
2 2𝜋
Grados 𝟎° 𝟑𝟎° 𝟒𝟓° 𝟔𝟎° 𝟗𝟎° 𝟏𝟖𝟎° 𝟐𝟕𝟎° 𝟑𝟔𝟎°
Seno 0 1
2
√2
2
√3
2 1 0 −1 0
Coseno 1 √3
2
√2
2
1
2 0 −1 0 1
Tangente 0 √3
3 1 √3 ∞ 0 −∞ 0
7
Ejemplos:
1.- El valor de los lados 𝑥, 𝑦 y el ángulo 𝐵 es:
Solución:
▪ La suma de ángulos agudos es 90°:
∠𝐴 + ∠𝐵 = 90° → 30° + ∠𝐵 = 90°
∠𝐵 = 90° − 30°
∠𝐵 = 60°
▪ Para el ángulo 𝐴 = 30°
cateto opuesto = 2 cateto adyacente = 𝑥 hipotenusa = 𝑦
▪ El valor de 𝑥 se obtiene utilizando la función trigonométrica que relacione el cateto
opuesto y el cateto adyacente:
tan 30° =2
𝑥
→ 𝑥 tan 30° = 2 → 𝑥 =
2
tan 30°=
2
√33
=6
√3
▪ El valor de 𝑦 se obtiene utilizando una función trigonométrica que relacione el cateto
opuesto y la hipotenusa:
sen 30° =2
𝑦
→ 𝑦 sen 30° = 2 → 𝑥 =
2
sen 30°=
2
12
= 4
2.- En el siguiente triángulo:
A
B C 2
x y 30°
8
El valor de 𝑥 se obtiene con la expresión:
a) tan 40°
3 b) 3 sen 40° c) 3 tan 40° d)
sen 40°
3
Solución:
▪ Para el ángulo 𝐴 = 40°:
cateto opuesto = 𝑥 y cateto adyacente = 3
▪ Se elige la función que relacione el cateto opuesto y el cateto adyacente:
tan 𝐴 =cateto opuesto
cateto adyacente
→ tan 40° =𝑥
3 → 𝑥 = 3 tan 40°
3.- Si cos 𝐴 =2
5 , el valor de sen 𝐴 es:
a) 5
2 b)
√21
5 c)
√21
2 d)
2
√21
Solución:
▪ La razón coseno se define por:
cos 𝐴 =2
5=
cateto adyacente
hipotenusa
▪ Se construye un triángulo con ∠𝐴 uno de los ángulos agudos y se colocan los datos:
A
B C x
3 y 40°
A 2
x 5
9
▪ Se aplica el teorema de Pitágoras para determinar el valor del lado restante:
52 = 𝑥2 + 22 → 𝑥2 = 25 − 4 → 𝑥2 = 21 → 𝑥 = √21
▪ Por consiguiente, la función seno se define como:
sen 𝐴 =cateto opuesto
hipotenusa=
𝑥
5=
√21
5
7.4 Ley de los senos y ley de los cosenos.
Se aplican para la resolución de triángulos oblicuángulos, esto es, triángulos que no tienen un
ángulo de 90°.
7.4.1 Ley de los senos.
La razón que existe entre un lado del triángulo oblicuángulo y el seno del ángulo opuesto a dicho
lado, es proporcional a la misma razón entre los lados y ángulos restantes.
Se aplican si se conocen:
▪ Dos lados y un ángulo opuesto a uno de esos lados.
▪ Dos ángulos y un lado opuesto a uno de esos ángulos.
Ejemplos:
1.- El valor de 𝑎 en el triángulo, se resuelve con la operación:
A
B C a
b c
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝐴=
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵=
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐶
10
a) 15 sen 60°
sen 50° b)
sen 50°
15 sen 60° c)
sen 60°
15 sen 50° d)
15 sen 50°
sen 60°
Solución:
▪ Por la ley de los senos 𝑎
sen 50°=
15
sen 50°=
𝑏
sen 𝐵, se toma la primera igualdad para despejar
𝑎, entonces:
𝑎
sen 50°=
15
sen 50°
→ 𝑎 =
15 sen 50°
sen 50°
2.- El ángulo 𝐶 se obtiene con la expresión:
a) sen 𝐶 =9 sen 75°
11 b) sen 𝐶 =
11 sen 75°
9 c) sen 𝐶 =
9
11 sen 75° d) sen 𝐶 =
11
9 sen 75°
Solución:
▪ Por ley de senos 𝑎
sen 𝐴=
11
sen 75°=
9
sen 𝐶, se toma la igualdad
11
sen 75°=
9
sen 𝐶 y se despeja
𝐶:
11
sen 75°=
9
sen 𝐶
→ 11 sen 𝐶 = 9 sen 75° → sen 𝐶 =
9 sen 75°
11
A
B C a
b 15 30°
60°
A
B C a
11 9
75°
11
7.4.2 Ley de los cosenos.
El cuadrado de un lado de un triángulo oblicuángulo es igual a la suma de los cuadrados de los
lados restantes, menos el doble producto de dichos lados por el coseno del ángulo opuesto al
lado buscado.
Se aplica si se conocen:
▪ Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
▪ Tres lados.
Ejemplos:
1.- El valor del lado 𝑐 en el siguiente triángulo, se obtiene con la expresión:
a) 𝑐 = √(9)2 − (12)2 − 2(9)(12) cos 55° b) 𝑐 = √(9)2 + (12)2 − 2(9)(12) cos 79°
c) 𝑐 = √(9)2 + (12)2 − 2(9)(12) cos 55° d) 𝑐 = √(9)2 + (12)2 + 2(9)(12) cos 55°
Solución:
▪ El lado 𝑐 se obtiene con la fórmula:
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos 𝐶 → 𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos 𝐶
A
B C a
b c a = √𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 cos 𝐴 → cos 𝐴 =𝑏2+𝑐2−𝑎2
2𝑏𝑐
b = √𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐 cos 𝐵 → cos 𝐵 =𝑎2+𝑐2−𝑏2
2𝑎𝑐
c = √𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos 𝐶 → cos 𝐶 =𝑎2+𝑏2−𝑐2
2𝑎𝑏
A
B C a = 9
b = 12 c
79° 55°
12
▪ Por tanto, 𝑐 = √(9)2 + (12)2 − 2(9)(12) cos 55°
2.- En el triángulo 𝐴𝐵𝐶, el valor del ángulo 𝐴 se obtiene con la expresión:
a) cos 𝐴 =(6)2+(7)2−(10)2
2(6)(7) b) cos 𝐴 =
(10)2+(7)2−(6)2
2(10)(6)
c) cos 𝐴 =(10)2+(6)2−(7)2
2(10)(6) d) cos 𝐴 =
(10)2+(7)2−(6)2
2(10)(7)
Solución:
▪ En el triángulo se conocen los tres lados, el ángulo 𝐴 se obtiene con la fórmula:
cos 𝐴 =𝑏2 + 𝑐2 − 𝑎2
2𝑏𝑐
▪ Por consiguiente, cos 𝐴 =(10)2+(7)2−(6)2
2(10)(7)
7.5 Razones trigonométricas para un ángulo en cualquier cuadrante.
7.5.1 Signos de las funciones trigonométricas.
I cuadrante II cuadrante III cuadrante IV cuadrante
Seno + + - -
Coseno + - - +
Tangente + - + -
Cotangente + - + -
Secante + - - +
Cosecante + + - -
A
B C a = 6
b = 10 c = 7
13
7.6 Funciones para ángulos mayores a 90°.
Cualquier función trigonométrica de un ángulo mayor a 90° se expresa en la forma (𝑛 ∗ 90° ±
𝜃), conservando el signo correspondiente a la función dada, donde 𝑛 es un entero positivo y 𝜃
es un ángulo cualquiera, el cual equivale a:
▪ La misma función de 𝜃 si 𝑛 es un número par.
▪ La cofunción correspondiente de 𝜃 si 𝑛 es un número impar.
Ejemplos:
1.- El valor de cos 150° es equivalente a:
a) −cos 30° b) cos 60° c) −cos 60° d) cos 30°
Solución:
▪ El ángulo de 150° se encuentra en el segundo cuadrante, donde el coseno es negativo,
luego:
150° = (2 ∗ 90° − 30°)
▪ El número que multiplica a 90° es par, el resultado se expresa con la misma función, por
tanto:
cos 150° = −cos 30°
2.- El valor de 300° es equivalente a:
a) sen 60° b) sen 30° c) −cos 30° d) −cos 60°
Solución:
▪ El ángulo de 300° se encuentra en el cuarto cuadrante, donde coseno es positivo,
luego:
300° = (3 ∗ 90° + 30°)
Función seno
tangente secante
Cofunción coseno
cotangente cosecante
14
▪ El número que multiplica a 90° es impar, el resultado se expresa con la cofunción:
cos 300° = sen 30°
3.- El valor de tan 135° es equivalente a:
a) √2 b) −1 c) −√2 d) 1
Solución:
▪ El ángulo de 135° se encuentra en el segundo cuadrante, donde la tangente es negativa,
por tanto:
tan 135° = tan(2 ∗ 90° − 45°) = − tan 45° = −1
7.7 Identidades trigonométricas básicas.
Son las relaciones que existen entra las razones trigonométricas y se dividen en:
a) Identidades recíprocas
sen 𝜃 ∗ csc 𝜃 = 1 tan 𝜃 ∗ cot 𝜃 = 1 cos 𝜃 ∗ sec 𝜃 = 1
b) Identidades del cociente
tan 𝜃 =sen 𝜃
cos 𝜃 cot 𝜃 =
cos 𝜃
sen 𝜃
c) Identidades pitagóricas
sen2θ + cos2θ = 1 tan2θ + 1 = sec2θ cot2θ + 1 = csc2θ
Ejemplos:
1.- La expresión sen 𝜃 es equivalente a:
a) 1
cos 𝜃 b)
1
sec 𝜃 c)
1
csc 𝜃 d)
1
sec 𝜃
Solución:
▪ De la expresión sen 𝜃 ∗ csc 𝜃 = 1, se despeja sen 𝜃:
15
sen 𝜃 =1
csc 𝜃
2.- La expresión cos 𝜃 es equivalente a:
a) tan 𝜃
csc 𝜃 b)
cot 𝜃
csc 𝜃 c)
1
sen 𝜃 d)
sen 𝜃
cot 𝜃
Solución:
▪ Se comprueba cada uno de los incisos:
tan 𝜃
csc 𝜃=
sen 𝜃cos 𝜃
1sen 𝜃
=sen 𝜃 ∗ sen 𝜃
cos 𝜃=
sen2θ
cos 𝜃, no es la respuesta correcta.
cot 𝜃
csc 𝜃=
cos 𝜃sen 𝜃
1sen 𝜃
=sen 𝜃 ∗ cos 𝜃
sen 𝜃= cos 𝜃 , la respuesta es correcta.
1
sen 𝜃=
1
1cos 𝜃
=cos 𝜃
1, la respuesta no es correcta.
sen 𝜃
cot 𝜃=
1cos 𝜃cos 𝜃sen 𝜃
=sen 𝜃
cos2θ, la respuesta no es correcta.
3.- Una expresión equivalente a cot 𝜃 es:
a) 1
√sen2θ−1 b) √sen2θ − 1 c)
1
√1−sen2θ d) √1 − sen2θ
Solución:
▪ De la expresión tan 𝜃 ∗ cot 𝜃 = 1, se despeja cot 𝜃, entonces cot 𝜃 =1
tan 𝜃
▪ De la expresión tan2θ + 1 = sec2θ, se despeja tan 𝜃:
tan2θ + 1 = sec2θ → tan2θ = sec2θ − 1 → tan 𝜃 = √sec2θ − 1
▪ Por tanto:
cot 𝜃 =1
tan 𝜃=
1
√sec2θ − 1
16
7.8 Funciones trigonométricas.
7.8.1 Función seno (y = sen x).
Gráfica:
Propiedades
Dominio = (−∞, ∞)
Rango= [−1, 1]
Periodo = 2𝜋
Amplitud = 1d
Es creciente en el intervalo (0,𝜋
2) ∪ (
3𝜋
2, 2𝜋)
Es decreciente en el intervalo (𝜋
2, 𝜋) ∪ (𝜋,
3𝜋
2)
17
7.8.2 Función coseno (y = cos x).
Gráfica:
Propiedades
Dominio = (−∞, ∞)
Rango = [−1, 1]
Periodo = 2𝜋
Amplitud = 1
Es creciente en el intervalo (𝜋, 2𝜋)
Es decreciente en el intervalo (0, 𝜋)
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