unidad 3 probabilidad 2014
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8/17/2019 Unidad 3 Probabilidad 2014
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Unidad 3. Variable Aleatoria Discreta
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VARIABLE
VARIABLE: Adj. que varia o puede variar. f. Mat. Magnitud que puede tener un valor cualquiera delos comprendidos en un conjunto.
Número que resulta de una medida u operación.
VARIABLE CONTINUA: La que consta de unidades o partes que noestán separadas unas de otras, como la longitud de unalínea, el área de una superficie, el volumen de un sólido, lacabida de un vaso, etc.
VARIABLE DISCRETA: La que consta de unidades o partesseparadas unas de otras, como los árboles de un monte,los soldados de un ejército, los granos de una espiga, etc.
* Real Academia de la Lengua Española
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VARIABLE ALEATORIA
Variable Aleatoria: f. Mat. Magnitud cuyos valores están determinadospor las leyes de probabilidad, como los puntos
resultantes de la tirada de un dado.
Variable Aleatoria:Continua
DiscretaAlgunos valores de una variable aleatoria pueden ser mas probables que otros,lo que da origen al concepto de distribución de probabilidad de una VA.
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Ejemplos variable aleatoria continua
Experimento Variable aleatoria Valores posibles V.A
Funcionamiento de un
banco
Tiempo en minuto, entre
llegadas de clientes
X>=0
Llenar una lata debebida
(máx =12.1 onzas)
Cantidad de onzas 0
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Ejemplos variable aleatoria discreta
Experimento Variable aleatoria Valores posibles V.A
Llamar a cinco clientes Cantidad de clientes 0, 1,2,3,4,5
Inspeccionar unembarque de 40 chips
Cantidad de chipsdefectuosos
0,1,2,….,40
Funcionamiento de un
restaurante durante un
día
Cantidad de clientes 0,1,2,3…….
Vender un automóvil Sexo Cliente 0 si es hombre y 1 si es
mujer
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Variable aleatoria
Una variable aleatoria X es una función que asocia acada suceso del espacio muestral E de un experimentoaleatorio un valor numérico real:
)(:
w X w E X
Llamar variable a una función resulta algo confuso,por ello hay que insistir en que es una función.
La variable aleatoria puede ser discreta o continua.
Veremos en este capítulo el caso discreto.
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Función de probabilidad
Una vez definida una variable aleatoria X , podemos
definir una función de probabilidad asociada a X , dela siguiente forma:
)()(
]1,0[:
x X P x p x
p
La función de probabilidad debe cumplir:
x
x pii
x x pi
1)()(
0)()( (Suma sobre todos los posibles valoresque puede tomar la variable aleatoria).
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Una variable x es variable aleatoria si el valor que toma,correspondiente al resultado de un experimento, es una probabilidado evento aleatorio.
p.e. Suponga que tira un dado y se mide x, el número observado en lacara superior . La variable x puede tomar cual quiera de seis valores:1,2,3,4,5,6 , dependiendo del resultado aleatorio del experimento. Poresta razón, la variable x se conoce como variable aleatoria.
Algunos ejemplos: X = Número de defectos en una pieza de mueble seleccionada al
azar
X = Calificación de examen de aptitud escolar (SAT) para unsolicitado universitario seleccionado al azar .
Al arrojar una moneda y observar el lado que queda hacia arriba:X={ x1 = 1 (águila), x2 = 0 (sol) }
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Distribución de probabilidad : para una variable discreta es una fórmula ,tabla o gráfica que da los posibles valores de X es equivalente al sumar lasprobabilidades de todos los eventos simples y por lo tanto es igual a 1. Los
valores de X representan eventos numéricos M. E.
Requisitos para una distribución de probabilidad discreta
0 ≤ p(x) ≤ 1
∑p(x) = 1
Eventosimple
Moneda 1 Moneda 2 P(E1) x
E1 H H 1/4 2E2 H T 1/4 1
E3 T H 1/4 1
E4 T T 1/4 0
En la Tabla 1 se muestraun evento simple como
E1= HH resulta dos caras,este evento simple resultaen el valor x = 2. delmismo modo, el valor x =1 se asigna a E2 , y asísucesivamente.
Tabla .1 Evento simple de dos monedas,H(cara), T (cruz).
Continua …….
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Para cada valor de x , se puede calcular p(x) al sumar las probabilidadesde los eventos simples es ese evento.p.e.
Cuando X=0p(0) = P(E4) = 1/4
Y cuando X = 1p(1) = P(E2) + P(E3) = 1/2
x Eventos simples en x p(x)
0 E4 ¼
1 E2, E3 ½
2 E1 ¼
∑p(x) = 1
Tres valores de la variable aleatoria x
El ancho de cada barra es 1 , elárea bajo la barra es la
probabilidad de observar elvalor particular de x y el áreatotal es igual a 1.
0.00
0.25
0.50
1 2 3
p ( x )
X1 320
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Ejemplo: Dibuja la función de distribución de probabilidad f(x) y lafunción de distribución acumulada F(x) de una variable discretadefinida como:
X = Número en la cara de un dado.
X tiene como posibles valores x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 cadauno con probabilidad 1/6
0
6
1
1 x
f(x)
1
0.5
10
F(x)
x6 6
Función de distribución de probabilidad f(x) Función de distribución acumulada F(x)
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DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADDE UNA VARIABLE ALEATORIA
Y1 Y2 X=Y1+Y2 Y1 Y2 X=Y1+Y2
1 1 2 4 1 5 1 2 3 4 2 6
1 3 4 4 3 7
1 4 5 4 4 8
1 5 6 4 5 9
1 6 7 4 6 10
2 1 3 5 1 6 2 2 4 5 2 7
2 3 5 5 3 8
2 4 6 5 4 9
2 5 7 5 5 10
2 6 8 5 6 11
3 1 4 6 1 7
3 2 5 6 2 8
3 3 6 6 3 9
3 4 7 6 4 10
3 5 8 6 5 11
3 6 9 6 6 12
Experimento: Arrojar dosdados y observar la VA X :la suma de los puntos delas caras que quedan haciaarriba.
Las formas en que puedeocurrir cada uno de losvalores que toma la VA X semuestran en la tabla.
Observemos que hay 1posibilidad en 36 de que X=2 ,mientras que hay 2 posibilidadesen 36 de que X=3
Ejemplo: Caso de una VA discreta:
Dado 1 Dado 2 Dado 1 Dado 2
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0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0.16
0.18
0.20
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
P(X)
Las probabilidades para cada valor de la VA X se muestran en la tabla. Eneste ejemplo la tabla representa la función de distribución de probabilidad
(fdp) de la VA X.
X P(X=x)
2 1/36
3 2/364 3/36
5 4/36
6 5/36
7 6/36
8 5/36
9 4/36
10 3/36
11 2/36
12 1/36
Representación gráfica de la función de distribución de probabilidad de la VA X
X
P(x)
Frecuencia relativa
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Distribución de probabilidad de una VA X: f ( x ) = P( X = x )
En nuestro ejemplo de la suma de dos dados: f (3) = P( X =3 ); f (3) = 2/36
Propiedades de la distribución de probabilidad de una variable aleatoriadiscreta (también conocida como función masa de probabilidad, fmp) :
a) f ( x ) 0 Para toda x que pertenece a X
b)
x
x f 1)(
Para toda x
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Las probabilidades acumuladas para cada valor de la VA X se muestran en lasiguiente tabla que representa la función de distribución acumulativa ( FDA ) dela VA X.
X P(X
x)
2 1/36
3 3/36 4 6/36
5 10/36
6 15/36
7 21/36
8 26/36 9 30/36
10 33/36
11 35/36
12 36/36
En nuestro ejemplo: F (3) = P( X
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Algunos problemas de probabilidad están relacionados con laprobabilidad P (a
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Esperanza matemática o mediade un distribución discreta
)()( ii iii i x p x x X P x X E
Varianza y desviación estándar o típica de unadistribución discreta
Varianza
i
ii x X P x X E )()(])[( 222
Desviación estándar o típica
)( X Var
Ambas miden la “dispersión de los datos”. Observa que la desviación
típica lo hace con las mismas unidades que los propios datos.
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Distribución de Bernoulli Experimento de Bernoulli: solo son posibles dos resultados:
éxito o fracaso. Podemos definir una variable aleatoriadiscreta X tal que:éxito 1fracaso 0
Si la probabilidad de éxito es p y la de fracaso q = 1 - p, podemos construir una función de probabilidad:
1,0)( 1 xq p x X P x x
Evidentemente:
1
0
1)1()0()( x
q p X P X P x X P
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Distribuciones de probabilidad discretas
Distribución Binomial
Distribución de Poisson
Distribución Hipergeométrica
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Distribución Binomial de Probabilidad
La distribución binomial de probabilidad es una distribución discreta de
probabilidad que tiene muchas aplicaciones. Se relaciona con una
experimento de etapas múltiples que llamamos binomial.
Se aplica para poblaciones grandes N>50 y n= 0.1.
El muestreo binomial es con reemplazo
La binomial es una aproximación de la hipergeométrica
La distribución normal se aproxima a la binomial cuando np > 5
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Experimento Binomial (Propiedades)
El experimento consiste en una sucesión de n intentos o ensayos idénticos.
En cada intento o ensayo son posibles dosresultados. A uno lo llamaremos éxito y al otro
fracaso. La probabilidad de un éxito, se representa por p y
no cambia de un intento o ensayo. Por lo tanto laprobabilidad de un fracaso se representa por (1-p),
que tampoco cambia de un intento a otro. Los intentos o ensayos son independientes.
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DIAGRAMA DE UN EXPERIMENTO BINOMIALCON OCHO INTENTOS
Propiedad 1: El experimento consiste en n=8 intentos idénticos de lanzar una
moneda.
Propiedad 2 : Cada intento da como resultado un éxito (S) o un fracaso (F).
Intentos 1 2 3 4 5 6 7 8
Resultados S F F S S F S S
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Distribución binomialLa distribución binomial aparece cuando estamos interesados en elnúmero de veces que un suceso A ocurre (éxitos) en n intentosindependientes de un experimento.
P. ej.: número de caras en n lanzamientosde una moneda.
Si A tiene probabilidad p (probabilidad de éxito) en un intento, entonces
q = 1-p es la probabilidad de que A no ocurra (probabilidad de fracaso).
En nuestro ejemplo de la moneda, p = 0.5 es la probabilidad de que salga cara y q = 1-p =1 - 0.5 = 0.5
es la probabilidad de que no salga cara.
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Supongamos que el experimento consta de n intentos y
definamos la variable aleatoria:
X = Número de veces que ocurre A.
En nuestro ejemplo: X = Número de veces que sale cara.
Entonces X puede tomar los valores 0, 1, 2, ... n.
Si consideramos uno de estos valores, digamos el valor x , i.e. en x de los
n intentos ocurre A y en n-x no. Entonces la probabilidad de cada posibleordenación es p xqn-x y existen idénticas ordenaciones.
k
x
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La distribución de probabilidad P ( X = k ) será:
xn x xn x p p
xn x
n p p
x
n x p pn B
)1(
)!(!
!)1()(),(
Distribución binomial para n = 5 y
distintos valores de p, B(5, p)
k nk k nk p p xn x
n p p
k
nC k X P
)1(
)!(!
!)1()(
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Características de la distribuciónbinomial
n = 5 p = 0.1
n = 5 p = 0.5
Media= E(X) = n p
= 5 · 0.1 = 0.5
= 5 · 0.5 = 0.25
Desviación estándar
0.2.4.6
0 1 2 3 4 5
X
P(X)
.2.4
.6
0 1 2 3 4 5
X
P(X)
0
1.1)5.01(5.05
67.0)1.01(1.05
)1(
pnp
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Distribución Binomial Acumulativa
Calcular probabilidades puede sertedioso incluso incluso para
valores relativamente pequeñosde n. En este caso se utiliza n lastablas de probabilidadesbinomiales acumulativas.
n = 6
P = 0.05
X = K = 2
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P.E Usando la tabla binomial acumulativa para n=5 y p=0.6 para hallar las
probabilidades de estos dos eventos :
1. Exactamente tres éxitos
2. Tres o más éxitos
Solución
1. Si se encuentra K=3 en la tabla, el valor o valores en tabla
P(x≤ 3)=p(0) + p(1) + p(2) + p(3)
Como se desea sólo p(x=3)= p(x), debe restar la probabilidad no deseada:
P(x≤ 2)= p(0) + p(1) + p(2) . Se encuentra en la tabla con K= 2. EntoncesP(x= 3)= p(x ≤ 3) – p(x ≤ 2)= 0.663 – 0.317= 0.346
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2. Para hallar P(tres o más éxitos) = P(x ≥ 3) usando la tabla anterior, se debe
usar el complemento del evento de interés.
P (X ≥ 3) = 1 – P(x ≤ 2) = 1 – 0.317 = 0.683
Instrucciones para el caculo de probabilidad binomial en tablas1. Encuentre los valores necesarios de n y p. Separe la columna apropiadade la tabla.
2. La tabla da P(X ≤ K) en la fila marcada k . Rescriba la probabilidad quenecesite para que esté en esta forma.
Haga una lista de los valores de x en su evento De la lista, escriba el evento como la diferencia de dos probabilidades
P(X ≤ a) – P(X ≤ b) para a > b.
o el complemento del evento: 1- P(X ≤ a)
o sólo el evento en sí: P(X≤ a) o P(X < a) = P(X ≤ a – 1)
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Distribución de Poisson
Cuando en una distribución binomial el número de intentos (n )
es grande y la probabilidad de éxito (p ) es pequeña y np (lamedia de la distribución binomial) es finito y tiende a entoncesla distribución binomial converge a la distribución de Poisson:
0 210 ,!
)(
... , , , x x
e x pk
Observa que si p es pequeña, el éxito es un “suceso raro”.
• Se utiliza para modelar datos discretos
• Se aproxima a la binomial cuando p es igual o menor a 0.1, y el tamaño
de muestra es grande (n > 16) por tanto np > 1.6
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Características de la distribución de Poisson
= 0.5
= 6
1 2 3 4 5
X
2 4 6 8 10
X
Media
Desviación estándar
E X ( )
0.2.4.6
0
P(X)
0.2.4
.6
0
P(X)
Nota: el máximo de la distribución
se encuentra en x
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Distribución de Poisson para varios valores de .
La distribución de Poisson se obtiene como aproximación de
una distribución binomial con la misma media, para ‘n grande’
(n > 30) y ‘p pequeño’ (p < 0,1). Queda caracterizada por un
único parámetro μ (que es a su vez su media y varianza).
µ = n p =
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Si la probabilidad de fabricar un televisor defectuoso es p = 0.01, ¿cuál es la probabilidad de que en un lote de 100televisores contenga más de 2 televisores defectuosos?
El suceso complementario A
c
: No más de 2 televisoresdefectuosos puede aproximarse con una distribución de
Poisson con = np = 1, sumando p(0) + p(1) + p(2).
9197.0)11()(2
11 e A P c ,....)1,0( !
μ)( μ
x
xe x
x p
La distribución binomial nos daría el resultado exacto:
9206.0
100
1
100
99
2
100
100
1
100
99
1
100
100
99
0
100)(
29899100
c AP
),....1,0( )( n xq p x
n x p xn x
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Un proceso poissoniano es aquél compuesto de eventos
discretos que son independientes en el espacio y/o en el
tiempo. Por ejemplo la llegada de fotones a un detector.
Si el número de eventos esperados, el número medio de
eventos en un intervalo de extensión h es m. Por ejemplo
el detector nos informa de la llegada en promedio de 20
fotones cada 5 segundos.
Entonces λ = h/ m, será la tasa de eventos por unidad de
h. En nuestro caso 4 fotones por segundo.
La probabilidad de que ocurran x eventos en el intervalo h vendrá dada por la distribución de Poisson. En nuestro
ejemplo la probabilidad de que lleguen x fotones en 5
segundos.
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La señal promedio recibida en un telescopio de una fuenteceleste es de 10 fotones por segundo. Calcular la probabilidad derecibir 7 fotones en un segundo dado.
P(7) = 107
e−10
/ 7! = 0.09, es decir 9%Parece muy baja. Comparemos con el valor de máximaprobabilidad que ocurrirá para x = 10:
μ = 10 P(10)=1010 x e−10 / 10! = 0.125, es decir 12.5%
Las probabilidades poissonianas para un número de eventosdado, son siempre pequeñas, incluso en el máximo de ladistribución de probabilidad.
,....)1,0( !
μ)( μ
x
xe x
x pUna distribución de Poissoncon μ = 10.
Si di t 2 h i t j ál
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Si en promedio, entran 2 coches por minuto en un garaje, ¿cuáles la probabilidad de que durante un minuto entren 4 o máscoches?
Si asumimos que un minuto puede dividirse en muchos
intervalos cortos de tiempo independientes y que la probabilidad
de que un coche entre en uno de esos intervalos es p – que para
un intervalo pequeño será también pequeño –
podemosaproximar la distribución a una Poisson con = np = 2.
y la respuesta es 1 – 0.857 = 0.143
El suceso complementario “entran 3 coches o menos” tiene
probabilidad:857.0)()3()2()1()0()(
!32
!22
!12
!022 3210 e p p p p A P c
,....)1,0(
!
μ)( μ
x
xe x
x p
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Distribución hipergeométrica
Se aplica cuando n > 0.1N
El muestreo se hace sin reemplazo
P(x,N,n,D) es la probabilidad de exactamente x éxitos
en una muestra de n elementos tomados de una
población de tamaño N que contiene D éxitos. Lafunción de densidad de distribución hipergeométrica:
N
n
D N xn
D x
C
C C x P
)(
)!(!
!
xn x
nC n x
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Distribución Hipergeométrica
La media y la varianza de la distribución hipergeométrica
son:
N
nD
11
2
N
n N
N
D
N
nD
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