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Universidad Diego Portales CALCULO I

1

Unidad 3

Límites y continuidad

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2

Los dos problemas fundamentales

Una vista preliminar¿Qué es el cálculo?

El área del conocimiento que llamamos “Cálculo” gira en torno a dos problemas geométricos fundamentales que las personas han estudiado desde hace más de 2000 años. Cada problema está relacionado con la gráfica y = f(x) de una función dada.

El primer problema es el de la tangente: Dado un punto P(x, f(x)) sobre la curva y = f(x), ¿cómo calcular la pendiente de la recta tangente en P?

P(x, f(x))

y = f(x)

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3

El problema de la tangente es un problema geométrico, pero su respuesta (en la forma de derivadas) es la clave para la solución de diversos problemas de aplicación en muchas áreas científicas y técnicas.

El segundo problema es el del área: Si f(x) ≥ 0 para x en el intervalo [a,b], ¿cómo calcular el área A de la región plana que está bajo la curva y = f(x) y sobre este intervalo? a b

y = f(x)

A

En el curso Calculo II aprenderemos que el área A es la integraldefinida en [a, b] de la función f.El primer problema lo resolveremos con el concepto de derivada pero previo a eso necesitamos estudiar un concepto fundamental, el de la convergencia o del límite de una función.

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4

El límite de una función en un cierto numero c describe lo que le sucede a esa función a medida que la variable x se aproxima a c.

El concepto de límite

Suponga que se desea conocer qué le sucede a la función f dela figura, a medida que x se acerca a 1.

1x2xx)x(f

2

−−+

=

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5

x se aproxima a 1 x se aproxima a 1por la izquierda por la derecha

x 0,8 0,9 0,95 0,99 0,999 1 1,001 1,01 1,05 1,1f(x) 2,8 2,9 2,95 2,99 2,999 3,001 3,01 3,05 3,1

“El límite de f(x), a medida que x tiende a 1 es igual a 3”

3)x(flim1x

=→

Aunque f no está definida en x = 1, la situación puede resolverse calculando f(x) para valores de x que se acercan cada vez más a 1 por la izquierda y por la derecha.

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6

L)x(flimcx

=→

Definición: Se escribe

y se dice que “el límite de f(x) es igual a L cuando x tiende a c” si podemos acercar arbitrariamente los valores de f(x) a L, aproximando x a “c” pero sin igualar a “c”.

Tres funciones para las que L)x(flimcx

=→

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7

Dos funciones para las que no existe)x(flimcx →

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8

Conforme t tiende a cero, las imágenes de la función se acercana 1/6 (aprox. 0,1666).

Ejercicio: Determine . Grafique la función involucrada en la calculadora utilizando distintas ventanas de visualización. ¿Qué puede observar?.

t 2

2

0

39lim

t

t

t

−+

→- 1,0 0.16228 - 0,5 0.16553 -0,1 0.16662 -0,05 0.16666 -0,01 0.16667 +0,01 0.16667 +0,05 0.16666 +0,1 0.16662 +0,5 0.16553 +1,0 0.16228

2

2

0t t39tlim −+

→

2

2

t39t)t(f −+

=

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9

Ejercicio: Grafique la función y = sen(π/x) en la ventana [-2, 2] x [-1.5, 1.5] y luego estime si existe el límite:

xsenlim

0x

π→

Ejercicio: Grafique la función y = x sen(π/x) en la ventana [-2, 2] x [-1.5, 1.5] y luego estime si existe el límite:

xsenxlim

0x

π→

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10

Revisando el concepto de límiteSi f es una función definida en un intervalo abierto que contiene al número c, excepto quizás a “c” mismo, se dice que el límite de f(x) es L, cuando x tiende a “c” si podemos acercar arbitrariamente a L los valores de f(x) aproximando x lo suficiente a “c”. Esto se expresa con más precisión así:

Definición: que tal 0 0, L)x(flim

cx>δ∃>ε∀⇔=

→δ<<ε< a- x0 que siempre L-f(x)

Teorema de unicidad: Si existe, entonces este es único. )x(flimcx→

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11

Límite lateral derecho

El límite lateral derecho de f(x) cuando x tiende a “c” ( o límite de f(x) cuando x tiende a “c” por la derecha) es igual a L si podemos acercar arbitrariamente a L los valores de f(x) aproximando x losuficiente a “c”, con x mayor que “c”.

El límite lateral izquierdo de f(x) cuando x tiende a “c” ( o límite de f(x) cuando x tiende a “c” por la izquierda) es igual a L si podemos acercar arbitrariamente a L los valores de f(x) aproximando x lo suficiente a “c”, con x menor que “c”.

Límite lateral izquierdo L)x(flimcx

=−→

Límites laterales

L)x(flimcx

=+→

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12

Ejemplo: Considere la función f definida por

5)1x2(lim)x(flim2x2x

=+=++ →→

3)x1(lim)x(flim 2

2x2x−=−=

−− →→

≥+<−=

2xsi1x22xsix1)x(f

2

¿Existe el límite de f en x = 2?

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13

Ejercicio: Muestre que los siguientes límites no existen

Teorema:L)x(flim

cx=

→)x(flim L )x(flim

cxcx −+ →→==si y sólo si

2x2x

lim2x −

−

→]x[ lim

1x→

Ejercicio: Determine el o los valores de a de modo que el siguiente límite exista.

axaaxx

lim22

ax −−−−

→

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14

El cálculo de límitesPara calcular límites no siempre es posible disponer del gráficode la función. Por esta razón, es conveniente saber determinar el límite de una función mediante procedimientos algebraicos. Para esto es necesario conocer algunos límites básicos y el “algebra de límites”.

cxlim y IRk , kklimcxcx

=∈=→→

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15

Si k es una constante y existen los límitesentonces

)x(glimy)x(flimaxax →→

)x(glim)x(flim)]x(g)x(f[lim

)x(flimk)]x(fk[lim

)x(glim)x(flim)]x(g)x(f[lim

axaxax

axax

axaxax

→→→

→→

→→→

⋅=⋅

⋅=⋅

+=+

0)x(glim que siempre , )x(glim

)x(flim

)x(g)x(flim

axax

axax

≠=→

→

→→

Además,

y nax

nax

)]x(flim[)]x(f[lim→→

=

Álgebra de límites

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16

Ejercicio: Calcule, si es que existen, los siguientes límites.

33

2

3x

2

4x

0y

2

3x

axax)1a(xlim d)

4x4x16x

lim )c

y1

y1y1lim b)

3x12xxlim )a

−

++−−

−+−

−

+++−

−→→

→−→

<++

−

>+

++

=

>−=<

=

−→

−→

-4 xsi12x7x

16x

-4 xsi4x

8x6x

f(x) si )x(flim )f

3xsi3x33xsi103xsix2

h(x) si )x(hlim )e

2

2

2

4x

3x

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17

02x

1lim)2x(lim2x

1)2x(lim2x2xlim

12x2xlim

2x2x2x2x

2x

=−

−=−

−=−−

=−−

→→→→

→

Ejercicio: Demuestre usando el álgebra de límites quen

n2

21oax

xa . . . . xaxaap(x) si )a(p)x(plim ++++==→

Ejercicio: Analice por qué se produce la siguiente contradicción

Ejercicio: Calcule, si es que existen, los siguientes límites.

h)x(sen)hx(senlim

2x2xlim

0h2x

−+−−

→→

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18

V o F Ejercicio: Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique

)x(glimy)x(flimaxax →→

1. Si los límites no existen,

entonces no existe.)x)(gf(limax

+→

3. Los siguientes límites no existen: )x1x(limy

1x1x

lim0x1x

+−−

→→

2. Si existe y no existe, entonces

no existe

)x(flimax→

)x(glimax→

)x)(gf(limax

+→

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19

Ejercicio: Grafique en la calculadora

Observe que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x), para todo x.

¿Puede determinar gráficamente ?

2x122 xh(x) y )(senxg(x) ,x)x(f ==−=

)x(glim0x→

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20

Teorema: Si f(x) ≤ g(x) para toda x en un intervalo abierto que contiene a c (excepto quizás a c) y existen los límites de f y g cuando x tiende a “c”, entonces

Teorema de Sandwich: Si f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para toda x en un intervalo abierto que contiene a c (excepto quizás a c) y

)x(glim)x(flimcxcx →→

≤

L)x(hlim)x(flimcxcx

==→→

L)x(glimcx

=→

entonces .

El teorema anterior nos permite afirmar que

puesto que 0x ,x)(senxx 2x122 ≠∀≤≤−

0 )(senxlim x12

0x=

→

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21

Ejercicio: Demuestre, utilizando el teorema del sandwich y gráficamente, que 1

x xsenlim y IR,a 0, )(senx lim

0xxa

0x=∈=

→→

1x

xsenlim0x

=→

1 xsen

xlim0x

=→

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22

Teorema de Sustitución

El ejercicio anterior y el siguiente teorema de sustitución nos permitirá calcular una gran cantidad de límites.

Sean A, B IR y f: A IR, g: B IR funciones

tales que . Supongamos que y que

existe Ic un intervalo abierto en torno a c tal que f(x) b para

todo x Ic – {c}. Si entonces

Es decir,

b)x(flimcx

=→

L)u(glimbu

=→

. L))x(f(glimcx

=→

⊆

B)A(f ⊆

≠

∈

L)u(glim))x(f(glimbucx

==→→

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23

Ejercicio: Calcule, si existen, los siguientes límites.

xsenxxtanlim 8)

2x)xtan(lim 7)

xsen4x32x- xsenlim 6)

1x)1x(senlim 5)

x)-(xsenlim )4

3t sent3lim 3)

xxsenlim 2)

x3x2 senlim )1

2

0x2x

0x

2

1x

x0t

2

0x0x

→→

→→

π→→

→→

−π

+−−

π−π

π−

−π−

−π−π

ππ →→

→→

xcos2xcotxlim 12)

x3xcos21lim 11)

)uu(2u sen 3u senlim 10)

)tcos()2t()t(senlim 9)

23 xx

230u2t

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24

Ejercicio: Calcule, si existen, los siguientes límites.

22x312xlim 8)

2x4xlim 7)

x2 x8lim 6)

1u1ulim 5)

4t8tlim )4

1x1xlim 3)

2 3x

1xlim 2) 49x

3x2lim )1

4x416x

38x4

3

1u

364t

3

1x

21x27x

−−−+

−

−

−

−

−

−

−

−−−

−+

−

−

−−

→→

→→

→→

→→

Ejercicio: Determine si existe para f la función,)x(flim4x→

<

>−

−−

=4 xsi

8x3

4 xsi4x

x8xf(x)

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25

Límites infinitos

significa que para cada número positivo M, f(x) > M, cuando x está suficientemente cerca de c.

∞=→

)x(flimcx

significa que para cada número negativo N, f(x) < N, cuando x está suficientemente cerca de c.

−∞=→

)x(flimcx

Sea f una función definida en un intervalo abierto en torno al numero c que, quizás, no contiene a c mismo.

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26

∞=→ 20x x

10lim −∞=+→

)3xln(5lim0x

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27

−∞=−∞=−∞=

∞=∞=∞=

+

+

→→→

→→→

)(lim )(lim )(lim

)(lim )(lim )(lim

axax

axax

-

-

xfxfxf

xfxfxf

ax

ax

Ejemplo:La recta x=2 es una asíntota vertical de la función

1)2(

1)( +−

=x

xf

Asíntotas verticalesLa recta x = a se llama asíntota vertical de la curva y = f(x) si se cumple al menos una de las siguientes afirmaciones:

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28

Ejercicio: Determine, si ellas existen, todas las asíntotas verticales de las funciones siguientes:

Ejercicio: Analice la veracidad de las siguientes afirmaciones. Justifique en cada caso si son verdaderas o falsas.

1. La gráfica de y = tan(x) tiene una infinidad de asíntotas verticales.

2. La gráfica de un cuociente siempre tiene una asíntota vertical x = a en los puntos “a” que anulan el denominador.

( )

( ))0,)()(

1

)1()()(3

9)(

33

22

2

22

2

=∈∈−

−==

−

−==

+

−=

−+ aIRaIRaax

axxkxsen

xxj

x

xsenxhxxxg

xx

xxf

o para (analizar

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29

Límites al Infinito

¿Qué ocurre con la gráfica de la función f cuando x tiende a infinito?

Sea f una función definida en un intervalo (a,∞); entonces

significa que los valores de f(x) se pueden acercar arbitrariamente a L si x se incrementa lo suficiente.

Lxflimx

=∞→

)(

1)x(flim

1x1x)x(f

x

2

2

=

+

−=

∞→

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30

L)x(flim o L)x(flim- x x

==∞→∞→

Si f es una función definida en un intervalo (-∞, a), entonces

indica que los valores de f(x) se pueden acercar arbitrariamentea L haciendo que x sea lo bastante grande y negativa.

Asíntotas horizontalesLa recta y = L se llama asíntota horizontalde la curva y = f(x) si se cumple cualquiera de las dos condiciones siguientes:

Lxflimx

=∞→

)(-

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31

Por ejemplo, la recta y = 1 es una asíntota horizontal de la curva

Ejercicio: Determine las asíntotas horizontales y verticales de la gráfica de la función

5x31x2)x(f

2

−+

=

1x1xy 2

2

+

−=

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32

El álgebra de límites vista anteriormente también es válida paralos límites al infinito si se reemplaza

∞→∞→→ - con x o con x ax

Teorema: Si r >0 es un número racional, entonces

Si r >0 es un número racional tal que xr está definido para toda x, entonces

0x1lim rx

=∞→

0x1lim rx

=−∞→

Ejercicio: Grafique en la calculadora la función

y evalué .)x(flimx ∞→

1x23x5x6)x(f 2

2

−

−+=

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33

Problema: Un tanque contiene 5000 litros de agua pura. Se le bombea una salmuera con 30 grs de sal por litro, a una tasa de 25 lt/min. La concentración de sal, pasados t minutos, en gramos por litro es . ¿Qué sucede con la concentración cuando

?

t200t30)t(C+

=

∞→t

Ejercicio: Calcule, si existen, los siguientes límites.

−−+

−++

++

∞→

∞→∞→

1x1x c)

x1x3x b) x4x41 )a

22

x

2

x

2

x

lim

limlim

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34

Algunos límites especiales

( ) e x1lim 8) exk1lim )7

e x11lim 6) 1a 0,a ),aln(

x1alim )5

1x

1elim) 4 IR k, 0x

)kx(senlim) 3

IR a, 1alim) 2 IR k,k klim) 1

x1

0xk

x

x

x

x

x

0x

x

0xx

xxx

=+=

+

=

+≠>=

−

=−

∈=

∈=∈=

→∞→

∞→→

→∞→

+

∞→∞→

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35

Ejercicio: Calcule los siguientes límites y verifique con la calculadora.

x

x

x

x x21lim) 2

x311lim) 1

+

−

∞→∞→

4 4x

x

x

x

xx

5x

x3lim )6 4x53x2lim) 5

1x1xlim) 4

x4xsenlim )3

+

+−

+−

∞→∞→

∞→∞→

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36

Algunas curvas no tienen ni asíntotas horizontales ni verticales pero sí tienen asíntotas oblicuas.

Si , la recta y = mx + b se llama asíntota oblicua, porque la distancia vertical entre la curva y = f(x) y la recta y = mx + b tiende a 0.

En las funciones racionales se tienen asíntotas inclinadas cuando el grado del numerador es el del denominador más uno.

Asíntotas Oblicuas

( ) 0)bmx()x(flimx

=+−∞→

¿Cómo determinar una asíntota oblicua?

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37

Sea y ; entonces la recta

y = mx + b es una asíntota oblicua (derecha) del gráfico de

la función y = f(x).

( )mx)x(flimbx

−=∞→x

)x(flimmx ∞→

=

La recta y = mx + b es una asíntota oblicua (izquierda) de la

función y = f(x), donde y .x

)x(flimmx −∞→

= ( )mx)x(flimbx

−=−∞→

Ejemplo: Determinemos las asíntotas oblicuas de 1x

x)x(f 2

3

+=

, 1)1x(x

xlimm 2

3

x=

+=

∞→0

1xxlimx

1xxlimb 2x2

3

x=

+

−=

−

+=

∞→∞→

Por lo tanto, la recta y = x es la asíntota oblicua del gráfico de f.

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38

Representación gráfica:

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39

10x3xxy

1x4xy

4xxy 2

3

2

2

−+=

−

+=

+=

2x3x4

9xy 1x

xy xx1xy

24 43

3

++

−=

+=

+

+=

Ejercicio: Encuentre todas las asíntotas posibles de cada curva. Compruebe su respuesta graficando con la calculadora.

1x

1x y x

x1 y 1x1xy

2

2

3

4

+

+=

−=

−

+=

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40

ContinuidadUna función f es continua en el número a si

)()(lim afxfax

=→

La definición anterior requiere, implícitamente tres cosas:

1. Que f(a) esté definida; esto es, que a esté en el dominio de f.

2. Que exista el límite , de modo que f debe estar

definida en un intervalo abierto que contenga a “a”.

3. Que

Si f no es continua en a se dice que es discontinua en a o

que tiene una discontinuidad en a

)(xflimax→

)()(lim afxfax

=→

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41

¿Cómo se ven gráficamenteuna función continua y

una función discontinua?

Tres funciones continuas

Tres funciones discontinuas

a) f(c ) no está definida b) No existe c) )x(flimcx→

)c(f)x(flimcx

≠→

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42

La gráfica de una función continua sepuede trazar sin despegar el lápiz del papel.

La gráfica de una función discontinuatiene algún salto o vacío.

Ejercicio: Analizar la continuidad de las funciones:

≥<+

=+−

==1 xsix -21 xsi 1x

h(x) 11xg(x) 1)(

2

xxxf

a) Continua para x ≠ 0 b) Continua para x ≠ -1 c) Continua para x ≠ 1

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43

Una función f es continua por la derecha en un número a si

)a(f)x(flimax

=+→

y f es continua por la izquierda en a si )a(f)x(flimax

=−→

Ejemplo: En cada entero n, la función f(x) = [x] es continua por la derecha, pero discontinua por la izquierda.

1n]x[lim)x(flim

)n(fn]x[lim)x(flim

nxnx

nxnx

−==

===

−−

++

→→

→→

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44

Ejercicio: Sea f la función dada por

1. Determine el dominio de la función y grafique la función en la calculadora.

2. Estudie la gráfica de f en torno de x = 3. 3. ¿Cómo debemos definir a f en x = 3 para eliminar la

discontinuidad?4. Calcule el límite de f cuando x tiende a 3.5. Muestre que la función extendida g es continua en x = 3.

Grafique en la calculadora

967)( 2

3

−−−

=x

xxxf

3 x 10/3

3 x 9

67)( 2

3

=

≠−−−

= xxx

xg

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45

Discontinuidades remediables e irremediables

La figura muestra distintos tipos de discontinuidad. La primera gráfica muestra una discontinuidad infinita. La segunda muestra una discontinuidad de salto. En ambos casos el limite no existe,no hay forma de mejorar la situación para hacer la función continua y se dicen discontinuidades irremediables. La tercera discontinuidad es removible o remediable pues el límite L de la función existe en el punto de discontinuidad. Podemos remediar la discontinuidad redefiniendo f(c) como el valor L del límite.

a) f(c ) no está definida b) No existe c) )x(flimcx →

)c(f)x(flimcx

≠→

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46

Ejercicio: Estudie la continuidad de la función en los puntos p indicados. Si existe discontinuidad remediable redefina de modo que la función f sea continua en p.

03

3 x27

963 x 0

3 x 39x

f(x)

0331

33

1cos3

0py 3p 33)(

3

2

2

==

<−

+−

=

>−−

=

==

=

≠

=

==−−

=

y p p

xxx

x

y p p x

xx-

)(x-f(x)

xxxf

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47

Una función f es continua en un intervalo si es continua en todo número del intervalo. En el extremo del intervalo se entiende por continua cuando es continua por la derecha o por la izquierda.

Ejercicio: Demuestre que la función es continua en el intervalo [-4, 4].

216)( xxxf −=

Para comprobar la continuidad de una funciónmuchas veces es más cómodo aplicar

el siguiente teorema, que muestra cómoformar funciones continuas complicadas

a partir de otras más simples

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48

Teorema: Si f y g son continuas en el punto a y k es una constante real, entonces las siguientes funciones también son continuas en a:1) f+g 2) f-g 3) kf 4) fg 5) f/g si g(a) ≠ 0

Observaciones:a) Cada una de las cinco partes de este teorema es

consecuencia del álgebra de límites.b) Como consecuencia del teorema y de la definición anterior,

si f y g son continuas en un intervalo, también lo son las funciones f+g, f-g, kf, fg y f/g (si g nunca es cero).

Ejercicio: Utilizando álgebra de límites pruebe que f(x)= x2+senxes continua en IR.

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49

Teorema: a) Todo polinomio es continuo en IR.b) Toda función racional es continua donde está definida; o sea,

es continua en su dominio.

Teorema: Si n es un entero positivo par, entonces es continua en [0,∞[. Si n es un entero positivo impar, entonces f es continua en IR.

Ejercicio: ¿En qué intervalos es continua la función ?

1x2x4x)x(f 2

3

−++=

n x)x(f =

Ejercicio: ¿En qué intervalos es continua la función ?

2x1xx)x(f

−+

+=

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50

¿Podemos simplemente moverel límite dentro del radical?

Teorema: Si f es continua en b y , entonces

Una consecuencia del último teorema es que, efectivamente, se puede mover el límite dentro del radical. Más concretamente,

nax

nax

xglimxglim )()(→→

=

3 2

5-

3 2

5 3939 +=+

→−→xlimxlim

xxPor ejemplo,

b)x(glimax

=→

))x(glim(f)b(f))x(g(flimaxax →→

==

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51

Teorema: Si g es continua en a y f es continua en g(a), entonces la compuesta f o g es continua en a.

Ejercicio: Demuestre el teorema precedente y utilícelo para mostrar que las siguientes funciones son continuas en IR.

f(x) = sen x2, g(x) = cos (3x5 + 7) y h(x) = ex + sen x

Ejercicio: Estudie la continuidad de la función f: ]-∞, 1[ IR definida por

<<

=<

=

1x0sixsen

x0xsi00xsi)cos(x

)x(f

2

3

x12

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Ejercicio: Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique su respuesta.

Ejercicio: Hallar los valores de c y d para los que h es continua en IR

1. La función f(x) = [2x] es discontinua sólo en los enteros.

2. Si f+g es continua en a y f es continua en a entonces g es continua en a.

3. Si f y g son discontinuas en a entonces f+g es discontinua en a.

V o F

>≤≤+

<=

2xsix42x1sidcx

1xsix2)x(f 2

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Teorema del valor intermedio: Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y L es cualquier número estrictamente entre f(a) y f(b), entonces existe un número c en (a, b) tal que f( c ) = L.

La continuidad de f en el intervalo [a, b] juega un papel esencial en el teorema. Si f fuese discontinua aún en un único punto del intervalo, no podría darse la conclusión del teorema.

f(c) = L para algúnvalor c entre a y b

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Puede haber más de un valor c tal que f(c) = L; por ejemplo,

L

c c’ c’’

En este caso, f(c) = f(c’) = f(c’’) = L

Ejercicio: Use el teorema del valor intermedio para demostrar que hay un número positivo c tal que c2 = 2.

Observe que el ejercicio anterior demuestra la existencia de . 2

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Ejercicio: ¿Existe algún número real exactamente una unidad menor que su cubo?

El problema equivale a demostrarla existencia de un real que

satisfaga cierta ecuación

Corolario: Si f es continua en el intervalo [a,b] y si f(a) y f(b) tienen signos opuestos (uno positivo y el otro negativo), entonces f( c) = 0 para al menos un número c entre a y b.

a b

f(b)

f(a)

cc’

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Ejercicio: Demuestre que existe una raíz de la ecuación en el intervalo dado y luego resuelva gráficamente usando calculadora.

Ejercicio: Un punto fijo de una función f es un número c en su dominio tal que f(c )= c.

a) Trace la gráfica de una función continua cuyo dominio sea [0, 1]y cuyo recorrido también sea [0, 1]. Localice un punto fijo de f.

b) Intente trazar la gráfica de una función continua cuyo dominio yrecorrido sean [0, 1], que no tenga un punto fijo. ¿cuál es el obstáculo?

c) Use el teorema del valor intermedio para demostrar que toda función continua cuyo dominio y recorrido sean [0, 1] debe tenerun punto fijo.

3) (2, , 03xx2x 45 =−−−

2) (1, , 1xx2 +=

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a) Sea con f(-1) = -0,5 y f(2) = 1 . Por teorema del valor intermedio , existe al menos un valor c ∈ [-1,2] talque f(x)=0.

a) Si , entonces existe un valor c ∈ IR tal que g(c) = -1.

b) Sea

11)(−

=x

xf

22)( 235 ++−= xxxxg

≤≤−

<≤=

42

03)( 2 xx

xxf

0

1-

El teorema del valor intermedio garantiza la existencia de un punto c ∈[-1,4] tal que f(c) = 0.

V o FEjercicio:Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique