un algoritmo luciÉrnaga discreto … · en un dominio de diseño mixto continuo / discreto. ... el...
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Sociedad Mexicana de Ingeniería EstructuralSociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
UN ALGORITMO LUCIÉRNAGA DISCRETO APLICADO A LA OPTIMIZACIÓN ESTRUCTURAL
DE LA ARMADURA DE UN PUENTE
Nayar Cuitláhuac Gutiérrez Astudillo*1, David Vargas del Rio
1, Gil Humberto Ochoa González
1 y
Luis Raúl Sánchez Sandoval2
RESUMEN
En este artículo se explora la aplicación de un algoritmo de optimización de nueva generación. Estos algoritmos se
basan en técnicas heurísticas que simulan comportamientos en la naturaleza y permiten búsquedas en espacios
grandes con infinidad de soluciones posibles. Por ejemplo el algoritmo luciérnaga simula como estos insectos
emplean la luz de sus cuerpos para atraer a sus congéneres con fines reproductivos o de alimentación. Este enfoque
permite con algunas luciérnagas encontrar tanto óptimos locales como globales de una manera rápida y efectiva. Se
presenta aquí una versión modificada del algoritmo luciérnaga (AL) aplicado a la optimización de armaduras y su
desempeño se compara contra los algoritmos: Big-Bang Big-Crush, Programación Genética y el Algoritmo Genético
de Cruzamiento Natural. Se encontró que el AL es rápido y efectivo encontrando topologías óptimas junto con su
geometría en casos de estudio como el problema de la armadura de 10 barras y la armadura de 70 m de claro para un
puente. En la optimización completa que incluye geometría, topología y secciones transversales, el AL probó ser
efectivo en una variante compleja del caso de la armadura del puente. Las contribuciones en esta investigación
fueron establecer los límites iniciales, parámetros y operaciones especiales para ligar la velocidad de convergencia y
calidad de la solución en la corrida en una variante discreta del AL. Se buscó la forma de generar un mínimo de
ajustes iniciales en la corrida, sin embargo le queda al usuario definir el número de individuos y generaciones. Se
aplican operaciones particulares en las armaduras, como mover un nodo, generar una memoria de esfuerzos para
hacer cambios de secciones generalizados según la demanda de cargas.
ABSTRACT
In this paper we explore the application of an optimization algorithm of new generation. These algorithms are based
on heuristics that simulate behavior in nature and allow the search large spaces with many possible solutions. For
example, the firefly algorithm simulates how these insects use light from their bodies to attract mates for breeding or
feeding purposes. This approach allows some fireflies find both local and global optimum quickly and effectively.
Presented here is a modified version of Firefly algorithm (FA) applied to the optimization of truss structures and its
performance is compared against algorithms: Big Bang-Big Crush, Genetic Programming and Genetic Algorithm
with Natural Crossing. We found that the AL is quick and effective finding optimal topologies along with their
1 Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Occidente, Departamento del Habitad y Desarrollo Urbano. Tlaquepaque,
Jalisco, México, Periférico Sur Manuel Gómez Morín # 8585 cp. 45604, Tlaquepaque, Jalisco, México. Tel: +52(33)36693434 ext.
3199. *Autor responsable: nayar@iteso.mx
2 Instituto Tecnológico de Tepic, Departamento de Ciencias de la Tierra, Tepic, Nayarit, México
XIX Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Puerto Vallarta, Jalisco, 2014
geometry as case studies the problem of the 10 bars truss structure and the 70 m span bridge truss structure. In full
optimization that includes geometry, topology and cross sections, the AL proved to be effective in a complex case
variant of bridge truss. The contributions in this research were to establish the initial boundaries, parameters and
special operations to link the convergence speed and solution quality on the run in a discrete variant of the AL. How
to generate a minimum of initial settings on the run was sought, however it was left to the user to define the number
of individuals and generations. Particular operations are applied to trusses, such as moving a node; generate a
memory of stresses to make widespread changes sections on demand loads.
1. INTRODUCCIÓN
1.1 ANTECEDENTES
El algoritmo luciérnaga (AL) surgió como una herramienta confiable para encontrar soluciones de diseño en
problemas de gran escala en ingeniería. El AL es un enfoque de optimización que imita el uso de la bioluminiscencia
de las luciérnagas para la comunicación, la caza y el apareamiento. Se puede encontrar en la literatura que el AL ha
sido probado en problemas de optimización estructural con variables mixtas continuas / discretas que generan
dominios de búsqueda de gran escala (Hossein et al, 2011) y los ALs encuentran de manera eficiente soluciones
óptimas en varios problemas. Es un hecho de que no hay ninguna metaheurística que garantiza encontrar el óptimo
global, sin embargo, en comparación con otras metaheurísticas como Optimización de cumulo de partículas (PSO)
(Kennedy y Ebarhart, 1995), Algoritmos Genéticos (GA) (Goldberg, 1989), Recocido simulado (SA) (Kirkpatrick et
al, 1983) y Búsqueda armónica (AS) (Geem et al, 2001); el AL resultó ser más eficiente en acercarse al óptimo
global.
En esta investigación se comparó el desempeño de un AL contra el Big Bang-Big Crunch (Camp, 2007), la
Programación Genética (GP) (Yang y Soh, 2002) y Natural-Crossover Algoritmo Genético (NCGA) (Gutiérrez et al,
2013) en el rendimiento de un caso de referencia de optimización estructural de un puente, que tiene varias variantes
en un dominio de diseño mixto continuo / discreto. Este problema ha demostrado ser difícil ya que se han encontrado
las mejores soluciones de las versiones más simples y más difícil después de 100.000 y 350.000 iteraciones,
respectivamente.
1.2 ENFOQUE Y PROBLEMÁTICA
El problema de la optimización de la armadura de un puente fue propuesto originalmente con dos variantes en la
altura del espacio de búsqueda. Las variables continuas son las posibles coordenadas nodales y la geometría,
mientras que las variables discretas son la topología y las secciones transversales. Los resultados de estos problemas
se han mejorado por GP y Estrategias evolutivas (ES) enfoques que también introdujeron una simetría topológica
para simplificar los cálculos. Otra variación se hizo, en un entorno GA, cambiando las condiciones de apoyo.
Finalmente, los enfoques NCGA y AL se utilizan para resolver las variantes y sus combinaciones en menos
iteraciones y con soluciones más ligeras que los resultados de la literatura. Es importante tener en cuenta que ninguna
de estas variantes se puede considerar cómo las soluciones globales óptimas.
El NCGA es una metodología de optimización que combina cruzamientos discretos y continuos utilizados con una
representación de adyacencia que realiza un seguimiento de los esfuerzos que se producen durante la fase de carga.
Los complementos del enfoque NCGA son operadores genéticos especiales que generan cambios estructurales
orientados. El AL utiliza las operaciones especiales del NCGA así como su representación de adyacencia y ambos
requieren algunos ajustes de parámetros comunes (población y generaciones por ejemplo) cuando se utiliza en todas
las variantes del puente.
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2. ALGORITMO LUCIERNAGA
2.1 PROCEDIMIENTO GENERAL
Las luciérnagas tienen una forma particular de comunicación que consiste en el uso de la luz para el apareamiento y
la caza, entre otros usos que luciérnaga pueden dar a la luz intermitente (Yang, 2008). Sin embargo, debido a la
posición se circunstancia la efectividad de la comunicación ya que la luz obedece a la ley del cuadrado inverso de la
distancia. Es decir que la intensidad de la luz I disminuye a medida que la distancia r de la fuente aumenta en
términos de I = Is / r2; donde Is es la intensidad de la fuente.
Si utilizamos un modelo abstracto de la conducta de la luciérnaga que se puede derivar en tres reglas principales para
describirlo:
1. Todas las luciérnagas se sentirían atraídas por la luz, independientemente de su sexo.
2. Lo atractivo es proporcional al brillo de la luciérnaga más cercana, por tanto, las luciérnagas menos
brillantes se moverán hacia las más brillantes. Si no hay una más brillante que todas las luciérnagas estas se
mueven al azar.
3. El brillo de la luciérnaga es determinado por su capacidad para adaptarse a su paisaje circundante.
En términos de un algoritmo de optimización la luciérnaga representa una solución en un procedimiento de
minimización o maximización. El paisaje se define por la función objetivo y sus limitaciones. La Is es la medida de
la adaptación al paisaje. La distancia r es la distancia cartesiana de las diferencias de variables de entre dos
soluciones.
El algoritmo de luciérnaga para la optimización estructural de armaduras (FFA-TSO) consistió en la reducción de la
masa de la estructura con el cumplimiento de los desplazamientos, las tensiones del material, esbeltez y limitaciones
longitudinales. El procedimiento general de optimización se presenta en el pseudo código en la Figura 1.
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Figura 1 Pseudo codigo del ffa-tso
• Inicio
– Función objetivo f(x)=min(Xi
)
• X1
, variables geométricas (span= 70
m, max-height= 10 m)
• X2
, variables secciones(30 W shapes
from W14x22 to W14x426 )
• X3
, material propiedades (: E=
2.039432x10
10
kg/m
2
, fy
= 2.537054
x10
7
kg/m
2
, ρ= 7851.03 kg/m
3
)
• X4
, variables topológicas (max node
number=3 0, max number of bars per
node=8 )
– Población inicial de luciérnagas generadas
aleatoriamente Xi
(i=1,2,…,n)
– Evaluación de la función objetivo (Is
)
– Definición de coeficiente de absorción de luz γ
– While (generation<Maxgeneration)
• for i=1:n all n fireflies
– for j=1:d loop over all d
dimensions
» if (Ij
>Ii
),
Mover
luciérnaga a j;
end if
» La atracción
varia según r
según la exp(- γ r)
» Evaluar
nuevas
soluciones y actualizar la Is
– end for j
• end for i
• Ordena las luciérnagas y encuentra el
mejor de la generación
– end while
– procesa resultados y visualiza
• end
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2.1.1 Representación
La matriz de adyacencia se utiliza generalmente como un medio para representar los vértices de un gráfico que son
adyacentes a otros vértices. Sid et al. (2007).Ellos utilizaron la matriz adyacente para la codificación de la
información estructural en la optimización continua. Utilizan un concepto de vecindad, que permite el uso de grupos
de nodos en lugar de un solo nodo. Esta vecindad de nodos se gestiona como una célula que determina cómo un nodo
está conectado en un espacio continuo y se utiliza para la configuración óptima de la célula en lugar de
configuraciones de nodos óptimos.
En la representación propuesta consideramos un enfoque en el que la matriz de adyacencia se divide en grupos de
nodos que comparten una propiedad común, además de estar en la misma vecindad. Este enfoque se denomina la
matriz de adyacencia modificada (MAM). Por lo tanto, para un problema de dos dimensiones, la MAM tiene N + 2
columnas y N filas, donde N es el número máximo de nodos permitidos en el problema. En los problemas resueltos
en este documento, la matriz de adyacencia se divide en 6 sub-matrices para separar los nodos fijos (m) de los nodos
de libre disposición o libres (n), con n = m + n (Figura 2).
Figura 2 Representación de la matriz en bloque de la matriz modificada de adyacencia
En la representación anterior, la matriz A tiene la referencia coordenadas de los nodos fijos, mientras que los nodos
libres hacen referencia en la matriz B. Al mismo tiempo, los miembros fijos conectados se indican en la matriz C,
mientras que el resto son designados en las matrices D y E, dependiendo de si corresponden a los nodos fijos o
libres. La matriz adyacente modificada tiene las siguientes propiedades
Elementos de la diagonal principal de las matrices C y E son iguales a cero.
Matrices C y E son simétricas.
Matriz D representa el enlace entre los nodos fijos y nodos libres.
Matriz E representa el enlace entre los nodos libres.
Los elementos no-cero en las matrices C, D o E representan nodos vinculados con un elemento estructural
barra.
El parámetro aij es el área de sección transversal del elemento correspondiente.
Con esta representación, el análisis estructural y las operaciones para la búsqueda de espacio se simplifican. La
simplificación se debe a la reunión de barras con características similares en sub-matrices de barras con longitudes
parecidas, secciones transversales y orden topológico. Las barras se reunieron en forma que tienen propiedades
mecánicas similares en fuerza o tensiones. La disposición sub-matriz contiene información para los nodos similares,
pero las barras pueden "naturalmente" organizarse de acuerdo con la tensión real. Por tanto, es posible mantener la
memoria de las configuraciones de dominio últimos en una forma implícita-explícita. Está implícito debido a que la
representación elegida nos permite poner en práctica los conocimientos de dominio durante toda la corrida del
algoritmo porque divide el problema principal en sub-problemas dentro de su representación. Es explícito debido a
que se puede inicializar de acuerdo con cualquier solución deseada y cualquier operación genética o penalización se
puedan implementar sobre él. La sección de evaluación explica cómo se añade una memoria a la MAM.
ED
D C
B
AT
))(())((
))(())((
)()(
)()(
)()(
)()(
,
,(
,
,
nmnmmnm
nmmmm
mnmnm
mmm
nmmmm
nmm
mmm
m
nmnm
mm
mm
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
yx
yx
yx
yx
1
111
1
111
1
111
1
111
11
11
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2.1.2 Población inicial
La población inicial se genera "al azar". La generación de los individuos se basa en el llenado de las diagonales de
las sub-matrices de la codificación para generar rápidamente individuos sin formar una estructura de armadura con
mecanismo. Esta operación se lleva a cabo mediante el uso de las sub-matrices de la representación, que tienen las
siguientes propiedades
• Matriz C tiene el mismo tamaño para todos los individuos.
• Matriz C debe tener valores distintos de cero en su segunda diagonal principal. Para los diseños estudiados
en este documento, todos los demás valores en C son iguales a cero para evitar la superposición de las
barras. Esta matriz es estrictamente cuadrada (mxm) y simétrica.
• Matriz D no es ni estrictamente cuadrada ni simétrica (mxn). Diagonales de valor cero aparecen
comúnmente en su cuadrante superior derecho debido a la restricción longitud de la barra.
• Matriz E es estrictamente cuadrada y simétrica (nxn). Diagonales de valor cero aparecen comúnmente en
su cuadrante superior derecho debido a la restricción de longitud de la barra.
Su tendencia natural a formar conjuntos de diagonales implica que los operadores genéticos se orientan a trabajar con
tales diagonales. La primera propiedad expresada anteriormente nos permite simplificar las operaciones genéticas a
pesar de las topologías y tamaños de codificación de los individuos en la pareja son diferentes.
2.1.3 Evaluación
Los individuos son analizados por el método de elementos finitos; el uso de código completo para este análisis se
puede encontrar en (Ferreira, 2009). Este análisis produce el desplazamiento del nodo de la estructura de armadura y
los esfuerzos (tensión o compresión) en sus barras.
2.2 DISTANCIA CASOS, EL ATRACTIVO Y LÍMITE
2.2.1 Ajustes
El problema principal en la aplicación de la FFA-TSO fue determinar cómo definir una distancia r entre luciérnagas.
Las luciérnagas son definidas por sus coordenadas de nodo, el número de miembros y la sección transversal de cada
miembro. La definición se vuelve más complicada si se comparan 2 luciérnagas con diferente número de nodos y
miembros.
Cuando se obtiene la distancia con los individuos del mismo tamaño de la distancia se calcula como una distancia
cartesiana:
2
11 12 1 21 22 2
1
( , ,..., ) ( , ,..., )n
n n
i
r x x x x x x
(1)
Cuando la distancia tiene que ser obtenido en individuos de diferentes tamaños en un centro de gravedad Xi se
calcula entre dos luciérnagas utilizando las secciones transversales de las barras como la masa unida a los nodos:
1 1
/
(1,2)
n n
k k i i
i i
X x W W
k
(2)
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Entonces la distancia cartesiana es calculada entre los centros de gravedad.
3. MANIPULACIÓN DE RESTRICCIONES
De la evaluación, se derivó un conjunto de penalizaciones, que se aplican mediante la adición de masa a la masa total
de la estructura como un peso necesario para soportar las demandas estructurales. Se aplica este conjunto de
penalizaciones en una forma lineal, es decir, cuando se supera una restricción; el valor de la penalización se aplica en
la misma proporción que el valor de restricción es superada. Por ejemplo, si un individuo presenta un desplazamiento
de 140 mm en uno de sus nodos, que supera el desplazamiento permisible por un factor de dos, por lo que si el
individuo tiene una masa de 100 000 kg de la masa penalizado será de 200,000 kg.
En penalizaciones generales son aplicadas por las siguientes ecuaciones:
donde
pi = masa penalizado del individuo i-ésimo
wj = factor de penalización j
x = número de restricciones superadas,
Mi (Ai, Li, ri) = i-ésima masa individual en función de sus bares de secciones transversales, longitud y peso
volumétrico del material empleado,
ϕi = calificación final del individuo i-ésimo
Por lo tanto wj representa la cantidad de material que tiene que ser añadido a una barra o individuo para cumplir con
una restricción. Los factores obtenidos a partir de estos medios son una medida del desempeño estructural para las
condiciones de carga impuestas. Después de que todos los individuos se ponen a prueba se ordenan de acuerdo con
sus pesos penalizados del más ligero al más pesado.
El siguiente paso es añadir el valor de eficiencia de las secciones transversales de matriz de adyacencia del individuo.
Este valor es el recuerdo de cómo la barra se comportó durante la etapa de carga. Se obtiene para cada barra
individual y se añade a la codificación de barras, que en este caso es un número entero. El valor de eficiencia, dij, se
obtiene dividiendo la relación de tensión / fuerza por un gran número, 100.000 en este estudio, y se obtiene para cada
barra en el individuo. La matriz de adyacencia se puede definir como.
[G]=[aij]
donde G es la matriz de adyacencia y aij es el número entero que representa las secciones transversales: Entonces la
matriz de eficiencia se obtiene
1
* ( , , )
(1 )* ( , , )
x
i j i i i i
j
i i i i i i
p w M A L
p x M A L
(3)
(4)
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[Gm]=[aij+dij] (5)
donde Gm es la matriz de adyacencia con la memoria de los valores de la eficiencia y la dij son los valores de la
eficiencia. La matriz de Gm se llama la matriz de adyacencia modificada (MAM).
4 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN ESTRUCTURALES
4.1 ARMADURA DE 10 BARRAS
El problema de referencia armadura de diez barras se utilizó para investigar la eficacia de FFA-TSO en una
optimización de la sección transversal. Un estudio reciente de este problema fue hecho por Camp (Camp, 2007)
utilizando el método de optimización del Big-Bang Big-Crunch.
Figura 3 Configuración de la armadura de diez barras, altura 360” y dos tramos de 360”.
Las secciones transversales discretas fueron elegidas entre un conjunto de 41 (1.62, 1.80, 1.99, 2.13, 2.38, 2.62, 2.88,
2.93, 3.09, 3.13, 3.38, 3.47,3.55, 3.63, 3.84, 3.87, 3.88, 4.18, 4.22, 4.49, 4.59, 4.80, 4.97, 5.12, 5.74, 7.22, 7.97, 11.5,
13.5, 13.9, 14.2, 15.5, 16.0, 16.9, 18.8, 19.9, 22.0, 22.9, 26.5, 30.0 y 33.5 pulg2). El esfuerzo máximo permisible en
cualquier barra de la armadura debe ser superior a -25 ksi y menor de 25 ksi, y la deflexión máxima nodal (vertical y
horizontalmente) es de + 2,0”. El módulo de elasticidad del material se considera de 107 psi y su densidad es de 0,1
lb/in3.
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Figura 4: Evolución de la mejor ejecución utilizando 25 luciérnagas y 390 iteraciones, 9.750 evaluaciones en
total, mejor encontró luciérnaga en movimiento 140.
La mejor solución se encontró en 3500 iteraciones. Los límites del algoritmo eran entre el peso generado por la
sección más pesada 33.5 in2 utilizado en todas los barras la solución y la sección más ligera (1.62 in2) usada en
todos los barras.
Tabla 1. Comparación de resultados en el caso discreta de la armadura de 10 barras.
|
Superficie de secciones transversales (in.2)
BB-BC FFA-TSO
# Elemento Camp 2007 2013
1 22.9 22.9
2 14.5 14.2
3 1.62 1.62
4 1.62 1.62
5 33.5 33.5
6 1.62 1.62
7 22.9 22.9
8 7.97 7.97
9 1.62 1.62
10 22 22
Mejor peso lb 5490.4 5485.808
Mejora lb 0 4.592
Desviación estándar lb 12.42 75
promedio lb
5485.808
Tiempo de ejecución s
30
Nota: 1 in.2=6.452 cm2; 1 lb=4.45 N.
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4.2 OPTIMIZACIÓN DE LA GEOMETRÍA Y SECCIONES TRANSVERSALES DE LA ARMADURA DEL
PUENTE DE 70 M DE CLARO
Otro ejemplo utilizado para evaluar la eficacia de la matriz de adyacencia modificada para una optimización
completa es una estructura de armadura de puente con un claro de 70 metros. Shresta y Ghaboussi (1998propusieron
este problema en particular con el uso de dos dominios de altura de 10 y 35 metros y lo resolvieron que utilizan
GA’s. Más tarde, Yang y Soh (2002) (Yang, 2008) encontraron una mejor solución para el problema 10 metros de
altura utilizando programación genética. Para este mismo problema y usando un algoritmo de 3 pasos con la
interacción del usuario, Agarwal (2005) ha reportado la solución más ligera hasta ahora, cambió las condiciones del
apoyo. Hasançebi (2007) en un estudio más reciente, estudia un dominio de 35 metros de altura y lo resuelve
utilizando estrategias evolutivas y las condiciones de contorno en los nodos de soporte como se indica por (Shrestha
y Ghaboussi, 1998)
Los esfuerzos obtenidos se revisan utilizando las disposiciones de la AISC Construction Manual (TEA, 1989)
(AISC, 1989). Hay algunas restricciones establecidas inicialmente por (Shrestha y Ghaboussi, 1998), la serie
completa de las restricciones utilizadas se reproduce aquí
• El desplazamiento máximo es igual a 1/1000 de la luz, es decir, 70 mm.
La relación de esbeltez en compresión limitada a 200 y 300 en tensión para todas las barras de la estructura.
• La tensión de tracción máxima limitada a 0.6fy y el esfuerzo de compresión permisible se calcula con
arreglo a las siguientes consideraciones de pandeo:
• Si > C, hay pandeo elástico,
•
• Si <C, hay pandeo inelástico,
•
• donde = Li / ri,
• C =
• y Li y ri son la longitud y los radios de giro de la sección transversal del miembro de i-esimo
respectivamente. La longitud máxima de una barra se limita a 35 metros y la longitud mínima se limita
a 5 m.
b
i
i
2
2
12
23
b
i
i
E
i
2
2
3
3
(1 )2
35
3 8 8
i
yb
i
i i
fC
C C
i
2 / yE f
(6)
(7)
(8)
11
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Figura 5 Evolución de la carrera en la geometría y cruzar -Secciones optimización con 70 luciérnagas y 100
iteraciones, 7000 evaluaciones.
Figura 6 Mejor solución encontrada con 7000 iteraciones, peso 44.165 kg.
La geometría de la figura 6 se encontró con 4 luciérnagas como límites, dos de ellas con todos los nodos libres con
una altura de 10 metros y los otros dos con una altura de 3 m. Así, los cuatro luciérnagas fueron: uno con una altura
de 10 m y todos los miembros con sección transversal más ligero, uno con una altura de 10 m y todos miembros con
más pesada sección transversal, uno con una altura de 3 m y todos los miembros con sección transversal más ligera y
uno con una altura de 3 m y todos los miembros con sección transversal más pesada.
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4.3 OPTIMIZACIÓN COMPLETA EN LA ESTRUCTURA DEL PUENTE DE 70 M
En esta sección se estudia el comportamiento de la aplicación FFA-TSO en el entorno de optimización de diseño de
la estructura del puente de 70 m de luz. Una altura de 10 m se utiliza junto con las mismas variables que en el
problema anterior.
Figura 7: La mejor solución encontrada con 100.000 iteraciones, peso 45, 430 kg.
La mejor solución se encontró en el paso 792; 50 luciérnagas se utilizaron en 2000 movimientos dando un total de
100.000 iteraciones que son menos 100.000 movimientos que los realizado por Yang y Soh 2002. La desviación
estándar fue de 15.732 kg en 20 corridas.
Tabla2. Coordenadas de los nodos en la
configuración final
Nodos X Y
1 0 0
2 10 0
3 20 0
4 30 0
5 40 0
6 50 0
7 60 0
8 70 0
9 4.2143 5.421
10 14.7031 8.4147
11 23.5012 9.879
12 35 10
13 46.4988 9.879
14 55.2969 8.4147
15 65.7857 5.421
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Tabla 3. Coordenadas de los nodos en la
configuración final
Nodos X Y
1 0 0
2 10 0
3 20 0
4 30 0
5 40 0
6 50 0
7 60 0
8 70 0
9 8.5439 7.25329
10 21.4773 10
11 35 10
12 48.5227 10
13 61.4561 7.25329
Tabla 4 Representación adyacente del mejor individuo en la optimización completa de la armadura del puente
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1 0 W14X82 0 0 0 0 0 W14X159 0 0 0
2
0 W14X99 0 0 0 0 W14X68 0 0 0
3
0 W14X120 0 0 0 W14X48 W14X34 0 0 0
4
0 W14X233 0 0 0 W14X53 W14X43
0
5
0 W14X120 0 0 0 W14X43 W14X53
6
0 W14X99 0 0 0 W14X34 W14X48
7
0 W14X82 0 0 0 0 W14X68
8
0 0 0 0 0 W14X159
9
0 W14X233 0 0
10
Symmetric
0 W14X257
0
11
0 W14X257
12
0 W14X233
13 0
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Figura 8: Evolución en mejor corrida, mejor solución encontrada en el paso 792.
5 DISCUSION Y CONCLUSIONES
El concepto de limite en esta investigación se tomó como la solución extrema máxima que involucra a las secciones
transversales más pesadas y generadas por el máximo número de barras y la solución extrema mínima que se genera
mediante la sección transversal más ligera y el mínimo de barras. Se observó durante la prueba que cuando no se
fijaron límites definidos el algoritmo no converge en cualquiera de los caso. Además, así como la complejidad del
caso crece los límites que se fijarán deben crecer también. En el problema de las 10 barras los límites establecidos
son la sección transversal más grande de todas las barras y las secciones más pequeñas para todas las barras, 2 límites
en total. Cuando el objetivo era optimizar la geometría y secciones transversales había la necesidad de establecer 4
límites, 2 con la altura como mínimo permisible y las otras 2 usando la mayor altura; uno con la sección transversal
más pesada y el otro con el más ligero. Sin embargo, la complejidad del problema de optimización de armaduras no
crece en un orden de 2n. Esto se observó al tratar de establecer los límites para el caso de la optimización de diseño
completo, donde 8 límites pudieron haber funcionaran pero no lo funcionaron. No funcionaron debido a que el
algoritmo no encontró buenas soluciones óptimas en las iteraciones esperadas. Una explicación puede ser que los
límites de una optimización de la topología pudieran están en el orden de 24 o más. Por lo tanto, estos límites hacen
que el algoritmo se ejecute en un entorno dirigido debido a que el FFA-TSO utiliza pocas luciérnagas por
movimiento (25-75, recomendado por Yang, 2008). Estos límites de luciérnagas se fijaron para evitar costo de mover
cada luciérnaga con respecto a todas las demás y está estrategia fue adecuada.
La velocidad de la FFA-TSO demostró que los límites así establecidos definen una búsqueda rápida y eficaz.
Además la forma de tomar las distancias entre los individuos fue otro aporte de la metodología planteada ya que se
tomó a partir de los centros de masa de las soluciones en lugar de tomarla con respecto a todos los puntos en cada
solución. Sin embargo hay la necesidad de investigar la forma en que el algoritmo sea consistente en encontrar
buenas soluciones ya que no estás soluciones variaban de una corrida a otra y con una desviación estándar alta.
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Sociedad Mexicana de Ingeniería EstructuralSociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
AGRADECIMIENTOS
Los autores agradecen la asistencia del Dr. Yang XS y el Dr. L. Lamberti
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