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Unidad No. 5: Funciones trigonométricas
Pág. 0
Armado y diseño de la Unidad: Prof. Andrea Gandolfi
Apuntes y videos tutoriales: http://acgandolfi.wix.com/matematica
Casa Salesiana
Juan Segundo Fernández
Unidad Nº5
Funciones
Trigonométricas
Nombre: ………………………….………………
4to. Año -2019-
CJSF 4to. Año 2019
Unidad No. 5: Funciones trigonométricas
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CJSF 4to. Año 2019
Unidad No. 5: Funciones trigonométricas
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Unidad Nº3: Funciones Trigonométricas
1. En el siguiente gráfico se observa cómo varía la profundidad del agua de un puerto a lo largo de un día.
Marea alta o pleamar: momento en que el agua del mar alcanza su máxima altura dentro del ciclo de las mareas.
Marea baja o bajamar: momento opuesto, en que el mar alcanza su menor altura.
Responder teniendo en cuenta el gráfico:
a. ¿En qué momento/s del día se produce la pleamar?
b. ¿En qué momento/s del día se produce la bajamar?
c. ¿En qué momentos del día el nivel del agua está subiendo?
d. ¿En qué momentos del día el nivel del agua está descendiendo?
En general, muchos fenómenos y situaciones de la vida diaria se comportan de forma que las funciones que los representan se repiten periódicamente:
En las siguientes situaciones está presente el fenómeno de periodicidad:
el avance y retroceso de las mareas;
las fases de la Luna;
el movimiento de oscilación de un reloj de péndulo;
algunas magnitudes físicas: la corriente eléctrica, los campos electromagnéticos;
Estas situaciones, y en general todo fenómeno que se repite en forma periódica, se modelizan utilizando las funciones que se denominan funciones trigonométricas.
Para comenzar a trabajar recordaremos algunos conceptos:
razones trigonométricas
Se llaman razones trigonométricas de ángulo agudo de un triángulo rectángulo a los siguientes cocientes:
ˆcateto opuesto de ˆ ˆseno de
hipotenusasen
hipotenusaˆ ˆcosecante de cos
ˆcateto opuesto de ec
ˆcateto adyacente de ˆ ˆcoseno de cos
hipotenusa hipotenusaˆ ˆsecante de sec
ˆcateto adyacente de
ˆcateto opuesto de ˆ ˆtangente de ˆcateto adyacente de
tg
ˆcateto adyacente de ˆ ˆcotangente de ˆcateto opuesto de
cotg
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Uso de la calculadora
Colocamos la calculadora en modo DEG
Para calcular cos35º25 :
De igual modo obtenemos el seno o la tangente.
Para encontrar el ángulo , sabiendo su seno: ˆ 0,62sen
De igual modo obtenemos el ángulo conociendo el coseno o la tangente, pulsando y
2. En cada caso, calculen el coseno del ángulo indicado con una letra. ¿Algunos de esos ángulos serán iguales?
3. En los triángulos ABC
y GHI
, se saben que los lados miden:
Mateo y Camila no se ponen de acuerdo:
- Mateo : “Para mí, los ángulos y no son iguales porque si se calcula 14, 1
cos 0,9415
y
8,55cos 0,342
25 “
- Camila: “Lo que decís, está mal, porque como el cos 0,94 entonces ˆ 20º . Y la cuenta8,55
0,34225
es el coseno de , no de . Por lo tanto, ˆ 70º entonces ˆ 20º .Los ángulos y
miden lo mismo” ¿Cuál de los dos tienen razón? ¿Es cierto que y son iguales?
cos 3 5 5º ' " 2 º ' " =
shift sen 0 2 6 º ' "=
shift shift cos tan
14, 1cm15cm
25cm
8,55cm
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Ángulos Orientados
El ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas que se intersecan en un punto 0, una de las
semirrectas se denomina lado inicial oa
y la otra lado final
ob
.
Si consideramos el ángulo situado en el plano con el sistema de coordenadas cartesianas, de modo tal que el lado inicial coincida con el semieje x positivo, el lado final puede rotar en dos direcciones, si lo hace en sentido anti- horario decimos que el ángulo es positivo y si la rotación es en sentido horario se dice que el ángulo es negativo:
Sistemas de medición de ángulos
El sistema de medición de ángulos que se utiliza con mayor frecuencia es el sistema sexagesimal.
Se denomina así porque cada unidad es sesenta veces mayor (o menor) que la siguiente unidad inferior (o superior).
La unidad de medida de ángulos del sistema sexagesimal es el grado (º), que representa la subdivisión en 90 partes iguales de un ángulo recto. Cada grado se divide en 60 minutos (´) y cada minuto se divide en 60 segundos (’’).
El ángulo recto mide 90º, el llano mide 180º y el ángulo de un giro mide 360º.
Otro sistema para medir ángulos
Para el estudio de las funciones trigonométricas, no resulta práctico utilizar el sistema sexagesimal (grados, minutos y segundos) por este motivo, se buscó una forma de medirlos , el Sistema radial, que sea decimal: cuya unidad de medida es el radián.
El ángulo que mide 1 radian; es el
ángulo cuyo arco de circunferencia AB
es igual al radio.
Un radián es el cociente entre la longitud del
arco y el radio de la circunferencia que lo
incluye: logitud de arco
1 radian=r
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4. Realizar la siguiente actividad, (con el link: https://www.geogebra.org/classic/bcdq85tb o escaneando el código QR :
a. Desplazar el punto B de la circunferencia y observar las amplitudes de los ángulos y sus arcos de circunferencias. Recordar que la longitud de una circunferencias es: 2 r
b. Completar la siguiente tabla :
Ángulos Sistemas Sistema Sexagesimal (grados) Sistema Circular o Radial (Radian)
Angulo Nulo
Angulo Recto
Angulo Llano
Angulo de un Giro
5. ¿Cuál es el ángulo, medido en el sistema sexagesimal que en el sistema radial mide 1,7 radianes?
6. ¿Cuál es el ángulo, medido en el sistema radial que en el sistema sexagesimal mide 30º?
7. Determinar cuál es el ángulo t , medido en el sistema sexagesimal, si en el sistema radial mide3
rad
. ¿y si
mide 4
3rad
?
8. Completar la siguiente tabla:
Grados 60º 120º 135º 150º 225º 270º 300º
Radianes
9. Con la calculadora:
a. ¿A cuántos radianes equivalen los ángulos de 240º, 12º y 36º ?
b. ¿A cuántos grados equivale 1 radian?
c. Completar:
Grados 125º 15º 375º
Radianes 5
2rad
3 rad 3, 7rad
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ˆ1
ˆcos1
ˆ
pp
pp
p
p
ysen y
xx
ytg
x
Razones Trigonométricas de un ángulo
Si P= ;p px y es un punto del lado terminal de un ángulo agudo cuyo lado inicial coincide con el semieje positivo
de las x, podemos construir un triangulo rectángulo y definir las razones trigonométricas de la siguiente manera:
ˆsen
ˆsen
ˆcos
ˆcos
ˆtg
ˆtg
Conclusiones:
10. Completen:
a. El coseno de 30º, es igual al seno de: ……………………
b. En un triángulo rectángulo, el seno de un ángulo de 50º, es igual al coseno del otro ángulo agudo de dicho triángulo, ¿sería el coseno de qué ángulo? ……………….
c. “Sabiendo que cos 14º 0,9702 76º ..............sen
d. ¿Es posible que ˆ ˆcossena a ? ¿por qué?
Circunferencia Trigonométrica
Si consideramos un punto P= ;p px y sobre una circunferencia de radio 1, a la que llamamos circunferencia
trigonométrica o circunferencia unitaria, podemos visualizar gráficamente el seno, coseno y la tangente de un ángulo en un sistema cartesiano.
Como 1r :
Por lo tanto las coordenadas del punto P serian:
;P .
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El signo de cada razón trigonométrica depende de la ubicación del punto , ; p pp x y en el
plano cartesiano.
Segundo Cuadrante Tercer Cuadrante Cuarto Cuadrante
11. Realizar la siguiente actividad, (con el link: https://www.geogebra.org/m/huys3s2w o escaneando el código QR :
a. Desplazar el punto de la circunferencia y relacionar las coordenadas según los cuadrantes y completar.
12. Responder;
a. ¿Cuáles son los valores de los ángulos, medidos en radianes, que se encuentran entre 0 y 2π, cuyo seno es igual a 0,5? ¿Qué relación tienen dichos ángulos?
b. ¿Cuáles son los valores de los ángulos, medidos en radianes, que se encuentran entre 0 y 2π, cuyo
coseno es igual a -0,5? ¿Qué relación tienen dichos ángulos?
c. ¿Cuáles son los valores de los ángulos, medidos en radianes, que se encuentran entre 0 y 2π, cuyo
seno es igual a2
2?¿Qué relación tienen dichos ángulos?
d. ¿Qué relación podes encontrar entre los ángulos ˆ 1 .er Cuadrante y según la ubicación del punto de la circunferencia?
Signo según el cuadrante
1er cuadrante 2do cuadrante 3er. cuadrante 4to cuadrante
seno
coseno
tangente
Si P está en el … 1er cuadrante 2do cuadrante 3er. cuadrante 4to cuadrante
Relación de los ángulos
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En cualquiera de los triángulos anteriores podemos aplicar el teorema de Pitágoras:
2 2 22 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ1 cos cosp pop x y sen sen
Por lo tanto:
2 2ˆ ˆcos 1sen Relación Pitagórica
Funciones Trigonométricas
Si la medida de un ángulo orientado está expresada en radianes, o sea , es un número real, a partir de cada razón trigonométrica se puede definir una función trigonométrica de ese número real t.
Estas funciones son:
cos
cos sec
f t sent f t t f t tgtf t ect f t t f t cotgt
Gráfico de las funciones seno y coseno
Para construir los gráficos de esas dos funciones, primero observemos las principales propiedades de dichas funciones.
13. A partir del link: https://www.geogebra.org/classic/fzanymza o escaneando el código QR :
a. Completar la siguiente tabla con los valores correspondientes:
b. Dominio e imagen de las dos funciones: :Dom
Im
c. Período de las funciones. ¿A partir de qué ángulo se comienzan a repetir las imágenes? d. Ángulos opuestos, calcular y completar:
e.
0 90º 180º 270º
360º
sen
cos
30º
-30º 60º -60º
sen
cos
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f. Crecimiento y decrecimiento de las funciones:
g. A partir de los datos obtenidos, graficar la función seno.
Esta curva recibe el nombre de sinusoide.
h. A partir de los datos obtenidos, graficar la función coseno.
Crece o decrece 1er cuadrante 2do cuadrante 3er. cuadrante 4to cuadrante
seno
coseno
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Funciones del . Cambio de escala del eje de abscisas a Radianes.
14. Utilizando el , realiza el gráfico de las siguientes funciones
trigonométricas cuya fórmula tienen la forma: .sen y .cosf x a x f x a x , completar la tabla y sacar conclusiones.
15. Utilizando el , (cambiar la escala del eje de abscisas a radianes) realiza el gráfico de las siguientes funciones trigonométricas cuya fórmula tienen la forma:
sen y cosf x bx g x bx , completar la tabla y sacar conclusiones.
Imagen Imagen Imagen Imagen
senf x x 2.seng x x 3senh x x 1sen
2p x x
cosf x x 2.cosg x x
3cosh x x 1
cos2
p x x
Im b Período
a.
: / senf f x x
: / sen 2h h x x
b.
: / senf f x x
1: / sen2
h h x x
c.
: / cosg g x x
: / cos 3t t x x
El factor a determina la ………………..de la onda y no afecta el período, que para todas estas funciones, es 2
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16. Utilizando el , (cambiar la escala del eje de abscisas a radianes) realiza el gráfico de las siguientes funciones trigonométricas, completar la tabla y sacar conclusiones.
Grafiquen un período de la siguiente función
1: / 2.sen
3f f x x :
Teniendo en cuenta el gráfico de la función seno, sabemos que:
Período C C
a.
: / senf f x x
: / senj j x x
b.
: / cos 3t t x x
: / cos 3h h x x
El valor absoluto de b indica la cantidad de ondas que hay en el intervalo de longitud 2 :
En a(x) hay ……… ondas En b(x) hay ……… ondas En c(x) hay …..…ondas
Por lo tanto, el período p se puede calcular como:
2p
b
Cuanto mayor es b, ……………………….es el período.
0
Im:
::
PeriodoCPuntoMaxPuntoMin
0
Im:
::
PeriodoCPuntoMaxPuntoMin
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17. Graficar un período de la siguientes funciones y completar:
: / 0,75 sen 2a a x x
: / senb b x x
: / 2 cos 3c c x x
0
Im:
::
PeriodoCPuntoMaxPuntoMin
0
Im:
::
PeriodoCPuntoMaxPuntoMin
0
Im:
::
PeriodoCPuntoMaxPuntoMin
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18. Utilizando el , (cambiar la escala del eje de abscisas a radianes) realiza el gráfico de las siguientes funciones trigonométricas de la forma
.senf x a bx h , completar la tabla y sacar conclusiones.
a. : / senj f x x
: / sen3
j j x x
: / sen3
j j x x
b. : / cos 2f f x x
: / cos 26
f f x x
: / cos 26
f f x x
.s enf x a b x h
Ejemplo 1: Dada la siguiente función : / 3sen 23
f f x x
, completar y Graficar
Imagen:
Período: Desplazamiento:
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Ejemplo3: Dada la siguiente función 3 1: / cos
2 2 6f f x x
, completar y Graficar un
período
19. Graficar un período de la siguientes funciones y completar : a. : / 2senf f x x
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b. : / 3cos3
f f x x
c. : / 2sen 3
4f f x x
,
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20. La función cuya fórmula es cos 1f x x y la función cuya fórmula es cos 1g x x .son la
misma función? ¿.Por qué?
21. Las funciones cuyas fórmulas son 2senf x x y sen 2g x x son la misma función? .¿Por qué?
La función Tangente
22. Utilizando el , (cambiar la escala del eje de abscisas a radianes) realiza el gráfico de la función, cuya fórmula es: h x tg x : se pide:
Recordar que tg cos
sen xx
x ,
a. Completar la siguiente tabla con los valores correspondientes:
b. Dominio e imagen de las dos funciones:
:Dom Im
c. Período de las funciones. ¿A partir de qué ángulo se comienzan a repetir las imágenes?
d. Ángulos opuestos, calcular y completar:
e. Crecimiento y decrecimiento de:
0 90º 180º 270º
360º
tg
45º
-45º 60º -60º
tg
Crece o decrece 1er cuadrante 2do cuadrante 3er. cuadrante 4to cuadrante
Tangente
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f. A partir de los datos obtenidos, graficar la función tangente: .
Ecuaciones Trigonométricas
Las funciones trigonométricas son periódicas y sus valores se repiten cíclicamente, es habitual que las ecuaciones que las involucran tengan infinitas soluciones que también se repiten cíclicamente.
En las siguientes ecuaciones, nos limitaremos a buscar solo las soluciones que pertenezcan al intervalo señalado.
Dada la función
f =sen2
x x
¿Cuáles son los valores de “x” entre 0 y 2 que cumplen que 1f =2
x ?
Para hallar estos valores implica plantear la siguiente ecuación:
Para resolver esta ecuación es necesario, en principio, hallar los valores de la variable t
que cumplen 1sen2
t
Nos preguntamos, ¿en qué cuadrante la función seno es positiva?
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; S
; ; ; S
Pero no todos los valores hallados se encuentran entre 0 y 2π como pedía el problema.
Es necesario encontrar los valores entre 0 y 2π que verifiquen la ecuación.
Como la función f(x) tiene un período de 2π, los valores de f(x) se repiten cada vez que
a x se le suma un período, o dos períodos o números enteros de períodos.
Por lo tanto a las soluciones encontradas se le suman o restan períodos para encontrar las soluciones el intervalo pedido:
-2periodos -1 periodo Solución +1 periodo +2 periodos
Las soluciones de la ecuación que están entre 0 y 2π son entonces
Dada la función
f =sen2
x x
¿Cuáles son los valores de “x” entre y 3 que cumplen que 1f =-
2x ?
Para hallar estos valores implica plantear la siguiente ecuación:
Para resolver esta ecuación es necesario, en principio, hallar los valores de la variable t
que cumplen 1sen2
t
¿En qué cuadrante la función seno es negativo?
Como x debe verificar, además que -π ≤ x ≤ 3π:
Por lo tanto a las soluciones encontradas se le suman o restan períodos para encontrar las soluciones el intervalo pedido:
-2periodos -1 periodo Solución +1 periodo +2 periodos
Las soluciones de la ecuación que están entre -π y 3π son
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; ; ; S
Hallar los valores de x que pertenezcan la intervalo ; y que cumplan el
1cos (2 )2
x
¿En qué cuadrante la función coseno es positiva?
Como x debe verificar, además que -π ≤ x ≤ π:
Por lo tanto a las soluciones encontradas se le suman o restan períodos para encontrar las soluciones el intervalo pedido:
-2periodos -1 periodo Solución +1 periodo +2 periodos
Las soluciones de la ecuación que están entre -π y π son
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23. Hallen el conjunto solución en 0;2 de las siguientes ecuaciones trigonométricas:
a.
cos 1
3x
b. 1sen x
24. Hallen el conjunto solución en ;2 de las siguientes ecuaciones trigonométricas:
a. 2cos 3 1x
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b. 2 2 1sen x
Otro tipo de ecuaciones: Hallar el conjunto solución en 0;2 de
2 3sen sen 1
2x x
,S
25. Hallar el conjunto solución en 0;2 de las siguientes ecuaciones trigonométricas:
a. 2cos 1,5cos 1x x
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b. 2 5sen sen 1
2x x
26. Indiquen la opción correcta. Justifique la respuesta:
a. La función cuya fórmula es cos 2f x x tiene exactamente tres raíces en el intervalo:
i. 0;2 ii. ; iii. ; 24
iv. 0;2
b. La función cuya fórmula es 2seng x x creciente en el intervalo:
i. ; ii. ;2 2
iii. 0;2 iv. 0;
c. La cantidad de soluciones de la ecuación cos 3 0x es:
i. una ii. dos iii. infinitas iv. ninguna
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Repaso para la evaluación
1. Graficar un período de la siguientes funciones y completar la tabla:
: / 2sen4
a a x x
: / 3cos 2b b x x
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2. Hallen el conjunto solución en 0;3 de las siguientes ecuaciones trigonométricas:
a.
2sen 1
4x
b. 3cos 2 0x
3. Hallen el conjunto solución en 0;2 de las siguientes ecuaciones trigonométricas:
a. 2cos 1x
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b.
2 7 22
sen x senx
c. 23 cos 1,5cos 0x x
4. Indiquen la opción correcta. Justifique la respuesta:
a. El ángulo ˆ 2000º :
i. Está en el cuarto cuadrante
ii. Tiene coseno positivo
iii. Tiene el mismo lado terminal que ˆ 160º
iv. No tiene definida la tangente.
b. La función cuya fórmula es 2sen 3g x x ,entonces:
i. 2g g ii. 1 1
2 2g g
iii. 2 2
g g
iv.
1 1
2 3g g
.
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