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TRIGONOMETRÍA Sistemas de Medición de Ángulos
Equivalencia entre los tres Sistemas
360º = 2Rad = 400G
Longitud de la Circunferencia
Funciones Trigonométricas
sen = ordenada = y radio vector
y cos = abscisa = x
radio vector
x tg = ordenada = y abscisa x
cotg = abscisa = x ordenada y
sec = radio vector = abscisa x
cosec = radio vector = ordenada y
Resolución de Triángulos Rectángulos
B
C = a2 + b2 tg = a
b = arco tg a
b a c
tg = b a
= arco tg b a
C A
b
Matemática – Carrera Arquitectura 1
C = 2 . radio
º = R
= G
360º 2 400G
Área del Circulo = . r2
Área de Anillo o Corona
Circular = . R2 - . r2
r
R
Área del Sector Circular
= arco x radio
2
Resolución de Triángulos Oblicuángulos
Teorema del Seno B
a c a
sen
b
sen
c
sen = =
C A b Teorema del Coseno
a2 = b2 + c2 – 2 b c cos
b2 = a2 + c2 – 2 a c cos
c2 = a2 + b2 – 2 a b cos
Calculo de Área
Área de un Triangulo en función de sus tres lados – Formula de Herón -
donde p = a + b + c. 2
a, b, c son lados del triángulo Area = p ( p – a ) ( p – b ) ( p – c )
GEOMETRÍA ANALÍTICA. SISTEMAS DE COORDENADAS
Sistema de Coordenadas Unidimensional
Distancia entre dos puntos. La distancia entre los puntos A(x1) y B(x2) Distancia horizontal
|AB| = es la longitud del segmento AB (Las barras | | se lee: valor
absoluto)
La distancia vertical entre los puntos C(y1) y D(y2)
Matemática – Carrera Arquitectura 2
|CD| = |(y2 – y1)| = |(y1 – y2)|
|AB| = |(x2 – x1)| = |(x1 – x2)|
Área del triang = b x h . 2
Teorema Fundamental
Area = b . c . sen 2
SISTEMAS DE COORDENADAS EN EL PLANO
Distancia entre dos puntos. P1 (x1;y1) y P2 (x2;y2)
Punto Medio de un Segmento.
Relaciones entre las coordenadas Rectangulares y Polares.
SISTEMAS DE COORDENADAS EN EL ESPACIO
Sistema de coordenadas Notación del punto
Distancia entre dos puntos A(x1;y1;z1) y B(x2;:y2;z2)
Punto Medio de un Segmento
Matemática – Carrera Arquitectura 3
z1 + z2
zm = ----------------- 2
y1 + y2
ym = ----------------- 2
x1 + x2
xm = --------------- 2
|AB| = (x2 – x1)2 + (y2 –y1)
2 +(z2 – z1)2
Cartesianas rectangulares P ( x; y; z )
Polares P( ; ; ; )
Cilíndricas P(( ; ; z) .
Esféricas P( ; ; ).
x = cos
y = sen
=x2+ y2
= arc tg y x
y 1 + y 2
ym = ------------ 2
x 1 + x 2
xm = ------------ 2
|P1P2| = (x2 – x1)2 + (y2 –y1)
2
Relaciones entre las coordenadas Rectangulares y Polares.
Relaciones que ligan las coordenadas Cilíndricas con las Rectangulares
Relaciones que ligan las coordenadas Esféricas con las Rectangulares
GEOMETRÍA ANALÍTICA EN DOS DIMENSIONES LA RECTA
Ecuación General Forma explícita : Forma implícita:
y = a x + b
Variable Dependiente Ordenada al
orígen Coef. angular
Variable Independiente
Matemática – Carrera Arquitectura 4
Ax + By + C = 0
x = cos cos
y = cos sen
z = sen
= x2 + y2 + z2
= arc sen z
= arc tg y
x
x = cos
y = sen
z = z
= x2 + y2
= arc tg y x
z = z
x = cos
y = cos
z = cos
= x2 + y2 + z2)
= arc cos x
= arc cos y
= arc cos z
Forma Segmentarla o Reducida:
Ecuación de la recta que pasa por un punto y de pendiente a Punto - Pendiente
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Cartesiana
Condición de paralelismo entre rectas
Dadas las rectas: y1 = a1x + b1
y2 = a2x + b2
Condición de perpendicularidad entre rectas
Dadas las rectas: y1 = a1x + b1
y2 = a2x + b2
Intersección entre dos rectas
Para hallar el punto de intersección de dos rectas en el plano, 1. 2. 3.
Igualar ambas rectas (y1= y2) despejar el valor de la abscisa (x ) para el cual ambas rectas tienen idéntica ordenada (y). Para hallar el valor de y reemplazar en cualquiera de las dos expresiones matemáticas
originales la variable x por el valor encontrado.
Ángulo entre dos rectas: Fórmula trigonométrica: tangente de la diferencia de dos ángulos.
Matemática – Carrera Arquitectura 5
a1 - a2
tg = ------------------
1 + (a1 . a2 )
y1 y2 <=> a1 = - 1
a2
y1 // y2 <=> a1 = a2
y2 – y1
y – y1 = ( x – x1)
x2 – x1
y – y1 = a ( x – x1 )
x y + = 1
a b
CONICAS Circunferencia Ecuación ordinaria. Centro (h; k) y radio r
(x – h)2 + (y – k)2 = r2
Si el Centro esta en el origen del S. de coord.
h = k = 0 la ecuación será x 0
x2 + y2 = r2 Ecuación canónica
F = h2
+ k2 – r
2
r = √ h2 +k
2 – F
D = -2h E = -2k
k = - E
2
Ecuación General h = - D
2 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 en donde
Determinación de los focos Elipse
Distancia focal
Eje Menor = 2b A2 A1
Ecuación Canónica
y Elipse con centro en el origen del S. de coord. Cartesianas (0;0)
y 2 2 x + y
a
= 1 F
x2 y2 + = 1
a2 b2 x 0;0 x 0;0 F´ F
F´
Matemática – Carrera Arquitectura 7
Perímetro = 2√1/2(a2 +b
2)
Aproximadamente
Área de la elipse = a.b.
La long del lado recto para el foco F y F´ es 2b2
a
b a
F’ C(h;k)
c
F a
Excentricidad de la elipse e
c < a e c <
1 a
2c
C(h;k )
D
F’ F D´
Eje Mayor =2a
c = √a2 – b2
k
;0
y
c
r
h
Segunda forma Ordinaria
Elipse con centro en el punto ( h;k)
y eje focal paralelo al eje X
Elipse con centro en el punto ( h;k)
y eje focal paralelo al eje Y
( x – h )2 + ( y – k )2 = 1 ( x – h )2
a2
+ ( y – k )2 = 1
b2 b2 a2
y
x 0;0
Directriz y Parábola (Geometría Analítica)
Foco x 0:0
(p;0)
Vértice (h;k)
Ecuación Canónica (Vértice en el origen del Sistema de Coordenadas Cartesianas)
y2 = 4 p x y y
0;0 Foco x p>0 Foco 0;0
x
x2 = 4 p y
y p>0
p<0 y x 0;0
Foco Foco
x
0;0
Matemática – Carrera Arquitectura 8
0;0
x
Ecuación Ordinaria Vértice en el punto ( h; k) Eje focal paralelo al eje X
y
p>0 p<0 Foco Foco
x 0;0 x 0;0
Vértice en el punto ( h;k) Eje focal paralelo al eje Y
y y p>0 p<0
0;0 x Foco
Foco
Parábola (Análisis Matemático) Función cuadrática, o trinomio de 2do Grado
y = a x2 + b x + c
xv = - b = x1 + x2 Propiedades de las Raíces 2 a 2
x1 . x2 = c a
- b
a
Coordenadas del Vértice
yv = - b2 – 4 a c b2
4a = c -
para a = 1 4a
(x1 + x2) =
Relación entre Geometría Analítica y Análisis Segmento de Parabola
a 4 p p = 1
4 a b
Matemática – Carrera Arquitectura 9
Area = 2/3 a. b
Ecuación Completa
0 = a x2 + b x + c Las raíces x1, x2 se calculan
x1 - b b2 – 4 a c
x2 =
2 a
Ecuación Incompleta
0 = a x2
Eje de simetría de la parábola en el eje de las y y vértice en el origen
Ecuación Incompleta
0 = a x2 + c
Eje de simetría de la parábola en el eje de las y y vértice desplazado del origen
Ecuación Incompleta
0 = a x2 + b x parábola a eje vertical y desplazado a la izquierda o derecha del eje de ordenadas.
(x – h)2 = 4 p (y – k)
(y – k)2 = 4 p (x – h)
Hipérbola
ASÍNTOTA
Y
a a w
c
.F
b P(X;Y)
. F’ v v’ o X
w’ a a
c
Eje Focal = 2c
Eje real = 2a
Eje imaginario = 2b
ECUACIÓN CANÓNICA DE LA HIPÉRBOLA ABCISAS
CON EJE REAL COINCIDENTE CON EL DE
y
x
ECUACIÓN CANÓNICA DE LA HIPÉRBOLA ORDENADAS
CON EJE REAL COINCIDENTE CON EL DE
y
x
Matemática – Carrera Arquitectura 10
y2/a2 – x2/b2 = 1
x2/a2 – y2/b2 = 1
PF’- PF = 2a
2 2 2
Ecuación de la Asínt.:
y = -bx/a
Ecuación de la Asínt.:
y = bx/a
2
POLIGONOS
POLÍGONOS REGULARES Ángulos de un polígono regular
Ángulo Interior = 2R (n - 2) n
Angulo Central 4R n
( 4 rectos) (número de lados)
Superficie del Polígono Regular
Matemática – Carrera Arquitectura 17
Superficie Perimetro x Apotema
2
PROPIEDADES
SUMA DE
ANGULOS
EXTERIORES
S = 4 R
SUMA DE
ANGULOS
INTERIORES
Y EXTERIORES
S = 2 R . n
SUMA DE
ANGULOS
INTERIORES
S = 2 R ( n - 2)
NUMERO
DE
DIAGONALES
N° de diag de un pol. =
(n- 3) . n
2
A =
AREAS Y VOLÚMENES
A = l2 A = 1/2 B .h
A = B . h A = B . h
B + b A = 1/2 D .d h A =
2
P . a A = A = R2
2
R2 A = (R2 - r2)
A =
Matemática – Carrera Arquitectura 18
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