triangulo esferico
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> DEFINICIONES
Griegos: Estudiaron la relación entre un arco de circunferencia y longitud de cuerda.Medida de ángulos en grados, minutos y segundosHiparco de Nicea “Padre de la Trigonometría”
Melaneo de Alejandría: Primero en definir triángulos esféricos en Tratado de Sphoirica.
Claudio Tolomeo:13 libros “Almagestro”, tratado de astronomía.
Árabes:Aplicaciones astronómicas o náuticas.Nasir Al-Din publica primer tratado sobre trigonometría plana y esférica independiente de la astronomía.
Francois Viète:Incorporó el triángulo polar a la trigonometría esférica.
John Napier:Reglas para resolver triángulos esféricos.Propiedades para resolver triángulos esféricos oblicuos.
Euler:Demostró que las propiedades básicas de la trigonometría
eran producto de la aritmética de los números complejos.
La localización de objetos en la bóveda celeste exige que se establezcan un adecuado sistema de referencia.
Sistema de coordenadas esféricas3 parámetros:r : distancia al origen de coordenadaa : ángulo que indica la dirección del punto respecto al origenb : ángulo que indica la dirección del punto respecto al origen
Sistema
Plano fundamental
Eje fundamental
Coord. ascendente
Coord. declinante
Coordenadas geográficas
Plano ecuatorial de la Tierra
Eje Norte-Sur geográficos
Longitud Geográfica
Latitud geográfica
Coordenadashorizontales u
Altazimutales
Plano del horizonte del observador
Eje Zenit-Nadir Azimut Altura
Coordenadas horarias o ecuatoriales locales
Plano ecuatorial de la Tierra
Eje Norte-Sur celestes
Angulo horario Declinación
Coordenadas ecuatoriales
Plano ecuatorial de la Tierra
Eje Norte-Sur celestes
Ascensión recta Declinación
Coordenadas Eclípticas
Plano de la Eclíptica
Eje Norte-Sur eclípticos
Longitud eclíptica
Latitud eclíptica
Coordenadas Galácticas
Plano de simetría de la galaxia
Eje Norte-Sur galácticos
Longitud galáctica
Latitud galáctica
CÍRCULO MÁXIMODivide a la esfera en dos hemisferios iguales.Dos puntos a los largo del círculo máximo sobre la esfera
recibe elnombre de ORTODROMA.
Distancia ortodrómica: menor distancia entre dos puntos máximos de
La esfera.
CÍRCULO MENORCírculo determinado por un plano que corta a la esfera,
excepto en elcentro.
SUPERFICIE DE LA ESFERALugar geométrico donde dos punto de la esfera equidistan a
un puntointerior (centro).
MEDIDA DE UN ÁNGULO ESFÉRICO
I, N: tangentesH, S: prolongaciones de los puntos B y C del triángulo
esférico.
CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS ESFÉRICOS
- En cuanto a sus ladosEscaleno: tres lados diferentesIsósceles: dos lados iguales y un lado diferenteEquilátero: tres lados iguales
- En cuanto a los ángulosAcutángulo: tres ángulos agudosRectángulo: un ángulo rectoBirretángulo: dos ángulos rectosTrirretángulo: tres ángulos rectosObtusángulo: tres ángulos obtusos
- En cuanto al valor de los ladosRetilátero: un lado igual a 90ºBirretilátero: dos lados igual a 90ºTrirretilátero: tres lados igual a 90º
2
2
2
4360
'
4360
'
4360
'
rC
ABCABC
rB
CABABC
rA
BCAABC
242
1'''' rBCACABABCABC
Como CABBCA '''
2222 24360
4360
4360
rABCrC
ABCrB
ABCrA
ABC
, (por ser opuestos por el vértice) tenemos:
22 24360
2 rrCBA
ABC
222360
rrCBA
ABC
2
180
180r
CBAABC
21180
rCBA
ABC
Por tanto:
Teorema:En un triángulo esférico, la suma de la medida de los lados es
siempre menor que 2πr.Se prolongan los lados AB y AC
hasta la antípoda de A; como CB es geodésica, se verifica:
A
B
C
A’ CABABC ''
rACAABAACABCABABCACAB 2''''
RBCACAB 2
.
Teorema En un triángulo esférico, los ángulos interiores suman más de
180º
DemostraciónPrimero se construye un triedro suplementario, para ello se
necesitalos tres planos del triedro de nuestro triángulo esférico.
Los arcos de circunferencia a, b y c tendrán unas longitudes de:
B’
c
A
B
A’
c’
C
C’
.360
2;
360
2;
360
2 rCc
rBb
rAa
Y los segmentos que determinan A`, B` y C`:
Por lo tanto:
Del mismo modo:b + b`= πr ; c + c`= πr
Tomando las tres identidades obtenidas y sumándolas, se tiene:
.
360
2180;
360
2180;
360
2180 rCc
rBb
rAa
r
rArrArArAaa
360
221802
360
2180
360
2
cbarcbacrc
brb
ara
3
Como:
Sustituyendo:
rcba 20 rcbar 230 rcbar 3
540180
3360
2
3360
2
360
2
360
2
CBA
rCBAr
r
rrCrBrA
r
- En un triángulo esférico un lado es menos a la suma de sus otros dos lados y mayor a su diferencia.
- El lado mayor del triángulo esférico se opone al mayor ángulo.Si a es máximo, entonces A es máximoSi b es máximo, entonces B es máximoSi c es máximo, entonces C es máximo
- Todo ángulo de un triángulo esférico aumentado en 180º es mayorque la suma de los otros dos.
- El perímetro de un triángulo esférico es siempre menor que la circunferencia máxima.
a + b + c < 360º
*Considerando la Tierra esférica, calcular la distancia entre Florianópolis y Moscú.
Datos: Florianópolis Latitud: 64º 58` 30`` S
Longitud: 48º 34` 16`` WMoscú: Latitud: 55º 45` 00`` N
Longitud: 37º 37` 00`` E
1 Milla = 1`= 1.852 metros.
f = 90º + lat Moscú f = 90º + 55º 45` f = 145º 45`
f = 145º 45`00``Sm = 64º 58` 30`` Sps= distancia que buscamosPS= vértice polo sur (90º)
Aplicando la fórmula de los 4 Elemento o coseno:
cos ps = cos m * cos f + sen m * sen f * cos PScos ps = cos (64º58`30``) * cos (145º45`) + sen (64º58`30``) * sen
(145º45`) * cos (90º)cos ps = -0,349656688ps = 110º27`58,74``
La distancia de Florianópolis a Moscú es:ps = 110º27`58.74`` x 60 x 1.852ps = 12.275.017m = 12.275 km.
Trigonometría esférica• La Tierra puede ser modelada en una esfera• Posicionamiento bajo un sistema de referencia inercial (ICRS)
(ITRS)• Posicionamiento geográfico y azimut asociado a los astros.• Imprecisiones asociadas al modelo esférico
Coordenadas esféricas• Circulo máximo • Latitud y longitud astronómica, paralelos y meridianos.• Distancia mínima entre dos puntos (ortodrómica)• Línea de azimut constante (loxodrómica)• Esfera celeste
Triangulo esférico
• Triangulo sobre la superficie esférica limitado por 3 arcos de circunferencia máxima. (menores a 180º)
Triángulos esféricos polares• Cada lado de un triangulo esférico es
suplementario de un lado de su triangulo polar Lados
• El lado mayor es menor que la suma de los otros dos.
• El lado menor es mayor que la diferencia de los otros dos.
ángulos• El lado mayor se opone al ángulo mayor• A la dos iguales se oponen ángulos iguales• 180º<A+B+C<540º• 180º+A>B+C• a+b+c<360º
Grupos de formulas de bessel
Grupos de formulas de Bessel
Ejemplo de resolución de un triangulo esférico
Teorema de las tangentes de los ángulos medios-formula de los marineros (3 lados, 1 Angulo, aplicado a lados)
AutoCAD Drawing
Instrumentos de navegaciónCuando no hay Tierra a la vista, los marinos se guían por las estrellas. Eloctante (izquierda) y los sextantes (derecha) permiten medir la alturaaparente de un cuerpo celeste para determinar la posición de un barco. Eloctante dispone de un arco de 45°, mientras que la escala del sextanteabarca 60°.
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