tratamiento digital de señales tema 2 : dft (i)n kn i 2π x˜[n]= 1 n nx−1 k=0 x(ej 2π n k)ej...
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Tratamiento Digital de SeñalesTratamiento Digital de SeñalesTEMA 2 : DFT (I)TEMA 2 : DFT (I)
UniversidadeUniversidade de Vigode VigoETSE TelecomunicaciónETSE Telecomunicación
TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 2
CONTENIDOSCONTENIDOS
1.1. Repaso de conceptos asociados con la TFRepaso de conceptos asociados con la TF2.2. Formulación de la DFTFormulación de la DFT3.3. Propiedades de la DFTPropiedades de la DFT4.4. Métodos de filtrado lineal basados en la DFTMétodos de filtrado lineal basados en la DFT5.5. Transformada rápida de Transformada rápida de FourierFourier (FFT)(FFT)6.6. Transformada discreta del coseno (DCT)Transformada discreta del coseno (DCT)
2
TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 3
RepasoRepaso
X(ejω) =
∞Xn=−∞
x[n]e−jωn
x[n] =1
2π
Z2π
X(ejω) ejωndω
X(jΩ) =
Z ∞
−∞x(t) e−jΩtdt
x(t) =1
2π
Z ∞
−∞X(jΩ) ejΩtdΩ
Transformada de Transformada de FourierFourierpara señales continuaspara señales continuas
Transformada de Transformada de FourierFourierpara señales discretaspara señales discretas
TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 4
Desarrollo en serie de Desarrollo en serie de FourierFourier paraparaseñales periódicasseñales periódicas
x(t) =1
2π
∞Xk=−∞
ak ejk 2πTo t
ak =1
T0
ZT0
X(t) e−jk2πTotdt
X(jΩ) =
∞Xn=−∞
2π ak δ(Ω− k2πTo)
3
TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 5
TransformadasTransformadas
−2π/Τ
1.
2π−2π π−π
x(t)
x[n]
x(t)
X(jΩ)
X(ejω)
X(jΩ)
2π/Τ 4π/Τ−4π/Τ
Periodo T
TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 6
CONTENIDOSCONTENIDOS
1.1. Repaso de conceptos asociados con la TFRepaso de conceptos asociados con la TF2.2. Formulación de la DFTFormulación de la DFT
1.1. Muestreo Muestreo frecuencialfrecuencial2.2. Formulación de la DFTFormulación de la DFT3.3. EjemplosEjemplos
3.3. Propiedades de la DFTPropiedades de la DFT4.4. Métodos de filtrado lineal basados en la DFTMétodos de filtrado lineal basados en la DFT5.5. Transformada rápida de Transformada rápida de FourierFourier (FFT)(FFT)6.6. Transformada discreta del coseno (DCT)Transformada discreta del coseno (DCT)
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TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 7
La DFT (La DFT (DiscreteDiscrete FourierFourier TransformTransform))
•• MotivaciónMotivación–– Para trabajar digitalmente en el domino Para trabajar digitalmente en el domino frecuencialfrecuencial
necesitamos un espectro discretonecesitamos un espectro discreto–– Muestrearemos el espectro para obtener la nueva Muestrearemos el espectro para obtener la nueva
representación y averiguaremos los efectos de esta representación y averiguaremos los efectos de esta operación sobre la señal discreta.operación sobre la señal discreta.
•• Así pues, si Así pues, si x[nx[n] es una señal, en principio de ] es una señal, en principio de longitud arbitraria, tomaremos N muestras longitud arbitraria, tomaremos N muestras equiespaciadasequiespaciadas del espectro en radianes, en las del espectro en radianes, en las frecuencias frecuencias , k=0,..,N, k=0,..,N--11k 2πN
2π
TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 8
Muestreo Muestreo FrecuencialFrecuencial
2π−2π π−π
????????X(ejω)2π
N
∞Xk=−∞
δ(ω − k2πN)Fa−→
N muestrasN muestras
22ππ/N/N 22π(Νπ(Ν−−1)1)/N/N
5
TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 9
Muestreo Muestreo FrecuencialFrecuencial (II)(II)•• Usamos un resultado derivado de la fórmula de Usamos un resultado derivado de la fórmula de PoissonPoisson::
FÃ ∞Xk=−∞
δ[n− kN ]!=2π
N
∞Xk=−∞
δ(ω − k2πN)
Transformada de un tren de deltasTransformada de un tren de deltas
X(ejω)2π
N
∞Xk=−∞
δ(ω − k2πN)Fa−→
x[n] ?Xk
δ[n− kN ] =Xk
x[n− kN ] = x[n]
TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 10
Extensión PeriódicaExtensión Periódica
•• Hemos llegado a:Hemos llegado a:
•• dondedonde
es la es la extensión periódica extensión periódica de x[n], de periodo Nde x[n], de periodo N
x[n]
x[n]F−→ X(ejω)
2π
N
∞Xk=−∞
δ(ω − k2πN)
x[n] Para N=4Para N=4
x[n] =Xk
x[n− kN ]
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TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 11
Derivación de la DFTDerivación de la DFT
•• Este resultado relaciona infinitas muestras del Este resultado relaciona infinitas muestras del espectro de espectro de x[nx[n], tomadas en los armónicos de ], tomadas en los armónicos de 22ππ/Ν/Ν, con su extensión periódica de periódo N., con su extensión periódica de periódo N.
•• A partir de aquí buscamos una transformación que A partir de aquí buscamos una transformación que relacione exclusivamente las N muestras dentro relacione exclusivamente las N muestras dentro del intervalo [0 2del intervalo [0 2ππ) con la señal x[n]) con la señal x[n]
x[n]F−→ X(ejω)
2π
N
∞Xk=−∞
δ(ω − k2πN)
TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 12
Derivación de la DFT (II)Derivación de la DFT (II)
•• Calculamos la transformada inversa de Calculamos la transformada inversa de FourierFourier::
x[n]F−→ X(ejω)
2π
N
∞Xk=−∞
δ(ω − k2πN) =
=2π
N
∞Xk=−∞
X(ej2πN k)δ(ω − k2π
N)
1
2π
Z2π
"2π
N
Xk
X(ej2πN k)δ(ω − 2π
Nk)
#ejωndω
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TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 13
Derivación de la DFT (III)Derivación de la DFT (III)
x[n] =1
N
Xk
X(ej2πN k)
Z2π
δ(ω − 2π
Nk)ejωndω
=1
N
Xk
X(ej2πN k)
hej
2πN kn
i2π
x[n] =1
N
N−1Xk=0
X(ej2πN k)ej
2πN kn
La ecuación 1 permite afirmar que sólo necesitamos N muestras La ecuación 1 permite afirmar que sólo necesitamos N muestras equiespaciadasequiespaciadas del espectro para recuperar la extensión periódica de del espectro para recuperar la extensión periódica de x[nx[n]]
Ecuación 1Ecuación 1
TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 14
Derivación de la DFT (IV)Derivación de la DFT (IV)
•• ¿Necesitamos realmente todas las muestras de para ¿Necesitamos realmente todas las muestras de para obtener ?obtener ?
•• Escribamos la señal como suma de trozos de tamaño N :Escribamos la señal como suma de trozos de tamaño N :
xl[n] =
½x[n+ lN ] 0 ≤ n ≤ N − 10 resto
x[n] =Xl
xl[n− lN ]
xl[n]
x2[n]x1[n]
x0[n]
X(ej2πN k)
x[n]
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TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 15
Derivación de la DFT (V)Derivación de la DFT (V)
•• Partimos de la definición de TF para señales discretas Partimos de la definición de TF para señales discretas particularizando para la frecuencia 2particularizando para la frecuencia 2ππk/N y haciendo uso de la k/N y haciendo uso de la periodicidad de la exponencial.periodicidad de la exponencial.
X(ej2πN k) =
Xn
x[n]e−j2πN kn =
=
N−1Xn=0
Xl
x[n+ lN ]e−j2πN kn
=N−1Xn=0
x[n]e−j2πN kn
TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 16
Derivación de la DFT (VI)Derivación de la DFT (VI)
•• Recapitulando:Recapitulando:
x[n] =1
N
N−1Xk=0
X(ej2πN k)ej
2πN kn
X(ej2πN k) =
N−1Xn=0
x[n]e−j2πN kn
Hemos mostrado la relación entre N muestras Hemos mostrado la relación entre N muestras equiespaciadasequiespaciadasdel espectro de una señal del espectro de una señal x[nx[n] con las N muestras del primer ] con las N muestras del primer período de su extensión periódica.período de su extensión periódica.
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TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 17
Derivación de la DFT (VII)Derivación de la DFT (VII)
•• ¿Es la transformación anterior biunívoca?¿Es la transformación anterior biunívoca?
x[n] =Xk
x[n− kN ]
x0[n]11
0.50.5
--11
22
0.50.5
x1[n]N=2
x0[n] = x1[n] !!!!
TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 18
Formulación de la DFTFormulación de la DFT
x[n] =1
N
N−1Xk=0
X [k]ej2πN kn
n=0,···,N−1
X[k] =
N−1Xn=0
x[n]e−j2πN kn
k=0,···,N−1
Sea x[n] tal que x[n] = 0, n < 0, n ≥ NDefinimos la DFT de N puntos de x[n], X[k],
como el conjunto de N valores de X(ejωn),
ω ∈ [0, 2π), equiespaciados a distancia 2πN.
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TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 19
Series discretas de Series discretas de FourierFourier
x[n] =Xk
x[n− kN ] = 1
N
N−1Xk=0
X [k]ej2πN kn
X[k] =Xl
X[k − lN ] =N−1Xn=0
x[n]e−j2πN kn
•• Las extensiones periódicas se relacionan de la Las extensiones periódicas se relacionan de la siguiente manera:siguiente manera:
Extensión periódica de Extensión periódica de x[nx[n]]
Extensión periódica de Extensión periódica de X[kX[k]]
TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 20
Ejemplo (I)Ejemplo (I)
x[n]
0 2π5
6π5
4π5
2π8π5
|X(ejω)|
x[n] =
½1 para 0 ≤ n < N0 resto
X(ejω) =sen(ωN
2)
ω2
e−jω(N−1)
2
11
TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 21
Ejemplo (II)Ejemplo (II)
0 2π5
6π5
4π5
2π8π5
x[n]
x[n]
DFT 5 puntosDFT 5 puntos
…………
|X [k]|
TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 22
Ejemplo (III)Ejemplo (III)
0 2π5
6π5
4π5
2π8π5
DFT 10 puntosDFT 10 puntos
x[n]
x[n]
…………
|X [k]|
12
TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 23
Ejemplo (IV)Ejemplo (IV)
0 2π5
6π5
4π5
2π8π5
DFT 7 puntosDFT 7 puntos
x[n]
x[n]
…………
|X [k]|
TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 24
Ejemplo (V)Ejemplo (V)
x[n]|X [k]|
0 2ππ2
π 3π2
DFT 4 puntosDFT 4 puntos
x[n]
13
TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 25
Ejemplo (VI)Ejemplo (VI)
x[n] |X[k]|
0 2ππ2
π 3π2
DFT DFT 1 punto1 punto
TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 26
Ejemplo (VII)Ejemplo (VII)……
……
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TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 27
CONTENIDOSCONTENIDOS
1.1. Repaso de conceptos asociados con la TFRepaso de conceptos asociados con la TF2.2. Formulación de la DFTFormulación de la DFT3.3. Propiedades de la DFTPropiedades de la DFT
1.1. LinealidadLinealidad2.2. DesplazamientosDesplazamientos3.3. SimetriasSimetrias4.4. ConvoluciónConvolución
4.4. Métodos de filtrado lineal basados en la DFTMétodos de filtrado lineal basados en la DFT5.5. Transformada rápida de Transformada rápida de FourierFourier (FFT)(FFT)6.6. Transformada discreta del coseno (DCT)Transformada discreta del coseno (DCT)
TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 28
LinealidadLinealidad
•• Para la transformada de Para la transformada de FourierFourier
•• Para la DFT:Para la DFT:
•• Se cumple que:Se cumple que:
Siempre que Siempre que X[kX[k] sea la DFT de N puntos de x[n] e ] sea la DFT de N puntos de x[n] e Y[kY[k] la DFT de N puntos de ] la DFT de N puntos de y[ny[n] y N sea tal que: ] y N sea tal que:
αx[n] + βy[n]F−→ αX(ejω) + βY (ejω)
z[n] = αx[n] + βy[n]
N ≥ max (longitud(x[n]), longitud(y[n]))
z[n]DFT N−→ αX [k] + βY [k] k=0,···,N−1
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TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 29
DesplazamientosDesplazamientos
•• Para la transformada de Para la transformada de FourierFourier
•• Para la DFT:Para la DFT:
x[n−m] F−→ X(ejω)e−jωm
z[n]DFT N−→ X[k]e−j
2πN km k = 0, · · · , N − 1
z[n] = x[n−m]???
TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 30
Desplazamientos (II)Desplazamientos (II)x[n] |X [k]|
0 2ππ2
π 3π2
DFT 4 puntosDFT 4 puntos
z[n] = x[n+ 4]
??????
DFT 4 puntosDFT 4 puntos
Falso!!!Falso!!!
16
TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 31
Desplazamiento CircularDesplazamiento Circular
•• Lo que se cumple realmente es:Lo que se cumple realmente es:
si:si:
•• significa “significa “n módulo Nn módulo N”.”.
•• es un desplazamiento es un desplazamiento circular o modular.circular o modular.
z[n]DFT N−→ X [k]e−j
2πN km
k=0,···,N−1
z[n] =
½x[((n−m))N ] 0 ≤ n < N0 resto
[((n))N ]
x[((n−m))N ]
TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 32
Interpretación del Desplazamiento CircularInterpretación del Desplazamiento Circular
•• Dos interpretaciones equivalentes:Dos interpretaciones equivalentes:–– Como desplazamiento de la extensión periódica (período N)Como desplazamiento de la extensión periódica (período N)
x[n] x[n] Para N=4Para N=4
x[n+ 2]
k = 0, · · · , 3
x[((n+ 2))4]DFT 4−→ X[k]ej
2π4 k2
17
TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 33
Interpretación del Interpretación del Desplazamiento Circular (II)Desplazamiento Circular (II)
–– Como desplazamiento modularComo desplazamiento modular
x[n]x[n+ 2]
Para N=5Para N=5
x[((n+ 2))5]DFT 5−→ X [k]ej
2π5 k2
k = 0, · · · , 4
TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 34
DualidadDualidad
x[n]DFS−→ X [k]
X[n]DFS−→ Nx[−k]
x[n]DFT N−→ X[k]
X [n]DFT N−→ Nx[((−k))N ]
DFT N
DFS
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TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 35
EjemploEjemplo
x[n]x[n]
x[−n] x[((−n))4]
TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 36
•• Para la transformada de Para la transformada de FourierFourier sabemos que:sabemos que:
•• De donde se deduce que:De donde se deduce que:
SimetríasSimetrías
x∗[n]F−→ X∗(e−jω)
x[−n] F−→ X(e−jω)
x∗[−n] F−→ X∗(ejω)
X(ejω) = X∗(ejω)⇒ x[n] = x∗[−n]
x[n] = x∗[n]⇒ X(ejω) = X∗(e−jω)
Si el espectro es realSi el espectro es realLa señal es conjugada La señal es conjugada simétrica y viceversasimétrica y viceversa
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TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 37
•• Con la DFT se cumple, para k=1,…, NCon la DFT se cumple, para k=1,…, N--1:1:
•• Por tanto, la DTF de una secuencia será real si:Por tanto, la DTF de una secuencia será real si:
Simetrías (II)Simetrías (II)
x∗[n]DFTN−→ X∗[((−k))N ]
x[((−n))N ] DFTN−→ X[((−k))N ]x∗[((−n))N ] DFTN−→ X∗[k]
x[n] = x∗[((−n))N ] n=0,···,N−1
TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 38
•• Se dice que una secuencia es simétrica conjugada Se dice que una secuencia es simétrica conjugada ((hermíticahermítica) en el dominio de la DFT si:) en el dominio de la DFT si:
•• Una secuencia real es simétrica (DFT) si:Una secuencia real es simétrica (DFT) si:
Simetrías (III)Simetrías (III)
x[n] = x∗[((−n))N ] n=0,···,N−1
x[n] = x[((−n))N ] n=0,···,N−1
20
TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 39
¿Cuáles de las Siguientes Señales reales ¿Cuáles de las Siguientes Señales reales Tienen una DFT de N puntos Real?Tienen una DFT de N puntos Real?
Como Como x[nx[n] es real, ] es real, para que para que X[kX[k] sea real ] sea real se debe cumplir que se debe cumplir que
x[nx[n]=x[((]=x[((--n))n))NN]]
1122
33
44 55
N=4N=4
N=3N=3
N=3N=3
N=4N=4N=4N=4
x1[n] x2[n]
x3[n]
x4[n]x5[n]
TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 40
Ejemplos (I)Ejemplos (I)
11
N=4N=4
x1[n]
•• Se cumplen todos los casos, luego la DFT es realSe cumplen todos los casos, luego la DFT es real
x[n] = x[((−n))4]??x[0] = x[((−0))4] = x[0]?x[1] = x[((−1))4] = x[3]?x[2] = x[((−2))4] = x[2]?x[3] = x[((−3))4] = x[1]?
21
TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 41
•• Dos formas más sencillas de comprobar la simetría:Dos formas más sencillas de comprobar la simetría:–– Acudiendo a la extensión periódicaAcudiendo a la extensión periódica
–– Buscando el eje de simetríaBuscando el eje de simetría
SimetriasSimetrias (III)(III)
N=4N=4
x1[n]x1[n] Simétrica!!Simétrica!!
N=4N=4x1[n]
N imparN impar
N=5N=5x1[n]
N parN par
TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 42
¿Cuáles de las Siguientes Señales reales ¿Cuáles de las Siguientes Señales reales Tienen una DFT de N puntos Real?Tienen una DFT de N puntos Real?
1122
33
44 55
N=4N=4
N=3N=3
N=3N=3
N=4N=4N=4N=4
x1[n] x2[n]
x3[n]
x4[n]x5[n]
22
TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 43
¿Cuáles de las Siguientes Señales reales ¿Cuáles de las Siguientes Señales reales Tienen una DFT de N puntos Real?Tienen una DFT de N puntos Real?
1122
33
44 55
N=4N=4N=3N=3
N=3N=3
N=4N=4N=4N=4
x3[n]
x4[n]x5[n]
x1[n] x2[n]
TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 44
ConvoluciónConvolución
•• Para la transformada de Para la transformada de FourierFourier
•• Para la DFT:Para la DFT:
x1[n] ? x2[n]F−→ X1(e
jω) ·X2(ejω)
z[n]DFT N−→ X1[k] ·X2[k] k=0,···,N−1
z[n] = x1[n] ? x2[n]???
23
TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 45
Ejemplo (I)Ejemplo (I)
x[n]
2π−2π
−2π
DFT 5 puntosDFT 5 puntos
DFT 5 puntosDFT 5 puntos
y[n]Y (ejω)
-π π 2π
X(ejω)
-π π
TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 46
Ejemplo (II)Ejemplo (II)
z[n]
x[n] ? y[n]
Y [k]
DFTDFT--11X[k] · Y [k]
??????
x[n]y[n]
X[k]
24
TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 47
Ejemplo (III)Ejemplo (III)z[n] = x[n] ? y[n]
AliasingAliasing temporaltemporal
z[n]
N=5N=5
X(ejω) · Y (ejω)
-π π
MuestreoMuestreoFrecuencialFrecuencial
N=5N=5
TFTF--11
ExtensiónExtensiónPeriódicaPeriódica
TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 48
ConvoluciónConvolución CircularCircular
•• Si N Si N ≥≥ max(Nmax(Nxx,N,Nyy), se cumple para k=0,…, N), se cumple para k=0,…, N--1:1:
•• Sólo si N Sólo si N ≥≥ NNxx+N+Nyy--1 se cumple que:1 se cumple que:
x[n]°N y[n]DFT N−→ X1[k] ·X2[k]
x[n]°N y[n] = x[n] ? y[n]
x[n]°N y[n] =N−1Xm=0
x[((n−m))N ]y[m]
25
TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 49
Interpretación de la Interpretación de la ConvoluciónConvolución Circular (I)Circular (I)
•• Según la expresión teóricaSegún la expresión teórica
5
1
Ν=54
y[m]
x[((1−m))5]1
x[1−m]
z[n] = x[n]°N y[n] =N−1Xm=0
x[((n−m))N ]y[m]
z[1] = 5 + 4 + 1 = 10
z[n]10
TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 50
Interpretación de la Interpretación de la ConvoluciónConvolución Circular (II)Circular (II)
y[m]
x[1−m]
z[1] = 5 + 4 + 1 = 10
c[n] = x[n] ? y[n]
ConvoluciónLineal en n=1
ConvoluciónLineal en n=6 c[1] = 9
c[6] = 1
z[1] = c[1] + c[6]
z[n] = x[n]°N y[n]
26
TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 51
Interpretación de la Interpretación de la ConvoluciónConvolución Circular (III)Circular (III)
Ν=7
y[n]
x[1−m]
x[((1−m))7] = x[1−m]x[((1−m))7] Coinciden
Convolución lineal ycircular
N = 7 (N ≥ 5 + 3− 1)
TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 52
Interpretación de la Interpretación de la ConvoluciónConvolución Circular (IV)Circular (IV)
•• ConvoluciónConvolución lineal solapada (lineal solapada (aliasingaliasing temporal)temporal)
N=5N=5N=5N=5
Intervalo n=0,..NIntervalo n=0,..N--11
1133
Ν=5
55
99
ConvoluciónConvoluciónlineallineal
z[n]
88
1010
ConvoluciónConvoluciónCircular N=5Circular N=5
27
TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 53
Interpretación de la Interpretación de la ConvoluciónConvolución Circular (V)Circular (V)
•• ConvoluciónConvolución lineal solapada (lineal solapada (aliasingaliasing temporal)temporal)
N=5N=5N=5N=5
Ν=5
ConvoluciónConvoluciónlineallineal
ConvoluciónConvoluciónCircular N=5Circular N=5
TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 54
Interpretación de la Interpretación de la ConvoluciónConvolución Circular (VI)Circular (VI)
N=7N=7N=7N=7
Intervalo n=0,..NIntervalo n=0,..N--11
Ν=7
ConvoluciónConvoluciónlineallineal
ConvoluciónConvoluciónCircular N=7Circular N=7
N = 7 (N ≥ 5 + 3− 1)
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