transormadas de la place

Universidad de Guanajuato

División de Ingenierias CampusIrapuato-Salamanca

Circuitos en Frecuencia

Transformadas de Laplace

Mario Andrew Hernández Bravo

Carretera Salamanca-Valle de Santiago Km 3.5+1.8 Km

Comunidad de Palo Blanco, C.P. 36885 Salamanca, Gto.

e19mario@hotmail.com

Guanajuato - 9 de febrero de 2015

Índice

1. Transformada de Laplace de la función seno 3

2. Transformada de Laplace de la función coseno 3

3. Transformada de Laplace de la función exponencial 4

4. Transformada de Laplace de la funcion seno amortiguado 5

5. Transformada de Laplace de la función coseno amortiguado 6

6. Transformada de Laplace de la función rampa amortiguada 7

2

1. Transformada de Laplace de la función seno

f(t) = sinωt =1

2j(ejωt − e−jωt) (1)

F (s) = L[f(t)] =∫ ∞0−

f(t)e−stdt

F (s) = L[f(t)] = L[sinωt]

F (s) =

∫ ∞0−

sin (ωt)e−stdt =1

2j

∫ ∞0−

(ejωt − e−jωt)e−stdt

F (s) =1

2j

∫ ∞0−

ejωte−stdt− 1

2j

∫ ∞0−

e−jωte−stdt

F (s) =1

2j

∫ ∞0−

e−t(s−jω)dt− 1

2j

∫ ∞0−

e−t(s+jω)dt

F (s) = − 1

2j(s− jω)e−t(s−jω)|∞0− +

1

2j(s+ jω)e−t(s+jω)|∞0−

1

2j(s− jω)− 1

2j(s+ jω)=

ω

s2 + ω2

F (s) = L[sinωt] = ω

s2 + ω2

2. Transformada de Laplace de la función coseno

f(t) = cosωt =1

2(ejωt + e−jωt) (2)

3

F (s) = L[f(t)] =∫ ∞0−

f(t)e−stdt

F (s) =

∫ ∞0−

cosωte−stdt =

∫ ∞0−

1

2(ejωt + e−jωt)e−stdt

F (s) =1

2

∫ ∞0−

e−t(s−jω)dt+1

2

∫ ∞0−

e−t(s+jω)dt

F (s) =1

2[s− jω]e−t(s−jω)|∞0− +

1

2[s+ jω]e−t(s+jω)|∞0−

F (s) = − 1

2(s− jω)− 1

2(s+ jω)=

s

s2 + ω2

F (s) = L[cosωt] = s

s2 + ω2

3. Transformada de Laplace de la función exponen-cial

f(t) = eαt (3)

F (s) = L[f(t)] =∫ ∞0−

f(t)e−stdt

F (s) =

∫ ∞0−

eαte−stdt

F (s) =

∫ ∞0−

e−t(s−α)dt

F (s) = − 1

s− αe−t(s−α)|∞0− =

1

s− α

F (s) = L[eαt] = 1

s− α

4

4. Transformada de Laplace de la funcion seno amor-tiguado

f(t) = sinωteαt (4)

F (s) = L[f(t)] =∫ ∞0−

f(t)e−stdt

F (s) =

∫ ∞0−

sin (ωt)eαte−stdt =

∫ ∞0−

1

2j(ejωt − e−jωt)eαte−stdt

F (s) =1

2j

∫ ∞0−

ejωteαte−stdt− 1

2j

∫ ∞0−

e−jωteαte−stdt

F (s) =1

2j

∫ ∞0−

e−t(s−jω−α) − 1

2j

∫ ∞0−

e−t(s+jωt−α)dt

F (s) = − 1

2j

1

(s− α) + jωe−t(s−α−jω|∞0− +

1

2j

1

(s− α) + jωe−t(s−α−jω|∞0−

1

2j

1

(s− α)− jω− 1

2j

1

(s− α) + jω=

ω

(s− α)2 + ω2

5

5. Transformada de Laplace de la función cosenoamortiguado

f(t) = cosωteαt (5)

F (s) = L[f(t)] =∫ ∞0−

f(t)e−stdt

F (s) =

∫ ∞0−

sin (ωt)eαte−stdt =

∫ ∞0−

1

2(ejωt + e−jωt)eαte−stdt

F (s) =1

2

∫ ∞0−

ejωteαte−stdt+1

2

∫ ∞0−

e−jωteαte−stdt

F (s) =1

2

∫ ∞0−

e−t(s−jω−α) +1

2

∫ ∞0−

e−t(s+jωt−α)dt

F (s) = −1

2

1

(s− α) + jωe−t(s−α−jω|∞0− −

1

2

1

(s− α) + jωe−t(s−α−jω|∞0−

1

2

1

(s− α)− jω+

1

2

1

(s− α) + jω=

s− α(s− α)2 + ω2

6

6. Transformada de Laplace de la función rampaamortiguada

f(t) = teαt (6)

F (s) = L[f(t)] =∫ ∞0−

f(t)e−stdt

F (s) =

∫ ∞0−

teαte−stdt

F (s) =

∫ ∞0

te−t(s−α)dt

Integrandoporpartes

− 1

(s− α)2e−t(s−α)|∞0− =

1

(s− α)2

7