transformada de laplace-juan toribio milané

La Transformada De Laplace

L 0

stt tf f e dt

Presentada por:

Juan Toribio Milané

Contenido. Transformadas.

Definición Y Notación.

Existencia De La Transformada De Laplace.

Transformada De Funciones Simples Por Definición.

Propiedades De La Transformada De Laplace.

Propiedad De Linealidad.

Primer Teorema De Traslación.

Derivada De La Transformada.

Relación Entre La Transformada y La Función Gama.

Transformada De Integrales.

Transformada De Derivadas.

Transformada Inversa.

Aplicación De La Transformada A La Resolución

De Ecuaciones Diferenciales.

Transformada De La Funciones Escalón.

Segundo Teorema De La Traslación.

Otra Forma Para El Segundo Teorema De La

Traslación

Transformada De Funciones Periódicas.

Transformadas.

Definición Y Notación

Otras Transformadas.

2 2

k k- -

0

Transformación de reflexion T:R R

Transformada Z de una sucesión X Z X ( ) .

1 Transformada D de D .

(1 )

Transformada de Fourier F (

K

KK

KK K K

K

x xT

y y

XX z

Z

f zf f

Z

f

) ( ) .ivttt F iv e f dt

Algunas Transformaciones

Integrales. Gran parte de importantes funciones del analisis matematico pueden

expresarse como integrales de la forma:

Una función G definida de este tipo donde la variable puede ser real o

compleja se llama transformada integral de f. La funcion K se llama

nucleo de transformacion.

G ( , ) ty K t y f dt

tf

Más Transformadas Integrales.

c

0

s

0

0

Transformada exponencial de Fourier F .

Transformada Coseno de Fourier F cos( ) .

Transformada Seno de Fourier F ( ) .

Transformada de Laplace F .

T

ivt

st

t t

t t

t t

t t

f e f dt

f tv f dt

f sen tv f dt

f e f dt

1

0

ransformada de Millin M .vt tf t f dt

Relación Entre Las Transformadas

Anteriores.

Las transformadas seno y coseno

son casos particulares de la

transformada exponencial del

Fourier, en la que f se anula en

el eje real negativo.

=cos(vt)-isen(vt)ivtcomo e

Para La transformada De Laplace.

Si:

0 0 0

s=u+iv,

L st ut ivt ivt

ut

t t t Q t

Q t t

u v R

f f e dt f e e dt e dt

Donde f e

Definición Y Notación

Definición Y Notación

La transformada de Laplace de una función se define mediante la

expresión:

tf F s

0

stt tf f e dt

L

L

Donde:

__ es el dominio de tiempo.

__es una variable compleja, dominio

de frecuencia.

__ es el núcleo de transformación.

__denota el operador de transformada

de Laplace.L

ste

s

t

Transformada De Laplace Bilateral

y Función Casual.

Si el comportamiento de f(t) para t<0 es de interés entonces

nesecitamos la transforamda bilateral que se define como:

En la presente expasicion solo trataremos transformada de

funciones casuales, esto es o la combertiremos

en casuales con alluda de la funcionde Heaviside por ello

para nosostros:

B L st

t tf f e dt

B

0

L stt t tf L f f e dt

0 0tf t

Condición Suficiente Para La

Existencia De :

Teorema: Si es continúa parte por parte

para y de orden exponencial para

entonces existe para

L

L

tf

t s t T

tf s c

FUNCIONES CONTINUAS A TROZOS

Sea f una función definida decimos

que es continua a trozos si:

Está definida y es continua en todo ,salvo en

un número finito de puntos

para .

: ,f a b R

Para cada , los límites :

existen. Note que, solamente uno de estos límites es pertinente si es uno de los extremos de

En general, el requisito de que estos límites seanfinitos en todos los puntos ,implica que lasúnicas discontinuidades de f sondiscontinuidades de salto, del tipo que aparecenen la siguiente grafica.

Intuitivamente podríamos pensar que lasfunciones continuas a trozos son casi continuaso que no son demasiado discontinuas.

FUNCIONES DE ORDEN EXPONENCIAL

Sea Decimos que la función f es

de orden exponencial si existen números:

tales que :

para

Intuitivamente esto significa que la función esta

por debajo de una función exponencial, como

se muestra en la siguiente grafica.

: 0,f R

, 0, 0k M T ( ) ktf t Me

t T

FUNCIONES DE ORDEN EXPONENCIAL

Observación: algunas veces, para verificar

que una función f es de orden exponencial,

conviene calcular el siguiente límite:

para algún valor de k .

Si es finito, entonces puede ser cualquier

número mayor que L (y este determina T ).

Por otro lado, si , f no es de orden

exponencial.

Ejemplos

Ejemplo 1

Compruebe que es de orden exponencial.

Solución

Para comprobar esto, apliquemos tres veces la regla de L'Hôpital :

para cualquier número positivo k . Por lo tanto, si t es suficientemente grande, se cumple que , y así es de orden exponencial.

Observación: no es difícil comprobar que cualquier polinomio de grado n o función trigonométrica como Sen(bt), Cos(bt), con b constante, son de orden exponencial, así como, las sumas y productos de un número finito de estas funciones. En general, si y son de orden exponencial, la suma y el productos son de orden exponencial.

Ejemplo 2

Compruebe que la función no es de

orden exponencial.

Solución

Calculando el límite tenemos que

para cualquier valor de k , con lo cual la

función no es de orden exponencial.

FUNCIONES ACOTADAS

Sea una función acotada, entonces

es de orden exponencial.

Demostración:

Como f es acotada para todo .

Entonces:

para cualquier

, con lo cual f es de orden exponencial.

: 0,f R

Demostración del teorema de la existencia.

0 0

log .st stt tf e dt f e dt Teorema ana o en serie sobre convergencia absoluta

1 2

0 0 0

=

T

st st st st

T

t t t tf e dt f e dt f e dt f e dt I I

0

0

L .

L

st

st

t t

t t

f f e dt Def de L

f f e dt aplicando

Existe ya que es continua a trozos y por tanto

esta integral puede escribirse como una suma

numerable de integrales sobre intervalos en los cuales

f es continua.

1I tf

( )

2

( )

2

( )

2

( )

2

sup 0( )

0( )

L 0

st ct st s c t

T T T

s c t

T

s c T

s c T

t

t

I f e dt Me e dt M e dt

MI e oniendo s c

s c

MI e

s c

MI e luego f para s c

s c

Corolario.

Si satisface la hipotesis del teorema,

Anterior:

Así: no puede ser la transformada de ninguna

Función, ya que:

tf

0lims

sF

1

s

s

1 0lims

sF

!Lo Suficiente No es Necesario!

Observación: el teorema anterior enuncia una

condición suficiente y no necesaria para la

existencia de la transformada de Laplace, es

decir, puede darse el caso de una función f que

no cumpla las hipótesis del teorema, pero aún

así tenga transformada, como lo muestra el

siguiente ejemplo.

Aún cuando no cumple las hipótesis del teorema de existencia anterior.

Claramente tiene una discontinuidad infinita en t = 0, con lo cual no es continua a trozos en el intervalo

, pero ; existe. !Hágalo!

El siguiente ejemplo muestra una función para la cual no existe la transformada de Laplace.

!Hágalo!

Propiedades De La Transformada De Laplace

Propiedad De Linealidad.

Primer Teorema De Traslación.

Derivada De La Transformada.

Transformada De Integrales.

Transformada De Derivadas.

Propiedad De Linealidad.

Si y existen

entonces:

para cualquier constante real.

Transformada De Funciones

Simples Por Definición.

!Vamos a lo que vinimos!

Primer Teorema De Traslación.

Si a es un número real y existe, entonces

Donde

a veces también se denota así:

o así:

L att s ae f F

L at

s s at te f L f

L at

s s at se f F

Demos:

Primer Teorema De La Translation

0

( )

0

L .

L

L

at at st

at s a t

at

t t

t t s a

t s a

e f f e e dt Def de L

e f f e dt F

e f F

Derivada De La Transformada. Si y además si se supone

que es posible cambiar el orden de derivación

y el de integración, entonces:

L t sf F

0

( ) stF st

d df e dt

ds ds

0

0

- L tan

st

st

t

t t

t

f e dts

f e dt

tf por to

( )

LF s

td

tfds

Análogamente:

2 L .t tt f L t tf

2

2

22

2

( )

tan L

t

F s

s

t s

dL tf

ds

d d

ds ds

dF

d s

dpor to t f F

d s

Si se sigue el proceso inductivamente

llegaremos a la demostración siguiente:

1, 2, 3, ....

L 1n

nn

nt F s

para n

dt f

ds

Un Cambio De Escala

Sea una función continua a trozos y de

orden exponencial, entonces:

Esto se demuestra facilmente haciendo la sustitución

1

cts

L f Fc c

tf

u ct

Relación Entre La Transformada De

Laplace y La Función Gama Para.

La función Gama: se define:

Se puede verificar que:

1

0

t xx e t dt

: 0, R

( ) 1af t t a R a

1

2

1 1 !x x x n n

Propiedades De La Función Gama

La funcion Gama converge para:

Pero aquí restringiremos su dominio.

Su gráfica es:

: R Z R

La Relación es:

( ) 1af t t a R a

0

1 1

0

1

1

L

: ,

1 ( 1) L

( 1) L 0.

! L

a a st

a a u

a a

a

a

n

n

t t e dt

así tomando u st se tiene

at u e du

s s

at s

s

nasí t

s

Un Poco De Cálculo Fraccionario.

La n-ésima derivada de donde n es un

numero natural, se puede ver así:

b ax

1

2

0

1

2

1 1

32 22

1 1

2 2

,

1 1 ....... 3 2 1 .

!( ) .

!

( 1).

( 1)

:

2 8. . .

3

n

b n

b b n b nb n

n

nb

n

nd b b nax b n b n b b b b axndx

d bax P ax ax

b ndx

d bax ax

b ndx

Así

d x d x d cx x cx

xdx dx dx

Transformada De Derivadas.

Si son continúas a trozos,

suaves y de orden exponencial en el intervalo ,

entonces:

1 2 n(t), (t), (t) ,........, (t) y y y y

0,

n-1n 1

i

i=0

n n-1 0 n-2 1 2 0 1

(t) (s) (0)

(t) = (s) (0) (0) (0) (0).

L y s

L y s s , , , , s s

n n i

n n n

s y

s y y y y

Y

Y

Integral De La Transformada

0

0

0

0 0

( )

( )

( )

( )

( )( )

xt

xt

s s

xt

s s

xt

s s

s

t

t

t

stet t

t

F x f e dt

F x dx f e dt dx

F x dx f e dx dt

F x dx f e dx dt f dt

f tF x dx L

t

( ) L ( ) ,

s

f tF x dx s c t

t

Transformada De Integrales.

0

( ) L ( )

tF s

f d s cs

Demos:

Como es continua por partes, el teorema

Fundamental del Cálculo implica que:

Donde es continua, así que es

continua y suave para ademas:

( )f t

,

0

g(t)= ( ) g (t)= ( )

t

f d f

( )f t ( )g t

0t

0 0 0

g(t) = ( ) ( ) 1

t t t

c ct ctM Mf d f d Me d e e

C C

Así hemos demostrado que lo que

indica que es de orden exponencial por tanto:

g(t) ctMe

C

0

,0

0 0

L

L

L( )

t

t g t g t g

Si g t g t

tg t

f L sL

f sL

fL L f d

s

Transformada Inversa.

( )L f t ( )F s

( )f t 1 ( )L F s

Aplicación De La Transformada A

La Resolución De Ecuaciones

Diferenciales.

Transformada De La Función Escalón

La función Escalón Unitario sirve para

manipular funciones de frecuencias

discontinuas, la función onda cuadrada es un

ejemplo de este tipo de función; así ya que:

0 ( 0)( )

1 ( 0)

tH t

t

0 ( )( )

1 ( )

t aH t a

t a

Gráfica De La Función Impulso.

Así la función producto:

De esta manera la función puede ser

interpretada como un mecanismo para

encender en un tiempo ; además la

función Escalón Unitario de Heaviside puede

usarse para escribir de manera concisa

funciones continuas a pedazos; así si:

0 ( )( ) ( )

( ) ( )

t aH t a f t

f t t a

( )H t a

( )f t t a

1 1

2 1 2

3 2

( ) (0 )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

f t t t

f t f t t t t

f t t t

1 2 1 1 3 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t f t H t f t f t H t t f t f t H t t

Función Continua Por Partes.

Alternativamente puede ser construida usando

la funcion sombrero de copa

Así entonces

Lo cual conduce a:

( )f t

( ) ( )H t a H t b

1( ) ( )

0 ,

a t bH t a H t b

t a b

1 1 2 1 2 3 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t f t H t H t t f t H t t H t t f t H t t

1 2 1 1 3 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t f t H t f t f t H t t f t f t H t t

Función Pulso Unitario.

Si representamos las siguientes funciones

mediante la funcion Escalon unitario de

Heaviside obtenemos:

2

2 2

2 (0 3)

( ) 4 (3 5) ( ) 2 ( ) 4 2 ( 3) 9 4 ( 5)

9 ( 5)

0 (0 1)

1 (1 3)

: ( ) 3 (3 5)

2 (5 6)

0 ( 6)

t t

f t t t f t t H t t t H t t H t

t

t

t

haga esta f t t

t

t

Ahora sí:

Transformada De La Función Escalón

Para tenemos: ( ), 0H t a a

0 0

( ) ( ) 0 1

1( ) 0 0 ( )

a atst st st

a

at

eL H t a H t a e dt e dt e dt

s

eL H t a a y para a L H t

s s

Si determinamos la transformada de la función Pulso

Rectangular obtendremos.

0

( ) 0 ( ) ( ) ( )

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) as bs

t a

f t K a t b K R b a f t K H t a H t b

t b

L f t L K H t a H t b KL H t a H t b KL H t a KL H t b

KL f t e e

s

Función Pulso Rectangular.

Segundo Teorema De La Traslación.

Este teorema es tambien conocido como, Teorema De

Heaviside o De Retraso.

Sí y , entonces : ( ) ( )L f t F s 0a

( ) ( ) ( )asL f t a H t a e F s

Demos:

0 0

( )

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

a

st st st

a

st s x a as sx as sx

a

as

L f t a H t a f t a H t a e dt e dt f t a e dt

Haciendo x t a t x a dx dt

L f t a H t a f t a e dt f x e dx f x e e dx e f x e dx

f t a H t a e F s

Forma alternativa al segundo

teorema de traslación Sea una función continua a trozos y de

orden exponencial en , entonces : 0,f R

0,

( ) ( ) ( )asL f t H t a e L f t a

Demos:

0 0

( )

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

a

st st st

a

st s u a sa su

a

sa

L f t H t a f t H t a e dt e dt f t e dt

Haciendo t u a u t a dx dt

L f t H t a f t e dt f u a e du e f u a e du

L f t H t a e L f u a

Es importante distinguir

Indica que está encendida en

Por otra parte.

Representa una traslacion de

en a unidades, su intepretacion es un retraso de

por a unidades. De esta manera representa

el operador retraso en la transformada

( ) ( )

0

( )f t H t a

t a

f t t a

( )f t

t a

( ) ( )

0

( )f t a H t a

t a

f t a t a

( )f t

( )f tste

( )F s

Segundo Teorema De La Traslacion

Aplicacion De La Función De Heaviside a

Funciones Periodicas.

Obtenga la transformada de la función onda cuadrada.

1 3 5( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 ..... ..

2 2 2

1 3 5( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 ..... ..

2 2 2

f t KH t KH t T KH t T KH t T KH t T KH t T

f t K H t H t T H t T H t T H t T H t T

Cont.

1 3 5( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 ..... ..

2 2 2

31 2 2 2 2 22 2( ) ...... ..

1 2

2 2 2 2( ) 1

L f t KL H t H t T H t T H t T H t T H t T

sT sTsT sT

L f t K e e e es s s s s

sT sT sTK

L f t e e es

3 4

2 ...... ..

2

122 1 12( ) 1 ( ) tanh

421

1( ) tanh

4

sTK

es

sT

observe que en la serie geometrica r e

sTsT

K K K e KL f t e sT

sTs s s se

KL f t sT

s

Transformada De Funciones

Periódicas

Si , definida para todo t positivo es una

función periodica, con periodo T, esto es

entonces se cumple que:

( )f t

0

1( ) ( )

1

T

st

sTL f t e f t dt

e

( ) ( )f t nT f t

Demos:

2 3

0 2 ( 1)

( )

0 0 00 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ....... ( ) ...

1, 2,3,....

( ) ( ) ( ) ( )

(

T T T nT

st st st st

T T n T

T T T

s nT s snT snT s

n n n

L f t e f t dt e f t dt e f t dt e f t dt

si hacemos t nT n

L f t e f nT d e e f d e e f d

L f

0

1) ( )

1

T

s

stt e f d

e

Si usamos la funcion de Heaviside para expreser

dicha funcion este teorema se puede expresar como

sigue:

1

1

1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) 1 ( )sT

f t f t H t H t T

L f t e L f t

Usamos ahora el teorema anterior para obtener la

transformada de la función Onda Cuadrada:

10

2( )

1

2

K t T

f t

K T t T

1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )

1 1 2

1( ) 1 ( )

1

1 1 2 12( ) 1

1 2( ) 1 21

1( )

21

Aplicando f t f t H t H t T f t K H t H t T H t T así

sTAplicando L f t e L f t

sTKsT sT

L f t e e es s s s

sTK sT

L f t e esT se

KL f t

s sT

e

2

2 21 12

212

2 2 21 1 1

1( ) tanh

4

sT sT

e esT

K Ke

sT sT sTs se e e

KL f t sT

s

Fuentes Bibliograficas

1-Ecuaciones Diferenciales Elementales

C. H. Edwards, Jr. Y David E. Penney

Prentice Hall 3ra edicion .

2- Matematicas Avanzadas Para Ingenieros

Glyn James, Prentice Hall 2da edicion

3-Ecuaciones Diferenciales Con Problemas De

De Valores En La Frontera. Zill G. Dennis y

Cullen R. Michael. Thonson 6ta edicion.

4-Ecuaciones Diferenciales Con Aplicaciones

Zill G. Dennis Iberoamerica 2da edicion.

5-Ecuaciones Diferenciales

C. H. Edwards, Jr. Y David E. Penney

Prentice Hall 2da edicion .

6-Matematicas Avanzadas Para Engenieria

Kreyszig Erwin, Limusa-Wiley, S.A.

1967.

7-Analisis Matematico (Vol-I-II)

Castro Valdés Concepcion,

Pueblo y Educación 2da edicion.

8-Cálculo Superior, Spiegel R. Murray.

McGRAW-Hil 1996.

9-Cálculo Con Geometría Analítica,

Edwards y Penney, Prentice Hall

1996

10-Cálculo,

Larson, Hostetler, Edwards

McGRAW-Hill 6ta edicion.

11-Cálculo,

Purcell, Varberg, Rigdon.

Prentice Hall 9na edicion.

12-Basic Complex Variables For

Mathematics And Engineering,

Mathews H. John,

13-Algebra Lineal

Grossman I Stanley,

McGRAW-Hill 5ta edicion.

14-Algebra Lineal

Kolman Bernard y Hill R. David

Prentice Hall 8va edicion.

15-Algebra y TrigonometríaZill G. Dennis y Dewar M. Jacqueline

McGRAW-Hill 2da edicion.

16-Internet, Google, Wikipedia,

Títulos: Ecuaciones Diferenciales,

Transformada De Laplace,

Funcion Gamma, Integrales Impropias