tesis doctoral eugenio seguin
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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
ESCUELA DE INGENIERIA
TORSIÓN EN SISTEMAS AISLADOS
SÍSMICAMENTE CON DISPOSITIVOS
ELASTOMÉRICOS
CARLOS EUGENIO SEGUIN RUIZ
Tesis para optar al grado de
Doctor en Ciencias de la Ingeniería
Profesor Supervisor:
JUAN CARLOS DE LA LLERA MARTÍN
Santiago de Chile, Diciembre, 2007
© 2007, Carlos Eugenio Seguin
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
ESCUELA DE INGENIERIA
TORSIÓN EN SISTEMAS AISLADOS SÍSMICAMENTE CON DISPOSITIVOS
ELASTOMÉRICOS
CARLOS EUGENIO SEGUIN RUIZ
Tesis presentada a la Comisión integrada por los profesores:
JUAN CARLOS DE LA LLERA M.
RAFAEL RIDDELL C.
CARL LÜDERS SCH.
PETER DECHENT A.
ARTURO TENA COLUNGA
SEBASTIÁN RÍOS M.
Para completar las exigencias del grado de
Doctor en Ciencias de la Ingeniería
Santiago de Chile, Diciembre, 2007
iii
DEDICATORIA
A mi esposa e hijas por su amor y
comprensión.
A la memoria de mi entrañable padre.
A mi madre y a mi madre política.
iv
AGRADECIMIENTOS
Emprender una tarea como la que hoy culmina involucra una serie de duras decisiones y
cambios en la vida que afecta a muchas personas; en mi caso personal nada menos que a
mi propia familia: Silvana, mi esposa; y mis hijas, Victoria y Agustina de quienes he
recibido todo y a quienes expreso mi mas profundo agradecimiento y amor.
A mis padres Enrique y Susana que siempre secundaron mis inquietudes; en especial a
mi padre, que quedó en el camino de esta gran aventura que es la vida, y a quien debo el
gusto de disfrutar la búsqueda del conocimiento.
A mi profesor guía, Juan Carlos de la Llera, de quien recibí gran apoyo a nivel personal,
gran cantidad de conocimientos, desafíos y oportunidades.
Un párrafo muy especial para mi gran amigo, José Luis Almazán, ayer un alumno y hoy
un profesor de la Escuela de Ingeniería que siempre ha estado a mi lado, aportando
muchas ideas e invaluable e incondicional apoyo personal.
A profesores, personal administrativo y de laboratorio de la querida Escuela de
Ingeniería, siempre dispuestos a atender cualquier inquietud, y entre ellos especiales
agradecimientos a Carl Lüders, Jorge Vásquez y Pedro Hidalgo.
Especial agradecimiento para mi querida Universidad Nacional de San Juan, a todo su
personal docente y de apoyo universitario y en particular al personal del Instituto de
Investigaciones Antisísmicas “Ing. Aldo Bruschi”, donde aprendí a hacer investigación.
Finalmente a todo el pueblo de Chile, que siempre me recibió con los brazos abiertos y
me hizo sentir como en casa, mitigando el sinsabor de la distancia de mi tierra y mi
familia.
v
INDICE GENERAL Pág.
DEDICATORIA .............................................................................................................. iii
AGRADECIMIENTOS ....................................................................................................iv
INDICE GENERAL ..........................................................................................................v
INDICE DE TABLAS .......................................................................................................x
INDICE DE FIGURAS....................................................................................................xii
RESUMEN................................................................................................................... xviii
ABSTRACT.....................................................................................................................xx
I. INTRODUCCIÓN .........................................................................................................1
II. TORSION ACCIDENTAL............................................................................................9
II.1 Resumen ...............................................................................................................9
II.2. Introducción..........................................................................................................9
II.3 Modelo considerado............................................................................................11
II.4 Análisis de la respuesta.......................................................................................14
II.5. Variabilidad de la rigidez en aisladores elastoméricos.......................................18
II.6 Análisis de medias y varianzas ...........................................................................22
II.6.1 Análisis del valor medio...................................................................................24
II.6.2 Análisis de la varianza .....................................................................................24
II.7 Simulación de Monte Carlo ................................................................................28
II.8 Resultados obtenidos ..........................................................................................29
II.8.1 Espectro de desplazamientos constante ...........................................................29
II.8.2 Espectro de desplazamientos seudovelocidad constante..................................32
vi
II.9 Significado para los Códigos ..............................................................................35
II.10 Conclusiones.......................................................................................................39
III INTERACCIÓN DINAMICA AISLAMIENTO –
SUPERESTRUCTURA ...............................................................................................41
III.1 Resumen .............................................................................................................41
III.2 Introducción........................................................................................................42
III.3 Modelo estructural y ecuaciones de movimiento ...............................................46
III.4 Problema de interacción base-superestructura....................................................51
III.5 Modelo de masa corregida..................................................................................53
III.6 Modelo cuasi-estático .........................................................................................54
III.7 Estimación espectral de la interacción superestructura-aislamiento ..................62
III.8 Estimación de la respuesta rotacional de la base aislada....................................67
III.8.1 Caso bidimensional ..........................................................................................70
III.8.2 Caso tridimensional..........................................................................................77
III.9 Ejemplos de diseño .............................................................................................81
III.9.1 Espectro de la Norma NCh 2745 .....................................................................83
III.9.2 Espectro del registro de melipilla (1985) .........................................................85
III.11 Conclusiones.......................................................................................................89
IV CONTROL TORSIONAL SUPERESTRUCTURA ..........................................92
IV.1 Resumen .............................................................................................................92
IV.2 Introducción........................................................................................................92
IV.3 Sistema considerado y ecuaciones de movimiento.............................................94
vii
IV.3.1 Ecuaciones exactas del movimiento.................................................................95
IV.3.2 Modelo cuasi-estático ..................................................................................97
IV.4 Control de la respuesta de la superestructura ...................................................100
IV.4.1 Paso 1: Cálculo de la matriz de covarianza de aceleración total................102
IV.4.2 Paso 2: cálculo de la matriz de covarianza de desplazamientos de la
superestructura ...........................................................................................................105
IV.4.2.1 Rotación mínima ................................................................................106
IV.4.2.2 Balance torsional (control torsional débil) .........................................108
IV.4.2.3 Control torsional fuerte ......................................................................108
IV.5 Control torsional usando información espectral ...............................................109
IV.6 Resultados obtenidos (Control torsional fuerte) ...............................................111
IV.6.1 El coeficiente de correlación ν .....................................................................111
IV.6.2 Excentricidades óptimas del aislamiento .......................................................113
IV.6.3 Reducción de la respuesta torsional ...............................................................118
IV.7 Metodología de diseño propuesta .....................................................................121
IV.8 Aplicación a estructuras de múltiples pisos......................................................122
IV.9 Conclusiones.....................................................................................................127
V CONSTITUTIVA NO-LINEAL PARA APOYOS ESLASTOMÉRICOS...............129
V.1 Resumen ...........................................................................................................129
V.2 Introducción......................................................................................................129
V.3 Comportamiento histerético de los elastómeros ...............................................131
V.4 Modelo propuesto de relación constitutiva.......................................................135
V.4.1 Componente disipativa...................................................................................138
viii
V.4.2 Componente conservativa hiperelástica.........................................................140
V.4.3 Componente envolvente.................................................................................142
V.5 Identificación de parámetros para la constitutiva propuesta.............................144
V.5.1 Parámetros de la componente conservativa hiperelástica ..............................146
V.5.2 Parámetros de la etapa disipativa de Bouc-Wen modificada .........................147
V.5.3 Parámetros de la componente envolvente ......................................................148
V.6. Identificación de parámetros con datos experimentales ...................................149
V.7 Extensión al campo bidimensional ...................................................................156
V.7.1 Componente disipativa...................................................................................157
V.7.2 Etapa envolvente ............................................................................................158
V.7.3 Componente conservativa ..............................................................................158
V.7.4 Disipadores actuando en paralelo...................................................................160
V.8 Ejemplo de aplicación.......................................................................................161
V.9 Conclusiones.....................................................................................................165
VI TORSION EN RANGO NO LINEAL .............................................................167
VI.1 Resumen ...........................................................................................................167
VI.2 Introducción......................................................................................................167
VI.3 Sistema considerado y ecuaciones de movimiento...........................................169
VI.3.1 Modelo de fuerzas no-lineales .......................................................................172
VI.3.2 Sistema lineal equivalente..............................................................................173
VI.3.3 Parámetros considerados................................................................................175
VI.3.4 Condiciones de diseño del sistema de aislamiento ........................................176
ix
VI.4 Efecto del número de aisladores .......................................................................178
VI.5 Respuestas consideradas y resultados obtenidos ..............................................180
VI.5.1 Sistema de aislamiento...................................................................................181
VI.5.2 Superestructura...............................................................................................186
VI.6. Ejemplos de aplicación .....................................................................................188
VI.6.1 Estructura de un piso......................................................................................190
VI.6.2 Estructura de múltiples pisos .........................................................................194
VI.7 Conclusiones.....................................................................................................202
VII RESUMEN FINAL Y CONCLUSIONES .......................................................204
VII.2 Conclusiones........................................................................................................207
VIII ANEXOS ..........................................................................................................213
Anexo A Meseta de desplazamiento constante .........................................................213
Anexo B Desplazamientos para seudovelocidad constante.......................................216
Anexo C Reducción de sistemas de múltiples pisos a sistemas de un piso...............220
Anexo D Aceleración modal total .............................................................................221
Anexo E Esperanza de aceleración máxima .............................................................222
Anexo F Coeficiente de correlación de desplazamientos .........................................223
Anexo G Rotación mínima como cociente de distribuciones gaussianas..................224
Anexo H Determinación del coeficiente de correlación ν~ ......................................228
Anexo I Balance torsional.......................................................................................233
Anexo J Algoritmo de integración de la constitutiva ...............................................234
BIBLIOGRAFIA ...........................................................................................................237
x
INDICE DE TABLAS Pág.
Tabla II.1. Parámetros estadísticos de los aisladores ensayados............................... 19
Tabla II.2 Características estadísticas de los compuestos.......................................... 21
Tabla III.1 Variación del periodo de la estructura en función de γ ............................ 43
Tabla III.2 Registros de aceleraciones empleados en el análisis ............................... 60
Tabla III.3 Amplificaciones máximas en los bordes según la zona del espectro....... 76
Tabla III.4 Primeros modos de la estructura con base fija y del aislamiento............. 83
Tabla III.5 Respuesta de los bordes de la superestructura – Espectro NCh 2745...... 85
Tabla III.6 Respuesta en los bordes de la superestructura – Espectro Melipilla........ 87
Tabla IV.2 Cracterísticas de la estructura analizada. ............................................... 122
Tabla IV.2 DEa y DEs máximas y promedio, Registro El Centro........................... 124
Tabla IV.3 DEa y Des máximas y promedio, Registro Sylmar. .............................. 124
Tabla IV.4 DEa y DEs máximas y promedio, Registro Kobe. ................................ 125
Tabla V.1 Características mecánicas de la goma natural. Comparación con acero. 132
Tabla V.2 Identificación de parámetros de la goma. Compuestos H5 y H8............ 150
Tabla V.3 Registros para la determinación del efecto deriva para la relación
constitutiva de Bouc-Wen. Bouc-Wen................................................................. 155
Tabla V.4 Frecuencias y amortiguamientos. Modelo lineal equivalente ................. 164
Tabla VI.1 – Características de registros empleados en el análisis.......................... 174
Tabla VI.2 – Características de sistemas lineales equivalentes y parámetros no-
lineales considerados en el análisis. ..................................................................... 178
xi
Tabla VI.3 Ubicación y resistencias aisladores sistema de múltiples pisos............. 195
Tabla VI.4 Comparación de deformación de entrepiso con aislamiento simétrico y
asimétrico ............................................................................................................. 200
Tabla VI.5 mejora en el control del comportamiento torsional de la
superestructura para el diseño propuesto ............................................................. 200
Tabla VI.6 Efecto del control de la superestructura en el comportamiento torsional
del aislamiento ..................................................................................................... 201
xii
INDICE DE FIGURAS
Pág.
Figura 2.1 Planta del sistema de aislamiento considerado...............................................12
Figura 2.2 Espectro de desplazamiento de diseño para distintas normas – Suelo
tipo II, 05.0=ζ . ..........................................................................................................16
Figura 2.3 Dispersión y valores medios de los compuestos 5H y 8H . ...........................20
Figura 2.4 Distribución de frecuencias de los aisladores ensayados. Compuesto
5H . ...............................................................................................................................21
Figura 2.5 Distribución de frecuencias de los aisladores ensayados. Compuestos
8H . ...............................................................................................................................22
Figura 2.6 Desviación estándar de desplazamiento para el compuesto H5. Sd
constante.......................................................................................................................30
Figura 2.7 Desviación estándar de desplazamiento para el compuesto H8. Sd
constante.......................................................................................................................31
Figura 2.8 Desviación estándar de desplazamiento para el compuesto H5. Sv
constante.......................................................................................................................33
Figura 2.9 Desviación estándar de desplazamiento para el compuesto H8. Sv
constante.......................................................................................................................34
Figura 2.10 Esperanza de amplificación máxima (95%) compuesto 5H . Sv
constante.......................................................................................................................36
xiii
Figura 2.11 Esperanza de amplificación máxima (95%) compuesto 5H . Sd
constante.......................................................................................................................37
Figura 3.1 Rigidez; módulo G secante y amortiguamiento ζ...........................................43
Figura 3.2 Sistema superestructura – aislamiento considerado y grados de libertad
relativos (Caso general: superestructura, sistema de aislamiento y
subestructura). ..............................................................................................................47
Figura 3.3 Representación del cuadro de flujo de la interacción dinámica. ....................53
Figura 3.4 FRF para el techo, deformación de entrepiso y aceleración...........................56
Figura 3.5 Comparación de MEX, MMC, y MCE deformaciones de entrepiso y
aceleraciones de techo. .................................................................................................57
Figura 3.6 Comparación entre la respuesta del MEX y el MMC; frecuencias
modales y amortiguamientos........................................................................................59
Figura 3.7 Predicción media del error MMC y MCE para un edificio de 6 pisos. ..........61
Figura 3.8 Errores obtenidos usando superposición modal MCE con 2 espectros
de diseño.......................................................................................................................66
Figura 3.9 Frecuencias y factores de participación modal L. Sistema acoplado. ............69
Figura 3.10 Influencia media de la flexibilidad de la superestructura. ............................69
Figura 3.11 Amplificación rotacional aislamiento. Distintas excitaciones......................72
Figura 3.12 Amplificación rotacional para el espectro del UBC. ....................................73
Figura 3.13 Amplificaciones máximas en los bordes rígido y flexible del
aislamiento. ..................................................................................................................75
xiv
Figura 3.14 Excentricidad bidimensional en planta.........................................................78
Figura 3.15 Amplificación en los bordes. Caso tridimensional. ......................................80
Figura 3.16 Planta y elevación de la estructura de 6 pisos del ejemplo...........................81
Figura 3.17 Comparación de la historia de desplazamientos en el borde flexible y
rígido de la base............................................................................................................84
Figura 3.18 Comparación de la historia de desplazamientos en el borde flexible y
rígido de la base............................................................................................................86
Figura 3.19 Espectro de seudo desplazamientos para el registro N00E Melipilla,
(Chile 1985)..................................................................................................................88
Figura 4.1 Sistema superestructura – aislamiento considerado. ......................................95
Figura 4.2 Aislamiento sísmico como filtro pasa-banda. Ampliación zona ZPA............98
Figura 4.3 Integración dinámica - modelo cuasi-estático. Registro El Centro ................99
Figura 4.4 Respuesta ideal de una superestructura asimétrica.......................................101
Figura 4.5 Varianza de rotación. Curvas de nivel para El Centro. ................................107
Figura 4.6 Espectro de pseudo-desplazamiento para distintas excitaciones. .................112
Figura 4.7 Coeficiente de correlación ν entre aceleraciones de traslación y torsión
total.............................................................................................................................112
Figura 4.8 Excentricidades óptimas empleando el criterio de rotación mínima. ...........114
Figura 4.9 Excentricidades óptimas empleando el criterio de balance torsional. ..........116
Figura 4.10 Curvas de nivel y regiones de control de rotaciones para la
superestructura. Criterio a). ........................................................................................119
xv
Figura 4.11- Regiones de control de la torsión para la superestructura. Criterios a)
y b)..............................................................................................................................120
Figura 4.12 Ejemplo: estructura excéntrica de 6 pisos. Marcos de hormigón
armado. .......................................................................................................................123
Figura 4.13 Respuesta edificio de múltiples pisos sin optimizar y optimizada; El
Centro. ........................................................................................................................125
Figura 5.1 Resultados experimentales de leyes fuerza-deformación para
elastómeros.................................................................................................................133
Figura 5.2 Resultados experimentales para un aislador con núcleo de plomo...............133
Figura 5.3 Envolvente experimental de ciclos de histéresis para un aislador...............135
Figura 5.4 Ley fuerza – deformación y representación normalizada.............................136
Figura 5.5 Efecto del parámetro δ en la forma de la relación constitutiva
propuesta. ...................................................................................................................139
Figura 5.6 Ley conservativa hiperelástica controlada por una envolvente. ...................141
Figura 5.7 Puntos característicos para la identificación de parámetros. ........................144
Figura 5.8 Ajuste entre constitutivas: ensayo - propuesta. Compuestos 5H y 8H . ......153
Figura 5.9 Modelo analítico y ensayo. Comparación para un sismo real (F-x). ............154
Figura 5.10 Comparación entre modelo propuesto y ensayo para un registro real
(F-t). ...........................................................................................................................154
Figura 5.11 Estimación del error por deriva de la constitutiva de Bouc-Wen...............156
Figura 5.12 Respuesta bidimensional del modelo constitutivo propuesto.....................159
Figura 5.13 Trayectoria de desplazamientos prescritos. ................................................160
xvi
Figura 5.14 Estructura aislada excéntrica de 6 pisos considerada. ................................162
Figura 5.15 Respuesta despl.-t de los aisladores. Registro Sylmar, caso
unidimensional. ..........................................................................................................163
Figura 5.16 Respuestas F-x de los aisladores. Registro Sylmar para acción
unidireccional. ............................................................................................................163
Figura 5.17 Historia de desplazamientos para excitación bidireccional. .......................163
Figura 5.18 Historias Fx-x, Fy-y. Aisladores 1 y 3, excitación bidireccional................164
Figura 6.1 Esquema del modelo empleado ....................................................................170
Figura 6.2 Comparación entre el análisis no lineal y el modelo lineal equivalente.......174
Figura 6.3 Influencia del número de aisladores en la respuesta no lineal del
modelo. .......................................................................................................................179
Figura 6.4 Comparación entre la respuesta no lineal y lineal equivalente.....................182
Figura 6.5 Comparación entre el factor de amplificación torsional medio....................184
Figura 6.6 Espectros de respuesta para: a)- registro El Centro; b)- registro
Melipilla. ....................................................................................................................185
Figura 6.7 Espectros de desplazamientos promedio de 11 registros y suavizado
propuesto. ...................................................................................................................185
Figura 6.8 Combinación de excentricidades para análisis no-lineal. 7.0)(0 =Ω s . ............186
Figura 6.9 Combinación de excentricidades para análisis no-lineal y lineal
equivalente. ................................................................................................................187
Figura 6.10 ábacos de diseño. Espectro registro de Newhall, Northridge, 1994. ..........192
xvii
Figura 6.11 Espectros de desplazamientos de Newhall normalizado ( ga máx 4.0= )
y del proceso envolvente considerado........................................................................192
Figura 6.12 Respuesta de la base y la superestructura al registro de Newhall...............193
Figura 6.13 Ejemplo. Estructura de 6 pisos de marcos de hormigón armado................195
Figura 6.14 Espectros de diseño norma NCH 2745 y del registro compatible
empleado. ...................................................................................................................196
Figura 6.15 Aislamiento simétrico, deformación de entrepiso. .....................................197
Figura 6.16 Ábacos de diseño. Espectro norma NCH 2745. .........................................198
Figura 6.17 Aislamiento asimétrico 20.0)( =bsxê . Deformación de entrepiso en la
estructura. ...................................................................................................................199
xviii
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE ESCUELA DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ESTRUCTURAL Y GEOTÉCNICA
TORSIÓN EN SISTEMAS AISLADOS SISMICAMENTE CON DISPOSITIVOS
ELASTOMÉRICOS
Tesis enviada a la Dirección de Investigación y Postgrado en cumplimiento parcial de los requisitos para el grado de Doctor en Ciencias de la Ingeniería.
CARLOS EUGENIO SEGUIN RUIZ
RESUMEN
El objetivo de los sistemas pasivos de aislamiento sísmico es mitigar los efectos
destructivos de los terremotos introduciendo una interfaz flexible y disipativa que se
dispone entre la estructura y el suelo de fundación o bien entre dos partes de una
estructura. Numerosas investigaciones realizadas en los últimos veinte años han logrado
importantes avances en el control de la respuesta sísmica mediante el uso sistemas de
aislamiento. Sin embargo, el comportamiento acoplado lateral-torsional de estas
estructuras aún presenta diversas interrogantes que deben ser investigadas. Algunas de
estas interrogantes forman parte de la esencia de esta tesis Doctoral.
En esta investigación se postula primero una ecuación cerrada para determinar la
amplificación torsional máxima de los desplazamientos debido a la incertidumbre en el
valor de la rigidez de los aisladores sísmicos, calibrada a partir de numerosos ensayos
realizados en el Laboratorio de Control de Vibraciones de la Escuela de Ingeniería de la
Pontificia Universidad Católica de Chile. A continuación, se investiga la formulación
general de la dinámica de las estructuras aisladas como un problema de interacción entre
el sistema de aislamiento y la superestructura en rango lineal. Como resultado, se
obtienen métodos simplificados para el estudio de la dinámica de estructuras aisladas. A
partir de estos modelos simplificados se aborda el estudio del control de la respuesta
acoplada lateral-torsional de la superestructura. Aplicando técnicas probabilísticas a este
xix
modelo se obtienen curvas de diseño para seleccionar los parámetros de excentricidad y
flexibilidad rotacional del aislamiento que permiten controlar la respuesta de la
superestructura minimizando y balanceando su respuesta torsional respecto del
aislamiento. Además, se postula un modelo constitutivo bidimensional para dispositivos
elástoméricos mediante el desarrollo de dos constitutivas, una disipativa no-lineal basada
en el modelo de Bouc – Wen y una conservativa que representa el fenómeno de
hiperelasticidad. Con este modelo, se extiende el estudio del control de la respuesta
acoplada lateral-torsional de la superestructura al rango no-lineal del aislamiento.
Mediante simulaciones numéricas con una serie de registros de movimientos sísmicos se
demuestra que los métodos de control del comportamiento acoplado lateral-torsional
obtenidos para la superestructura en rango lineal del aislamiento pueden extrapolarse sin
mayores dificultades al rango no-lineal.
Miembros de la Comisión de Tesis Doctoral Juan Carlos de la Llera M. Rafael Ridell C. Carl Lüders Sch. Peter Dechent A. Arturo Tena Colunga Sebastián Ríos M. Santiago, Septiembre, 2007
xx
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE ESCUELA DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ESTUCTURAL Y GEOTÉCNICA
TORSION IN SEISMIC ISOLATED SYSTEMS WITH ELASTOMERIC DEVICES
Thesis submitted to the Office of Research and Graduate Studies in partial
fulfillment of the requirements for the Degree of Doctor in Engineering Sciences by
C. EUGENIO SEGUIN
ABSTRACT
The main objective of passive seismic isolation systems is to reduce drastically the
earthquake risk by means of a flexible and dissipative layer placed between the
foundation and the structure, or in an intermediate level. In the last 20 years many
investigations have obtained significant advances in the lateral control of structures with
seismic isolation. However, several questions related to the lateral-torsional coupling of
isolated structures remain without clear answers.
Furthermore, the aim of this doctoral thesis is to give answers to some of these
questions. First, the accidental torsion problem in isolated structures is investigated.
Assuming that the isolator stiffness is the only source of uncertainty, a closed form
equation is obtained to estimate the torsional displacement amplification at the edges.
This equation was calibrated using values of shear modulus and lateral stiffness
measured in many tests carried on the Vibrations Control Laboratory of Catholic
University of Chile. The three dimensional response of asymmetric buildings is cast
under a dynamic base-superstructure interaction formulation. Two simplified models
were selected and used to investigate the torsional amplification of the edge
displacements. Furthermore, the accuracy and range of applicability of both methods is
investigated for different system parameters and ground motions. Symbolic expressions
are derived to compute the edge response by using a pseudo-static method. Based on this
model, the optimum control of the torsional superstructure response is studied. Using the
minimum and torsional balance concepts, design expressions are obtained to select
xxi
optimum values of isolation eccentricity. As a result, the torsional control of the
superstructure improves considerably when the isolation system is torsionally flexible,
and the center of stiffness of the isolation and superstructure are closed to each other.
Next, a new bidimensional non-linear constitutive model is developed for elastomeric
isolators. It consists of a hysteretic Bouc-Wen model, plus a hiper-elastic back-bone
model. This model shows excellent agreement with experimental results. Finally, using
this model, the lateral torsional response of linear asymmetric structures with non-linear
isolation devices is studied. By means of numerical simulations using ground records, it
is concluded that the results obtained for the linear isolation models can also be extended
to the non-linear range almost without change.
Members of the Doctoral Thesis Committee: Juan Carlos de la Llera M. Rafael Ridell C. Carl Lüders Sch. Peter Dechent A. Arturo Tena Colunga Sebastián Ríos M. Santiago, September, 2007
I. INTRODUCCIÓN
1
I. INTRODUCCIÓN Los sistemas pasivos de aislamiento sísmico se emplean con el objeto de controlar el
efecto destructivo de los terremotos en las construcciones mediante una interfaz flexible
capaz de disipar energía dispuesta entre éstas y el suelo o en sus pisos intermedios.
Entre la variedad de dispositivos existentes, el sistema de aislamiento sísmico basado en
apoyos elastoméricos es el más antiguo (Kelly, 1997) y ampliamente difundido en el
mundo. Estos apoyos están constituidos por capas de goma de aproximadamente 10 mm
de espesor alternadas con placas se acero de 3 a 5 mm de espesor. Poseen gran
flexibilidad lateral y alta rigidez vertical, la altura y diámetro resultante son variables de
acuerdo a las necesidades de flexibilidad y máxima deformación transversal.
Un aspecto relevante en estas estructuras es su comportamiento torsional tanto desde el
punto de vista del sistema de aislamiento, como del control torsional de la
superestructura. El acoplamiento lateral-torsional en estas estructuras se produce como
resultado de asimetrías accidentales o naturales en planta tanto en la superestructura
como en el sistema de aislamiento. En tanto la superestructura se comporta
esencialmente en rango lineal, el sistema de aislamiento lo hace, en general, en rango
no-lineal de magnitud variable. Sin embargo el uso de modelos lineales equivalentes que
representan el comportamiento de su constitutiva es particularmente muy usado en la
estimación de la respuesta dinámica durante el diseño del sistema de aislamiento. Los
modelos lineales equivalentes son frecuentemente usados en la fase de elección del
sistema de aislamiento por que ellos capturan la parte esencial de su respuesta sísmica.
Estos modelos se justifican por la pequeña variación del período propio del modo
aislado para un amplio rango de desplazamientos. Así, en aisladores elastoméricos, para
valores de distorsión angular γ variable entre el %75 y el %250 la variación del
periodo propio del modo aislado se mantiene en un rango de %5+ a %5.2− respecto del
periodo de diseño ( %150=γ ). Con base en ésta observación la primera parte de esta
investigación (Capítulos II a IV) se desarrolla en el campo lineal.
En el Capítulo II se trata la torsión accidental producida por la variación en la rigidez de
los dispositivos de aislamiento. En este sentido numerosos países como EEUU (UBC,
2
1997), Japón, Nueva Zelanda y recientemente Chile (NCh 2745, 2003), México (Tena,
2005) han desarrollado criterios de control de calidad para estos sistemas con el objeto
de acotar su influencia. Estos criterios tienden a minimizar la variabilidad en la
distribución de rigidez de los dispositivos respecto del valor nominal empleado para su
diseño. Se hace notar que si estos criterios de aceptación son demasiado estrictos
conducen al encarecimiento de los sistemas de aislamiento, sin embargo la relajación de
estos criterios puede conducir a sistemas de aislamiento menos confiables. Por lo tanto,
resulta de gran interés determinar cual es el grado de influencia real de esta variabilidad
en el comportamiento torsional del sistema. En trabajos anteriores, de la Llera y Chopra
(1994) estudiaron el problema de la excentricidad accidental en estructuras
convencionales. Posteriormente de la Llera e Inaudi (1994) analizaron el mismo
problema en sistemas de aislamiento, enfocando su estudio en la metodología de análisis
de la norma UBC para tener en cuenta este efecto. Más recientemente Shenton III y
Holloway (2000) propusieron expresiones analíticas aproximadas basadas en análisis
modal espectral para estimar el efecto de la variabilidad de la rigidez de los aisladores
en: (i) la respuesta torsional del sistema de aislamiento, (ii) la respuesta traslacional de
su centro de masas y (iii) en el esfuerzo de corte basal de la superestructura. En su
análisis estudian sólo sistemas de aislamiento torsionalmente rígidos y asumen
erróneamente que el primer modo aislado es determinante en la respuesta acoplada del
aislamiento. Además, como se demuestra en el Capítulo IV de esta investigación los
sistemas de aislamiento torsionalmente flexibles permiten controlar la respuesta
torsional de la superestructura en forma óptima. Por otra parte, en estos trabajos
anteriores y ante la ausencia de información experimental, se ha supuesto una
variabilidad de rigidez arbitraria en los dispositivos de aislamiento. En este Capítulo, se
analiza en primer término la variabilidad de la rigidez de apoyos elastoméricos de un
gran número de ensayos realizados en el Laboratorio de Control de Vibraciones del
Departamento de Ingeniería Estructural y Geotécnica de la Pontificia Universidad
Católica de Chile. Posteriormente, se desarrolla una ecuación exacta para sistemas mono
simétricos de un piso basada en análisis modal espectral teniendo en cuenta los dos
3
modos aislados relevantes para el comportamiento acoplado lateral-torsional del sistema
de aislamiento. Esta ecuación se compara luego con 2000 simulaciones de Monte Carlo
(Hammersley y Handscomb, 1965). Finalmente, y aplicando los resultados
experimentales ya señalados, se determina la influencia real de la variabilidad de la
rigidez en la respuesta torsional del aislamiento y se compara con las disposiciones de
códigos actuales (UBC, 1997; NCh2745 2003).
En el Capítulo III se analiza el comportamiento torsional del sistema de aislamiento y la
interacción entre éste y la superestructura. En trabajos anteriores se ha concluido que las
estructuras aisladas conducen al control natural de los efectos torsionales (Pan y Kelly,
1983; Lee, 1980; Nakamura et al., 1988). Sin embargo, todos ellos se concentran en el
sistema de aislamiento y tienen en cuenta solo sistemas torsionalmente rígidos. Por otra
parte, y aunque restringido a muy pequeñas amplitudes de movimiento en un trabajo de
Papagorgiou y Lin (1989) las mediciones de desplazamiento efectuadas durante el
terremoto de Redlands (1985) en el edificio de Law and Justice Center (Rancho
Cucamonga) muestran amplificaciones torsionales en el sistema de aislamiento
contradiciendo las conclusiones obtenidas hasta ese momento; motivados por esta
observación Nagarajaiah et al. (1993), estudiaron en forma numérica la repuesta de
edificios multipiso. Incluyen en su estudio distintas relaciones de flexibilidad torsional y
excentricidades en la superestructura con el objeto de establecer su influencia en el
sistema de aislamiento; también toman en consideración distintas razones de flexibilidad
torsional y excentricidades en el sistema de aislamiento. Su conclusión es que en
determinadas circunstancias los sistemas de aislamiento amplifican sustancialmente la
respuesta de sus bordes. En la misma línea de investigación Tena y Gómez (2002)
estudian la influencia de la excentricidad de la masa de la superestructura en el
comportamiento torsional del aislamiento para edificios multipiso y para un amplio
rango de periodos del sistema de aislamiento, sus conclusiones coinciden con las de
Nagarajaiah et al. (1993), pero observan que las amplificaciones torsionales máximas
dependen de varios factores y no obedecen a una regla simple. Por su parte, Ryan y
Chopra (2002) desarrollaron algunos métodos simplificados en rango lineal para estudiar
4
los efectos de la torsión en el sistema de aislamiento de estructuras aisladas con
acoplamiento lateral-torsional. Kulkarni y Jangrid (2002) evaluaron la influencia de la
flexibilidad de la superestructura considerando distintos tipos de aisladores lineales y no-
lineales, y concluyen que la respuesta del sistema de aislamiento no se ve mayormente
afectada por la flexibilidad de la superestructura. Posteriormente Tena y Zambrana
(2005) estudian el efecto en el comportamiento acoplado lateral-torsional de sistemas de
aislamiento con excentricidad en el sistema aislado, sus conclusiones en este caso son
muy similares a las obtenidas por Tena y Gómez (2002). Finalmente, Tena y Escamilla
(2006) estudian los efectos de la torsión en el sistema aislamiento debidas a asimetrías
de masa y rigidez en la superestructura. Tienen en cuenta edificios multipiso y distintos
periodos para la superestructura considerada con base fija y para el sistema aislado
además de distintas relaciones de flexibilidad torsional para la superestructura, entre
algunas de sus conclusiones confirman las tendencias observada en el trabajo de Tena y
Gómez (2002) sin embargo las amplificaciones en el sistema de aislamiento resultan
significativamente reducidas y constantes para asimetrías de masa en la superestructura
cuando se verifican relaciones entre el periodo del sistema aislado (Ti) y el de la
superestructura con base fija (Ts) superiores a 8, en este caso la influencia de la
excentricidad en rigidez de la superestructura resulta despreciable en el comportamiento
torsional del sistema aislado. La investigación llevada a cabo en este Capítulo, a
diferencia de los mencionados precedentemente, se basa en el análisis y la
interpretación de la interacción dinámica entre el sistema de aislamiento y la
superestructura. La comprensión de esta interacción permite explicar los resultados
aparentemente contradictorios de trabajos previos en un único marco teórico, desarrollar
métodos simplificados para predecir la respuesta del sistema de aislamiento y de la
superestructura y sentar las bases para obtener el control pasivo de la torsión de la
superestructura minimizando y balanceando su respuesta torsional respecto del
aislamiento actuando en rango lineal.
Con base en los resultados obtenidos en el Capítulo III y para finalizar el estudio lineal,
en el Capítulo IV se presenta una metodología de análisis para identificar los parámetros
5
óptimos que debe poseer el sistema de aislamiento para reducir el acoplamiento lateral-
torsional de la superestructura. Las investigaciones realizadas en los últimos años han
asumido que la mejor solución para el problema torsional de los sistemas aislados es
aquella que evita la torsión en el sistema de aislamiento (Tena y Escamilla (2006); Tena
y Zambrana (2005); Tena y Gómez (2002); Nagarajaiah, 1993; Pan y Kelly, 1983; Zayas
et al., 1987). Sin embargo, este criterio está en contradicción con el objetivo
fundamental del aislamiento sísmico basal que debe concebirse como un sistema de
protección para la superestructura y ha conducido a que, hasta la actualidad no se han
desarrollado criterios de diseño que permitan controlar eficientemente el
comportamiento torsional de esta última. Para desarrollar estos criterios de control, en
esta parte de la investigación interpretamos el efecto del sistema de aislamiento como la
aplicación de un filtro pasa banda que por una parte atenúa la intensidad de las
aceleraciones y por otra modifica la excitación que percibe la superestructura. Además,
en el Capítulo III y en coincidencia con algunos investigadores (Tena y Escamilla
(2006); Nagarajaiah et al., 1993; Pan y Kelly, 1983; Singh, 1983; Kulkarni y Jangrid,
2002) se ha establecido que para estructuras con aislamiento basal la dinámica de la
superestructura interfiere muy poco en la respuesta del sistema de aislamiento, sin
embargo, la dinámica del aislamiento si modifica en forma importante el
comportamiento de la superestructura. Estas dos observaciones permiten estudiar los
sistemas aislados como un sistema en cascada, donde el primer bloque es la estructura
completa, considerada como un cuerpo rígido, cuyas aceleraciones totales constituyen la
excitación para el segundo bloque: la superestructura. En estas condiciones el primer
bloque es equivalente a un filtro de Kanai – Tajimi (1957; 1960) cuya frecuencia y
amortiguamiento son las del sistema de aislamiento. Este filtro es capaz de modificar las
aceleraciones traslacionales e introducir componentes rotacionales, cuya adecuada
combinación permite controlar el comportamiento acoplado lateral-torsional de la
superestructura en forma óptima, minimizando su rotación y balaceando la respuesta de
los bordes respecto del aislamiento para superestructuras asimétricas. La aplicación de
técnicas probabilísticas a este modelo permiten encontrar las condiciones del aislamiento
6
que controlan en forma óptima la respuesta torsional de la superestructura para una
excitación tipo ruido blanco, las que posteriormente y sin ninguna dificultad se
extienden al análisis modal espectral empleando tanto espectros de diseño como de
sismos reales. Los resultados obtenidos son generalizados para edificios de múltiples
pisos y aplicados a algunos ejemplos.
En los Capítulos V y VI se incursiona en el campo de las estructuras con acoplamiento
lateral-torsional aisladas con dispositivos elastoméricos en rango no-lineal. Debido a que
la goma natural posee bajo amortiguamiento ( %2 ), estos dispositivos solían estar
acompañados de disipadores histeréticos actuando en paralelo. La tecnología actual, sin
embargo, ha desarrollado gomas de alto amortiguamiento y con módulo de rigidez
transversal G variable que paulatinamente han reducido la necesidad del uso de estos
disipadores histeréticos. Estas gomas de alto amortiguamiento y módulo de rigidez
variable se obtienen mediante el agregado de distintos componentes en variadas
proporciones. Los elastómeros se caracterizan por el módulo G y el amortiguamiento
lineal equivalente ζ (por ej. %12;/5 2 =ζ= cmkgG ).
La relaciones constitutivas fuerza-deformación para cada compuesto presentan
características distintas, con algunos rasgos comunes, tales como el fenómeno de
hiperelasticidad, caracterizado por un aumento de rigidez a partir de deformaciones
relativamente elevadas y el efecto de ''scragging'' que se manifiesta como una pérdida de
rigidez muy importante después del primer ciclo de carga y que se atenúa en ciclos
posteriores. Respecto a este último fenómeno, algunos estudios indican que para
deformaciones específicas transversales γ del orden del %150 y luego de 4 meses de
reposo la goma recupera el %98 de su rigidez inicial (Kulak y Hughes, 1995). Sin
embargo, para deformaciones mayores se ha reportado que la pérdida de rigidez es
permanente.
Varios investigadores han propuesto distintos modelos matemáticos para describir este
comportamiento fuerza-deformación, sin embargo, la mayoría de ellos no modelan la
hiperlasticididad ni el efecto de ''scragging'' (Tsopelas et al., 1994; Forni et al., 1995;
Naeim y Kelly, 1999; Salomón et al., 2000). Recientemente algunos modelos (Hwang et
7
al, 2002) han conseguido representar adecuadamente este comportamiento observado en
las gomas, sin embargo su manejo es complicado y solamente tienen en cuenta el
comportamiento unidireccional. En el Capítulo V se propone un modelo matemático
fenomenológico para representar el comportamiento de las gomas ante la aplicación de
cargas cíclicas transversales. Esta constitutiva emplea tres etapas, una envolvente para
modelar el comportamiento virgen de la goma, una conservativa para la etapa
hiperelástica y finalmente una etapa disipativa. La constitutiva desarrollada permite
también, la inclusión de una o más etapas aditivas para modelar el comportamiento de
disipadores histeréticos actuando en paralelo. Además, se presenta la metodología de
identificación de sus parámetros basada en resultados de ensayos. Los modelos
obtenidos se comparan con ensayos reales, ante la aplicación de ciclos de
desplazamiento armónicos y de registros de desplazamientos de terremotos reales.
Debido a que la etapa disipativa de la relación constitutiva propuesta se basa en una
versión modificada del modelo de Bouc-Wen (1975) se propone su extensión al campo
bidimensional mediante el modelo de Park et al. (1986). Por último se presentan los
resultados obtenidos de modelar una estructura sometida a registros de terremotos reales
unidireccionales y bidireccionales.
En rango lineal es posible establecer las características que debe tener el aislamiento
para optimizar la respuesta rotacional de la superestructura mediante la minimización de
su rotación relativa a la base y el balance de la respuesta de sus bordes. Sin embargo, los
sistemas de aislamiento desarrollados en los últimos veinte años funcionan en campo
definidamente no-lineal. En el Capítulo VI se investigan los parámetros del sistema de
aislamiento no-lineal que permiten alcanzar el control pasivo de la respuesta acoplada de
la superestructura. No todos los sistemas de aislamiento permiten controlar el
comportamiento torsional de la superestructura; entre aquellos que si lo permiten se
encuentran todos los dispositivos que poseen componentes restitutivas independientes de
la distribución instantánea de cargas verticales, tales como los dispositivos elastoméricos
o los que emplean resortes (Kelly, 1997; Nawrotzky, 2000). El ejemplo más destacado
entre los que no permiten el control torsional de la superestructura está dado por el
8
péndulo friccional (FPS) (Zayas et al., 1987). El presente trabajo de investigación se
enfoca en los dispositivos de aislamiento elastoméricos, pero sus resultados pueden
extenderse sin dificultad a otros dispositivos. En esta etapa de la investigación se usa la
constitutiva desarrollada en el Capítulo V que respeta adecuadamente el comportamiento
de los apoyos de goma de alto amortiguamiento y de goma natural con corazón de
plomo (Seguin y de la Llera, 2003). Con el objeto de comparar los resultados obtenidos
en el campo lineal con el no-lineal, se identifica el sistema de aislamiento lineal
equivalente mediante la aplicación de técnicas probabilísticas así, el sistema de
aislamiento no-lineal se diseñó de manera que en el sistema lineal equivalente se
mantengan constantes los parámetros de control de la respuesta de la superestructura.
Por otra parte, debido a que la flexibilidad rotacional y excentricidad del aislamiento
pueden obtenerse con un número variable de apoyos no-lineales, se investigó la
influencia del número de aisladores en la respuesta acoplada del aislamiento. Además, a
efectos de evaluar tendencias generales de comportamiento en el campo no-lineal, se
obtuvo el promedio de la respuesta acoplada de la superestructura y del aislamiento
resultante de la aplicación de 11 registros de terremotos históricos para distintas razones
de flexibilidad rotacional y excentricidades tanto en el aislamiento como en la
superestructura. De los resultados obtenidos se observa un fuerte paralelismo entre el
comportamiento lineal y no-lineal, sin embargo los parámetros del aislamiento que
controlan la respuesta de la superestructura ya no se basan en la rigidez de los aisladores
sino en las fuerzas no lineales de éstos, a pesar de esto, se comprueba que los resultados
obtenidos en campo lineal pueden extenderse sin ninguna dificultad al campo no-lineal.
Finalmente, se aplican los resultados obtenidos a algunos ejemplos lográndose un
excelente control de la respuesta torsional de la superestructura.
Por último, en el Capítulo VII se presenta un resumen de las conclusiones finales y de
las recomendaciones para obtener el control torsional óptimo de la superestructura sin
afectar sensiblemente el comportamiento torsional del aislamiento.
II. TORSIÓN ACCIDENTAL
9
II. TORSION ACCIDENTAL II.1 Resumen A pesar del control de calidad que existe en la producción de aisladores eslatoméricos, la
inherente variabilidad en las propiedades mecánicas del elastómero se transmite a las
propiedades mecánicas del aislador. Esta variabilidad accidental produce habitualmente
asimetría en planta en el sistema de aislamiento, lo que induce torsión accidental del
sistema aún cuando la superestructura pueda ser nominalmente simétrica. A la fecha
existen en la literatura algunos trabajos que han abordado el problema y obtenido
conclusiones desde un enfoque teórico, sin precisar el orden de magnitud real existente
en variabilidad de rigidez de los apoyos. Este trabajo de investigación se enfoca a
establecer la influencia que tiene la variabilidad en rigidez de los apoyos elastoméricos
en la respuesta acoplada lateral-torsional del sistema de aislamiento utilizando datos
experimentales para dicha variabilidad. Estos datos se han obtenido de numerosos
ensayos dinámicos realizados en aisladores elastoméricos en el Laboratorio de Control
de Vibraciones del Departamento de Ingeniería Estructural y Geotécnica de la Pontificia
Universidad Católica de Chile. Se desarrolla además, una expresión analítica, basada en
análisis modal espectral, que establece la influencia de esta variabilidad en el
desplazamiento de los bordes del sistema de aislamiento.
II.2. Introducción Es inevitable que los aisladores elastoméricos presenten variabilidad en sus propiedades
mecánicas. Dicha variabilidad proviene de fuentes tales como el compuesto elastomérico
a raíz del proceso de mezclado, la calidad del material base, la dosificación de aditivos,
o del mismo proceso de fabricación del aislador atribuible a variaciones geométricas del
mismo, el tiempo de curado, la presión y temperatura aplicada, y el mecanismo propio
de curado. Toda esta variabilidad se resume en los cambios de las propiedades
mecánicas globales de rigidez y amortiguamiento interno de los aisladores, que tienen
una relevancia significativa en la respuesta sísmica de la estructura. Consecuentemente y
10
con el propósito de acotar los valores de deformación y esfuerzo de corte de diseño en
estructuras aisladas sísmicamente, los códigos existentes (e. g. UBC, NCh2745)
establecen el uso de valores extremos para la rigidez y disipación de energía de los
aisladores. Es por lo tanto muy relevante en el diseño conocer la variabilidad que
presentan estas propiedades mecánicas en los aisladores y evaluar el impacto que dicha
variabilidad puede tener en la respuesta de la estructura.
En un estudio anterior de la Llera y Chopra (1994) establecieron un modelo
probabilístico para evaluar el problema de excentricidad accidental en estructuras
convencionales como resultado de la variabilidad en rigidez, masas, excitación torsional,
y otros factores. Las conclusiones más relevantes de dicho estudio fueron que: (1) es
posible expresar el efecto de variabilidad en la respuesta a través de una amplificación
de la deformación de los bordes de la estructura y considerar el efecto a través del
concepto de torsión accidental; (2) El factor de amplificación puede ser expresado como
una función de la razón de flexibilidad torsional 0Ω ; (3) la amplificación es máxima
para estructuras nominalmente simétricas; (4) La incertidumbre en la distribución de
masa domina por sobre el resto de las fuentes de incertidumbre, lo que justifica el uso de
una excentricidad accidental; (5) el efecto accidental no puede ser evaluado
estáticamente en estructuras con 10 <Ω ; (6) el incremento de la respuesta en los bordes
debido a excitación torsional es pequeño para estructuras con periodo fundamental de
vibración traslacional > 0.5seg; (7) el efecto de la variabilidad de la rigidez decrece con
el aumento de la cantidad de planos resistentes; (8) los edificios con longitud
perpendicular al movimiento mucho mayor que la longitud en la dirección del
movimiento muestran el mayor incremento en la respuesta debido a la torsión accidental.
Posteriormente de la Llera e Inaudi (1994) extrapolan el procedimiento de análisis del
mismo problema de torsión accidental con sistemas de aislamiento sísmico, comparando
sus resultados con el requerimiento de la norma UBC (1991) en cuanto a considerar un
5% de excentricidad accidental en el diseño de sistemas aislados. Encuentran que la
amplificación real es menor que la que se obtiene de aplicar este criterio.
11
Más recientemente Shenton y Holloway (2000) proponen expresiones analíticas
aproximadas basadas en análisis modal espectral para estimar el efecto de la variabilidad
en rigidez de los aisladores en la respuesta del centro de masas, los bordes del sistema de
aislamiento, y en el esfuerzo de corte basal de la superestructura. Su análisis se
concentra sólo en sistemas de aislamiento torsionalmente rígidos y asume que el primer
modo aislado determina la respuesta acoplada del sistema de aislamiento. Además, los
trabajos anteriores descritos suponen una variabilidad de rigidez arbitraria en los
aisladores.
Por esta razón esta investigación considera en primer término la variabilidad en rigidez
de aisladores elastoméricos observada en un gran número de ensayos realizados entre los
años 1997 y 2003 en el Laboratorio de Control de Vibraciones del Departamento de
Ingeniería Estructural y Geotécnica de la Pontificia Universidad Católica de Chile. La
base de datos considera aisladores elastoméricos que fueron ensayados antes de ser
ubicados en tres importantes edificios en Chile (de la Llera et al. 2004). Esta
investigación se limita sólo a evaluar la influencia de la variabilidad en rigidez de los
aisladores, dejando de lado la influencia del amortiguamiento.
Se propone adicionalmente una expresión exacta para sistemas monosimétricos de un
piso basada en análisis modal espectral teniendo en cuenta ambos modos aislados
relevantes en el comportamiento acoplado lateral-torsional del sistema de aislamiento.
Los resultados se comparan con simulaciones de Monte Carlo, en distintos sistemas
(Hammersley y Handscomb, 1965). Finalmente aplicando los resultados experimentales
y analíticos disponibles, se determina la influencia de la variabilidad de la rigidez en la
respuesta torsional del sistema de aislamiento.
Para todos los análisis se considera que la superestructura se vincula rígidamente al
sistema de aislamiento.
II.3 Modelo considerado La estructura considerada es monosimétrica y se muestra esquemáticamente en la Figura
2.1. Para efectos del análisis que se realiza a continuación la superestructura se supone
12
y
x
2a
2a1
2c
2c1
1 2 … n
1m
… θ
rígida y con masa )(sm , la planta del sistema de aislamiento se supone rectangular y con
masa )(bm . Se supone que las masas están distribuidas de forma uniforme en altura de
modo que su radio de giro resulta 12/)1(2 2,l
bs ra +=ρ , con acrl /= , donde a2 es el
ancho y c2 la profundidad de la planta.
Figura 2.1 Planta del sistema de aislamiento considerado
El sistema se considera apoyado sobre dispositivos ubicados de forma simétrica según
una grilla rectangular con n líneas de aisladores simétricos que están ubicados en
dirección x en una longitud aa 22 1 ≤ y m líneas en dirección y de profundidad
cc 22 1 ≤ , tal que el sistema tiene nmN ×= aisladores. Se consideran dos grados de
libertad, uno traslacional en la dirección y y otro rotacional θ . La aceleración del
terreno en dirección y es gyu&& .
Suponemos que los aisladores son circulares y con rigidez ik en todas las direcciones.
Se supone que la rigidez de cada aislador es distinta.
13
Considerando que la superestructura se encuentra rígidamente vinculada al aislamiento
la Ecuación de movimiento lateral se expresa como:
gt
N
iiii
N
iii
N
iii
N
ii
t
t
umy
yxkxk
xkkym
m&&
&&&&
)(
1
22
1
112)(
)(
01
)(00
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∑∑
∑∑
==
==
θθρ (2.1)
donde: )()()( bst mmm += es la masa total por sobre el sistema de aislamiento, )(sm es la
masa traslacional total de la superestructura; )(bm la masa traslacional de la base; ix , jy
son las coordenadas de los aisladores medidas desde el centro de masas (CM). Notar que
por definición ∑∑==
=N
ii
N
iii kexk
11, en que e es la excentricidad estática entre el centro de
rigidez (CR) y el centro de masas CM, Además es posible expresar
( )∑∑ +=+=
N
iiii
N
ii keyxk 2222
1
)( κ , donde κ se define como el radio de giro de rigidez
respecto al CR.
Definiendo ρeê = (excentricidad normalizada), ρκωωθ ==Ω
yo
o es la razón de
frecuencia torsional a lateral desacoplada o también la razón de flexibilidad torsional,
Capítulo III, podemos rescribir la Ecuación (2.1) en forma normalizada como:
gyyo uy
êêêy
&&&&&&
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+Ω−
−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡011
22 ρθω
θρ (2.2)
Observe que en el caso en que todos los aisladores son iguales, ni kk = la Ecuación (2.2)
se transforma en la ecuación:
gn uyy
&&&&
&&⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡01
001
20
2
ρθω
θρ (2.3)
14
Donde 0Ω es la razón de flexibilidad torsional del sistema nominalmente simétrico.
II.4 Análisis de la respuesta En esta sección obtenemos la respuesta de la estructura mediante análisis modal
espectral. Resolviendo el problema de valores y vectores propios determinado por la
Ecuación (2.3), las frecuencias y modos normalizados de vibración están dados por
(Capítulo III)
[ ]222, 4)1(
21ˆ Ω−Ω−= ssignstr mω (a) (2.4)
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−−
=ê
êd r
r
1ˆ1ˆ1
2
2
ωω
Φ (b)
en que tr ,ω son las frecuencias rotacional y traslacional normalizadas a yoω ,
221 es +Ω+= y 222 )1ˆ( êd r +−= ω . El signo menos en la Ecuación (2.4a) se asocia al
modo rotacional y el positivo al traslacional. La función sign se emplea sólo para ser
consecuente con el ordenamiento de los modos en la Ecuación (2.4b). Notar que la
función sign se define en este caso tal que 1)0( =sign .
Las ecuaciones de movimiento en coordenadas generalizadas o modales iΨ se escriben
como:
grryor udê&&&& −=Ψ+Ψ 22 ωω (a) (2.5)
gr
ttyot ud
&&&& 1ˆˆ2
22 −−=Ψ+Ψ
ωωω (b)
para el modo rotacional y traslacional, respectivamente. Definiendo como grados de
libertad los desplazamientos en los bordes del sistema de aislamiento los modos se
escriben como:
15
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−−++−−−
=êaaêêaaê
d rr
rre ~)1ˆ()1ˆ(~
~)1ˆ()1ˆ(~122
22
ωωωω
Φ (2.6)
donde ρaa =~ . Los factores de participación modal están dados por:
dd
ê rtr
1ˆ;
2 −==
ωLL (2.7)
Consecuentemente, usando superposición modal espectral CQC (Der Kiureghian, 1981),
los factores de amplificación del centro de masas ( q ) y de los desplazamientos del borde
izquierdo y derecho del aislamiento ( eq ) se obtienen de
2242
ˆˆˆ2ˆ1
1ˆ ttrr DDDDq +++
= εμεε
(2.8)
2222222
ˆ)~1(ˆˆ)~1)(~(2ˆ)~(1
1ˆ ttrre DaDDaaDaq εεεεμεεε
±+±++
= mm (2.9)
donde:
d
tdt
d
rdr
r SS
DSS
Dê==
Ω+Ω+−ΩΩ+Ω
=−
= ˆ;ˆ;)1(4)1(
)1(8;1ˆ 2222
2/32
2 ζζμ
ωε (2.10)
y tdrd SS y son los desplazamientos espectrales de vibradores de un grado de libertad
correspondientes a las frecuencias del modo rotacional y traslacional ( ryoryo ωωωω ˆ,ˆ ),
respectivamente, μ el coeficiente de correlación entre ellos (Der Kiureghian, 1981) y
dS el desplazamiento del centro de masas del sistema simétrico ( yoω ). En la Ecuación
16
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
5
10
15
20
25
30
35
40
Periodo T (seg)
desp
laza
mie
ntos
(cm
)
Espectro UBCEspectro NCh2745Espectro Eurocode 8
(2.9) el signo de la línea superior del radicando corresponde al borde izquierdo y el
inferior al derecho.
No sólo el valor absoluto de la coordenada espectral es importante si no también su
forma. El espectro de diseño utilizado varía dependiendo del código de diseño adoptado.
Figura 2.2 Espectro de desplazamiento de diseño para distintas normas – Suelo tipo II, 05.0=ζ .
Por ejemplo, en tanto la norma americana UBC (1997) define un espectro de
desplazamientos asociado a seudovelocidad constante; la norma Chilena NCH 2745
(2003) y el Eurocode 8 (1994) establecen espectros de desplazamientos con una meseta
de desplazamiento constante a partir de cierto periodo de vibración (Figura 2.2). Es
evidente que en los casos de la NCh2745 y el Eurocode 8 las estructuras aisladas
sísmicamente se encuentran generalmente ubicadas sobre la meseta de desplazamiento
constante.
17
Analizamos el problema para ambos tipos de espectro. En el caso en que las frecuencias
acopladas del sistema se encuentran ubicadas sobre la meseta de desplazamiento
constante los factores de amplificación son 1ˆˆ == tr DD , por lo que reemplazando estos
valores en las Ecuaciones (2.8) y (2.9), se aprecia que las amplificaciones dependerán
solo de las características de la estructura sin encontrarse influenciada por la entrada. Sin
embargo en el caso en que los desplazamientos idS provienen de un espectro de
seudovelocidad constante se tiene que (UBC, 1997)
iD
VDid B
gCSωπ2
= (2.11)
donde DB es el factor de reducción de respuesta que establece el código UBC (1997)
por mayor amortiguamiento en el sistema de aislamiento, VDC es un coeficiente
espectral que depende de la zona sísmica, y iω la frecuencia del modo i.
Resulta así que los factores de amplificación tr DyD ˆˆ , quedan expresados en este caso
para ambos modos por las expresiones:
t
tr
r DDωω ˆ1ˆ;
ˆ1ˆ == (2.12)
Contrariamente al caso de meseta de desplazamiento constante, si se reemplazan estos
valores en las ecuaciones (2.8) y (2.9) se aprecia que las amplificaciones no dependen
sólo del aislamiento, sino que se encuentran influenciadas por el espectro de diseño
considerado.
En la siguiente sección realizamos el análisis de la variabilidad de la rigidez de los
aisladores elastoméricos.
18
II.5. Variabilidad de la rigidez en aisladores elastoméricos Esta sección caracteriza la variabilidad en rigidez de aisladores elastoméricos que fueron
ensayados entre los años 1997 a 2003 (de la Llera et al. 2004). Los compuestos
considerados en el presente análisis corresponden a las denominaciones 5H y 8H cuyos
módulos de corte G objetivos, para una deformación transversal máxima de %150=γ ,
son 5 y 7.5 kg/cm², respectivamente. Sin embargo, el estudio se presenta también para
otras deformaciones transversales %100y50,25=γ . No se consideran deformaciones
mayores debido a que %150=γ ha sido el límite de diseño escogido para estos
compuestos. En cualquier caso el análisis indicado puede ser extrapolado a cualquier
nivel de deformación.
Se supone en la determinación de los parámetros estadísticos de los aisladores que sus
dimensiones reales son las nominales y que los ensayos fueron realizados bajo
condiciones de temperatura similares. Por lo tanto, las variaciones indicadas de rigidez
se deben únicamente a variaciones en el módulo de corte G. Si bien esto no es
estrictamente correcto el mecanizado de las planchas y la incertidumbre de los procesos
involucrados en la fabricación del aislador es mucho menor que la existente en la
fabricación del compuesto elastomérico. Bajo estos supuestos el coeficiente de variación
del compuesto se extrapola directamente a la rigidez lateral de los aisladores, ya que
[ ] [ ] [ ] [ ]22
2 GEHAkEyGE
HAkE latlat ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== (2.13)
El espacio muestral considerado en este estudio corresponde a 36 aisladores con
compuesto 5H y 304 aisladores con compuesto 8H .
En la Tabla II.1 se consignan los valores medios (G ), desviaciones estándar ( Gσ ) y
coeficientes de variación ( GV Gk /σ= ) obtenidos para cada compuesto para
%150100,50,25 y=γ y en la Figura 2.3 se representan las dispersiones de G y sus
valores medios G .
19
Tabla II.1 Parámetros estadísticos de los aisladores ensayados.
COMPUESTO H5 H8 γ (%)
G (kgf/cm2) σG (kgf/cm2) VG G (kgf/cm2) σG (kgf/cm2) VG
25 8.66 4.29 0.49 11.13 1.11 0.1 50 6.81 1.8 0.26 9.41 0.95 0.1
100 5.36 0.84 0.16 7.71 0.68 0.09 150 5.06 0.58 0.11 7.64 0.58 0.08
Allí puede apreciarse que el módulo G resulta inversamente proporcional a γ, en tanto
que el coeficiente de variación en todos los casos es mayor para deformaciones menores
%50y25=γ , que para deformaciones mayores que %100=γ . Así mismo, los
coeficientes de variación obtenidos para el compuesto 5H resultan mayores que los del
8H . Sin embargo, este efecto puede tener su origen en el menor tamaño de la muestra
considerada para el compuesto 5H o bien en la mayor variabilidad que se presenta como
resultado del “scragging” del aislador y estabilización de propiedades mecánicas que
ocurre en ciclos pequeños.
En cualquier caso es posible caracterizar el primer y segundo momento de ambos
compuestos para las deformaciones angulares que superan el 50%, la que se considera
como una deformación mínima de trabajo para solicitaciones sísmicas significativas.
20
Variación G - γ, Compuesto H5
0.0
5.0
10.0
15.0
20.0
25.0
0.0 50.0 100.0 150.0 200.0
γ (%)
G (k
gf/c
m2)
Variación G - γ, Compuesto H8
0.0
5.0
10.0
15.0
20.0
25.0
30.0
35.0
0.0 50.0 100.0 150.0 200.0
γ (%)
G (K
gf/c
m2)
Figura 2.3 Dispersión y valores medios de los compuestos 5H y 8H .
Por lo tanto, utilizando el valor promedio del coeficiente de variación, media y
desviación estándar se obtiene:
21
Distribución de Frecuencias H5 G(25%)
0
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
G (kgf/cm2)
Frec
uenc
ias
Diagrama de Frecuencias H5 G(100%)
0
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
G (kgf/cm2)
Frec
uenc
ias
Distribución de Frecuencias H5 G(50%)
0
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
G(kgf/cm2)
Frec
uenc
ias
Tabla II.2 Características estadísticas de los compuestos
COMPUESTO μG σG VG H5 5.74 1.07 0.18 H8 8.25 0.74 0.09
A continuación, en las Figuras 2.4 y 2.5 se presentan las distribuciones de frecuencias
para el módulo de corte G para cada compuesto y para cada nivel de distorsión γ
Figura 2.4 Distribución de frecuencias de los aisladores ensayados. Compuesto 5H . Módulo de corte ( )γG para %150100,50,25 y=γ .
Diagrama de Frecuencias H5 G(150%)
0
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22G (kgf/cm2)
Frec
uenc
ias
22
Diagrama de Frecuencias H8 G(25%)
0
10
20
30
40
50
60
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
G (kgf/cm2)
Frec
uenc
ias
Diagrama de Frecuencias H8 G(50%)
0
10
20
30
40
50
60
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
G (kgf/cm2)
Frec
uenc
ias
Diagrama de Frecuencias H8 G(150%)
0
10
20
30
40
50
60
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
G (kgf/cm2)
Frec
uenc
ias
Diagrama de Frecuencias H8 G(100%)
0
10
20
30
40
50
60
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
G (kgf/cm2)
Frec
uenc
ias
Figura 2.5 Distribución de frecuencias de los aisladores ensayados. Compuestos 8H . Módulo de corte ( )γG para %150100,50,25 y=γ .
En la sección siguiente se determinan las ecuaciones que permiten evaluar la influencia
de la variabilidad de la rigidez en la respuesta torsional del sistema de aislamiento.
II.6 Análisis de medias y varianzas Se considera que la rigidez del aislador es una variable aleatoria con distribución
normal, cuya media es igual a la rigidez nominal de diseño nk y su coeficiente de
variación es nkki kV σ= . Sin embargo, como la media de la rigidez es ( ) GHA y la
varianza es ( ) 22GHA σ , el coeficiente de variación resulta
Gki VV = (2.14)
23
En los apartados anteriores se establecen las relaciones funcionales entre la respuesta del
sistema de aislamiento ( eqq ˆ,ˆ ) y la rigidez ik del i-ésimo aislador. Como ik es una
variable aleatoria también lo son eqyq ˆˆ si se supone que la entrada es determinística.
Así, la media y varianza de los desplazamientos del sistema de aislamiento pueden
establecerse en función de la media y varianza de la rigidez de los aisladores o bien de
los parámetros que caracterizan al sistema (de la Llera y Chopra, 1994).
Consideremos en primer término la respuesta del centro de masas del aislamiento.
Expandiendo la respuesta para q (Ecuación (2.8)) en serie de Taylor alrededor de su
valor medio ∑ ==
n
i iNn kk1
1 se tiene que (de la Llera y Chopra, 1994):
L
LL
+∂∂
∂−−
+∂∂
−+====
==
= =
==
∑∑
∑
nkjknkik
jinjn
N
i
N
ji
nkik
N
i ininNnnN
kkq
kkkk
kq
kkkkkkkkqkkkq
ˆ)()(
21
ˆ)(),,,(ˆ),,,(ˆ
2
1 1
12121
(2.15)
en que todas las sensibilidades ikq ∂∂ ˆ se evalúan en el valor medio nk . Despreciando
los términos de orden superior al lineal, la aproximación de primer orden del valor
medio está dada por
[ ] ),,,(ˆˆ 21 nNnn kkkkkkqqE ===≈ L (2.16)
y la aproximación de primer orden de la varianza por:
)()(ˆˆ
)(ˆ
)ˆ( ,
2
1
2jiji
jiji
N
ii
i
kkkq
kq
kkq
q σσυ∂∂
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛σ
∂∂
=σ≠=
∑∑∑ (2.17)
donde )( ikσ es la desviación estándar de la rigidez ik y ji,υ el coeficiente de
correlación entre ik y jk . El coeficiente de correlación entre los procesos aleatorios de
cada aislador puede tener un coeficiente de correlación muy elevado, alcanzando la
unidad si se trata del mismo grupo de aisladores, sin embargo el proceso de selección de
24
los mismos para cada realización corresponde a un delta de Dirac y por lo tanto la
probabilidad de que en el proceso de selección todos los aisladores tengan características
idénticas o muy similares es nula. Con base en esta observación el problema debe
tratarse bajo la condición de que la correlación entre individuos de la misma población
es nula y por lo tanto esto conduce despreciar el segundo término de la Ecuación (2.17).
En forma similar se pueden obtener las expresiones para eq .
II.6.1 Análisis del valor medio De acuerdo a la Ecuación (2.16) y aplicando la definición de excentricidad estática
resulta para ni kk =
[ ]n
N
iin
N
ii
N
iii
kN
xk
k
xkEeE
∑
∑
∑=
=
= =
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
= 1
1
1 (2.18)
se obtienen así las frecuencias y modos del sistema de aislamiento nominal y aplicando
las ecuaciones (2.4) a (2.10) resulta
(2.19)
II.6.2 Análisis de la varianza El cálculo de las varianzas requiere conocer las siguientes sensibilidades para el centro
de masas y los bordes:
nkik
i
enkik
i kq
kq
== ∂∂
∂∂ ˆ
;ˆ
(2.20)
[ ] [ ] 1ˆ;1ˆ == eqEqE
25
y para ambos espectros propuestos. Para el primer caso (meseta de desplazamiento
constante) se tiene (Anexo A):
1)1(~2ˆ
0ˆ
20 −Ω
−±=
∂∂
=∂∂
=
=
n
innkik
i
e
nkiki
kNxa
kq
kq
ρμ
(2.21)
En la que nμ es el coeficiente de correlación entre los modos traslacional y rotacional
del sistema nominalmente simétrico. Notar que en este caso la varianza para la traslación
de planta resultará nula. De la Ecuación (2.17) escribiendo la varianza )ˆ(2eqσ en función
del coeficiente de variación se tiene que:
∑∑== ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−Ω−
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−Ω−
=N
jink
n
nN
jink
n
ne xkV
kNaxkV
kNaq
1
22
2
201
22
2
20
2 )(1
)1(~2)(1
)1(~2)ˆ(ρ
μρ
μσ (2.22)
donde N es el número total de dispositivos de aislamiento.
Por otra parte de acuerdo a la distribución de dispositivos de aislamiento adoptado
(Figura 2.3), las coordenadas de cada dispositivo puede expresarse como (Shenton y
Holloway, 2000):
)(,,1,
1)1(2
)(,,1,1
)1(2
1
1
bmjm
jcy
aniniax
j
i
L
L
=−−
=
=−−
= (2.23)
donde n es el número de columnas y m el número de filas de dispositivos del sistema
de aislamiento; 12a y 12c son las longitudes de distribución según x e y,
26
respectivamente y que verifican la relación 11 / acrl = . Sustituyendo la Ecuación (2.23a)
en la Ecuación (2.22), y resolviendo se tiene la siguiente desviación estándar de la
respuesta en los bordes del aislamiento:
31
)1(~~4)ˆ(20
1 naaN
Vq nke −Ω
−=
μσ (2.24)
donde ρ/~11 aa = y )1/()1( −+= nnn .
En la Ecuación (2.24) se observa que la solución depende también del coeficiente de
correlación μ entre los modos predominantemente traslacional y rotacional
Para el caso del espectro de seudovelocidad constante propuesto por el UBC (1997), se
tiene (Anexo B):
)(
)1()(~41
21ˆ
)(2
1ˆ
2200
0 bxakNk
q
akNk
q
in
nkk
i
e
nkk
i
ni
ni
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−ΩΩ−Ω
−=∂∂
−=∂∂
=
=
ρμ
m
(2.25)
A partir de estas ecuaciones se pueden calcular las desviaciones estándar de la respuesta
del centro de masas y de los bordes del sistema de aislamiento, sustituyendo la Ecuación
(2.25a) en la Ecuación (2.17) se tiene
)(2
)ˆ( aN
Vq k=σ (2.26)
por otro lado, sustituyendo la Ecuación (2.25b) en la Ecuación (2.17) y resolviendo para
la Ecuación (2.23a) se tiene la desviación estándar para la amplificación en los bordes
del sistema de aislamiento
)()1(3
)()~~8(12
)ˆ( 220
20
20
21 bnaa
NVq nk
e −ΩΩ−Ω
+=μσ (2.27)
27
Las ecuaciones (2.26a y b) son expresiones cerradas para el cálculo de la influencia de la
incertidumbre de la respuesta del centro de masas y de los bordes del aislamiento dado
un coeficiente de variación para la distribución de rigidez en los dispositivos de apoyo.
Las expresiones propuestas por Shenton y Holloway (2000) para un espectro de
seudovelocidad constante están dadas por:
)(2
)ˆ( aN
Vq k=σ (2.28)
[ ] )()1()1(
121
2)ˆ(
22b
nmn
N
Vq k
e −+γ−+=σ
donde )1/()1( −+= mmm .
En las ecuaciones (2.27a y b) los aisladores dispuestos según x se distribuyen en el
ancho total a2 y los dispuestos según y en la profundidad total c2 . Supongamos ahora
que las longitudes de distribución son 12a , 12c y se encuentran ligadas a las a y c por
medio de la constante 1≤dr
cc
aard
11 == (2.29)
La Ecuación (2.27b) se puede escribir en los términos de la Ecuación (2.26b) como:
220
21
)1(3)~~(81
2)ˆ(
−Ω+=
naaN
Vq keσ (2.30)
Observe que la Ecuación (2.26a) que entrega la desviación estándar del desplazamiento
en el centro de masa es coincidente con la (2.27a) e independiente de la distribución de
aisladores, por el contrario las Ecuaciones (2.27b) y (2.29) no resultan coincidentes. Por
28
ejemplo la Ecuación (2.27b) toma en consideración el coeficiente de correlación nμ y,
arroja un valor finito para )ˆ( eqσ cuando 10 =Ω , sin embargo la Ecuación (2.30) es
independiente de nμ y tiende a infinito para esta relación de frecuencias. Se puede
demostrar que en la Ecuación (2.27b) la relación de frecuencias 0Ω está dada por la
expresión
2
2
0 1 γγ
++
=Ωmnrd (2.31)
y, asumiendo que 1=dr , alcanza la unidad solo cuando ∞→mn, debido a que
111lím
11lím
m=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
∞→∞→ mm
nn
n (2.32)
y resulta que para todo otro valor de 1y 0 >Ω⇒mn por lo que la Ecuación propuesta
por Shenton y Holloway (2000) considera el problema solo en forma parcial.
La sección siguiente presenta la metodología empleada para verificar y contrastar los
resultados obtenidos.
II.7 Simulación de Monte Carlo A efectos de verificar las ecuaciones propuestas se comparan sus resultados con
evaluaciones numéricas empleando la técnica de Monte Carlo (Hammersley y
Handscomb, 1965). Para este análisis tenemos en cuenta también la solución propuesta
por Shenton y Holloway (2000). Las comparaciones se realizan considerando ambos
modos en el cálculo de la respuesta empleando superposición modal espectral CQC (Der
Kiureghian, 1981). Para el análisis empleamos tanto espectros de desplazamiento
constante (NCh 2745, 2003), como el espectro de seudo velocidad constante de la norma
UBC (1997), normalizando en este último caso por la respuesta del sistema nominal.
29
Las simulaciones se realizan para distintas configuraciones del sistema de aislamiento,
incluyendo distintas relaciones de aspecto 4/1;2/1;1=lr , con un número de aisladores
N variable entre 4 y 225 y para rangos de flexibilidad torsional 0Ω variable entre 0.4 y
2.
Para cada caso considerado se realizan 2000 simulaciones. Asumimos que la
distribución probabilística de rigidez es normal y que los coeficientes de variación son
los obtenidos en el apartado 2.
II.8 Resultados obtenidos Presentamos los resultados gráficamente y para cada espectro considerado. Para cada
uno de éstos se agrupan por tipo de compuesto ( 85 , HH ), para distintas relaciones de
lados ( 4/1;2/1;1=lr ) y para un número variable de aisladores
( 225;100;64;36;16;4=N ). En todos los casos se grafica la desviación estándar de la
variable obtenida respecto de la relación de frecuencias del sistema nominal
( 24.00 a=Ω ). Para el análisis de los resultados se considera que el sistema de aislamiento
posee amortiguamiento 15.0=ζ . Notar que los resultados obtenidos pueden extenderse a
cualquier tipo de estructura, sea ésta aislada o convencional.
II.8.1 Espectro de desplazamientos constante En esta sección se presentan los resultados para un espectro de desplazamiento
constante. Se analizará solamente la desviación estándar de la respuesta en las esquinas
del aislamiento respecto al CM, obtenidas mediante la Ecuación (2.24), ya que en este
caso, no existe desviación estándar para el desplazamiento del CM. En las Figuras 2.6 y
2.7 se presentan los resultados obtenidos para los compuestos 5H ( 18.05 =kV ) y
8H ( 09.08 =kV ), respectivamente; en línea llena se presentan los resultados obtenidos con
la Ecuación (2.24), con círculos los resultados obtenidos mediante simulación de Monte
Carlo (Hammersley y Handscomb, 1965).
30
En estas gráficas puede apreciarse la excelente concordancia que se obtiene entre la
Ecuación propuesta y la simulación de Monte Carlo.
Figura 2.6 Desviación estándar de desplazamiento para el compuesto H5. Sd constante.
( 18.05 =kV – Desplazamiento en los bordes).
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
σ qe
0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
Ω0
^
1=lr
2/1=lr
4/1=lr N= 4, 16, 36, 64, 100, 225
31
Tal como obtuvieran de la Llera y Chopra (1994), la desviación estándar disminuye con
el aumento del número de aisladores y aumenta en forma inversamente proporcional a la
relación de lados lr .
Notar que para la misma distribución de aisladores la desviación estándar )ˆ( eqσ es la
misma para valores recíprocos de 0Ω .
Figura 2.7 Desviación estándar de desplazamiento para el compuesto H8. Sd constante. ( 09.08 =kV – Desplazamientos en los bordes).
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0
0.02
0.04
0.06
0.08
σ qe
0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.02
0.04
0.06
0.08
Ω0
^
1=lr
2/1=lr
4/1=lr N= 4, 16, 36, 64, 100, 225
32
Este fenómeno puede explicarse fácilmente a partir del análisis de la Ecuación (2.24).
Allí puede apreciarse que la variación de ésta se encuentra definida por el término
1
)1(~~420
1
−Ω−
=Δ naa μ (2.33)
Teniendo en cuenta que para una relación de frecuencias o su inversa el coeficiente de
correlación nμ no varía y recordando las ecuaciones (2.29) y (2.31) se puede demostrar
que para valores recíprocos de 0Ω
12
0
0
−Ω
Ω=Δ cte (2.34)
Ecuación en la que resulta trivial comprobar que se obtiene el mismo resultado para 0Ω
que para 0/1 Ω . Los máximos valores corresponden al máximo de la función Δ ,
controlada por el coeficiente de correlación nμ y la relación de frecuencias 0Ω .
II.8.2 Espectro de desplazamientos seudovelocidad constante Se presentan ahora las desviaciones estándar obtenidas para un espectro de
seudovelocidad constante. Como en el caso anterior trataremos solamente los resultados
obtenidos para la dispersión de la respuesta obtenida en las esquinas del sistema de
aislamiento. Las dispersiones para el CM no revisten gran interés ya que más allá del
valor que se use para kV la ecuación hallada (2.26a) resulta formalmente idéntica ala
hallada por Shenton y Holloway (2000).
En las Figuras 2.8 y 2.9 se presentan los resultados obtenidos para los compuestos
5H ( 18.05 =kV ) y 8H ( 09.08 =kV ) respectivamente. En línea sólida se grafican los
resultados obtenidos por aplicación de la Ecuación (2.26b) propuesta en la presente
investigación. En línea de trazos los obtenidos mediante la Ecuación (2.30) tomada del
trabajo de Shenton y Holloway (2000) y puesta en los términos empleados en esta
33
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0
0.05
0.1
0.15
0.2
σ qe
0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.05
0.1
0.15
0.2
Ω0
investigación, con círculos se presentan los resultados obtenidos mediante las
simulaciones de Monte Carlo.
En estas gráficas puede apreciarse la excelente concordancia entre los resultados de la
Ecuación (2.26b) propuesta en la presente investigación y los obtenidos mediante
técnicas probabilísticas.
Figura 2.8 Desviación estándar de desplazamiento para el compuesto H5. Sv constante.
( 19.05 =kV – Desplazamientos en los bordes).
^
1=lr
2/1=lr
4/1=lrN= 4, 16, 36, 64, 100, 225
S-Hpropuesta
34
Sin embargo se aprecia una notable diferencia con los resultados obtenidos por Shenton
y Holloway (Ecuación (2.30)) (2000), sobre todo en el entorno de las relaciones de
frecuencia 10 =Ω en que la desviación estándar de la amplificación en las esquinas del
aislamiento tiende a infinito.
Figura 2.9 Desviación estándar de desplazamiento para el compuesto H8. Sv constante.
( 09.08 =kV – Desplazamientos en los bordes).
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
σ qe
0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
Ωo
1=lr
2/1=lr
4/1=lrN= 4, 16, 36, 64, 100, 225
S-Hpropuesta
^
35
Estas diferencias se deben a la hipótesis adoptada por los autores respecto a que el
primer modo domina la respuesta del sistema, despreciando la existencia del segundo
modo y la correlación entre los mismos debido al acoplamiento del sistema.
Se destaca que los resultados de la Ecuación (2.26b) no presenta la misma particularidad
de la Ecuación (2.24) analizada en el apartado anterior es decir, la igualdad de las
desviaciones estándar obtenidas para valores recíprocos de 0Ω , fenómeno asociado al
predominio del término indicado en la Ecuación (2.33), a menos del coeficiente de
correlación nμ . Por el contrario las dispersiones obtenidas para aislamientos
torsionalmente flexibles son siempre menores que las obtenidas para aislamientos
torsionalmente rígidos, obteniéndose los mínimos valores en el entorno de 9.00 =Ω tal
como obtuvieron numéricamente de la Llera y Chopra (1994). Nuevamente se aprecia en
este caso que las dispersiones crecen en proporción inversa a la relación de lados lr y al
número de aisladores N .
II.9 Significado para los Códigos Comparamos en esta sección las amplificaciones máximas que se obtienen por
aplicación de las ecuaciones propuestas y las establecidas en distintos códigos tales
como el UBC (1997) y la NCh 2745 (2003). La ecuación propuesta por ambos códigos
en términos de la notación empleada en esta investigación está dada por:
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
+=224
121
bae
xqq eCMe (2.35)
En la que ex es la distancia entre el aislador considerado y el CR, e es la excentricidad
natural más la accidental. Esta última para un sistema estructural nominalmente
simétrico está dada, en general por el 5 % de la máxima dimensión perpendicular a la
dirección de la acción sísmica considerada. Sustituyendo ( )aeaxe 205.0y == resulta
36
1
1.1
1.2
1.3
1
1.1
1.2
1.3
E[ qe
] 95%
0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 21
1.1
1.2
1.3
Ω0
21
3.01ˆlCM
ee rq
++== (2.36)
Figura 2.10 Esperanza de amplificación máxima (95%) compuesto 5H . Sv constante. Comparación con la amplificación máxima esperada por el UBC.
En las Figuras 2.10 y 2.11 se grafica la Ecuación (2.36) para el espectro del UBC (1997)
y de la NCh2745 (2003) respectivamente, para una probabilidad de excedencia del 5% y
^
UBC
UBC
UBC
1=lr
2/1=lr
4/1=lrN= 4, 16,36, 64, 100, 225
37
considerando 4/1;2/1;1=lr , para el coeficiente de variación del compuesto 8H y para
225100;64;36;16;4 y=N .
Figura 2.11 Esperanza de amplificación máxima (95%) compuesto 5H . Sd constante. Comparación con la amplificación máxima esperada por la NCh 2745.
1
1.1
1.2
1.3
1
1.1
1.2
1.3
E[ qe
] 95%
0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 21
1.1
1.2
1.3
Ω0
^
NCh 2745
NCh 2745
NCh 2745
1=lr
2/1=lr
4/1=lrN= 4, 16,36, 64, 100, 225
38
Se observa que, a menos de la variabilidad del CM no considerada en este análisis
ambas expresiones resultan muy conservadoras para relaciones lr bajas, aun para las
menores cantidades de aisladores, hecho que se encuentra explícitamente reconocido en
la norma NCh2745 (2003).
39
II.10 Conclusiones En esta investigación se han presentado desviaciones estándar reales de rigidez
obtenidas en un gran número de aisladores ensayados en el Laboratorio de Control de
Vibraciones del Departamento de Ingeniería Estructural y Geotécnica de la Pontificia
Universidad Católica de Chile, hallándose que el coeficiente de variación kV para el
módulo G se encuentra comprendido entre el 9% y el 18%. Por otra parte se ha
desarrollado una expresión exacta que permite determinar la desviación estándar de la
respuesta en las esquinas de un sistema de aislamiento y, a partir de ella la esperanza de
amplificación para un nivel de confiabilidad del 95%. El análisis de los resultados
obtenidos en ésta investigación permite la obtención de las siguientes conclusiones:
1. Se ha determinado que el coeficiente de variación kV en aisladores elastoméricos
ensayados poseen valores %185 =kV y %98 =kV para los compuestos 5H y 8H
respectivamente.
2. El coeficiente de variación tiende a disminuir con el aumento del tamaño de la
muestra.
3. Se ha desarrollado una expresión exacta que vincula la dispersión en los bordes de un
sistema de aislamiento con el coeficiente de variación kV en los apoyos del aislamiento.
4. Se ha comprobado que la ecuación propuesta por Shenton y Holloway sobreestima la
dispersión en los bordes de un sistema de aislamiento, sobre todo en el entorno de la
razón de flexibilidad torsional 10 =Ω , valor muy usado en este tipo de sistemas de
protección sísmica.
40
5. La amplificación esperada en los bordes de un sistema de aislamiento real para un 5%
de probabilidad de excedencia es muy inferior al predicho por las normas actuales, a
menos de las excentricidades de masa que puedan presentarse.
6. La expresión analítica para determinar la amplificación torsional accidental que se
propone en la presente investigación se encuentra en excelente concordancia con los
resultados obtenidos mediante simulaciones de Monte Carlo.
7. La desviación estándar en la respuesta en el borde del sistemas de aislamiento es
menor para diseños que consideran un espectro de desplazamientos constante que para
aquellos que consideran un espectro de desplazamiento para seudovelocidad constante.
8. Las desviaciones estándar en los bordes de un sistema de aislamiento son
sustancialmente menores a los coeficientes de variación de los aisladores. Esta
consideración se encuentra vinculada al número de aisladores a disponer en un proyecto
determinado y al tipo de espectro de desplazamientos considerado.
9. Los sistemas torsionalmente flexibles ( 10 <Ω ) poseen menor dispersión que los
sistemas torsionalmente rígidos para espectros de seudovelocidad constante.
10. Los sistemas torsionalmente flexibles ( 10 <Ω ) presentan la misma sensibilidad a la
variación de rigidez de los aisladores que sus recíprocos ( 1/1 0 <Ω ) torsionalmente
rígidos para los espectros de desplazamiento constante.
III. INTERACCIÓN DINÁMICA AISLAMIENTO-SUPERESTRUCTURA
41
III INTERACCIÓN DINAMICA AISLAMIENTO –
SUPERESTRUCTURA III.1 Resumen En el presente estudio se investiga la respuesta sísmica de estructuras lineales con
aislamiento basal que poseen acoplamiento lateral-rotacional. Se pone el énfasis en el
desarrollo de procedimientos simplificados para estimar el desplazamiento de los bordes
de la superestructura y del sistema de aislamiento. Se modela la respuesta de sistemas
tridimensionales con la formulación de interacción aislamiento-estructura. Entre las
múltiples posibilidades de representar esta interacción, se seleccionan dos modelos
simplificados. El primer modelo toma en cuenta la interacción aislamiento-
superestructura a través de una corrección de la matriz de masas de la superestructura,
mientras que el segundo supone la respuesta seudo estática de la superestructura sujeta a
una distribución de tres fuerzas laterales de inercia. Cada distribución se origina en cada
uno de los tres modos de largo periodo del aislamiento. Además, se investiga la
precisión y el rango de aplicabilidad para ambos modelos para distintos parámetros y
movimientos del suelo. Se derivan expresiones simplificadas para calcular la respuesta
en los bordes del aislamiento y de la superestructura. Estas expresiones muestran mayor
precisión que las establecidas en los códigos actuales. Los resultados muestran que las
amplificaciones medias de desplazamiento raramente exceden 1.5, aunque se encuentran
valores mayores para movimientos particulares. Finalmente, se usa un modelo de
estructura asimétrica de 6 pisos como ejemplo para mostrar el procedimiento propuesto,
se comparan sus resultados con los valores máximos de respuesta reales obtenidos por
integración directa en ambos bordes.
42
III.2 Introducción El acoplamiento lateral-rotacional en estructuras con aislamiento sísmico ocurre como
resultado de asimetrías en planta, tanto en la superestructura como en el aislamiento.
Además, dado que las ecuaciones de movimiento del aislamiento y de la superestructura
se encuentran acopladas, cualquier asimetría en planta presente en cualquiera de los dos
subsistemas crea acoplamiento lateral-torsional en la estructura completa. Este
acoplamiento conduce a una demanda de desplazamiento irregular en la planta del
edifico, causando que algunos aisladores y algunos miembros de la superestructura
experimenten deformaciones y esfuerzos mayores que otros. Debido a que la experiencia
indica que el aislamiento sísmico puede emplearse en conjunto con estructuras
asimétricas, resulta de gran importancia obtener expresiones de diseño para estimar las
amplificaciones torsionales esperadas en el borde del aislamiento y de la superestructura.
Este capítulo se concentra en la respuesta torsional de la base y deja los efectos en la
superestructura para el Capítulo IV.
A pesar que la mayoría de los dispositivos de aislamiento presentan comportamiento no-
lineal de diferente magnitud, los modelos lineales equivalentes se usan frecuentemente
para representar el comportamiento de su constitutiva y estimar las tendencias del
comportamiento sísmico durante el diseño de una construcción en particular. Los
modelos lineales equivalentes son muy usados en la etapa de selección del aislador
debido a que éstos capturan la parte esencial de la respuesta sísmica. Esto se justifica en
la pequeña variación del periodo aislado para un amplio rango de desplazamientos (De
la Llera et al., 2004). Por ejemplo, en la Tabla III.1 se muestra la variación del periodo
propio de un sistema aislado, asumiendo como nivel de distorsión angular de diseño para
aisladores elastoméricos %150=γ . La Figura 3.1a muestra un ensayo típico de éste tipo
de aisladores, en la Figura 3.1b se muestra la variación del módulo G y del
amortiguamiento lineal equivalente ζ de un aislador típico versus la variación de la
distorsión angular máxima alcanzada en los aisladores. En la Tabla III.1 se aprecia que
para valores %250100 →=γ la variación del periodo propio del sistema aislado se
mantiene en un rango de +3 % a -2.5% respecto del periodo nominal. En esta tabla Δ es
43
0 5 10 15 20 25 30.0
.1
.2
.3
.4
.5
.6
Deformacion (cm)
Cor
te (
MN
)
0 25 50 75 100 125 150 175.04
.06
.08
.10
.12
.14
.04
.06
.08
.10
.12
.14
γ (%)
G (
Mpa
)
ξ(%
)
ba
( )γG
( )γζ
la distorsión aplicada y ΔT la variación de periodo propio del aislamiento respecto del
correspondiente a γ = 100%. Con base en ésta observación en esta investigación se
considera un modelo lineal equivalente para los apoyos elastoméricos.
Tabla III.1 Variación del periodo de la estructura en función de γ Ensayo
γ = 50 % γ = 100 % γ = 150 % γ = 200 % γ = 250 % Muestra Δ
(cm) F
(ton) ΔT (%)
Δ (cm)
F (ton)
ΔT (%) Δ (cm) F
(ton) ΔT (%)
Δ (cm)
F (ton)
ΔT (%)
Δ (cm)
F (ton)
ΔT (%)
Cmed_04 8.00 19.95 10.70 16.00 34.41 2.80 24.00 48.86 0.00 32.00 63.32 -1.40 40.00 77.78 -2.30Cmed_09 8.00 15.98 6.20 16.00 29.25 1.60 24.00 42.52 0.00 32.00 55.79 -0.80 40.00 69.06 -1.30Cmed_28 8.00 27.72 11.00 16.00 47.62 2.90 24.00 67.53 0.00 32.00 87.43 -1.50 40.00 107.34 -2.30Cmed_38 8.00 29.47 11.40 16.00 50.38 3.00 24.00 71.29 0.00 32.00 92.20 -1.50 40.00 113.10 -2.40
Figura 3.1 Rigidez; módulo G secante y amortiguamiento ζ. Valores determinados para γ = 25, 50, 100, 150 y 175 %. Valores equivalentes obtenidos
experimentalmente. a) Fuerza-deformación y b) G(γ); ζ(γ).
En uno de los primeros trabajos sobre el tema Pan y Kelly (1983), concluyen que las
estructuras aisladas conducen al control natural del comportamiento acoplado lateral-
rotacional. Este estudio considera superestructura rígida y razón de flexibilidad torsional
dada por el cociente entre la frecuencia rotacional y la lateral 1)( =Ω b . Lee (1980)
también llega a una conclusión similar considerando superestructura rígida, con planta
rectangular, soportada por aisladores no-lineales, y sujeta a la acción de registros de
sismos reales. Como en el caso anterior, estudia un modelo con razón de flexibilidad
44
torsional 1)( =Ω b , en el que las masas y los dispositivos de aislamiento y disipación se
concentran en las esquinas de la planta. Posteriormente Nakamura et al. (1988), obtienen
esta misma conclusión mediante estudios experimentales en mesa vibratoria. Ellos
incluyen la superestructura con el objeto de medir su influencia en el sistema de
aislamiento, considerando modelos asimétricos de un solo piso ante la acción de algunos
sismos típicos, sin embargo los modelos empleados resultan muy escasos para
generalizar conclusiones. Contrariamente en el trabajo Papagorgiou y Lin (1989) se
observan amplificaciones en el sistema de aislamiento en mediciones de muy pequeños
movimientos realizadas en el edificio aislado del Law and Justice Center en Rancho
Cucamonga durante el sismo de Redlands (1985). A partir de este antecedente
Nagarajaiah et al. (1993), estudian en forma numérica la repuesta de edificios de
múltiples pisos montados sobre sistemas de aislamiento no lineales ante la acción de
algunos registros de terremotos. Incluyen en su estudio distintas relaciones de
flexibilidad rotacional y excentricidades en la masa de la superestructura con el objeto
de establecer su influencia en el sistema de aislamiento; también toman en consideración
distintas razones de flexibilidad torsional y excentricidades en el sistema de aislamiento.
Concluyen que en determinadas circunstancias la excentricidad de la superestructura
induce importantes amplificaciones en los bordes del sistema de aislamiento. A la
misma conclusión llegan Tena y Gómez (2002) en un estudio realizado bajo condiciones
similares. Posteriormente, Tena y Zambrana (2005) obtienen las mismas conclusiones al
estudiar sistemas de aislamiento asimétricos. Por otra parte, Kulkarni y Jangrid (2002)
evaluaron la influencia de la flexibilidad de la superestructura considerando distintos
tipos de aisladores lineales y no-lineales, concluyendo que la respuesta del sistema de
aislamiento no se ve mayormente afectada por la flexibilidad de la superestructura. Sin
embargo, la influencia es más significativa en la respuesta de aceleración total de los
entrepisos, tanto más cuanto mayor sea el periodo fundamental de base fija de la
estructura, y mayor la capacidad resistente (fluencia o fricción) del sistema de
aislamiento. Por su parte, Tena y Escamilla (2006) reportan que estas conclusiones son
aplicables sólo cuando el periodo propio del sistema aislado es 8 veces superior respecto
45
del periodo de la superestructura considerada con base fija. Finalmente, en una línea de
trabajo distinta Ryan y Chopra (2002) desarrollaron algunos métodos simplificados en
rango lineal para estudiar los efectos de la torsión en el sistema de aislamiento debido a
asimetrías en la planta de la superestructura.
Aunque con el mismo objetivo, el enfoque dado a esta investigación es diferente al
usado en investigaciones previas. El presente trabajo se basa en el análisis y la
interpretación de la interacción dinámica entre el aislamiento y la superestructura. La
comprensión de esta interacción nos permite explicar los resultados obtenidos por estos
investigadores en un único marco conceptual. Además, se avanza en el concepto del
control pasivo del acoplamiento lateral-torsional del sistema de aislamiento mediante el
uso de aislamiento lineal. Aunque la formulación de las ecuaciones de movimiento
basada en coordenadas relativas es bien conocido (Nagarajaiah et al., 1993), el énfasis
en este estudio se pone en la interpretación de la interacción dinámica que se produce
entre el aislamiento y la superestructura y en como la superestructura percibe el
movimiento de la base y viceversa. Debido a la formulación en coordenadas relativas, la
extensión de la formulación aquí presentada al caso no-lineal es directa.
Debido a que el interés consiste en la obtención de procedimientos simples para estimar
la amplificación de desplazamiento de los bordes del aislamiento, las soluciones
numéricas se mencionan solamente, mientras que el énfasis se pone en los
procedimientos modales y estáticos simples. Estos procedimientos se aplican
primeramente a estructuras monosimétricas y se extienden posteriormente a estructuras
totalmente asimétricas. Como ocurre habitualmente en estudios sobre torsión en
edificios, el control de la respuesta torsional se obtiene mediante el control de los
desplazamientos en los bordes de la planta del edificio. Este capítulo concluye con la
aplicación del procedimiento simplificado propuesto para estimar la amplificación
torsional a un ejemplo de estructura de múltiples pisos con aislamiento sísmico.
46
III.3 Modelo estructural y ecuaciones de movimiento El sistema estructural de múltiples pisos considerado en esta investigación se muestra
esquemáticamente en la Figura 3.2. La estructura se encuentra sujeta a dos componentes
traslacionales de movimiento del suelo, denotada como [ ]Tgygxg uu &&&&&& =u . Se definen tres
grados de libertad, dos traslacionales y uno rotacional, en el centro de masas (CM) de
cada piso de la estructura. Las losas de cada piso se asumen rígidas en el plano del
diafragma e infinitamente flexibles fuera de su plano. El caso estructural mas general
que puede considerarse corresponde a un edificio dividido por el sistema de aislamiento
en una superestructura y una subestructura. El uso de sistemas de aislamiento en pisos
intermedios se presenta frecuentemente en la práctica en estructuras con varios
subterráneos, en las cuales el sistema de aislamiento se dispone en la parte superior de
éstos. Esta disposición del sistema de aislamiento es más económica que aquellos con
aislamiento a nivel de fundación, ya que se elimina la necesidad de ejecutar un foso y
una losa adicional.
El enfoque de interacción dinámica que se presenta en esta investigación hace que las
coordenadas relativas sean las más ventajosas. Estas coordenadas se definen para un
edificio y se muestran en la Figura 3.2. Los desplazamientos de la subestructura relativas
al suelo se denotan como x, mientras que los desplazamientos del sistema de aislamiento
relativa a la subestructura se denotan como q, y los desplazamientos de la
superestructura respecto del plano de aislamiento como u.
Las matrices de colocación se definen como )(33
)(33
)(33 y,, s
Nbi
M ××× rrr , en las que M es el
número de subterráneos y N el número de pisos de la superestructura. Estas matrices de
colocación representan las configuraciones de desplazamientos estáticos en la parte
inmediata superior de la estructura. Por ejemplo )( ir representa el desplazamiento que se
produce en la subestructura como resultado de un desplazamiento unitario en el suelo; )( br representa los desplazamientos que se producen en el aislamiento como resultado
de un desplazamiento unitario de la subestructura; y )( sr son los desplazamientos que se
47
verifican en la superestructura como resultado de un desplazamiento unitario en el
sistema de aislamiento.
Figura 3.2 Sistema superestructura – aislamiento considerado y grados de libertad relativos (Caso general: superestructura, sistema de aislamiento y subestructura).
Entonces, el desplazamiento total de la superestructura en formato anidado se expresa
como
superestructura
aislamiento
subestructura
48
( )[ ]gibst urxrqruu )()()()( +++= (3.1)
La relación entre las coordenadas relativas y totales puede escribirse mediante la
siguiente matriz triangular superior de transformación cinemática
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
g
i
ibb
ibsbss
tg
t
t
t
uxqu
I000rI00
rrrI0rrrrrrI
uxqu
)(
)()()(
)()()()()()(
)(
)(
)(
)(
(3.2)
Partiendo de las ecuaciones usuales de movimiento de la estructura escrita en
coordenadas relativas al suelo, se puede usar esta transformación para rescribir las
ecuaciones en coordenadas relativas. El uso de esta transformación conduce al siguiente
sistema de ecuaciones de movimiento:
( )( ) ( )
( )( )
gi
ibbssTsTb
bbssTs
bss
i
b
s
(i)
(b)
(s)
ibbssTsTbbssTsTbsTsTb
bbssTsbssTssTs
bsssss
urmrmrmrr
rmrmrrrm
xqu
k000k000k
xqu
c000c000c
xqu
mrmrmrrmrmrrmrrrmrmrmrmrmr
rrmrmm
&&
&
&
&
&&
&&
&&
)(
)()()()()()()(
)()()()()(
)()()(
)(
)(
)(
)()()()()()()()()()()()()()()(
)()()()()()()()()()()(
)()()()()()(
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+++−
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+++++
(3.3)
Los desplazamientos relativos de la superestructura y de la subestructura en la Ecuación
(3.3) pueden también expresarse en términos de coordenadas modales Ψ , aplicando las
transformaciones de coordenadas )()()()( ; iiss ΨΦxΨΦu == a las Ecuaciones (3.2) y (3.3)
conduciendo a:
49
(3.4)
Este sistema puede resolverse sin ninguna dificultad, sin embargo para efectos de esta
investigación y con el objeto de facilitar su comprensión, se restringe al caso en que sólo
existen dos sistemas interactuando esto es, superestructura y aislamiento.
Todos los grados de libertad se definen en el centro de masas (CM) de cada piso. Se
asume por simplicidad que los centros de masa de todos los pisos se encuentran
alineados por una vertical y que la interacción entre la superestructura y el aislamiento
se produce solo a través de movimientos laterales y rotacionales. La extensión del
análisis al caso en que los CM tienen posiciones arbitrarias es muy simple. Por otra parte
la interacción lateral asumida funciona muy bien para aisladores elastoméricos cuyas
fuerzas restauradoras son poco sensitivas a acciones verticales.
La deformación del piso j-ésimo de la superestructura se define como:
[ ]Tjjy
jx
j uuu )()()()(θ=u con Nj L1= ; medidos en forma relativa al aislamiento con la
coordenada rotacional normalizada como ρθ=θ)()( s
jju , donde 12/)(2 22 ca +=ρ es el
radio de giro de las masas de una planta rectangular (Figura 3.2).
Las deformaciones del aislamiento están dadas por: [ ]Tyx qqq θ=q y se miden en
forma relativa al suelo con la rotación normalizada definida como )( bq θρ=θ . El suelo
puede experimentar aceleraciones laterales y rotacionales, las que se encuentran
( )( ) ( )[ ]
( )( )[ ]
gb
ibbssTsTbTi
bbssTs
bssTs
i
s
iiTi
b
ssTs
i
s
iiTi
b
ssTs
i
s
iibbssTsTbTibssTsTbTisTsTbTi
bbssTsbssTssTs
bssTsssTsssTs
ur
mrmrmrrΦ
rrm
rrmΦ
Ψ
q
Ψ
ΦkΦ
k
ΦkΦ
Ψ
q
Ψ
ΦΦ
ΦΦ
Ψ
q
Ψ
ΦmmmΦmmΦmΦ
rmrmrmrmrmr
rrmΦrmΦΦmΦ
mr
000000
c000c000c
rrrrrrrrr
&&
&
&
&
&&
&&
&&
)(
)()()()()()()()(
)()()()()
)()()()(
)(
)(
)()()(
)(
)()()(
)(
)(
)()()
)(
)()()(
)(
)(
)()()()()()()()()()()()()()()()()()()
)()()()()()()()())()(
)()()()()()()()()()(
(
(
(
(
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+++−
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+++++
50
contenidas en el vector gu&& . Entonces, la ecuación general de movimiento de la estructura
en coordenadas relativas está dada por (Nagarajaiah et. al., 1993):
g(b)
(t)
(s)(s)
(b)
(s)
(b)
(s)
(t)(s)T(s)
(s)(s)(s)
urm
rmqu
k00k
qu
c00c
qu
mmrrmm
&&&
&
&&
&&⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ (3.5)
Donde (b)N
j
(s)j
(b)(s)(s)T(s)(t) mmmrmrm +=+= ∑=1
representa la masa sísmica total de la
estructura; [ ]T(s)333333
~~~×××= IIIr L es la transformación cinemática entre el movimiento
de la base y de la superestructura; [ ]33
~×= Ir (b) es la transformación cinemática de cuerpo
rígido entre el movimiento del suelo y del aislamiento, con [ ]ρ= 11~
diagI ;
33)()(
×= Im jj m , con bsj ,= , en la que esta última matriz es un bloque genérico de la
matriz de masas normalizada para el piso j-ésimo, donde )( jm es la masa traslacional e
33×I , la matriz identidad de orden 3; )( sk y )( sc son las matrices de rigidez y
amortiguamiento de la superestructura (base fija); y )( bk y )( bc , las correspondientes
matrices para el aislamiento.
Debido al uso de coordenadas relativas y el desacoplamiento lateral y vertical de la
superestructura y del aislamiento, la determinación de las matrices de amortiguamiento
no-clásico correspondientes para el sistema es muy simple, esto es:
)()()()()()( sTsssTss mΦcΦmc = (3.6)
)()()()()()( tTbbbTtb mΦcΦmc =
donde )( bΦ son los modos del par )()( ; bb mk ; [ ] )3:1(/2 )()()()( Nim si
si
si
s =ωζ=diagc y
[ ] ( )3:12 )()()()( =ωζ= jm bj
bj
bj
b diagc ; son las matrices de amortiguamiento modal de la
superestructura y de la base ; )()()()( ssTss ΦmΦm = y )()()()( bbTbb ΦmΦm = las
correspondientes matrices de masa modal, )(siζ , )(s
iω , )(bkζ , y )(b
kω son las cantidades de
amortiguamiento y las frecuencias acopladas de la superestructura con base fija y los del
51
sistema de aislamiento con la superestructura actuando como cuerpo rígido. Se suponen
amortiguamientos constantes del 5% y 15% para la superestructura y el aislamiento,
respectivamente.
Note que esta formulación se puede extender sin mayor dificultad al caso usual en que el
sistema de aislamiento se encuentra en la parte superior de los subterráneos, esto es,
entre los subterráneos y la superestructura. Se pueden encontrar muchos tipos de
ejemplos de construcciones con este tipo de solución en la práctica Chilena (De la Llera
et al., 2004). También puede ser convenientemente extendido para incluir sistemas con
no-linealidad elástica y geométrica (Junemman, 2006).
III.4 Problema de interacción base-superestructura Una aproximación para entender la respuesta tridimensional de una estructura
sísmicamente aislada es rescribir las Ecuaciones (3.5) como un problema de interacción
de dos subsistemas simplemente moviendo al lado derecho de la ecuación los términos
acoplados de la matriz de masas
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
++
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡umrurmurrmqrm
qu
k00k
qu
c00c
qu
m00m
&&&&
&&&&
&
&
&&
&&(s)T(s)
g(b)(t)
g(b)(s)(s)(s)(s)
(b)
(s)
(b)
(s)
(t)
(s)
(3.7)
Así, resulta evidente que la interacción dinámica entre los dos subsistemas puede ser
representado por los términos de inercia. Para una estructura aislada típica con una
buena separación entre los periodos aislados y los de base fija (Tena y Escamilla, 2006),
se puede obtener una buena aproximación para la respuesta dinámica asumiendo que la
superestructura es rígida (Kulkarni y Jangrid, 2002).
Si imponemos matemáticamente esta suposición, implica que 0u =&& en el lado derecho
de la Ecuación (3.7), la interacción entre los dos subsistemas desaparece, llevando la
ecuación desacoplada de la base a la forma
52
gurmqkqcqm &&&&& )()()()()( btbbt −=++ ∞∞∞ (3.8)
Sin embargo, una observación obvia es que la Ecuación (3.7) muestra explícitamente
que las características laterales-torsionales de la superestructura no son esenciales dado
que la interacción de la superestructura sobre el aislamiento disminuye en la medida en
que la superestructura es más rígida.
Contrariamente, los efectos de interacción del aislamiento en la superestructura son
siempre importantes y nos permitirán en la mayoría de los casos controlar los efectos del
acoplamiento lateral torsional en la superestructura cambiando las propiedades del
sistema de aislamiento (Capítulo IV). A continuación presentamos una estrategia del
tipo predictor-corrector para integrar en forma exacta el sistema de Ecuaciones (3.7).
Mediante la integración de la Ecuación (3.8) obtenemos una primera aproximación de la
aceleración relativa del aislamiento q&& . Introduciendo esta aproximación en la primera de
las Ecuaciones (3.7) obtenemos una primera aproximación del vector de aceleraciones
de la superestructura u&& . Introduciendo la estimación del vector de aceleraciones u&& en la
segunda de las Ecuaciones (3.8) se obtiene una estimación corregida de las aceleraciones
del aislamiento q&& . La iteración continúa entonces alternando entre los dos bloques de las
Ecuaciones (3.8). Esta estrategia de integración de tipo predictor-corrector funciona
extremadamente bien y converge a la respuesta exacta en unas pocas iteraciones.
Denotamos a éste como Modelo EXacto (MEX) en la Figura 3.3 y se corresponde con
las variables 1321 =α=α=α .
El lector puede preguntar por que es necesario aplicar este procedimiento particionado
en lugar de integrar directamente las Ecuaciones (3.7) como un único bloque de
ecuaciones. No es la intención de los autores propiciar el uso de este esquema
particionado, sin embargo éste permite la separación de la modelación estructural de la
superestructura y del aislamiento, y por lo tanto, considerar distintos niveles de
aproximación, consideraciones de modelación estructural para ambos sistemas, diferente
software y explorar diferentes soluciones para el aislamiento sin afectar el diseño
53
umrurmqkqcqm &&&&&&& (s)(s)1
(b)(t)(b)(b)(t) Tg α−−=++
gu&&
u&&
qq,&
)( (b)(b)1(t)(s)(s)(s)(s)3
(s)2 qcqkmrmukucum &&&& +=+α+α
−~ u,u&
convencional de la superestructura. En efecto, representa una forma gruesa de realizar un
procesamiento en paralelo para el diseño práctico de estructuras aisladas.
Figura 3.3 Representación del cuadro de flujo de la interacción dinámica. Sistema aislamiento-superestructura; los tres valores de α1, α2 y α3, conducen a los tres
modelos considerados y presentados en la tabla.
III.5 Modelo de masa corregida La interacción dinámica entre la base y la superestructura presente en la Ecuación (3.7)
puede interpretarse en forma algo diferente. Antes de usar estos resultados para evaluar
los distintos niveles de aproximación obtenidos mediante los diferentes niveles de
flexibilidad asumidos para la superestructura, es de mucha utilidad resolver la segunda
de las Ecuaciones (3.7) para la aceleración q&& y sustituir su valor en la primera de las
Ecuaciones (3.7). Esta sustitución conduce a una representación exacta de la respuesta
de la superestructura en términos de los desplazamientos q y velocidades q& del
aislamiento
Modelo Exacto
Modelo de Masa Corregida
Modelo Cuasi-Estático
α1 1 0 0 α2 1 1 0 α3 1 1 0
54
( ) t(s)(s)(b)(b)(t)(s)(s)(s)(s)(s)∞
− =+=++ qrmqkqcmrmukucum &&&&&& 1~ (3.9)
Donde ( )(s)T(s)(t)(s)(s)(s)(s) mrmrmmm 1~ −−= se puede interpretar como la matriz de masas
corregida de la superestructura; y ( )qkqcmq )()(1)( bbtt += −∞
&&& es la entrada para la
superestructura y puede interpretarse como la aceleración total asociada con la
superestructura rígida. Si se considera una superestructura rígida para determinar q y q&
, estamos introduciendo un modelo aproximado y este Modelo de Masa Corregida
(MMC) se obtiene con los parámetros 1;0 321 =α=α=α en la Figura (3.3). Dos
observaciones acerca de la Ecuación (3.9). Primero, la superestructura percibe la
interacción dinámica entre base y superestructura como una reducción de su masa
dinámica (interacción inercial), y segundo, la excitación para la superestructura )( t∞q&& ,
estará controlada por tres largos periodos correspondientes al movimiento del
aislamiento. Además, este movimiento estará controlado por frecuencias )( bjω ,y por los
modos del aislamiento correspondientes a superestructura rígida, )( bΦ . Esto tiene varias
implicancias en la eventual respuesta inelástica de la superestructura sísmicamente
aislada sujeta a una excitación compuesto por pulsos largos, pero este aspecto se
encuentra más allá del alcance de este estudio.
III.6 Modelo cuasi-estático Debido a que la excitación de la superestructura se encuentra dominado por los tres
modos fundamentales de largo periodo del aislamiento y teniendo en cuenta que el
efecto de interacción implica una disminución de la masa de la superestructura y por lo
tanto un aumento de sus frecuencias fundamentales, resulta intuitivamente atractivo
proponer un modelo simplificado que desprecie la respuesta dinámica de la
superestructura y que asuma que el problema se reduce a una acción estática en su base.
Este Modelo Cuasi-Estático (MCE) posee parámetros 0321 =α=α=α en la Figura
(3.3) y puede interpretarse como la relación algebraica estática
55
t(s)(s)(s)∞= qrmuk && (3.10)
Advierta que en esta ecuación el término t(s)(s)∞qrm && son las fuerzas de inercia en los
distintos pisos de la superestructura para un campo de aceleraciones del tipo de cuerpo
rígido.
En el diagrama de bloques de la Figura (3.3) se describen los tres modelo estructurales,
el modelo exacto (MEX), el modelo de masa corregida (MMC) y el modelo cuasi
estático (MCE) representado por distintos valores de los parámetros 321 ααα ,, . Las
flechas en este diagrama indican el flujo de las variables de entrada y salida para ambos
bloques de la Ecuación (3.7). Se podrían introducir varias aproximaciones para integrar
las ecuaciones de movimiento en este punto; sin embargo, las tres aproximaciones
resultan significativas en términos de su interpretación física. Definiendo como razón de
flexibilidad torsional al cuociente entre la frecuencia rotacional y la traslacional del
sistema nominalmente simétrico de la superestructura y del sistema de aislamiennto )(
0)(
0)(
0s
yss ωω=Ω θ y )(
0)(
0)(
0b
ybb ωω=Ω θ , respectivamente, comparamos a continuación los
tres modelos en términos de su exactitud numérica y rango de aplicabilidad.
Consideremos las funciones de respuesta en frecuencia (FRF) de un edificio de 6 pisos
con una relación de lados 5.0== acrl para una componente sísmica unidireccional
)(tu gy mostradas en la Figura (3.4). El periodo, amortiguamiento, excentricidad de
rigidez y razón de flexibilidad torsional son sT s 4.0)( = , 05.0)( =ζ s , ρ= 25.0)( ssxe , y
21.)s( =Ω para la estructura de base fija y sT b 5.2)( = , 15.0)( =ζ b , 0)( =bsxe , y 2.1)( =Ω b
para el aislamiento con superestructura rígida. Comparamos en las Figuras 3.4a y 3.4b
los módulos de las FRF para la deformación de entrepiso )( ωjH drift y aceleración
)( ωjH acc del techo en sus bordes rígido y flexible, obtenidas para los tres modelos
considerados.
56
a) Deformación de entrepiso en los bordes del techo
b) Aceleración en los bordes del techo
Figura 3.4 FRF para el techo, deformación de entrepiso y aceleración. Obtenidas en los bordes de un edificio de 6 pisos ( 5.0=ac , sT s 4.0)( = , ρ= 25.0)( s
sxe , 2.1)(
0 =Ω s , 05.0)( =ζ s ; sT b 5.2)( = , 0)( =bsxe , 1)(
0 =Ω b , y 15.0)( =ζ b ) para una excitación unidireccional )(tu gy .
Es evidente que los modelos MEX y MMC son esencialmente idénticos para todo el
rango de frecuencias considerado en el análisis. Esto implica que la corrección de masa
incluida en el MMC captura extremadamente bien la interacción dinámica entre la base
y la superestructura.
0.1 1 10 100
10−6
10−4
10−2
|Hdr
ift(jω
)|Flexible edge
Frequency (hz)
EXMMCMQSM
0.1 1 10 100
Stiff edge
Frequency (hz)
0.1 1 10 10010
−3
10−2
10−1
100
101
|Hac
c(jω)|
Flexible edge
Frequency (hz)
EXMMCMQSM
0.1 1 10 100
Stiff edge
Frequency (hz)
MEX MMC MCE
MEX MMC MCE
Frecuencia (hz) Frecuencia (hz)
Frecuencia (hz) Frecuencia (hz)
Borde flexible Borde rígido
Borde flexible Borde rígido
57
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
Fle
xibl
e ed
gero
of a
ccel
erat
ion
(g)
Maximum (g): EXM=0.122, MCM=0.128, QSM=0.114
Minimum (g): EXM=−0.116, MCM=−0.116, QSM=−0.096
EXMMCMQSM
0 2 4 6 8 10 12 14 16−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
Time(s)
Stif
f edg
ero
of a
ccel
erat
ion
(g)
Maximum (g): EXM=0.123, MCM=0.124, CSM=0.114
Minimum (g): EXM=−0.104, MCM=−0.105, CSM=−0.096
−1
−0.5
0
0.5
1
Fle
xibl
e ed
gero
of d
rift (
cm)
Maximum (cm): EXM=0.71, MCM=0.71, QSM=0.68
Minimum (cm): EXM=−0.8, MCM=−0.83, QSM=−0.82
EXMMCMQSM
0 2 4 6 8 10 12 14 16−1
−0.5
0
0.5
1
Time(s)
Stif
f edg
ero
of d
rift (
cm)
Maximum (cm): EXM=0.29, MCM=0.29, QSM=0.29
Minimum (cm): EXM=−0.35, MCM=−0.35, QSM=−0.34
Máximo (cm): MEX=0.71; MMC=0.71, MCE=0.68
Mínimo (cm): MEX=-0.8; MMC=-0.83, MCE=-0.82
Máximo (cm): MEX=0.29; MMC=0.29, MCE=0.29
Mínimo (cm): MEX=-0.35; MMC=-0.35, MCE=-034
MEX MMC MCE
MEX MMC MCE
Máximo (g): MEX=0.122, MMC=0.128, MCE=0.114
Máximo (g): MEX=0.123, MMC=0.124, MCE=0.114
Mínimo (g): MEX=-0.116; MMC=-0.116, MCE=-0.096
Mínimo (g): MEX=-0.104; MMC=-0.105, MCE=-0.096
Bor
de fl
exib
le
Def
orm
ació
n de
l tec
ho (c
m)
Bor
de rí
gido
D
efor
mac
ión
del t
echo
(cm
) B
orde
flex
ible
A
cele
raci
ón d
el te
cho
(g)
Bor
de rí
gido
A
cele
raci
ón d
el te
cho
(g)
Tiempo (s)
Tiempo (s)
a) Deformación de entrepiso en los bordes del techo
b) Aceleración en los bordes del techo Figura 3.5 Comparación de MEX, MMC, y MCE deformaciones de entrepiso y
aceleraciones de techo. Obtenidas para un edificio de 6 pisos ( 5.0=ac , sT s 4.0)( = , ρ= 25.0)( s
sxe , 2.1)(0 =Ω s ,
05.0)( =ζ s ; sT b 5.2)( = , 0)( =bsxe , 1)(
0 =Ω b , y 15.0)( =ζ b ) y sujeto a una excitación bidireccional.
58
Contrariamente el modelo sin corrección de masa, pero en formato idéntico al MMC, es
significativamente peor en términos de exactitud numérica. Por otro lado, para las
respuestas con contenido amplio de frecuencias, esto es de 2 a 3 Hz., el MCE da una
razonable aproximación, especialmente en términos de deformaciones de entrepiso de la
superestructura.
Como era de esperarse, dada la gran participación de las armónicas de alta frecuencia en
las aceleraciones del techo mostradas en la Figura 3.4b, el rango de exactitud numérica
del MCE disminuye en este caso, pero permanece bastante amplio. Note finalmente que
las deformaciones de entrepiso y aceleraciones se encuentran dominadas en este ejemplo
por la frecuencia fundamental aislada de 0.4 Hz.
Se presentan en la Figura 5 la deformación de entrepiso y la aceleración a nivel de techo
para los bordes rígido y flexible de la estructura de 6 pisos descrita previamente. Las
líneas: sólida, de trazos y puntos, y de trazos, corresponden a la respuesta de los modelos
MEX, MMC y MCE respectivamente. Los dos modelos aproximados, MMC y MCE
son capaces de predecir con precisión la historia de desplazamientos de entrepiso, las
que difieren en un factor de 2 entre bordes como consecuencia del acoplamiento lateral-
torsional presente en la superestructura. A pesar que no se presenta en la Figura, la
precisión de la respuesta predicha para el aislamiento es siempre mejor que para la
superestructura.
En este caso, el error predicho por el MCE obtenido en el instante de la máxima
deformación de entrepiso es menor que el 4.5% y ocurre para el borde flexible. Por otra
parte, el error en la predicción del MCE tiende a incrementarse cuando se consideran las
aceleraciones en los bordes y las máximas discrepancias son claramente, para la línea
de trazos mostrada en la parte b) de la Figura 5 como resultado de la contribución de los
modos superiores que son filtrados por el MCE. Solo como referencia, el error del
modelo MCE en el instante del máximo de aceleraciones en los dos bordes es menor que
el 7%. Además, el MMC muestra excelente precisión para los desplazamientos de
entrepiso y aceleraciones de la superestructura.
59
0 5 10 15 2010
−1
100
101
102
Fre
quen
cy (
hz)
Mode number
EXMMCM
0 5 10 15 200
2
4
6
8
10
12
14
16D
ampi
ng (
%)
Mode number
EXMMCM
MEX MMC
MEX MMC
Am
ortig
uam
ient
o(%
)
Frec
uenc
ia (h
z)
Número de Modo Número de Modo
Comparamos en la Figura 3.6 las 21 frecuencias modales y amortiguamientos de la
estructura de 6 pisos aislada del edificio considerado previamente. Estos valores se han
obtenido para los modelo MEX y MMC para una estructura con sT s 4.0)( = , 05.0)( =ζ s ,
ρ= 25.0)( ssxe , y 2.1)(
0 =Ω s , sT b 5.2)( = , 15.0)( =ζ b , 0)( =bsxe , y 1)(
0 =Ω b . Las frecuencias
modales y amortiguamientos para el MMC corresponden al sistema descrito por la
Ecuación (3.5) donde despreciamos, o igualamos a cero el término fuera de la diagonal
del segundo bloque de las ecuaciones ( )T)s(T)s( mr . Notar que el MMC es capaz de
representar con precisión las frecuencias modales del modelo exacto, lo que enfatiza la
importancia de tener en cuenta el término de corrección de la matriz de masas de la
superestructura.
Figura 3.6 Comparación entre la respuesta del MEX y el MMC; frecuencias modales y amortiguamientos.
Obtenidas para un edificio de pisos aislado con 5.0=ac , sT s 4.0)( = , ρ= 25.0)( ssxe ,
2.1)(0 =Ω s , 05.0)( =ζ s ; sT b 5.2)( = , 0)( =b
sxe , 1)(0 =Ω b , y 15.0)( =ζ b .
Sin embargo, el MMC subestima levemente el amortiguamiento de los modos de la
superestructura. Esta reducción en el amortiguamiento explicará a continuación por que
el MMC conduce a una estimación conservativa de la respuesta del aislamiento y de la
superestructura.
60
Tabla III.2 Registros de aceleraciones empleados en el análisis
Grupo Registro Dirección MAS (g)
MVS (cm/s)
MDS (cm)
Suelo II Melipilla N00E -0.687 34.289 13.300 Suelo II Llo Lleo N10E -0.713 -40.295 -10.786 Suelo III Viña del Mar S20W 0.363 30.742 -5.534 Suelo III Arleta N00E 0.344 40.360 8.880 Suelo II Corralitos N00E 0.630 -55.200 12.030 Suelo I El Centro N00E -0.348 -33.450 -12.360 Suelo II Kobe N00E 0.822 81.300 -17.690 Suelo II Sylmar N00E 0.843 -128.880 -30.670
Suelo I: Vs>900m/s Suelo II: 400 m/s< Vs <900 m/s Suelo III: Vs < 400 m/s
Se presenta en la Figura 7 el análisis para un amplio rango de respuestas de edificios de
6 pisos en términos de espectro de error de los distintos modelos. Los resultados se
presentan para excitación bidireccional y corresponden a valores medios obtenidos para
los 8 registros de movimiento indicados en la Tabla III.2.
La abcisa representa la razón entre el periodo de base fija y aislado de la estructura, )()( bs TT , y las ordenadas el error obtenido en la respuesta máxima. Las propiedades
geométricas y dinámicas de la estructura de 6 pisos aislada son 5.0=ac , sT s 4.0)( = ,
ρ= 20.0)( ssxe , 05.0)( =ζ s ; sT b 5.2)( = , 0)( =b
sxe , 1)(0 =Ω b , y 15.0)( =ζ b . Consideramos tres
casos para la superestructura 2.1,0.1,8.0)(0 =Ω s , rango que cubre desde estructuras
torsionalmente flexibles a rígidas. La primera columna de figuras muestra el error de
considerar la superestructura como cuerpo rígido respecto del MEX en la deformación
de entrepiso en los bordes flexible y rígido de la base respectivamente, la segunda y
tercera columna muestran el error medio en la deformación de entrepiso en el techo de la
superestructura en los bordes flexible y rígido, respectivamente.
61
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
Ts/T
b
Mod
el e
rror
Base deformation error at both edges
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5T
s/T
b
Roof drift error at flexible edge
Ωs=0.8
Ωs=1.0
Ωs=1.2
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5T
s/T
b
Roof drift error at stiff edge
borde flexible
borde rígido
MMC
MCE
MMC
MCE
a) b) c)
Er
ror
Error de deformación en la base. Error en el techo. Borde flexible. Error en el techo. Borde rígido.
Figura 3.7 Predicción media del error MMC y MCE para un edificio de 6 pisos.
5.0=ac , sT s 4.0)( = , ρ= 20.0)( ssxe , 05.0)( =ζ s ; sT b 5.2)( = , 0)( =b
sxe , 1)(0 =Ω b , y 15.0)( =ζ b ;
sujeto a 8 registros de movimientos: a) deformación en la base en ambos bordes y deformación de entrepiso en el techo b) borde flexible, y c) borde rígido.
En general, los errores aumentan con el incremento de la razón de periodos )b()s( TT (Tena y Escamilla, 2007) y mientras que el MMC tiende a sobreestimar la
respuesta del aislamiento y de la superestructura, esto es del lado conservativo, el MCE
tiende a subestimar esta respuesta. Además, la predicción del error de los modelos tiende
a ser mayor para superestructuras torsionalmente flexibles que para las torsionalmente
rígidas.
La predicción de error en los modelos para las deformaciones de entrepiso del
aislamiento son menores para el borde rígido, y para los dos bordes es menor que el 10%
si la razón de periodos de la estructura 4.0)()( <bs TT . Mientras que los errores en las
deformaciones de entrepiso del techo son menores en el borde flexible para el MCE, el
MMC es mas preciso en la estimación de la deformación de entrepiso en el borde rígido.
62
La región de error menor o igual al 10% para el MMC y la deformación de entrepiso del
borde flexible requiere de estructuras con razón de periodo 3.0)()( <bs TT , y para la
deformación de entrepiso del borde rígido del MCE estructuras con razón de periodos
1.0)()( <bs TT
III.7 Estimación espectral de la interacción superestructura-aislamiento Debido al comportamiento dominante de los modos aislados en la respuesta dinámica de
la estructura, y teniendo en cuenta el buen nivel de aproximación obtenido usando las
Ecuaciones (3.9) y (3.10), resulta posible estimar la respuesta de la superestructura y de
la base mediante un análisis modal simplificado.
Comenzamos asumiendo que la descomposición modal de la ecuación de movimiento
del aislamiento (Ecuación (3.8)) es de la forma ( ) ( )tt bb )()( ΨΦ=q , donde )( bΦ es la
matriz modal de 33× de la estructura aislada con superestructura rígida y )( bΨ son las
coordenadas modales correspondientes. Una descomposición similar se presenta para
( )tu en la Ecuación (3.9) esto es, ( ) ( )tt ss )()( ΨΦ=u done )( sΦ es la matriz modal de la
superestructura y )( sΨ las correspondientes coordenadas modales.
Se puede expresar la respuesta de la base en coordenadas modales asumiendo
superestructura rígida (Ecuación (3.8)) como:
g
bbbbt ukcm &&&&& (b)L−=++ )()()()()( ~~~ ΨΨΨ (3.11)
Donde )()()()(~ btTbt ΦΦ mm = , )()()()(~ bbTbb ΦΦ cc = , y )()()()(~ bbTbb ΦΦ kk = son las matrices
de masa, amortiguamiento y rigidez modal para el aislamiento con superestructura
rígida; )()()()( btTbb rmΦ=L es el vector de participación modal; y )( bΦ son los modos que
resultan del problema 2)()()()()( bbtbb ΛΦΦ mk = , donde [ ]2)(3
2)(2
2)(1
bbb ωωω=)( diagΛ 2b .
Suponiendo amortiguamiento clásico, la Ecuación (3.11) es un conjunto de tres
63
ecuaciones diferenciales de movimiento desacopladas. Cada una de las cuales se puede
expresar como:
3,2,1,~2 )(2)()()()()( =−=Ψω+Ψωζ+Ψ kum g
bk
bk
bk
bk
bk
bk &&&&&
(b)k
(b)kL (3.12)
Repitiendo la descomposición modal para la ecuación aproximada de la superestructura
(Ecuación (3.9)) y dejando de lado la velocidad en el aislamiento
Njmm
bs
jbTs
jsj
sj
sj
sj
sj
sj ×==−=Ψω+Ψωζ+Ψ 3,,1,~~2 )(
)()()()(2)()()()()( L&&& Ψ
Ψφ(s)j
(s)j
LJ (3.13)
donde N es el número de pisos y JTsj
sj
)()( φ=L , con J determinado como:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=2(b)(b)
2(b)(b)
ΛΦm
ΛΦmJ
)(
)(1
sN
s
M (3.14)
y definido por ( ) )()(1)()()( bbtss ΦkmrmJ −= . Como puede apreciarse de la Ecuación
(3.14), cada bloque columna de la matriz ( )Nii ×= 3,,1)( LJ representa las fuerzas de
inercia que se aplican en la superestructura como resultado de cada modo de vibración
de la base. El valor esperado del máximo de ( )tbk
)(Ψ es:
( )( )[ ] )()(
)(max bdkt
k
bk S
mtE
(b)kL=Ψ (3.15)
Y tomando el máximo y el valor esperado en la Ecuación (3.13) para cada modo de la
base,
( )( )[ ] ( ) ( )( )[ ]tEutE bk
sj
n
jkjkk
)()(
1
0 maxmax Ψ== ∑=
φur (3.16)
( ) ( ) 3,2,10
1
)(0
1
)(0)(
)()(
=Ψ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡== ∑∑
==
kuum
Sk
n
j
sjkj
n
j
sjkjt
k
bdk
bk φφ
L
donde ( ) ( )( ) )(
,3)(0 ~/ s
jkNTs
jkj mu Jφ= y 0kΨ es el máximo valor de la coordenada modal k-
ésima de la base. El término correspondiente a la entrada en la Ecuación (3.9) puede
64
escribirse como )()( tbΨJ ; este resultado se emplea en el miembro derecho de la
Ecuación (3.13). Por lo tanto, el término (b)Ψφ JTsj
)( en la Ecuación (3.13) representa la
excitación del aislamiento proyectado en la base modal de la superestructura. Este
resultado es muy intuitivo y permite realizar una interpretación física del problema de
interacción que puede expresarse como sigue:
Postulado: La respuesta ante la acción de un terremoto de una superestructura aislada
estará controlada principalmente por la respuesta dinámica del aislamiento. Así, la
combinación de las respuestas modales del aislamiento constituye la excitación de
movimiento en la base de la superestructura. Por lo tanto, la respuesta elástica e
inelástica de la superestructura estará condicionada por los movimientos de baja
frecuencia del aislamiento, esto es, para las altas frecuencias de la superestructura, este
movimiento se percibirá como una excitación estática.
De acuerdo con el postulado el movimiento del aislamiento constituye un excitación de
baja frecuencia para la superestructura. Por lo tanto, se puede proponer una
aproximación estática para la respuesta dinámica de la estructura ignorando los términos
dinámicos en la Ecuación (3.13). Esto conduce a la aproximación para la
superestructura:
I
stssst Rfqrmku )()()(1)()( −=−= ∞− && (3.17)
Donde )s(f representa la flexibilidad de la superestructura y tss
I ∞= qrmR &&)()(
el vector
de fuerzas de inercia debidas a la aceleración total t∞q&& . Sustituyendo la Ecuación (D.6)
(ver Anexo D), la anterior puede expresarse como,
( ) ( ) tk
kk
kk tt ∞
==∑∑ == ΨΦuu &&
3
1
3
1
(3.18)
Donde 0)()()(k
sssk ΦrmfΦ −= y ( ) t
kkk t ∞= ΨΦu && representan la distribución de fuerzas de
inercia y la deformada de la estructura como resultado del k-ésimo modo de vibración
del aislamiento respectivamente.
65
Entonces la Ecuación (3.16) permite estimar los máximos modales a través de
[ ] [ ] ( )[ ])(2)())(())(( )()()()(2)( ttmáxEtmáxEtmáxE b
kb
kb
kb
kb
kkt
kkkk Ψωζ+Ψω=Ψ== ∞&&& ΦΦur
( 3.19)
Lo que muestra que la respuesta de la superestructura se obtiene por la superposición
escalada de las respuestas en el tiempo de la base multiplicadas por los seudo modos de
vibración de la superestructura jΦ . También se puede apreciar que el único término que
depende del tiempo son las coordenadas modales del aislamiento ( )tbk
)(Ψ , ( )tbk
)(Ψ& .
La Ecuación (3.19), asumiendo movimiento estacionario y de acuerdo al anexo E,
podemos escribirla como
kkkb
dkbk
bkb
kb
kkk ASm
Γ=ωζ+= ΦΦr )()(
)(2)(2)(
~41L (3.20)
Donde )b(dkS es el desplazamiento espectral correspondiente a la frecuencia k-ésima de la
base, )()()()( btTbk
bk rmφ−=L es el factor de participación modal k-ésimo del aislamiento,
)()( ~ bk
bkk mL=Γ y )(2)(2)(41 b
dkb
kb
kk SA ωζ+= . Consecuentemente la máxima respuesta 0R del
edificio empleando la regla convencional CQC (Der Kiureghian, 1981), usando notación
indexada:
( )[ ] ( ) 3,2,1,,max 2/1,0 =μ==
τ≤qptE qpqpt
RRRR (3.21)
donde qp ,μ es el coeficiente de correlación de las respuestas modales de la base.
En la Figura 3.8 se muestra la comparación de la estimación de errores obtenidos para la
base y para la deformación relativa techo-base para un edificio de tres pisos aislado
empleando superposición modal MCE (Ecuación (3.21)) y el MEX, y como función de
la razón )()( bs TT . Dado que la excitación se encuentra representada por los espectros
de diseño del UBC (1997) y de la NCh 2745 (2003) (Chile), la respuesta para el MEX, el
que tiene amortiguamiento no-clásico como resultado del sistema de aislamiento, se
66
(a) Código UBC
(b) NCh 2745
Figura 3.8 Errores obtenidos usando superposición modal MCE con 2 espectros de diseño.
Para a) UBC 1997, y b) NCh 2745. Dos estructuras sujetas a excitación bidireccional 5.0=ac , ρ= 20.0)( s
sxe , 05.0)( =ζ s ; sT b 5.2)( = , 0)( =bsxe , 1)(
0 =Ω b , y 15.0)( =ζ b .
−0.05
−0.025
0
0.025
0.05
Bas
e de
form
atio
nQ
SM
err
or
Flexible edge
Ωs=0.8
Ωs=1.0
Ωs=1.2
Stiff edge
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
Ts/T
b
Roo
f−to
−bas
e de
form
atio
nQ
SM
err
or
Flexible edge
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5T
s/T
b
Stiff edge
Def
orm
ació
n de
la b
ase
erro
r MC
E D
efor
mac
ión
tech
o-ba
se
erro
r MC
E
Borde flexible Borde rígido
Borde flexible Borde rígido
−0.05
−0.025
0
0.025
0.05
Bas
e de
form
atio
nQ
SM
err
or
Flexible edge
Ωs=0.8
Ωs=1.0
Ωs=1.2
Stiff edge
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
Ts/T
b
Roo
f−to
−ba
se d
efor
mat
ion
QS
M e
rror
Flexible edge
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5T
s/T
b
Stiff edge
Def
orm
ació
n de
la b
ase
erro
r MC
E D
efor
mac
ión
tech
o-ba
se
erro
r MC
E
Borde flexible Borde rígido
Borde flexible Borde rígido
67
computó usando la regla CQC extendida a amortiguamiento no clásico (Sinha e Igusa,
1996).
Las propiedades del sistema de aislamiento considerado son 5.0=ac , ρ= 20.0)( ssxe ,
05.0)( =ζ s ; sT b 5.2)( = , 0)( =bsxe , 1)(
0 =Ω b , y 15.0)( =ζ b . Además, se consideraron tres
valores de razones de flexibilidad torsional para la superestructura 2.1,0.1,8.0)(0 =Ω s .
Para la mayoría de las relaciones )()( bs TT , el MCE junto con la Ecuación (3.21)
conduce a respuestas para la superestructura y la base con errores en el rango de + 10%.
El error del modelo tiende a ser mayor en la respuesta del borde rígido y se incrementa
con el aumento de la razón )()( bs TT y decrece con )(0
sΩ .
Además, el procedimiento aproximado puede ser aplicado a toda razón 5.0)()( <bs TT si
12.1)(0 >=Ω s y a 2.0)()( <bs TT si 18.0)(
0 <=Ω s ; en el rango intermedio de )(0
sΩ , la razón
límite de aplicabilidad puede considerase que varía linealmente entre 0.2 y 0.5. Mientras
que el error en la respuesta a los espectros de los códigos UBC y NCh 2745 muestra
algunas notorias similitudes, la estimación del error de la deformación en ambos bordes
con la NCh 2745 tiende a ser mayor que los obtenidos con el UBC. La mayores
diferencias entre ambos códigos es notable para 2.0)()( <bs TT .
III.8 Estimación de la respuesta rotacional de la base aislada Si las ecuaciones de movimiento de la base (Ecuación (3.8)) se aplican al caso de
estructuras con asimetría en planta, se obtiene el siguiente conjunto de ecuaciones
paramétricas muy conocidas (Hejal y Chopra, 1987)
gb
xb
xb
xb
y
bx
by
yb
eeeee
e
murqqcq &&&&& (b)
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ρ−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+α+Ωα−
α−αω+
ρ+ ∞∞∞
00010001
ˆˆˆˆˆ10
ˆ0~1
2)(2)(220
)()(
)(
)(
20
)( (3.22)
68
Donde [ ]TbyxN qq )(θρ=q es el nuevo vector de grados de libertad; mk b
yy)(2
0 =ω es la
frecuencia lateral desacoplada en la dirección y; 20
20 yx ωω=α es la relación de
frecuencias laterales al cuadrado desacopladas; ρ= )()(ˆ bx
bx ee y ρ= )()(ˆ b
yb
y ee son las
excentricidades estáticas normalizadas en las direcciones x e y; y000 ωω=Ω θ es la razón
de flexibilidad torsional desacoplada, en la que la rigidez rotacional se ha calculado
respecto al centro de rigidez de la base; ρ es el radio de giro de la masa total de la
construcción; y )(~ bc corresponde a la matriz de amortiguamiento normalizado de la base )( bc , en la que la tercera columna se ha dividido en ρ .
A pesar que es un aspecto conocido, es importante refrescar en este punto el concepto de
frecuencia predominantemente rotacional y traslacional. La frecuencia normalizada
predominantemente traslacional en la dirección y se define como yy 0ωω . Cuando esta
frecuencia normalizada es mayor que 1 en tanto 10 <Ω , menor que 1 en tanto que
10 ≥Ω , se la denota como predominantemente traslacional. Para la frecuencia
normalizada predominantemente rotacional y0ωωθ se usa la definición opuesta. Los
valores de las dos frecuencias de un sistema acoplado de un piso, normalizadas respecto
de la frecuencia desacoplada y0ω , y los correspondientes factores de participación
modal se presentan en la Figura 3.9 en función de la excentricidad normalizada de la
base )(ˆ bsxe y para tres valores de flexibilidad torsional 2.10.1,8.0 y)( =Ω b
o .
En esta Figura, la frecuencia predominantemente rotacional se identifica con líneas
sólidas, mientras que las traslacionales por líneas de trazos
En la medida que )(ˆ bsxe aumenta, las frecuencias varían principalmente en forma lineal con
la excentricidad y se separan una de otra para el mismo valor )( boΩ . El aspecto
importante a notar es que mientras una de las frecuencias es mayor que 0ω , la otra es
menor.
69
0 0.5 1 1.50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 0.5 1 1.50
0.25
0.5
0.75
1
L(b)
)(ˆ bsxe )(ˆ b
sxe
rotacional traslacional
2.10.18.0
)(0
)(0
)(0
=Ω=Ω=Ω
b
b
b
0 0.4 0.8 1.2 1.60
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 0.4 0.8 1.2 1.60
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 0.4 0.8 1.2 1.60
0.5
1
1.5
2
2.5
3borde rígido borde flexible
bxê bxê bxê
8.0s =Ω 0.1s =Ω 2.1s =Ω
Figura 3.9 Frecuencias y factores de participación modal L. Sistema acoplado. Frecuencias predominantemente traslacional y rotacional en presencia de excentricidad
estática )(ˆ bsxe en el aislamiento.
Este aspecto tiene implicancias en la respuesta dinámica de una estructura aislada,
debido a la variación del espectro de diseño en la vecindad de 0ω . Como es de esperarse,
para 0ˆ )( =bsxe , la frecuencia normalizada traslacional converge a 1, y la frecuencia
normalizada rotacional a )( boΩ . Además, los factores de participación modal son siempre
mayores para el modo predominantemente traslacional, con excepción del caso en que
8.0)( =Ω bo y 6.0ˆ )( ≥b
sxe .
Figura 3.10 Influencia media de la flexibilidad de la superestructura.
Se aprecia como el espesor de las líneas solidas y de trazos para 8 registros de movimiento; 5.0=ac , ρρ−= 5.1a5.1)( s
sxe , 05.0)( =ζ s ; sT b 5.2)( = , ρ= 5.1a0)( bsxe , 1)(
0 =Ω b , y 15.0)( =ζ b .
70
En la siguiente sección se analizará la respuesta acoplada de los bordes flexible y rígido
del sistema de aislamiento. Estos resultados se presentan primero para estructuras
monosimétricas, para un amplio rango de excentricidades )(ˆ bsxe y razones de frecuencia
)(0
bΩ variables entre 0.8 y 1.2.
Debido a que el efecto de los parámetros de la superestructura en el sistema de
aislamiento es menor en la medida en que la relación )()( bs TT es menor (Figura 3.10)
el análisis se limitará a considerar superestructuras rígidas. Esta Figura se ha obtenido
para los siguientes parámetros 5.0=ac , ρρ−= 5.1a5.1)( ssxe , 05.0)( =ζ s ; sT b 5.2)( = ,
ρ= 5.1a0)( bsxe , 1)(
0 =Ω b , y 15.0)( =ζ b ; el eje )(ˆ ssxe es perpendicular al plano q , )( b
sxe , la
influencia de la superestructura esta dada por el espesor de las líneas sólidas para el
borde flexible y las de trazos para el borde rígido. Posteriormente se analizará el caso
tridimensional.
III.8.1 Caso bidimensional Se analizará primero la respuesta de un sistema de aislamiento con un plano vertical de
simetría en la dirección x. La consideración fundamental en el análisis es que la
superestructura se considera rígidamente vinculada a la base de aislamiento. La
respuesta rotacional se medirá comparando la respuesta de los bordes opuestos en la
dirección y de la planta del edificio, también llamados bordes rígido y flexible. La
frecuencia de vibración de la estructura (Hejal y Chopra, 1987) se ordenan de forma tal
que la primera frecuencia obtenida de la Ecuación (3.22) sea la predominantemente
rotacional
[ ]20
20
2, 41(
21 Ω−Ω−=ω ssignstr m
) (3.23)
y los modos de vibración son
71
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−ω−ω
=sxr
rsxb
ee
d ˆ1ˆ1ˆˆ1
2
2)(Φ (3.24)
donde 220 ˆ1 sxes +Ω+= , rω es la frecuencia rotacional acoplada normalizada; y
22
2 ˆ1ˆsxr ed +⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −ω= es el factor de normalización de los modos. Notar que cuando 10 =Ω ,
se define 1)0( =sign , haciendo que ambas frecuencias resulten iguales para 0ˆ =sxe .
Además, los factores de participación modal del sistema de ecuaciones normalizado para
una componente de excitación traslacional en la dirección y son:
dd
e rbt
sxbr
1ˆ,
ˆ 2)()( −ω== LL (3.25)
y, por lo tanto, las respuestas modales de la Ecuación (3.12) son:
( ) ( )ttdsx
trrdsx
r Sd
eS
de
ξω=Ψξω=Ψ ∞∞ ,ˆ
,,ˆ
(3.26)
donde ( )trtrdS ,, ,ξω son los desplazamientos espectrales correspondientes a los modos
aislados rotacional y traslacional. Basado en los resultados anteriores, la deformación
modal en los bordes se puede obtener a través de la siguiente expresión
[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
ζω⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −ωρ
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −ωζω
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −ωρ
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
ζω⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −ωρ
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −ωζω
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −ωρ
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
ttdrsxr
rrdrsxsx
ttdrsxr
rrdrsxsx
tr
Sd
ead
Sd
ead
e
Sd
ead
Sd
ead
e
,1ˆˆ1ˆ
,1ˆˆˆ
,1ˆˆ1ˆ
,1ˆˆˆ
2
222
2
22
2
222
2
22
(3.27)
Con el objeto de estimar la respuesta máxima, la contribución modal de la Ecuación
(3.27) puede combinarse mediante el uso de la regla CQC (Der Kiureghian, 1981) con el
72
c)- Promedio de 8 registros d)- Espectro probabilístico
0
1
2
3
Nor
mal
ized
edg
e di
spla
cem
ent
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60
1
2
3
Nor
mal
ized
edg
e di
spla
cem
ent
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
borde rígido borde flexible
2.10.18.0
)(0
)(0
)(0
=Ω=Ω=Ω
b
b
b
)(ˆ bsxe )(ˆ b
sxe
a)- Registro El Centro b)- Registro Melipilla
Des
plaz
amie
nto
nor
mal
izad
o de
l bo
rde
Des
plaz
amie
nto
nor
mal
izad
o de
l bo
rde
coeficiente de correlación ( ) ( )[ ] 002
02
030
2 2428 Ω−Ω+ζΩ+Ω+Ωζ=μ sssrt (Anexo F)
para igual cantidad de amortiguamiento en ambos modos aislados.
La amplificación lineal máxima de los desplazamientos de los bordes se normaliza
respecto al caso aislado nominalmente simétrico, esto es, ( ) ( )ζω= ,ˆ 0,0, ydfrfr Sqq . La
aplicación de la Ecuación (3.27) en este caso particular conduce a
( ) ( ) ( )( ) ( )2
222222
0, 1
ˆ~ˆˆ~~12ˆ~1ˆ
ε+
ε±ε+ε±εεμ+ε= ttrrtr
fr
DaDDaaDaq
mm (3.28)
donde ( ) sxr e1ˆ 2 −ω=ε , ρ=aa~ , ( ) ( )ζωζω= ,,ˆ0 ydrrdr SSD , ( ) ( )ζωζω= ,,ˆ
0 ydttdt SSD , el
signo superior en la Ecuación (3.28) se asigna a rq y el inferior a fq .
Figura 3.11 Amplificación rotacional aislamiento. Distintas excitaciones. Para: a)- Registro de El Centro; b)- Registro Melipilla; c)- Promedio de 8 registros; d)-
Espectro probabilístico envolvente al promedio de 8 espectros.
73
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60
0.4
0.8
1.2
1.6
2
2.4
2.8
3.2
3.6
4
Nor
mal
ized
edg
e di
spla
cem
ent
borde rígido borde flexible
2.10.18.0
)(0
)(0
)(0
=Ω=Ω=Ω
b
b
b
estático UBC
)(bsxe
Des
plaz
amie
nto
norm
aliz
ado
del b
orde
Los resultados de las amplificaciones en los bordes de la construcción se presentan en la
Figuras 3.11 y 3.12 para un conjunto de registros de terremotos y el espectro de
desplazamientos del UBC respectivamente. Las partes a) y b) de la Figura 3.11 muestran
la amplificación del borde rígido y flexible del aislamiento para los registros de El
Centro (EEUU, 1940) y Melipilla (Chile, 1985).
Resulta evidente que la amplificación del borde flexible tiende a incrementarse con la
excentricidad y es considerablemente alto para el registro de Melipilla cuyos valores se
acercan a 3 para altas excentricidades. Sin embargo, las amplificaciones medias para el
borde flexible raramente exceden de 1.5 para un amplio rango de excentricidades y
registros.
Figura 3.12 Amplificación rotacional para el espectro del UBC. Desplazamiento normalizado en los bordes )(ˆ bq versus excentricidad en la base. La
amplificación del borde flexible es inversamente proporcional a )(0
bΩ , el borde rígido amplifica para pequeñas excentricidades y 1)(
0 <Ω b . Las amplificaciones del borde rígido y flexible han sido obtenidas por análisis modal usando el espectro del UBC. La curva
estática para el UBC se obtuvo para 1)(0 =Ω b .
74
Además, estos resultados también se han validado mediante amplificaciones derivadas
de análisis probabilístico. Otra observación es que la amplificación de desplazamientos
es moderadamente sensitiva al valor de la razón de flexibilidad torsional, a excepción
del registro de Melipilla para el cual un menor 0Ω conduce a una gran amplificación.
El efecto de 0Ω es claramente mayor para el borde rígido de la planta; la rigidización
rotacional de la planta disminuye éste factor de amplificación. Para 8.00 =Ω y pequeños
valores de excentricidad, los desplazamientos del borde rígido se amplifican a un
máximo de 1.2.
Por el contrario, la amplificación de desplazamientos en el borde rígido es usualmente
menor que 1 (reducción) y decrece cuando la excentricidad del aislamiento se
incrementa. En la Figura 3.11 se muestra una comparación entre el análisis dinámico y
estático del código UBC. La amplificación estática se obtiene de la bien conocida
fórmula del código UBC (1997) 21 ρ+= xeq sxe y las amplificaciones dinámicas se han
computado a partir de la Ecuación (3.22) empleando el espectro de desplazamientos del
UBC (1997).
Aunque suavizadas, las amplificaciones de desplazamientos en el borde flexible y en el
rígido siguen un patrón similar a las amplificaciones presentadas en la Figura 3.11, en
particular, con el registro de Melipilla fenómeno que se explica a partir del espectro de
este registro. Esta expresión no reconoce el efecto de la razón de frecuencias rotacional a
traslacional, simplemente por que en la derivación de esta ecuación, se asume que 0Ω
es uno. Una ecuación mejor y capaz de reconocer este efecto esta dada por 2)(1 b
sxe xeq κ+= , donde )()( bb kk θ=κ es el radio de giro de rigidez. De esta forma, la
fórmula del código supone que ρ=κ , con el radio de giro de la rigidez igual al radio de
giro de las masas. Dado que ρκ=Ω 0 ambas condiciones resultan idénticas.
La respuesta de la base aislada dependerá de los valores del espectro, recordemos que
tr ω<ω para 10 <Ω y que tr ω>ω para 10 >Ω .
75
0.8 0.9 1 1.1 1.20.8
1.2
1.6
2
2.4
2.8
3.2
3.6
Nor
mal
ized
edg
e di
spla
cem
ent
Borde rígido Borde flexible
rampa intermedio techo
D
T
)b(0Ω
Figura 3.13 Amplificaciones máximas en los bordes rígido y flexible del aislamiento.
Obtenidas para distintas zonas de un espectro de diseño, ρρ−= 5.1a5.1ˆ )( bsxe sT b 5.2)( = y
15.0)( =ζ b .
El efecto de la forma del espectro de desplazamientos en la amplificación de
desplazamientos del los bordes rígido y flexible de la planta de la construcción se
analiza en la Figura 3.13 para )(0
bΩ variando entre 0.8 y 1.2. Para el caso en que la
frecuencia del sistema nominalmente simétrico ( y0ω ) y la menor frecuencia ( rω ) para
10 <Ω y tω para 10 >Ω ) se ubican en la zona del espectro de desplazamiento constante la
amplificación máxima del borde flexible se obtiene para la máxima excentricidad y su
valor máximo es constante e igual a 1.5, cualquiera sea el valor de 0Ω . Note que para
bajas excentricidades el borde flexible de los sistemas con 10 >Ω alcanzan
amplificaciones mayores que los que tienen 10 <Ω (Figura 3.11a, c y d). Si por el
contrario la frecuencia más flexible y y0ω se ubican en una rampa del espectro, las
amplificaciones en el borde flexible son mucho mayores, en este caso los sistemas con
10 <Ω amplifican mas que los que tienen 10 >Ω (Figura 3.11b). El valor máximo de la
76
amplificación será mayor cuanto mayor sea la pendiente de la rampa del espectro,
entendiendo que una mayor pendiente implica alcanzar el mismo desplazamiento
espectral para una frecuencia mayor. Téngase en cuenta que en este caso la frecuencia
y0ω cae en una zona del espectro con menor desplazamiento, por lo que una mayor
amplificación no implica un mayor desplazamiento del borde flexible, por el contrario
este resulta menor o a lo sumo igual al caso en que la frecuencia flexible y y0ω caen
sobre la meseta de desplazamiento constante.
Contrariamente en el borde rígido las amplificaciones máximas se verifican cuando la
frecuencia más rígida ( tω para 10 <Ω y rω para 10 >Ω ) se ubica sobre la meseta de
desplazamiento constante. Note que en este caso y0ω se encuentra siempre sobre la
meseta de desplazamiento constante del espectro. La máxima amplificación corresponde
a sistemas con 10 <Ω , su valor es de 1.35 y se alcanza para excentricidades 5.0)( <bê . En
la Tabla III.3 se indican los valores máximos de amplificación de los bordes ( )0,ˆ frq para
todas las condiciones de try ωωω y,0 . En ella se consignan las amplificaciones
máximas y mínimas para las relaciones de frecuencias extremas 2.1a8.00 =Ω , y cuya
variación puede asumirse lineal sin mayor error. Finalmente, es importante evaluar el
efecto en las deformaciones del aislamiento como consecuencia de una excentricidad de
masa en la superestructura. En el caso considerado de una superestructura rígida, el
único efecto de una superestructura asimétrica en masa se refleja en un corrimiento del
CM de la base aislada y una modificación de su inercia rotacional efectiva.
Tabla III.3 Amplificaciones máximas en los bordes según la zona del espectro
Máximo Mínimo Zona espectral
Ω Borde rígido Borde flexible Ω Borde rígido Borde flexible
Meseta 0.8 1.33 1.47 1.2 1 1.47
Rampa 0.8 1.22 3.5 1.2 1 2.5
Intermedio 0.8 1.22 1.43 1.2 1 1.43
77
Entonces, si la masa de la superestructura tiene una excentricidad )( smje relativa al CM de
la base en la dirección j-ésima, la nueva ubicación del CM de la base en esa dirección es )()()( tss
mjb
mj mmee = , donde )( tm y )( sm son la masa traslacional total y de la
superestructura, respectivamente. Por otra parte, el nuevo radio de giro de la base aislada
estará dado por ( ) )(2)()(2)()()( tssssb mmm ρ+ρ=ρ . Con esta redefinición del CM y de la
inercia rotacional, son aplicables los mismos resultados presentados en las Figuras 11,
12 y 13.
III.8.2 Caso tridimensional Las amplificaciones rotacionales del aislamiento derivadas de la Ecuación (3.22) para el
caso tridimensional conducen a una expresión que es más grande algebraicamente. En
los sistemas aislados se verifica en general que 1=α , en estas condiciones las
frecuencias fundamentales y los modos pueden expresarse como
( )[ ]20
20
2, 41
21 Ω−Ω−=ω ssignstr m (3.29)
12 =ωd
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−εθε−θθ−
θεθθ=
10cossincossincossin
1)( dd
dbΦ (3.30)
donde 220 ˆ1 bes +Ω+= , θ es el ángulo entre la horizontal y la línea que une el CM con el
CR (Figura 3.14), 21 ε+=d , ( ) br eˆ1 2ω−=ε y 22 ˆˆˆ bybxb eee += . Estas expresiones son
válidas solo en presencia de excentricidad según y, y colapsan a las Ecuaciones (3.23) y
(3.24) cuando 0ˆ =bye .
78
x
y
x1
y1
θ CM
CRe(b)
ey ex
1 2
34
Note que el segundo modo de vibración es siempre diagonal, con frecuencia nominal
y0ω y cuyas componentes están alineadas con la dirección definida por la recta que une
el CM y CR (Figura 3.14) y su perpendicular (Ryan y Chopra, 2002).
Si adoptamos este eje ( 1x ) y uno ortogonal a él ( 1y ) como ejes principales, el sistema de
tres grados de libertad se comporta como un sistema monosimétrico en el que la
excitación forma un ángulo θ con los ejes principales. La excentricidad normalizada en
éste caso resulta igual a )(ˆ be .
Figura 3.14 Excentricidad bidimensional en planta. El sistema coordenadas x, y es el habitual, el sistema x1, y1 es el sitema principal. El
modo diagonal corresponde a la dirección del eje x1. El sistema tridimensional se reduce a uno monosimérico con excenricidad )( bê . En el sistema x, y los modos se determinan a
partir de la proyección de los modos expresados en el sistema x1, y1.
Además, los factores de participación modal del sistema de ecuaciones normalizado son
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ρ−θε−θεθθ
ρεθ−θ=
cossin0sincos
cossin1 ddd
L (3.31)
y por lo tanto, a partir de la Ecuación (3.12) las respuestas modales para una acción, por
ejemplo, según y son:
79
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttttddddrrdr Sd
SSd
ζωθε−
=Ψζωθ=Ψζωθ−
=Ψ ∞∞∞ ,cos
,,sin,,cos (3.32)
donde ( )( )),,(,, , tdrtdrdS ζω son los valores de desplazamientos espectrales
correspondientes a los modos aislados rotacional, diagonal y traslacional. Basado en los
resultados anteriores, las deformaciones modales en los bordes flexible y rígido en
planta de la construcción pueden obtenerse a través de las siguientes expresiones
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
ζω⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ θβρ
+θ
ζω⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ θβρ
−θ
=
rrd
rrd
r
Sd
ad
Sd
ad
,coscos
,coscos
22
2
22
2
q (3.33)
( ) ( )( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ζωθζωθ
=ddd
dddd S
S,sin,sin
2
2
q
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
ζω⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ θβρ
−θβ
ζω⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ θβρ
+θβ
=
ttd
ttd
t
Sd
ad
Sd
ad
,coscos
,coscos
22
22
22
22
q
Si se escriben las ecuaciones en los ejes 11, yx se tienen las mismas frecuencias que las
dadas en la Ecuación (3.29) y los modos de vibración quedan expresados por:
( )
( )
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−ω−ω−
ω−+
ω−+=
br
rb
rb
rb
b
ee
e
e ˆ0ˆ1ˆ10ˆ
0ˆ1ˆ0
ˆ1ˆ1
2
2
222
222
)(Φ (3.34)
Resulta simple verificar que proyectando estos modos en los ejes x, y se obtienen los
modos expresados en la Ecuación (3.30).
80
Los resultados de las amplificaciones de desplazamiento en los bordes de la
construcción se presentan en la Figura 3.15 para el promedio de un conjunto de registros
de movimiento. Estos resultados muestran un comportamiento idéntico al señalado para
el caso monosimétrico. Notar que la amplificación en ambos bordes no supera el
máximo que para el caso monosimétrico aunque, obviamente se aprecia un aumento de
la amplificación en torno a 0)( =bsxe para 0)( ≠b
sye . En este caso existe distinta
amplificación para cada esquina del aislamiento.
Figura 3.15 Amplificación en los bordes. Caso tridimensional.
2.18.0 y)(0 =Ω b . Factores de amplificación obtenidos para el promedio de 8 registros.
El factor de amplificación para cada esquina se define como el cuociente entre el
módulo del máximo desplazamiento de la esquina respecto al módulo del
desplazamiento máximo del CM del aislamiento nominalmente simétrico. La
numeración de las esquinas es la indicada en la Figura 3.14. Notar que con esta
−1.6 −1.2 −0.8 −0.4 0 0.4 0.8 1.2 1.60.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Nor
mal
ized
edg
e di
spla
cem
ent
−1.6 −1.2 −0.8 −0.4 0 0.4 0.8 1.2 1.60.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
−1.6 −1.2 −0.8 −0.4 0 0.4 0.8 1.2 1.60.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Nor
mal
ized
edg
e di
spla
cem
ent
−1.6 −1.2 −0.8 −0.4 0 0.4 0.8 1.2 1.60.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
)b(sxê )b(
sxê
)b(sxê )b(
sxê
2.1
8.0)(
0
)(0
=Ω
=Ωb
b
4.02.00.0
)(
)(
)(
===
bsy
bsy
bsy
eee
1 2
4 3
Des
plaz
amie
nto
nor
mal
izad
o de
l bor
de
Des
plaz
amie
nto
nor
mal
izad
o de
l bor
de
81
definición, para 0)( =bsye el desplazamiento de algunas esquinas será mayor, debido a que
se tiene en cuenta el desplazamiento según la dirección x, sin embargo este fenómeno se
ve compensado por el correspondiente aumento del desplazamiento de referencia, esto
es del CM, resultando la amplificación menor que para el caso monosimétrico.
III.9 Ejemplos de diseño Consideremos el ejemplo de una estructura de hormigón armado asimétrica de 6 pisos,
aislada con dispositivos de goma lineales. La estructura es un sistema de marcos
tridimensionales con una carga gravitacional de 2/1 mton .
c
1
2
3
4
a b
braces
6@30
00
3@50
00
2@5000
braced
unbraced
50x50 50x50
50x5050x50
70x30
70x30
70x30
70x30
30x70
30x70 30x70
30x70
30x70 30x70
30x50
30x50
30x50
30x50
30x50
30x5030x50
30x50
30x50
30x50
30x50
30x50
x
y
Figura 3.16 Planta y elevación de la estructura de 6 pisos del ejemplo.
La elevación representa esquemáticamente el sistema de riostras de los ejes 2, 3 y b, en tanto que los ejes 1,4, a y c no poseen riostras. 3/2=ac , ρ−= 25.0)( s
sxe , sT S 68.0)( = , y 8.0)(
0 =Ω s 05.0)( =ζ s ; sT b 5.2)( = , ρ= 20.0)( bsxe , 9.0)(
0 =Ω b , y 15.0)( =ζ b .
Las vigas y columnas se encuentran simétricamente distribuidas en la superestructura
respecto del CM; sin embargo, existe excentricidad en rigidez en la superestructura
como resultado de un conjunto de riostras diagonales de acero.
no arriostrado
arriostrado
riostra
82
En la Figura 3.16 se presenta un esquema de la estructura. La estructura tiene una
excentricidad estática normalizada 25.0ˆ )( −=ssxe , la relación de frecuencias desacopladas
rotacional a traslacional es 8.0)( =Ω s , y con amortiguamiento modal constante
05.0)( =ζ s . En la Tabla III.4 se presentan los periodos propios de la superestructura
original para los cinco primeros modos y los modos y periodos del aislamiento.
El sistema de aislamiento esta caracterizado por una frecuencia traslacional desacoplada
π=ω 8.0)(0
by , razón de flexibilidad torsional 9.0)( =Ω b , excentricidad normalizada
2.0ˆ )( =be , y cantidad de amortiguamiento 15.0)( =ζ b . La relación de aspecto de la
estructura es 32 y las frecuencias de vibración fundamentales y modos para el sistema
aislado se presentan en la Tabla III.4.
El procedimiento paso a paso para estimar el desplazamiento de diseño en los bordes
rígido y flexible de la planta de la estructura es el siguiente (1) determine las frecuencias
de vibración y modos de la base mediante la Ecuación (3.23) y (3.24) (Tabla III.5); (2)
determine los factores de participación modal mediante la Ecuación (3.25); (3) evalúe
las ordenadas espectrales dkS y dkb
kb
k SA 2)()( ω= a partir del espectro de diseño y reducirlo
debido al mayor amortiguamiento de la base 15.0)( =ζ b ; (4) evalúe los desplazamientos
en los bordes rígido y flexible del aislamiento fq y rq mediante la Ecuación (3.28); (5)
proyecte los grados de libertad de la superestructura empleando la expresión 0)()()(k
sssk ΦrmfΦ −= y transfórmela geométricamente a los bordes ; y (6) evalúe los
desplazamientos en los bordes de la superestructura fu y ru mediante las Ecuaciones
(3.20) y (3.21). Se presentan a continuación los pasos descritos precedentemente.
Primero sustituimos 85.12.09.011 222)(2)(0 =++=+Ω+= b
sxb ês , la etapa (1) conduce al
siguiente sistema de frecuencias y modos
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−
==57.0823.0823.057.0
/68.212.2 )( bT ysrad Φω
Note que las frecuencias normalizadas son [ ]Tk 07.184.0ˆ =ω . Además, usando la
Ecuación (3.25), encontramos los factores de participación modal [ ]T823.057.0 −=L .
83
Tabla III.4 Primeros modos de la estructura con base fija y del aislamiento
Número de Modo 1 2 3 4 5 Nivel
Ts 0.6807 0.4735 0.2158 0.1512 0.1185 y 0.5827 -0.5945 -0.5459 -0.5252 0.4666
6 q 0.0020 -0.0018 -0.0018 0.0006 0.0015 y 0.5323 -0.5309 -0.1890 -0.1871 -0.2526
5 q 0.0018 0.0006 -0.0006 0.0002 -0.0008 y 0.4523 -0.4432 0.2389 0.2158 -0.5502
4 q 0.0015 0.0005 0.0008 -0.0003 -0.0017 y 0.3444 -0.3360 0.5210 0.5065 -0.0932
3 q 0.0012 0.0004 0.0017 -0.0006 -0.0002 y 0.2165 -0.2167 0.5237 0.5430 0.4851
2 q 0.0003 0.0002 0.0017 -0.0006 0.0016 y 0.0842 -0.0925 0.2576 0.3019 0.4144
1 q 0.0003 0.0001 0.0008 -0.0003 0.0013 Tb 2.9640 2.3629 - - - y -0.5696 -0.8219 - - - Base q -0.8219 0.5696 - - -
III.9.1 Espectro de la Norma NCh 2745 Dado que el espectro de diseño de la norma NCh 2745 (2003) para 05.0=ζ es constante
para sTb 2≥ e igual a 30cm, la etapa (3) conduce para 05.0=ζ a ordenadas de aceleración
espectral [ ] 22)()( 0.2169.134 scmSA dkb
kb
k =ω= . Estos valores y los desplazamientos
espectrales dkS deben ser reducidos por el amortiguamiento del aislamiento 15.0)( =ζ bk .
Usando la expresión para el coeficiente de reducción kB contenido en la norma NCh
2745, esta resulta ser constante e igual a 67.1=kB . Por lo tanto, los correspondientes
desplazamientos espectrales y aceleraciones están dados por cmS dk 95.1767.130 == , y
[ ] 2)(2)( /9.1343.84/41 scmBAA kb
kb
kk =ζ+= .
El coeficiente de correlación resulta:
( ) ( ) ( ) ( )[ ] 615.09.09.0285.115.09.0485.19.0285.19.015.08 2232 =−×+×+×+=μ rt
47.12.0/)184.0( 2 =−−=ε , ( )( ) 347.012321 2 =+=ρ y 44.1347.0/5.0~ ==a
84
Finalmente los desplazamientos del borde rígido y flexible se calculan, mediante la
Ecuación (3.28), como
( ) ( ) ( )( ) ( )cmq fr 87.17
01.2196.17
47.1112.247.112.247.112.2162.0212.21
ˆ2
2222
0, =×+
±+±×+=
mm
Consecuentemente, los factores de amplificación obtenidos para el borde rígido y
flexible con respecto al desplazamiento del sistema simétrico son ( ) 17.167.1/30/01.21 = y
( ) 99.067.1/30/87.17 = , respectivamente. Como puede apreciarse para estructuras
torsionalmente flexibles, este resultado indica que la mayor amplificación de
desplazamientos ocurre en el borde rígido. Es interesante notar que la fórmula estática
del código UBC (1997) predice una amplificación de 1.33 en el borde flexible y un
factor de reducción de 0.75 para el borde rígido, resultado que no es solo numéricamente
incorrecto, sino conceptualmente equivocado. Este simple ejemplo muestra que la
fórmula del código UBC no captura la dinámica real del sistema.
Figura 3.17 Comparación de la historia de desplazamientos en el borde flexible y rígido
de la base. (Valores máximos obtenidos por la Ecuación 3.28 propuesta para el edificio de 6 pisos del ejemplo sujeto a un movimiento compatible con el espectro del código NCh 2745
para suelo firme).
0 10 20 30 40 50 60−20
−10
0
10
20
30
Time (s)
Bas
e di
spla
cem
ent (
cm)
Borde rígido borde flexible
13.46UBC21.01;28.3Eq.21.94;THA:(cm)máximoValor ===
86.32UBC17.94;28.3Eq.17.58;THA:(cm)máximoValor ===
tiempo (s)
desp
laza
mie
nto
de la
bas
e (c
m)
85
En la Figura 3.17 se muestra la historia de desplazamientos para un registro compatible
con el espectro de la NCh 2745. En ella se consignan los desplazamientos de ambos
bordes. Se indican también el resultado obtenido manualmente del párrafo anterior.
Advierta que los valores de respuesta máximos predichos por la Ecuación (3.28)
constituyen una muy buena aproximación a los valores máximos de respuesta obtenidos
para ambos bordes por integración directa del MEX y debería ser empleada en lugar de
la ecuación estática del código UBC, la que se basa en una primitiva ecuación estática,
sobrestimando el desplazamiento del borde flexible y subestimando significativamente
el desplazamiento del borde rígido. Para la superestructura y con los datos anteriores, se
resumen los pasos 5 y 6 en la Tabla III.5. Los desplazamientos obtenidos por
integración directa desde el piso 1 al 6 para el registro compatible se consignan en la
Tabla III.5 entre paréntesis. De la comparación de resultados se observa un error
máximo del orden del 6 % en defecto, lo que constituye una muy buena aproximación.
Tabla III.5 Respuesta de los bordes de la superestructura – Espectro NCh 2745 LI= 0.5696 LII= -0.8219 AI= 84.3 AII= 134.9 ρ= 0.615
Proyección Proyección Modo I Izquierdo Derecho Modo II Izquierdo Derecho r1i r1d r2i r2d Izq. Der.
y 0.002533 0.0151 -0.0100 -0.009264 0.0050 -0.0236 0.724 -0.481 -0.558 2.612 0.61 2.66θ -0.000017 -0.000019 (0.63) (2.83)y 0.002236 0.0139 -0.0094 -0.008538 0.0048 -0.0219 0.666 -0.451 -0.534 2.428 0.56 2.47θ -0.000016 -0.000018 (0.57) (2.60)y 0.001878 0.0120 -0.0082 -0.007413 0.0043 -0.0191 0.576 -0.396 -0.476 2.120 0.49 2.16θ -0.000013 -0.000016 (0.49) (2.24)y 0.001048 0.0090 -0.0069 -0.005857 0.0034 -0.0151 0.434 -0.333 -0.377 1.676 0.38 1.69θ -0.000011 -0.000012 (0.39) (1.76)y 0.001044 0.0063 -0.0042 -0.003901 0.0021 -0.0099 0.303 -0.203 -0.238 1.103 0.26 1.12θ -0.000007 -0.000008 (0.25) (1.15)y 0.000531 0.0027 -0.0017 -0.001655 0.0007 -0.0041 0.130 -0.079 -0.083 0.450 0.11 0.46θ -0.000003 -0.000003 (0.11) (0.47)
Piso
GD
L
1
2
3
4
5
6
Resp. TotalModo Borde I Modo Borde II Resp. Modo I Resp. Modo II
III.9.2 Espectro del registro de melipilla (1985) Dado que el espectro de un sismo real varía con el amortiguamiento, en este caso
obtenemos los valores de seudo desplazamiento para el amortiguamiento 15.0=ζ y las
frecuencias determinadas en el apartado anterior. Se determinan así, los siguientes
86
0 10 20 30 40 50 60 70 80−20
−10
0
10
20
time (sec.)
disp
lace
men
t (cm
)
fexible edgerigid edgeborde rígido
borde flexible
36.8UBC;42.0128.3Eq.;52.9A:(cm)máximoValor ===HT
83.41UBC;77.4128.3Eq.;85.31:(cm)máximoValor ===AHT
tiempo (s)
desp
laza
mie
nto
de la
bas
e (c
m)
valores [ ] [ ]cmSS dtdr 46.973.14= , Para el sistema nominalmente simétrico se obtiene un
desplazamiento espectral de cmS dn 15.11= , la etapa (3) conduce para el mismo
amortiguamiento ζ a ordenadas de aceleración espectral 2)(2)(41 bk
bkkA ωζ+=
[ ] 2/94.7012.69 scmS dk = . El coeficiente de correlación es el mismo determinado para el
apartado anterior 615.0=μ rt , al igual que los valores 47.1=ε , 347.0=ρ y 44.1~=a . Como
en el caso anterior los desplazamientos del borde rígido y flexible se calculan, mediante
la Ecuación (3.28), como
( ) ( ) ( )( ) ( )
cm
q fr
77.1442.10
47.1146.912.247.146.973.1412.247.112.2162.0273.1412.21
ˆ2
222222
0,
=
+
×±+××±×+×=
mm
Consecuentemente, los factores de amplificación obtenidos para el borde rígido y
flexible con respecto al desplazamiento del sistema simétrico son 93.015.11/42.10ˆ ==rq y
32.115.11/77.14ˆ ==fq , respectivamente.
Figura 3.18 Comparación de la historia de desplazamientos en el borde flexible y rígido
de la base. Registro de Melipilla (Chile, 1985). Valores máximos obtenidos por la Ecuación (3.28) propuesta para el edificio de 6 pisos del ejemplo sujeto al movimiento de la componente
N00E.
87
LI= 0.5696 LII= -0.8219 AI= 69.12 AII= 70.94 ρ= 0.615Proyección Proyección
Modo I Izquierdo Derecho Modo II Izquierdo Derecho r1i r1d r2i r2d Izq. Der.y 0.002533 0.0151 -0.0100 -0.009264 0.0050 -0.0236 0.594 -0.395 -0.293 1.374 0.47 1.17θ -0.000017 -0.000019 (0.79) (1.26)y 0.002236 0.0139 -0.0094 -0.008538 0.0048 -0.0219 0.546 -0.370 -0.281 1.277 0.43 1.09θ -0.000016 -0.000018 (0.70) (1.15)y 0.001878 0.0120 -0.0082 -0.007413 0.0043 -0.0191 0.472 -0.324 -0.250 1.115 0.37 0.95θ -0.000013 -0.000016 (0.58) (1.00)y 0.001048 0.0090 -0.0069 -0.005857 0.0034 -0.0151 0.356 -0.273 -0.198 0.881 0.28 0.74θ -0.000011 -0.000012 (0.42) (0.78)y 0.001044 0.0063 -0.0042 -0.003901 0.0021 -0.0099 0.249 -0.166 -0.125 0.580 0.20 0.50θ -0.000007 -0.000008 (0.26) (0.51)y 0.000531 0.0027 -0.0017 -0.001655 0.0007 -0.0041 0.107 -0.065 -0.043 0.236 0.09 0.20θ -0.000003 -0.000003 (0.10) (0.21)
Piso
GD
L
1
2
3
4
5
6
Resp. TotalModo Borde I Modo Borde II Resp. Modo I Resp. Modo II
Como puede apreciarse en este caso y a diferencia de un espectro de diseño, para una
estructura torsionalmente flexible la mayor amplificación de desplazamientos ocurre en
el borde flexible.
Note en este caso que la predicción de la fórmula estática del código UBC (1997) es
correcta para el borde flexible y continúa subestimando la del borde rígido.
En la Figura 3.18 se comparan los resultados obtenidos por la metodología propuesta, la
ecuación estática del UBC y por integración directa ante la acción de la componente
N00E del registro de Melipilla (Valparaíso, Chile, 1985).
En ella se consignan los desplazamientos de ambos bordes. Se indican también el
resultado obtenido manualmente. Advierta que los valor máximos de respuesta
predichos por la Ecuación (3.28) continúan siendo una muy buena aproximación a los
valores máximos de respuesta obtenidos para ambos bordes por integración directa del
MEX y confirma la observación realizada en el ejemplo anterior en cuanto a que debería
emplearse en lugar de la ecuación estática del código UBC, debido a lo errático de sus
resultados. Para la superestructura y con los datos anteriores, se resumen los pasos 5 y 6
en la Tabla III.6. Los valores obtenidos por integración directa para la componente
N00E del registro de Melipilla se consignan en la misma Tabla III.6 entre paréntesis. De
la comparación de resultados se observa un error máximo del orden del 7 % en defecto
en el borde flexible, lo que constituye una muy buena aproximación, en tanto que para el
borde rígido se obtienen errores superiores al 10 %, lo que resulta compatible con la
observación hecha en el apartado 3.6.
Tabla III.6 Respuesta en los bordes de la superestructura – Espectro Melipilla
88
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
5
10
15
20
25
30
35
40
T (s)
Sd
(cm
)
ζ = 0.05ζ = 0.15
Sin embargo debe tenerse en cuenta que el espectro del registro empleado dista mucho
de ser similar a uno de diseño, tal como se muestra en la Figura 3.19.
Figura 3.19 Espectro de seudo desplazamientos para el registro N00E Melipilla, (Chile
1985) En efecto allí puede observarse que, a pesar que el registro empleado es una realización
del proceso que da origen al espectro de la Norma NCh 2745, este espectro no presenta
una meseta de desplazamientos constantes. Además, de la comparación de las Figuras
3.17 y 3.18 y de las tablas III.5 y III.6 se aprecia que los desplazamientos máximos
obtenidos en los bordes de la superestructura y de aislamiento para el registro de
Melipilla son sustantivamente menores que los obtenidos para el espectro de diseño de
la NCh 2745.
89
III.11 Conclusiones Esta investigación emplea la interacción dinámica entre la base y la superestructura para
estudiar el comportamiento sísmico de construcciones con asimetría en planta. Como
resulta convencional, se ha estudiado este comportamiento en términos de la
amplificación de desplazamientos de los bordes rígido y flexible de la planta de la
estructura. Como resultado de esta parte de la investigación se han obtenido las
siguientes conclusiones:
1- Se ha demostrado que las amplificaciones en la superestructura se pueden
calcular en forma conservadoramente aproximada por un modelo que incluye
corrección de masa (MMC) que tiene en cuenta la interacción dinámica entre el
aislamiento y la superestructura. Conceptualmente, el MMC desprecia el término
de acoplamiento aislamiento-superestructura en la ecuación de movimiento
asociada al movimiento de la base, pero incluye este término en la estimación del
movimiento de la superestructura.
2- Debido a que el MMC es capaz de reproducir muy exactamente las frecuencias
de vibración de la superestructura, y subestima el amortiguamiento en los modos
que determinan las deformaciones de la superestructura, conduce a una
conservadora estimación de la respuesta de la construcción.
3- Adicionalmente, se ha derivado un modelo cuasi estático muy simple (MCE)
para aproximar la respuesta de la superestructura. La justificación física de este
modelo se basa en la usualmente pequeña razón entre los periodos de la
superestructura con base fija y el sistema de aislamiento. Así, para un amplio
rango de configuraciones estructurales, la superestructura percibe el movimiento
de la base como una acción estáticamente aplicada. Esto permite al ingeniero de
diseño estimar los desplazamientos de la superestructura mediante la
consideración de tres vectores de fuerzas de inercia, cada uno correspondiente a
cada modo del sistema de aislamiento.
4- Con base en este principio se ha presentado una propuesta de procedimiento de
análisis modal espectral basado solo en los modos de la base, según se ha
90
demostrado mediante la aplicación de ejemplos numéricos, este procedimiento
permite tener una estimación muy aceptable del comportamiento de la
superestructura. Los resultados para la base muestran que los desplazamientos
estimados de acuerdo al procedimiento que se ha presentado en esta
investigación conducen usualmente a un error máximo del 10%. Por el contrario,
los desplazamientos estimados con la fórmula estática del UBC sobreestiman
groseramente las amplificaciones torsionales dinámicas del aislamiento,
especialmente para razones de flexiblidad torsional menores que uno.
5- Los resultados numéricos han demostrado que la fórmula del código UBC,
basada en una aproximación estática, no conduce a precisas ni conservadoras
aproximaciones de los bordes del aislamiento. Además, para sistemas de
aislamiento torsionalmente flexibles, esto es 1)(0 <Ω b , y excentricidades en la
base 7.0ˆ )( ≤be , la máxima amplificación de la respuesta se produce en el borde
rígido y es usualmente menor que 1.5. Por otro lado, para sistemas de
aislamiento torsionalmente rígidos 1)(0 ≥Ω b , la amplificación máxima se produce
en el borde flexible.
6- La expresión cerrada desarrollada para análisis modal de la base ha demostrado
que conduce a resultados precisos y se propone para reemplazar la fórmula del
código UBC. Esta expresión se ha aplicado al ejemplo de una construcción de 6
pisos y muestra la simplicidad para estimar la amplificación en los bordes del
aislamiento, aspecto que resulta crucial durante el diseño de sistemas de
aislamiento sísmico. La utilidad de esta formulación reside, no sólo en la
simplicidad numérica, sino en la comprensión conceptual del comportamiento
tridimensional de estructuras aisladas asimétricas en planta. Esto resultará
evidente en el Capítulo IV que trata del control de la respuesta acoplada lateral-
torsional de la superestructura. Un resultado intuitivo importante se obtiene de la
observación que el acoplamiento aislamiento-superestructura tiene un efecto
despreciable en la respuesta del aislamiento, y por lo tanto, resulta posible ajustar
91
los parámetros del aislamiento para controlar la respuesta torsional de la
superestructura manteniendo el balance en la respuesta del aislamiento.
IV. CONTROL TORSIONAL SUPERESTRUCTURA
92
IV CONTROL TORSIONAL SUPERESTRUCTURA IV.1 Resumen El objetivo de los sistemas pasivos de aislamiento sísmico es reducir los efectos
destructivos de los terremotos mediante una interfaz flexible dispuesta entre la estructura
y el suelo. Numerosas investigaciones realizadas en los últimos veinte años han
demostrado su gran eficacia en el control de la respuesta traslacional. Sin embargo, hasta
el presente no se han desarrollado reglas de diseño explícitas para controlar el
comportamiento torsional de la superestructura, reduciendo y balanceando esta respuesta
respecto del aislamiento. En éste capítulo se desarrolla una metodología de diseño que
permite controlar este comportamiento en forma óptima. Para ello se asume que el
sistema aislamiento-superestructura puede descomponerse en dos subsistemas en
cascada. El primero es la estructura completa considerada como cuerpo rígido, cuyas
aceleraciones totales constituyen una excitación cuasi-estática para el segundo, la
superestructura. Esta simplificación ha demostrado excelentes resultados en la
estimación de la respuesta del sistema, y se ha usado en este capítulo para obtener
fórmulas explícitas para seleccionar los parámetros de excentricidad y flexibilidad
rotacional del aislamiento que optimizan la respuesta lateral-torsional de la
superestructura. Los resultados obtenidos por medio de conocidas técnicas
probabilísticas, muestran que la respuesta de la superestructura mejora sustancialmente
cuando el sistema de aislamiento es torsionalmente flexible y cuando posee
excentricidad en la misma dirección y del mismo orden que la superestructura.
IV.2 Introducción Los sistemas pasivos de aislamiento sísmico se emplean con el objetivo fundamental de
reducir el efecto destructivo de los terremotos en los edificios y su contenido.
Numerosas investigaciones en los últimos veinte años han logrado crecientes resultados
en este sentido. Sin embargo, cuando la superestructura es asimétrica es usual privilegiar
93
la protección del aislamiento de un eventual comportamiento torsional, relegando a un
segundo plano, o simplemente ignorando, los efectos torsionales en la superestructura.
Las investigaciones realizadas en los últimos años se han enfocado al estudio del
comportamiento torsional del sistema de aislamiento, asumiendo que la mejor solución
es aquella que evita la torsión de éste (Pan y Kelly, 1983; Zayas et al., 1987;
Nagarajaiah, et al., 1993; Tena y Gómez, 2002; Tena y Zambrana, 2005 y Tena y
Escamilla, 2006 ).
El criterio antes señalado está en contradicción con el objetivo del aislamiento basal que
debe diseñarse como "elemento de sacrificio" para proteger a la superestructura. Como
resultado de ello no se conocen actualmente criterios que permitan al diseñador controlar
eficientemente el comportamiento torsional de la superestructura.
Cuando se aíslan estructuras nuevas es posible distribuir la rigidez en la planta de modo
que resulte lo mas simétrica posible. Sin embargo esto no es tan evidente cuando se
realizan rehabilitaciones de estructuras con aislamiento sísmico en estructuras existentes,
sobre todo en edificios de elevado valor histórico o arquitectónico (Moka et. al, 1993).
Un camino posible para tratar el problema es usar herramientas de optimización, sin
embargo esto no permite entender y explicar la naturaleza del comportamiento torsional
de la superestructura.
Tradicionalmente se considera al efecto de aislamiento como un corrimiento de la
frecuencia fundamental de la estructura hacia zonas dónde las seudoaceleraciones
espectrales son sustancialmente menores. Esto implica una demanda importante de
desplazamientos en el aislamiento, por lo que es usual agregar disipación de energía con
el objeto de controlar tales desplazamientos y reducir aún más la respuesta en
aceleraciones (Pan y Kelly, 1983; Moka et al, 1993; Nagarajaiah, et al., 1993).
Sin embargo el efecto del aislamiento puede interpretarse también, como la aplicación
de un filtro pasa banda que atenúa sustancialmente la intensidad de las aceleraciones que
percibe la superestructura.
94
Por otra parte, algunos investigadores (Pan y Kelly, 1983; Nagarajaiah, et al., 1993;
Kulkarni y Jangrid, 2002; Tena y Escamilla, 2006), han observado que la dinámica de la
superestructura interfiere muy poco en la respuesta del sistema de aislamiento.
Una investigación muy reciente (Seguin et al., 2007) demuestra que es posible estudiar
los sistemas aislados como un sistema en cascada, donde el primer bloque es la
estructura completa considerada como un cuerpo rígido, cuyas aceleraciones totales
constituyen la excitación para el segundo bloque, la superestructura (Capítulo III). En
estas condiciones el primer bloque es equivalente a un filtro de Kanai – Tajimi (1957;
1960) con parámetros bω , bζ , frecuencia fundamental y amortiguamiento del sistema
de aislamiento, respectivamente, capaz de modificar las aceleraciones traslacionales e
introducir componentes rotacionales, cuya adecuada combinación permite controlar en
forma óptima la respuesta acoplada de superestructuras asimétricas.
Para comprender el problema y proponer metodologías de diseño, se adopta inicialmente
un sistema estructural de dos pisos, el inferior representativo del aislamiento y el
superior de la superestructura. La aplicación de conocidas técnicas probabilísticas a este
modelo permiten encontrar las condiciones del aislamiento que optimizan la respuesta
torsional de la superestructura sometida a excitación de tipo ruido blanco, las que
posteriormente se extienden al análisis espectral. Finalmente los resultados obtenidos
son generalizados para edificios de múltiples pisos.
IV.3 Sistema considerado y ecuaciones de movimiento La verificación del diseño de los sistemas aislados con acoplamiento torsional requiere
del uso de herramientas de análisis en el rango no lineal de los materiales. Sin embargo,
se observa que la variación del período fundamental del sistema aislado en un amplio
rango de desplazamientos es relativamente baja, permitiendo su estudio y diseño en
rango lineal (Capítulo III). El sistema considerado se muestra en la Figura 4.1, donde el
piso superior representa la superestructura y el inferior el sistema de aislamiento (base),
2a y 2c son el ancho y la profundidad de la planta respectivamente. Se supone que los
95
centros de masas (CM) se encuentran ubicados sobre una misma vertical, y que cada
piso tiene un centro de rigidez (CR) que puede variarse en forma independiente.
Figura 4.1 Sistema superestructura – aislamiento considerado. Grados de libertad relativos para la superestructura y el sistema de aislamiento.
IV.3.1 Ecuaciones exactas del movimiento La ecuación del movimiento puede escribirse de la siguiente manera (Nagarajaiah et al.,
1993), donde los superíndices (s) y (b) se refieren a la superestructura y la base
respectivamente:
gb)
(t)
(s)(s)
(b)
(s)
(b)
(s)
(t)s(s)T
(s)(s)(s)
urm
rmqu
k00k
qu
c00c
qu
mmrrmm (
)(&&
&
&
&&
&&⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ (4.1)
donde [ ]Tθyx uuu=u y [ ]Tθyx qqq=q son los vectores de grados de libertad
(GDL) de la superestructura respecto a la base y de la base respecto al suelo,
respectivamente, )(su θρθ = y )(bq θρθ = , donde 12/)(2 22 ca +=ρ es el radio de giro
96
de la masa, (b)(s)(s)T(s)(t) mrmrm += es la matriz de masa total, con Im (s)m=(s) y
Im )( b(b) m= , siendo I la matriz identidad de orden 3; )( sm y )( bm la masa traslacional de
la superestructura y del aislamiento respectivamente; y Irr == (b)(s) son las matrices de
colocación de la excitación [ ]Tggg yx &&&&&& ,=u .
Considerando el caso monosimétrico con excitación en la dirección y solamente, las
submatrices de rigidez de la superestructura y del aislamiento están dadas por:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+Ω= 2)(2)(
0)(
)()( 1
sss
ss(s)
êêê
kk (4.2)
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+Ω= 2)(2)(
0)(
)()( 1
bbb
bb(b)
êêê
kk (4.3)
donde )(sk y )(bk son la rigideces traslacionales; )(sê y )(bê las excentricidades
normalizadas al radio de giro ρ ; y )(0
sΩ , )(0
bΩ son las relaciones de flexibilidad torsional
de la superestructura con base fija y del sistema de aislamiento, respectivamente:
ρ
κωωθ
)(
)(
)()(
0
s
sy
ss ==Ω (4.4)
ρ
κ=ω
ω=Ω θ
)(
)(
)()(
0
b
by
bb (4.5)
donde )()( y by
sy ωω son las frecuencias traslacionales, mientras que )( s
θω y )( bθω son las
frecuencias rotacionales; )()( y bs κκ son los radios de giro de la rigidez de la
superestructura con base fija y del aislamiento, respectivamente, tomando como
referencia sus respectivos centros de rigidez.
La matrices de rigidez presentadas en la Ecuaciones (4.2) y (4.3) corresponden a una
falta de alineamiento entre CM y CR, existen otras formas de introducir excentricidad
97
(Annigieri et al., 1996), que conducen a diferentes formas de las Ecuaciones (4.2) y
(4.3), sin embargo este aspecto es puramente formal y no afecta los resultados finales.
Las submatrices de amortiguamiento de la superestructura y el aislamiento se
construyen a partir de
(s)T(s)(s)(s)(s)(s) mcmc φφ ~= ; (t)T(b)(b(b)(t)(b) mcmc ) φφ ~= (4.6)
donde [ ])(2
)()(1
)(, 22~ ssssb)(s ωζωζ=c son las matrices diagonales de amortiguamiento, )( sφ
y )( bφ son las formas modales, )( sζ y )( bζ los amortiguamientos y )(2,1
sω y )(2,1
bω las
frecuencias acopladas de la estructura con base fija y de la base asumiendo
superestructura infinitamente rígida, respectivamente.
En este capítulo hemos considerado el caso general en que el amortiguamiento es
variable para cada modo, particularizando los ejemplos para el caso de amortiguamiento
constante tanto para los modos aislados como para los de la superestructura con base
fija.
IV.3.2 Modelo cuasi-estático El sistema acoplado de Ecuaciones (4.1) puede aproximarse (Capítulo III) por medio del
siguiente par de ecuaciones:
( ) (b)
(a)
t(s)(s)(s)
g(b)(t)(b)(b)(t)
∞−=
−=++
qrmuk
urmqkqcqm
&&
&&&&& (4.7)
donde
( ) ( ))()(1
)( t(b)
t(b)(t)
g(b)
tt qkqcmurqq +−=+=
−
∞&&&&& (4.8)
98
0.01 0.1 1 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
normalized structure period
pseu
doac
cele
ratio
ns (
%)
El Centro
Sylmar
Llo Lleo
Kobe
Melipilla
Seud
oace
lera
cion
es (
%)
Periodo normalizado de la superestructura
es el vector de aceleración total del sistema aislado, considerando la estructura completa
como cuerpo rígido. En la Figura 4.2 se muestran los espectros de seudoaceleración para
05.0)( =ζ s correspondientes a los registros históricos indicados en la Tabla IV.1
normalizados a aceleración máxima unitaria, y filtrados con un filtro de Kanai - Tajimi
con parámetros .5.2)( segT b = y 15.0)( =ζ b . El eje de abscisas ( tf ) es el periodo de la
superestructura )( sT normalizado por el período del filtro )( bT . Puede apreciarse que el
efecto de filtrado produce una importante ampliación de la llamada "zona de aceleración
de período cero" (ZPA) (Salmonte, 1982; Singh, 1983; Gupta, 1987; Gupta, 1990) hasta
aproximadamente 3.0=tf , límite práctico de aplicación de los sistemas aislados.
Figura 4.2 Aislamiento sísmico como filtro pasa-banda. Ampliación zona ZPA. Espectros ( aS ) de piso normalizados para la base ( sT b 5.2)( = ; 15.0)( =ζ b ), para la
aplicación cinco registros de sismos históricos (Tabla V.I).
99
−4
−2
0
2
4
left
edge
0 2.5 5 7.5 10 12.5 15−4
−2
0
2
4
right
edg
e
time (sec)
Bor
de iz
quie
rdo
Bor
de d
erec
ho
tiempo (s)
b)
−2
−1
0
1
2
left
edge
0 2.5 5 7.5 10 12.5 152
−1
0
1
2
right
edg
eB
orde
izqu
ierd
o B
orde
der
echo
a) modelo exacto modelo cuasi-estático
Tabla IV.1 Caracterización de registros empleados. Grupo Registro Dirección AMS (g) VMS (cm/s) DMS (cm)
Suelo II Melipilla NS -0.687 34.289 13.300 Suelo II Llo Lleo N10E -0.713 -40.295 -10.786 Suelo III Viña del Mar S20W 0.363 30.742 -5.534 Suelo III Arleta N00E 0.344 40.360 8.000 Suelo II Corralitos N00E 0.630 -55.200 8.880 Suelo I El Centro N00E -0.348 -33.450 -12.360 Suelo II Kobe N00E 0.822 81.300 -17.690 Suelo II Sylmar N00E 0.843 -128.880 -30.670
Suelo I: Vs>900m/s Suelo II: 400 m/s< Vs <900 m/s Suelo III: Vs < 400 m/s
Figura 4.3 Integración dinámica - modelo cuasi-estático. Registro El Centro π=ω 8.0)( b ; 2.0)( =ζ b ; 05.0)( =ζ s ; 7.0)(
0 =Ω b ; 2.1)(0 =Ω s ; 0)( =bê ; 3.0)( =sê . a) π=ω 4)( s ; b)
π=ω 67.2)( s .
100
Para mostrar la buena aproximación que se obtiene con base en éstas hipótesis, se
presenta la Figura 4.3.
En ella se comparan los desplazamientos en los bordes de la superestructura obtenidos
mediante integración directa del sistema de Ecuaciones (4.1) y mediante la aplicación de
las Ecuaciones (4.7) para el registro de El Centro. Los parámetros considerados para la
superestructura y el aislamiento son los siguientes: a) π=ω 4)( s (arriba) y b) π=ω 67.2)( s
(abajo); 05.0)( =ζ s ; 3.0)( =sê ; π=ω 8.0)( b ; 2.0)( =ζ b ; 0.0)( =bê , ambos amortiguamientos
constantes para todos los modos y con razones de flexibilidad torsional 7.0)(0 =Ω b y
2.1)(0 =Ω s . Las dimensiones de la planta son .0.5 ma= ; .5.2 mc= Se aprecia un excelente
ajuste entre ambas respuestas para π=ω 4)( s , con un pequeño desfase debido al
amortiguamiento de la superestructura que el modelo cuasi-estático propuesto
obviamente no considera. Para π=ω 67.2)( s el ajuste todavía es aceptable.
IV.4 Control de la respuesta de la superestructura El objetivo de esta sección es obtener expresiones explícitas aproximadas que permitan
controlar el comportamiento torsional de la superestructura en forma óptima.
Podemos definir el control del comportamiento torsional de una estructura desde dos
puntos de vista. El primero, que podemos denominar control fuerte, implica desacoplar
físicamente los movimientos torsionales de los traslacionales. Este es un fenómeno bien
conocido en dinámica estructural y se obtiene en un sistema de un piso cuando coincide
el centro de masas con el de rigidez. El segundo, que denominaremos control débil, se
obtiene cuando los planos resistentes equidistantes del centro geométrico experimentan
la misma demanda de desplazamiento (de la Llera et al., 2005)
En un sistema aislado de un piso, dada la condición de aplicación cuasi-estática de la
excitación, es teóricamente posible alcanzar la condición de control fuerte. Para ello
bastaría con concentrar la rigidez en un solo dispositivo de aislamiento y ubicarlo bajo el
centro de rigidez de la superestructura. Esto tiene un efecto equivalente a desplazar el
101
0 2.5 5 7.5 10 12.5 15−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
disp
lace
men
t (cm
)
time (sec)
Borde izquierdo Borde derecho
tiempo (s)
desp
laza
mie
ntos
(cm
) centro de masa hacia el centro de rigidez. Nótese, sin embargo, que en este caso el
aislamiento es asimétrico e infinitamente flexible torsionalmente.
En la Figura 4.4 se presenta el caso de una superestructura con período propio
sT s 3.0)( = ; 05.0)( =ζ s y 30.0)( =sê montada sobre un sistema de aislamiento con
5.2)( =bT , 20.0)( =ζ b en el que se ha supuesto 30.0)()( == sb êê y 1.0)(0 =Ω b . Se puede
observar que el comportamiento torsional de la superestructura prácticamente se anula.
Figura 4.4 Respuesta ideal de una superestructura asimétrica.
Sistema sometido al registro El Centro empleando las ecuaciones exactas. ( sT s 3.0)( = ; 0.1)(
0 =Ω s ; 05.0)( =ζ s ; 3.0)( =sê ; sT b 5.2)( = ; 1.0)(0 =Ω b ; 2.0)( =ζ b ; 3.0)( =bê ).
Aunque en estructuras aisladas reales no es posible concentrar la rigidez en un solo
dispositivo, los resultados mostrados en la Figura 4.4 indican que, dando adecuadas
condiciones de excentricidad y flexibilidad torsional al aislamiento, es posible minimizar
el comportamiento torsional de la superestructura.
Nótese que de la Ecuación estática (4.7b) se obtiene el corte y el momento de torsión
que actúan sobre la superestructura. Resulta evidente que si la resultante de corte
instantánea pasa siempre por el centro de rigidez de la superestructura, ésta no
experimentará torsión. Se puede demostrar (Anexo G) que la distancia desde el CM al
punto de paso de esta resultante corresponde a una distribución de Cauchy, cuya
mediana debe coincidir con la distancia del centro de masa al centro de rigidez de la
superestructura ( )( sCR ) si se desea minimizar su respuesta torsional. En otras palabras la
102
condición para minimizar la torsión en la superestructura es que la resultante de la
aceleración absoluta pase por el entorno del centro de rigidez.
Desarrollamos a continuación una metodología probabilística para obtener los
parámetros del aislamiento que optimizan la respuesta torsional de la superestructura.
IV.4.1 Paso 1: Cálculo de la matriz de covarianza de aceleración
total
En esta sección obtenemos la matriz de covarianza ( )[ ]Ttt∞∞ qqE &&&& de las aceleraciones
totales medidas en el CM del sistema de aislamiento, asumiendo que la masa de la
superestructura se encuentra rígidamente vinculada a él. Comenzamos definiendo la
siguiente descomposición modal:
)()( bb ΨΦq= (4.9)
donde )( bΦ son los modos de vibración asociados a la Ecuación (4.7a) y
[ ]Tb21
)( ΨΨ=Ψ el correspondiente vector de coordenadas modales. Premultiplicando la
Ecuación (4.8) por T(b)Φ , y utilizando la Ecuación (4.9) se obtiene:
(t)(t)2(t) (b)2(b)(b)(b)(b)(b) ΨΨqΦ ωωζυ −−== ∞&&&&& tT (4.10)
donde υ&& es el denominado vector de aceleración modal total.
Las frecuencias propias normalizadas a la frecuencia traslacional desacoplada y las
formas modales normalizadas a masa modal se obtienen con las siguientes expresiones
(Capítulo III)
( )[ ] )(4121 2)(
02)(
02)(
, assigns bbbtr Ω−Ω−=ω m
103
)(1ˆ
1ˆ1)(2)(
2)()()( b
êê
d bbr
br
bb
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−ω−ω
=Φ (4.11)
siendo ( ) 2)(22)( 1 bbr êd +−ω= ; 2)(2)(
01 bb ês +Ω+= ; donde el subíndice r (rotacional
dominante) se asocia al signo negativo en la Ecuación (4.11a) y el t (traslacional
dominante) al positivo (Capítulo III). Notar que la función sign en la Ecuación (4.11a) se
incluye para que la frecuencia rotacional dominante sea la primera en la secuencia, de
acuerdo con el ordenamiento de las formas modales de la Ecuación (4.11b). Adviértase
que cuando 1)(0 =Ω b en la Ecuación (4.11a) se produce una singularidad, la que se salva
asumiendo 1)0( =sign .
La matriz de covarianza de la aceleración modal total se calcula como:
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] (b)(b)Tbb(b)(b)Tbb(b)(b)
(b)Tbb(b)(b)(b)Tbb(b)(b)
bt
bt
br
br
EE
EEsym
E
ωζωωωζ
ωωωζωζυυ
)()(22)()(
2)()(2)()(
)(4
)(4
)(4
)(4
22
4~
~~~~
ΨΨΨΨ
ΨΨΨΨT
&&
&&&&&&
++
+=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
λ
λλνλ=
(4.12)
donde )(4
~ brλ y )(
4~ b
tλ son las varianzas de aceleración total de los modos rotacional y
traslacional dominantes respectivamente y ν~ el coeficiente de correlación entre ellas.
Las matrices de covarianza asociadas a las coordenadas modales de velocidad y
desplazamiento fueron obtenidas por Der Kiureghian (1981) para excitación tipo ruido
blanco.
Los términos de la ecuación anterior expresados en función de los parámetros del
sistema de aislamiento, y suponiendo excitación tipo ruido blanco de intensidad W , son
las siguientes (Anexo H):
104
( )r
b
r
rrb
br d
êWd
ê42
2)(2
2
2)()(
4 441~
λζ
ζωλ =+
= (a) 4.13
( ) ( ) ( )t
bt
t
ttb
tbt d
Wd 42
22)(2
2
22)()(
41
4411~
λω
ζζωω
λ−
=+−
= (b)
( )[ ]
( )( )( ) ( )( )rttrttrrtrtrtr
trrttrrttrtrtrtr
ωζωζωζωζωωωωζζ
ωζωζωιζωζωωζζωωζζν
+++−++
+++=
44141
48~22222
33
(c)
donde r4λ y t4λ son las varianzas de aceleración total de vibradores de un grado de
libertad con frecuencias )()( ˆ br
br ωωω = y )()( ˆ b
tb
t ωωω = , y amortiguamientos rζ y tζ ,
respectivamente. Expresiones simplificadas de ν~ pueden consultarse en el Anexo H.
Luego, combinando las ecuaciones (4.8), y (4.10) a (4.13) se obtiene la matriz de
covarianza de aceleraciones totales para ruido blanco:
[ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
λλλνλ=∞∞ )(
4
)(4
)(4
)(4
bt
bt
br
brtt
symE Tqq &&&& (a) (4.14)
( ) ( )[ ]tb
rrtb
rb
rbb
t êêd 4
42)(44
22)(2)(4
4)(4
)(4 1ˆ~1ˆ21 λ−ω+λλν−ω+λ=λ (b)
( ) ( )ttrr
br
bbr d
ê44444
22)(2)()(
4~2
1ˆλ+λλν−λ
−ω=λ (c)
( ) ( )[ ] ( ) rb
rtrbb
rrb
br
bbr
bt êê
dê
422)(
442)(22)(
42)(
4
2)()()(
4)(
4 1ˆ~1ˆ1ˆλ−ω−λλν−−ω+λ
−ω=λλν (d)
105
donde )(4btλ y )(
4brλ son las varianzas de aceleración total traslacional y rotacional
respectivamente en el aislamiento, y ν su coeficiente de correlación. Notar que estas
expresiones dependen tanto del aislamiento (filtro pasa banda) como de la excitación.
Obtenida la matriz de covarianza de aceleraciones totales del aislamiento, es posible
ahora calcular la matriz de covarianza de las deformaciones de la superestructura, y a
partir de ésta, obtener finalmente las condiciones para controlar su comportamiento
torsional.
IV.4.2 Paso 2: cálculo de la matriz de covarianza de
desplazamientos de la superestructura A partir de la Ecuación (4.7b), y llamando:
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−+Ω
Ωω==
−
11
)(
)(2)(2)(0
2)(0
2)(
1
s
sss
ss(s)(s)
êêê
mkJ (4.15)
la matriz de covarianza de desplazamientos de la superestructura se obtiene a partir de:
[ ] [ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
λ
λλμλ== ∞∞ (s)
r0
(s)r0
(s)t0
(s)t0
symEE TTtt JqqJuu T &&&& (a) (4.16)
( ) ( )[ ])(4
2)()(4
)(4
2)(2)(0
)()(4
22)(2)(04)(
04)(
)(0 21 b
rsb
rbt
sssbt
ssss
st êêêê λ+λλν+Ω−λ+Ω
Ωω=λ (b)
( ) )(4
)(4
)(4
)()(4
2)(4)(
04)(
)(0 21 b
rbr
bt
sbt
sss
sr êê λ+λλν−λ
Ωω=λ (c)
106
( )[
])(4
)(4
2)(0
)(4
2)(0
)(4
)()(4
)(4
2)()(4
3)(4)(
04)(
)(0
)(0 21
br
bt
s
bt
sbr
sbt
br
sbt
sss
st
sr êêê
λλνΩ−
λΩ+λ+λλν−λΩω
=λλμ (d)
donde )(0stλ y )(
0srλ son las varianzas de desplazamiento y rotación de la superestructura
respecto al aislamiento, y μ su coeficiente de correlación.
A partir de estas Ecuaciones es posible finalmente encontrar las condiciones para
optimizar la respuesta torsional de la superestructura, para lo cual se definen los dos
criterios que se describen a continuación.
IV.4.2.1 Rotación mínima Bajo la aproximación cuasi-estática, la rotación de la superestructura depende de los
parámetros )( bê y )(0
bΩ . Sin embargo según se observó en la sección IV.4 (Figura 4.4), a
medida que 0)(0 →Ω b se favorece el control torsional de la superestructura, por lo que
nos centraremos en la búsqueda del parámetro )( bê óptimo para )(0
bΩ conocidos.
Entonces, la mínima rotación de la superestructura se obtiene derivando la Ecuación
(4.16c) respecto de )(bê . Sin embargo, analizando las Ecuaciones (4.11) a (4.14), se
observa que sus relaciones funcionales están fuertemente acopladas, de manera que no
es posible encontrar relaciones simples. Se plantea entonces la necesidad de encontrar un
procedimiento alternativo que pueda conducir a una expresión simple.
Así, asumiendo que el proceso considerado es ergódico, resulta simple estimar
numéricamente la Ecuación (4.16c) para una realización dada, para un valor de )(0
bΩ
conocido y para todo el rango de excentricidades teóricas )( sê y )( bê . La Figura 4.5
muestra las curvas de nivel de )(0srλ normalizadas con (s)
rmáx0λ para el registro de El Centro
y 7.0(b)0 =Ω . Se puede apreciar que para un valor )( sê conocido (situación real) el valor
de )( bê que minimiza la rotación es igual al que se obtendría en la situación contraria; es
decir, asumiendo que )( bê es conocido y derivando respecto a )( sê . Los resultados
mostrados en la Figura 4.5 son muy similares a los obtenidos para otros registros
sísmicos, y en general para valores de 0.1(b)0 <Ω
107
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
ê(s)
ê(b)
0.05
0.05
0.05
0.05
0.05
0.05
0.05
0.05
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.3
0.3
0.3
0.3
0.4
0.4
0.4
0.4
0.6
0.6 0.6
0.6
0.8
0.8
Basándonos en esta observación y teniendo en cuenta que en las Ecuaciones (4.16) )( sê
es una variable independiente debido a la aproximación cuasi-estática empleada,
obtengamos de la Ecuación (4.16c) la excentricidad óptima )( bê de la siguiente manera:
0:)(
)(0
)(
=∂
λ∂s
sr
bom
êaSujeto
êBuscar (4.17 a)
Esta expresión puede escribirse alternativamente como:
)(
4
)(4
)(4)(
)(
:bt
br
bts
om
bom
êaSujeto
êBuscar
λ
λλν=
(4.17 b)
donde (s)omê es la excentricidad de la superestructura que minimiza su propia rotación para
una excentricidad )( bê conocida.
Esta expresión resulta muy fácil de aplicar con fines de diseño.
Figura 4.5 Varianza de rotación. Curvas de nivel para El Centro.
Varianza (s)r0λ normalizadas con (s)
rmáx0λ para 7.0)(0 =Ω b , asumiendo proceso ergódico.
108
IV.4.2.2 Balance torsional (control torsional débil) Según recientes trabajos de de la Llera, Almazán y Vial (2005) la condición de balance
torsional de una estructura con acoplamiento lateral-torsional se alcanza anulando el
coeficiente de correlación entre desplazamientos y rotaciones en el centro geométrico de
la estructura, coincidente en éste caso particular con el CM. La excentricidad que
permite balancear la respuesta torsional de la superestructura está dada entonces por la
raíz real de la Ecuación (4.16d):
( )[] 0
21:
)(4
)(4
2)(
)(4
2)(0
)(4
)()(4
)(4
2)()(4
3)(4)(
04)(
)(
=⎟⎟⎠
⎞λλνΩ−
⎜⎜⎝
⎛λΩ+λ+λλν−λ
Ωωbr
bt
so
bt
sbr
sbr
bt
sbt
sss
bob
êêêaSujeto
êBuscar
(4.18)
Es evidente que ambos criterios no resultan necesariamente iguales. Esta condición se
verificará en el exclusivo caso en que la excentricidad óptima dada por la Ecuación
(4.17b) anule la Ecuación (4.16d).
IV.4.2.3 Control torsional fuerte En razón de los resultados alcanzados en las secciones anteriores, resulta de gran interés
analizar si es posible alcanzar el control fuerte de la respuesta torsional de la
superestructura, esto es minimizar y balancear la rotación en forma simultánea. Para
satisfacer ambas condiciones la excentricidad )( sê de la Ecuación (4.17b) debe ser raíz de
la Ecuación (4.16d). Realizando esta sustitución obtenemos la condición (Anexo I):
1=ν (4.19)
condición que corresponde a 0(b)0
(s)(b) =Ω= yêê . Aunque físicamente imposible de
alcanzar, esta condición nos indica que la solución óptima se obtiene haciendo que ν
109
resulte lo más próximo posible a la unidad, esto es equivalente a hacer 0)(0 →Ω b , lo que
es consistente con los resultados mostrados en la Figura 4.4.
Los ecuaciones obtenidas en ésta sección son válidas sólo para el caso de ruido blanco,
por lo que resulta de gran interés práctico extenderlas al análisis modal espectral, lo que
se desarrolla en la siguiente sección.
IV.5 Control torsional usando información espectral En esta sección se extienden las condiciones de control obtenidas para ruido blanco al
análisis modal espectral.
Resulta un hecho conocido que (Der Kiureghian, 1981)
[ ] 2/12
)(xi
imáx pxE λ= (4.20)
donde p es el factor de máximo asociado a la desviación estándar 2/12 xiλ , x es una variable
aleatoria; e )(i denota el orden de derivación respecto al tiempo.
Reemplazando ésta última expresión en ambos miembros en las Ecuaciones (4.14) se
obtiene:
( ) ( )[ ]242)(22)(2)(24)(4
2)( 1ˆ~1ˆ21t
brtr
br
br
bbt SSSêSê
dS −ω+ν−ω+= 4.21(a)
( ) ( )22
4
22)(2)(2)( ~2
1ˆttrr
br
bb
r SSSSd
êS +ν−
−ω= (b)
( ) ( )[ ] ( ) 242)(2)(22)(24)(
4
22)(2)()()( 1ˆ~1ˆ1ˆ
tb
rtrbb
rrb
br
bb
rb
t SSSêSêd
êSS −ω−ν−−ω+
−ω=ν (c)
110
donde )( btS y )( b
rS son las esperanzas de aceleración total máxima en el aislamiento, rS
y tS las esperanzas de aceleración total máxima de vibradores de 1 GDL con
frecuencias rω y tω , respectivamente ν~ es el coeficiente de correlación de
aceleraciones modales totales suponiendo la aproximación de ruido blanco (Ecuación
4.13c). En las Ecuaciones (4.21) rS y tS se pueden obtener a partir de las
seudoaceleraciones espectrales rS y tS y de los amortiguamientos modales rζ y tζ tal
como se indica en el Anexo I. Por lo tanto, la Ecuación (4.17) se puede escribir en
términos de esperanzas de aceleraciones máximas como:
)(
)(
2)(
)()()(
)(
: bt
br
bt
bt
brs
om
bom
SS
SSSêasujecto
êBuscar
νν==
(4.22)
Esta importante Ecuación indica que la excentricidad )( sê para la cual se minimiza la
respuesta torsional de la superestructura, está dada por el cuociente entre los valores
esperados de aceleración total máxima de rotación y traslación del aislamiento,
ponderado por el coeficiente de correlación ν . En otras palabras, cuando )( sê coincide
con el punto de paso más probable de la resultante instantánea de aceleración
traslacional total tq ∞&& (Anexo G).
Por otra parte, sustituyendo la Ecuación (4.20) en la Ecuación (4.16d), la condición de
balance se obtiene como la raíz real de la ecuación:
( ) 02: )()(2)(0
2)(2)(0
2)()()()(2)(2)(3)(
)(
=Ω−Ω++− br
bt
sbt
sbr
sbr
bt
sbt
s
bob
SSSSêSSêSêasujecto
êBuscar
νν
(4.23)
111
Al igual que para ruido blanco, la condición de mínima rotación expresada por la
Ecuación (4.22) es simultáneamente condición de balance torsional sólo si 1=ν . En este
caso el problema se vuelve determinístico.
Por otra parte, obsérvese en las Ecuaciones (4.14) y (4.21) que ν depende de las
características del aislamiento y de la excitación, resulta por lo tanto de gran interés
analizar los valores que alcanza ν para distintos tipos de excitaciones.
IV.6 Resultados obtenidos (Control torsional fuerte) En ésta sección analizaremos bajo qué condiciones se obtiene el control fuerte de la
torsión en la superestructura. En una primera etapa obtendremos los parámetros óptimos
del sistema de aislamiento para luego cuantificar la reducción de la respuesta torsional
que podemos obtener. Se emplearán las excitaciones mostradas en la Tabla IV.1 y los
espectros de pseudo-desplazamiento que se muestran en la Figura 4.6.
IV.6.1 El coeficiente de correlación ν En las secciones anteriores se aprecia que el coeficiente de correlación ν es
determinante en el control de la respuesta torsional de la superestructura, obteniendo la
condición de balance cuando este parámetro es igual a uno. En la Figura 4.7 graficamos los valores de ν obtenidos para distintas excentricidades y
relaciones de frecuencia )(0
bΩ y para La excitaciones: (i)- ruido blanco ( WN ); (ii)-
espectro probabilístico (PS) envolvente al promedio de 8 registros históricos (Tabla
IV.1); (iii)- espectro del registro de El Centro (EC) y (iv)- espectro del UBC (1997),
todos éstos representados en la Figura 4.6.
112
−1
−0.5
0
0.5
1
ν
Ruido blanco Espectro UBC
Ω0(b)= 0.2
Ω0(b)= 0.6
Ω0(b)= 0.8
Ω0(b)= 1.0
Ω0(b)= 1.4
0 0.5 1 1.5 2−1
−0.5
0
0.5
1
ν
Espectro El Centro
ê(b)0 0.5 1 1.5 2
Espectro Probabilistico
ê(b)
4.1,0.1,8.0,6.0,2.0)(0 =Ω b 4.1,0.1,8.0,6.0,2.0)(
0 =Ω b
4.1,0.1,8.0,6.0,2.0)(0 =Ω b 4.1,0.1,8.0,6.0,2.0)(
0 =Ω b
0 5 10 15 20 25 300
5
10
15
20
25
30
ω
disp
lace
men
ts
espectro
espectro El
espectro
espectro promedio de 8 registros
Des
plaz
amie
ntos
(cm
)
Figura 4.6 Espectro de pseudo-desplazamiento para distintas excitaciones.
Figura 4.7 Coeficiente de correlación ν entre aceleraciones de traslación y torsión total. Obtenido para: π=ω 8.0)( b ; 2.0)( =ζ b , Observe que ν es inversamente proporcional a
(b)0Ω y fuertemente dependiente de la excitación
113
Allí puede apreciarse en todos los casos que ν es inversamente proporcional a )(0
bΩ , y
alcanza valores en el entorno de la unidad para 2.0)(0 =Ω b en todos los casos. Para los
espectros PS y EC esta situación se mantiene aún para valores de 8.0)(0 =Ω b . Por el
contrario, para las excitaciones WN y UBC, ν disminuye rápidamente con el
incremento de )(0
bΩ .
Este fenómeno se explica considerando que la seudoaceleración espectral S queda
expresada en términos del espectro de desplazamientos ( dS ) como: dSS 2ω= . Observe
que los espectros de desplazamientos PS y EC poseen una meseta aproximadamente
constante en el rango de frecuencias tr ωω y (Figura 4.6). Por lo tanto, cuando 1)(0 <Ω b
se verifica que rt ω>ω y en consecuencia rt SS >> y resulta que la aceleración
traslacional total resultante tiende a desplazarse hacia el borde rígido del aislamiento.
Contrariamente, cuando el espectro de desplazamientos resulta inversamente
proporcional a la frecuencia, como en el caso de las excitaciones WN y UBC, este
efecto se atenúa y el coeficiente ν se aleja de la unidad.
Asimismo, cuando 1)(0 >Ω b ( tr ω>ω ), predominan las aceleraciones rotacionales y por
lo tanto la resultante de traslación tiende a desplazarse hacia el borde flexible, haciendo
que ν resulte en todos los casos muy inferior a la unidad, y llega a cambiar de signo en
casos extremos ( 4.1)(0 =Ω b ).
IV.6.2 Excentricidades óptimas del aislamiento A continuación se presentan en las Figuras 4.8 y 4.9 las combinaciones de
excentricidades óptimas que permiten minimizar la rotación y obtener el control débil de
la torsión en la superestructura.
Para su construcción se siguieron las etapas enumeradas a continuación: (1) para una
frecuencia aislada )( bω , amortiguamiento )( bζ y razón de flexibilidad torsional )(0
bΩ ,
adoptamos distintos valores de )( bê y, por aplicación de las Ecuaciones (4.11)
obtenemos las frecuencias rω y tω y las formas modales asociadas (b)rφ y (b)
tφ ; (2) con
114
−0.25
0
0.5
1
1.5
2
ê(s)
Ruido blanco Espectro UBC
0 0.5 1 1.5 2−0.25
0
0.5
1
1.5
2
ê(s)
ê(b)
Espectro El Centro
0 0.5 1 1.5 2
Espectro Probabilistico
ê(b)
2.0,6.0,8.0,0.1,4.1)(0 =Ω b
2.0,6.0,8.0,0.1,4.1)(0 =Ω b
2.0,6.0,8.0,0.1,4.1)(0 =Ω b 2.0,6.0,8.0,0.1,4.1)(
0 =Ω b
los datos anteriores y aplicando la Ecuación (4.13c) obtenemos ν ; (3) aplicando las
Ecuaciones (4.13a y b) para ruido blanco ó a partir de un espectro de pseudo-
aceleraciones (Anexo E), obtenemos r4λ , t4λ ó rS , tS , respectivamente; (4) por
aplicación las Ecuaciones (4.14) ó (4.21) obtenemos )(4brλ , )(
4btλ y )(
4)(
4bt
br λλν , ó 2)( b
rS ,
2)( btS y )()( b
tb
r SSν , para ruido blanco ó para un espectro, respectivamente; (5) la raíz de
la Ecuaciones (4.16d) ó (4.23) y la aplicación de las Ecuaciones (4.17) ó (4.22) permiten
obtener )( sobê y )( s
omê control débil y torsión mínima en la superestructura, respectivamente.
Advierta que (s)obê depende de la razón de flexibilidad torsional )(
0sΩ ; (6) finalmente,
graficamos los pares de valores )( somê , )( bê y )( s
obê , )( bê que minimizan y balancean la
respuesta torsional de la superestructura para .)(0 cteb =Ω
Figura 4.8 Excentricidades óptimas empleando el criterio de rotación mínima. π=ω 8.0)( b ; π=ω 4)( s ; 05.0)( =ζ s ; 2.0)( =ζ b .
115
Para la obtención de estas Figuras se han considerado valores de )(0
bΩ comprendidos
entre 0.2 y 1.4 y las excitaciones definidas precedentemente. En la Figura 4.9 se presenta
la influencia de )(0
bΩ en la minimización torsional de la superestructura que, como se
determinó en la sección anterior, se encuentra íntimamente vinculada a ν . Por lo tanto,
de su análisis resulta claro que aislamientos con relaciones de flexibilidad torsional
1)(0 <Ω b (torsionalmente flexibles) permiten un mejor control torsional de la
superestructura que aquellas con 1)(0 >Ω b (torsionalmente rígidas). Por otra parte, para
excitaciones del tipo PS y EC la excentricidad en el aislamiento que minimiza la torsión
en la estructura para 1)(0 <Ω b es del mismo orden que la excentricidad de la
superestructura, en tanto que para excitaciones tipo WN y UBC esta excentricidad de
control es sensiblemente superior o simplemente imposible de obtener.
Para 1)(0 >Ω b la excentricidad necesaria en el aislamiento para minimizar la respuesta de
la superestructura es sensiblemente superior para todas las excitaciones consideradas.
En la Figura 4.10 se presentan las combinaciones de excentricidades )( sobê , )( bê que
permiten el control débil de la torsión en la superestructura. Debido a que las Ecuaciones
(4.16d) y (4.23) dependen de la razón de flexibilidad torsional de la superestructura, se
contemplan aquellos casos en que a) 7.0)(0 =Ω s y b) 4.1)(
0 =Ω s .
Para 7.0)(0 =Ω s y 1)(
0 <Ω b se observa que el rango de excentricidades donde se alcanza el
control débil de la superestructura es inversamente proporcional a )(0
bΩ . Para 1)(0 >Ω b la
posibilidad de alcanzar este control en la superestructura es más restringida y se limita a
valores )( sê muy pequeños (Figura 4.9).
Por el contrario para 4.1)(0 =Ω s , con 1)(
0 <Ω b el rango de excentricidades en que se puede
obtener el control débil de la superestructura es prácticamente el mismo que para
minimizar la rotación. En este caso las combinaciones de excentricidad son
prácticamente coincidentes y se puede alcanzar el control fuerte (Figuras 4.8 y 4.9).
116
−0.25
0
0.5
1
1.5
2
ê(s)
Ruido blanco
Ω0(s) = 0.7
Espectro UBC
0 0.5 1 1.5 2−0.25
0
0.5
1
1.5
2
ê(s)
ê(b)
Espectro El Centro
0 0.5 1 1.5 2
Espectro probabilistico
ê(b)
2.0;6.0;8.0;0.1;4.1)(0 =Ω b 2.0;6.0;8.0;0.1;4.1)(
0 =Ω b
2.0;6.0;8.0;0.1;4.1)(0 =Ω b 2.0;6.0;8.0;0.1;4.1)(
0 =Ω b
−0.25
0
0.5
1
1.5
2
ê(s)
Ruido blanco
Ω0(s)= 1.4
Espectro UBC
0 0.5 1 1.5 2−0.25
0
0.5
1
1.5
2
ê(s)
ê(b)
Espectro El Centro
0 0.5 1 1.5 2
Espectro probabilistico
ê(b)
2.0;6.0;8.0;0.1;4.1)(0 =Ω b
2.0;6.0;8.0;0.1;4.1)(0 =Ω b 2.0;6.0;8.0;0.1;4.1)(
0 =Ω b
2.0;6.0;8.0;0.1;4.1)(0 =Ω b
Figura 4.9 Excentricidades óptimas empleando el criterio de balance torsional.
π=ω 8.0)( b ; π=ω 4)( s ; 05.0)( =ζ s ; para 2.0)( =ζ b ; a) 7.0)(0 =Ω S ; b) 4.1)(
0 =Ω b .
117
Para estructuras con 1)(0 =Ω b se observa que es posible alcanzar el control débil en un
rango de excentricidades menor. Esto se debe al descenso de ν ya que no se verifica el
predominio de ninguno de los modos aislados en la respuesta del aislamiento. En este
caso, no se puede alcanzar el control torsional fuerte de la superestructura.
Para el caso en que 4.1)(0
)(0 =Ω=Ω bs se observa qu no es posible alcanzar el control débil
de la superestructura para pequeñas excentricidades. Para ésta rigidez torsional del
aislamiento, se observa que en algunos casos el signo de la excentricidad debe ser
contrario al de la superestructura. La excitación tipo WN constituye el caso extremo
para esta combinación de relaciones de flexibilidad torsional.
Resulta claro que la mayor rigidez torsional de la superestructura resulta determinante
para el control débil de la superestructura. Esto puede explicarse considerando que para
un instante cualquiera t es:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−+Ω
Ωω=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡(t)(t)
11
(t)(t)
tθ
ty
(s)
(s)2(s)2(s)0
2(s)0
2(s)θ
y
qq&&
&&
êêê
uu
(4.24)
Operando con la ecuación anterior resulta que:
( )[ ](t)(t)(t)1(t) ty
(s)tθ
(s)ty
2(s)02(s)
02(s)y qqq &&&&&& êêu −−ΩΩω
= (4.25)
( )(t)(t)1(t) ty
(s)tθ2(s)
02(s)θ qq &&&& êu −Ωω
= (4.26)
Por lo que finalmente:
(t)(t)1(t) θ(s)t
y2(s)y uêu −ω
= q&& (4.27)
118
Del análisis de la Ecuación (4.27) resulta evidente que si )(0
sΩ es pequeño, el segundo
término (torsional) prevalece marcadamente sobre el primero (traslacional), haciendo
que )(tu y y )(tu θ estén fuertemente correlacionados, situación que dificulta el control
débil. Contrariamente, si )(0
sΩ es grande ambas variables tienden a descorrelacionarse
naturalmente.
Hemos establecido las condiciones y posibilidades de minimizar el giro y balancear la
respuesta de la superestructura, sin embargo resta aún cuantificar la reducción de la
respuesta total que se logra mediante este control. En la siguiente sección realizamos
este análisis.
IV.6.3 Reducción de la respuesta torsional Como establecimos previamente, la minimización y el balance torsional de la
superestructura no implican ausencia de torsión. En esta sección cuantificamos la
reducción de la respuesta en los bordes de la superestructura para un diseño óptimo del
aislamiento.
Las deformaciones en los bordes de la superestructura se calculan a partir de la
expresión:
uu ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ρρ−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
/1/1
uu
ed
ei
aa
e (4.28)
Donde eu es el vector de desplazamientos relativos entre los bordes de la
superestructura. Definimos a continuación el parámetro:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
de
de
ie
ie
i,de uu
uu
u ~;~maxˆ (4.29)
119
Donde dieu
, son los desplazamientos relativos al aislamiento del borde izquierdo y
derecho de la superestructura aislada, y dieu
,~ los desplazamientos relativos al suelo del
borde correspondiente de la superestructura con base fija. Por lo tanto, eu es el factor de
reducción de respuesta en los bordes del sistema aislado con respecto del sistema de
base fija.
En ésta sección se evalúa el coeficiente de reducción eu mediante análisis probabilístico
dinámico, para ello se determinaron las esperanzas de las respuestas en los bordes de la
superestructura. Se supuso que el sistema aislado se encontraba sometido a la acción de
un ruido coloreado por los filtros de Kanai-Tajimi (1957, 1960) y Penzien (Clough y
Penzien, 1993) tal que el espectro de respuesta de este proceso resultara envolvente al
promedio de 8 espectros elásticos de registros históricos (Figura 4.7, Tabla IV.1). Los
parámetros adoptados para los filtros fueron: 11
96.13 −=ω segg , 65.01 =ζ g , 12
79.2 −=ω segg
y 00.12 =ζ g . La densidad de potencia espectral W se calibró para una esperanza de
aceleración máxima del suelo g4.0 . La duración de la fase estacionaria del ruido blanco
se calculó mediante la integral de Arias (1970) ( s5.23a =τ ), tomando como referencia el
registro de El Centro. La tasa media de cruces por cero se estimó con el parámetro 1gω .
La magnitud de eû se evaluó de acuerdo a los siguientes criterios: a) La esperanza del
desplazamiento normalizado máximo [ ]aeûE es igual a la que se verifica en el centro de
masas de una estructura aislada simétrica (0.10) y b) [ ] [ ]aeb uEE 5.1u e < .
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
ê(s)
ê(b)
0.050.1 0.10.1
0.2
0.2
0.3
0.15
0.15
0.15
Ω0(b) = 0.7
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5
ê(s)
0.05
0.1 0.1
0.1
0.2
0.2
0.3
0.15
0.15 0.15
Ω0(b) = 1.0
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5
ê(s)
0.05
0.1
0.1
0.2
0.20.3
0.15
0.15
0.15
Ω0(b) = 1.5
Figura 4.10 Curvas de nivel y regiones de control de rotaciones para la superestructura.
Criterio a).
120
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
ê(s)
ê(b)
Ω0(b) = 0.7
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5
ê(s)
Ω0(b) = 1.0
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5
ê(s)
Ω0(b) = 1.5
En la Figura 4.10 se presenta el criterio a) [ ] 10.0e ≤ûE , para 7.0)(0 =Ω s y
5.1y0.1,7.0(b)0 =Ω , y las curvas de nivel de la esperanza de amplificación máxima del
borde derecho de la superestructura aislada [ ]deuE ˆ . Las correspondientes al borde
izquierdo, resultan punto simétricas de las del borde derecho respecto al origen.
Figura 4.11- Regiones de control de la torsión para la superestructura. Criterios a) y b).
Mínima rotación ( ) y balance torsional ( 7.0)(0 =Ω s ; 4.1)(
0 =Ω s ) obtenidas por análisis dinámico para espectro probabilístico.
En esta Figura se aprecia que: (i) es posible encontrar regiones en las que el control de la
torsión es equivalente al control traslacional y (ii) la región en la que es posible
controlar la torsión de la superestructura decrece con el aumento de (b)0Ω . Estas
regiones de control resultan amplias para 7.0(b)0 =Ω y prácticamente inexistentes para
5.1(b)0 =Ω .
En la Figura 4.11 se superponen las regiones de control para los criterios a) y b)
considerando los mismos parámetros que para la Figura 4.10. En esta Figura la zona más
oscura corresponde al criterio a) y la más clara al criterio b). También se representa en
línea sólida la combinación de excentricidades )( sê , )( bomê que minimiza la torsión para el
espectro de seudoaceleraciones probabilístico, y en línea segmentada y de puntos las
combinaciones )( sê , )( bobê de balance torsional (control débil) para 4.17.0 y(s)
0 =Ω ,
respectivamente. En esta Figura puede apreciarse que: (i) una pequeña relajación del
criterio de control torsional en la superestructura genera regiones de control mucho mas
amplias; (ii) la combinación de excentricidades )( sê , )( bomê que minimizan la torsión se h
121
ubica en el centro de las regiones de control determinadas con los criterios a) y b); (iii) la
combinación de excentricidades )( sê , )( bobê que permiten el balance torsional de la
superestructura (control débil) es coincidente con la condición de torsión mínima cuando
la superestructura es torsionalmente rígida; (iv) El control fuerte de la torsión sólo se
alcanza con sistemas de aislamiento torsionalmente flexibles 0.1(b)0 ≤Ω ; (v) la reducción
de respuesta torsional que se alcanza en la superestructura aislada con la metodología
desarrollada, es equivalente a la reducción de respuesta que se alcanza en sistemas
aislados puramente traslacionales.
IV.7 Metodología de diseño propuesta A continuación, se propone una metodología de diseño para definir las características del
aislamiento que optimizan el comportamiento torsional de la superestructura. El
procedimiento se resume a los siguientes pasos: (1) con la metodología descrita en la
sección IV.6.2 se obtienen figuras similares a las 4.8 y 4.9 para el valor )(0sΩ de la
superestructura a controlar; (2) de las figuras anteriores, con la excentricidad )(sê y
seleccionando una razón de frecuencias )(0bΩ para el aislamiento, se obtienen las
excentricidades )(bomê y )(b
obê que minimizan y balancean la respuesta torsional de la
superestructura; (3) alternativamente dados )( sê y )(0
sΩ se adopta )(0
bΩ y empleando las
Ecuaciones 4.22 y 4.23 se determinan )( bomê y )( b
obê .
Se destaca que las menores demandas de )( bomê y )( b
obê se obtienen para valores de 1)(0 <Ω b
según se discutió en las secciones IV.4 y IV.6, para estos valores de )(0
bΩ la demanda de
excentricidad en el aislamiento para minimización y balance resulta muy similar, y
prácticamente se alcanza el control torsional fuerte de la superestructura. Este control
mejora dramáticamente si la superestructura es rígida torsionalmente ( 1)(0 >Ω s ), en este
caso se obtienen curvas de diseño para )( bobê prácticamente idénticas que para )( b
omê .
En el apartado siguiente se presenta la aplicación de la metodología de diseño propuesta
para sistemas de múltiples pisos.
122
IV.8 Aplicación a estructuras de múltiples pisos En esta sección presentamos la extensión de la metodología de optimización del
comportamiento torsional propuesta a estructuras de múltiples pisos.
Consideremos una estructura asimétrica de marcos de hormigón armado de 6 pisos
(Figura 4.12). La distribución de columnas es simétrica, lográndose la excentricidad
estructural mediante la disposición de arriostres diagonales de acero que trabajan en
tracción y compresión en distintos planos.
En todos los niveles se ha considerado un peso sísmico de 1 t/m². La estructura posee
una frecuencia fundamental desacoplada π=ω 4)( s , amortiguamiento constante
05.0)( =ζ s en todos los modos y se encuentra montada sobre un sistema de aislamiento
cuyos parámetros son π=ω 8.0)( b y 2.0)( =ζ b . La relación de lados para la estructura y el
aislamiento es 2/3. A pesar que la metodología se ha desarrollado para sistemas de un
piso, puede extenderse a estructuras de múltiples pisos mediante una condensación de
sus grados de libertad tal como se describe en el Anexo C.
Para el presente caso se obtuvieron los siguientes parámetros equivalentes: 25.0)( −=sê y
8.0)(0 =Ω s . Del análisis de las curvas de la Figura 4.8, obtenidos para PS, se puede
apreciar que los mejores resultados se obtienen para 8.0~7.0)(0 =Ω b , por lo que se adopta
un sistema de aislamiento torsionalmente flexible con 8.0)(0 =Ω b , al que le corresponde
una excentricidad en el sistema de aislamiento para minimizar la torsión de la
superestructura del orden de 25.0)( −=bomê , e interpolando entre las Figuras 4.9a y 4.9b, se
obtiene la excentricidad para balancear la respuesta de sus bordes 19.0)( −=bobê por lo que
se adopta como excentricidad óptima para el aislamiento el valor medio entre la
excentricidad de minimización y la de balance 22.0)( −=boê .
123
Figura 4.12 Ejemplo: estructura excéntrica de 6 pisos. Marcos de hormigón armado. La elevación representa esquemáticamente el sistema de riostras de los ejes 2, 3 y b, en
tanto que los ejes 1,4, a y c no poseen riostras. A efectos de realizar comparaciones entre las respuestas de los bordes de la
superestructura se define como índice de balance al parámetro:
( )
mínemáxe
mínemáxeb ûû
ûûI
+
−=
2 (4.30)
que en el caso de un sistema simétrico alcanza el valor 0=bI .
En las Tablas IV.2, IV.3 y IV.4 se presenta la comparación entre el comportamiento de
la superestructura y del sistema de aislamiento con aislamiento nominalmente simétrico
y con la excentricidad óptima calculada para los registros de El Centro (Imperial Valley
- EEUU, 1940), Sylmar (Northridge – EEUU, 1994) y Kobe (Kobe - Japón, 1995),
respectivamente.
c
1
2
3
4
a b
braces
6@30
00
3@50
00
2@5000
braced
unbraced
50x50 50x50
50x5050x50
70x30
70x30
70x30
70x30
30x70
30x70 30x70
30x70
30x70 30x70
30x50
30x50
30x50
30x50
30x50
30x5030x50
30x50
30x50
30x50
30x50
30x50
arriostrados
no arriostrados
riostras
124
A manera de ejemplo se presenta en la Figura 4.13 la historia de deformaciones de
entrepiso en los bordes del aislamiento (DEa) y del último piso de la superestructura
(DEs) sometidas al registro de El Centro para el caso nominalmente simétrico y
optimizado, respectivamente.
Tabla IV.2 DEa y DEs máximas y promedio, Registro El Centro.
Aislamiento y superestructura. .51.0 sTs = ; 8.0)(
0 =Ω s ; 25.0)( −=sê ; .5.2)( sT b = ; 8.0)(0 =Ω b ; 22.0)( −=bê .
Excentricidades
êb = 0.00 êb =-0.22 Estructura Nivel Borde
izquierdo Borde
derecho Ib Borde izquierdo
Borde derecho Ib
Aislamiento 0 16.91 17.68 0.04 15.01 21.63 0.36 1 0.32 0.13 0.88 0.19 0.23 0.20 2 0.47 0.13 1.13 0.29 0.29 0.00 3 0.42 0.12 1.13 0.26 0.25 0.05 4 0.34 0.11 1.01 0.22 0.21 0.02 5 0.25 0.10 0.85 0.17 0.17 0.03 Su
pere
stru
ctur
a
6 0.16 0.08 0.64 0.11 0.12 0.12 Promedio superestructura 0.94 Promedio superestructura 0.07
Tabla IV.3 DEa y DEs máximas y promedio, Registro Sylmar.
Aislamiento y superestructura. .51.0 sTs = ; 8.0)(
0 =Ω s ; 25.0)( −=sê ; .5.2)( sT b = ; 8.0)(0 =Ω b ; 22.0)( −=bê .
Excentricidades
êb = 0.00 êb =-0.22 Estructura Nivel Borde
izquierdo Borde
derecho Ib Borde izquierdo
Borde derecho Ib
Aislamiento 0 20.59 20.99 0.02 20.02 21.87 0.09 1 0.37 0.15 0.83 0.25 0.25 0.02 2 0.54 0.18 1.03 0.36 0.31 0.16 3 0.50 0.17 1.00 0.32 0.28 0.14 4 0.40 0.16 0.86 0.26 0.25 0.06 5 0.29 0.14 0.70 0.19 0.20 0.03 Su
pere
stru
ctur
a
6 0.18 0.11 0.51 0.13 0.14 0.15 Promedio superestructura 0.82 Promedio superestructura 0.09
125
−25
−12.5
0
12.5
25
drift
(cm
)
left edgeright edge
−2
−1
0
1
2
drift
(cm
)
base
superestructura
Borde izquierdo Borde derecho
Def
orm
ació
n de
ent
repi
so (c
m)
Def
orm
ació
n de
ent
repi
so (c
m)
a)
−25
−12.5
0
12.5
25
drift
(cm
)
left edgeright edge
0 5 10 15−2
−1
0
1
2
drift
(cm
)
time (sec.)
base
superestructura
Borde izquierdo Borde derecho
Def
orm
ació
n de
ent
repi
so (c
m)
Def
orm
ació
n de
ent
repi
so (c
m)
Tiempo (s)
b)
Tabla IV.4 DEa y DEs máximas y promedio, Registro Kobe. Aislamiento y superestructura.
.51.0 sTs = ; 8.0)(0 =Ω s ; 25.0)( −=sê ; .5.2)( sT b = ; 8.0)(
0 =Ω b ; 22.0)( −=bê . Excentricidades
êb = 0.00 êb =-0.22 Estructura Nivel Borde Borde Ib Borde Borde Ib
Aislamiento 0 15.31 15.57 0.02 16.11 17.35 0.07 1 0.29 0.11 0.90 0.21 0.19 0.09 2 0.42 0.11 1.14 0.29 0.23 0.22 3 0.39 0.11 1.15 0.26 0.21 0.21 4 0.32 0.10 1.05 0.21 0.18 0.13 5 0.23 0.09 0.90 0.15 0.15 0.02
Supe
rest
ruct
ura
6 0.15 0.07 0.69 0.09 0.11 0.12 Promedio superestructura 0.97 Promedio superestructura 0.13
Figura 4.13 Respuesta edificio de múltiples pisos sin optimizar y optimizada; El Centro.
a) simétrica π=ω 8.0)( b ; π=ω 4)( s ; 2.0)( =ζ b ; 05.0)( =ζ s ; 0)( =bê b) optimizada; 22.0)( −=bê ; 25.0)( −=sê .
126
Para el registro de El Centro (Tabla IV.2), se observa un dramático aumento en el
balance de la deformación de entrepiso promedio, éste resulta 13.4 veces mejor en el
caso de superestructura con sistema de aislamiento asimétrico que con aislamiento
simétrico, en tanto que el sistema de aislamiento ha experimentado un incremento de
desplazamiento máximo de sólo el 22%, aumentando su bI de 0.04 a 0.36. Esta
observación puede corroborarse observando las Figuras 4.13a y b. Para el registro de
Sylmar (Tabla IV.3) esta mejora en el balance es de 9 veces, y para el caso de Kobe
(Tabla IV.4) alcanza un valor de 7.4 veces, en ambos casos el aumento del índice de
balance de la respuesta del sistema de aislamiento es de 0.02 a 0.09 en el primer caso y
de 0.02 a 0.07 en el segundo. Se aprecia también una importante disminución en la DEs
con aislamiento asimétrico.
127
IV.9 Conclusiones Mediante la aplicación del método cuasi-estático se han encontrado expresiones que
permiten, dada una excentricidad y una relación de frecuencias en el aislamiento,
obtener la excentricidad y la relación de frecuencias óptima que debe poseer la
superestructura a fin de minimizar y balancear su comportamiento torsional para el caso
de ruido blanco.
Estas expresiones pueden extenderse sin dificultad al análisis modal espectral, y se
obtienen curvas de diseño en función de )( bω , )( bζ , )(0
bΩ , )(0
sΩ y de las excentricidades )( sê y )( bê . Por otra parte se ha demostrado (Ecuación 4.27) que la rigidez de la
estructura controla el nivel de desplazamiento en sus bordes y mejora su balance
torsional, en tanto que su comportamiento acoplado torsional está gobernado por el
aislamiento (Ecuación (4.17a y b)). A partir de la aplicación de las Ecuaciones (4.22),
(4.23) y del Anexo G llegamos a las siguientes conclusiones:
1- La minimización de la respuesta torsional de la superestructura requiere que la
mediana de la distancia a la resultante de aceleración traslacional de la base
medida desde el CM común, sea coincidente con el CR de la superestructura.
2- El balance de la respuesta acoplada torsional de la estructura depende de los
parámetros del sistema de aislamiento, de la excitación y de la razón de
flexibilidad torsional ( )(0
sΩ ) de la superestructura (Ecuación 4.23).
3- Los sistemas de aislamiento con 1)(0 ≤Ω b permiten, además de minimizar,
balancear la respuesta de la superestructura en condiciones óptimas alcanzando
el control fuerte.
4- Los sistemas de aislamiento torsionalmente rígidos no permiten optimizar la
respuesta torsional de la superestructura.
128
5- El espectro de diseño del UBC, como todos aquellos basados en filtros del tipo
Kanai-Tajimi, demandan excentricidades en el aislamiento de 3 a 4 veces la
excentricidad de la superestructura para minimizar y balancear el
comportamiento torsional de la superestructura. Esto se debe a que no presentan
una meseta definida en la zona de bajas frecuencias. Así el coeficiente de
correlación de aceleraciones ν resulta menor que 0.5 para 8.0)(0 =Ω b y conduce
a predicciones de excentricidad óptima poco conservadoras.
V. CONSTITUTIVA NO-LINEAL PARA AISLADORES ELASTOMÉRICOS
129
V CONSTITUTIVA NO-LINEAL PARA APOYOS
ESLASTOMÉRICOS V.1 Resumen En la literatura reciente se han propuesto numerosos modelos para representar el
comportamiento de aisladores sísmicos, sin embargo la mayoría de ellos captan
parcialmente sus características altamente no-lineales e hiperelásticas. Por lo tanto, se
hace necesario desarrollar modelos que se ajusten adecuadamente al comportamiento
experimental observado en ensayos. En esta parte del trabajo se presenta un modelo
matemático fenomenológico para representar el comportamiento de dispositivos con
goma de alto amortiguamiento equivalente y que puede extenderse a aisladores elásticos
de goma natural con disipadores actuando en paralelo. El modelo uniaxial se basa en el
uso de plasticidad asociada; se propone también una extensión al caso biaxial. Junto con
el modelo de la relación constitutiva, se presenta la metodología para la identificación de
sus parámetros a partir de numerosos ensayos realizados en el Laboratorio de Control de
Vibraciones del Departamento de Ingeniería Estructural y Geotécnica de la Pontificia
Universidad Católica de Chile. Los resultados muestran un buen ajuste con los ciclos
obtenidos experimentalmente. Finalmente, se presentan dos ejemplos de aplicación para
una estructura sometida a acciones sísmicas uni- y bi-direccionales.
V.2 Introducción El sistema de aislamiento sísmico basado en apoyos elastoméricos es el más antiguo y
ampliamente difundido en el mundo (Kelly, 1997). Estos apoyos están constituidos por
láminas de goma de espesor entre 5 y 10 mm típicamente, alternadas con placas de acero
de 3 a 5 mm de espesor. El aislador posee gran flexibilidad lateral y una rigidez vertical
del orden de 1000 veces su rigidez horizontal. La altura de goma y diámetro resultantes
para un diseño en particular son variables del diseño.
Debido a que la goma natural posee un bajo amortiguamiento equivalente (2%, de la
Llera et al., 2004), los aisladores pueden estar acompañados de sistemas paralelos de
130
disipación. Sin embargo, la tecnología actual en la manufactura, ha desarrollado
elastómeros de alto amortiguamiento equivalente compatibles con diversas rigideces
transversales G ; lo que ha reducido paulatinamente la necesidad del uso de disipadores
histeréticos.
Estos elastómeros de alto amortiguamiento equivalente y módulo de rigidez variable se
obtienen mediante el agregado de distintos componentes y en proporciones variables,
dando lugar a distintos compuestos de goma caracterizados por el valor del módulo de
corte G. Así, por ejemplo un compuesto H8 implica que la goma posee un módulo de
corte 2/8 cmkgG= para una distorsión %150=γ .
Las leyes constitutivas fuerza-deformación para cada compuesto presentan
características comunes, tales como el fenómeno de hiperelasticidad caracterizado por
un aumento de rigidez a partir de deformaciones relativamente elevadas y el efecto de
degradación de rigidez que se manifiesta como una pérdida de rigidez muy importante
después del primer ciclo de carga y que se atenúa en ciclos posteriores.
Como resultado de algunas investigaciones, se han propuesto distintos modelos
matemáticos para describir este comportamiento fuerza-deformación. Sin embargo, la
mayoría de ellos no modela la hiperelasticidad ni el efecto de degradación de rigidez
(Forni et al., 1995; Naeim y Kelly, 1999; Salomón et al., 2000; Tsopelas et al., 1994).
Recientemente, algunos modelos (Hwang et al., 2002) han conseguido representar
adecuadamente este comportamiento observado en los elastómeros. Sin embargo, su
manejo es poco práctico ya que usan muchos parámetros y tienen en cuenta solo la
componente unidireccional.
En esta parte de la investigación se propone un modelo matemático para representar el
comportamiento de los elastómeros ante la aplicación de cargas cíclicas de corte. La
constitutiva propuesta emplea tres componentes; una envolvente que busca modelar el
comportamiento virgen del elastómero; una componente conservativa elástica no lineal
para la etapa hiperelástica; y finalmente una componente disipativa. Se pueden agregar
además, una o mas componentes paralelas para modelar el comportamiento de
disipación histerética.
131
Inicialmente se presenta la formulación general de la fuerza no-lineal del apoyo
elastomérico, para posteriormente desarrollar la formulación matemática de cada una de
las componentes de la constitutiva propuesta. Luego se lleva a cabo la identificación de
los parámetros de la constitutiva para finalmente, proponer la extensión al campo
bidimensional. Además, los modelos obtenidos se comparan con resultados de ensayos
reales, tanto ante la aplicación de ciclos de desplazamiento armónicos como de registros
de desplazamientos de terremotos reales. Por último, se presentan los resultados
obtenidos de aplicar este modelo a los aisladores de una estructura real sometida a la
acción de registros de terremotos unidireccionales y bidireccionales.
V.3 Comportamiento histerético de los elastómeros La goma natural es una sustancia perteneciente a la clase de los altos polímeros como la
celulosa, seda, resinas y plásticos. En su estado natural su uso es muy limitado, debiendo
pasar por un proceso de vulcanización en la que los compuestos de goma reciben una
serie de aditivos, algunos necesarios para la vulcanización, otros para acelerar este
proceso y otros para proteger, rigidizar, ablandar, modificar sus características
disipativas, colorear ó simplemente facilitar el proceso de mezclado. Como
consecuencia de este proceso, la goma adquiere ciertas propiedades mecánicas tales
como rigidez, resistencia y comportamiento histerético que han sido objeto de
numerosos estudios experimentales.
La histéresis de un compuesto de goma aumenta proporcionalmente con las cargas de
compresión. Para grandes deformaciones transversales ( %600≈γ ) los ciclos de histéresis
resultan mucho mayores como resultado de la cristalización debida a la deformación (de
la Llera et al., 2004). Sin embargo, la repetición rápida de estos ciclos genera una
importante cantidad de energía histerética que debe ser disipada principalmente en forma
de calor. Este aumento de temperatura conduce a la degradación de la goma, tal como
ocurre en el caso del reventón de un neumático inflado a baja presión. A raíz de esto es
habitual que en la mayoría de las aplicaciones se empleen gomas de baja histéresis. De
hecho, los compuestos elastoméricos en la ingeniería sísmica son aquellos que poseen
132
propiedades indeseables desde el punto de vista, por ejemplo, de la industria de
neumáticos. En el caso de la ingeniería sísmica se busca alta disipación de energía ya
que la cantidad de ciclos con grandes deformaciones son relativamente escasos.
Resulta de interés conocer las propiedades físicas de este material, particularmente su
módulo de elasticidad, coeficiente de Poisson, resistencia, amortiguamiento, resistencia
a la temperatura y durabilidad. Para deformaciones de unos pocos centímetros, la
relación constitutiva de la goma es aproximadamente lineal (Forni et al., 1995). Para este
rango de deformaciones las características mecánicas principales se especifican en la
Tabla V.1.
Tabla V.1 Características mecánicas de la goma natural, comparación con el acero
Característica Mecánica Goma s/refuerzo Goma c/refuerzo Acero
IRHD 45 65 100
σt MPa 28 21 420
σu MPa 680 420 420
E MPa 1.9 5.9 210000
G MPa 0.54 1.37 81000
κ MPa 1000 1200 176000
ν 0.4997 0.4997 0.29
Resiliencia % 80 60 100
Vs m/s 37 37 5000
donde IRHD es la dureza superficial, tσ la resistencia a tracción, uσ la resistencia a
compresión, E el módulo de elasticidad; G el módulo de corte, κ el módulo de
compresibilidad, ν el coeficiente de Poisson y sV la velocidad de transmisión de la onda
de compresión.
El módulo de corte G del elastómero decrece en la medida que la deformación
transversal γ aumenta hasta valores del orden del %100al%50 dependiendo de la
máxima deformación alcanzada en el ciclo (de la Llera et al., 2004). Para deformaciones
mayores, la rigidez de la goma aumenta debido a que sus cristales se alinean en la
dirección de la deformación (Figura 5.1), dando lugar al fenómeno conocido como
133
hiperelasticidad. Esta cristalización es la responsable de la relativamente alta resistencia
de la goma a tracción (14 a 28 Mpa), y de su resistencia a compresión que es aún más
elevada, 420 a 680Mpa.
Figura 5.1 Resultados experimentales de leyes fuerza-deformación para elastómeros. (de la Llera et al., 2004) Elastómeros con alto amortiguamiento. (a) Compuesto H5,
25 cm/kgG = para %150=γ ); y (b) Compuesto H8, %150para/8 2 == γcmkgG .
Figura 5.2 Resultados experimentales para un aislador con núcleo de plomo. (de la Llera et al., 2004), (a) aislador de goma con núcleo de plomo; y (b) ley
constitutiva fuerza-deformación para distintos valores de γ .
Por otra parte, su elevado coeficiente de Poisson de 0.4997, lo convierte en un material
prácticamente incompresible.Los aisladores de goma se construyen intercalando láminas
de goma que varían entre 5 y 10mm de espesor típicamente y placas de acero de 3 a
a) b)
0 5 10 15 20 250
10
20
30
40
50
60
70
displacement (cm)
forc
e (t
on)
γ = 25%γ = 50%γ = 100%γ = 150%
0 5 10 15 20 250
10
20
30
40
50
60
70
displacement (cm)
γ = 25%γ = 50%γ = 100%γ = 150%
fuer
za (
ton)
desplazamientos (cm) desplazamientos (cm)
0 5 10 15 20 250
10
20
30
40
50
60
displacemments (cm)
forc
es (
ton)
γ = 25%γ = 50%γ = 100%γ = 125%
Núcleo de plomo
Capa elastomérica
Placa de acero
a) b)
desplazamientos (cm)
fuer
zas
(ton)
134
5mm de espesor, las que proveen el confinamiento del elastómero. Resulta así un
dispositivo de elevada rigidez vertical -del orden de las 1000 veces la horizontal- y baja
rigidez transversal, ideales para lograr flexibilidad lateral en el sistema aislado.
La goma natural posee un bajo nivel de amortiguamiento equivalente, que usualmente
no supera el %2 del crítico (de la Llera et al., 2004), por lo que en general, es necesario
disponer disipadores de energía que actúan en paralelo. Los disipadores utilizados son
usualmente metálicos y su principio de funcionamiento se basa en la capacidad de
disipación histerética.
Una variante de disipador de energía muy empleada es el núcleo de plomo. El plomo es
un material muy dúctil y que posee la capacidad de recristalizar de forma instantánea a
temperatura ambiente, manteniendo su capacidad de disipación de energía prácticamente
invariante (Figura 5.2).
Actualmente existen, sin embargo, elastómeros de alto amortiguamiento que poseen
lazos de histéresis amplios y estables. Durante los primeros ciclos de carga,
especialmente en gomas con aditivos de refuerzo, la estructura cristalina se rompe
parcialmente de manera que en ciclos posteriores la goma es más blanda, generando la
degradación de rigidez que se produce esencialmente durante los primeros ciclos de
carga a un nivel de deformaciones dado. Sin embargo, algunos estudios indican que para
deformaciones γ del orden del %150 y luego de 4 meses de reposo la goma recupera el
%98 de su rigidez inicial (Kulak y Hughes, 1995). Para deformaciones mayores, sin
embargo, la pérdida de rigidez es permanente.
135
Figura 5.3 Envolvente experimental de ciclos de histéresis para un aislador.
Espécimen Cmed-Vul-2700, 2.16,60 == gn HcmD , compuesto 8H . Edificio Centro médico Universidad Católica de Chile (de la Llera et al., 2004).
En la Figura 5.3 se presenta un ensayo de un aislador de 60cm de diámetro nominal que
pone de relieve este comportamiento típico. Allí, se aprecia que la resistencia del
aislador se encuentra controlada por una envolvente.
En un primer ciclo de deformación el espécimen muestra un determinado nivel de
rigidez, en tanto que en ciclos posteriores la rigidez es marcadamente inferior. El
espécimen retoma el nivel de resistencia del primer ciclo para excursiones de
deformación en zona virgen. Además, en este ejemplo y para deformaciones
transversales %35≥γ la rigidez de la goma se incrementa, mostrando un marcado efecto
de hiperelasticidad.
V.4 Modelo propuesto de relación constitutiva En esta sección proponemos un modelo matemático constitutivo para la relación fuerza-
deformación unidimensional de los elastómeros. Es usual en los sistemas aislados
mantener a la superestructura en el rango lineal, en tanto que el sistema de aislamiento
0 10 20 30 40 500
10
20
30
40
γ (%)
shea
r (to
n)Envolvente
cort
e (t
on)
γ (%)
136
F y
q y
fr(x)
x
1
1
W(v)
v
a) b)
incursiona en rango inelástico. Por lo tanto esta parte de la investigación se limita a la
formulación basada en fuerzas restauradoras inelásticas del sistema de aislamiento. La
fuerza restauradora rf en un dispositivo inelástico cualquiera puede escribirse en la
forma:
( )[ ] ( ) [ ])(),(1)()(),( tqtqftqktqtqf nir && η−+η= (5.1) donde ik es la rigidez inicial en el dispositivo; q y q& el desplazamiento y velocidad
actual en el dispositivo, respectivamente; η la razón entre la rigidez lineal de post-
fluencia y la inicial; y nf es la fuerza inelástica en el dispositivo.
En la sección 5.2 se observó que los resultados de ensayos (Figuras 5.1 a 5.3) muestran
tres características fundamentales de las relaciones fuerza deformación de los
elastómeros: (i) poseen importante capacidad de disipación de energía; (ii) presentan una
marcada hiperelasticidad a partir de cierta deformación γ y (iii) se encuentran
gobernadas por una envolvente. A partir de estas observaciones se propone modelar el
comportamiento de los apoyos de goma a través de constitutivas independientes capaces
de describir estos tres aspectos y que permitan en conjunto expresar el comportamiento
observado.
Figura 5.4 Ley fuerza – deformación y representación normalizada. (a) relación fr-x para un material inelástico; y (b) relación W-v para dominio normalizado
137
En primer término, es conveniente normalizar la representación de la relación fuerza-
deformación. En la Figura 5.4 se presenta la relación constitutiva fuerza-deformación
para un material inelástico cualquiera. Ya sea que la fuerza yF y el desplazamiento yq
de fluencia tengan sentido físico o simplemente respondan a una convención, se pueden
realizar las siguientes normalizaciones:
yy
ny
r
vFf
ZFf
W === ;; (5.2)
donde W y Z representan la fuerza total y la inelástica normalizadas a la fuerza de
fluencia, respectivamente; y v el desplazamiento actual q normalizado al
desplazamiento de fluencia yq . Resulta claro que a partir de Z , W y v las fuerzas y
desplazamientos reales se obtienen empleando yF y yq como factores de escala. El
parámetro v se conoce tradicionalmente en la jerga de los ingenieros como la
''ductilidad'' del sistema. La ventaja de esta representación consiste en que al normalizar,
los parámetros que definen la relación Z - v son constantes para cualquier geometría del
dispositivo. Esto se puede apreciar a partir de:
( )[ ] ( ) [ ]
( ) [ ]y
y
ny
y
nir
FFtqtqftq
qF
tqtqftqktqtqf
)(),(1)(
)(),(1)()(),(
&
&&
η−+η
=η−+η=
( )[ ] ( ) [ ]
( ) ( ) ( )vvZvvvW
Ftqtqf
qtq
Ftqtqf
yn
yyr
&&
&&
,1,
)(),(1
)()(),(
η−+η=
=η−+η=
(5.3)
Resulta interesante destacar que todo sistema que tenga la misma constitutiva
normalizada y en el que se alcance el mismo par de valores iZ - iv tendrán la misma
cantidad de amortiguamiento lineal equivalente, independientemente de los valores yF , yq que se emplearon para su normalización, hecho que simplifica notablemente el
138
planteo de modelos lineales equivalentes, de gran utilidad en la etapa de diseño. En las
siguientes secciones se presentan las componentes empleadas para modelar el
comportamiento unidimensional de los apoyos de goma de alto amortiguamiento.
V.4.1 Componente disipativa En esta sección se presenta el modelo matemático empleado para representar el
comportamiento disipativo unidimensional de la constitutiva desarrollada. La relación
constitutiva de Bouc-Wen (1975) es un modelo adecuado para describir la disipación de
las gomas por dos motivos: (1) Es una constitutiva ampliamente difundida en la práctica
y validada experimentalmente y (2) gracias al trabajo de Park, Wen y Ang (1986), este
modelo puede extenderse al caso bidimensional teniendo en cuenta los efectos de
interacción biaxial.
La constitutiva cuadrática original propuesta por Bouc y Wen (1975) está dada por: ( ) ( )[ ] vZvsignZAZ www &&& τ+β−=
2 (5.4) Para representar adecuadamente el comportamiento de los elastómeros se propone
modificar esta relación constitutiva mediante la introducción de un término lineal
adicional, esto es:
( ) ( ) vZ
ZvsignZAZw
www &&&
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ δ+τ+β−=2 (5.5)
donde δτβ y,,A son parámetros que se identifican a partir de ensayos, wZ es el
valor absoluto del parámetro wZ y el operador sign es la función signo.
Asumiendo en la Ecuación (5.4) que 1=A y que 1=τ+β , para un ciclo de carga positivo
esta ecuación se puede expresar como:
( )21 ww
Zdv
dZ −= (5.6)
139
cuya integral puesta en función de v está dada por: )tanh(vZ w = (5.7) que es una función acotada al valor máximo 1=w
máxZ . Claramente se aprecia en la
Ecuación (5.6) que cuando 1→wZ , la pendiente de la ley fuerza-deformación
normalizada 0/ →νddZ w . Por otra parte, en la Ecuación (5.4) para wZ positivo y v&
negativo los parámetros β y τ definen la pendiente de descarga. Así para 1=β y 0=τ la
pendiente inicial de descarga en la relación constitutiva normalizada dk resulta igual a
2 . Además, para wZ negativo y v& negativo la relación constitutiva se comporta igual
que en el ciclo positivo de carga, pero para valores de wZ negativo.
Los parámetros β y τ permiten obtener pendientes de descargas variables, las que
pueden resultar muy elevadas si 0>β y 0<τ , bajo la condición de que su suma sea igual
a la unidad.
Figura 5.5 Efecto del parámetro δ en la forma de la relación constitutiva propuesta. Para ejemplificar esto se presentan en la Figura 5.5 relaciones fuerza-deformación
normalizadas que se obtienen con el modelo de Bouc-Wen modificado para parámetros
1=A , 15=β , 15.15−=τ , y 90.015.1,5.2,10 y=δ para un desplazamiento armónico. Se
−25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 25−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
normalized displacement v
norm
aliz
ed fo
rce
Zw
δ = 10.0δ = 2.50δ = 1.15δ = 0.90
fuer
za n
orm
aliz
ada
Zw
desplazamiento normalizado v
140
La introducción del parámetro wZ/δ en la Ecuación (5.5) no afecta el comportamiento
global de la constitutiva ya que cuando 1→wZ se comporta de forma análoga a la
original de Bouc-Wen (1975); sin embargo, la adición de este parámetro permite
controlar el nivel de resistencia y, por lo tanto, de disipación en esta etapa de la
constitutiva. observa que el nivel de resistencia y disipación resulta inversamente
proporcional al valor de este parámetro.
Se presenta a continuación la componente conservativa propuesta para la constitutiva.
V.4.2 Componente conservativa hiperelástica Se presenta en esta sección el modelo matemático empleado para representar el
comportamiento conservativo hiperelástico. Para ello, se define una curva esqueleto
unidimensional para la relación constitutiva propuesta.
Esta etapa, que constituye un aporte original, se ha obtenido a partir de la familia de los
modelos tipo ''massing'' (Chang, 1992); (Newmark y Rosenblueth, 1976), de la cual la
constitutiva de Ramberg-Osgood (1943), constituye un caso particular. Escrita en el
mismo formato que la constitutiva de Bouc-Wen analizada en la sección precedente,
toma la forma:
( )
( )v
Zcc
ZsignZcZ
h
hhh &&
221
01
−
+= (5.8)
donde 0c y 2c son parámetros que se identifican a partir de ensayos y 1c depende del
punto de reversión de carga sobre la curva virgen envolvente y está dada por la
expresión:
( )
( ) 20
2
00
22
201
1ln1
2 cc
ZcZ
ccZc
cce
ee
e +⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−+ν= (5.9)
donde eZ y ev son la fuerza y el desplazamiento normalizados en el punto de reversión
de la relación constitutiva conservativa sobre la envolvente virgen de carga.
141
Al igual que en el caso de la componente disipativa, resulta claro en la Ecuación (5.8)
que el término que multiplica al parámetro v& no es otro que la pendiente instantánea de
la componente conservativa de la relación constitutiva. Se puede apreciar que para
valores de hZ pequeños y 1c elevado y positivo, la pendiente inicial de la relación
constitutiva es pequeña, creciendo en forma inversamente proporcional a 1c . Por otra
parte en la medida que hZ crece con 2c positivo la pendiente comienza a crecer,
resultando que hZ es un parámetro sin cota superior, a menos que se defina un valor
apropiado del parámetro 1c mediante la Ecuación (5.9). En la Figura 5.3 se aprecia que
la envolvente de la ley fuerza-deformación constituye la cota natural de esta etapa de la
relación constitutiva.
La Figura 5.6 presenta la componente hiperelástica obtenida por integración de la
Ecuación (5.8) para distintos niveles de desplazamientos ev , acotada por una envolvente
para distintas combinaciones de parámetros 0c y 2c .
Figura 5.6 Ley conservativa hiperelástica controlada por una envolvente.
La forma de la relación constitutiva hiperelástica resulta prácticamente insensible a la variación de los coeficientes 0c y 2c .
−25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 25−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
normalized displacement v
norm
aliz
ed fo
rce
Ze −
Zh
envelopec
0 = 0.30; c
2 = 0.55
c0 = 0.60; c
2 = 0.30
c0 = 0.23; c
2 = 0.80
fuer
za n
orm
aliz
ada
Ze -
Zh
desplazamiento normalizado v
envolvente
C0 = 0.30; C2 = 0.55
C0 = 0.60; C2 = 0.30
C0 = 0.23; C2 = 0.80
142
Puede apreciarse que el comportamiento del modelo representado por la Ecuación (5.8)
posee baja sensibilidad a distintas combinaciones de los parámetros 0c y 2c . En la
siguiente sección se presenta la componente envolvente, necesaria para establecer el
rango de definición del parámetro 1c dados un par de parámetros 0c y 2c .
V.4.3 Componente envolvente En esta sección se desarrolla el modelo matemático que representa la componente
envolvente unidimensional de la relación constitutiva propuesta.
Por simplicidad y sin error apreciable (Salomón et al., 2000), suponemos que la
envolvente del comportamiento de la ley fuerza-deformación mostrado en la Figura 5.3
tiene una variación aproximadamente lineal para grandes deformaciones.
A partir de la Ecuación (5.7) podemos escribir que la ecuación de la fuerza envolvente
lineal adimensional está representada por
vpvaZ e += )tanh(0 (5.10) donde 0a es una cota para la constitutiva clásica de Bouc-Wen y p la pendiente pos-
fluencia de la envolvente (Figura 5.6), parámetros que también se pueden identificar a
partir de ensayos.
La tangente instantánea de eZ se puede obtener derivando la anterior respecto del
desplazamiento adimensional v como:
[ ] pvadv
dZ e
+−= )(tanh1 20 (5.11)
Por otra parte de la Ecuación (5.10) se deduce que:
0
)(tanha
pvZv
e −= (5.12)
143
Expresión que reemplazada en la Ecuación (5.11), puesta en función de la velocidad
adimensional v& , teniendo en cuenta los cambios de signo de la velocidad y los ciclos en
que eZ es positivo o negativo, se expresa como:
( ) vpZvsignaZ
aZ gge &&&
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+−=
0
2
0 (5.13)
donde vpZZ e
g −= . A partir de la Ecuación (5.13) resulta evidente que una relación constitutiva de tipo bi-
lineal con transición en la zona de fluencia puede modelarse con la Ecuación (5.13) sin
necesidad de mantener una parte lineal, tal como hacemos en la Ecuación (5.1), sin
embargo en algunos esquemas de integración particionado (Inaudi y de la Llera, 1992)
es necesario mantener una etapa lineal, por pequeña que ésta sea, a efectos de la
estabilidad del proceso de integración.
El manejo de la relación constitutiva propuesta requiere de un intercambio entre la
componente hiperelástica y la envolvente para representar el comportamiento de los
elastómeros. En la Figura 5.7 se han empleado los parámetros 43.00 =a y 12.0=p .
Un lazo de histéresis determinado de la Figura 5.1 se construye a partir de la suma de las
componentes disipativa y conservativa hiperelástica. Por su parte, la transición entre dos
lazos se lleva a cabo mediante la suma de las componentes disipativa y la envolvente.
Debe notarse que cuando se produce esta transición, la componente envolvente también
participa de la disipación de energía.
Una vez presentadas las tres componentes de la relación constitutiva propuesta, se
desarrolla a continuación la metodología para identificar los siete parámetros que
participan en ella. Primeramente identificaremos los cinco parámetros correspondientes
a las componentes conservativa hiperelástica y disipativa, para finalmente identificar los
dos correspondientes a la componente envolvente.
144
V.5 Identificación de parámetros para la constitutiva propuesta
El proceso de identificación se lleva a cabo a partir de algunos puntos característicos de
las curvas fuerza-deformación obtenidas experimentalmente.
El primer paso consiste en definir los parámetros convencionales yF y yq , éstos se
pueden estimar a partir de la primera curva de carga virgen. Alternativamente, se puede
adoptar yq resultando yF la fuerza asociada a este desplazamiento en el lazo que se
está analizando, tal como se indica en la Figura 5.7(a). Con este par de valores y
mediante la Ecuación (5.2) normalizamos los resultados de ensayo a los parámetros W -
v , tal como se indica en la Figura 5.7(b). En esta última figura se indican además, los
puntos característicos 321 y, PPP y sus respectivas pendientes, las que servirán de
apoyo para la identificación de los parámetros de las componentes de la relación
constitutiva propuesta.
Figura 5.7 Puntos característicos para la identificación de parámetros. (a) ley fuerza-deformación para un ciclo de carga de un aislador de goma de alto
amortiguamiento; (b) ley fuerza-deformación normalizada y puntos característicos para la identificación.
Las características de los puntos seleccionados que intervienen en la identificación son
i)- Valor W de la constitutiva en 0=v y su tangente 1Wk . ii)- Valor W de la constitutiva correspondiente al desplazamiento máximo mv y
sus tangentes 2Wk y 3Wk de carga y descarga respectivamente.
0 5 10 15 20 250
10
20
30
40
50
displacements (cm)
forc
es (
ton)
0 5 10 15 20 250
1
2
3
4
5
normalized displacemments (v)
norm
aliz
ed fo
rces
(W
)
kw1
kw2 kw
3
kw4
P1
P2
P3
(a) (b)
fuer
zas
(ton)
desplazamiento normalizado v
fuer
za n
orm
aliz
ada
W
desplazamientos (cm)
145
iii)- Valor ν de la constitutiva en 0=W en la rama de descarga y su tangente 4Wk .
Los ensayos se realizaron aplicando a una pareja de aisladores una serie de cuatro
desplazamientos controlados por una oscilación armónica sinusoidal con frecuencia
constante 10887.0 −= sf para deformaciones transversales %150100,50,25 y=γ .
Para un ensayo particular y para cada serie se identifican los parámetros 0c , 2c , β , τ y
δ . El parámetro A se asume igual a la unidad. Posteriormente se identifican los
parámetros 0a y p .
Recordando la Ecuación (5.3) se tiene que:
( ) ( ) ( )hw ZZvZvW +η−+η=η−+η= 11 (5.14) cuya tangente se expresa como la derivada de la Ecuación (5.14) respecto de v
( )dv
ZZdk
hw
w
+η−+η= )1( (5.15)
Esta última expresión, escrita en función de las componentes de la relación constitutiva
propuesta para un ciclo dado y para la rama creciente (Figura 5.7b) se escribe como:
( ) ( )( ) ⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−
++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ δ+τ+β−η−+η=
221
02 111
h
h
ww
wZcc
ZcnZ
Zk (5.16)
en tanto que para la rama decreciente se escribe como:
( ) ( )( ) ⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−
++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ δ+τ+β−−η−+η=
221
02 111
h
h
ww
wZcc
ZcnZ
Zk (5.17)
A partir de las Ecuaciones (5.16) y (5.17) se determinan a continuación los 5 parámetros
para las componentes de la relación constitutiva que representan el comportamiento
conservativo y disipativo, respectivamente.
146
V.5.1 Parámetros de la componente conservativa hiperelástica En esta sección se presenta la metodología de identificación de los parámetros de la
componente conservativa hiperelástica.
Para identificar los parámetros de esta componente se impone como condición que la
constitutiva de Bouc-Wen modificada resulte acotada a la unidad. Esto significa que
debe verificarse que 1=δ+τ+β cuando 1=wZ . Nótese que en 0=v , 0=hZ , en tanto
que 1=wZ , por lo tanto de la Ecuación (5.16) resulta que:
( )η−
η−=∴η−+η=
11
11
111W
W kc
ck (5.18)
Puede apreciarse que la rigidez lineal normalizada η debe ser más pequeña que 1Wk
para que la Ecuación (5.18) tenga sentido físico.
Por otra parte, para el desplazamiento normalizado máximo ( mv ) se verifica también que
1=wZ , y la etapa hiperelástica alcanza su valor máximo ( wmZ ) por lo que despejando 2c
de la Ecuación (5.16) y reemplazando el valor hallado de 1c , se obtiene
( ) ( )( ) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡η−η−
+−η−
η−=
2
10
122 111
W
Whm
Whm k
kZc
kZc (5.19)
Por otra parte, de la Ecuación (5.14) para mv se tiene que:
11
−η−η−
= mmáxhm
vWZ (5.20)
Además tomando de la Ecuación (5.8) el término que multiplica a v& , que no es otra que
la ecuación de la tangente instantánea e integrándola respecto de v se tiene que:
( )hh
h Zccc
cc
Zc
Zcc
v 020
21
000
2 1ln12
1 +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= (5.21)
Remplazando en ésta última expresión en las Ecuaciones (5.18) y (5.19) se llega a:
147
( )
( )
( ) ( )( ) ( )h
W
Wh
hW
h
W
Wh
Wh
Zckk
ZcZckc
Zck
kZc
kZv
02
1022
010
02
10
1
1ln11111
2111
1
+⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡η−η−
+−−η−
η−
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡η−η−
+−η−
η−=
(5.22)
Ecuación homogénea en 0c . Evaluando de la Ecuación (5.20) el valor máximo h
mZ y
sustituyendo su valor en la Ecuación (5.22) para el desplazamiento normalizado máximo
mvv= se puede obtener 0c como raíz de la Ecuación (5.22). Una vez determinado este
parámetro se lo sustituye en la Ecuación (5.19) y se obtiene 2c .
Finalizada la identificación de los parámetros de la etapa conservativa hiperelástica se
pueden determinar los parámetros de la etapa disipativa de Bouc-Wen modificada.
V.5.2 Parámetros de la etapa disipativa de Bouc-Wen modificada
En esta sección se desarrolla la metodología de identificación para la relación
constitutiva de Bouc-Wen modificada.
Dado que la constitutiva posee tres parámetros es necesario definir tres condiciones
independientes. La primera de ellas fue definida en la sección anterior y tiene como
objetivo acotar su valor máximo a la unidad, esto es:
1=δ+τ+β (5.23) La segunda condición se obtiene de la tangente de descarga en mvv= , puesto que en este punto se verifica que 1=wZ , por lo tanto, de la Ecuación (5.17) se obtiene
( )( )
( ) ( ) 3
2
221
0 111
1 W
Wk
hm
hm k
Zcc
Zc=δ−β+τ−η−+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
+η−+η
44444 344444 21
(5.24)
11
23 −η−
−=δ−τ−β∴ WW kk
(5.25)
148
Finalmente, en el punto 3P en el que la relación constitutiva cruza por cero ( 0vv= ) y teniendo en cuenta la rama de descarga, Ecuación (5.17), se verifica la condición ( ) ( ) 01 000 =+η−+η hw ZZv (5.26) a partir de la Ecuación (5.22), evaluada ahora en 0v se puede obtener hZ 0 como su raíz y
empleando la Ecuación (5.26) obtener wZ 0 . Reemplazando los valores obtenidos en la
Ecuación (5.17), se determina la última condición para hallar los parámetros de la
constitutiva de Bouc-Wen modificada, la que se expresa como:
( ) ( ) ( )( ) η−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛η−
−
+η−−−=δ+τ+β
111
112
021
0040
20 h
h
Www
Zcc
ZckZZ (5.27)
De esta forma las Ecuaciones (5.23), (5.25) y (5.27) constituyen el sistema de
ecuaciones independientes que permiten identificar los parámetros δτβ y, de la
componente disipativa de Bouc-Wen modificada. Notar que la suma de las Ecuaciones
(5.23) y (5.25) permite obtener el parámetro β en forma inmediata.
Solo resta hallar los parámetros de la etapa envolvente, metodología que se desarrolla a
continuación.
V.5.3 Parámetros de la componente envolvente En esta sección se presenta la metodología de identificación de los parámetros de la
componente envolvente.
Esta etapa puede definirse tanto a partir del comportamiento global de la relación
constitutiva como de la etapa conservativa hiperelástica (curva esqueleto). Se opta por
esta última forma por razones de simplicidad en la implementación computacional.
Por otra parte, a partir de esta opción se evidencia que la etapa envolvente está definida
por todos los puntos de reversión de la etapa hiperelástica. Por lo tanto, obteniendo el
promedio de la rama inferior y superior para un ciclo de histéresis completo y para todas
las series del ensayo considerado (Figura 5.1), se obtiene la gráfica mostrada en la
149
Figura 5.6. Tomando dos puntos cualesquiera de reversión de la relación constitutiva
conservativa ubicados sobre la porción recta de la etapa envolvente se obtienen los
parámetros 0a y p aplicando las ecuaciones:
22012
12 ; vpZavvZZ
p mmm
−=−−
= (5.28)
Expresiones con las que queda completamente definida la relación constitutiva para un
ensayo en particular.
A continuación se presentan los resultados del procedimiento de identificación de
parámetros con datos experimentales.
V.6. Identificación de parámetros con datos experimentales Los ensayos sobre elastómeros se realizaron en el Laboratorio de Control de Vibraciones
del Departamento de Ingeniería Estructural y Geotécnica de la Pontificia Universidad
Católica de Chile.
Estos ensayos se realizaron para deformaciones transversales %150100,50,25 y=γ y
sobre una serie de 36 parejas de aisladores a emplearse en la construcción del Hospital
San Carlos de Apoquindo de la Pontificia Universidad Católica de Chile (de la Llera et
al., 2004). De los ensayos realizados, 14 parejas corresponden a compuesto H5
( 2/5 cmkgG= ) y las 22 restantes a compuesto H8 ( 2/8 cmkgG= ). En la Tabla V.2 se
presentan 3 ejemplos de identificación para cada compuesto.
A partir de las ecuaciones anteriores se procedió a la identificación de los parámetros de
todos los aisladores ensayados. En los ejemplos presentados en la Tabla V.2 se observa
que para cada una de las etapas de la relación constitutiva se obtienen diferencias
apreciables entre los parámetros para ensayos del mismo compuesto. A continuación, se
analiza detenidamente el origen de estas diferencias.
150
Tabla V.2 Identificación de parámetros de la goma. Compuestos 5H y 8H
disipativa conservativa envolventeEnsayo D Comp. Serie 2Fy
β τ δ c0 c1 c2 v W Zh
a0 p Fy
ref
1 6.90 5.08 -6.25 2.17 -1.09 3.10 3.74 4.05 1.71 0.91 2 8.14 9.33 -10.58 2.26 -0.25 4.47 0.85 8.10 2.60 1.79 3 9.90 4.49 -4.66 1.18 -0.08 7.88 0.87 16.17 3.42 2.39
CM_04 60 H5
4 10.83 2.86 -3.62 1.76 0.24 11.77 0.58 24.27 4.35 3.31
0.56 0.11 10.17
1 - - - - - - - - 1.78 - 2 6.57 20.87 -22.10 2.23 -0.27 4.42 0.77 8.09 2.50 1.69 3 8.20 2.58 -2.73 1.15 0.09 7.64 0.30 16.18 3.48 2.55
CM_09 60 H5
4 9.45 8.22 -8.90 1.67 0.58 13.46 0.31 24.26 4.63 3.59
0.47 0.13 9.45
1 - - - - - - - - 1.79 - 2 7.67 24.95 -26.12 2.17 -0.18 4.54 0.69 8.10 2.62 1.81 3 9.08 2.74 -2.92 1.18 0.01 7.32 0.55 16.18 3.80 2.77
CM_12 60 H5
4 9.71 12.49 -12.97 1.48 0.27 10.35 0.31 24.27 5.02 3.97
0.36 0.15 10.52
1 - - - - - - - - 2.10 - 2 8.22 17.08 -18.71 2.64 -0.24 2.59 0.24 8.14 3.38 2.76 3 9.49 9.86 -11.22 2.36 -0.14 3.80 0.16 16.17 4.84 4.01
CM_20 60 H8
4 9.21 4.74 -4.83 1.10 -0.07 4.27 0.09 24.25 7.06 6.02
-0.01 0.25 9.15
1 7.42 8.04 -9.71 2.67 -0.64 2.07 0.92 4.04 2.06 1.45 2 7.77 5.88 -7.45 2.56 -0.23 2.47 0.20 8.08 3.44 2.83 3 8.24 9.15 -9.29 1.14 -0.12 3.39 0.11 16.15 5.36 4.53
CM_34 60 H8
4 8.67 4.49 -4.59 1.10 -0.07 4.27 0.09 24.23 7.11 6.06
1.46 0.19 8.67
1 - - - - - - - - 2.09 - 2 12.21 6.92 -8.65 2.74 -0.26 2.32 0.21 8.08 3.48 2.87 3 13.41 3.33 -4.98 2.65 -0.16 2.95 0.10 16.16 5.22 4.80
CM_46 70 H8
4 12.72 1.11 -1.23 1.12 -0.11 3.22 0.07 22.84 7.54 6.50
0.69 0.25 13.50
Para la componente conservativa se aprecia que los parámetros β y δ son positivos y
por el contrario, τ es negativo. De acuerdo a la premisa de identificación adoptada, la
suma de estos tres parámetros es siempre igual a la unidad, valor asumido como límite
para la componente disipativa. Estos tres parámetros en conjunto definen principalmente
la pendiente de descarga dk de la etapa disipativa. Para una excursión positiva la
pendiente de descarga resulta: δτβ −−+=1dk . Como puede apreciarse de los ensayos
(Figura 5.1), esta pendiente resulta muy elevada para el compuesto H5 y algo menor
para el H8.
La variabilidad que se observa en los resultados de la identificación (Tabla V.2) se
encuentra asociada a altas frecuencias presentes en los datos de los ensayos y que
resultan de variaciones en el control del equipo de ensayo durante la aplicación de la
historia de deformaciones. Para suavizar las curvas carga-deformación obtenidas, se
151
empleó en la identificación un filtro pasa bajo tipo “butherworth” (Oppenheim y
Willsky, 1983).
El parámetro δ permite, tal como se indicó en la sección V.3.1, controlar el nivel de
disipación de la etapa de Bouc-Wen. Por otra parte en la Tabla V.2 se aprecia que la
fuerza de fluencia yF crece con el nivel de desplazamiento máximo empleado en el
ensayo de cada lazo, sin embargo se verifica que si se emplea el valor de yF
determinado para %150=γ y se asume que δ varía de acuerdo a la expresión:
1v
vmrδ=δ (5.29)
donde rδ y mv son valores correspondientes a la deformación de diseño %150=γ y 1v
el desplazamiento máximo del lazo de histéresis actual, se obtiene un excelente ajuste
para todos los lazos de histéresis obtenidos del ensayo de una pareja de aisladores, tal
como se verá mas adelante.
A partir del análisis de los resultados obtenidos en los ensayos para las 36 parejas de
aisladores, se adoptaron como parámetros para la etapa disipativa:
(i) compuesto 5H :
)15.1,15.15,15,1 aA r =δ−=τ=β= (5.30)
(ii) Compuesto 8H : )1.1,1.5,5,1 bA r =δ−=τ=β= Para la componente conservativa hiperelástica los parámetros 210 y, ccc , definen las
pendientes y valores máximos de hZ . Sin embargo solo es necesario definir 0c y 2c
correspondientes, para ser consistente con la determinación anterior, a %150=γ . El
parámetro 1c es dependiente y se determina para cada etapa de reversión de carga sobre
la curva virgen de acuerdo a la Ecuación (5.9), según se estableció en la sección V.3.2.
152
Como se observa en la Tabla V.2, también en estos parámetros se observa gran
variabilidad como consecuencia de las altas frecuencias presentes en los resultados de
ensayo.
Para el compuesto 5H ambos parámetros, 0c y 2c son positivos, en tanto que para el
8H resulta 0c negativo y 2c positivo. Para esta componente conservativa, el
comportamiento de la constitutiva resulta poco sensible a la variación de estos
parámetros según se estableció en la sección V.3.2. Observando el valor medio de hmZ
para %150=γ es posible definir el par de parámetros 0c y 2c para cada compuesto.
Luego de analizar los 14 ensayos realizados para el compuesto 5H y los 22 para el 8H ,
se adoptaron los siguientes parámetros:
i)- Compuesto 5H :
)300.0;500.0 20 acc == (5.31)
ii)- Compuesto 8H :
)070.0;065.0 20 bcc =−= Finalmente, la componente envolvente define la curva virgen. Sus parámetros 0a y p
acotan el valor máximo hmZ que puede alcanzar la componente conservativa. Si se
adoptan parámetros representativos de los valores medios observados para esta etapa es
necesario redefinir la fuerza de fluencia yrefF para cada par de aisladores a efectos de
obtener con el modelo la misma fuerza restitutiva máxima en cada ciclo de cada ensayo.
Estos valores de referencia se consignan en la Tabla V.2. Los valores medios del par de
parámetros 0a y p adoptados para cada compuesto son:
i)- Compuesto 5H :
)125.0;5.00 apa == (5.32)
ii)- Compuesto 8H :
153
−25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 25−60
−40
−20
0
20
40
60
displacement (cm)
forc
es (
ton)
proposed modeltest
−25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 25−80
−60
−40
−20
0
20
40
60
80
displacement (cm)
forc
es (
ton)
proposed modeltest
)23.0;85.00 bpa ==
A partir de estos parámetros medios se obtienen los ajustes mostrados en la Figura 5.8
para los compuestos 5H y 8H respectivamente. Allí, se puede apreciar un excelente
ajuste entre el ensayo y el modelo constitutivo propuesto.
a) Compuesto 5H b) Compuesto 8H Figura 5.8 Ajuste entre constitutivas: ensayo - propuesta. Compuestos 5H y 8H .
Con el objeto de comprobar el comportamiento del modelo de constitutiva ante la acción
de un sismo real se sometió a una pareja de aisladores 5H a la historia de
desplazamientos del terreno del registro de Melipilla (Chile, 1985).
En las Figuras 5.9 y 5.10 se representa la ley fuerza-desplazamiento y la historia de las
fuerzas restitutivas en el tiempo, respectivamente. Nuevamente puede apreciarse que se
obtiene muy buen ajuste entre los resultados del ensayo y la integración de la relación
constitutiva propuesta a partir de los registros de velocidad y desplazamientos del
terreno.
Dado que la etapa disipativa del modelo propuesto se encuentra basada en la constitutiva
de Bouc-Wen (sección V.3.1), se presenta en la siguiente sección su extensión al caso
bidimensional (Park et al., 1986)
desplazamientos (cm) desplazamientos (cm)
fuer
zas
(cm
)
fuer
zas
(cm
)
modelo propuesto
ensayo
modelo propuesto
ensayo
154
−15 −10 −5 0 5 10 15−20
−10
0
10
20
displacement (cm)
forc
e (t
on)
proposed modeltest
Figura 5.9 Modelo analítico y ensayo. Comparación para un sismo real (F-x). La relación constitutiva propuesta representa adecuadamente la ley constitutiva fuerza-
desplazamiento registrada en los aisladores ensayados. Registro de Melipilla (Chile, 1985))
Figura 5.10 Comparación entre modelo propuesto y ensayo para un registro real (F-t). La relación constitutiva propuesta representa adecuadamente la historia de fuerzas en el
tiempo registrada en los aisladores ensayados. Registro de Melipilla (Chile, 1985). Es importante destacar que la relación constitutiva de Bouc-Wen posee cierta deriva
respecto a la solución exacta durante ciclos de descarga de pequeña magnitud, violando
el postulado de Druker (Chang, 1992; Newmark y Rosenblueth, 1976). Este fenómeno
se fundamenta en que la rigidez para el ciclo de recarga es menor que para el ciclo de
descarga.
desplazamientos (cm)
fuer
zas
(cm
)
modelo propuesto
ensayo
−15 −10 −5 0 5 10 15 −15 −10−20
−10
0
10
20
time (sec)
forc
e (t
on)
proposed modeltest
tiempo (seg)
fuer
zas
(cm
)
modelo propuesto
ensayo
0 5 10 15 20 25 30 35 40
155
Este efecto aumenta en la medida que τ es negativo y simultáneamente se verifica que
1=τ+β .
Tabla V.3 Registros para la determinación del efecto de deriva para la relación constitutiva de Bouc-Wen.
Grupo Registro Dirección MAS (g) MVS (cm/s) MDS (cm)
Suelo II Melipilla NS -0.687 34.289 13.300
Suelo II Llo Lleo N10E -0.713 -40.295 -10.786
Suelo III Viña del Mar S20W 0.363 30.742 -5.534
Suelo III Arleta N00E 0.344 40.360 8.880
Suelo II Corralitos N00E 0.630 -55.200 12.030
Suelo I El Centro N00E -0.348 -33.450 -12.360
Suelo II Kobe N00E 0.822 81.300 -17.690
Suelo II Sylmar N00E 0.843 -128.880 -30.670
Suelo I: Vs>900m/s
Suelo II: 400 m/s< Vs <900 m/s Suelo III: Vs < 400 m/s
Sin embargo, dado que estos ciclos de descarga incompletos se presentan tanto para
desplazamientos positivos como negativos la deriva no afecta sensiblemente el valor del
desplazamiento máximo. Para enfatizar este punto se presenta la Figura 5.11 en la que se
ha evaluado la función de error debido a la deriva de pequeños ciclos para 8 registros
(Tabla V.3). Esta función se ha obtenido tomando como referencia un modelo bilineal.
El factor de error se calcula como:
100inf),(
inf),(inf),(×
−=
b
bwe xnorm
xnormxnormf (5.33)
donde wx es la respuesta obtenida con el modelo de Bouc-Wen clásico, bx la obtenida
con el modelo bilineal y inf)((.),norm es la norma infinito de la respuesta considerada.
La representación se realiza respecto a la rigidez adimensional instantánea de descarga
dk del modelo de Bouc-Wen obtenida como τ−β+= 1dk . Tal como se observa, en
todos los casos ef resulta prácticamente insensible respecto de la variación de dk .
156
Figura 5.11 Estimación del error por deriva de la constitutiva de Bouc-Wen. El error resulta despreciable frente a un modelo bilineal.
V.7 Extensión al campo bidimensional Se presenta en esta sección la extensión de la relación constitutiva propuesta al caso
bidimensional.
Los aisladores elastoméricos poseen en general planta circular lo que facilita la
comprensión del problema de la interacción biaxial. En caso de no poseer planta circular
el problema tiene igualmente solución si se lo plantea en campo normalizado (Park et
al., 1986). Para este caso particular los parámetros adimensionales xZ y yZ están dados
por la expresión:
y
dy
dyyy
dx
dxx F
FZ
FF
Z == ; (5.34)
donde dxF , dyF son las fuerzas disipativas actuales para un nivel de deformación dado en
las direcciones x e y , respectivamente y ydxF , y
dyF las correspondientes fuerzas de
fluencia reales o convencionales para la etapa disipativa solamente.
Considerando plasticidad asociada (Zienkiewicz, 1977) la relación entre el vector de
corte normalizado Z y el vector de desplazamiento elastoplástico normalizado v , está
dado por:
0 5 10 15 20 25 30−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
normalized stiffnes
erro
r fu
nctio
n (%
)
El CentroCorralitosKobeArletaSylmarLlolleoViña del MarMelipilla
rigidez normalizada
funci
ón d
e er
ror
(%)
157
vdd ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∇∇∇∇
−=φφ
φφΤ
Τ
kk
IkZ (5.35)
Expresión en la que k es la matriz de rigidez elástica inicial y φ la superficie de
fluencia asociada. Resulta claro que en el dominio normalizado la interacción es circular
y la matriz de rigidez k resulta ser simplemente la matriz identidad, por lo que
dividiendo la Ecuación (5.35) por un diferencial de tiempo dt se obtiene:
v&&⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∇∇∇∇
−=φφ
φφΤ
Τ
IZ (5.36)
A partir de esta ecuación general, proponemos a continuación la extensión al campo
bidimensional para cada una de las componentes integrantes del modelo constitutivo de
la relación fuerza-desplazamiento bidimensional.
V.7.1 Componente disipativa Se propone en esta sección la extensión de la etapa disipativa de Bouc-Wen modificada
al campo bidimensional.
Park et al. (1986) proponen extender esta relación constitutiva al campo bidimensional
en forma analítica, la que puede escribirse para la constitutiva modificada propuesta
como:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ δ+τ+β
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ δ+τ+β
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ δ+τ+β
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ δ+τ+β
−=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
x
x
rwyy
wy
rwxx
wy
wx
rwyy
wx
wy
rwxx
wx
wy
wx
vv
ZvsignZZvsignZZ
ZvsignZZZvsignZ
ZZ
&
&
&&
&&
&
&
ZZ
ZZI
2
2
(5.37)
158
donde I es matriz identidad de orden 22× , Z es la norma cuadrática de Z , sign es la
función signo y los parámetros β , τ y rδ son los mismos valores identificados para el
caso unidimensional.
V.7.2 Etapa envolvente
Se propone en esta sección la extensión de la etapa envolvente al campo bidimensional.
Esta componente de la constitutiva también participa de la disipación y, por lo tanto,
debe contemplar el efecto de interacción. Observando que esta componente también
proviene de la formulación de Bouc-Wen, puede escribirse en términos similares a la
anterior como:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++
++−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
y
x
ygygy
xgxgxgy
ygygygx
xgxgx
ey
ex
vv
pvZsigna
ZpvZsign
aZZ
pvZsigna
ZZpvZsign
aZ
aZZ
&
&
&&
&&
&
&
0
2
0
00
2
0 I (5.38)
donde x
exgx vpZZ −= y y
eygy vpZZ −= ; y 0a y p son los mismos parámetros
identificados para el caso unidimensional.
V.7.3 Componente conservativa Se presenta en esta sección la extensión al campo bidimensional de la componente
conservativa.
Esta componente no posee efecto de interacción bidimensional debido a su naturaleza
conservativa, por lo tanto, su ecuación en el campo bidimensional esta dada por la
expresión:
159
( )( )
( )( )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
+−
+
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
y
x
hy
hy
hy
hx
hx
hx
hy
hx
vv
Zcc
ZsignZcZcc
ZsignZc
ZZ
&
&
221
0
221
0
10
01
(5.39)
donde el comportamiento según la dirección x resulta independiente del
comportamiento en la dirección y .
Figura 5.12 Respuesta bidimensional del modelo constitutivo propuesto. Leyes fuerza-deformación para los compuestos a) H5 y b) H8
−30 −20 −10 0 10 20 30−60
−45
−30
−15
0
15
30
45
60
x−displacement (cm)
x−fo
rce
(ton
)
−30 −20 −10 0 10 20 30−60
−45
−30
−15
0
15
30
45
60
y−displacement (cm)
y−fo
rce
(ton
)
−30 −20 −10 0 10 20 30−40
−20
0
20
40
x−displacement (cm)
x−fo
rce
(ton
)
−30 −20 −10 0 10 20 30−40
−20
0
20
40
y−displacement (cm)
y−fo
rce
(ton
)
a)
b)
desplazamiento x (cm) desplazamiento y (cm)
fuer
za x
(to
n)
fuer
za y
(to
n)
desplazamiento x (cm) desplazamiento y (cm)
fuer
za x
(to
n)
fuer
za y
(to
n)
160
Figura 5.13 Trayectoria de desplazamientos prescritos.
Desplazamientos empleados para la obtención las relaciones constitutivas fuerza deformación presentadas en la Figura 5.12.
Debe observarse que durante el proceso de integración existe un intercambio entre la
etapa envolvente y la conservativa, en la que una genera disipación y la otra no. En el
Anexo J se presenta el algoritmo de integración empleado para el manejo de la relación
constitutiva propuesta. En la Figura 5.12 se presenta el comportamiento del modelo para
las direcciones x e y sometido a la historia de desplazamientos presentada en la Figura
5.13.
V.7.4 Disipadores actuando en paralelo En la mayoría de los sistemas de aislamiento con apoyos elastoméricos se emplean
disipadores actuando en paralelo. Éstos pueden ser de varios tipos, tales como viscosos,
friccionales o histeréticos. Estos dispositivos pueden tenerse en cuenta en forma
simplemente aditiva, empleando para ello por ejemplo, la constitutiva clásica de Bouc-
Wen, ó la presentada en la sección V.6.2, teniendo en cuenta para el caso bidimensional,
la extensión propuesta por Park et al. (1986) ó cualquier otra ley constitutiva que
represente adecuadamente el comportamiento del disipador que se disponga, tanto para
el campo unidimensional como bidimensional.
−30 −20 −10 0 10 20 30−30
−20
−10
0
10
20
30
x−displacement (cm)
y−di
spla
cem
ent (
cm)
desplazamiento x (cm)
des
pla
zam
iento
y (
cm)
161
En la sección siguiente se presentan los resultados obtenidos mediante el empleo de la
relación constitutiva propuesta para la modelación de sistemas de aislamiento sometidos
a excitación sísmica uni y bidireccional.
V.8 Ejemplo de aplicación En esta sección se presentan los resultados obtenidos de aplicar la relación constitutiva
propuesta para la determinación de la respuesta de una estructura sometida a una
excitación sísmica. Se ha seleccionado para ello una estructura asimétrica de marcos de
hormigón armado de 6 pisos (Figura 5.14).
La distribución de columnas es simétrica, lográndose su excentricidad mediante la
disposición de arriostres diagonales de acero que trabajan en tracción y compresión en
distintos planos. En todos los niveles se ha considerado un peso sísmico de 21 m/t . La
superestructura, que posee una frecuencia fundamental desacoplada π=Ω 4)(0
s y
amortiguamiento constante 05.0)( =ζ s en todos los modos, se encuentra montada sobre
un sistema de aislamiento no-lineal cuyo esquema en planta es el mostrado en la Figura
5.14.
Los aisladores se encuentran tipificados por sus fuerzas, desplazamientos de fluencia
asociados a sus dimensiones y por tipo de compuesto.
Para el sistema de aislamiento se han considerado 11 aisladores, 8 de los cuales
corresponden al compuesto 5H y tres al compuesto 8H , uno de los cuales posee núcleo
de plomo.
Los datos de cada apoyo se consignan en la Tabla V.4. Esta estructura se sometió a la
componente N00E del registro de Sylmar (Northridge, EEUU - 1994) escalada a 0.4 g
de aceleración máxima.
162
Figura 5.14 Estructura aislada excéntrica de 6 pisos considerada. La elevación representa esquemáticamente el sistema de riostras de los ejes 2, 3 y b, en
tanto que los ejes 1,4, a y c no poseen riostras.
En la Figura 5.15 se representan la historia de desplazamientos obtenida en el CM del
sistema de aislamiento, en tanto que en la Figura 5.16 se presenta la relación fuerza-
deformación obtenida en el aislador 1 (compuesto 5H ) y en el aislador 3
(compuesto 8H ).
c
1
2
3
4
a b
braces
6@30
00
3@50
00
2@5000
braced
unbraced
50x50 50x50
50x5050x50
70x30
70x30
70x30
70x30
30x70
30x70 30x70
30x70
30x70 30x70
30x50
30x50
30x50
30x50
30x50
30x5030x50
30x50
30x50
30x50
30x50
30x50
2@5000
3@50
00
ba
4
3
2
1
c
compuestoH5
H8compuesto
compuestoH8 núcleo de plomo
Superstructure
Isolation Plan
Superestructura
Planta de aislamiento
riostra
no arriostrado
arriostrado
163
Figura 5.15 Respuesta despl.-t de los aisladores. Registro Sylmar, caso unidimensional.
(Sylmar N00E, Northridge EEUU 1994).
Figura 5.16 Respuestas F-x de los aisladores. Registro Sylmar para acción unidireccional.
N00E, Northridge, EEUU 1994.
Figura 5.17 Historia de desplazamientos para excitación bidireccional. Registro Sylmar, componentes N00E y N90E, Northridge, EEUU-1994.
0 5 10 15 20−30
−20
−10
0
10
20
30
time (sec)
disp
lace
men
t (cm
)
tiempo (seg)
des
pla
zam
iento
(cm
)
−30 −20 −10 0 10 20 30−60
−40
−20
0
20
40
60
displacement (cm)
forc
es (
ton)
H5 compoundH8 compound
desplazamiento (cm)
fuer
zas
(ton)
Compuesto H5
Compuesto H8
0 5 10 15 20−30
−20
−10
0
10
20
30
time (sec)
disp
lace
men
t (cm
)
x−historyy−history
tiempo (seg)
des
pla
zam
iento
(cm
)
historia s/x historia s/y
164
Finalmente, la misma estructura se sometió a la excitación simultánea de las
componentes N00E y N90E del registro de Sylmar en la direcciones x e y ,
respectivamente, escaladas a 0.4 g de aceleración máxima en la dirección x , y en forma
proporcional en la dirección y .
La Figura 5.17 representa la historia de deformaciones obtenidas para ambas
direcciones, en tanto que en las Figuras 5.18 a) y b) se presentan las relaciones fuerza-
deformación obtenidas para los mismos aisladores que en el ejemplo anterior.
En la Tabla V.4 se presentan las frecuencias traslacionales, rotacionales y
amortiguamientos del sistema lineal equivalente, se presentan además, las razones de
flexibilidad torsional para los dos casos analizados.
Figura 5.18 Historias Fx-x, Fy-y. Aisladores 1 y 3, excitación bidireccional. Registro Sylmar, componentes N00E y N90E, Northridge, EEUU-1994.
Tabla V.4 Frecuencias y amortiguamientos. Modelo lineal equivalente
Parámetro Unidimensional Bidimensional
ωtx 2.680 2.64
ωty - 2.68
ωr 3.570 2.84
Ωb 1.330 1.08
ξx 0.170 0.15
ξy - 0.17
ξr 0.200 0.18
−30 −20 −10 0 10 20 30−15
−10
−5
0
5
10
15
displacement (cm)
forc
es (
ton)
x−H5 compoundy−H5 compound
−30 −20 −10 0 10 20 30−50
−30
−10
10
30
50x−H8 compoundy−H8 compound
desplazamiento (cm) desplazamiento (cm)
fuer
zas
(ton)
Compuesto H5 s/x
Compuesto H5 s/y
Compuesto H8 s/x
Compuesto H8 s/y
165
V.9 Conclusiones
En esta parte del trabajo de investigación de ha propuesto una relación constitutiva
fuerza-deformación para aisladores elastoméricos en general llegándose a las siguientes
conclusiones:
1- Se ha demostrado que esta relación constitutiva fuerza-deformación es capaz de
modelar en forma eficiente el comportamiento observado en ensayos
unidimensionales reales.
2- Por otra parte se propone una metodología de identificación de sus parámetros en
función de características físicas susceptibles de ser medidas mediante ensayos.
3- El modelo propuesto no se limita a la modelación de elastómeros puesto que
otros dispositivos de disipación de energía que experimentan marcados
incrementos de rigidez para deformaciones moderadas tales como los ADAS,
también pueden modelarse eficientemente mediante la relación constitutiva
propuesta.
4- La metodología de análisis presentada, permite desarrollar una gran cantidad de
leyes constitutivas, pues a partir de la definición de una función carga-
deformación que se adapte al material o dispositivo cuyo comportamiento
adimensional se modela, solo es necesario obtener la expresión de la evolución
de la rigidez en el tiempo, derivándola respecto del desplazamiento a fin de
ponerla en un formato dependiente de la velocidad. Esta ecuación de primer
orden puede integrase mediante esquemas particionados en espacio de estado ó
mediante espacio de estado ampliado.
166
5- Por otra parte, la metodología aditiva seleccionada para la descripción del
comportamiento fuerza-deformación permite la fácil incorporación de
disipadores actuando en paralelo.
6- Finalmente, para tener en cuenta la interacción no-lineal en dos direcciones entre
fuerzas y desplazamientos se propone la extensión del modelo constitutivo
desarrollado al campo bidimensional. Los resultados obtenidos del modelo
deberán ser corroborados mediante ensayos.
VI. TORSIÓN EN RANGO NO-LINEAL
167
VI TORSION EN RANGO NO LINEAL
VI.1 Resumen En los Capítulos III y IV se han mostrado importantes avances en el control del
comportamiento torsional de estructuras con aislamiento lineal. Los parámetros de
control son la flexibilidad torsional )b(0Ω y la excentricidad del aislamiento )b(e . Sin
embargo, la mayoría de los sistemas de aislamiento usados en la práctica funcionan en el
rango no-lineal de los materiales. Por lo tanto, resulta de importancia crucial determinar
en qué medida los criterios para aislamiento lineal son válidos para este caso. Dado el
carácter paramétrico del estudio se define un sistema lineal equivalente de comparación.
Se investiga además la influencia del número de aisladores en la respuesta del sistema de
aislamiento. En base a los resultados obtenidos para 11 registros de terremotos históricos
se demuestra que el comportamiento del sistema de aislamiento en campo no-lineal es
muy similar a lo observado en rango lineal. Esto, permite extender la metodología de
diseño desarrollada en el capítulo IV a sistemas de aislamiento no-lineales. Se observa
que el mejor control de la respuesta rotacional de superestructuras asimétricas aisladas,
se obtiene con aislamientos torsionalmente flexibles con excentricidad en la misma
dirección que la superestructura y del mismo orden. Finalmente se verifica la
metodología desarrollada con dos ejemplos.
VI.2 Introducción En el Capítulo IV se ha presentado la solución al problema del control de la respuesta
torsional de la superestructura en rango lineal, donde es posible establecer las
características que debe tener el aislamiento para optimizar la respuesta torsional de la
superestructura, minimizando su rotación y balanceando la respuesta de sus bordes. Los
parámetros del aislamiento lineal que permiten alcanzar este control son su excentricidad
y flexibilidad torsional.
168
Sin embargo, los sistemas de aislamiento actualmente más usados (p.e. LRB, RB, FPS)
funcionan en rango definidamente no-lineal. Por lo tanto, es muy importante investigar
si es posible obtener el control óptimo en este rango y, en ese caso, establecer cuáles son
los parámetros del aislamiento que permiten alcanzarlo.
En algunos sistemas de aislamiento es posible introducir excentricidad, en tanto que en
otros no. Entre los primeros se encuentran todos aquellos dispositivos que poseen
restitución independiente de la distribución de carga vertical, tales como los dispositivos
elastoméricos o los que emplean resortes (Kelly, 1997, Nawrotzky, 2000). Entre los
segundos, el ejemplo mas destacado es el péndulo friccional (FPS) (Zayas et. al., 1987).
Este trabajo se enfoca a los dispositivos de aislamiento elastoméricos, pero sus
resultados pueden extenderse a otros dispositivos.
Se ha empleado en este caso la constitutiva desarrollada en el Capítulo V que representa
adecuadamente el comportamiento de aisladores de goma de alto amortiguamiento y de
goma natural con corazón de plomo (Seguin y de la Llera, 2003; Capítulo V).
Calibramos la misma con ensayos de aisladores a escala natural realizados en el
Laboratorio de Control de Vibraciones del Departamento de Ingeniería Estructural y
Geotécnica de la Pontificia Universidad Católica de Chile.
Por otra parte, con el objetivo de comparar los resultados obtenidos en el rango lineal
con el no-lineal se ha definido un sistema de aislamiento lineal equivalente mediante
técnicas probabilísticas. Esto permite definir la frecuencia traslacional, la excentricidad,
el amortiguamiento y la flexibilidad torsional, parámetros que resultan fundamentales,
para el control del comportamiento rotacional de la superestructura en campo lineal.
Debido a que la flexibilidad torsional y la excentricidad del aislamiento pueden
obtenerse con un número variable de aisladores no-lineales, se investiga la influencia de
su número en la respuesta del aislamiento.
Por otra parte, a diferencia de otros trabajos (Nakamura et. al., 1988) y a efectos de
evaluar tendencias generales de comportamiento en el rango no-lineal, se obtuvo el
promedio de la respuesta máxima acoplada de la estructura y del aislamiento resultante
de la aplicación de 11 registros de terremotos históricos, para distintas razones de
169
flexibilidad torsional y excentricidades, tanto en el aislamiento como en la
superestructura.
Finalmente, se obtienen criterios de optimización de la respuesta acoplada de la
superestructura que se aplica a dos estructuras, una de un piso y otra de múltiples pisos.
En ambos casos, se evalúa en qué grado se ve afectado el desempeño del aislamiento.
VI.3 Sistema considerado y ecuaciones de movimiento El sistema estructural aislado considerado se muestra en la Figura 6.1, dónde el piso
superior, que se considera en rango lineal en todos los casos analizados, representa a la
estructura y el inferior al aislamiento, a2 y c2 son el ancho y la profundidad de la planta
respectivamente. Se asume que los centros de masas (CM) se encuentran ubicados sobre
una misma vertical y que cada piso tiene un centro de rigidez (CR) que puede variarse
en forma independiente. Bajo estas condiciones y empleando coordenadas relativas, la
ecuación de movimiento puede escribirse de la siguiente manera (Nagarajaiah et. al.,
1993), donde los supra-índices (s) y (b) se refieren a la superestructura y la base
respectivamente;
gurm
rmf0
qu
k00k
qu
c00c
qu
mmrrmm
&&&
&
&&
&&(b)
(t)
(s)(s)
(b)nl
(b)
(s)
(b)
(s)
(t)(s)(s)T
(s)(s)(s)
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
η+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
(6.1)
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
++−
−
=2222
)()( 100
(j)y
(j)(j)x
(j)(j)x
(j)y
(j)
(s)x
(j)y
(j)(j)
jy
j
eαeκeeα
eeαα
kk (6.2)
donde [ ]Tyx uuu θ=u es el vector de grados de libertad (GDL) de la superestructura
respecto al sistema de aislamiento, [ ]Tyx qqq θ=q del aislamiento respecto del suelo,
con )( su θρ=θ y )( bq θρ=θ , siendo 12/)(2 22 ca +=ρ el radio de giro de la masa,
170
)()()()()( bssTst mrmrm += es la matriz de masa total; con Im )( s(s) m= y Im )( b(b) m= , en la
que I la matriz identidad de orden 3; )( sm y )( bm son la masa traslacional de la
superestructura y del aislamiento respectivamente, )( bnlf es el vector de fuerzas no
lineales en el aislamiento, que se describe en la siguiente sección, Irr == (b)(s) son las
matrices de colocación de la excitación gu&& , η es la relación entre la rigidez lineal post
fluencia y la inicial del aislador )( jα es la razón entre la rigidez según x e y ; )(,jyxe es la
excentricidades según x e y respectivamente, )( jκ el radio de giro de la rigidez
evaluado respecto del centro de rigidez para bsj ,= .
Figura 6.1 Esquema del modelo empleado
aa
structural element
structure plan
xi
kxj
θs
yj
cms
u
y
crs
kyi
x
q
cc
isolation plan
xbl
yi
θb
q
cmb
xbr
crb
xi
y
isolator
kbi
zb
zsx
u
planta aislamiento aislador
elemento estructural
planta estructura
171
En base a estos radios de giro se definen los siguientes parámetros (Annigieri et. al.,
1996; Capítulo III)
ρ
κ=ω
ω=Ω
ρκ=
ω
ω=Ω θθ
)(
)(
)()(
0
)(
)(
)()(
0 ;b
b
bb
s
s
ss (6.3)
donde )( sω , )( bω son las frecuencias traslacionales, )( sθω y )( b
θω las rotacionales del
sistema nominalmente simétrico de la superestructura y de la parte lineal del
aislamiento, respectivamente.
Las matrices de amortiguamiento para la estructura y para la parte lineal del aislamiento
se construyen con los mismos criterios empleados en el Capítulo III, esto es
( ) )()()()()()( ~ sTsssTss mΦcΦmc = (6.4)
( ) )()()()()()( ~ tTbbbTtb mΦcΦmc =
donde )( jΦ para bsj ,= son los modos de los sistemas )()( , ss mk y )()( , tb mk ;
[ ])()()()( ~2~ si
si
si
s mωζ=c )3:1( Ni= , con N número de pisos; [ ])()()()( ~2~ bj
bj
bj
b mωζ=c
)3:1( =j , son las matrices de amortiguamientos modales; Tssss )()()()( ΦmΦm =( y
Tbtbb )()()()( ΦmΦm =( son las correspondientes masas modales; )()( , jj ωζ para bsj ,= las
cantidades de amortiguamiento y frecuencias acopladas de la superestructura con base
fija y el de la base considerando a la superestructura actuando como cuerpo rígido.
Las formas modales, los amortiguamientos y las frecuencias acopladas corresponden en
este caso a la superestructura y a la parte lineal del aislamiento.
En los sistemas de aislamiento elastomérico cabe la posibilidad de considerar que el
amortiguamiento es proporcional a la rigidez, ya que el mismo dispositivo que provee
rigidez, provee también disipación con lo que el amortiguamiento del modo más flexible
resulta menor que el correspondiente al modo más rígido. Por esta razón en esta parte de
la investigación, se ha considerado el amortiguamiento proporcional a la rigidez para el
172
aislamiento lineal equivalente. Para la superestructura en cambio, se consideró
amortiguamiento modal constante.
VI.3.1 Modelo de fuerzas no-lineales En esta sección se describe la constitutiva no-lineal unidimensional desarrollada en el
Capítulo V, cuya etapa de disipación se basa en la constitutiva de Bouc-Wen (Wen,
1975; Park et. al., 1986) y los parámetros identificados a partir de ensayos para el
compuesto H5. Así mismo, se presenta la matriz que representa las fuerzas no-lineales
actuando en el aislamiento.
La fuerza no-lineal bidimensional del ésimoj− aislador, se puede expresar como
( ) jZf yjbnl Fη−=
×1)(
12 (6.5)
donde yF es la fuerza de fluencia real o convencional para el ensayo unidimensional y
[ ]Tjy
jx
j ZZ=Z es el vector adimensional que representa el comportamiento histerético
adimensional acoplado, en las direcciones x e y (Capítulo V).
Finalmente, la fuerza no-lineal total en el sistema de aislamiento se obtiene a partir de:
( ) ∑=
η−=an
j
jTj
ybnl F
1
)( 1 ZLf (6.6)
Dónde an es el número de aisladores del sistema de aislamiento; y jL es la matriz de
colocación del ésimoj− aislador de coordenadas ( )ajaj y,x dada por
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
ai
aii x
y1001
L (6.7)
Se presenta a continuación la metodología empleada para definir el sistema lineal
equivalente al comportamiento no-lineal descrito en esta sección.
173
VI.3.2 Sistema lineal equivalente Con el objeto de establecer la frecuencia y amortiguamiento equivalentes, y verificar la
razón de flexibilidad torsional del modelo no-lineal se define en esta sección un modelo
lineal equivalente.
Este modelo se postula a partir de la linearización probabilística de la respuesta no-lineal
de cada aislador para el sistema nominalmente simétrico.
Para ello se asume que el proceso aleatorio considerado es de tipo ergódico. Bajo esta
consideración resulta que la rigidez ( jke ) y el amortiguamiento ( jce ) lineal equivalente
del aislador j pueden estimarse por las expresiones (Roberts y Spanos, 1990):
( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]( )( )tqStd
tqtftqkMeanec
tqStdtqtftqkMean
ek
yj
yjb
jnlyyjb
jj
yj
yj
jbnlyyj
bj
j
&
&)()(
)()(
1ˆ
1ˆ
η−+η=
η−+η=
(6.8)
donde ( )[ ] ( )∑ ⋅=⋅N
NMean1
1 es el promedio de la secuencia ( )⋅ y ( )[ ] ( )∑ ⋅=⋅ −
N
NStd1
21
1 su
desviación estándar.
Dado que es un sistema monosimétrico estimamos jek y jec solo para la dirección y.
Notar que el numerador es una estimación del valor esperado del producto entre la
fuerza no-lineal y el desplazamiento (ó velocidad) del proceso y el denominador una
estimación de la desviación estándar de desplazamiento (ó velocidad).
A partir de estos valores las matrices de rigidez y amortiguamiento lineal equivalente del
sistema de aislamiento se obtienen a partir de las ecuaciones
( )
( ) LecdiagLc
LekdiagLk
T
T
j(b)e
jb
e
ˆ
ˆˆ )(
=
=
) (6.9)
174
donde el operador diag indica matriz diagonal por bloques, en la que cada bloque es
[ ]jjj ekekdiag ˆˆˆ =ek y [ ]jjj ececdiag ˆˆˆ =ec ; y [ ]Tnaj LLLL LL1= la matriz de
colocación de los aisladores. A partir de )(ˆ bek es posible ajustar las frecuencias lineales
equivalentes para cada uno de los 11 registros empleados. Las características principales
de estos registros se muestran en la Tabla VI.1
Tabla VI.1 Características de registros empleados en el análisis
Grupo Registro Dirección MAS (g) MVS (cm/s) MDS (cm)
Suelo II Melipilla NS -0.687 34.289 13.300
Suelo II Llo Lleo N10E -0.713 -40.295 -10.786
Suelo III Viña del Mar S20W 0.363 30.742 -5.534
Suelo III Llay Llay N80W -0.475 36.710 -5.736
Suelo II San Fernando NS 0.285 -21.084 23.170
Suelo III Arleta N00E 0.344 40.360 8.880
Suelo II Corralitos N00E 0.630 -55.200 12.030
Suelo I El Centro N00E -0.348 -33.450 -12.360
Suelo II Kobe N00E 0.822 81.300 -17.690
Suelo III Newhall N00E 0.591 -94.730 28.810
Suelo II Sylmar N00E 0.843 -128.880 -30.670
Suelo I: Vs>900m/s
Suelo II: 400 m/s< Vs <900 m/s Suelo III: Vs < 400 m/s
Figura 6.2 Comparación entre el análisis no lineal y el modelo lineal equivalente Ajustado para un sistema de aislamiento nominalmente simétrico – Registro Kobe;
Terremoto de Japón, 1995. 7.0)(0 =Ω b
e , sT be 5.2)(
0 = , 17.0)( =ζ be , 0)( =b
sxê .
0 5 10 15−20
−10
0
10
20
time (sec)
disp
lace
men
t (cm
)
lineal equivalente no-lineal
tiempo (seg)
desp
laza
mie
nto
(cm
)
175
La Figura 6.2 muestra la buena concordancia obtenida entre los desplazamientos
correspondientes al modelo no-lineal y al lineal equivalente identificado para el registro
de Kobe (Japón, 1995).
VI.3.3 Parámetros considerados Los parámetros del sistema de aislamiento que controlan la repuesta acoplada de la
superestructura para los sistemas lineales son la excentricidad )( be y la razón de
flexibilidad torsional )(0
bΩ , dada por el cociente entre el radio de giro de la rigidez )( bκ y
de masa ρ respectivamente.
Evidentemente es posible usar estos parámetros para la superestructura y para la parte
lineal del aislamiento. Sin embargo para la parte no-lineal (histerética) carece de sentido
referirse a frecuencias desacopladas y radio de giro de la rigidez como parámetros. En
reemplazo del radio de giro )( bκ se propone emplear el radio de giro de las fuerzas
restitutivas no-lineales )( bλ , definida mediante la expresión
( )( )
( )( )∑
∑
=
=
η−+η
η−+η=λ
an
j
jbnlyyj
bj
an
j
bj
jbnlyyj
bj
b
fqk
xfqk
1
0)()(
1
2)(0
)()(
)(
1
1 (6.10)
donde el superíndice ( )0 indica el valor de la fuerza total en cada aislador para una
traslación pura igual al desplazamiento de diseño. La razón de flexibilidad resistente
torsional para una falta de alineamiento entre CM y centro de fuerzas (CF) queda en este
caso definida por la relación
ρ
λ=Γ)(
)(0
bb (6.11)
Tal como se verá mas adelante esto permite que las frecuencias traslacionales y
rotacionales desacopladas del sistema lineal equivalente )( beω y )( b
eθω se mantengan
176
aproximadamente constantes para una excentricidad constante )( bê y para todo el
conjunto de registros seleccionados.
Con el objeto de hacer comparables los resultados con los obtenidos en campo lineal
(Capítulos III y IV) se adoptan los siguientes parámetros para el modelo matemático: (i)
se considera la misma masa para la estructura y el aislamiento; (ii) se asumen para el
sistema simétrico frecuencias traslacionales π=Ω 4)(0
s para la estructura con base fija y
π=Ω 8.0)(0
be para el aislamiento (frecuencias nominales) ; (iii) se considera
amortiguamiento modal constante para la estructura 05.0)( =ζ s ; para el aislamiento
17.0)( =ζ be que corresponde a la frecuencia del sistema nominalmente simétrico; (iv) se
adopta la relación entre el lado menor y el mayor 5.0== acrl ; v) se considera que las
excentricidades )( sye y )( b
ye varían entre aa y− en forma independiente (Figura 6.1) y
(vi) se consideran las siguientes razones de flexibilidad en rigidez y resistencia
rotacional 5.10.1;7.0 y)(0
)(0
)(0 =Ω=Γ=Ω bbs y todas sus posibles combinaciones.
VI.3.4 Condiciones de diseño del sistema de aislamiento A efectos de que los resultados obtenidos sean comparables, es fundamental que el
sistema aislado nominalmente simétrico mantenga ciertos parámetros constantes para
cada registro.
En consecuencia, a diferencia de otras investigaciones (Nagarajaiah et. al., 1993, Tena y
Gómez, 2002; Tena y Zambrano, 2005 y Tena y Escamilla, 2006) se considera que para
obtener tendencias generales de comportamiento, es necesario que para todos los
registros considerados el sistema lineal equivalente aislado mantenga los siguientes
parámetros constantes (i) capacidad de disipación de energía, (ii) frecuencia traslacional
y (iii) razón de flexibilidad torsional. En caso contrario no se consideraría el mismo
sistema no-lineal para cada registro y por lo tanto sus resultados no serían comparables
entre si.
Por lo tanto, para el diseño de los sistemas de aislamiento se establecen las siguientes
premisas:
177
(i) La frecuencia propia del modelo lineal equivalente para la etapa mas intensa de los
registros considerados debe ser π=ω 8.0)(0
be .
(ii) Los análisis se realizan para una distorsión transversal máxima de diseño en el
dispositivo mas desfavorable %150=γ d , ya que se asume para el sismo máximo creíble
un factor de amplificación 5.1=aMCf , ( %225=γ dMC ).
(iii) Debido a que se espera acoplamiento lateral-torsional con amplificaciones máximas
en los bordes del sistema de aislamiento respecto del sistema nominalmente simétrico
del orden de 2 (Capítulo III) se ha previsto una distorsión angular específica máxima de
diseño en los aisladores para el sistema simétrico %80=γ n .
(iv) El amortiguamiento del sistema lineal equivalente nominalmente simétrico para la
etapa mas intensa de los registros se asume igual a 17.0)( =ζ be . Este amortiguamiento es
el equivalente observado en ensayos para el nivel de deformación empleado en el diseño
en el compuesto H5 (Capítulo V), adoptado para esta investigación. Este nivel de
disipación se obtiene alcanzando en todos los diseños el mismo par adimensional
ddZ v, para el sistema nominalmente simétrico.
(v) Por simplicidad se considera que todos los aisladores son del mismo compuesto de
goma (idénticos parámetros para la constitutiva). Adicionalmente, en estas condiciones,
el centro de rigidez y el centro nominal de resistencias resultan coincidentes.
(vi) Con el objeto de obtener un espectro de respuesta medio de referencia, todos los
registros se normalizan a una aceleración máxima gu gmáx 4.0= .
Los parámetros de diseño resultantes para los 11 registros considerados en la Tabla VI.1
así como los parámetros de los sistemas lineales equivalentes pueden observarse en la
Tabla VI.2. Éstos se han obtenido asumiendo que el parámetro )(0
sΩ posee muy poca
influencia en el comportamiento del sistema de aislamiento (Lee, 1980; Nagarajaiah et
al., 1993; Pan y Kelly, 1983; Kulkarni y Jangrid, 2002, Tena y Escamilla, 2006;
Capítulo III). Notar que en todos los diseños se ha obtenido el mismo par
ddZ v, . El amortiguamiento lineal equivalente oscila alrededor del %17 , para la
componente traslacional, y alrededor del %12 para la componente rotacional
178
( 7.0)(0 =Ω b
e ), con una dispersión relativamente baja, tik es la rigidez lineal equivalente
del sistema.
Por razones de brevedad en la Tabla VI.2 se ha presentado los resultados sólo para la
relación 7.0)(0 =Ω b
e .
Tabla VI.2 Características de sistemas lineales equivalentes y parámetros no-lineales considerados en el análisis 7.0)(
0 =Ω be
Registro ωye ζye ωθe ζθe Fy qy ωye/ωθe kti vd Zd El Centro 2.51 0.20 1.79 0.14 4.98 1.30 0.71 3.83 12.80 2.66 Kobe 2.51 0.18 1.78 0.13 4.69 1.15 0.71 4.10 12.76 2.67 Corralitos 2.52 0.18 1.81 0.13 2.37 0.59 0.72 3.99 12.78 2.66 Arleta 2.51 0.16 1.80 0.12 4.27 1.11 0.72 3.86 12.80 2.66 Sylmar 2.51 0.22 1.78 0.16 7.11 1.77 0.71 4.02 12.80 2.66 Newhall 2.50 0.18 1.77 0.13 6.39 1.59 0.71 4.02 12.79 2.66 Llolleo 2.52 0.14 1.79 0.10 2.27 0.56 0.71 4.04 12.78 2.66 Llay Llay 2.50 0.13 1.77 0.10 4.16 1.08 0.71 3.85 12.80 2.66 Melipilla 2.51 0.17 1.81 0.13 1.99 0.46 0.72 4.32 12.67 2.64 San Fernando 2.53 0.17 1.77 0.12 3.79 0.98 0.70 3.87 12.78 2.66 Viña del Mar 2.52 0.14 1.82 0.10 4.12 0.94 0.72 4.38 12.69 2.64 2.51 0.17 1.79 0.12 4.19 1.05 0.71 4.02 12.77 2.66
Parámetros de la constitutiva: A = 1; β = 15; τ = -15.15; δr = 1.15; c0 = 0.3; c2 = 0.55; a0 = 0.43; p = 0.12;
VI.4 Efecto del número de aisladores Se investiga en esta sección la influencia del número de aisladores en la respuesta
acoplada del sistema aislado.
A pesar que algunos autores (Nagarajaiah et. al., 1993) han investigado esta influencia,
solamente se han reportado las respuestas máximas, sin mayores detalles de la historia
en el tiempo.
En este caso se estudiaron las respuestas en el sistema de aislamiento para 4, 8, 12 y 16
aisladores. Los parámetros empleados para la constitutiva son los mismos presentados
en la Tabla VI.2, considerando una fuerza total de fluencia tonF y 98.4= y un
desplazamiento de fluencia .3.1 cmq y = El registro de aceleraciones empleado en la
179
integración de las ecuaciones corresponde al terremoto de EL Centro (Imperial Valley -
1940).
La excentricidad se introdujo mediante una falta de alineamiento entre CM y CF (CR)
para excentricidades en el sistema de aislamiento 15.0 y)( =bê . En todos los casos se
consideraron relaciones de frecuencias 7.0)(0
)(0
)(0 =Ω=Γ=Ω bbs . La superestructura se
consideró simétrica en todos los casos.
Los desplazamientos se evaluaron en los bordes de la planta del aislamiento, aunque no
hubiera aisladores en esa ubicación.
Figura 6.3 Influencia del número de aisladores en la respuesta no lineal del modelo. Parámetros: 7.0)(
0 =Ω be , sT b
e 5.2)(0 = y 17.0)( =ζ b
e ; 0.1)(0 =Ω s
, sT s 5.0)(0 = , 17.0)( =ζ b
e y 0)( =s
sxê , sometido al registro de El Centro (Imperial Valley, EEUU – 1940).
−30
−15
0
15
30
disp
lace
men
ts (
cm)
êb = 0.5
3.85 3.90 3.95 4.0020.85
20.90
20.95
0 5 10 15−30
−15
0
15
30
disp
lace
men
ts (
cm)
time (s)
êb = 1.0
4.00 4.05 4.10 4.1522.00
22.10
22.20
22.30
4 aisladores
4 aisladores
8 aisladores12 aisladores
16 aisladores
tiempo (seg)
desp
laza
mie
nto
(cm
) de
spla
zam
ient
o (c
m)
180
La Figura 6.3 muestra los resultados obtenidos en el borde izquierdo de la planta del
aislamiento bajo estudio. Para una mejor comprensión se presenta además un
acercamiento en la zona de la máxima respuesta.
En esta Figura se aprecia que el modelo mas elemental con 4 aisladores (Figuras 6.3a y
b) presenta alguna diferencia con los modelos de 8, 12 y 16 aisladores. Por otro lado las
diferencias entre los modelos de 8, 12 y 16 aisladores resultan despreciables.
En función de estos resultados se adopta para los siguientes análisis un modelo con 8
aisladores, ya que una mayor discretización en la interfaz de aislamiento no conduce a
diferencias importantes en los resultados.
VI.5 Respuestas consideradas y resultados obtenidos En esta sección se describen los resultados obtenidos tanto para el aislamiento como
para la superestructura.
Las respuestas de interés son los desplazamientos relativos a la base en los bordes de la
superestructura eu y del aislamiento eq , que se pueden calcular como:
qquu e ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
aa
aa
e 11
;11
(6.12)
donde ),1(),,1( iuiq ee corresponden al borde izquierdo del aislamiento y de la
superestructura respectivamente y ),2(),,2( iuiq ee al derecho. El parámetro que se
investigó en el aislamiento es la relación eq para cada borde, definida como el factor de
amplificación
qqnorm
q ee ~
inf),(ˆ = (6.13)
donde inf),( eqnorm y q~ son el desplazamiento máximo en el borde y en el centro de
masas del sistema de aislamiento asimétrico y nominalmente simétrico, respectivamente.
181
Para la superestructura el desplazamiento normalizado que se estudió es el factor
reducción definido por
2,1
2,12,1 ~
)(ˆ
e
ee u
unormu = (6.14)
donde )( 2,1eunorm y 2,1~
eu es el desplazamiento máximo en los bordes correspondientes
de la superestructura con iguales parámetros e igual excentricidad, aislada y con base
fija, respectivamente.
Estos factores se obtuvieron para cada uno de los registros presentados en la Tabla VI.1.
Asimismo y con el fin de obtener tendencias generales, se obtuvieron los promedios de
los factores eq y eu máximos para los 11 registros considerados. En todos los casos
estos resultados se compararon con la respuesta del sistema lineal equivalente
identificado. Téngase en cuenta que el sistema lineal equivalente se definió solo para el
caso nominalmente simétrico.
VI.5.1 Sistema de aislamiento En esta sección se presentan y discuten los resultados obtenidos para los
desplazamientos normalizados en los bordes del aislamiento.
A continuación se presentan las gráficas de los factores de amplificación eq en función
de )( bê , )( sê para las razones de flexibilidad y resistencia torsional )(0
)(0
)(0 y, bbs ΓΩΩ
definidas en 6.3.4.
En las Figura 6.4 se presentan los valores eq para distintas razones de frecuencias )(
0)(
0 , bb ΓΩ ordenadas en columnas. Para facilitar la interpretación del factor eq , se
representa su proyección en el plano ( es
x qê ˆ,)( ), en consecuencia el espesor de la línea
que representa al factor eq indica la magnitud de la influencia de la superestructura en el
sistema de aislamiento. Las excentricidades negativas corresponden a la condición de
borde derecho flexible (izquierdo rígido) y las positivas a borde derecho rígido
(izquierdo flexible). Los factores eq presentados corresponden a la falta de alineamiento
entre CR, (CF) y CM para los registros a) El Centro y b) Melipilla, ambos gráficos para
182
0
1
2
3
4
5
q e^
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.50
1
2
3
4
5
q e^
ê(b)sx
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5
ê(b)sx
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5
ê(b)sx
a)
b)
0100 .Ω (b)(b)=Γ= 5100 .Ω (b)(b)
=Γ=
no-lineal
lineal
7000 .Ω (b)(b)=Γ=
una razón de flexibilidad torsional de la superestructura 5.1)(0 =Ω s solamente ya que ésta,
como se verá más adelante, no influye considerablemente en la torsión del aislamiento.
De su análisis se puede comentar lo siguiente:
(i) Los factores de amplificación obtenidos tanto en rango lineal como no-lineal
muestran gran coincidencia, sobre todo para valores de excentricidad 5.0)( ≤bê . Para
mayores excentricidades se observan diferencias crecientes, sobre todo para el borde
flexible, resultando para excentricidades extremas valores de amplificación en rango no-
lineal un %20 superiores a los del rango lineal. Sin embargo estas excentricidades tan
elevadas son imposibles de alcanzar en la práctica.
(ii) Los factores de amplificación obtenidos para el registro de Melipilla son
sustancialmente mayores que los obtenidos para el registro de El Centro. Este fenómeno
se debe a las características propias de cada registro.
Figura 6.4 Comparación entre la respuesta no lineal y lineal equivalente.
5.1)(0 =Ω s , para a) registro EL Centro (EEUU, 1940) y b) registro Melipilla (Chile,
1985). 7.0)(0 =Ω b
e , sT be 5.2)(
0 = y 17.0)( =ζ be ; sT s 5.0)(
0 = y 05.0)( =ζ se .
183
Los espectros de respuesta lineal de estas excitaciones pueden observarse en la Figura
6.6, donde se aprecia que el sistema nominalmente simétrico ( π=Ω 8.0)(0
be ) se encuentra
en un valle en el espectro de Melipilla en tanto que el mismo sistema se encuentra en
una cúspide en el registro de El Centro.
Esto conduce a que el valor de referencia q~ sea mucho menor para un registro que para
el otro y, aunque en el borde se alcance un desplazamiento del mismo orden, el factor de
amplificación resulta distorsionadamente alto para el registro de Melipilla.
La Figura 6.5 presenta la comparación de los factores de amplificación medios,
obtenidos como el promedio de los factores de amplificación resultantes del análisis en
el tiempo para los 11 registros presentados en la Tabla 6.1, para el campo lineal y no-
lineal, y para todas las combinaciones posibles de las razones de flexibilidad torsional )(
0sΩ , )(
0bΩ , )(
0bΓ para la estructura y el aislamiento consideradas en esta investigación.
Con el objeto de obtener un espectro de desplazamientos promedio todos los registros
fueron normalizados a una aceleración máxima de 0.4 g. El espectro de respuesta
promedio resultante puede consultarse en la Figura 6.7, se lo compara allí con un
espectro suavizado obtenido probabilísticamente.
Tal como en la Figura 6.4 el espesor de las líneas que representan a eq en las Figuras 6.5
está directamente vinculado a la influencia de la superestructura en la respuesta del
sistema de aislamiento.
Del análisis de las gráficas correspondientes al modelo no-lineal de la Figura 6.5 se
observa que
(i) Se aprecia un importante paralelismo entre el rango no-lineal y el lineal.
(ii) Las amplificaciones máximas medias de los bordes no superan el doble del
desplazamiento del sistema de referencia, mostrando transiciones suaves. Este fenómeno
también se ha observado en los sistemas lineales y se debe a que el espectro de
desplazamientos promedio es mucho más suave que el de un registro particular (Figuras
6.6 y 6.7) y tiende a una meseta de desplazamiento constante en la zona de bajas
frecuencias. Cuando las frecuencias acopladas del sistema lineal equivalente se
encuentran sobre la meseta de desplazamientos constantes, el espectro de respuesta no
184
0
1
2
3
q e^
Ω0(b) = 0.7
Ω0(s) = 0.7
Ω0(b) = 1.0 Ω
0(b) = 1.5
0
1
2
3
q e^
Ω0(s) = 1.0
−2 −1 0 1 20
1
2
3
q e
ê(b)sx
^
Ω0(s) = 1.5
−2 −1 0 1 2
ê(b)sx
−2 −1 0 1 2
ê(b)sx
no-lineal
lineal
influye en los factores de amplificación. En este caso el valor de los factores eq se debe
solo a las características propias de la estructura (Capítulo III).
(iii) Se destaca que cuando el aislamiento posee una razón de flexibilidad )(0
bΩ ,
7.0)(0 =Γ b el comportamiento acoplado lateral-rotacional del aislamiento esta controlado
por el borde rígido para valores de 5.0≤bê , efecto también presente en sistemas lineales
(Capítulo III).
(iv) La influencia de la superestructura en el comportamiento acoplado lateral-rotacional
del sistema de aislamiento es despreciable.
Figura 6.5 Comparación entre el factor de amplificación torsional medio. Promedio de 11 registros. Se observa una importante coincidencia entre los resultados obtenidos en campo lineal y no-lineal. sT b
e 5.2)(0 = y 17.0)( =ζ b
e ; sT s 5.0)(0 = y 17.0)( =ζ b
e .
185
Estas observaciones permiten, como se verá en la siguiente sección, obtener las reglas de
control óptimo del comportamiento acoplado lateral-rotacional de la superestructura.
Figura 6.6 Espectros de respuesta para: a)- registro El Centro; b)- registro Melipilla.
Figura 6.7 Espectros de desplazamientos promedio de 11 registros y suavizado propuesto.
0 2 4 6 8 10 120
5
10
15
20
25
30
35
40
disp
lace
men
t (cm
)
ω (s−1)0 2 4 6 8 10 12
ω (s−1)
a) b)
05.0=ζ
20.0=ζ
05.0=ζ
20.0=ζ
des
pla
zam
iento
s (c
m)
ω (s-1) ω (s-1)
0 2 4 6 8 10 12 140
5
10
15
20
ω (s−1)
disp
lace
men
ts (
cm)
a)− Medium 11 recordsb)−Proposed
a)- Promedio de 11 registros b)- Propuesta
des
pla
zam
iento
s (c
m)
ω (s-1)
186
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
ê(s)sx
ê(b)
sx
0.1
0.1
0.2
0.2
0.3
0.3
0.4
0.4
0.6
Ω(b)0
= 0.7
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5
ê(s)sx
0.1
0.2
0.2
0.3
0.3
0.4
0.4
0.40.6
Ω(b)0
= 1.0
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5
ê(s)sx
0.1
0.2
0.2
0.3
0.3
0.4
0.4
Ω(b)0
= 1.5
VI.5.2 Superestructura
En esta sección se presentan los resultados obtenidos para los desplazamientos
normalizados en los bordes de la superestructura.
Figura 6.8 Combinación de excentricidades para análisis no-lineal. 7.0)(0 =Ω s .
La zona oscura indica la combinación de excentricidades para análisis no-lineal tal que 15.0≤eû .
En la Figura 6.8 se presentan las curvas de nivel correspondientes a la superficie de
amplificación media eu para el borde derecho de la estructura con aislamiento no-lineal
y para toda combinación posible de )()( , bsx
ssx êê , obtenidas como el promedio de los eu
máximos para los 11 registros considerados en la Tabla VI.1. Las curvas de nivel
correspondientes al borde izquierdo resultan punto simétricas de las correspondientes al
derecho. En esta misma Figura se representan las combinaciones de excentricidades )()( , b
sxs
sx êê para las que el borde derecho y el izquierdo de la superestructura poseen
simultáneamente un factor de reducción medio 15.0ˆ =eu . Allí puede apreciarse que en
tanto para 7.0)(0 =Ω b estas combinaciones definen una región amplia para 5.1)(
0 =Ω b esta
región es inexistente, resultando una situación intermedia para el caso en que 0.1)(0 =Ω b .
En la Figura 6.9 el área oscura representa las combinaciones de excentricidad de control
óptimo para el rango no-lineal, en tanto que la zona clara representa las del sistema
lineal equivalente para la misma condición.
187
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
ê(b)
sx
ê(s)sx
Ω(b)0
= 0.7
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5
ê(s)sx
Ω(b)0
= 1.0
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5
ê(s)sx
Ω(b)0
= 1.5
Figura 6.9 Combinación de excentricidades para análisis no-lineal y lineal equivalente. 7.0)(
0 =Ω s. La línea sólida representa la zona de control óptimo para el análisis lineal del
Capítulo IV.
La línea sólida que pasa por 0)()( == bsx
ssx êê representa la combinación de excentricidades
óptimas de la superestructura y del aislamiento lineal equivalente que minimizan la
respuesta torsional de la superestructura (Capítulo IV). En todos los casos los resultados
para el sistema lineal se han obtenido para el espectro de respuesta probabilístico
envolvente al promedio de los 11 registros considerados en este análisis (Figura 6.7).
Para la confección de estos gráficos, se han considerado los casos en que ( )(0
bΩ ,
5.10.1,7.0) y)(0 =Γ b y el caso en que 7.0)(
0 =Ω s solamente ya que, en la medida en que
la estructura es torsionalmente más rígida es más sencillo lograr su control rotacional,
según se discutió en el Capítulo IV.
Del análisis de las Figura 6.8 y 6.9 se observa que
i) los factores eu para aislamiento no-lineal muestran la misma tendencia que para el
aislamiento lineal equivalente en la medida que aumentan las excentricidades )()( , bs êê .
Los valores de reducción de respuesta obtenidos para el sistema no-lineal son levemente
mayores que los obtenidos para el sistema lineal.
ii) existe una notable concordancia en las combinaciones de excentricidad que
minimizan la respuesta torsional de la estructura en ambos campos. La curva de
excentricidades óptimas del campo lineal es representativa del no-lineal.
188
iii)- La minimización es más eficiente cuando el sistema de aislamiento es
torsionalmente flexible.
Estas observaciones demuestran que la metodología de diseño obtenida para sistemas
lineales puede extenderse al rango no-lineal.
En la siguiente sección se presentan dos ejemplos en los que se diseña el sistema de
aislamiento no-lineal para optimizar la respuesta acoplada de la estructura empleando los
parámetros del sistema lineal equivalente.
VI.6. Ejemplos de aplicación En esta sección se aplica la metodología de diseño desarrollada para sistemas lineales a
dos estructuras aisladas cuyo sistema de aislamiento se encuentra en rango no-lineal.
Para ello se asume que la masa de la estructura se encuentra rígidamente vinculada al
sistema de aislamiento (Capítulo III). Así, considerando una falta de alineamiento entre
el CM y (CR, CF) nominal del aislamiento, se obtienen mediante la siguiente ecuación
las frecuencias acopladas normalizadas a la frecuencia nominal y las formas modales del
sistema lineal equivalente, dónde los subíndices r y t denotan a las frecuencias
predominantemente rotacional y traslacional respectivamente (Capítulo III)
( )[ ] )(4121ˆ 2)(
02)(
02)(
, assigns bbbtr Γ−Γ−=ω m (6.14)
)(1ˆ
1ˆ1)(2)(
2)()()( b
êê
d bbr
br
bb
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−ω−ω
=Φ
donde: ( ) 22)(2)( 1ˆ −ω+= br
bêd y 2)(0
2)(1 bbês Γ++= .
La excentricidad óptima de la estructura )( somê que minimiza su propia respuesta torsional
viene dada, según se discutió en el Capítulo IV, por:
)(
)()(
bt
brs
om SS
êν
= (6.15)
189
donde )( brS y )( b
tS son estimaciones de la aceleración total máxima rotacional y
traslacional respectivamente, y ν es el coeficiente de correlación de aceleraciones
totales en el aislamiento.
Por otra parte la condición de balance torsional de la estructura está dada por la raíz real
de la siguiente expresión que surge de anular la correlación entre giros y
desplazamientos en el centro geométrico de la estructura, coincidente en este caso con su
CM (Capítulo IV):
( ) 02 2)(2)(0
22)(2)(23)( =νΩ−Ω++ν− rts
os
trs
rts
ts SSSSêSSêSê (6.16)
donde las aceleraciones totales )( brS y )( b
tS y el coeficiente de correlación ν se calculan
de acuerdo a las Ecuaciones (4.2.1a, b y c) del Capítulo IV. Dado que el sistema posee
amortiguamiento proporcional a la rigidez, (esto es eb
rb
r ζω=ζ )()( ˆ , eb
tb
t ζω=ζ )()( ˆ ) las
aceleraciones modales totales se obtienen, como (Anexo E):
tb
ttrb
rr SSSS 2)(2)( 41,41 ζ+=ζ+= (6.17)
donde tr SS , son seudoaceleraciones espectrales.
Según la expresión general obtenida en el Anexo H el coeficiente de correlación modal
de aceleraciones totales para amortiguamiento proporcional a la rigidez está dado por la
expresión:
( )[ ]
( )( ) ( ) ( )[ ]20
20
2)(220
2)(20
2)(
20
20
2)(20
2)(
1814141
188~
Γ+Γζ+Γ−ζΓ+ζ+
Γ++ΓζΓζ=ν
br
br
br
br
br (6.18)
Estas expresiones pueden emplearse en forma iterativa o simplemente construyendo
ábacos de diseño para el rango de excentricidades y razones de flexibilidad o resistencia
torsional ( ))(0
)(0 , sb ΩΓ que se necesite.
190
Las amplificaciones en el sistema de aislamiento debidas a su propia excentricidad
natural serán evaluadas de acuerdo a la Ecuación (3.22), Capítulo III. A continuación se
presentan dos ejemplos, en el primero de ellos se optimiza una estructura de un piso ante
la acción de un registro específico, mientras que en el segundo se optimiza una
estructura de múltiples pisos para el espectro de la norma chilena NCH 2745 (2003).
VI.6.1 Estructura de un piso La estructura considerada corresponde a la Figura 6.1, donde se ha considerado un ancho
ma 00.102 = y una profundidad mc 00.52 = . El radio de giro resultante es m23.3=ρ . La
frecuencia propia adoptada para la superestructura es π=ω 4)(0
s con un amortiguamiento
modal constante 05.0)( =ζ s . La superestructura posee una excentricidad natural
25.0)( =ssxê y una razón de flexibilidad torsional 85.0)(
0 =Ω s .
Para el sistema de aislamiento se dispusieron 8 aisladores ubicados en planta para
obtener 8.0)(0
)()0( =Ω=Γ bb , con una frecuencia nominal para el sistema lineal equivalente
simétrico π=ω 8.0)( be . El amortiguamiento nominal considerado es 20.0)( =ζ b
e . La
estructura se somete al registro de Newhall (Northridge, California 1994). Los
parámetros empleados para la constitutiva son los mismos enunciados en la Tabla VI.2
para este registro. Tanto para el aislamiento como para la estructura se ha considerado
un peso sísmico 2/0.1 mtonfw= .
Consideremos en primera instancia el aislamiento simétrico. A partir de la integración
del sistema de ecuaciones (6.1) se obtienen los siguientes resultados para el aislamiento
y la estructura: ( ) cm.,.q e 420320= ; ( ) .cm.,.u e 8180=
A efectos de comparación empleamos el índice de balance ( bI ) definido en el Capítulo
IV. Para el presente caso obtenemos 75.0=bI .Se aprecia que el sistema de aislamiento
no muestra prácticamente acoplamiento lateral-rotacional. Por el contrario, la
superestructura muestra un acoplamiento importante.
191
En la Figura 6.9, se muestran los ábacos de diseño para este sistema aislado, que son una
variante de los presentados en el Capítulo IV, obtenidos a partir de las Ecuaciones (6.15)
y (6.16). La Figura 6.9a corresponde a la condición de giro mínimo, en tanto que la
Figura 6.9b corresponde a respuesta balanceada de los bordes.
Del análisis de los gráficos se puede apreciar que las excentricidades óptimas de
minimización ( )( bomê ) y balance )( b
obê no son coincidentes, obteniéndose 18.0)( =bomê y
24.0)( =bobê .
Dando al sistema de aislamiento no-lineal la excentricidad )( bomê se obtiene:
( ) .1.25,4.23 cmq e = y ( ) .6.1,2.1 cmu e =
con 29.0=bI
Se observa que para un %25 de aumento del desplazamiento máximo del sistema de
aislamiento se obtiene una respuesta 2.6 veces más balanceada.
Si por el contrario empleamos en el sistema de aislamiento no-lineal la excentricidad )( b
obê se obtiene:
( ) .9.26,5.24 cmq e = y ( ) .5.1,3.1 cmu e =
con 14.0=bI .
Se observa ahora que, para un %35 de aumento del desplazamiento máximo del sistema
de aislamiento se obtiene una respuesta 5.4 veces más balanceada.
Una solución de compromiso consiste adoptar una excentricidad intermedia para el
sistema de aislamiento no-lineal, así para 21.0)( =bê se obtiene:
( ) .0.26,0.24 cmq e =) y ( ) .6.1,3.1 cmu e =
con un 21.0=bI .
En este caso se tiene que, para un %30 de aumento del desplazamiento máximo del
sistema de aislamiento se obtiene una respuesta 3.6 veces más balanceada, lo que
podemos considerar un buen diseño.
192
Figura 6.10 ábacos de diseño. Espectro registro de Newhall, Northridge, 1994. a) giro mínimo; b) balance de la respuesta torsional de los bordes
Figura 6.11 Espectros de desplazamientos de Newhall normalizado ( ga máx 4.0= ) y del
proceso envolvente considerado.
En la Figura 6.11 se muestra el espectro del registro de Newhall y un espectro
envolvente que consideramos representativo de este proceso.
De la Figura 6.11 se obtiene que el desplazamiento máximo del aislamiento
nominalmente simétrico del proceso envolvente es de .6.25 cm y por aplicación de la
Ecuación (3.22), Capítulo III, se habrían obtenido los siguientes factores de
amplificación reales para los tres casos analizados para:
0 0.5 1 1.50.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
ê(b)sx
Ω0(b
)
0 0.1
0.20.3 0.
4 0.5 0.6
0.7 0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
0 0.5 1 1.50.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
ê(b)sx
Ω0(b
)
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.250.3
0.350.40.45
a) b)
0 1 2 3 4 5 60
5
10
15
20
25
30
period (s)
disp
lace
men
ts (
cm.)
Newhall
Envolvente
des
pla
zam
iento
s (c
m)
periodo (seg)
193
( )19.1,96.0ˆ18.0)( =→= eb qê
( )23.1,02.1ˆ24.0)( =→= eb qê
( )21.1,99.0ˆ21.0)( =→= eb qê
Figura 6.12 Respuesta de la base y la superestructura al registro de Newhall. a) aislamiento simétrico; b) superestructura sobre aislamiento simétrico; c) aislamiento
con 21.0)( =bê ; d) superestructura sobre aislamiento con 21.0)( =bê .
−40
−20
0
20
40
disp
lace
men
t (cm
)
left edgeright edgeleft boundright bound
0 5 10 15 20−2
−1
0
1
2
time (s)
disp
lace
men
t (cm
)
left edgerigth edge
−40
−20
0
20
40
disp
lace
men
t (cm
)
0 5 10 15 20−2
−1
0
1
2
time (s)
disp
lace
men
t (cm
)
left edgerigth edge
a)
b)
c)
d)
des
pla
zam
iento
s (c
m)
tiempo (seg)
des
pla
zam
iento
s (c
m)
des
pla
zam
iento
s (c
m)
des
pla
zam
iento
s (c
m)
tiempo (seg)
Borde izquierdo Borde derecho
Borde izquierdo Borde derecho
Borde izquierdo Borde derecho Límite izquierdo Límite derecho
194
Cuyos valores máximos de amplificación (19%, 23% y 21%) resultan sustancialmente
menores a los obtenidos por integración directa (25%, 35% y 30%), diferencia que se
debe a la forma del espectro en la zona de las frecuencias acopladas del sistema.
En la Figura 6.12a se presenta la respuesta en el tiempo para los bordes del sistema de
aislamiento no-lineal nominalmente simétrico y la respuesta relativa correspondiente de
los bordes de la superestructura.En la Figura 6.12b se presenta la respuesta en el tiempo
para los bordes del sistema de aislamiento no-lineal con excentricidad 21.0)( =bê y la
respuesta relativa de los bordes de la estructura para esta nueva condición.
En la misma figura se representan los límites máximos obtenidos con la Ecuación (3.22)
asumiendo el espectro envolvente de la Figura 6.11. De la comparación de las Figuras
6.12a y 6.12b se aprecia que puede lograrse un importante balance y reducción de los
giros máximos en la superestructura, optimizando su comportamiento acoplado sin
perjudicar el buen desempeño del aislamiento.
VI.6.2 Estructura de múltiples pisos En esta sección se optimiza el comportamiento acoplado lateral-rotacional de una
estructura de hormigón armado de seis pisos. Esta estructura se encuentra montada sobre
un sistema de aislamiento elastomérico no lineal y se diseñará para la acción sísmica
representada en el espectro de diseño de la norma chilena NCH 2745 (2003).
En la Figura 6.13 se presenta un esquema de la estructura de marcos considerada. Las
dimensiones en planta son ma 152 = y mc 102 = , obteniéndose una relación de lados de
32=lr y un radio de giro .21.5 m=ρ La distribución de columnas es simétrica,
lográndose la excentricidad estructural mediante la disposición de arriostres diagonales
de acero que trabajan en tracción y compresión en distintos planos. La frecuencia
nominal es π=ω 4)( s y el amortiguamiento modal constante 05.0)( =ζ s , posee una
excentricidad natural 25.0)( −=sê y su razón de flexibilidad torsional es 8.0)(0 =Ω s . Las
dimensiones geométricas de la estructura y de sus elementos estructurales se encuentran
indicadas en la Figura 6.13.
195
Figura 6.13 Ejemplo. Estructura de 6 pisos de marcos de hormigón armado. La elevación representa esquemáticamente el sistema de riostras de los ejes 2, 3 y b, en
tanto que los ejes 1,4, a y c no poseen riostras. Los modos de la estructura son los presentados en la Tabla 3.4, Capítulo III. El
aislamiento está constituido por 8 aisladores de goma de alto amortiguamiento. Los
parámetros de la constitutiva, sus coordenadas y resistencias transversales se indican en
la Tabla VI.3.
Tabla VI.3 Ubicación y resistencias aisladores sistema de múltiples pisos
Aislador x y Fy
1 -2.48 6.20 2.91 2 -2.48 2.27 13.09 3 -2.48 -2.27 13.09 4 -2.48 -6.20 2.91 5 2.48 6.20 2.91 6 2.48 2.27 13.09 7 2.48 -2.27 13.09 8 2.48 6.20 2.91
Total = 64.00 A = 1; β= 15; τ = -15.15; δr = 1.15; c0 = 0.3; c2 = 0.55;
a0 = 0.43; p = 0.12;
3@50
00
2@5000
braced
unbraced
50x50 50x50
50x5050x50
70x30
70x30
70x30
70x30
30x70
30x70 30x70
30x70
30x70 30x70
30x50
30x50
30x50
30x50
30x50
30x5030x50
30x50
30x50
30x50
30x50
30x50
2@50003@
5000
ba
4
3
2
1
c c
1
2
3
4
a b
braces
6@30
00
compuestoH5
SuperstructureIsolation PlanPlanta de aislamiento Superestructura
no arriostrado
arriostrado
riostras
196
La fuerza de fluencia total considerada en el modelo es tonfF y 64= , con un
desplazamiento de fluencia .6.13 mmq y = El sistema lineal equivalente posee una
frecuencia nominal π=ω 8.0)( be y un amortiguamiento equivalente para esta frecuencia
20.0)( =ζ be . El peso sísmico para cada nivel es 2/1 mtonfw= . La disposición y resistencia
de los aisladores se calibró para obtener razones de flexibilidad y resistencia torsional
85.0)(0
)(0 =Γ=Ω bb .
Figura 6.14 Espectros de diseño norma NCH 2745 y del registro compatible empleado.
La excitación de diseño considerado es el espectro de la norma chilena NCH 2745
(2003) y para su verificación se considera un registro de aceleraciones compatible con el
espectro de esta norma para suelo firme (Figura 6.14).
A efectos de comparación, consideramos que el sistema de aislamiento es nominalmente
simétrico, es decir 0)( =bê . Las deformaciones de entrepiso máximas obtenidos en los
bordes de los distintos pisos de la superestructura y del aislamiento se presentan en la
Tabla VI.4. En la Figura 6.15 a) se presenta la historia de desplazamientos del
aislamiento y en la 6.15 b) las deformaciones de entrepiso de los pisos pares de la
superestructura.
Se aprecia que, mientras el aislamiento no muestra acoplamiento lateral-rotacional, la
superestructura evidencia un importante acoplamiento resultando las deformaciones
relativas del borde derecho tres veces superiores a los del izquierdo ( 780.I bprom = ).
0 1 2 3 4 5 60
10
20
30
40
period (s)
disp
lace
mm
ents
(cm
)
Espectro NCh
Espectrocompatible
des
pla
zam
iento
s (c
m)
periodo (seg)
197
Figura 6.15 Aislamiento simétrico, deformación de entrepiso. Se aprecia un importante acoplamiento torsional en la estructura.
En la Figura 6.16 se presentan los ábacos de diseño para minimización y balance
torsional de la estructura obtenidos para el espectro de diseño considerado y aplicando
las Ecuaciones (6.16) y (6.17). Para el trazado de estos ábacos es necesario previamente
determinar la superestructura equivalente de un piso, de acuerdo a la metodología
establecida en el Anexo C.
0 5 10 15 20 25 30 35 40−30
−20
−10
0
10
20
30
time (s)
disp
lace
men
t (cm
)
3)
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
disp
lace
men
t (cm
)
sixth floor
left edgerigth edge
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
disp
lace
men
t (cm
)
fourth floor
0 5 10 15 20 25 30 35 40−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
disp
lace
men
t (cm
)
second floor
time (sec)
a)
b)
des
pla
zam
iento
s (c
m)
tiempo (seg)
des
pla
zam
iento
s (c
m)
des
pla
zam
iento
s (c
m)
des
pla
zam
iento
s (c
m)
tiempo (seg)
Borde izquierdo Borde derecho
Piso seis
Piso cuatro
Piso dos
198
0 0.5 1 1.50.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
ê(b)sx
Ω0(b
)
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60.7
0.8
0.91
1.1
1.2
1.3
1.4
0 0.5 1 1.50.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
ê(b)sx
Ω0(b
)
0.1
0.2
0.2
0.30.4
0.50.6
a) b)
)b(omê )b(
obê
Allí puede apreciarse que para minimizar la respuesta se necesita una excentricidad en el
sistema de aislamiento 19.0)( =bomê , y para obtener una respuesta balanceada se necesita
una excentricidad 22.0)( =bobê . Ambas excentricidades resultan muy similares por lo que
se adopta como solución de compromiso una excentricidad para el sistema de
aislamiento 20.0)( =bê , con la que se espera obtener un adecuado control torsional.
Figura 6.16 Ábacos de diseño. Espectro norma NCH 2745.
a) giro mínimo de la superestructura; b) balance torsional de la superestructura.
En la Tabla VI.4 se muestran los valores de deformación de entrepiso obtenidos en los
bordes de la superestructura y del aislamiento. En la Figura 6.16 a) se presenta la historia
de desplazamientos del aislamiento y en la 6.16 b) las deformaciones de entrepiso de los
bordes en los niveles pares de la superestructura. Tanto en la Tabla VI.4 como en la
Figura 6.16 se observa una reducción importante de giros y un mejoramiento sustancial
en el balance de las deformaciones de entrepiso, reduciendo la respuesta máxima de la
superestructura. El bI medio de la superestructura con aislamiento optimizado mejora
casi 10 veces respecto de la superestructura con aislamiento simétrico.
Por otra parte la aplicación de la Ecuación (3.22) permite prever amplificaciones
máximas del %14 para el borde superior del aislamiento respecto del sistema
199
nominalmente simétrico. El análisis dinámico confirma esta estimación tal como se
deduce de la Tabla VI.4 y de la Figura 6.16 ( cm.cm..cm. 532276191417121 =×< ).
Se obtiene, por lo tanto, un excelente control del comportamiento acoplado de la
superestructura estructura sin afectar el buen desempeño del sistema de aislamiento.
Figura 6.17 Aislamiento asimétrico 20.0)( =b
sxê . Deformación de entrepiso en la estructura.
Se aprecia una importante reducción del acoplamiento torsional en la superestructura.
−30
−20
−10
0
10
20
30
disp
lace
men
t (cm
)
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
disp
lace
men
t (cm
)
sixth floor
left edgeright edge
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
disp
lace
men
t (cm
)
fourth floor
0 5 10 15 20 25 30 35 40−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
disp
lace
men
t (cm
)
second floor
time (s)
a)
b)
tiempo (seg)
des
pla
zam
iento
s (c
m)
Borde izquierdo Borde derecho
Piso seis
Piso cuatro
Piso dos
des
pla
zam
iento
s (c
m)
des
pla
zam
iento
s (c
m)
des
pla
zam
iento
s (c
m)
des
pla
zam
iento
s (c
m)
200
Tabla VI.4 Comparación de deformación de entrepiso con aislamiento simétrico y asimétrico
Excentricidades
êb = 0.00 êb = 0.20 Estructura Nivel Borde izquierdo Borde derecho Ib Borde izquierdo Borde derecho Ib
Aislamiento 0 19.45 19.76 0.08 21.71 16.59 0.27 1 0.16 0.40 0.83 0.27 0.28 0.02 2 0.16 0.56 1.09 0.34 0.39 0.14 3 0.15 0.51 1.09 0.31 0.35 0.12 4 0.14 0.41 0.98 0.27 0.29 0.08 5 0.13 0.30 0.80 0.22 0.22 0.01
Supe
rest
ruct
ura
6 0.10 0.19 0.58 0.16 0.14 0.10 Promedio superestructura 0.78 Promedio superestructura 0.08
Debido a la gran influencia de la excitación en la respuesta general de las estructuras y
en la respuesta torsional de las estructuras aisladas en particular (Tena y Escamilla,
2006), resulta de gran interés práctico evaluar la bondad del diseño obtenido sometiendo
a la estructura con aislamiento optimizado y nominalmente simétrico, respectivamente, a
distintas excitaciones o, en términos probabilísticos, a distintas realizaciones de un
mismo proceso.
Tabla VI.5 Comparación del comportamiento torsional de la superestructura para
aislamiento optimizado y nominalmente simétrico.
Registro Ib medio
(êb=0.20) Ib medio
(êb=0.00) Variación
El Centro 0.251 0.959 3.8 Kobe 0.253 0.909 3.6 Corralitos 0.212 0.957 4.5 Arleta 0.231 0.797 3.5 Sylmar 0.286 0.935 3.3 Newhall 0.207 0.862 4.2 Llolleo 0.106 0.742 7.0 Llay Llay 0.242 0.845 3.5 Melipilla 0.159 0.670 4.2 San Fernado 0.233 0.871 3.7 Viña del Mar 0.100 0.839 8.4
4.5
Para ello se presentan las Tablas VI.5 y VI.6 en la que se muestran los resultados
obtenidos en términos de bI para la superestructura y de aumento del desplazamiento
máximo en los bordes del aislamiento que resultan de someter la estructura con
201
aislamiento optimizado y nominalmente simétrico a los 11 registros históricos
mostrados en la Tabla VI.1 y que han servido de base para la investigación en este
capítulo.
Tabla VI.6 Efecto del control de la superestructura en el comportamiento torsional del aislamiento
Registro Máx. def. borde
(êb=0.20) Máx. def. borde
(êb=0.00) Variación
El Centro 17.520 17.638 1.0 Kobe 19.964 16.693 1.2 Corralitos 7.598 6.774 1.1 Arleta 15.653 14.748 1.1 Sylmar 26.559 24.818 1.1 Newhall 27.855 22.483 1.2 Llolleo 10.376 9.059 1.1 Llay Llay 17.743 15.376 1.2 Melipilla 7.175 7.339 1.0 San Fernado 12.320 13.094 0.9 Viña del Mar 15.100 14.267 1.1
1.1
En la Tabla VI.5 se presenta el bI medio para los 6 pisos de la superestructura para la
condición de aislamiento con excentricidad óptima y aislamiento simétrico. Según se
aprecia la mejora en el comportamiento torsional de la superestructura varía entre 3.3 y
8.4 veces, con una media de 4.5. Por el contrario, en la Tabla VI.6 se presenta la
influencia en los bordes del sistema de aislamiento que resulta de controlar el
comportamiento torsional de la superestructura. Esta influencia se evalúa como la
variación del desplazamiento máximo en los bordes del aislamiento respecto del sistema
nominalmente simétrico. Según se aprecia el desplazamiento máximo varía entre 0.9 y
1.2 veces con una media de 1.1 veces. Tal como puede apreciarse, la amplificación
máxima de desplazamiento en los bordes del aislamiento resulta marginal frente a la
mejora en el comportamiento torsional de la superestructura.
202
VI.7 Conclusiones
Como resultado de esta parte de la investigación se ha arribado a las siguientes
conclusiones:
1- El comportamiento acoplado lateral-rotacional de sistemas de aislamiento en
campo no lineal muestra gran similitud con el campo lineal. Esto se debe a que,
para grandes deformaciones, las frecuencias lineales equivalentes del sistema no
lineal se mantienen sensiblemente constantes (Capítulo III). Esta circunstancia
permite que el comportamiento acoplado del sistema de aislamiento en campo no
lineal sea previsible y controlable.
2- A partir de esta conclusión se puede extender la metodología de diseño del
campo lineal al no lineal permitiendo controlar el comportamiento acoplado de
la superestructura.
3- Dotando al sistema de aislamiento de razones de flexibilidad torsional menores a
la unidad y de cierta excentricidad, se ha conseguido controlar el
comportamiento acoplado lateral-torsional de la superestructura en los dos
ejemplos considerados, reduciendo su respuesta torsional relativa al aislamiento
y balanceando la respuesta relativa máxima de los bordes de la superestructura
respecto del aislamiento.
4- La flexibilidad torsional del sistema de aislamiento depende de la razón de
flexibilidad resistente torsional )(0
bΓ asociada al radio de giro nominal del
conjunto de fuerzas obtenido para una traslación pura del aislamiento
nominalmente simétrico igual al desplazamiento de diseño.
5- En este campo son también los sistemas de aislamiento torsionalmente flexibles
los que permiten el mejor control del comportamiento acoplado lateral-torsional
203
de la superestructura. Al igual que en los sistemas lineales, para minimizar y
balancear la respuesta relativa entre la estructura y el aislamiento la excentricidad
del sistema de aislamiento debe ser del mismo orden y en la misma dirección que
la excentricidad de la superestructura.
6- Finalmente, aunque se introduzca importante excentricidad a sistemas de
aislamiento torsionalmente flexibles no se afecta sensiblemente el buen
desempeño estructural de los aisladores.
VII. RESUMEN FINAL Y CONCLUSIONES
204
VII RESUMEN FINAL Y CONCLUSIONES
VII.1 Resumen final En la presente investigación se han abordado diversos aspectos de las estructuras
sísmicamente aisladas, tanto en campo lineal como no-lineal. Como resulta
convencional, se ha estudiado este comportamiento en términos de la amplificación de
desplazamientos de los bordes rígido y flexible de la planta de la superestructura
respecto del aislamiento y del aislamiento respecto del suelo. Así, en el Capítulo II se ha
investigado la torsión accidental en sistemas lineales provocada por la variabilidad en la
rigidez de los dispositivos de apoyo inherente a su proceso de fabricación. Para ello, se
ha recurrido a la importante cantidad de ensayos realizados en el Laboratorio de Control
de Vibraciones del Departamento de Ingeniería Estructural y Geotécnica de la Pontificia
Universidad Católica de Chile. A partir de éstos, se han encontrado los valores del
coeficiente de variación del módulo G para los compuestos 5H y 8H , respectivamente.
Además, se han desarrollado expresiones analíticas cerradas para distintos tipos o zonas
del espectro de desplazamientos especificados en los códigos de diseño. Estas
expresiones permiten, para ciertas condiciones geométricas del aislamiento, determinar
la desviación estándar de la respuesta en las esquinas del sistema de aislamiento en
forma exacta como lo demuestra la excelente concordancia obtenida entre sus resultados
y las simulaciones de Monte Carlo llevadas a cabo.
En el Capítulo III, se emplea el concepto de interacción dinámica entre la base y la
superestructura para estudiar el comportamiento sísmico de construcciones con asimetría
en planta. En éste, se ha demostrado que las amplificaciones en la superestructura se
pueden calcular en forma conservadoramente aproximada por un modelo que incluye
corrección de masa (MMC) que tiene en cuenta la interacción dinámica entre el
aislamiento y la superestructura. Conceptualmente, el MMC desprecia el término de
acoplamiento aislamiento-superestructura en la ecuación de movimiento asociada a la
base, pero incluye este término en la estimación del movimiento de la superestructura.
205
Debido a que el MMC es capaz de reproducir muy exactamente las frecuencias de
vibración de la superestructura, y subestima levemente el amortiguamiento en los modos
que determinan las deformaciones de la misma, conduce a una estimación conservadora
de la respuesta de la construcción. Se ha derivado además, un modelo cuasi-estático
(MCE) muy simple para aproximar la respuesta de la superestructura. La justificación
física de este modelo se basa en la usualmente pequeña razón entre los periodos de la
superestructura con base fija y el sistema de aislamiento. Esto, permite al ingeniero de
diseño estimar los desplazamientos de la superestructura mediante la consideración de
tres vectores de fuerzas de inercia, cada uno correspondiente a cada modo del sistema de
aislamiento. La utilidad de esta formulación reside, no solo en la simplicidad numérica,
sino en la comprensión conceptual del comportamiento tridimensional de estructuras
aisladas asimétricas en planta. Un resultado intuitivo importante se obtiene de la
observación que el acoplamiento aislamiento-superestructura tiene un efecto
despreciable en la respuesta del aislamiento, y por lo tanto, resulta posible ajustar los
parámetros del aislamiento para controlar la respuesta torsional de la superestructura sin
causar una respuesta no balanceada en el sistema de aislamiento.
En el Capítulo IV, mediante la aplicación del método cuasi-estático desarrollado en el
Capítulo III, se han encontrado expresiones que permiten, dada una excentricidad y una
relación de frecuencias en la superestructura, obtener la excentricidad y la relación de
frecuencias óptima que debe poseer el aislamiento a fin de minimizar y balancear el
comportamiento torsional de la superestructura para el caso de ruido blanco. Estas
expresiones se extienden sin dificultad al análisis modal espectral usando espectros de
diseño o de respuesta para sismos reales. Se obtienen así, curvas de diseño en función de )( bω , )( bζ , )(
0bΩ , )(
0sΩ y de las excentricidades )( sê y )( bê .
En el Capítulo V, se ingresa en el comportamiento en campo no lineal del aislamiento y
se propone una ley constitutiva fuerza-deformación de tipo fenomenológico para
aisladores elastoméricos. A partir de numerosos ensayos realizados en el Laboratorio de
Control de Vibraciones del Departamento de Ingeniería Estructural y Geotécnica de la
Pontificia Universidad Católica de Chile, se observa que este complejo fenómeno puede
206
modelarse a partir de tres componentes. Una primera componente de disipación, basada
en una modificación del modelo de Bouc-Wen, una segunda componente conservativa,
basada en modelos tipo “massing” que representa en forma muy eficiente el
comportamiento hiperelástico observado en ensayos unidimensionales, la que interactúa
con una tercera componente envolvente que modela el comportamiento de la curva de
carga virgen. Las predicciones de este modelo se contrastaron con resultados de ensayos
de aisladores sometidos tanto a excitaciones armónicas como a movimientos producidos
por sismos reales, obteniéndose excelentes resultados. Por otra parte, la metodología de
análisis presentada en este Capítulo, permite desarrollar una gran cantidad de leyes
constitutivas a partir del conocimiento de la función analítica carga-deformación del
material o dispositivo cuyo comportamiento no lineal se desea modelar. Conocida esta
función, solo es necesario determinar la expresión de la evolución de la rigidez en el
tiempo, obteniendo su derivada respecto a la deformación a fin de rescribirla como una
función dependiente de la velocidad. Esta ecuación de primer orden puede integrase
fácilmente mediante esquemas particionados ó mediante espacio de estado ampliado.
Además, la metodología aditiva seleccionada para la descripción del comportamiento
fuerza-deformación, permite la fácil incorporación de disipadores actuando en paralelo.
Finalmente, en el Capítulo VI se aplica la relación constitutiva desarrollada en el
Capítulo V a efectos de determinar los parámetros del aislamiento no lineal que
controlan la respuesta torsional de la superestructura. Se parte de la observación
realizada en el Capítulo III respecto a que el comportamiento acoplado lateral-torsional
de sistemas de aislamiento en campo no lineal muestra gran similitud con el campo
lineal. Esto se debe a que para grandes deformaciones, las frecuencias lineales
equivalentes del sistema no-lineal se mantienen sensiblemente constantes. Esta
circunstancia permite que el comportamiento acoplado del sistema de aislamiento en
campo no lineal sea previsible y controlable. A partir de esto se comprueba que la
metodología de control de la respuesta torsional de la superestructura se puede extender
sin ninguna dificultad a sistemas con aislamiento no lineal. Así, con los adecuados
parámetros de flexibilidad torsional y excentricidad en el sistema de aislamiento, se
207
consigue mejorar sustancialmente el comportamiento torsional de la superestructura. Es
interesante notar que aunque se introduzca excentricidad en sistemas de aislamiento
torsionalmente flexibles en campo no lineal, no se afecta su buen desempeño estructural.
Finalmente, se aplicó la metodología de control desarrollada a dos ejemplos
obteniéndose mejoras sustanciales en el balance torsional con disminuciones importantes
de giro debido a torsión y consecuentemente, notables reducciones en la respuesta
relativas respecto al aislamiento de los bordes de la superestructura.
VII.2 Conclusiones
Se presentan a continuación las conclusiones finales obtenidas en este trabajo de
investigación.
Como resultado del análisis de la influencia de la variabilidad de la rigidez en los
aisladores (Capítulo II), se obtienen las siguientes conclusiones:
(i) Los coeficientes de variación del módulo de corte G de los elastómeros
obtenidos a partir de numerosos ensayos para los compuestos 85 y HH
resultan iguales a %185 =kV y %98 =kV , respectivamente.
(ii) Se ha obtenido una ecuación basada en análisis modal espectral que predice
muy eficientemente la desviación estándar de la respuesta en el borde del
sistema de aislamiento. Esta expresión está en función de la relación de lados
de la planta del sistema de aislamiento, de la distribución en planta de los
aisladores, de la relación de frecuencias )(0
bΩ , del coeficiente de correlación
entre desplazamientos μ , y del coeficiente de variación de la rigidez de los
aisladores.
(iii) La desviación estándar máxima de la respuesta en el borde del sistema de
aislamiento para espectros de diseño que presentan una meseta de
desplazamiento constante es un 30% menor respecto de aquellos que
provienen de un espectro de seudo velocidad constante.
208
(iv) Las expresiones analíticas obtenidas en esta investigación demuestran que la
ecuación propuesta por Shenton y Holloway (2000) sobreestima la
desviación estándar de la amplificación en los bordes del sistema de
aislamiento. Estas últimas predicen una desviación estándar de la
amplificación tendiente a infinito para una razón de flexibilidad torsional
10 =Ω , en tanto que mediante simulaciones de Monte Carlo y la expresión
analítica propuesta en esta investigación se demuestra que la amplificación
torsional es mínima en torno a esta usual relación de frecuencias. Este
resultado coincide con lo obtenido anteriormente por de la Llera y Chopra
(1994).
(v) La máxima amplificación esperada en los bordes de un sistema de
aislamiento para el 5% de probabilidad de excedencia es muy inferior
respecto del valor predicho por las normas actuales. Este resultado no incluye
la influencia de la excentricidad de masa.
(vi) La desviación estándar de la amplificación en los bordes de un sistema de
aislamiento es entre el 60% y 3% menor que el coeficiente de variación de
los aisladores. Esta disminución, se encuentra directamente vinculada a la
relación de lados, al número de aisladores y al tipo de espectro de
desplazamientos considerado.
(vii) Los sistemas torsionalmente flexibles ( 10 <Ω ) poseen menor desviación
estándar de amplificación de la respuesta en los bordes que los sistemas
torsionalmente rígidos para espectros de seudo velocidad constante.
(viii) En el caso de espectros con meseta de desplazamiento constante los sistemas
torsionalmente flexibles ( 10 <Ω ) presentan la misma sensibilidad a la
variación de rigidez de los aisladores que sus recíprocos ( 1/1 0 >Ω )
torsionalmente rígidos.
Considerando el modelo dinámico desacoplado en cascada aislamiento-superestructura
(Capítulo III), se obtienen las siguientes conclusiones:
209
(ix) Los resultados de la aplicación de la metodología presentada en esta parte de
la investigación muestran que los desplazamientos estimados para la base
mediante la ecuación (3.28) comparados con análisis de historia de respuesta
en el tiempo conducen usualmente a un error máximo del 10%.
(x) Para sistemas con aislamiento torsionalmente flexibles, esto es 1)(0 <Ω b , y
excentricidades en la base 7.0ˆ )( ≤be , la esperanza de la máxima
amplificación de la respuesta se produce en el borde rígido y es usualmente
menor que 1.5.
(xi) Para sistemas de aislamiento torsionalmente rígidos 1)(0 ≥Ω b , la esperanza de
la amplificación máxima se produce en el borde flexible. Para la máxima
excentricidad teórica la amplificación máxima en este borde es del orden de
2, en tanto que en el borde rígido son siempre menores que 1.
(xii) Los desplazamientos estimados con la fórmula estática del UBC
sobreestiman las amplificaciones torsionales dinámicas del aislamiento por
factores de hasta 2, especialmente para razones de flexibilidad torsional
1)(0 <Ω b . Los resultados numéricos demuestran que la fórmula del código
UBC, basada en una aproximación estática, no conduce a aproximaciones
precisas de la respuesta de los bordes del aislamiento.
(xiii) La expresión cerrada desarrollada para análisis modal de la base y que se
propone para reemplazar la fórmula del código UBC, ha demostrado que
conduce a resultados precisos.
(xiv) Las amplificaciones máximas obtenidas para espectros de diseño en los
bordes del sistema de aislamiento y para el rango de excentricidades
considerado que incluye los valores extremos, no superan el 50% del
desplazamiento obtenido en el sistema nominalmente simétrico.
(xv) La aplicación al ejemplo de una construcción de 6 pisos, muestra la
simplicidad de esta expresión para estimar la amplificación en los bordes del
210
aislamiento, aspecto que resulta crucial durante el diseño de sistemas de
aislamiento sísmico.
(xvi) Para un rango de relaciones de períodos entre la superestructura con base fija
y el período aislado ( 4.0<as TT , Capítulo III), la superestructura percibe el
movimiento de la base como una acción estáticamente aplicada.
(xvii) Se propone una metodología de análisis modal espectral basada sólo en los
modos de la base. El error en la estimación de los desplazamientos relativos
máximos entre los bordes de la superestructura y el aislamiento resultan
menores al 10% para la relación de periodos establecida en (xv).
A partir del control acoplado lateral-torsional de la superestructura (Capítulo IV), se
obtienen las siguientes conclusiones:
(xviii) La rigidez de la estructura controla el nivel de desplazamiento en sus bordes
y mejora su balance torsional, en tanto que su comportamiento acoplado
lateral-torsional está gobernado por las propiedades del sistema de
aislamiento.
(xix) La minimización de la respuesta torsional de la superestructura requiere que
la mediana de la distancia entre el CM y la resultante de aceleración
traslacional de la base sea coincidente con la distancia entre el CM y el CR
de la superestructura, donde el CR se define para un sistema equivalente de
un piso (Anexo C). Esto se consigue dando excentricidad )( bê al sistema de
aislamiento en la misma dirección y magnitud que la excentricidad actual )( sê de la superestructura.
(xx) El balance de la respuesta acoplada lateral-torsional de la superestructura
depende de los parámetros del sistema de aislamiento, de la excitación y de la
razón de flexibilidad torsional ( )(0sΩ ) de la superestructura. El efecto total de
esta combinación es capturada por el coeficiente de correlación ν entre
aceleraciones traslacionales y rotacionales totales del aislamiento.
211
(xxi) El análisis del parámetro ν permite determinar que los sistemas de
aislamiento torsionalmente flexibles ( 1)(0 ≤Ω b ) permiten, además de
minimizar, balancear la respuesta torsional de la superestructura en
condiciones óptimas, entendiendo por tal, el control fuerte de la torsión en la
superestructura. Por otra parte, los sistemas de aislamiento torsionalmente
rígidos ( 1)(0 ≥Ω b ) no permiten controlar la respuesta torsional de la
superestructura.
Respecto de la relación constitutiva presentada en esta investigación (Capítulo V), se
obtienen las siguientes conclusiones:
(xxii) Las distintas componentes de la relación constitutiva propuesta capturan en
conjunto el comportamiento disipativo, el aumento de la rigidez para
desplazamientos moderadamente elevados y el efecto de “scragging” propio
de los elastómeros.
(xxiii) Ésta relación requiere de 7 parámetros y su identificación es función de
características físicas que se obtienen a partir de ensayos. Se ha realizado la
determinación de estos parámetros en numerosos aisladores y resultan ser
constantes asociadas al tipo de compuesto.
(xxiv) El modelo de constitutiva propuesto no se limita a modelar el
comportamiento de los elastómeros, ya que algunos dispositivos de
disipación de energía tales como los ADAS también presentan aumento de su
rigidez para desplazamientos moderados y pueden modelarse
adecuadamente.
(xxv) La componente de disipación y la envolvente de la relación constitutiva se
basan en el modelo de Bouc-Wen, por lo que se propone su extensión al
campo bidimensional mediante la metodología propuesta por Park et al. Ésta
deberá ser corroborada mediante ensayos.
212
Finalmente, los análisis llevados a cabo en rango no-lineal (Capítulo VI), permiten
obtener las siguientes conclusiones:
(xxvi) El comportamiento acoplado lateral-torsional de sistemas de aislamiento en
campo no lineal muestra gran similitud con la del campo lineal.
(xxvii) La flexibilidad torsional del sistema de aislamiento en campo no-lineal
depende del parámetro )b(oΓ asociado al radio de giro nominal del conjunto de
fuerzas del aislamiento obtenido para una traslación pura igual al
desplazamiento de diseño del sistema de aislamiento (Ecuaciones 6.10 y
6.11).
(xxviii)En el rango no lineal, al igual que en el lineal, los sistemas de aislamiento
torsionalmente flexibles son los que permiten el mejor balance de la
deformación de torsión de la superestructura respecto del aislamiento.
(xxix) Al igual que en los sistemas lineales, el control acoplado lateral-torsional de
la superestructura se logra dando excentricidad )( bê al sistema de aislamiento
en la misma dirección y magnitud que la excentricidad )( sê que posee la
superestructura.
VIII. ANEXOS
213
VIII ANEXOS
Anexo A Meseta de desplazamiento constante
Se presenta la determinación de las sensibilidades de la amplificación de los bordes a
una variación de la rigidez de los apoyos de un sistema aislado y su evaluación para la
determinación de varianzas para un espectro de desplazamiento constante. En este caso
se debe evaluar la función:
nkik
iinkik
i kf
kf
kf
== ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂μ∂
μ∂∂
+∂
ε∂ε∂
∂=
∂∂ ˆˆˆ
(A.1)
donde: eqqf ˆ;ˆˆ = y cuyas expresiones están dadas por las Ecuaciones (2.9) y (2.10).
A.1 Respuesta en el CM
0)1(
)(2)1(
2ˆ
02
3
22
0 =ε+
εμ+ε+
ε+
ε−=
ε∂∂
== nkiknkik H
Hq (A.2)
0)1(
ˆ
02
2
=ε+
ε=μ∂
∂== nkiknkik H
q (A.3)
0ˆ
=∂∂
= nkikik
q (A.4)
214
A.2 Respuesta en el borde
)1(~)1(2
1)1(
2ˆ1
1222
1nnkiknkik
e aH
H
Hqμ−±=
ε∂∂
ε++
ε+
ε−=
ε∂∂
== (A.5)
0)1(
)~1()~(ˆ
12
2
=ε+
ε±εε=
μ∂∂
== nkiknkike
Haaq m (A.6)
n
inkik
i
r
rinkik
i kNx
kke
ek ρ−Ω=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂ω∂
ω∂ε∂+
∂∂
∂ε∂=
∂ε∂
== )1(ˆ
ˆˆ
ˆ 20
(A.7)
n
innkik
i
e
kNxa
kq
ρ−Ω
μ−±=
∂∂
= )1()1(~ˆ
20
(A.8)
donde:
01ˆ =
−ω=ε == nkik
rnkik
ê (A.9)
112 240 =+εμ+ε= == nkiknkikH (A.10)
1)~1()~1()~(2)~( 22221 =ε±+ε±εεμ+εε= == nkiknkik aaaaH mm (A.11)
1
11ˆ
120
2 −Ω=
−ω=
∂ε∂
== nkikr
nkikê (A.12)
215
( )
( ) n
inkik
i
iiii
nkiki
kiixik
nkiki kN
x
k
xkkxkk
êρ
=ρ
−=
∂∂
ρ=
∂∂
===
∑∑ ∑∑
21 (A.13)
( ) 01ˆ
ˆ22 =
−ωω
−=∂
ε∂== nkik
r
rnkik
i
êk
(A.14)
216
Anexo B Desplazamientos para seudovelocidad constante
Se presenta la determinación de las sensibilidades de la amplificación de los bordes a
una variación de la rigidez de los apoyos de un sistema aislado y su evaluación para la
determinación de varianzas para un espectro de seudovelocidad constante. En este caso
se debe evaluar la función:
nkik
i
t
ti
r
riiinkik
i kf
kf
kk
kf
kf
kf
kf
== ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂ω∂
ω∂∂
+∂ω∂
ω∂∂
+∂∂
∂
∂+
∂μ∂
μ∂∂
+∂
ε∂ε∂
∂=
∂∂ ˆ
ˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆˆˆ (B.1)
Donde: eqqf ˆ,ˆˆ = y cuyas expresiones también están dadas por las Ecuaciones (2.9) y
(2.10).
B.1 Respuesta en el CM
( ) ( )
012
11
2ˆ 0
0222
0 =ε∂
∂
ε++
ε+
α−=
ε∂∂
== nkiknkik
L
Lkk
Lq (B.2)
0ˆˆ)1(
ˆ
02
2
=ωωε+
ε=μ∂
∂== nkik
tr
nkikLk
q (B.3)
( ) 21
)1(2
ˆ22/3
0 −=ε+
−=∂
∂== nkiknkik
k
L
kq (B.4)
0ˆˆˆ)1(
1ˆˆ
2
2
3
4
02
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
ωωεμ
−ωε−
ε+=
ω∂∂
== nkiktrr
nkikr Lk
q (B.5)
217
1ˆ)1(2
1ˆˆ
02
=ωε+
=ω∂∂
== nkik
t
nkikt Lk
q (B.6)
( )
nnkik
i
nkNik
nkiki kNkk
k 1=∂
∂=
∂∂
==
∑ (B.7)
0ˆˆˆ
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂ω∂
+∂
Ω∂Ω∂ω∂
=∂ω∂
== nkiki
t
i
tnkik
i
t
kê
êkk (B.8)
n
nkiki kNk
q2
1ˆ−=
∂∂
= (B.9)
donde:
nkik
ttrrnkikL == ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
ω+
ωωεμ
+ωε=
2
2
2
4
0 ˆ1
ˆˆ2
ˆ (B.10)
0ˆˆ4
ˆ4
2
30 =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωωεμ
+ωε
=ε∂
∂== nkik
trrnkik
L (B.11)
( ) [ ] 0
)21()1()1(2)1(22
1)1(2)1()1,1(1ˆ222
22
=Ω−−Ω−Ω+Ω+
−−ΩΩ+Ω−−Ω−Ω=
Ω∂ω∂
== nkiknkikt
signsign
signsignsign (B.12)
En la que 0)1,1( 0 =−Ωsign para todo número real.
04
)1(21ˆˆ
21ˆ
22
2
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Ω−
−Ω+=
∂∂
∂ω∂
=∂ω∂
=∂ω∂
==== nkiknkikt
nkikt
nkikt ê
s
ssignês
sêê (B.13)
218
B.2 Respuesta en los bordes
0
01
1222
1 )(~
)1(21
)1(
2ˆΩ
μ−Ω±=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
ε∂∂
ε++
ε+
ε−=
ε∂∂
==n
nkiknkike aL
Lkk
Lq (B.14)
( )( )( )
0ˆˆ12
~1~2ˆ
12
2
=ωωε+
εε±ε=
μ∂∂
== nkik
tr
nkike
Lk
aaq m (B.15)
( ) 2
112
ˆ22/3
1 −=ε+
−=∂
∂== nkiknkik
e
k
L
k
q (B.16)
( )
0ˆ12
1ˆˆ
1
12
=ω∂
∂
ε+=
ω∂∂
== nkikr
nkikr
c L
Lk
q (B.17)
de acuerdo a la Ecuación (B.1) no es necesario evaluar nkikt
eq=ω∂
∂
ˆ
ˆ por otra parte nkikik =∂
ε∂ y
nkikikk
=∂∂ se determinaron en las ecuaciones (A.1) y (B.1), por lo que finalmente:
( )( ) n
in
nnkik
i
e
kNxa
kNkq
ρ−ΩΩ
μ−Ω±−=
∂∂
= 1
~
21ˆ
200
0' (B.18)
Donde:
( ) ( )( ) ( )nkik
ttrrnkk
aaaaL ==
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
ωε±
+ωω
ε±εεμ+
ωεε
= 2
22
2
22
11 ˆ
~1ˆˆ
~1~2ˆ
~ mm (B.19)
219
( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]
( )( ) ( )0
02
2
2
21
~
ˆ
~~12ˆˆ
~~~1~22ˆ
~2~2
Ωμ−Ω
±=⎭⎬⎫
ω±ε±
⎩⎨⎧
+ωω
±εε+ε±εμ+
ωεεε
=ε∂
∂
=
=
nnkik
t
trrnkik
aaa
aaaaaaL mmmm
1== nkikk (B.20)
(B.21)
( ) ( )( )nkik
rtrnkik
r
aaaL==
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
ωωε±εεμ
−ω
εε−=
ω∂
2
2
3
221
ˆˆ
~1~2ˆ
~2ˆ
mm (B.22)
220
Anexo C Reducción de sistemas de múltiples pisos a sistemas de un piso
Obtenidos los valores y vectores propios del sistema múltiples pisos definimos una
estructura monosimétrica de un piso equivalente a partir de sus modos fundamentales:
[ ]nIInI φφΦ= (C.1)
donde [ ]Tinrnt φφ=niφ , en la que n indica el último nivel de la estructura, t traslacional
y r rotacional. El sistema equivalente de un piso tendrá una matriz de rigidez:
1n
2nnee Δmk −= ΦΦ (C.2)
donde ek es la matriz de rigidez equivalente y su masa equivalente esta dada por (s)(s)T(s) rmrm e = .
A partir de ek y em estimamos los parámetros de la estructura equivalente )( sê y )(
0sΩ por simple identificación de sus términos.
221
Anexo D Aceleración modal total
( )qkqcmq )()(1)( bbto +−= − &&& (D.1)
qΦΨΨΦq 1)()( −=→= bb (D.2)
[ ]( )
[ ]( )[ ]( )LL
LL
LL
)()()()()()(
)(2)()()()(
)()()()(
2ˆ
ˆ
ˆ
tk
bk
bk
bbTb
tk
bk
bbTb
ktbtTb
mdiag
mdiag
mdiag
ωζ==
ω==
==
cΦcΦ
kΦkΦ
mΦmΦ
(D.2-a, b, c)
de la Ecuación (D.2-a) 1)()()()( ˆ −− = tbtTb mΦmΦ (D.3) luego de las Ecuaciones (D.2-b, c) se obtiene
1)()()(
1)()()(
ˆ
ˆ
−−
−−
=
=
bTbb
bTbb
ΦcΦc
ΦkΦk (D.4-a, b)
reemplazando (D.3) en (D4-a, b) se obtiene:
1)()()()()(
1)()()()()(
~
~
−
−
=
=
bbbtb
bbbtb
ΦcΦmc
ΦkΦmk (D.5-a, b)
y finalmente, reemplazando (D.5-a, b) en (D1) se obtiene
( ) ( )
∑=
−−−
Ψ==
+−=+−=
n
kk
bk
b
bbbbbbbbbbtt
1
0)(0)(0
)()()()()(1)()(1)()()()(1)(0 ~~~~
&&&&&&
&&&&
φΨΦq
ΨcΨkΦqΦcqΦkΦmmq (D.6)
donde )()()()(0 ~~ bbbb ΨcΨkΨ &&& −−= es el vector de aceleración modal total.
222
Anexo E Esperanza de aceleración máxima
Para un vibrador de 1 gdl, la aceleración absoluta se calcula por la expresión:
qqz 2002 ω−ωζ−= &&& (E.1)
Donde guqz += , con q coordenada relativa y gu desplazamiento de terreno.
Aplicando el operador esperanza se obtiene que:
qqqqz y 02020
402
20
24 4 λωλλωλωζλ =+= (E.2)
Por lo que:
( ) qz 040
24 41 λωζλ += (E.3)
Y con base en la Ecuación (4.20), resulta:
( ) ( ) 240
22
22
2
240
22
2
4141 dqqq
q
q
dq
z
z SSypS
pS
pS ωζωζ =+=+= (E.4)
donde dqS es la ordenada espectral de desplazamientos relativos y qS la
seudoaceleración espectral de q y zS la seudoaceleración total del vibrador de un grado
de libertad.
223
Anexo F Coeficiente de correlación de desplazamientos
Para aquellos sistemas de dos pisos considerados, existen las siguientes relaciones entre
los parámetros del aislamiento
srt =ω+ω 22 ˆˆ (F.1)
( ) 2)(2222 4ˆˆ brt s Ω−=ω−ω
)(4ˆˆ brt Ω=ωω
( ) ( ) 2)(2)(2 1ˆˆ bbrt ê++Ω=ω+ω
dado que se emplea en el método CQC, el coeficiente de correlación modal con igual
amortiguamiento en todos su modos queda dado por
( ) ( )( ) ( )22222
23
2
4
ˆˆ8
trtrtr
trtr
ω+ωωωζ+ω−ω
ωωωωζ=μ (F.2)
reemplazando el conjunto de Ecuaciones (F.1) en la (F.2) se obtiene el coeficiente de
correlación en función de los parámetros del aislamiento,
( )
( )[ ]002
02
030
2
2428
Ω−Ω+ξΩ+
Ω+Ωξ=μ
sss
rt (F.3)
para extender esta expresión al caso de amortiguamiento proporcional a la rigidez basta
con considerar que:
r
t
r
ta ζ
ζ=
ωω
=Ωˆˆ
(F.4)
y la Ecuación (F.2) se transforma en:
( )( ) ( )22222
222
181
18
aara
aar
Ω+Ωζ+−Ω
Ω+Ωζ=μ (F.5)
224
Anexo G Rotación mínima como cociente de distribuciones gaussianas
El objetivo del presente anexo es la interpretación probabilística de la expresión que
minimiza la rotación de la superestructura. Para ello escribamos la expresión de la
excentricidad dinámica e(t) en el sistema de aislamiento:
)(
)()()()(
2
tqmtm
tVtTte
&&
&&θρ== (G.1)
expresión en la que: =)(tT momento de torsión en el instante t
=)(tV esfuerzo de corte en el instante t
=m masa total de la estructura
=ρ radio de giro de la masas
=θ grado de libertad rotacional
=q grado de libertad traslacional
de la expresión (G.1) resulta que:
)()(
)(tqtq
tê&&
&&θ= (G.2)
donde ρθθ =q&&
supongamos que las variables )(tq θ&& y )(tq&& son variables aleatorias con distribución
normal
)0,()();0,()( 44 ===≈ qqqq mNtqmNtq &&&&&&&& λλ
θθθ (G.3)
225
expresión en la que i4λ es la varianza y im es la media. Normalizando las variables
aleatorias respecto de la desviación estándar se tiene que:
tqQtqtQ&&&&
&&&&&&&&
44
)(;)()(λλ
θ
θθ == (G.4)
la distribución de probabilidad conjunta de estas variables normalizadas se puede
escribir como:
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+ν−
ν−−
ν−π= θθθ
2222
2)1(2
1exp121),( QQQQQQf &&&&&&&&&&&& (G.5)
a partir de las (G.4) escribamos la excentricidad a partir de las variables normalizadas
como:
04
4 )()(
)()(
)(ê
têtê
tQtQ
tÊq
q=
λ
λ==
θ
θ
&&
&&
&&
&& (G.6)
expresión en la que la variable 0ê es una excentricidad de referencia. La función de
densidad de probabilidad de )(tÊ se obtiene como:
( )( )
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
ν−
ν−ν−π
== ∫∞
∞−θ 2
2
2
111
1,,)(Ê
QdQQQÊQQfÊf &&&&&&&&&&&& (G.7)
conocida como función de densidad de probabilidad generalizada de Cauchy y cuya
mediana se encuentra dada por ν . Así la mediana de ê(t) está dada por:
226
[ ]q
qm êtÊêmedianêmedianê
&&
&&
4
400 )()(
λ
λνν θ==== (G.8)
expresión idéntica la obtenida y que expresa que para minimizar la respuesta torsional
de la superestructura su centro de rigidez debe coincidir con el punto de paso mas
probable de la resultante de aceleración total del sistema de aislamiento, dado por la
mediana de la distribución de probabilidad de la expresión (G.2).
Así para el caso considerado en el apartado IV.4 Figura 4.4 se obtiene la siguiente
distribución de frecuencias de excentricidad instantánea.
Figura G.1 Distribución de frecuencias de la excentricidad instantánea. El Centro. Distribución generalizada de Cauchy asociada. Aislamiento: πω 8.0)( =b ; πω 4)( =s ;
2.0)( =bζ ; 05.0)( =sζ ; 1.0)(0 =Ω b ; 7.0)(
0 =Ω s ; 3.0)()( == sb êê .
En la Figura G.1 se presenta el histograma de la distancia desde el CM al punto de paso
de la resultante de aceleraciones traslacionales ( rê ) normalizado a la máxima frecuencia
−200 −150 −100 −50 0 50 100 150 200
0
0.5
1
structure width (m.)
frec
uenc
ies
ancho de estructura (m)
frec
uen
cias
227
y la distribución de Cauchy asociada. Se observa que la mediana de las distancias a la
resultante se ubica ahora sobre la posición del CR de la superestructura ( 3.0=rê ).
228
Anexo H Determinación del coeficiente de correlación ν~
El objetivo del presente anexo consiste en la determinación de la matriz de covarianzas
de aceleraciones absolutas de un sistema de dos grados de libertad.
Dada la ecuación diferencial de un sistema monosimétrico:
gurmxkxcxm &&&&& −=++ (H.1)
En la que
m es la matriz de masas, c la matriz de amortiguamiento, k la matriz de rigidez,
[ ]01=Tr la matriz de colocación de la excitación traslacional, gu&& la aceleración del
suelo y [ ]θ= yTx los grados de libertad del sistema.
Supongamos que la excitación Wg =u&& , en la que W es ruido blanco y supongamos
realizar la sustitución:
ηΦ=x (H.2)
ecuación en la que:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡φφφφ
=2,21,2
2,11,1Φ (H.3)
son los modos del sistema de vibración y:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΨΨ
=2
1Ψ (H.4)
Son las coordenadas modales del sistema. En estas condiciones la Ecuación (H.1) puede
escribirse en la forma
229
W⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡φφ
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΨΨ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
ωω
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
ΨΨ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ωζ
ωζ+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
ΨΨ
2,1
1,1
2
122
21
2
1
22
11
2
1
00
00
2&
&
&&
&& (H.5)
las matrices de espacio de estado en tiempo continuo pueden escribirse como:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
ωζ−ω−ωζ−ω−
=
2222
1121
20002010000100
A ;
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
φ−φ−
=
2,1
1,1
00
B (H.6)
la ecuación de Lyapunov se escribe entonces como:
0BWBXAAX =++T (H.7)
Ecuación en la que X es la matriz de covarianzas y esta dada por:
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
σ
σσρσ
σσρσσρσ
σσρσσρσσρσ
Ψ
ΨΨΨΨΨ
ΨΨΨΨΨΨΨΨΨ
ΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨ
22
121,22
1
222,2121,22
2
212,1111,1212,12
1
&
&&&&&
&&&&
&&&&
Sym (H.8)
sustituyendo las Ecuaciones (H.6) y (H.8) en la (H.7) y resolviendo, se obtienen los
siguientes resultados:
311
21,12
1 4 ωζ
φ=σ Ψ
W; 3
22
22,12
2 4 ωζ
φ=σ ψ
W (H.9)
11
21,12
1 4 ωζ
φ=σ
Ψ
W& ;
22
22,12
2 4 ωζ
φ=σ
Ψ
W& (H.10)
02,21, =ρ=ρΨΨΨΨ && (H.11)
230
)()(4)(
)()(8
122122112122
122
22112/3
21212,1 ωζ+ωζωζ+ωζωω+ω−ω
ωζ+ωζωωζζ=ρ ΨΨ (H.12)
)()(4)(
)()(8
122122112122
122
12212/3
21212,1 ωζ+ωζωζ+ωζωω+ω−ω
ωζ+ωζωωζζ=ρ
ΨΨ && (H.13)
)()(4)(
)(4
122122112122
122
1221121
22
2,1 ωζ+ωζωζ+ωζωω+ω−ω
ωωζωζω−ω−=ρ
ΨΨ & (H.14)
)()(4)(
)(4
122122112122
122
2221121
22
2,1 ωζ+ωζωζ+ωζωω+ω−ω
ωωζωζω−ω=ρ
ΨΨ& (H.15)
Rescribiendo la Ecuación (H.1) para ruido blanco, podemos decir que:
xkmxcmWrx 1-1 (t) −−−=+ &&& (H.16)
llamando:
)()()( ttt Wrxz += &&&& (H.17)
y recordando que:
TΦωΦ 21 =− km (H.18)
TΦωΦ 21 2ζcm =− (H.19)
haciendo la sustitución ΨΦ=x , con modos normalizados a masa modal unitaria, y
sustituyendo la (H.17) en la (H.16) se tiene que:
ΨωΦΨωζΦ 22)( TTt −−= &&&z (H.20)
231
Por lo que finalmente podemos escribir la (H.20) como:
ΨωΨωζυΦ 22(t))( −−== &&&&& tT z (H.21)
que podemos definir como la aceleración absoluta modal de los grados de libertad del
sistema. Aplicando el operador esperanza a la Ecuación (H.21) obtenemos:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ωζΨΨωωΨΨζωωΨΨωζωΨΨζωυυ T22T2T2TT 224 &&&&&&&& EEEEE +++= (H.22)
Ecuación en las que las matrices ζ y ω son diagonales por lo que la matriz y su
transpuesta son idénticas. En la Ecuación (H.22) todos los términos esperanza son
conocidos, por lo que operando con ellos se obtiene la matriz de covarianzas de
aceleraciones totales modales, cuyos términos principales están dados por:
W1
211
21,1
1 4)41(
ζ
ζ+ωφ=σ υ&& (H.23)
W2
222
22,1
1 4)41(
ζ
ζ+ωφ=σ υ&& (H.24)
[ ]
[ ])()(4)()41()41(
)(48~
122122112122
122
22
21
312
321122122112211
ωζ+ωζωζ+ωζωω+ω−ωζ+ζ+
ωζ+ωζ+ωζ+ωζωζωζωζωζ=ν (H.25)
Las ecuaciones (H.23) y (H.24) son conocidas para vibradores de un grado de libertad a
menos del término modal que los premultiplica y la Ecuación (H.25) es el coeficiente de
correlación de aceleraciones modales totales o absolutas.
232
Para amortiguamiento constante en todos los modos de vibración la Ecuación (H.25) se
puede escribir como:
[ ]
[ ]221
221
221
22
2
31
321221
221
2
)(4)()41()(48~
ω+ωζωω+ω−ωζ+
ω+ω+ω+ωωωζωωζ=ν (H.26)
Si realizamos la sustitución expresada en la Ecuación (F.4), se llega a:
( )[ ]
( )( ) ( ) ( )[ ]222)(222)(22)(
222)(22)(
1814141
188~
aab
rab
rab
r
aab
rab
r
Ω+Ωζ+Ω−ζΩ+ζ+
Ω++ΩζΩζ=ν (H.27)
233
Anexo I Balance torsional
Si asumimos que la condición expresada por la Ecuación (4.17) es raíz de la Ecuación
(4.18) se tiene la siguiente expresión:
0
21
)(4
)(4
2)(0)(
4)(
42)(
0
)(4
)(4
)(4
)(4
)(4
)(4
)(4
)(4
3
)(4
)(4
)(4
)(4
3
2)(0
2)(
=⎥⎥⎦
⎤λλνΩ−λλνΩ
⎢⎢⎣
⎡+
λ
λλλν+
λ
λλλν−
λ
λλλν
Ωωbt
br
sbt
br
s
bt
bt
br
br
bt
bt
br
br
bt
bt
br
br
ss
(I.1)
Resulta claro que la única forma en que la Ecuación (F.1) sea nula es cuando se
verifique que 1=ν . Otra solución posible es que 0=ν , situación que se alcanza cuando
la aceleración total traslacional y rotacional se encuentran totalmente descorrelacionadas
y de la Ecuación (4.17) esta situación se corresponde con el caso trivial en que tanto la
superestructura como el sistema de aislamiento son simétricos.
234
Anexo J Algoritmo de integración de la constitutiva
Se presenta en esta sección el algoritmo de integración empleado para la constitutiva en
la etapa de intercambio entre la etapa envolvente y conservativa hiperelástica.
Definimos:
=xu Desplazamiento normalizado máximo s/x.
=yu Desplazamiento normalizado máximo s/y.
=ru Desplazamiento normalizado total máximo.
=máxd Desplazamiento normalizado máximo obtenido de ensayo, para la máxima distorsión γ .
→=1dxc se integra sobre la envolvente.
→=0dxc se integra sobre la conservativa hiperelástica.
Así, para un aislador:
[ ]( )2,)(v)(vv kknorm yxk = Para la dirección x
( )xx ukabsif >)(v
1=dxc
)(v ku xx = else
))1(v())(v( −≠ ksignksignif xx && 1=dxcif
235
0=dxc
))(( kZabsZ ex
hx =
( ) ( ) 0
2
00
22201 1ln
12 c
cZc
ZccZcucc h
x
hx
hxxx +
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
end
end end idem para la dirección y nivel de disipación
( )rx ukif >)(v
→= )(v kur aumento de disipación
( )2>kif ))1(v)(v())2(v)1(v( −−≠−−− kksignkksignif xxxx 0))1(v)(v( >−− kksignif xx →−= )1(v ku xr disminución de disipación end
end
end end
r
máxr u
dδδ =
236
Definidos los parámetros de integración se aplican las ecuaciones (5.37) y (5.38) y
posteriormente se evalúan:
( )( ) →
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−+=−+=
dyhxdy
ey
hey
dxhxdx
ex
hex
cZcZZcZcZZ
11
,
,
&&&&&&
a rutina de integración
Las integraciones de la etapa disipativa de la goma y de disipadores actuando en paralelo
son aditivas al resultado anterior.
BIBLIOGRAFÍA
237
BIBLIOGRAFIA
Annigieri, S., Mittal, A. K., Jain, A. K. (1996),"Uncoupled frequency ratio in
asymmetric buildings". Earth. Engrg. Struc. Dyn., 25(), 871 - 881.
Arias, A. (1970). “A measure of earthquake intensity”. R. J. Hansen, ed. Seismic Design
for Nuclear Power Plants: MIT Press, Cambridge, Massachussets, pp. 438-483.
Chang, D-Y. (1992). ''Parsimonious modeling of inelastic structures''. Report Nº EERL
92-02. Earthquake Research Laboratory. California Institute of Technology.
Clough, Ray W., and Penzien Joseph. (1993). "Dynamics of structures". Mac Graw -
Hill, Inc. 2nd. Ed. Chap. 25, pp. 600.
De la Llera, J. C. and Inaudi, J. A. (1992). ''Dynamic analysis of nonlinear structures
using state-space formulation and partitioned integration schemes''. UCB/EERC-92/18.
Earthquake Research Center, University of California at Berkeley.
De la Llera J. C., Chopra A. K. (1994) "Accidental torsion in buildings due to stiffness
uncertainty". Eatrh. Engrg. Struc. Dyn.; 23(2): 117 - 136.
De la Llera J. C., Chopra A. K. (1994) "Accidental torsion in buildings due to base
rotation excitation". Eatrh. Engrg. Struc. Dyn.; 23(9): 1003 - 10021.
De la Llera J. C., Inaudi J. A. (1994). "Analysis of base-isolated buildings considering
stiffness uncertainty in the isolation system". Proceedings of the Fifth National
Conference on Earthquake Engineering. Vol I.: 623-632.
238
De la Llera J. C., Chopra A. K. (1995). "Estimation of accidental torsion effects for
seismic design buildings". Journal of Structural Engineering, 21(1), 102-114.
De la Llera, J. C., Lüders, C., Leigh, P., Sady, H. (2004). "Analysis, testing and
implementation of seismic isolation of buildings in Chile". Earth. Engrg. Struc. Dyn.,
Vol.33(5), 543 - 574.
De la Llera, J. C., Almazán, J. L., Vial, I. J. (2005). "Torsional balance of plan-
asymmetric structures with frictional dampers: analytical results". Earth. Engrg. Struc.
Dyn., Vol.34(9), 1089 – 1108.
Der Kiureghian, A. (1981). "A response spectrum method for random vibration analysis
of MDF systems". Earth. Engrg. Struc. Dyn., Vol.9, 419 - 435.
Eurocode 8 (1994). Design Provisions for Earthquake Resistance of Structures, Part 1:
General Rules. ENV 1993-2, Comité Europeen de Normalization, Brussels.
Forni, M., Martelli, A., Bettinalli, F. and Dusi, A. (1995). ''Finite elements models of
rubber bearings and guidelines development for isolated nuclear facilities in Italy''.
International Post-Smirt Conference Seminar on Seismic Isolation, Passive Energy
Dissipation and Active Control of Vibration Structures - Santiago, Chile, August 21 to
23.
Gupta, A. K. (1984). "Modal combination in response spectrum method". Proc. 8 World
Conference on Earthquake Engineering. San Francisco.
Gupta, A. K. (1990)."Response spectrum method in seismic analysis and design of
structures". Blackwell Scientific Publications. Boston - Oxford - London Edinburg
Melbourne. pp 40-49.
239
Hammersley, J.M. y Handscomb, D.C. (1965) Monte Carlo Methods. Chapman and
Hall, Londres.
Hejal, R., Chopra, A. K. (1987). "Earthquake response of rotationally-coupled
buildings". Report Nº UCB/EERG-87/20. EERC. Berkeley, California.
Hwang, J. S., Wu, J. D., Pan, T-C., Yang, G. (2002). “A mathematical hysteretic model
for elastomeric isolation bearing”. Eatrh. Engrg. Struc. Dyn., 4, pp. 771-789.
Inaudi, J. A., De la Llera, J. C. (1992). “Dynamic analysis of non linear structures using
state-space formulation and partitioned integration schemes”. Report Nº UCB/EERC-
92/18, Earthquake Engineering Research Center. University of California at Berkeley.
Junemman, R., De la Llera, J. C., Besa, J., Almazán, J. L. (2006). "Three dimensional
behavior of a self-centering rolling precast prestressed pile". Earth. Engrg. Struc. Dyn.
To be submitted July 2007.
Kanai, K. (1957). "Semi empirical formula for the seismic characteristics of the ground".
University of Tokyo, Bull. Earthquake Research Institute, Vol. 35, pp. 309 -325.
Kelly, James. M. (1997). Earthquake-Resistant Design with Rubber. 2nd ed. Berlin and
New York: Springer-Verlag.
Kulak, R. F. and Hughes, T. H. (1995). ''Mechanic behavior of a suite of elastomers used
for seismic base isolation''. Reactor Engineering Division Argonne National Laboratory,
Argonne Illinois. U. S. Government, Contract Nº W-31-109-ENG-38.
240
Kulkarni J. A. and Jangrid R. S. (2002). "Rigid body response of base-isolated
structures". Journal of Structural Control, 9: 171-188.
Lee, D. M. (1980). "Base isolation for torsion reduction in asymmetric structures under
earthquake loading". Earth. Engrg. Struc. Dyn., 8(3), 349 -359.
Moka, A.s S., Navichandra, A., Constantinou, M. C., Zayas, V. (1996). "Seismic
isolation retrofit of large historic building". J. Struc. Engrg. Div., ASCE, 122(3),298-
308.
Naeim, F. and Kelly, J. M. (1999). ''Design of seismic isolated structures - from theory
to practice''. John Wiley \& Sons. N. Y.
Nagarajaiah, S., Reinhorn, A. H., and Constantinou, H. C. (1993). "Torsion in base-
isolated structures with elastomeric isolation systems”. J. Struc. Engrg. Div., ASCE, 119
(10), 2932 - 2951.
Nakamura, T., Suzuki, T., Okada, H., and Takeda, T. (1988). "Study on base isolation
for rotational response in asymmetric structures under earthquake motions". Proc. Ninth
World. Conf. on Earthquake Engrg., Int. Assoc. of Earthquake Engrg., Tokyo, Japan, V,
675 - 680.
Nawrotzky, P. (2000). ''Some strategies or the reduction of seismic structural responses''.
The First International Conference Stability and Dynamics, December 7-9, Taipei,
Taiwan.
NCh 2745. Of. 2003. “Análisis y diseño de edificios con aislación sísmica”. Instituto
Nacional de Normalización. Chile - Ed. 2003.
241
Newmark, N. M., Rosenblueth, E. (1976), “Fundamentos de Ingeniería sísmica”.
México, Editorial Diana.
Oppenheim, A. V., and Willsky, A. S. (1983). “Señales y Sistemas”. Prentice Hall
Hispanoamericana S. A., Englewood Cliffs, México.
Osgood, W. R., Ramberg, W. (1943). “Description of stress-strain curves by three
parameters”. NACA Technical Note 902, National Bureau of Standards, Washington.
Pan, T. C., and Kelly, J. M. (1983). "Seismic response of rotationally coupled base
isolated structures". Earth. Engrg. Struc. Dyn., 11(6), 749 - 770.
Papagorgiou, A. S., and Lin, B. C. (1989). "Study of the earthquake response of the
base-isolated law and justice center in Rancho Cucamonga". Earth. Engrg. Struc. Dyn.,
18(4), 1189 - 1200.
Park, Y. J., Wen, Y. K., Ang A. H-S. (1986). ''Random vibration of hysteretic systems
under bi-directional ground motions''. Eatrh. Engrg. Struc. Dyn., 14, pp. 543-557.
Ryan, Keri L., and Chopra, Anil K. (2002). "Approximate analysis methods for
asymmetric plan base-isolated buildings". Earth. Engrg. Struc. Dyn., 31, 33 - 54.
Salmonte, A. J. (1982). "Considerations on the residual contribution in modal analysis".
Earth. Engrg. Struc. Dyn., Vol. 10, 295-304.
Salomon, O. M., Oller, S., Barbat, A. H. (2000). ''Simulación numérica de elastómeros
multifase en estiramientos principales''. Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en
Ingeniería, 16 (1), pp.115-144
242
Sandler, I. S. (1978). ''On the uniquenes and stability of endochronic theories of material
behavior''. Journal of Applied Mechanics, ASME, vol. 45, Nº 2, pp. 263-266.
Seguin, C. E., De la Llera, J. C. (2003). “Propuesta de constitutiva no-lineal para
aisladores elastoméricos”. XI Seminario Iberoamericano de Ingeniería Sísmica y 6 -
EIPAC - 2003., Mendoza, Argentina 28 de Agosto de 2003
Seguin, C. E., De la Llera, J. C., Almazán, J. L. (2007). “Base-structure interaction of
linearly isolated structures with lateral-torsional coupling”. Engineering Structures, 30(2
2008)p.p. 110-125 doi: 10.1016/jengstruct.2007.02.019
Seguin, C. E., Almazán, J. L., De la Llera, J. C. “Torsional balance of seismically
isolated asymmetric structures”. Engineering Structures. To be submitted. July 2007.
Shenton III H. W., Holloway E. S. (2000). "Effect of stiffness variability on the response
of isolated structures". Earth. Engrg. ans Struc. Dyn.; 29(1): 19 - 36.
Sinha, R., Igusa, T. (1996). "CQC and SRSS methods for non-classically damped
structures". Earth. Engrg. Struc. Dyn., 24, 615 - 619.
Singh, M. P. (1983). "Seismic design response by an alternative SRSS rule". Earth.
Engrg. Struc. Dyn., Vol. 11, 771-783.
Tajimi, H. (1960). "A statistical method of determining the maximum response of a
building structure during an earthquake". Proc. 2nd World Conference on Earthquake
Engineering, Tokyo and Kyoto, Vol. II, pp. 781 -798.
Tena-C, A., Gómez-S., L. (2002) “Torsional response of base-isolated structures due to
asymmetries in the superstructure”, Engineering Structures.
243
Tena-C., A, Zambrana-R., C. (2005). “Dynamic torsional amplifications of base-isolated
structures with an eccentric isolation system”. Engineering Structures 28, 72-83, doi:
10.1016/j.engstruct.2005.07.003.
Tena-C., A. (2005). “Development of guidelines for the seismic design of base-isolated
structures in Mexico”. 9th World Seminar on Seismic Isolation, Energy Dissipation and
Active Vibration Control of Structures, Kobe, Japan.
Tena-C., A., Escamilla-C., J. L. (2006). “Torsional amplifications in asymmetric base-
isolated structures”. Engineering Structures 29, 237-247, doi: 10.1016/j.engstruct.
2006.03.036.
Tsopelas, P. C., Constantinou, M. C., and Reinhorn, A. M. (1994). ''3D-Basis-ME:
computer program for nonlinear dynamic analysis of seismically isolated single and
multiple structures and liquid storage thanks''. Report Nº NCEER-94-0010, National
Center for Earthquake Engineering Research, Buffalo. N. Y.
Uniform Building Code. (1997). “Earthquake regulations for seismic isolated
structures”. Whittier C.A.
Wen Y. K. (1975). ''Approximate method for nonlinear random vibration''. J. Engrg.
Mech. Div., ASCE, 101(EM4), 389-401.
Zayas, V. A., Low, S. S., Mahin, S. A. (1987), “The FPS earthquake resisting system:
experimental report”, Report Nº UCB/EERC-87/01, Earthquake Engineering Research
Center, University of California at Berkeley, Berkeley, CA.
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