teselaciones no periódicas. una teselación no periódica es aquella en la que no hay una...

Teselaciones no periódicas

Teselaciones no periódicas

Una teselación no periódica es aquella en la que no hay una repetición regu-lar del diseño mediante traslaciones. En la siguiente diapositiva se muestra un ejemplo.

Teselaciones no periódicas

En todos los casos conocidos, si una pieza permite realizar una teselación no periódica, la misma pieza permite hacerla periódicamente, pero no se ha demostrado que sea cierto para cualquier forma posible.

Teselaciones no periódicas

También se creyó durante mucho tiempo que era cierto el caso más general (que incluye al anterior) de que si se puede construir una teselación no periódica con un conjunto de una o más piezas, entonces también es posible construir una periódica con las mismas piezas.

Un contraejemplo Pero la creencia anterior resultó ser

falsa. En 1964, Robert Berger encontró un conjunto de 20426 formas distintas que solamente permiten recubrir el plano de manera no periódica.

Una teselación aperiódica es aquella que es no periódica pero además es imposible disponer sus piezas de forma que constituyan una teselación periódica.

Teselaciones aperiódicas

La teselación de Robinson

En 1971 Roger Robinson exhibió el siguiente conjunto de baldosas que solo permiten teselaciones no perió-dicas:

La teselación de Robinson

Las teselaciones de Penrose

Hacia 1973, Roger Penrose presentó el siguiente conjunto de formas que teselan de manera no periódica:

Las teselaciones de Penrose

Las teselaciones de Penrose

Este es un ejemplo de teselación con las piezas anteriores:

Las teselaciones de Penrose

Posteriormente, Penrose halló dos piezas que solo permiten teselaciones no periódicas. Curiosamente, la forma de construirlas es muy fácil.Se parte de un rombo de ángulos interiores cuyas amplitudes son 72 y 108 grados.

Las teselaciones de Penrose

Las teselaciones de Penrose

Penrose llamó a una de las formas “dardo”, y a la otra “cometa”. Si la longitud del lado del rombo vale 1, entonces los lados menores del dardo y de la cometa valen 0,618…, que es justamente el número aúreo menos la unidad. La diapositiva siguiente reco-ge este hecho.

Las teselaciones de Penrose

Las teselaciones de Penrose

Nótese que el dardo y la cometa no pueden acoplarse para formar el rombo, pues entonces podría confi-gurarse un recubrimiento periódico. Los entrantes y salientes que se ven en la diapositiva anterior fuerzan que no se pueda dar tal posibilidad.

Otra manera de lograr lo mismo es dibujar en el dardo y en la cometa unos arcos de circunferencia de distinto color, exigiendo que dos piezas se pueden juntar si coinciden en los lados que se juntan los arcos de igual color.

Las teselaciones de Penrose

Las teselaciones de Penrose

Las teselaciones de Penrose

Las teselaciones de Penrose

Las teselaciones de Penrose

Las teselaciones de Penrose