teoria de funciones

EL AZAR OBJETIVO

Bases de la EVOLUCIÓN FORMAL DE LOS MODELOS COMPLEJOS:

De la función matemática como representación a la iteración de funciones como lenguaje generativo.

“El surrealismo intenta resolver la vieja oposición entre el yo y el mundo, lo interior y lo exterior, creando objetos que son interiores y exteriores a la vez”

(Octavio Paz)

Teoría deFunciones

Teoría deFunciones - Funciones lineales - Funciones no-lineales

Lógica de Conjuntos

GeometríaEuclidiana

Álgebra

Calculo

LógicaAristotélica

SistemasFormales (Maquina de Turing)

Computo

Estadística

Geometrías no Euclidianas

• T. Pliegues

• Fractales

• IFS

• T. Caos

Reduccionismo de la geometríaal calculo

Reduccionismo del calculo a la lógica

DescartesRussel-Fregue-De Morgan

Reduccionismo de la lógicaal computo

REDUCCIONISMO Y MODELOS (“menos es mas”)

Geometrías deN- Dimensiones

Iteración De Funciones

Para comprender ciertos fundamentos de las actuales ciencias de la complejidad, consideraremos 3 hitos:

1. El desarrollo de la nociones de FUNCIONES y del CÁLCULO (reducción de la geometría euclidiana –griega- al algebra indo-arábica).

2. El desarrollo de la noción de SISTEMAS FORMALES, y las bases del COMPUTO (reducción del álgebra a la lógica y de esta al computo).

3. El desarrollo de la noción de iteración de funciones, retroalimentación, scaling properties, ecuaciones no-lineales, como consecuencia de diversas teorías y modelos (como la geometría fractal, teorías del caos, catástrofes, etc.),

=

=

==

=

El alfabeto de las funciones

Puede considerarse que el lenguaje de la matemática se da sobre la base de desarrollo de una teoría de funciones que opera como lenguaje que representa formas, curvas, trayectorias o figuras matemáticas diversas.

Su programa central de investigación, será el de representar cualquier curvo o forma posible, en una función.

• Una función puede ser expresada tanto algorítmicamente, como geométricamente.

• Esta equivalencia entre forma-geometría y expresión algebraica-analítica es el gran aporte de Descartes al pensamiento moderno, sentando las bases del calculo

=

Tipos de Funciones

Tipos de funcionessegún lógica de conjuntos

Función lineal

La ecuación general de la recta es:

Tipos de funciones según estructura de la ecuación general

Función cuadrática

Formula general

f(x)= x2 - 5x + 4

f(x)= ax2+bx+c f(x)= - x2 - 5x + 4

f(x)= - 2x2 - 5x + 4

Función raíz

Se llama enésima raíz, o raíz de

orden n su función recíproca, y se

puede anotar de formas:

Función exponencial

En términos generales, una función es exponencial si se expresa de la forma

siendo a y k reales.

Funciones TrigonométricasCoseno

hiperbólico

Seno hiperbólico

Tangente hiperbólica

Coseno

Catenaria

Funciones varias

AstroideBicornoCardioideOvalo CartesianoOvalos de CassiniCatenariaSextico de CayleyCirculoCissoide de DioclesCochleoideConchoideConchoide de De SluzeCicloideCurve del DiabloDouble FoliumCurva de DürerCurva de Concha Curva de 8ElipseEpicicloideEpitrochoide

Espiral de FermatFoliumFolium de DescartesNefroide de Freeth Curvas de FrecuenciaHiperbolaEspiral HiperbolicaHipocicloideHipotrochoideInvoluta de un CircleKampile of EudoxusCurva de KappaCurva de Lamé Lemniscate de BernoulliLimacon de PascalCurvas de Lissajous LituusParabola de NeileNefroide Parabolas de Newton' ParabolaEspirales equiangulares

Perlas de SluzeQuadraticCurvas de PlateauCurvas de PursuitCudratix de HippiasCurvas RhodoneasStropoide derechoSerpentinaEspirales SinusoidalesEspirales de ArquiimedesSeccciones de espiralesLineas fuertesCurva de TalbotTractrixTricuspoideTridente de NewtonTrifoliumTrisectrix de MaclaurinTschirnhaus CubucoCurva de WattCurvas de Agnesi

http://www.gap-system.org/~history/Curves/Curves.html

Ecuación CaArtesiana: x2/3 + y2/3 = a2/3 o parametrica:

x = a cos3(t), y = a sin3(t)

Cartesian equation: (x2 + y2 - 2ax)2 = 4a2(x2 + y2)

Polar equation: r = 2a(1 + cos(0))

Parametric Cartesian equation:

x = (a2 + f2sin2(t))cos(t)/a, y = (a2 - 2f2 + f2sin2(t))sin(t)/b

Cartesian equation: (x2 + 2+12ax + 9a2)2 = 4a(2x +

3a)3 or parametrically:

x = a(2cos(t) + cos(2t)), y = a(2sin(t) - sin(2t))

Cartesian equation: xy = cx3 + dx2 + ex + f

Funciones que representan,…Funciones que amplifican, funciones que deforman…

La idea de orden generativo auto-organizado,

El Problema del observador.

Ideas del Paradigma de La Complejidad

Orden Generativo: La noción de orden auto-organizado y propiedades morfológicas emergentes.

Existe un conjunto de conceptos que sustentan la idea de un orden generativo, que emerge de interacciones reciprocas a escala:

- Criticalidad auto-organizada, - Orden por azar, orden implicado[ii], - Autopoyesis[iii] o - Emergencia[iv], etc.).

En todos ellos, se constata que en toda dinámica compleja, existe un nivel de creatividad, novedad y emergencia de modos de organización que brindan mayores rangos de plasticidad y adaptabilidad morfológica. Existen diversas acepciones y planos de debate al respecto, destacando:

[i] : Ver Alexander, Christopher. “Order of Nature”. Ed. Center for Environmental Structure.[ii] : Ver David Bohm. “Ciencia, orden y Creatividad”. Ed. Tusquets.[iii] : Ver Humberto Maturana y Francisco Varela. “El Árbol del conocimiento”. Ed. Universitaria[iv]: Francisco Varela (1995). “Conocer”. Ed. Gedisa.

a. El descubrimiento de leyes formales de transformación, generando campos independientes de estudio, es aplicable tanto al estudio de patrones, señales, sistemas formales de computo, ecuaciones y modelaciones virtuales de diverso tipo (Morfología, morfogénesis, estudio de patrones, etc.).

b. Los sistemas en interacción y transformación a escala generan la emergencia de modos de organización muy sensibles a variaciones e influencias. Genéricamente se le llama Azar, y refiere a la cantidad y diversidad de factores a las que un sistema natural, social o virtual se ve expuesto, por pequeños que sean. Existen numerosos conceptos que lo indican, tales como: variabilidad, procesos estocásticos, puntos críticos, azar benigno y salvaje, alteridad, bifurcaciones, cambios de un atractor o fractal, etc. Todos plantean que pequeñas influencias pueden tener grandes efectos (pe. efecto mariposa), y que trayectorias similares, con pequeñas variaciones, devienen en divergencias con el tiempo.

c. El plano del azar también lleva a incluir y considerar las incertidumbres, in-certezas y paradojas propio de toda observación y medición, inherente al problema de la representación mediante modelos y manejo hipotético-deductivo en ciencias. Este plano confluyen con el llamado, “Problema del Observador”.

Orden Generativo:

Orden Generativo:

e. La Morfogénesis redunda en una variedad de escalas de observación y gradación de zonas de intercambio entre sistemas, que abarca escalas espacio temporales (micro-macro, antes-después) como de gradación dentro-fuera (inter o trans), generando nuevas tramas y relaciones caracterizadas por propiedades formales de conjunto, gradación y textura, permitiendo el uso de mapas complejos o análisis y modelación de landscape.

d. El orden emergente redunda en nuevos patrones de interacción y organización, proceso llamado Morfogénesis, el cual es reconocible en fenómenos tales como: zonas de hibridación e intercambio, atractores extraños y sistemas disipativos, pliegues y formas rizomaticas, retroalimentación y equilibración incrementante (homeoresis), agenciamiento o acoplamiento estructural entre un sistema y su entorno, permitiendo y regulando nuevas interacciones, asimilaciones recíprocas, metabolizando lo externo en interno y propiciando cambios estables en el tiempo.

a. Objetividad de las ciencias. La distinción entre Imagen interna v/s Imagen-externa, proveniente de la objeción fenomenológica, hace referencia a las diferencias de percepción, aprehensión, puntuación y registro en a delimitación de algo como una unidad. En el paradigma científico clásico el observador se sitúa idealmente fuera de un sistema, ajeno a relaciones de significado. Se cuestiona si es posible tal posición, o es tan solo una ilusión, reflejo de escalas y puntos de vista, hábitos, supuestos, consensos, etc. en el modo paradigmático vigente.

b. Generación de modelos. El problema de reducir en un modelo transformaciones e interacciones continuas a partir de huellas o indicios supone un nivel de creatividad en las ciencias, donde el mismo acto de registrar, fijar y medir, afecta y modifica lo observado, alterando su organización y devenir.

c. Influencia del lenguaje en los dos puntos anteriores. Expresando las limitaciones de todo lenguaje formal para representar algo cambiante e incierto así como el grado de incertidumbre. En este plano, el problema del observador se extiende a debates mas radicales e inquietantes que cuestionan o relativizan el principio de objetividad.

El Problema del observador.

• De la noción de función aislada.

• De la representación.

• Del orden representacional.

• Del orden Predeterminado

• A la interacción entre funciones;

• A la transformación e interacción

• Al orden generativo

• Al orden por fluctuación del azar

Al principal Mecanismo de hacer interactuar funciones

a) consigo mismas o

b) con otras funciones, se le denomina

ITERACIÓN

ITERACIÓN

ORDEN REPRESENTATIVO

ORDEN GENERATIVO

• El problema de la Representación

Las Dimensiones del conocimiento

La importancia de las hipótesis y generación de modelos de representación que

relacionan variables (creatividad en ciencias).