teoria de colas aplicaciones
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Teoria de Colas Aplicaciones en Aviacin
Dr. Antonio A. Trani Profesor Asociado Instituto Politcnico de Virginia
Seminario Taller sobre Equilibrio entre Demanda y Capacidad Operacional del Sistema Aeropuerto y ATSMarzo 5-9, 2007
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Presentacin
Teoria de colas y otros mtodos de prediccin de demoras Principios matemticos Deniciones de un sistema de colas Ejemplos
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Teoria de Colas y Otros Mtodos para Estimar Niveles de Servicio
Modelos anliticos- Representa al sistema en forma exacta (por ejemplo teoria de colas)
Simulacin Monte Carlo- Descripcion de un sistema complejo con variables aleatorias (por lo general ignora el paso del tiempo)
Modelos de simulacin continua- Uso de ecuaciones diferenciales para estimar cambios del sistema aeroportuario
Simulacin discreta- Descipcin de un sistema utilizando relaciones logicas para estimar cambios en el estado del sistema (cambios discretos)Seminario Taller sobre Equilibrio entre Demanda y Capacidad Operacional del Sistema Aeropuerto y ATS
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Teoria de Colas (Idea Basica)Teoria de colas puede ser usada para el calculo rapido de niveles de servicio y demoras en subsitemas aeroportuariosClientes que llegan
Cola
Clientes que parten
Servidor Fuente Potencial Sistema de la Cola (queueing system)
Patron de Espera (Cola - queue)
(Servidor)
Pista
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Razones por la Manifestacion de ColasRazn #1 Llegadas an un aerodromo (tanto aviones como pasajeros) es un fenomeno aleatorio (random) Este proceso aleatorio se analiza usando modelos estocsticos de colas Razn # 2 Durante ciertos periodos de poca duracion, la demanda excede la capacidad del aerodromo Este proceso se analiza usando modelos deterministicos de colasSeminario Taller sobre Equilibrio entre Demanda y Capacidad Operacional del Sistema Aeropuerto y ATS
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Manifestacion de Colas en el Espacio Aereo (Atlanta TMA)Area!de!Colas!en!Fijo
!
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Colas se Maniestan con Gran Numero de Aviones Recibiendo Vectores antes the Entrar en al Area Terminal
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Colas en Periodos Pico de Uso de Pistas (DFW)
Prediction!and!Control!of!Departure!Runway!Balancing!at!Dallas/Fort!Worth!Airport Stephen!Atkins!and!Deborah!Walton NASA!Ames!Research!Center,!Moffett!Field,!CA!94035-1000
!
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Modelos Estocsticos de Teoria de Colas
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Modelos Usados en Teoria de ColasDependiendo de las distribuciones de llegada y de servicio usadas, los modelos de colas se clasican de la siguiente manera: M = Distribucion exponencial (Markovianos) D = Degenerados (tiempos constantes) E(k) = Distribuciones tipo Erlang G = Distribucion general
En 1953 David G. Kendall introdujo la nomenclatura A/B/C usada en la Teoria de Colas hoy en diaSeminario Taller sobre Equilibrio entre Demanda y Capacidad Operacional del Sistema Aeropuerto y ATS
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Notacion de KendallUn sistema se colas se designa: A/B/C en donde, A = funcion de llegada de clientes (aviones, pasajeros, etc.) B = funcion de servicio de clientes (aviones, pasajeros,etc.) C = Numero de servidores en el sistema de cola Por ejemplo: un sistema de colas M/M/2 Se traduce como llegadas Poisson (i.e., tiempos entre llegadas exponenciales), tiempos de servicio exponenciales y el sistema tiene dos servidoresSeminario Taller sobre Equilibrio entre Demanda y Capacidad Operacional del Sistema Aeropuerto y ATS
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DenicionesSpecicacion de una cola
Fuente de entrada (input population) Disciplina de llegada (arrival discipline) Mecanismo de servicio (service discipline) Conguracion de la cola (service facility conguration) Capacidad de la cola (queueing system capacity) Clientes o entidades que reciben servicio (entities/clients)
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Denicion de Parametros en Teoria de ColasParametro!
Signicado Taza media de llegadas y servicios (clientes o entidades por unidad de tiempo) Taza media de servicio (clientes o entidades por unidad de tiempo) Numero de servidores en el sistema Numero promedio esperado de clientes en el sistema de colas Probabilidad de que exactamente n clientes esten en el sistema de colas
s L Pn
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Parametro" Wq W
Signicado Factor de uso del sistema de colas Tiempo promedio en la cola Tiempo promedio en el sistema de colas
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Ecuaciones Fundamentales (derivadas por J.D. Little)Cuando!
is constante, se sabe que,(1) (2)
L = !W L q = !W q 1 W = W q + -Estas son tres ecuaciones fundamentales que explican el comportamiento de un cola en estado estable Estado estable = cuando la cola alcanza un comportamiento estatico (despues de un lago tiempo)
(3)
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Modelo Basico M/M/s (Servidores Multiples)Asumamos una poblacion innita con tiempos de llagada y servicio constantes ! and
Llegadas Poisson (aleatorias) con parametro
!n
Probabilidad de la funcion de tiempos de servicio es exponentiacial negativa con parametro n
Solo una llegada o servicio por periodo
Para mayor informacion sobre la teoria de colas consulta el libro: Operations Research (i.e., Hillier and Lieberman, 1996) o equivalente
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Ecuaciones con Servidores Multiples (I)Factor de uso del sistema de cola" = ! s
Probabilidades que existan zero y n entidades/clientes en el sistema de cola% (! ) 1 ( ! ) n ----------------s % -------------------------- & & - ) P0 = 1 ( ---------------- + s! # 1 ( ! s )$ $ n! # n=0s1
'
(4)
% ( Pn = ( ( ( #
( ! )n ---------------- P 0 n! (! ) ---------------- P 0 ns s!sn
0*n*s n+s(5)
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Ecuaciones con Servidores Multiples (II)Numero promedio de entidades en el sistema de cola! "P 0 % -- & # $ ! L = ----------------------2 + -- s! ( 1 " ) s
(6)
Numero promedio de entidades en la cola! "P 0 % -- & # $ L q = ----------------------2 s! ( 1 " )s
(7)
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Ecuaciones con Servidores Multiples (III)Tiempo promedio en la colaLq W q = ---!(8)
Tiempo promedio en el sistema de colas (W) es,L W = -!(9)
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Multi-server Queueing Equations (III)Funcion de probabilidad de tiempos de servicio! P 0 % -- & # $ 1 e t( s 1 ! ) 1 + --------------------- % --------------------------------& s! ( 1 " ) # s 1 ! $s
P ( W > t ) = e t
(10)
si
s1! = 0 1 e t( s 1 ! ) -------------------------------- = t s1!
entonces usemos,
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Ejemplo # 1Assumamos condiciones de operacion IFR a un aerodromo
Llegadas aleatorias (random) a un jo comun es de 45 aviones/ hr Tiempo de servicio denido por separacion de llegadas (120 s) (exponencial negativa)Runway 09L-27R
1525 m Fijo comun de llegadas Runway 09R-27LSeminario Taller sobre Equilibrio entre Demanda y Capacidad Operacional del Sistema Aeropuerto y ATS
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Resultados del Sistema de ColasParametro! Po " L Wq W
Valor Numerico 45 aviones/hr 30 aviones por pista por hora (promedio) 0.143 0.750 3.42 aviones (incluye los que estan en servicio) 2.57 minutos por operacion 4.57 minutos por operacion
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Anlisis de Sensibilidad del SistemaVariando la taza media de llegadas ( ! ) de 20 to 55 por hora se puede apreciar la variacin (no lineal) en las demoras.12Promedio de Tiempo de Demora (minutos/avion) Waiting Time (min)
10 8 6 4 2 0 20 25 30 35 40 45 Arrival Rate (Aircraft/hr) Taza Media de Llegadas (aviones/hora) 50 55
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Variacin del Parametro L en Funcin de la Demandaq
El diagrama muestra la variacin del numero de aviones esperando en la cola en contra de la funcin demandaNumero de Aviones Esperando en la Cola (aviones) Holding Aircraft10 8 6 4 2 0 20
25
30 35 40 45 ArrivalLlegadas (aviones/hora) Rate (Aircraft/hr) Taza Media de
50
55
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Ejemplo # 2: Nivel de Servicio en una Terminal del Aeropuerto (Area de Seguridad)El aeropuerto que se muestra en las siguientes guras tiene dos sistemas de rayos-X. Un muestreo revela que en promedio, a un pasajero le toma 45 segundos pasar por el area de seguridad (asumamos que la funcin de distribucin de servicio es exponencial negativa) Los pasajeros llegan al area de seguridad en forma aleatoria (desorganizada) (esto equivale a una funcin Poisson de llegadas). En promedio, un pasajero llega cada 25 segundos al area de seguridad. En el futuro (2010), se espera que la funcin demanda aumente en un 60% con respecto a la demanda actual.
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Preguntas Tipicas en Teoria de Colasa) Cual es el factor de utlizacin de las maquinas rayos-X hoy en dia? b) Cuantas maquinas de rayos-X se deben disponer en el futuro (2010) para dar un nivel de servicio tal que el pasajero promedio no espere mas de 2 minutos en la cola? c) Cual es el numero de pasajeros en area de seguridad (incluyendo aquellos pasajeros que estan en los servidores) en ano 2010? d) Usando la solucion (b) cual es la utilizacin de las maquinas de rayos-X? e) Cual es la probabilidad que en al ano 2010 mas the 4 pasajeros esperen el la cola?Seminario Taller sobre Equilibrio entre Demanda y Capacidad Operacional del Sistema Aeropuerto y ATS
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Terminal Aeroportuaria (Ejemplo # 2)
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Diagrama del Area de Seguridad
Q
i
S t
S
i
F ilit28 of 71
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Solucin a la Parte (a)a) La utilizacin se denota, ". Usando las ecuaciones anteriores para " . " = ! / (s) = 140/(2*80) = 0.90 Los otros parametros del sistema de colas se pueden calcular usando ecuaciones 1-6. Probabilidad que el sistema esta vacio (P0) = 0.053 Nmero de pasajeros (promedio) en la cola (Lq) = 7.67 Nmero de pasajeros (promedio) en el sistema (L) = 9.4737 Tiempo promedio en la cola = 192 segundos Tiempo promedio en el sistema de colas = 237 segundos
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b) La solucin para encontrar el numero de mquinas de rayos-X con un determinado tiempo de servicio no se puede encontrar algebraicamente. Las ecuaciones (7) y (8)! "P 0 % -- & # $ L q = ----------------------2 s! ( 1 " )s
q y W q = ----
L !
No tienen una solucion analtica si se conoce el tiempo de espera en la cola (Wq). Sin embargo podemos resolver dichas ecuaciones asumiendo valores de s hasta que el nivel de servicio requerido sea obtenido. Come primera alternativa, asumamos que el numero de mquinas de rayos-X sea 3 (s=3).Seminario Taller sobre Equilibrio entre Demanda y Capacidad Operacional del Sistema Aeropuerto y ATS
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Encontramos primero Po,s1
P0 =
'n=0
(! ) 1 ( ! ) 2 ----------------s % -------------------------- & ---------------- + # 1 ( ! s )$ s! n!
Po = .0097 o bien, menos del 1% del tiempo el area de seguridad estara vacia (sin ningun cliente). resolviendo para el tiempo de espera en la cola, Wq = 332 segundos Esta demora excede el maximo establecido de 2 minutos (120 segundos). Por lo tanto es necesario incrementar el numero de servidores en el sistema . Las guras que se muestran a continuacin demuestran que los tiempos de demora aumentan de una manera sbita cuando el numero de servidores es bajo.Seminario Taller sobre Equilibrio entre Demanda y Capacidad Operacional del Sistema Aeropuerto y ATS
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Variacin de Probabilidad de Sistema Vacio (Po) con sProbabilidad del Sistema Vacio0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0 3
4
5
6
7
8
Numero de Servidores
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Variacin de L con s
30
Numero de Pasajeros en Area de Seguridada
25
20
15
10
5
0 3
4
5
6
Numero de Servidores
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Variacin de Lq con s25
Numero de Pasajeros en la Cola
20
15
10
5
0 3
4
5
6
Numero de Servidores
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Variacin de Tiempo Promedio en Cola (Wq) con sTiempo Promedio en la Cola (segundos)350
300
250
200
150
Limite de Tiempo de Espera
100
50
0 3
4
5
6
Numero de Servidores
El resultado demuestra que 4 mquinas de rayos-X son necesarias para satisfacer el nivel de servicio deseado.Seminario Taller sobre Equilibrio entre Demanda y Capacidad Operacional del Sistema Aeropuerto y ATS
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Variacin de Tiempo en el Sistema (W) con sTiempo en el Sistema de Colas (segundos)400
350
300
250
200
150
100
50
0 3
4
5
6
Numero de Servidores
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Resultados para Partes (c) y (d)c) El nmero promedio de pasajeros en el sistema con 4 servidores (s = 4) es,! "P 0 % -- & # $ ! L = ----------------------2 + -- s! ( 1 " ) s
L = 4.04 pasajeros en el dia tipico de 2010 d) La utilizacin del sistema es (4 mquinas de rayos-X) " = ! / (s) = (1/25)/ (4*(1/45)) = 0.72
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e) La probabilidad de mas de cuatro pasajeros que esperan servicio es la probabilidad de mas de ocho en el sistema8
P(n > 8) = 1
'Pn=0
n
donde,( ! )n P n = ---------------- P 0 n! ( ! )n P n = ---------------- P 0 s!s n s
if if
n*s
n>s
calculando, Pn > 8 is 0.0879.
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Modelo Bsico M/G/1 (Un solo servidor)Este model es parecido al descrito anteriormente Notese que la distribucion de servicios es General (G) y por tanto se necesitan dos parametros para denir la media y desviacin estandard del proceso de servicio Denamos la taza media de servicios (entidades/tiempo) y , la desviacin estandard de los servicios (unidad es tiempo). Entonces el modelo para estimar los tiempos en la cola es,
! [ ( 1 )2 + ,2 ] W q = -----------------------------------2(1 ! )
(11)
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Uso de las Ecuaciones de LittleUna vez encontrado el valor del tiempo promedio en la cola (Wq) podemos usar las ecuaciones de Little para encontrar otros parametros de interes,
1 W = W q + - L = !W L q = !W qEl siguiente ejemplo illustra el uso de estas ecuaciones.
(12)
(13) (14)
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Ejemplo Ilustrativo # 3Assumamos condiciones de operacion IFR a un aerdromo
Llegadas aleatorias (random) a la pista 24 operaciones/hr Tiempo de servicio denido por separacin de llegadas (120 s) con desviacin estandard de 20 segundos Distribucion General
Pista 05R-23L
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Resultados del Sistema de ColasParametro!
Valor Numrico 24 aviones/hr 30 aviones por hora (promedio) ya que 120 segundos promedio entre servicios resulta en 30 operaciones/hr 0.80 4.11 minutos por operacion 1.64 aviones en la cola 6.11 minutos por operacion 2.44 aviones en el sistema de colaSeminario Taller sobre Equilibrio entre Demanda y Capacidad Operacional del Sistema Aeropuerto y ATS
" Wq Lq W L
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Anlisis de Sensibilidad del SistemaVariando la taza media de llegadas ( ! ) de 1 a 26 operaciones por hora se puede apreciar la variacin las demoras (Wq)
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Anlisis de Sensibilidad del SistemaVariando la desviacin estandard del servicio (, ) de 20 a 100 segundos se puede apreciar el cambio en el tiempo en cola (Wq)
, = 100 segundos
, = 20 segundos
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Implicaciones Para Uso PrcticoLos parametros de la cola varian de acuerdo a situaciones practicas de cada problema a) Cuando la poblacion de aviones es homogenea y con control radar, se espera un valor de , bajo (tal vez de 30-40 segundos) b) Cuando la poblacion de aviones no es homogenea y con control radar se espera un valor alto de , (tal vez de 60 segundos o mas) c) La teoria de colas implica que cuando la capacidad ( ) es cercana a la demanda ( ! ) los tiempos de espera son muy altos Cuando el factor de utilizacion de cola ( ! = " ) se acerca a 0.850.90 es necesario aumentar la capacidad del sistemaSeminario Taller sobre Equilibrio entre Demanda y Capacidad Operacional del Sistema Aeropuerto y ATS
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Implicaciones Para Uso Practico (II)El nivel de servicio de un sistema se puede medir en funcion de los parametros basicos derivados en teoria de colas. Principalmente,
! " = -- utilizacin del sistema W q tiempo en la cola (demoras en la cola) L q nmero de entidades en la cola (estable)Cada usuario puede especicar los valores de estos tres parametros para proporcionar un nivel de servicio adecuado. Diferentes paises utilizan diversos valores de " , W q , y L q .Seminario Taller sobre Equilibrio entre Demanda y Capacidad Operacional del Sistema Aeropuerto y ATS
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Modelos Determinsticos de Teoria de Colas
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Teoria de Colas Cuando la Demanda Excede la CapacidadLas ecuaciones presentadas anteriormente no funcionan cuando la demanda ( ! ) excede la capacidad ( ) debido a que el factor de utilizacin,
! " = -- es mayor que 1 Notese que todas las ecuaciones (4-9) requiren que " < 1 para funcionar correctamente. En aerdromos con suciente demanda, es probable que durante periodos cortos, el valor de demanda ( ! ) exceda el valor de la capacidad ( ) de un subsistema. Entonces, es necesario usar otro criterio en teoria de colas para calcular las demoras.Seminario Taller sobre Equilibrio entre Demanda y Capacidad Operacional del Sistema Aeropuerto y ATS
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Diagrama de Colas DeterminsticasFlujos Capacidad Deficit de Capacidad Demanda Flujo Acumulado Demanda Acumulada Wt Lt Capacidad Acumulada t2 Tiempo
t1
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Parametros de Colas Determinsticas
La longitud de la cola, L , (i.e., estado del sistema) corresponde a la distancia vertical entre las lineas de demand y capacidad acumuladast
El tiempo de espera (o demora), W , es la distancia horizontal entre las lineas de demand y capacidad acumuladas para una entidad (avin o pasajero) que llega al tiempo tt 1
La demora total es el area comprendida entre las lineas de demand y capacidad acumuladas El tiempo promedio de demora per entidad (Wq) es el cociente de la demora total y el numero de entidades servidas o procesadas
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Denicin de la Ecuacion Basica de ColaDenamos el estado de la cola L t como la integral,Lt =
- ( !t t ) dt0
t
L t es el nmero de unidades en la cola (instantaneamente) ! t es la funcin de demanda (entidades por unidad de tiempo)
t
es la capacidad del sistema (entidades por unidad de tiempo)
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Representacion para Analizar el Modelo DeterministicoLa razon de cambio de la cola L t se puede expresar,dL dt
t
=
( !t t )dL dt
(15)
Esta ecuacin se puede resolver integrando la derivada
t en
funcin de tiempo. Para hacer el proceso mas facil, expresamos la ecuacin (15) en forma diferencial nita,Lt=
L t 1 + ( ! t t ) .t
Esta ecuacin es facil de estimar usando una hoja de clculo como Excel.Seminario Taller sobre Equilibrio entre Demanda y Capacidad Operacional del Sistema Aeropuerto y ATS
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Manifestacion de Colas Determinsticas (I)
Configuracin del aerodromo de San Francisco (SFO)
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Manifestacin de Colas Determinsticas (II)Capacidad del aerodromo SFO bajo condiciones IFR
grafico de: FAA 2001 Benchmark reportSeminario Taller sobre Equilibrio entre Demanda y Capacidad Operacional del Sistema Aeropuerto y ATS
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Manifestacin de Colas Determinsticas (III)Capacidad y demanda de SFO bajo condiciones IFR (15 minutos) Capacidad = 72 operaciones/hr (18 ops/ 15-min)
grafico de: FAA 2001 Benchmark reportSeminario Taller sobre Equilibrio entre Demanda y Capacidad Operacional del Sistema Aeropuerto y ATS
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ObservemosDe la gura enterior para el aerdromo de SFO, se observa que hay 11 intervalos de tiempo con periodos demanda mayor que la capacidad bajo condiciones IFR Estos intervalos de tiempo son cortos pero propician la fomacion de colas en las pistas y en el area terminal Usaremos un modelo de teoria de colas determinstico para estimar las demoras en este caso
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Ejemplo 4 - Aerdromo RegionalEste ejemplo pronostica colas determinsticas para un aerdromo regional en donde se cierra pracialmente la terminal por un periodo de 2 horas (por una renovacin)
Renovation
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Descripcin del Problema! = 1500 para 0 < t < 1 (tiempo en horas) ! = 500 para t > 1 En donde, ! es la funcin demanda y t es el tiempo en horas. La capacidad de la terminal () es, = 1000 para t < 2 = 1500 para t > 2 Un grco de ! y!!de!en!funcin!de!tiempo!ayudan!a!entender!el! problema
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Grco del Problema 4Demanda y capacidad para el problema 4 Flujo horario (pasajeros/hr) 1500 1000 500 1.0 2.0Tiempo (hr)
capacidad ()
demanda (!)
3.0
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Solucin NumricaTabulacin numrica usando hoja de clculoSimulationTime (hr)
State Variable (Lt) 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
Rate Variable (!t) 1500.0 1500.0 1500.0 1500.0 1500.0 500.0
Rate Variable (t) 1000.0 1000.0 1000.0 1000.0 1000.0 1000.0
Sum of Rates (!t-t) 500.0 500.0 500.0 500.0 500.0 -500.0
(Sum of Rates) .t 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 -100.0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
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SimulationTime (hr)
State Variable (Lt) 400.0 300.0
Rate Variable (!t) 500.0 500.0
Rate Variable (t) 1000.0 1000.0
Sum of Rates (!t-t) -500.0 -500.0
(Sum of Rates) .t -100.0 -100.0
1.2 1.4
Los valores de ! t and t se asumen constantes entre cada intervalo de integracin.
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Solucin al Problem 4 (I)Grco de ujos acumulados para entender el problema1: Passengers In 1: 2: 2000.00 2: Passengers Served
Tiempo de Espera (Wt)1 2
Estado de la Cola (Lt)1: 2: 1000.00 1 2
1
2
1: 2:
1 0.00 0.00
2 0.50 1.00 Time 1.50 12:57 PM 2.00 7/7/93
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Solucin al Problem 4 (II)La demora total (Td) es el area comprendida entre las lineas de demand y capacidad acumuladas Td = 2 [(1/2)(1500-1000)] = 500 pasajeros-hora a) El maximo numero de pasajeros, L(t) max es, L(t)max = 1500 - 1000 = 500 pasajeros at tiempo t=1.0 hora
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Solucin al Problem 4 (III)La demora promedio es la demora total (Td) dividida por el nmero de pasajeros afectados por la cola (Nd)T W = ----d Nd
= 15 minutos
El promedio de pasajeros en cola se calcula como la demora total (Td) dividida por el tiempo de duracin de la cola (td)500pasajeros-hora Td L = ---- = ------------------------------------------tq 2horas
= 250 pasajeros
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Ejemplo 5 - Chicago OHare Cola DeterminsticaEl ejemplo illustra el uso de colas determinsticas para calcular demoras en el aerodromo internatcional de Chicago (OHare Intl. Airport - ORD). Los datos de demanda fueron extraidos de un dia tpico de operaciones en ORD. Se uso el sistema ETMS (Enhanced Trafc Management System) para extraer dichos datos. La capacidad de 75 operaciones por hora se usa como valor de referencia.
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ORD Cola Determinsticaa) La capacidad ( t ) se asume constante durante todo el dia para este problema. Su valor es 75 operaciones pro hora. b) La demanda ! t es variable a traves del dia. La gura siguiente illustra el problema.
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ORD Funciones de Demand y CapacidadDemand
100 Demand or Capacity (Entities/time)
Capacity (Supply)
80
60
40
20
TextEnd
0
0
5
10 Time (hours)
15
20
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Solucin NumricaDemand or Capacity (Entities/time) 100 80 60 40 20 0 0 5 TextEnd 10 Time (hours) 15 20
40 Entities in Queue 30 20 10 0
TextEnd
0
5
10 Time
15
20
25
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Soluciones para Lt y la Integral de Lt40 Entities in Queue 30 20 10 0
Lt FunctionTextEnd
0
5
10 Time
15
20
25
250 Total Delay (Entities-time) 200 150 100 50 0
Integral of Lt Function
TextEnd 0 5 10 Time 15 20 25
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ConclusionesTeoria de colas es una herramienta til para evaluar niveles de servicio, utilizacion y demoras en varias componentes del aerodromo Teoria de colas puede estimar demoras causadas por dos fenomenos: a) Llegadas an un aerdromo (tanto aviones como pasajeros) es un fenomeno aleatorio (random) b) Durante ciertos periodos de poca duracin, la demanda excede la capacidad del aerdromo
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Referencias (I)1) Law, A.M. and W.D. Kelton, Simulation Modeling and Analysis: Second Edition, McGraw Hill, New York, 1991. 2) Hill, D.R., Object Oriented Analysis and Simulation, AddisonWesley, Harlow, England 1996. 3) Hillier, M. and J. Lieberman, Introduction to Operations Research: 6th Edition, McGraw Hill, New York, 1996.
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