teorema de convolución
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Teorema [Propiedades de la convolución]
Sean y funciones continuas en el intervalo , entonces
1. (ley conmutativa)
2. (ley distributiva)
3. (ley asociativa)
4.
Demostración
La demostración de estas propiedades es muy simple. Haremos la primera de ellas y dejamos las restantes al lector.
Observación: sin embargo, existen algunas propiedades de la multiplicación ordinaria que
la convolución no tiene. Por ejemplo, no es cierto en general que ; para ver esto, note que
Calcule la convolución de y .
SoluciónUsando la definición e integración por partes, tenemos que
Teorema [Teorema de convolución]
Si y existen para , entonces
Observación: La forma inversa del teorema de convolución
es muy importante en la solución de ecuaciones diferenciales, pues nos puede evitar el cálculo de fraciones parciales complejas.
Ejemplo Calcule
SoluciónUsando el teorema de convolución tenemos que
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