temas 1 y 2: cálculo diferencial y...
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APELLIDOS: NOMBRE: DNI:
_______________________________________________________________________________________________ Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Manuel Hervás Página 1 de 2
Calificación:
CÁLCULO II. Ejercicio de Examen Final
Temas 1 y 2: Cálculo Diferencial y Optimización
FECHA: 12/07/12 TIEMPO RECOMENDADO: 40 m Puntuación/TOTAL: 2,5/10
ENUNCIADO Y RESPUESTA AL EJERCICIO: ENUNCIADO
1. Dada la función w xy yz xz calcular utilizando la regla de la cadena y w w
u t
donde cosx u t , y u sent ,
z t . Particularizar para el caso 1, 2u t . (0,5 Puntos)
2. Dada la curva 1cos( ) yx y xe calcular
dy
dx. Comprobar que la expresión anterior define en el punto (1,1)P función
implícita. Obtener la tangente a dicha curva en el punto (1,1)P . (1 Punto)
3. Determinar los valores máximo y mínimo absolutos de la función 2( , ) 2 2f x y y xy x en el cuadrado
( , / 0 2 , 0 2D x y x y (1 Punto)
RESULTADOS
1. Regla de la cadena
( )cos ( ) ( )cos ( cos )w w x w y
y z t x z sent u sent t t u t t sentu x u y u
Caso particular 1, 2u t 2w
u
( )( ) ( )( cos ) ( ) 1 ( )( ) ( cos )( cos ) ( cos )w w x w y w dz
y z usent x z u t x y usent t usent u t t u t u t usentt x t y t z dt
Caso particular 1, 2u t 2 2w
t
2. Derivada implícita
11 1
1
( )( ) 1
( )
yy y
y
dy dy dy sen x y esen x y e xe
dx dx dx sen x y xe
También
1
1 1
1 1
( , ) cos( )
( ) ( )
( ) ( )
y
y y
x
y y
y
F x y x y xe
dy F sen x y e sen x y e
dx F sen x y xe sen x y xe
1( , ) cos( ) yF x y x y xe define función implícita en el punto (1,1)P ya que
a) (1,1) 0F
b) ( , )F x y es continua y diferenciable en un abierto que contenga al punto
c) (1,1) 0yF
APELLIDOS: NOMBRE: DNI:
_______________________________________________________________________________________________ Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Manuel Hervás Página 2 de 2
Caso particular (1,1)P
0
0
(0)1 Tangente: 1 1( 1) 2
(0) 1
dy sen ey x x y
dx sen e
3. Máximos y mínimos absolutos
Dado que ( , )f x y es un polinomio, se trata de una función continua en el conjunto cerrado y acotado D. Según establece el
teorema del valor extremo se alcanza un máximo y un mínimo absoluto en algunos puntos del cuadrado D.
En primer lugar se calculan los puntos críticos de ( , )f x y interiores a D.
Interior a
2 2 0 1(1,1) (1,1) 1
2 2 0 1
x
y D
f y yP D f
f y x y x
En segundo lugar se calculan los valores de ( , )f x y en la frontera de D que al ser un cuadrado consta de los lados
1 2 3 4, , y L L L L .
En 1
(0,0) 0. Min.0 ; ( ,0) 2 , 0 2 función creciente:
(2,0) 4. Max.
fL y f x x x
f
En 2
2
(2,2) 0. Min.2 ; (2, ) 4 4, 0 2 función decreciente
(2,0) 4. Max.
fL x f y y y y
f
En 3
(2,2) 0. Min.2 ; ( ,2) 2 4 , 0 2 función decreciente
(0,2) 4. Max.
fL y f x x x
f
En 2
4
(0,0) 0. Min0 ; (0, ) , 0 2 función creciente
(0,2) 4. Max
fL x f y y y
f
Conclusión: Dado que el punto crítico es (1,1) (1,1) 1P f
Por tanto:1 2
3 4
Máximos: Los vértices (2,0), (0,2) (2,0) (0,2) 4
Mínimos: Los vértices (0,0), (2,2) (0,0) (2,2) 0
P P f f
P P f f
Nota: El punto crítico es un punto silla ya que
00 2
2 (1,1) 4 02 2
2
xx
xy
yy
f
f H
f
¡¡ BUEN TRABAJO !!
Utilice la parte trasera para desarrollar en ella un resumen los cálculos correspondientes
APELLIDOS: NOMBRE: DNI:
_______________________________________________________________________________________________ Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Ramón Rodríguez Página 1 de 1
Calificación:
CÁLCULO II. Final convocatoria extraordinaria de Julio
Tema 3: Funciones vectoriales
FECHA: 12/07/12 TIEMPO RECOMENDADO: 1/2 Hora Puntuación/TOTAL: 2,5/10
ENUNCIADO Y RESPUESTA AL EJERCICIO: ENUNCIADO
Sea t) t,cossent, ( = (t)r
a) Halla )(),('),(),( tNtTtatv y la rapidez. (1 punto)
b) Halla la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto )2
,0,1(
(0.5 puntos)
c) Determina la ecuación del plano osculador a la curva en el punto )2
,0,1(
(1 punto)
RESULTADOS
b) En el punto )2,0,1( , el vector velocidad viene dado por )1,1,0()2( v . La ecuación de la
recta tangente vendrá dada por )1,1,0()2,0,1()2()2()( tvtrtL .
c) Para determinar la ecuación del plano osculador (contiene a )(tT y a )(tN ) hallamos, en primer
lugar, el vector Binormal en el punto, es decir, )21,21,0()2()2()2( NTB . A
continuación, la ecuación del plano osculador que pasa por el punto )2,0,1( viene dada por:
2 022
102
110 zyzyx
APELLIDOS: NOMBRE: DNI:
_______________________________________________________________________________________________ Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Santiago de Vicente Página 1 de 2
Calificación:
CÁLCULO II. Examen Final Convocatoria Extraordinaria
Tema 4: Integración Múltiple
FECHA: 12/07/12 TIEMPO RECOMENDADO: 1/2 Hora Puntuación/TOTAL: 2,5/10
ENUNCIADO Y RESPUESTA AL EJERCICIO: ENUNCIADO
Calcule la masa de un sólido limitado por las superficies:
, ,
Su densidad es proporcional a la distancia a la recta .
RESULTADOS
¡¡ BUEN TRABAJO !!
Utilice la parte trasera para desarrollar en ella un resumen los cálculos correspondientes
APELLIDOS: NOMBRE: DNI:
_______________________________________________________________________________________________ Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Santiago de Vicente Página 2 de 2
SOLUCIÓN: (Ver Ejemplo 3, p.1054, Cap. 15 del Libro de Texto)
Siendo la una constante de proporcionalidad, la densidad del cuerpo es:
( ) √ por lo que su masa viene dada por:
∭ ( )
∭ √
Dada la simetría cilíndrica alrededor del eje del dominio de integración y del integrando, conviene calcular utilizando coordenadas cilíndricas:
con lo que:
∭
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ( )
[
]
APELLIDOS: NOMBRE: DNI: GRUPO:
_______________________________________________________________________________________________ Cálculo II. Graduado en Ingeniería Pr. Carlos Paredes.
Calificación:
EXAMEN de CÁLCULO II. Convocatoria Extraordinaria
Tema 5: Cálculo Vectorial
FECHA: 12/07/12 TIEMPO RECOMENDADO: 30 Minutos Puntuación / Total: 2,5 / 10
ENUNCIADOS Y RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS: Nº ENUNCIADO PUNTUACIÓN RESULTADO
4
Verifica las dos formas (Normal y Tangencial) del Teorema de Green para el siguiente campo vectorial:
F(x,y) = (x - y)i + xj en la región delimitada por la circunferencia centrada en el origen y radio unidad.
2,5 Puntos
SOLUCION
APELLIDOS: NOMBRE: DNI: GRUPO:
_______________________________________________________________________________________________ Cálculo II. Graduado en Ingeniería Pr. Carlos Paredes.
SOLUCION: Sea la región:
Evaluando el campo y sobre la trayectoria parametrizada (0.5 pto):
Para verificar la versión normal del Teorema de Green (1 pto):
Para verificar la versión tangencial del Teorema de Green (1 pto):
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