tema 66 distrib de prob de variable continua resumido
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TEMA 66
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
DE VARIABLE CONTINUA
CARACTERÍSTICAS Y TRATAMIENTO
LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
APLICACIONES
1. INTRODUCCIÓN
2. VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
3. CARACTERÍSTICAS ASOCIADAS A UNA VARIABLE
ALEATORIA CONTINUA
4. DISTRIBUCIÓN NORMAL
5. APLICACIONES
6. CONCLUSIÓN
7. BIBLIOGRAFÍA[1] Durá Peiró y López Cuñat, Fundamentos de Estadística, Ed. Ariel Economía
[2] Canavos, G. C., Probabilidad y Estadística: Aplicaciones y Métodos, Ed.
McGraw-Hill
[3] Mood y Graybill, Introducción a la Teoría de la Estadística, Ed. Aguilar
1. INTRODUCCIÓNLos modelos de distribución constituyen una parte importante de la Probabilidad,
proporcionando herramientas para analizar las propiedades y características de los
distintos resultados posibles en determinados experimentos, tanto para medir y
acotar sus probabilidades como en el proceso de inferencia de la información
contenida en los datos observados.
En esta última dirección resulta de especial importancia el llamado modelo
de distribución normal, por ser la distribución límite hacia la cual tienden (bajo
condiciones que generalmente se plantean en la vida cotidiana) gran número de
distribuciones de probabilidad.
La distribución Normal fue reconocida por primera vez por De Moivre, si bien fue
posteriormente Gauss quien elaboró desarrollos más profundos y formuló la
ecuación de la curva, de ahí que se le conozca más comúnmente cómo “ley de
Gauss” o “campana de Gauss”.
2. VARIABLES ALEATORIAS CONTINUASDefinición
Dado un espacio de probabilidad asociado a un experimento aleatorio ,
llamamos variable aleatoria a toda aplicación del espacio muestral en
Definición
Llamamos rango de , y lo denotamos por , al conjunto de valores que
toma la variable aleatoria.
Definición
Decimos que la variable aleatoria es discreta si toma un conjunto finito
o numerable de valores.
Definición
Decimos que la variable aleatoria es continua si toma valores en un conjunto no
numerable (lo más usual un intervalo de ).
Definición
Llamamos función de distribución de la variable aleatoria a la función
definida como .
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Definición
Decimos que una variable aleatoria es continua si su función de distribución
es una función continua y derivable, con derivada continua salvo a lo sumo en un
conjunto de puntos de medida nula.
Propiedades
Sea la función de distribución de una variable aleatoria continua ,
entonces:
1.
2. es monótona no decreciente ya que si entonces
3. es continua
Corolario
Si es una variable aleatoria continua, entonces .
Demostración
Sea y consideremos . Si , entonces
, pues al ser continua, .
Nota. Debido a que se cumple que:
a.
b.
c.
Definición
Dada una variable aleatoria continua , y siendo
, podemos definir una
función (a la que llamamos función de densidad de la variable aleatoria
), como .
Teorema
Las siguientes propiedades caracterizan la función de densidad
1.
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2.
Demostración
1. , pues y es monótona creciente
2. Puesto que , entonces .
Teorema
Dado que es continua salvo en , conjunto de medida nula,
entonces es integrable Riemann y la primitiva de es la función de distribución
.
Corolario. Cálculo de probabilidades en el caso continuo
1.
2.
En resumen, una variable aleatoria continua queda caracterizada por su función de
densidad y su función de distribución. Conocer una de ellas nos permite conocer la
otra gracias a que:
3. CARACTERÍSTICAS ASOCIADAS A UNA VARIABLE
ALEATORIA CONTINUADefinición
Sea una variable aleatoria continua con rango y función de densidad
, se define la esperanza matemática, media o valor esperado de como
.
Si , entonces .
Nota: es posible que la integral impropia no tome un valor finito, en cuyo caso se
dice que no existe la esperanza matemática.
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Definición
Si es una variable aleatoria continua y una función real, se define
.
Teorema. Propiedades de la Esperanza Matemática
1. , para toda constante
2.
3.
4. Si son variables aleatorias independientes, entonces
5. Si entonces
Definición
Se define el momento de orden de la variable aleatoria como
, y el momento centrado de orden de la
variable aleatoria como .
Nótese que y .
Definición
Se define la varianza de una variable aleatoria como
.
Nótese que .
La varianza es una medida de la dispersión de una variable aleatoria en torno a su
media.
Teorema. Propiedades de la Varianza
1.
2. , con
3.
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Definición
Se define la desviación típica de una variable aleatoria como .
4. DISTRIBUCIÓN NORMALDefinición
Decimos que una variable aleatoria sigue una distribución Normal de
parámetros y , y la denotamos por , si su función de
densidad es .
Teorema
La función posee las siguientes
propiedades:
1. es simétrica respecto de , pues
2. alcanza un máximo en , y vale
3. es creciente para y decreciente para
4. Los puntos de abscisas y son puntos de inflexión de
5. La recta es asíntota de , pues
La grafica de la función de densidad se denomina curva normal o campana de
Gauss, y además la media coincide con su moda (máximo de la función de
densidad) y mediana (función de distribución igual a 0,5). Otras características
relevantes son sus coeficientes de asimetría y curtosis, ambos nulos.
Definición
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La función de distribución de una variable normal es
.
Teorema
Si , entonces y .
Demostración
A. y haciendo
. Como los límites de integración son los
mismos .
La primera integral es nula por ser una función impar y los límites de integración
simétricos respecto al origen. La segunda integral es la llamada de las
probabilidades de Gauss, y viene dada por . Por tanto .
B. y
tomando y teniendo en cuenta que los
límites de integración son iguales .
Integrando por partes y , se obtiene .
Teorema
Cualquier combinación lineal de variables aleatorias normales e independientes
sigue una distribución normal.
Si son independientes, y
dados , entonces llamando
Teorema
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Si entonces .
Por tanto la función de distribución de cualquier se puede calcular
utilizando la distribución de la siguiente forma:
Donde . Generalmente se denota .
Esta teorema permite emplear las tablas de la para obtener la función de
distribución de cualquier distribución normal.
Teorema
Sea , entonces la variable .
Definición
Decimos que una variable aleatoria sigue una distribución Normal Estándar o
Tipificada, y la representamos como , cuando sus parámetros son
y , y su función de densidad es por tanto .
Esta distribución tiene especial importancia, ya que en ella se basan la mayor parte
de las distribuciones muestrales de los estadísticos utilizados en Inferencia
Estadística, tanto en la estimación por intervalos como en contrastes de hipótesis, o
al menos sus distribuciones asintóticas en virtud a los teoremas de convergencia.
Teorema
La función posee las siguientes propiedades:
1. es simétrica respecto de , pues
2. alcanza un máximo en , y vale
3. es creciente para y decreciente para
4. Los puntos de abscisas y son puntos de inflexión de
5. La recta es asíntota de , pues
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Definición
La función de distribución de una variable normal estándar se representa como
Teorema
Sea con función de distribución . Si entonces
a)
b)
Teorema
Sea con función de distribución . Entonces .
Demostración
Puesto que , entonces
.
Teorema
Las rectas son asíntotas de la función , pues siempre
y , pero como además , entonces
nunca ni .
Teorema
Si entonces y .
5. APLICACIONES
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5.1. APROXIMACIÓN DE UNA BINOMIAL POR UNA NORMALEn una repetición de experimentos independientes de Bernoulli con el mismo
parámetro de éxito , cuando suficientemente grande, surge un problema de
manejabilidad y cálculo de su distribución y probabilidades puntuales, e incluso no
resuelve este problema su aproximación al modelo de Poisson.
Teorema. (De Moivre-Laplace)
Dadas variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas
con , y la variable aleatoria binomial . Entonces
.
Es decir, la variable tipificada tiene como distribución límite la normal
estándar, y por consiguiente, a partir de cierto la distribución de esta variable
aleatoria se aproxima por la distribución normal estándar, es decir,
.
En la práctica se utiliza la aproximación del modelo binomial de parámetros
al normal de parámetros considerándose adecuada cuando
.
Nota. Para una correcta aplicación de esta aproximación de una variable aleatoria
discreta (binomial) por una variable aleatoria continua (normal), se debe
realizar la denominada corrección de continuidad a la hora de calcular las
probabilidades puntuales, ya que en una variable aleatoria discreta la
, en cambio cuando la variable es continua la
.
Esta corrección consiste en considerar intervalos de la forma
.
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5.2. DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LOS ESTADÍSTICOS
Teorema. Central del Límite (Lindeberg-Lévy)
Sean variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas
con media y varianza , entonces
.
De donde se deduce que el estadístico media muestral a partir de un proceso de
muestreo aleatorio simple de tamaño suficientemente grande, de cualquier
distribución con media y varianza , se aproxima a una variable aleatoria
normal de parámetros , .
5.3. DISTRIBUCIONES ASOCIADAS A LA NORMAL
5.3.1. DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADO
Teorema
Una variable aleatoria se distribuye Chi-Cuadrado con grados de libertad,
, cuando sigue la misma distribución que la suma de los cuadrados de variables
aleatorias normales estándar e independientes:
con e independientes, .
Teorema
Si son variables independientes tales que
entonces .
5.3.2. DISTRIBUCIÓN t DE STUDENT
Definición
Decimos que una variable aleatoria se distribuye t de Student con grados de
libertad, y lo representamos como , si tiene función de densidad de
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, donde representa la función Beta
de Euler definida por .
Teorema
Una variable aleatoria se distribuye t de Student con grados de libertad, ,
si es el cociente entre una variable aleatoria normal estándar y la raíz cuadrada de
una variable Chi-Cuadrado dividida por sus grados de libertad, que son , y siendo
las variables independientes:
con e independientes.
Teorema
Si entonces cuando el modelo t de Student se aproxima al normal
estándar.
5.3.3. DISTRIBUCIÓN F DE SNEDECOR
Teorema
Decimos que una variable aleatoria se distribuye F de Snedecor con parámetros
y , , si es el cociente entre dos variables aleatorias Chi-Cuadrado
independientes divididas por sus grados de libertad, que son parámetros y
respectivamente:
con e independientes.
6. CONCLUSIÓNHemos analizado la Distribución Normal, la más utilizada de las
distribuciones de probabilidad de variable continua.
La importancia de este modelo se debe principalmente a la aplicación
práctica del mismo, ya que proporciona un modelo de distribución al que se
aproximan los modelos de distribución de numerosas variables aleatorias asociadas
a fenómenos naturales, entre los que podemos citar:
- Fenómenos morfológicos de los individuos de cierta población (peso, altura,…)
- Fenómenos fisiológicos, como el efecto de tratamientos aplicados a
enfermedades de personas, animales y plantas.
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- Fenómenos sociológicos, como el impacto de un nuevo producto en el
mercado
- Fenómenos psicológicos, como el coeficiente intelectual
- Errores de medida
Todo ello nos sirve para reafirmar las palabras de Kendall de que la Estadística no
es “una ciencia vulgar que busca la manera de tratar los datos numéricos”, sino “la
base del conocimiento cuantitativo”.
7. BIBLIOGRAFÍA[1] Durá Peiró y López Cuñat, Fundamentos de Estadística, Ed. Ariel Economía
[2] Canavos, G. C., Probabilidad y Estadística: Aplicaciones y Métodos, Ed.
McGraw-Hill
[3] Mood y Graybill, Introducción a la Teoría de la Estadística, Ed. Aguilar
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