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TEMA 5

Prof Antoni EspasaProf.Antoni Espasa

REFERENCIASREFERENCIAS

• Una posible referencia para la preparación de este tema es el capítulo 3 de p

• Espasa,A. y J.R. Cancelo (eds ) 1993 Métodos Cuantitativos para el(eds.),1993,Métodos Cuantitativos para el Análisis de la Coyuntura Económica, Alianza Editorial

5 1 El modelo VAR(p)5.1. El modelo VAR(p)estacionario.Formulación. Dependenciatemporaltemporal.Causalidad en el sentido deGranger.D d iDependenciacontemporánea.contemporánea.

MODELOS SOBRE CONJUNTOS INFORMATIVOS MULTIVARIANTES

• EL HECHO PRINCIPAL QUE CARACTERIZA A ESTE TEMA consiste en que una variable se analiza dentro de un conjunto informativoun conjunto informativo amplio,multivariante,que incluye su pasado y también los de otras variablespasado y también los de otras variables con las que está relacionada.

EJEMPLOS DE ANALÁSIS SOBRE CONJUNTOS INFORMATIVOS MULTIVARIANTES

LA INFLACIÓN A NIVEL NACIONAL• LA INFLACIÓN A NIVEL NACIONAL se analiza junto con variables como:

costes laborales unitarios- costes laborales unitarios-agregados monetarios-precios de importación-precios de importación-un indicador de presión de la demanda-diferenciales entre tipos de interésdiferenciales entre tipos de interés-etc

• LA INVERSIÓN EN UN SECTOR INDUSTRIAL SE RELACIONA CON VARIABLES COMO:

• -la producción del sector• el nivel de utilización de la capacidad productiva• -el nivel de utilización de la capacidad productiva• -del coste de uso del capital• -etc.

• LOS INGRESOS DE UNA EMPRESA DELOS INGRESOS DE UNA EMPRESA DE TURISMOSE RELACIONAN CON VARIABLES COMO:VARIABLES COMO:

• -Un indicador de la renta de los turistas• - indicadores de precios relativos respecto otras

empresas o respecto otros paises oferentes de servicios turísticos

• -etc.

• EL TIPO DE CAMBIO ENTRE EL EURO Y EL DÓLAR SE RELACIONA CONEL DÓLAR SE RELACIONA CON VARIABLES COMO :

• -El diferencial entre las expectativas de crecimiento económico entre ambas áreascrecimiento económico entre ambas áreas geográficas

• el diferencial entre tipos de cambio• -el diferencial entre tipos de cambio• -el diferencial de inflación• -etc.

• EL EMPLEO EN UN SECTOREL EMPLEO EN UN SECTOR INDUSTRIAL SE RELACIONA CON VARIABLES COMO:VARIABLES COMO:

-la producción del sector-el salario real en elsector

t-etc.

5.1. El modelo VAR(p) estacionario.

E t t PRIMERO t t d lEn este tema PRIMERO se tratan modelos multiecuacionales (VAR) sobre variables estacionarias,estacionarias,

por lo que si las variables originales no son estacionarias se supone que se conoce como transformarlas en estacionarias

para poder formular el modelo multiecuacional (VAR) sobre dichas transformaciones(VAR) sobre dichas transformaciones estacionarias.

POSTERIORMENTE se estudian los modelosPOSTERIORMENTE se estudian los modelos multiecuacionales (VAR) sobre variables no estacionarias.

CONDICIONALIZACIÓN RESPECTO EL PASADO.MODELOS UNIVARIANTES

El d l ARMA t i i• El modelo ARMA estacionario univariante bajo el supuesto de distribuciones gaussianas se obtiene como:

• Wt = E(Wt | pasado) + at, (1)• Var (a ) = σ2• Var (at) = σ ,• en donde E(Wt | pasado) se representa,

en general en términos de aloresen general, en términos de valores pasados de Wt y at.

A i l lti i t d d dA nivel multivariante se puede proceder deforma idéntica. Ahora Wt será un vector de n

i blvariables.El modelo resultante será un modelo ARMA

t i l d i d VARMA ( )vectorial denominado VARMA (p,q).

EJEMPLO VARMA (1 1)EJEMPLO: VARMA (1,1)

11 ⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛ aLLWLL θθφφ,

1 1

1 1

2

1

2221

1211

2

1

2221

1211⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−−

t

t

t

t

aa

LLLL

WW

LLLL

θθθθ

φφφφ

var (a t) = Ω

Para valores de p y q mayores laformulación del modelo es inmediata.

La construcción de modelosVARMA,especialmente en las etapas deespecificación y validación, puede ser compleja.De hecho lo es y no suelen utilizarse mucho.

Al igual que en el caso univariante, unmodelo VARMA invertible puede representarsede forma puramente autorregresiva.

C d d l VARMA ól ti tCuando un modelo VARMA sólo tiene parte autorregresiva se le denomina VAR (p). Estos

d l tili d ímodelos son muy utilizados en economía.EJEMPLO: VAR (2).

( ) ( )1 112)2(

12)1(

122)2(

12)1(

11 ⎟⎞

⎜⎛

⎟⎞

⎜⎛⎥⎤

⎢⎡ −−−− tt aXLLLL φφφφ( ) ( )( ) ( ) ,

1 2

1

2

12)2(

22)1(

222)2(

21)1(

21

12121211⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

=⎟⎟⎠

⎜⎜⎝⎥⎦

⎢⎣ −−−− t

t

t

t

aXLLLL φφφφφφφφ

(2)(2)es decir,

aXL =Φ )( tt aXL =Φ )(donde Φ (L) es una matriz polinomialdonde Φ (L) es una matriz polinomial.

• En el caso univariante,AR,se tiene una sola i t l i l d lserie temporal y ,en consecuencia en el modelo

aparece una sola estructura dinámica recogida en el polinomio Ф (L)en el polinomio Фp(L) .

• En el caso multivariante se tienen n ecuaciones y en cada una de ellas entran estructurasy en cada una de ellas entran estructuras dinámicas sobre cada variable,con lo que la estructura dinámica del modelo vease laestructura dinámica del modelo,vease la ecuación (2) anterior, es una matriz polinomial de nxn elementos (polinomios): Φ (L) .(p ) ( )

• La jotésima fila de la matriz Φ (L) recoge los n polinomios que operan sobre las n variables en p q pla jotésima ecuación.

LOS POLINOMIOS DINÁMICOS EN LOS MODELOS VAR

• Ejemplo del modelo (2) anterior.• En los polinomios correspondientes a los p p

términos fuera de la diagonal principal de la matriz Φ (L) se observa que sólo incorporan ( )valores pasados a través de diferentes potencias del operador L.

• Así el termino (1,2) de la matriz Φ (L) recoge la influencia del pasado de X2t en X1t y el términoinfluencia del pasado de X2t en X1t y el término (2,1) la influencia del pasado de X1t en X2t.

• Sin embargo, los polinomios en la diagonalg gde Φ (L) incorporan también la potencia cero de L (es decir el presente) concero de L (es decir,el presente) con coeficiente estandarizado en el valor

id dunidad.Con ello al desarrollar el sistema como se

hace a continuación en (3) y (4) se puede despejar X en la primera ecuación y X endespejar X1t en la primera ecuación y X2t en la segunda.

Alternativamente el modelo (5) se puede formular comoXt = Φ1 Xt-1 - Φ2 Xt-2 + at, (3)donde Φ1 y Φ2 son matrices paramétricas,

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

=Φ)1(

12)1(

11 φφ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

=Φ )1(22

)1(21

1 φφ

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

=Φ)2(

12)2(

11 φφ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

=Φ )2(22

)2(21

2 φφ

Desarrollando (2), o (3) se obtiene

X1t = φ11(1) X1t-1+ φ12

(1)X2t-1+ φ11(2)X1t-2+ φ12

(2)X2t-2 + a1t(4a)(4a)

X = φ (1) X + φ (1)X + φ (2)X + φ (2)X + aX2t = φ21( ) X1t-1 + φ22

( )X2t-1+ φ21( )X1t-2+ φ22

( )X2t-2+ a2t(4b)

Ω⎟⎞

⎜⎛ 12

21

)(σσ

VVarianza residual:

Ω=⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

= 2212

121

)(

σσtaVar

REALIMENTACIÓNREALIMENTACIÓN

• En los modelos VAR hay realimentación.• En el ejemplo anterior los retardos de x2tEn el ejemplo anterior los retardos de x2t

influyen en x1t y ,a su vez,los de x1t influyen en xinfluyen en x2t .

• Además incorporan una dependencia contemporánea entre x1t y x2t a través de la covarianza residual.la covarianza residual.

VAR(p)VAR(p)

X ΦΦpara simplificar c = 0

ttt apxcX +Φ++Φ+= − p-t11 x...para simplificar c = 0También se puede escribir como:

tptptptt axxxx +Π+ΔΓ++ΔΓ=Δ −+−−− 1111 ...en dondeΓi = - (Φi+1 + … + Φp) i = 1, …, p-1pΠ = -(I - Φ1… - Φp)

Ejemplo. p = 2

xt = Ф1 xt-1 + Ф 2 xt-2 + at (5)Δ xt = π xt-1 + γΔ xt-1 + at (6)t t 1 γ t 1 t ( )

γ 1 = - Ф2γ 1 Ф2π = -(I - Ф1 - Ф2).

Se cumple (5) ≡ (6). En efecto+ + Ф +xt - xt-1 = -xt-1 + xt-1 + Ф 1 xt-1 +

+ Ф 2 xt-1- Ф 2 xt-1 + Ф 2 xt-2 + at

Ejemplo:(5’ )⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛ (5 )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

t

t

t

t

t

t

aa

xx

xx

2

1

22

11

2122

12 11

2

1

φφφφ

(6’ )

⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝ − ttt axx 22221222 φφ

⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛ Δ 1 φφ (6 )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΔΔ

−

−

t

t

t

t

t

t

aa

xx

xx

2

1

22

11

2221

1211

2

1

1 1-φφ

φφ

⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝ ttt 22222212 φφ

⎟⎞

⎜⎛ −1 φφ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=Π1

1

2221

1211

φφφφ

El modelo VAREs un sistema de regresiones múltiples- Es un sistema de regresiones múltiples.

- Que entra dentro de la clase denominada“sistema de regresiones aparentemente nosistema de regresiones aparentemente norelacionadas”, y se conoce como SURE, delinglés “seemingly unrelated regressioninglés seemingly unrelated regressionequations”.

Se le denomina SURE porque la parte- Se le denomina SURE porque la partesistemática de las ecuaciones - la que relacionalas variables dependientes con los regresoreslas variables dependientes con los regresores -no recoge una relación contemporánea directaentre variablesentre variables .- Toda la relación contemporánea entre lasvariables está recogida en las covarianzas de lavariables está recogida en las covarianzas de lamatriz Ω de los residuos.

- El modelo VAR es un modelo SURE sinrestricciones, pues todos los regresores entran entodas las ecuaciones.-En general, la estimación por mínimos cuadradosordinarios (MCO) de un modelo SURE no es( )eficiente, para ello se necesitan mínimoscuadrados generalizados( MCG).g ( )- Pero hay dos excepciones a lo anterior:

(a) si Ω es diagonal y( ) g y(b) si el modelo SURE no tiene restricciones.

- Por tanto,según (b), el modelo VAR se puedeg ( ) pestimar eficientemente ecuación por ecuación porMCO.

LA CONDICIÓN DE ESTACIONARIEDAD DE UN MODELO VAR

• La condición de estacionariedad en un modelo AR viene• La condición de estacionariedad en un modelo AR viene determinada por las raices de la ecuación característica correspondiente al polinomio autoregresivo: todas ellas en valor absoluto deben ser menores que la unidadabsoluto deben ser menores que la unidad.

• En el modelo VAR 1 111211

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ −− tt aWLL φφ

• La estructura dinámica es una matriz de polinomios y la

,1 2

1

2

1

2221

1211⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

=⎟⎟⎠

⎜⎜⎝⎟⎟⎠

⎜⎜⎝ −− t

t

t

t

aWLL φφLa estructura dinámica es una matriz de polinomios y la ecuación característica ahora es la correspondiente al determinante de la matriz polinomial.Todas las raices de dicha ecuación característica deben ser en valor absoluto menores ecuac ó ca acte st ca debe se e a o abso uto e o esque la unidad.

• El contenido de las cuatro transparencias siguientes es optativo.

ÓDEPENDENCIA TEMPORAL Y CONDICIÓN DEESTACIONARIEDAD DEL VAR (1).

(1)⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−

t

t

t

t

t

t

aa

xx

xx

2

1

12

11

2221

1211

2

1

φφφφ

x1t = φ11 x1t-1 + φ12 x2t-1 + a1t (2.1)

x2t = φ21 x1t-1 + φ22 x2t-1 + a2t (2.2)2t φ21 1t-1 φ22 2t-1 2t ( )

DESPEJANDO x2t y SUSTITUYENDO EN (2.1)

Lax

x ttt

22

211212 1 φ

φ−

+= −

( ) ttt

t aLφ

aφLφ

xφφxLφ 1

22

1212

22

212112111 11

1 +−

+−

=− −−

x

(1 - φ11 L) (1 - φ22 L) x1t = φ12 φ21 x1t-2 + φ12 a2t-1 + (1- φ22L) a1t

[(1- φ11L) (1- φ22L) - φ12 φ21 L2 ] x1t = φ12 a2t-1 + (1- φ22 L) a1t . (3)

IGUALMENTE

[(1- φ11L) (1- φ22L) - φ12 - φ21 L2 ] x2t = φ21 a1t 1 + (1- φ11 L) a2t . (4)[( φ11 ) ( φ22 ) φ12 φ21 ] 2t φ21 1t-1 ( φ11 ) 2t ( )

DE (3) Y (4) SE DESPRENDE QUE LA DEPENDENCIA TEMPORALSOBRE EL PROPIO PASADO ES SUPERIOR A 1SOBRE EL PROPIO PASADO ES SUPERIOR A 1.

LA CONDICIÓN DE ESTACIONARIEDAD ES QUE EL POLINOMIO

[(1- φ11L) (1- φ2L) - φ12 φ22 L2 ] (5)

SEA ESTACIONARIOSEA ESTACIONARIO.

x

EL SISTEMA (1) SE PUEDE ESCRIBIREL SISTEMA (1) SE PUEDE ESCRIBIR

~ ~t

22

12

21

11 x taLI =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

φφ

φφ

Φ(L) =

Φ(L)

~ ~

x )( taL =Φ

⎟⎞

⎜⎛ −− LL 12111 φφ

Φ(L) =

det Φ (L) = (1 φ ) (1 φ L) φ φ L2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−− LL 2221

1211

1 φφφφ

det Φ (L) = (1 - φ11) (1- φ22L) - φ12 φ21 L2.

LA CONDICIÓN DE ESTACIONARIEDAD ES QUE ELLA CONDICIÓN DE ESTACIONARIEDAD ES QUE ELPOLINOMIO DEL DETERMINANTE det Φ (L) SEAESTACIONARIO.

x

ES DECIR, QUE EN1-(φ11 + φ 12) L + (φ11 φ22- φ12 φ21) L2 = 0 (6)1 (φ11 + φ 12) L + (φ11 φ22 φ12 φ21) L 0, (6)

O REFORMULANDO (6) COMO1 α L α L2 = 0 (7)1 - α1 L - α2 L2 = 0, (7)

LAS RAÍCES μ1 y μ2 DEL POLINOMIO SOBRE LA VARIABLE AUXILIAR z1 2 01 - α1 z - α2 z2 = 0,

SEAN EN VALOR ABSOLUTO SUPERIORES A LA UNIDAD.ÍESO EQUIVALE A QUE LAS RAÍCES DEL POLINOMIO, G1 y G2,

z2 - α1 z - α2 = 0 (8)1 2 ( )

SEAN EN VALOR ABSOLUTO INFERIORES A LA UNIDAD, YA QUEG1 = μ1

-11 μ1

G2 = μ2-1.

A (8) SE LE DENOMINA ECUACIÓN CHARACTERÍSTICAA (8) SE LE DENOMINA ECUACIÓN CHARACTERÍSTICA.

x

EJEMPLOS VAREJEMPLOS VAR

ESTOS EJEMPLOS ESTÁN TOMADOS DE ENDERS (1995).

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−

t

t

t

t

t

t

aa

xx

xx

2

1

12

11

2221

1211

2

1

φφφφ

EJEMPLO 1φ = φ = 0 7 φ = φ = 0 2φ11 = φ22 = 0.7 φ12 = φ21 = 0.2

PARA LA ESTACIONARIEDAD, SEGÚN (8), LAS RAÍCES DE

z2 – (φ11 + φ22) z + (φ11 φ22 - φ21 φ22) = 0

HAN DE SER EN VALOR ABSOLUTO INFERIORES A LA UNIDAD.

DE HECHO SON 0.9 Y 0.5

COMO φ12 y φ21 SON POSITIVOS LA CORRELACIÓN CRUZADA ENTRE x1t y φ12 y φ21 1t yx2t-1 y x2t y x1t-1 ES POSITIVA.

EJEMPLO 2

φ11 = φ22 = 0.5 φ12 = φ21 = -0.2

G1 = 0.7 y G2 = 0.3: PROCESO ESTACIONARIO.

φ12 y φ21 NEGATIVAS: CORRELACIÓN CRUZADA:NEGATIVA.

EJEMPLO 3

φ11 = φ22 = φ12 = φ21 = 0.5.

LA ECUACIÓN CHARACTERÍSTICA ES:

1 – z + 0.z2,

ES DECIR, ES SÓLO DE PRIMER ORDEN. LAÚNICA RAÍZ ES LA UNIDAD. EL PROCESO ES NOESTACIONARIO.

ÓES LA GENERACIÓN BIVARIANTE DE UNSENDERO ALEATORIO EN EL QUE LAS DOSVARIABLES SE MUEVEN CONJUNTAMENTEVARIABLES SE MUEVEN CONJUNTAMENTE.

EJEMPLO 4

⎟⎞

⎜⎛

⎟⎞

⎜⎛⎟⎞

⎜⎛

⎟⎞

⎜⎛

⎟⎞

⎜⎛ ttt axx 1111 5.05.05.0

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−

t

t

t

t

t

t

aa

xx

xx

2

1

12

11

2

1

5.05.05.05.0

05.0

ES IGUAL QUE EL EJEMPLO ANTERIOR, PEROCON UN CRECIMIENTO DETERMINÍSTICOCON UN CRECIMIENTO DETERMINÍSTICO.

EJEMPLO TOMADO DE BALLABRIGA Y SEBASTIÁN 1992

El modelo relaciona un tipo de interés a largo (rt),el déficit público (dt) y los activos líquidos enel déficit público (dt) y los activos líquidos enmanos del público (alpt). Las dos útlimas variablesestán medidas en ratios sobre el PIB.es á ed das e a os sob e e

LA DEPENDENCIA CONTEMPORÁNEA EN LA MATRIZ DE VARIANZAS Y COVARIANZAS

• INICIALMENTE EN ESTE CAPÍTULO SE SUPONDRÁCAPÍTULO SE SUPONDRÁ QUE LOS MODELOS VARQUE LOS MODELOS VAR SON SOBRE VARIABLESSON SOBRE VARIABLES ESTACIONARIAS.ESTACIONARIAS.

ESPECIFICACIÓN Y ESTIMACIÓN MODELOS VARMODELOS VAR

Los modelos VAR se han popularizado en el análisis económico porque son relativamente sencillos de p qconstruir.

En la etapa de especificación inicial sólo hay que determinar el orden p del porceso que se puede hacerdeterminar el orden p del porceso que se puede hacer utilizando el estadístico AIC.

A nivel multiecuacionalAIC=Tx logdet[Ω] +2r,

donde Ω es la matriz de varianzas y covarianzas de losdonde Ω es la matriz de varianzas y covarianzas de los residuos y r el número total de parámetros estimados en todas las ecuaciones.

E l t d ti ió d l VAR i t i iEn la etapa de estimación ,un modelo VAR sin restricciones se puede estimar eficientemente aplicando MCO a cada ecuación aisladamente.

PREDICCIÓN CON MODELOS VAR

• Sin embargo,la predicción de una variable en un modelo VAR necesita realizarse utilizando todo el modelo conjuntamente.

• En efecto la predicción de una variable• En efecto, la predicción de una variable necesita de predicciones de otras

óvariables que para su generación necesitan a su vez predicciones de la pprimera variable.

ESTRUCTURAS RESTRICTIVAS DE UN MODELO VAR DE INTERÉS PARA LAMODELO VAR DE INTERÉS PARA LA

PREDICCIÓNSi l i bl d d l VAR• Si las variables de un modelo VAR cumplen determinadas propiedades es posible simplificar el modelo VAR ,de modo que resulte más sencillo operar con él,sobre todo con fines de predicción.

• Estas restricciones se estudian en la stas est cc o es se estud a e asección siguiente,pero antes es necesario introducir el concepto de causalidad en elintroducir el concepto de causalidad en el sentido de Granger.

CAUSALIDAD EN EL SENTIDO DE GRANGER

En un sistema bivariante de 2 variables (y,z),l i bl l i bl lla variable y no causa a la variable z en elsentido de Granger si para todo s>0, el error

d áti di (ECM) d l di ió dcuadrático medio (ECM) de la predicción dezt+s dado (z1, …, zt) es el mismo que el ECMd l di ió d d d (de la predicción de zt+s dado (y1, …, yt, z1, …,zt).

Para contrastar la causalidad de Granger deuna variable y hacia una variable z se formulayel modelo siguiente :

Zt = c + α1 zt-1 + … + αp zt-p + β1 yt-1 +t 1 t 1 p t p β1 yt 1

+ … + βpyt-p+at y

se contrasta la hipótesis

H β β 0H0 : β1 = … = βp = 0.Si no se rechaza H0 se dice que la variable ySi no se rechaza H0 se dice que la variable y

no causa a la variable z en el sentido de Granger.Granger.

• En el modelo anterior puede ocurrir que • - la hipótesis H0 sea cierta y en tal caso el

pasado de la variable y no influye en lapasado de la variable y no influye en la determinación del presente de la variable z,y

dise dice que y no causa a z.• -que H0 no sea cierta ,en cuyo caso el q 0 , y

pasado de la variable y afecta al presente de la variable z y se dice que la variable yla variable z,y se dice que la variable y causa a la z en el sentido de Granger.

CAUSALIDAD DE GRANGER EN UN PAR DE VARIABLES (Z,Y)

• Con la regresión anterior se puede contrastar si la variable y causa o no a la yz.

• Así mismo mediante una regresión de y• Así mismo,mediante una regresión de ytsobre sus propios retardos y sobre los retardos de z se puede contrastar si z causa o no a la variable y.y

RESULTADOS DE CAUSALIDAD EN UN PAR DE VARIABLES (Z,Y)

( )En un par de variables (z,y) se puede contrastar:(1) la causalidad de y sobre z y (2)l d b(2)la de z sobre y,

a partir de dos regresiones:(1) una sobre el regresando z y(1) una sobre el regresando zt y(2) otra sobre el regresando yt

con todos los retardos de z e y en ambos casoscon todos los retardos de z e y en ambos casos.Los resultados pueden ser los siguientes:-(A) ausencia de causalidad en ambos sentidos.En ambas(A) ausencia de causalidad en ambos sentidos.En ambas

regresiones no se rechaza que los retardos de la otra variable tengan coeficiente cero.

• -(B) causalidad unidireccional de y hacia z. ( ) ySe rechaza la hipótesis H0 en la primera regresión pero no en la segunda.regresión pero no en la segunda.

• -(C) causalidad unidireccional de z hacia y. N h H l i ióNo se rechaza H0 en la primera regresión pero sí en la segunda.

• -(D) causalidad bidireccional. Se rechaza H b iH0 en ambas regresiones.

La causalidad en el sentido de Granger esLa causalidad en el sentido de Granger esmejor interpretarla en el sentido de predicciónque en el de causalidad propiamente dicha.que en el de causalidad propiamente dicha.

UNA ESTRUCTURA DE CAUSALIDAD RESTRICTIVA EN UN MODELO VARRESTRICTIVA EN UN MODELO VAR

Una estructura de causalidad que impone una simplificación que resulta muyuna simplificación que resulta muy operativa en un modelo VAR es la siguiente.

Los n componentes del vector de variablesLos n componentes del vector de variables de un modelo VAR se pueden ordenar de 1 a n forma que las variables de ordena n forma que las variables de orden menor no son causadas en el sentido de G i bl d dGranger por variables de orden mayor,

En tal caso se tiene que la variable dependiente en cualquier ecuaciónviene causada en el sentido deviene causada en el sentido de Granger por las variables g pexplicativas que aparecen en la

ióecuación,pero tales variables explicativas nopero tales variables explicativas no son causadas en el sentido de Granger por la variable d di t tiódependiente en cuestión.

ESTRUCTURA DINÁMICA TRIANGULAR

• Cuando se cumple la estructura causal anterior se tiene que que todas las q qmatrices Фi son triangulares.

• Se dice entonces que el modelo VAR• Se dice entonces que el modelo VAR tiene una estructura dinámica triangular.

Ej l C id l d l VAR (1)Ejemplo.- Consideremos el modelo VAR (1)de dos variables (y1, y2)

,0 111111

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ − ttt yy εφφ

φ

21222212⎟⎠

⎜⎝

⎟⎠

⎜⎝⎟⎠

⎜⎝

⎟⎠

⎜⎝ − ttt yy εφφ

Al ser Ф12 = 0 la variable y2 no causa (enl d d )el sentido de Granger) en y1.

• EN EL EJEMPLO ANTERIOR LAS VARIABLES ESTÁN ORDENADAS COMO VARIABLES 1 Y 2VARIABLES 1 Y 2.

• En él se ve que la variable de menor orden, 1,no viene causada en el sentido de Granger por la variable de mayor orden ,2,pues el p y , ,pcoeficiente Ф12 es cero.

• Sin embargo la variable 1 sí que causa a la 2• Sin embargo la variable 1 sí que causa a la 2 en el sentido de Granger ya que Ф21 es di i ddistinto de cero.

Estimación delos modelos VAR.

MODELOS VAR SIN RESTRICCIONES

• LOS MODELOS VAR SIN RESTRICCIONES SE PUEDEN ESTIMAR EFICIENTEMENTE

ÓAPLICANDO MCO A CADA ECUACIÓN DE MODO INDIVIDUAL.

• SI EL MODELO VAR INCORPORA RESTRICCIONES LA ESTIMACIÓN EFICIENTE REQUIERE LA ESTIMACIÓN CONJUNTA DE TODAS LAS ECUACIONES.

ES DECIR,APLICANDO MÍNIMOS CUADRADOS GENERALIZADOS AL SISTEMA DE n ECUACIONES.

MODELO SOBRE LAS VARIABLES EN NIVELES

Si l t i i d d d l i bl dóSi la no estacionariedad de la variable endógena viene plenamente explicada por la no estacionariedad de las variables exógenasestacionariedad de las variables exógenas

el término residual - que recoge el efecto de las variables omitidas será estacionariovariables omitidas – será estacionario.

Las variables explicativas determinan lo que puede ser el componente más importante de lapuede ser el componente más importante de la variable endógena :su evolutividad en el nivel.

En este caso el modelo se formula sobre lasEn este caso el modelo se formula sobre las variables en niveles.

Un modelo sobre variables no estacionarias enniveles y con un término residual estacionario, porniveles y con un término residual estacionario, porejemplo,

(1 Ф L) (b b L) (10)(1– Ф22 L) yt = (b + b1L) xt + εt , (10)

yt = bxt + b1 xt 1+ Ф22 yt 1 + εt , (11)yt bxt b1 xt-1 Ф22 yt-1 εt , (11)

donde yt e xt son I(1),

Implica que siendo ambas variables I(1) existe unavinculación entre sus evoluciones a largo plazo, yacu ac ó e e sus e o uc o es a a go p a o, yaque la regresión dinámica entre ellas tiene residuosmeramente estacionarios.

Para entender tal relación restemos yt-1 a amboslados de (11)( )

yt = bxt + b1 xt-1+ Ф22 yt-1 + εt , (11)

y sumemos y restemos bxt-1, con lo que

∆y b∆x + (b + b ) x + (Ф 1) y + ε (11)∆yt = b∆xt + (b + b1) xt-1 + (Ф22-1) yt-1 + εt (11)

Que finalmente se pude formular comop

∆yt = b∆xt + α (yt-1 - βxt-1) + εt (12)

donde α = Ф22-1 (13)

β = (b + b ) / (1 Ф ) (14)β = (b + b1) / (1 - Ф22) (14)

El modelo (12) expresa ∆yt que es estacionaria entérminos de ∆xt, que también es estacionaria, de εt,términos de ∆xt, que también es estacionaria, de εt,que además es ruido blanco y de (yt-1 - βxt-1), quenecesariamente tiene que ser estacionaria paranecesariamente tiene que ser estacionaria paraque se cumpla la igualdad en (12).

E i i d i bl I(1) lEn consecuencia, siendo xt e yt variables I(1) lacombinación lineal entre ellas

yt - βxt = mt (15)

t i i E d i l i les estacionaria. Es decir, sus evoluciones a largoplazo no son independientes, sino que están

t i id t l bi ió li lrestringidas por tal combinación lineal.

En el ejemplo anterior se dice que las variablesestán cointegradas.están cointegradas.

Como (15) es estacionario, se tiene que a largolplazo

yt = βxt, (14)yt βxt, (14)

Que supone una relación de equilibrio entre ambasi blvariables.

De modo que mt es el desvio de yt sobre su valore odo que t es e des o de yt sob e su a ode equilibrio.

En este ejemplo partiendo delEn este ejemplo partiendo delsistema (1) que tenía una estructuradinámica triangular se hanortogonalizado los residuos y se haortogonalizado los residuos y se haformulado el modelo uniecuacional(5) para la variable de interés ytque

l ibivolvemos a escribir

yt = bxt + b1 xt-1+ Ф22 yt-1 + t .(11)

.Como la no estacionalidad de yt vieneplenamente explicada por la noplenamente explicada por la noestacionalidad de xt se tiene que ambasvariables están cointegradas.

Existiendo cointegración es convenienteformular el modelo uniecuacional enformular el modelo uniecuacional entérminos de (12).

∆yt = b∆xt + α (yt-1 - βxt-1) + εt (12)

El modelo (12) que repetimos aquí

∆yt = b∆xt + α (yt-1 - βxt-1) + εt (12)

Se denomina “modelo con mecanismo de correción deequlibrio” por la presencia del término (yt-1 - βxt-1) = mt-1.

Cuando mt-1 es positivo, yt-1 está por encima de suvalor de equilibrio, por lo que es necesario que elincremento de yt sobre yt-1 sufra una corrección a labaja y eso se hace con el término αmt-1, que resulta serun mecanismo de correción de equilibrio.

α,que es el parametro de velocidad del ajuste, definido,q p j ,en (13), es efectivamente negativo ya que para que lasvariables xt e yt sean I(1) y no I(2) es fácil demostrart tque Ф22 es menor que la unidad.

El modelo (12) es la formulación más convenienteEl modelo (12) es la formulación más convenientepara la contrastación de hipótesis pues estádefinido en términos de variables estacionarias ydefinido en términos de variables estacionarias ysobre los parámetros de interés que tienen lasiguiente interpretación:siguiente interpretación:

β : (si el modelo está en logartimos) es laβ ( g )elasticidad a largo plazo de yt respecto a xt.

α : es la tasa de ajuste sobre los desequilibrios aα : es la tasa de ajuste sobre los desequilibrios alargo plazo y

b : recoge la relación contemporánea entre ∆yt y∆xt.t

Contrastes de hipótesis en modelos lineales convariables estacionarias y no estacionarias.variables estacionarias y no estacionarias.

Sims, Stock y Watson (1990):

El contraste t sobre un coeficiente de interés esválido si dicho coeficiente se puede poner como elválido si dicho coeficiente se puede poner como elcoeficiente de una variable estacionaria.

SERIES I(1 1) COINTEGRADASSERIES I(1,1) COINTEGRADAS

P I(1 1) ti t d i li l• Por ser I(1,1) tienen una tendencia lineal.• Si ambas series tienen la misma pendiente en la

tendencia entonces la relación de cointegracióntendencia, entonces la relación de cointegración es como en el caso de variables I(1,0), pero con una constante en el modelo.

• Si las pendientes son distintas, la relación de cointegración incluye una tendencia lineal y el modelo una constantemodelo una constante.

• La constante del modelo se puede descomponer en cuyo caso el modelo se puededescomponer, en cuyo caso el modelo se puede reformular incluyendo la tasa de crecimiento de equilibrio.

CointegraciónCointegración.Definición EjemplosDefinición. Ejemplos.

COINTEGRACIÓN

Dado un vector de variables xt = (x1t, x2t, …, xnt)’

se dice que sus componentes están cointegrados si:se dice que sus componentes están cointegrados si:

(1) Todas las variables componentes del vector sonintegradas de orden d I(d)integradas de orden d,I(d) y

(2) Si existe una combinación lineal entre ellas

β1x1t + β2x2t + … + βnxnt

que es integrada de un orden menor (d-b) b>0 es decirque es integrada de un orden menor (d-b), b>0, es decir

I(d-b).

Al vector β = (β1, β2, …, βn)’

Se le denomina vector de cointegración y se dice que lasSe le denomina vector de cointegración y se dice que lasvariables están cointegradas con un orden CI(d,b).

La mayor parte del análisis decointegración teórico y aplicado se refierecointegración teórico y aplicado se refierea la cointegración CI(1,1), es decir,

Entre variables I(1) para las que existel ió li l t i iuna relación lineal que es estacionaria.

E t t ól t di lEn este tema sólo se estudia lacointegración CI(1,1).g ( , )

ÓCOINTEGRACIÓN Y EQUILIBRIO A LARGO PLAZO

En la cointegración CI(d,d) existe una combinación linealg ( )

β1x1t + β2x2t + … + βnxnt = mt

β’β’xt = mt

que es estacionaria, es decir, a largo plazo tiende a cero,pues la posible existencia de constantes se recogería convariables aritificiales adicionales a las variables x’s.

Por tanto la relación β’xt es una relación de equilibrio alargo plazo.

Las evoluciones de largo plazo entre variablescointegradas no son independientes vienen restringidaspor la relación: β’xt.

ERROR DE EQUILIBRIO

En la cointegración CI(d,d) mt esg ( ) testacionario, y en cada momento t

fl j ó l t d lrefleja cómo los componentes delvector xt se alejan de su valor devector xt se alejan de su valor deequilibrio.

EJEMPLOS DE RELACIONES DE EQUILIBRIO A LARGO PLAZO EN ECONOMIA

(a)Entre los precios de presente, st, y de futuro, ft,( ) p p t y ten un mercado eficiente se tiene que st y ft sonI(1) pero su diferencial( )

ft – st

es estacionario, y a largo plazo se tiende a lasiguiente relación de equilibrio

ft = st

TIPOS DE INTERÉS A CORTO Y TIPOS DE INTERÉS A LARGO tienden a tener un diferencialINTERÉS A LARGO,tienden a tener un diferencial

estacionario.

1213141516

onds

yie

lds

6789

101112

Tre

asur

y B

o

0123456

0/30

yea

r-U

S

00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

3- month US Treasury Bills rate (secondary market)

20

Period:1958.01-2000.01Source: Federal Reserve Board of Governors

EJEMPLOS DE RELACIONES DE EQUILIBRIO A LARGO PLAZO EN ECONOMIA

(b) El consumo, Ct, y la renta, Yt, son variables I(1)( ) t y t ( )pero a largo plazo existe una relación de equilibrio

C = βYCt = βYt ,

es decir, en el corto plazo

Ct - βYt = mt

es estacionario.

CONSUMO Y RENTA EN EE UUCONSUMO Y RENTA EN EE.UU.

Real Consumers' expenditure on non-durables and services(1) and real personal disposable income(2) in U.S.

Figure 2.13

5000

5400

5800

6200

(2)

3800

4200

4600

5000(1)

2600

3000

3400

82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98

198

198

198

198

198

198

198

198

199

199

199

199

199

199

199

199

199

Source: Departament of Commerce US. BEA

CONSUMO Y RENTA EN EE UUCONSUMO Y RENTA EN EE.UU

• El gráfico anterior muestra la vinculación existente en la evolución tendencial entre ambas variables.

• En una regresión simple esto implica una• En una regresión simple esto implica una dispersión estable de los datos sobre una

órecta de regresión estable,tal como suguiere el gráfico siguente del consumo g g gfrente a la renta.

GRÁFICO DE CONSUMO FRENTE A RENTA

Consumers' expenditure versus Real Personal Disposable Income

es a

nd

Figure 2.21

3900

4400

4900

ure

on n

on-d

urab

lerv

ices

2900

3400

3900

0000

0000

0000

0000

0000

0000

0000

0000

0000

0000

0000

0000

0000

onsu

mer

s´ex

pend

itu ser

3750

3950

4150

4350

4550

4750

4950

5150

5350

5550

5750

5950

6150

Real Personal Disposable Income (US)Rea

l Co

Period 1982(I)- 1998(IV)Source: Departament of Commerce US. BEA

EJEMPLOS DE RELACIONES DE EQUILIBRIO A LARGO PLAZO EN ECONOMIA

(c) En los análisis de demanda de dinero se(c) En los análisis de demanda de dinero seconsideran las variables:

m : agregado monetariomt : agregado monetariopt: índice de preciosy : renta en términos realesyt: renta en términos realesit: tipo de interés,

todas ellas son I(1) y la relación

m β β p β y β imt – β0 – β1pt – β2yt – β3ites estacionaria.

EJEMPLOS DE RELACIONES DEEJEMPLOS DE RELACIONES DE EQUILIBRIO A LARGO PLAZO EN

ECONOMIAECONOMIA

(d) A bit j d d bi(d) Arbitraje en mercados de bienessimilares. El precio del bien i, Pit, y delp it ybien j, Pjt, son I(1) pero a largo plazo sudiferencialdiferencial

P PPit - Pjt

es ceroes cero.

EJEMPLOS DE RELACIONES DE EQUILIBRIO A LARGO PLAZO EN ECONOMIA

(e) Paridad del poder adquisitivo(e) Paridad del poder adquisitivo.Por ejemplo entre el dólar y el euro.

El tipo de cambio e(€/$) un índice de preciosEl tipo de cambio e(€/$)t, un índice de precioseuropeo en euros p(€) y un índice de preciosamericano en dólares son variables I(1) peroamericano en dólares son variables I(1) pero

e (€/$)xp($)/p(€)

que es el tipo de cambio real, es estacionario, conlo que a largo plazo se cumplelo que a largo plazo se cumple

log et (€/$) = log p(€)t – log p($)t

EJEMPLOS DE RELACIONES DE EQUILIBRIO A LARGO PLAZO EN

ECONOMIAECONOMIA

(f) En muchos casos las importaciones, Mt, elproducto interior bruto, Yt, y un índice deprecios relativos, PRt, son I(1) existiendo unap , t, ( )relación

Mt - β1Yt - β2PRt ,

que es estacionariaque es estacionaria.

COMPONENTES DENTRO DECOMPONENTES DENTRO DE UNA SERIE AGREGADA

(g) Componentes en un índice de(g)precios: dentro de un índice deprecios existe con frecuencia unprecios existe con frecuencia unnúmero de componentes (precios)número de componentes (precios)que están cointegrados.

Pero otros que claramente no loestán.

EL INDICE DE PRECIOS DE ALIMENTOS Y DE OTROS BIENES NO ENERGÉTICOS PODRÍAN ESTAR COINTEGRADOS ENTRE SÍENERGÉTICOS PODRÍAN ESTAR COINTEGRADOS ENTRE SÍ,

PERO NO CON LOS OTROS

Four main components in US Consumer price index (logaritmic transformation)

Figure 2.15

2,2

2,4

Ct

St Ft

1,8

2

Ft food index

Et energy index

Et

1,4

1,6

970

971

972

973

974

975

976

977

978

979

980

981

982

983

984

985

986

987

988

989

990

991

992

993

994

995

996

997

998

999

000

Ct index for other commodities

St index for other services

19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 20

Source: BLS

LOS INDICES DE PRECIOS AL CONSUMO DE VESTIDO DE HOMBRE Y DE MUJER PARECEN ESTAR COINTEGRADOS,

EXCEPTO QUIZÁS EN LA NUEVA ESTACIONALIDAD INDUCIDA AL COMPUTAR LAS REBAJAS

INDICE DE PRECIOS AL CONSUMO EN ESPAÑA(Series en logaritmos)

4.8

4.74.74.8

Vestido Mujer

Vestido Hombre

4.54.64.6

4.44.44.5

4.31993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

Fuente:INE Fecha: 13 de abril de 2005

LOS PRECIOS AL CONSUMO DE MUEBLES Y ELECTRODOMÉSTICOS NO ESTÁN COINTEGRADOS.EN ESTOS ULTIMOS LAS MEJORAS TECNOLÓCAS PARECE QUE ESTÁN AFECTANDO MUCHO SU

TENDENCIA.

INDICE DE PRECIOS AL CONSUMO EN ESPAÑA(Series en logaritmos)

4.8

4 64.74.74.8

Electrodomesticos* Muebles

4 54.54.64.6

4 34.44.44.5

4.31993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

Fuente:INE Fecha: 13 de abril de 2005*A part ir de 2002m01 electrodomest icos incluye reparaciones

LOS INDICES DE PRECIOS AL CONSUMO SUBYACENTE Y RESIDUAL TIENDEN A NO ESTAR

COINTEGRADOS.IINDICE DE PRECIOS AL CONSUMO EN ESPAÑAIINDICE DE PRECIOS AL CONSUMO EN ESPAÑA

(Series en logaritmos)

4 84.8

4.74.74.8

residualTendencial

4.54.64.6

4 44.44.5

4.34.4

1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

Fuente:INE Fecha: 13 de abril de 2005

(h) Componentes de un índice de(h) Componentes de un índice de producción: dentro de un índice de

d ió i t f iproducción existe con frecuencia un número alto de componentes que están cointegrados.

Los ejemplos (g) y (h) son importantes cuando se aborda una modelizacióncuando se aborda una modelización econométrica desagregada.

LOS COMPONENTES DE SERIES DE SERIES AGREGADAS PUEDEN NO ESTARAGREGADAS PUEDEN NO ESTAR

COINTEGRADOS.

Usage of waterFigure 2.16

400

500

er d

ay Other industrial use

Generating electric power

200

300

galo

ns p

Generating electric power

Irrigation

Self supplied domestic and

0

100

1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995

billi

on Self supplied domestic and

livestock

Publicly Supplied domestic &comercial

1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995

Source: U.S. Geological Survey

LOS COMPONENTES DE LA INVERSION ENEE. UU. NO PARECEN ESTAR INTEGRADOS

BILLIONS OF CHAINED (1996) DOLLARS

800

1300

-200

300

1982

1987

1992

1997

Gross Private DomestricInvestment (US)

19 19 19 19

Gross Private Domestric Investment(US)Nonresidential fixed investment

R id ti l fi d i t tResidential fixed investment

Change in private inventoriesPeriod:1982(I)-1999(IV)Source:Department of Commerce (BEA)-US

Modelos VAR convariables no

t i iestacionarias.Modelos vectoriales conModelos vectoriales conmecanismos demecanismos decorrección del equilibriocorrección del equilibrio(VEqCM).( q )

Formulaicón general del modelo uniecuacional conuna variables exógena y cointegración.una variables exógena y cointegración.

El modelo (12) se generaliza de la siguiente forma

∆yt = b∆xt + b1∆xt 1 + … + br∆t r + α1∆yt 1 + … +∆yt b∆xt b1∆xt-1 … br∆t-r α1∆yt-1 …+ αr∆yt-r + α(yt-1 - βxt-1) + εt

Un modelo para un tipo de interés a corto plazo (rt)y otro a largo (Rt) cuando el primero es exógeno.y otro a largo (Rt) cuando el primero es exógeno.

En este caso el modelo (12) puede ser válido.Así

∆Rt = b∆rt + α(Rt-1 - βrt-1) + εt (14)

∆ (15)∆rt = ait (15)

Para otro tipo de variables la estructura dinámicaPara otro tipo de variables la estructura dinámicadel modelo anterior puede ser muy simple y esnecesario generalizar el modelo (12).ecesa o ge e a a e ode o ( )

REGRESIONES ESPURIASREGRESIONES ESPURIAS

El modelo uniecuacional (regresión dinámica) en niveles• El modelo uniecuacional (regresión dinámica) en niveles tiene sentido,tal como se ha señalado anteriormente,cuando el término residual es

t i iestacionario.• Una regresión entre variables no relacionadas entre

sí,pero ambas no estacionarias,puede dar valores altos ,p ,pde los estadísticos R2 y t,cuando se trata de una regresión espuria pues las variables no están relacionadas.e ac o adas

• La regresión espuria se detecta contrastando la estacionariedad de los residuos.E t l h f l l d l b l• En tal caso hay que formular el modelo sobre las variables diferenciadas.

EJEMPLOS Y EJERCICIOSEJEMPLOS Y EJERCICIOS SOBRE EL TEMA 5

Ejemplos y ejercicios preparados por el prof.A.Espasa

EJEMPLO DE UN MODELO CON UNA VARIABLE DE

INTERÉS Y UNA VARIABLEINTERÉS Y UNA VARIABLE EXPLICATICA EXÓGENA CON

COINTEGRACIÓN ENTRE ELLASELLAS

Modelo VAR

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ − ttt axx 1101

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

+⎟⎟⎠

⎜⎜⎝⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

=⎟⎟⎠

⎜⎜⎝ − t

t

t

t

t

t

ayy 2

1

1

1

7.04.0 ⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝ ttt 21

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

=Ω5.01⎟⎟⎠

⎜⎜⎝ 15.0

1.Discuta la estructura dinámica en el vector devariables y la dependencia contemporánea entrevariables y la dependencia contemporánea entrext e yt.En caso de ser cero esta última calcule suEn caso de ser cero esta última calcule su

correlación.

1.Tiene estructura dinámica triangular.Es decir el pasado de yt no influye en xt, pero elyt y tde ésta sí que afecta a yt.Como cov(a1t, a2t)=0.5, las variables xt e yt1t 2t t ttienen una covarianza contemporánea de 0.5.Como las correspondientes desviaciones

estándar son uno la correlación contemporáneaes también de 0.5.

2. Sabiendo que la ecuación característicadinámica de (1) es

z2 – 1.7z + 0.7 , (2)

discuta si el vector zt es estacionario o no.

2. La ecuación característica es:

z2 – 1.7z + 0.7

y sus raíces 1 y 0.7.Luego el sistema es no estacionarioLuego el sistema es no estacionario.

3. Sabiendo que los modelosunivariantes de xt e yt que sederivan de (1) tienen una partederivan de (1) tienen una parteAR(2) cuya ecuacióncaracterística es (2), señale si xt ey son o no estacionariasyt son o no estacionarias.En este último caso señale el tipoEn este último caso señale el tipode no estacionariedad que siguen.

3. En los correspondientes modelospunivariantes xt e yt tienen una raízunitaria y ambas son I(1) Es decir sonunitaria y ambas son I(1). Es decir sonvariables con oscilaciones locales denivel.

4. Señale si las esperanzas4. Señale si las esperanzasmatemáticas de ∆xt e ∆yt soniguales o no y justifique su

trespuesta.

4 Ambas ∆x e ∆y tienen media igual a4. Ambas ∆xt e ∆yt tienen media igual acero, ya que en el modelo VARninguna de las ecuaciones tieneconstanteconstante.

5. Reformule el modelo VAR anteriorcomo un VAR con matriz devarianzas y covarianzas residualesvarianzas y covarianzas residualesdiagonal, sabiendo que la causalidadcontemporánea va desde xt e yt.

5. El modelo VAR tiene estructura dinámicatriangular pero con dependencia contemporáneatriangular, pero con dependencia contemporánea.

HaciendoHaciendoa2t = ba1t + ε

b = σ12 / σ1 · σ2 = 0.5

y

a2t = 0.5xt - 0.5xt-1 + εt .

Por lo tanto el siguiente sistemaPor lo tanto el siguiente sistema de dos ecuaciones

yt = 0.5xt - 0.1xt-1 + 0.7 yt-1 + εt (A1)t t t 1 t 1 t

xt = xt 1 + at (A2)xt xt-1 at (A2)

es un VAR reformulado de modo recursivoes un VAR reformulado de modo recursivo.

6 A ti d l ió b6. A partir de la ecuación sobre yten el modelo VAR del punto (5) yen el modelo VAR del punto (5) yde todos los resultadosanteriores, discuta si lasvariables x e y están o novariables xt e yt están o nocointegradas.g

6. Como xt e yt son I(1) y en (A1) elt yt ( ) y ( )residuo es estacionario, incluso ruidoblanco se tiene que la noblanco, se tiene que la noestacionariedad de la yt vienetplenamente explicada por la noestacionariedad de la x es decirestacionariedad de la xt, es decirestán cointegradas con orden CI(1,1).Se pasa por tanto al punto 8.

7. En caso de respuesta negativa en el punto (6)señale qué tipo de resultados esperaría obtenerseñale qué tipo de resultados esperaría obteneren una regresión de yt sobre xt.¿Serían espurias?¿Serían espurias?¿Cómo lo contrastaría?Describa con gran detalle el estadístico queDescriba con gran detalle el estadístico que

utilizaría para contrastar si la relación es espuria.

8. En caso de respuesta positivaen el punto (6) formule un modelocon mecanismo de corrección delcon mecanismo de corrección delequilibrio e interprete todos susq pparámetros.

8. Las variables están cointegradas. Restando xt-1 a ambos lados de (A1) e yt-1 a ambos lados t 1 t 1de (A2) el modelo VAR se puede reformular como:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΔΔ − ttt

aa

yx

yx 11

304000

. (B)⎟⎠

⎜⎝

⎟⎠

⎜⎝⎟⎠

⎜⎝ −⎟

⎠⎜⎝Δ − ttt ayy 213.04.0 ( )

En la segunda ecuación de (B) se tiene un factorexplicativo

atm = (0.4xt-1 – 0.3yt-1)p t

y un componente ruido blanco con lo que dadoque la variable dependiente es estacionaria el

( t 1 yt 1)

q pfactor explicativo a

tm lo ha de ser también.

atmEn se recoge una combinación lineal entre xt-1

e y que es estacionaria por lo que cualquiere yt-1 que es estacionaria por lo que cualquier c· es también estacionaria. a

tm

Para identificar tal relación vamos at d i l b l fi i t ( 0 3) d lestandarizarla sobre el coeficiente (-0.3) de la

variable de interés, es decir, multiplicamos atm

por (-0.3), con lo que se obtiene:

mt = yt-1 – 0.4/0.3 xt-1 (3)

y dado que = -0.3 m ,atm

el modelo VAR se puede formular como und l VE CM d l t i l imodelo VEqCM, modelo vectorial con mecanismo

de corrección del equilibrio, como:

⎟⎞

⎜⎛

⎟⎞

⎜⎛

⎟⎞

⎜⎛Δ ax 0 C1

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΔΔ

−−t

ttt

t

t

aa

xyyx

2

111 3.0/4.0

3.00

C2

En (C1) los residuos están correlacionados. Bajoel supuesto de que la causalidad contemporáneava de xt a yt se tiene que

a2t = ρa1t + εt ρ = 0.5

Como en (C1) a1t = ∆xt, (C) se puede formularcomo

∆xt = at-1 (D1)

∆yt = 0.5∆xt - 0.3 (yt-1 – 0.4/0.3 xt-1) + εt. (D2)

En (D2):En (D2):0.5 es la correlación contemporánea entre ∆xt∆e ∆yt.0.4/0.3 es la ganancia a largo plazo entre de xtt

e yt. Si las variables están en logaritmos es unaelasticidad, que en este caso es positiva y mayorque la unidad.

(-0 3) es la velocidad de ajuste de de ∆yt a( 0.3) es la velocidad de ajuste de de ∆yt adesviaciones sobre el valor de equilibrio a largoplazo en (t-1)plazo en (t 1).

La variable xt sigue meramente un modelo desendero aleatoriosendero aleatorio.

9. Comente sobre la exogeneidadde xt en la ecuación de yt.Indique el tipo de causalidad en elIndique el tipo de causalidad en elsentido de Granger que relacionag qa las variables xt e yt.

9. En el modelo VEqCM, (C), no existe dinámica( )transitoria, es decir los retardos de ∆zt no entran enla ecuación.Toda la relación temporal entre xt e yt estárecogida en la relación de equilibrio (3).Como tal relación mt no entra en la ecuaciónexplicativa de xt en el modelo (C) se concluye quetxt es fuertemente exógena en (C2)La dinámica transitoria y la causalidad entre xt e ytt tes unidireccional desde xt e yt.

10 A lo largo de s resp esta se ha10. A lo largo de su respuesta se haencontrado con dos posibles modelospuniecuacionales sobre la variable yt,uno con y como variable dependienteuno con yt como variable dependientey otro con ∆yt como variabledependiente.Comente sobre ellosComente sobre ellos.

10 El sistema (A) es un VAR recursivo por lo10. El sistema (A) es un VAR recursivo por loque (A1) es un modelo uniecuacional válidopara y pero formulado con variables nopara yt, pero formulado con variables noestacionarias y probablemente sin estarespecificado sobre los parámetros de interés.

Suponga que estos parámetros son:(g) la ganancia a largo plazo de yt sobre xt y(g), la ganancia a largo plazo de yt sobre xt y(α) la velocidad de ajuste de yt a desviacionestemporales sobre su patrón de equilibrio atemporales sobre su patrón de equilibrio alargo plazo.

El modelo (D2) está formulado sobrelos supuestos parámetros de interéslos supuestos parámetros de interés.

Tal como se ha demostradot i t D2 f l ∆anteriormente D2 se formula con ∆yt

como variable dependiente y todo élco o a ab e depe d e te y todo ése especifica sobre variablesestacionarias ∆ ∆ mestacionarias, ∆yt , ∆xt y mt.

Relaciones dinámicas entre preciosRelaciones dinámicas entre precios del vacuno

Ejemplo preperado por laEjemplo preperado por la Profa.Esther Ruíz

Relaciones dinámicas entre precios del vacunop

El objetivo de esta sección es contrastar empíricamente la integración espacial de los dos circuitos en los que tradicionalmente ha estadoespacial de los dos circuitos en los que tradicionalmente ha estado

fragmentado el mercado internacional de vacuno.

Para ello se va a contrastar si existe una relación de equilibrio a largoPara ello, se va a contrastar si existe una relación de equilibrio a largo plazo entre dos precios representativos de cada uno de los dos circuitos.

El precio elegido como representativo del circuito de fiebre aftosa es el precio mensual de exportación FOB de carne de vacuno en Argentina y

como representativo del circuito libre de fiebre aftosa, el precio decomo representativo del circuito libre de fiebre aftosa, el precio de importación CIF de carne australiana en Estados Unidos. Los precios, medidos en dólares por tonelada, han sido observados mensualmente durante el periodo comprendido entre enero de 1977 y diciembre dedurante el periodo comprendido entre enero de 1977 y diciembre de

1997.

La transformación logarítmica de ambasLa transformación logarítmica de ambas series de precios aparece representada en el gráfico 1 donde puede observarse

que su nivel parece evolucionar a loque su nivel parece evolucionar a lo largo del tiempo

Gráfico 1.- Logaritmos de los precios mensuales de carne de vacuno en Estados Unidos (LUSA) y Argentina (LARG) durante el periodo 1977-1997

8.4

8.0

7 2

7.6

6.8

7.2

6.478 80 82 84 86 88 90 92 94 9678 80 82 84 86 88 90 92 94 96

LARG LUSA

Cuadro 1.-Contrastes de Dickey-Fuller Ampliado (ADF).

Valor del Estadístico Valores Críticos (1%, 5%, 10%)

LUSA (4) -2,833254 -3,9984, -3,4292, -3,1378

DLUSA (4) -7,572660 -3,4585, -2,8734, -2,5730

LARG (4) -2,610202 -3,9984, -3,4292, -3,1378

DLARG (4) -7,482174 -3,4585, -2,8734, -2,5730

• En el gráfico 1 también se puede observar como, hasta aproximadamente el fin del año 1990, la evolución a largo plazo de ambos precios es muy similar.

• Sin embargo, a partir del año 1991 parece haber un cambio en el tipo de relación ahaber un cambio en el tipo de relación a largo plazo que mantienen ambos precios.

• Posteriormente, a partir de paproximadamente 1994 ambas series se juntan en su evolución. j

• El 14 de mayo de 1989 el Partido Justicialista gana las elecciones presidencialespresidenciales.

• Se inaugura una nueva orientación gen la política económica con una serie de medidas de estabilizaciónserie de medidas de estabilización.

• El sector del vacuno también experimenta una fuerte liberalización.

• El segundo de los cambios podría estar justificado por cambios en el propio j p p pmercado internacional del vacuno. A mediados de 1989 los Gobiernos demediados de 1989, los Gobiernos de

Argentina, Brasil y Uruguay, junto con el C t P i d Fi b AftCentro Panamericano de Fiebre Aftosa, firmaron un convenio para el control y la

erradicación de la enfermedad en la Cuenca del Plata.

• Uruguay fue declarado, en 1993, país libre de aftosa con vacunación mientras quede aftosa con vacunación mientras que

Argentina ha recibido dicha declaración en

• Para analizar las relaciones dinámicas entre los precios para todo el periodo, p p p ,desde enero de 1977 hasta diciembre de 1997 se van a incluir en el modelode 1997, se van a incluir en el modelo

VECM, dos variables ficticias D1t y D2t.• La primera toma valor cero hasta diciembre de 1990, momento a partir , pdel cual toma valores 1, 2, 3… hasta

diciembre de 1994 volviendo a tomardiciembre de 1994, volviendo a tomar valor cero para el resto del periodo.

óLa variable D2t es una variable escalón que toma valores cero hasta diciembre qde 1994 y valor 1 a partir de enero de

1995.1995.

Los resultados de la estimación del correspondiente modelo VECM son los p

siguientes:

4tLARG*(0 06)0,093tLARG*

(0 06)0,182tLARG*

(0 06)0,01 +1tLARG*

(0 06)0,19

)1-2tD*(0,11)0,52-1-1tD*

(0,002)0,008-1tLUSA1tLARG

(0,03)0,51(*

(0,03)0,13tLARG

−Δ−−Δ+−Δ−Δ−

−−−+−=Δ

4tLUSA*(0,14)0,163tLUSA*

(0,11)0,152tLUSA*

(0,12)0,051tLUSA*

(0,11)0,02

(0,06)(0,06)(0,06)(0,06)

−Δ−−Δ−−Δ+−Δ+

4tLARG*0,063tLARG*0,032tLARG*0,09+1tLARG*0,0004

)1-2tD*(0,11)0,52-1-1tD*

(0,002)0,008-1tLUSA1tLARG

(0,03)0,51(*

(0,01)0,008tLUSA

Δ−Δ+ΔΔ−

−−−+=Δ

4tLUSA*(0,06)0,063tLUSA*

(0,07)0,042tLUSA*

(0,05)0,221tLUSA*

(0,06)0,46

4tLARG(0,04)0,063tLARG

(0,04)0,032tLARG

(0,04)0,091tLARG

(0,04)0,0004

−Δ−−Δ−−Δ−−Δ+

−Δ−Δ+−Δ−Δ

La relación de equilibrio a largo plazo:q g p

0,512tD*0,52-1tD*0,008-tLUSAtLARG −=(0,03)2t(0,11)1t(0,002)

• Entre enero de 1991 y diciembre de 1994los precios argentinos crecen a un ritmolos precios argentinos crecen a un ritmo del 0,8 %. A partir de enero de 1995 los dos precios se integran totalmente y lados precios se integran totalmente y la diferencia entre ellos desaparece al cancelarse la constante de la relación decancelarse la constante de la relación de equilibrio a largo plazo con el coeficiente de la variable escalón D2tde la variable escalón, D2t.

Los estadísticos Box-Ljung correspondientes a los residuos decorrespondientes a los residuos de las ecuaciones de los precios LARG y de los precios LUSA toman valoresy de los precios LUSA toman valores de 9,12 y 23,32 respectivamente, no detectando problemas de mala especificación en el modelo.especificación en el modelo.

Por lo que se refiere a la relación dinámica a corto plazo. Los precios argentinos realizan elcorto plazo. Los precios argentinos realizan el ajuste ante desviaciones respecto al equilibrio de largo plazo. g p

Las variaciones en el precio de este paísLas variaciones en el precio de este país responden a su propio pasado (son significativos los coeficientes de los precios g pcon uno y tres retardos) así como a las variaciones en el precio de Estados Unidos, a t é d l j t l d i i d l ltravés del ajuste a las desviaciones del largo plazo.

Por otro lado, los precios de Estados Unidos responden a su propio pasado p p p p(son significativos los coeficientes de los precios con uno y dos retardos)los precios con uno y dos retardos). Además, como ya se detectaba en el periodo anterior el coeficiente de losperiodo anterior, el coeficiente de los precios de Argentina con dos retardos es significativo, confirmando la respuesta a corto plazo de los precios p p pde Estados Unidos al pasado de los argentinos