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Tema 5: Ecuaciones polinómicas no lineales.Inecuaciones de una variable
Juan decide regalar a su novia un juego de Damas Chinas que ha fabricado él mismo. Ha
dado forma a un tablero de madera y para las damas ha comprado unas piezas de
diversos colores. Ha comprobado que éstas ocupan un volumen total de 616 cm3.
Para que su novia aprecie mejor sus habilidades, decide fabricar la caja que contenga las
damas con una chapa rectangular de metal, muy bonita, de medidas 22 y 19 cm. Su idea
consiste en recortar cuatro cuadrados del mismo tamaño, uno en cada esquina, para
luego doblar las lengüetas que se hayan formado y así obtener la caja que contenga
exactamente las piezas.
Dado que sólo tiene una chapa de metal y no hay forma de encontrar otra que pueda
servir de recambio, debe calcular el lado del cuadrado muy bien para no equivocarse. Una
vez dobladas y formadas las caras laterales de la caja, soldará las junturas para que
quede perfecta.
En este tema aprenderemos el procedimiento que tiene que emplear Juan para calcular
dicho lado.
Damas chinas Mzelle Laure GNU Free Documentation License
1. Factorización de polinomios
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En el primer apartado descompondremos polinomios de los que conozcamos sus raíces.
También determinaremos las raíces enteras y racionales (cuando las tenga) de un
polinomio con coeficientes enteros.
La idea es poder trabajar con los polinomios de una manera parecida a como lo hacemos
con los números enteros, que los descomponemos en producto de factores primos para
manejarlos más cómodamente.
Definiciones
Un polinomio es una "suma de monomios", o sea, toda expresión algebraica de la forma:
P(x) = a0xn+a1xn-1+...+an-2x2+an-1x+an, siendo ai números reales llamados
coeficientes, y a0 0, n recibe el nombre de grado del polinomio, y an es el término
independiente.
Ejemplos: 3x2-5x+2 (grado 2), 5x-3x4+3 = -3x4+5x+3 (grado 4), 7 (polinomio de
grado 0). Pero 5x2+x-2+4x-2 no es un polinomio (hay una potencia de x con exponente
negativo).
Dos polinomios son iguales si tienen el mismo grado y los coeficientes de los términos del
mismo grado son iguales. Ejemplo: Si P(x) = 2x3-5x+4 es igual a Q(x) = ax3+bx2+cx+d
entonces a=2, b=0, c=-5 y d=4.
El valor de un polinomio para un determinado número real es el número que se obtiene
sustituyendo x por dicho número real. Si P(x) = a0xn+a1xn-1+...+an-2x2+an-1x+an, el
valor de P(x) en x=a es P(a) = a0·an+a1·an-1+...+an-2·a2+an-1·a+an . Ejemplo: si P(x)
= 2x3-5x+4 , P(2) = 2·23-5·2+4 = 2·8-10+4 = 10.
El número real a es raíz de un polinomio P(x) si P(a) = 0.
Dado un polinomio P(x), se llama ecuación polinómica asociada a la ecuación P(x) = 0. Raíz
de un polinomio es toda solución de su ecuación asociada, o sea, todo número real que
anule el polinomio: P(a) = 0.
Ejemplos:
1. (x+1)·(x-2) = 0 tiene por raíces -1 y 2.
2. x2-2x+1 = 0 tiene por única raíz x = 1, pues x2-2x+1 = (x-1)2 (en este caso se dice
que la raíz es doble).
3. x2+1 = 0 no tiene ninguna raíz real, pues el cuadrado de todo número real es positivo
(así x2+1>0).
Solución de ecuaciones polinómicas productos
Vamos a necesitar hallar las raíces de un polinomio, con lo que tendremos que resolver su
ecuación asociada. Veamos que si el polinomio está factorizado, es muy fácil obtener sus
raíces.
El producto de dos números es 0 si, y sólo si, uno al menos de los dos es 0. O sea:
A·B=0 implica que A=0 o B=0, y sólo en este caso.
De esta forma, si la ecuación es de grado n pero está descompuesta en producto de
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factores simples de grados 1 o 2, podremos resolver varias ecuaciones mucho más
sencillas para resolver aquélla.
Ejemplo: La solución de la ecuación (x+1)·(x-2)·(x-5)=0 es la de las ecuaciones: x+1=0
, x-2=0 y x-5=0 cuyas soluciones son -1, 2 y 5.
Podemos preguntarnos si será posible que los polinomios se puedan descomponer en
productos de esta forma, la respuesta es que sí como veremos en el siguiente apartado.
1.1. Descomposición de polinomios. Regla de Ruffini
En este apartado resolveremos las siguientes preguntas:
¿Qué condiciones deben cumplir las raíces enteras y las racionales de un polinomio
Dado el polinomio P(x)= 2x5-3x4-x-1+2, su grado es:
54
Ninguna de las anteriores.
Si P(x)=-2x3+5x2+x-4:
Su grado es 3.
El término independiente es -4.
El coeficiente del término de grado 2 es 5.
El coeficiente del término de mayor grado es -2.
El valor del polinomio en x=2 es: P(2)=4.
Las raíces de la ecuación (x-3)·(x+1)·(x+2)=0 son:
-3, 1 y 2.
3, -1 y -2.
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con coeficientes enteros para poder descomponerlo en producto de factores?
¿Cómo podemos hallar dichas raíces?
Nota: Si dividimos un número entero D (dividendo) por otro d (divisor) obtenemos
siempre un cociente q y un resto r tal que : r<d, verificándose la relación: D=d·q+r.
Ejemplos:
1. 77=9·8+5 (8 es el cociente y 5 el resto).
2. Si el dividendo es menor que el divisor la relación es trivial: 3=8·0+3 (el cociente es
0 y el resto: 3<8).
Con los polinomios pasa exactamente lo mismo, al dividir un polinomio A(x) por otro B(x)
se obtiene un cociente Q(x) y un resto r(x) tal que: A(x)=B(x)·Q(x)+r(x). En este caso
se tienen las siguientes relaciones entre los grados de los polinomios: gr(Q(x))=gr(A(x)-
gr(B(x)) y gr(r(x))<gr(Q(x)).
Ejemplo: Si dividimos x3-x2-4x+5 entre x2+x-5 obtenemos x-2 de cociente (grado=3-
2=1) y 3x-5 de resto (con grado 1<2, grado del divisor). En caso necesario, se
recomienda revisar la división de polinomios.
Regla de Ruffini
Para dividir P(x) por (x-a) se suele utilizar la regla de Ruffini que ya debemos conocer. No
obstante, la recordaremos con unos ejemplos. Dividiremos P(x)=x3-2x2-5x+6 por (x-1),
por (x+2) y por (x-3):
Efectúa la división de los polinomios anteriores.
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En este caso vemos que 1, -2 y 3 son raíces de P(x).
La aplicación reiterada de este teorema nos va a permitir descomponer un polinomio en el
producto de sus factores. Para ello, nos hace falta saber calcular sus raíces que, en
algunos casos, será un proceso relativamente sencillo. Veámoslo.
Teorema: El resto de la división de P(x) por (x-a) es P(a),
valor de P(x) en x=a.
Si dividimos el polinomio P(x) por (x-a) obtendremos un
cociente y un resto de grado 0 (el divisor es de grado 1),
entonces:
P(x) = (x-a)·Q(x) + r, luego: P(a)=(a-a)·Q(a) + r = 0·Q(a) + r
= r
Corolario: a es raíz de P(x) si y sólo si existe un polinomio
Q(x) de grado una unidad menor que P(x), tal que P(x)=(x-
a)·Q(x).
Consecuencia inmediata del teorema (si a es raíz, el resto de la
división será 0).
Teorema: Si el número entero b es raíz del polinomio de
coeficientes enteros P(x) = a0xn+a1xn-1+...+an-2x2+an-
1x+an, entonces b es un divisor de an.
Si b es raíz de P(x): P(b) = a0bn+a1bn-1+...+an-2b2+an-
1b+an = 0, de donde:
an = -(a0bn+a1bn-1+...+an-2b2+an-1b) = b·(-a0bn-1-a1bn-
2-...-an-2b-an-1)
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Por lo tanto , en los polinomios con coeficientes enteros, sólo buscaremos las raíces
enteras entre los divisores del término independiente, aplicando la regla de Ruffini para
determinarlas y descomponer el polinomio.
Dado el polinomio P(x) = a0xn+a1xn-1+...+an-2x2+an-1x+an, con a0 0, si conocemos
sus n raíces: r1, r2,..., rn, el polinomio se puede descomponer de la forma: P(x) = a0·(x-
r1)·(x-r2)·...·(x-rn) .
Si alguna raíz se repite, se dirá que es múltiple, y que su orden de multiplicidad es 2
(doble), 3 (triple), ... En este caso se agrupan los factores iguales en una potencia, de la
forma: P(x) = 5·(x+1)·(x-1)3·(x-4)2 .
por lo que an es múltiplo de b (en el paréntesis sólo aparecen
operaciones con números enteros, luego es un entero).
1. Hallar las raíces enteras del polinomio P(x)=x3+4x2-4x-16, y
descomponerlo en producto de factores.
Dado que los coeficientes
son enteros, debemos
probar con los divisores
del término independiente
(-16), que son: 1, -1, 2,
-2, 4, -4, 8, -8 , 16 y -16.
Probando con la regla de
Ruffini se obtienen como
soluciones 2, -2 y -4.
Para la descomposición del
polinomio es conveniente
seguir por orden la
división por Ruffini con
cada polinomio cociente, a fin de simplificar los cálculos.
Se entenderá mejor viendo el ejemplo adjunto, en el que, para
simplificar, se han colocado sólo los casos con resultado positivo.
Normalmente, se deben ir probando todos los divisores en el
orden en que los hemos dado, y repitiendo aquellos que ya son
soluciones por si acaso fueran raíces dobles o triples, como
veremos en el siguiente ejemplo.
2. Idem anterior con: P(x)=x4-3x3-3x2+7x+6.
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Los divisores de 6
son: 1, -1, 2, -2, 3,
-3, 6 y -6. Al ser
pocos los divisores,
en este ejemplo
pondremos todos los
detalles.
En primer lugar
probamos con 1, que
no resulta ser raíz.
Debemos empezar de
nuevo con el
polinomio original,
pero aprovechamos la
estructura de Ruffini,
tachando lo que no
queremos y
remarcando el
polinomio que
continuamos
considerando.
-1 ha resultado ser
raíz, pero podría ser
raíz múltiple, por lo
que hay que volver a probar, pero en este caso será suficiente
con intentarlo con el polinomio cociente. Remarcamos este nuevo
para no equivocarnos en los cálculos.
También ha resultado ser solución. Señalamos el nuevo polinomio
y volvemos a probar con -1 (podría ser raíz cúbica).
No es raíz triple. Tachamos lo que sobra y seguimos con el
polinomio anterior.
Seguimos con los otros divisores. El siguiente es 2, que sí es
raíz. Hemos llegado al final, queda un polinomio de grado 1 (x-3)
que nos da directamente la última raíz:
x-3=0 ---> x=3
Las raíces de P(x) son, pues, -1 doble, y 2 y 3 simples. La
descomposición de P(x) es: P(x)=(x+1)2·(x-2)·(x-3)
3. Lo mismo con: P(x)=2x4-3x3-3x2+2x.
En P(x) se puede sacar factor común x, por lo que una raíz es 0,
y: P(x)=x·(2x3-3x2-3x+2).
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En el apartado 2 resolveremos ejemplos y ejercicios de aplicación de todo lo que hemos
visto.
Los divisores de 2 son: -1,
1, -2 y 2. Probamos con el
primero de ellos:
Resulta ser raíz, y el
polinomio cociente es de
grado 2. En general, dado
que conocemos muy bien la
resolución de la ecuación de
2º grado, no conviene seguir trabajando con Ruffini, pues no
todas las raíces pueden ser enteras, por lo que resolveremos la
ecuación directamente:
2x2-5x+2=0 ---> las soluciones son: y 2.
Así, las raíces de P(x) son 0, -1, y 2 (todas simples) y el
coeficiente del término de mayor grado 2, por lo tanto:
P(x) = 2·x·(x+1)·(x- )·(x-2)
El cálculo de raíces racionales de polinomios con
coeficientes enteros se obtiene probando todas las
posibles soluciones a/b (positivas y negativas) obtenidas
con todos los divisores de los coeficientes del término de
mayor grado (para el denominador) y del término
independiente (para el numerador). Luego habría que
probar con Ruffini todas las posibles soluciones. Para
tranquilizar al alumno, debemos decir que los casos que
se suelen considerar a título de ejemplo suelen ser muy
sencillos.
Si el polinomio tuviera coeficientes racionales,
pasaríamos a considerar el polinomio que resulta de
multiplicar P(x) por el m.c.m. de todos los
denominadores de los coeficientes, de esta forma ya
sería entero y se puede aplicar el caso anterior.
Hasta ahora sólo hemos visto los casos más sencillos,
polinomios de grados pequeños y con coeficientes
enteros. En la realidad, los problemas que nos ofrece la
vida no suelen ser tan sencillos: las soluciones no tienen
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por qué ser enteras ni racionales, ni tan siquiera reales
(estudiaremos los números complejos más adelante). En
los casos generales se suele recurrir a programas
informáticos muy potentes que no sólo obtienen las
raíces del polinomio, sino que también lo descomponen y
permiten hacer cálculos de una manera muy sencilla. A
pesar de todo, y al igual que ocurre con la calculadora,
es muy conveniente entender perfectamente los
conceptos y hacer una estimación antes de realizar
cálculos electrónicos (no es que la calculadora se
equivoque, sino que los errores más comunes tienen
que ver, frecuentemente, con una pulsación errónea de
las teclas o con una comprensión superficial del
problema).
Aunque estudiaremos los números complejos
(generalización de los números reales) más adelante,
enunciamos un teorema que aclara el problema de las
raíces de un polinomio:
Teorema fundamental del Álgebra: Todo polinomio de
grado n con coeficientes complejos, tiene exactamente n
raíces (contando sus grados de multiplicidades) en el campo
de los números complejos.
Este teorema, que Gauss demostró cuando tenía 18 años,
nos dice que un polinomio no puede tener más (ni menos)
soluciones que las que nos indica su grado, aunque éstas no
sean reales. Por ejemplo, el polinomio P(x)=x2+1 tiene dos
soluciones que son i y -i, donde i es la raíz cuadrada de -1 (o
unidad imaginaria). De momento seguiremos trabajando con
ejemplos reales.
Dado el polinomio p(x)=x4+5x3+4x2-10x-12:
-2 y -3 son dos de sus raíces.
-2 y 5 son raíces de p(x).
x2-2 es un divisor de p(x).
es raíz de p(x).
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1.2. Fracciones algebraicas
Operaciones con fracciones algebraicas
Nos vamos a encontrar bastantes veces con ecuaciones en las que aparecerán fracciones
algebraicas, es decir, que contienen letras además de números. Vamos a dedicar este
pequeño apartado para recordar y ampliar ligeramente los conocimientos que tenemos
acerca de dichas fracciones.
La forma de operar es prácticamente la misma que con las fracciones numéricas. La
diferencia estriba en que con los números se puede simplificar la expresión o resultado
parcial que se obtiene, mientras que con los polinomios la cosa es bastante menos
sencilla, al menos en cuanto a la apariencia y a las expresiones que se tienen que
"arrastrar" hasta el final.
Ejemplo: Efectúa y simplifica: .
En bastantes ocasiones nos encontraremos con expresiones que se pueden simplificar
factorizando (sacando factor común) y aplicando las conocidas identidades notables que
hemos visto en el capítulo 4. Recordémoslas brevemente:
1.
2.
3.
Señalemos, una vez más, que el cuadrado de una suma (diferencia) no es la suma
(diferencia) de los cuadrados. Y la diferencia de cuadrados es igual a la suma por la
diferencia.
Ejemplos: Veamos dos ejemplos para comprender cómo operar con fracciones
algebraicas:
1.
Dados dos polinomios p(x) y q(x), discutir si las siguientes afirmaciones
son ciertas o no y, en caso negativo, dar un contraejemplo.
gr(p(x)+q(x))=gr(p(x))+gr(q(x)).
En algún caso, puede ocurrir que gr(p(x)+q(x))<gr(p(x)).
gr(p(x)·q(x))=gr(p(x))+gr(q(x))
gr(p(x)) gr(p(x)+q(x))
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2.
Descompón el numerador y el denominador y simplifica:
.
El numerador se puede factorizar:
y resolviendo la ecuación de
segundo grado obtenemos las raíces: -1 y 2.
Para el denominador probaremos con
. Aplicando la regla de Ruffini
resulta que 1 no es raíz pero sí -1 con cociente: , que
tiene por raíces: -3 y 2.
Así, pues:
La simplificación de la expresión es:
.
.
.
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Descomposición en fracciones simples
Acabamos de ver en el apartado anterior cómo descomponer
un polinomio en producto de factores, de una manera parecida
a la que se hacía con los números enteros. Con las fracciones
algebraicas se puede hacer algo similar, aunque menos sencillo
y más laborioso. La finalidad es poder trabajar de una forma
más cómoda con funciones cuya expresión como cociente de
polinomios es bastante complicada pero que, descompuesta
en suma de fracciones simples resultan bastante más
sencillas. Lo veremos en gráficas de funciones racionales y,
también, en el cálculo de la primitiva de una función racional el
curso que viene.
Para descomponer la función en suma de fracciones "simples"
aplicaremos el hecho de que dos polinomios son iguales si
tienen el mismo grado y los coeficientes de los términos
respectivos son los mismos. El procedimiento es algo
complicado y lo veremos sólo con unos ejercicios muy sencillos
que nos facilitarán la comprensión posterior, el próximo curso
se verá de una forma más completa.
Ejemplos:
1. Obtén A y B para que se verifique la igualdad:
.
En primer lugar, sumamos las fracciones y simplificamos el
resultado, obteniendo los mismos denominadores:
de donde
identificando los coeficientes de los dos polinomios queda:
que resolvemos por reducción.
Multiplicando la primera ecuación por 3 y sumando se obtiene:
y sustituyendo en la primera ecuación: .
Por lo tanto: .
2. Ídem con A, B, C tales que:
Operando, queda la igualdad:
Aquí se podría trabajar de igual forma que en el ejercicio
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2. Resolución de ecuaciones no lineales
En el tema 3 vimos cómo se resuelven las ecuaciones lineales y cuadráticas (grados 1 y
2). A continuación aplicaremos la descomposición de polinomios en producto de factores
para resolver ecuaciones polinómicas de cualquier grado.
ECUACIONES PRODUCTO
El producto de dos números es 0 si y sólo si al menos uno de los factores lo es, y esta
propiedad es cierta también para un número mayor de dos factores.
Este hecho tan sencillo nos permite resolver ecuaciones polinómicas de cualquier grado
siempre que el polinomio esté descompuesto en producto de factores y el segundo
miembro de la ecuación sea 0. Para resolver la ecuación bastará con igualar a cero cada
factor, de donde hallaremos fácilmente las raíces respectivas.
Bastarán dos ejemplos para entender perfectamente el procedimiento de resolución:
1. Resolver la ecuación (x-2)·(x+5)·(7x-3)=0.
Las soluciones de esta ecuación vienen determinadas por las siguientes: x-2=0 , x+5=0 ,
7x-3=0 , que dan como soluciones: 2, -5 y .
2. Idem de: (x+1)3·(x2-3)·(x2+1)=0.
anterior, pero también se puede seguir un método un poco
diferente. En este caso consideraremos la primera expresión:
Si los polinomios son iguales, los valores que tomarán para
diferentes valores de x serán los mismos. Elegiremos los que
veamos más sencillos de utilizar, en este caso 2 (obtendremos
directamente el tercer parámetro) 0 (deduciremos el valor del
segundo) y 1 para hallar el tercero.
Si x=2:
.
Si x=0:
Y, finalmente, si x=1:
Así:
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Primeramente descomponemos totalmente el polinomio:
(x+1)3·(x+ )·(x- )·(x2+1)=0.
Las soluciones son, respectivamente: -1 triple, , y las soluciones imaginarias
(aunque trabajaremos en la siguiente unidad los números complejos,
consideramos conveniente hacer esta breve referencia sin profundizar más).
Así, esta ecuación tiene cinco raíces reales y dos imaginarias (total siete, como el grado de
su polinomio asociado).
CASO GENERAL
Son las ecuaciones polinómicas en las que debemos proceder a su factorización, para lo
cual aplicaremos la regla de Ruffini a los divisores del término independiente del polinomio.
Los casos problemáticos se presentan cuando el polinomio no tiene raíces enteras o
racionales, en cuyo caso se deben aplicar procedimientos de cálculo numérico para
obtenerlas, aunque en la práctica basta con utilizar aplicaciones informáticas científicas.
Ejemplos: Resolver las ecuaciones:
1. 4x4+4x3-9x2-x+2 = 0.
Como el polinomio es de coeficientes enteros, si tiene raíces enteras éstas deben ser
divisores del término independiente, por lo que debemos buscarlas entre los números -1,
+1, -2 y +2. Se comprueba por Ruffini que 1 y -2 lo son (simples), y que el polinomio
cociente resultante es 4x2-1. Las soluciones de la ecuación 4x2-1=0 son -1/2 y 1/2.
Así, pues, las soluciones de la ecuación son: -2, -1/2, 1/2 y 1.
2. 6x4+23x3+12x2-11x-6 = 0.
Los coeficientes son todos enteros, y los divisores del término independiente son -1, 1,
-2, 2, -3, 3, -6 y 6. Aplicando la regla de Ruffini se ve que -1 y -3 son raíces, siendo 6x2-
x-2 el polinomio cociente. Resolviendo la ecuación cuadrática obtenemos las raíces -1/2 y
2/3.
Así, las raíces son -3, -1, -1/2 y 2/3. La descomposición del polinomio sería (aunque no
nos la piden):
6·(x-2/3)·(x+1/2)·(x+3)·(x+1) o bien: (3x+2)·(2x+1)·(x+3)·(x+1).
3. 12x3+4x2-3x-1 = 0.
Si tiene raíces enteras, sólo pueden ser -1 o 1 (divisores del término independiente). Se
comprueba inmediatamente que ninguna lo es.
Pasemos a determinar si tiene raíces racionales. En Para saber más del apartado 1.1 se ha
dicho (no se ha demostrado) que éstas deben ser de la forma a/b donde a es un entero
divisor del término independiente y b un entero divisor del coeficiente del término de
mayor grado. En nuestro caso debemos probar con -1/2, 1/2, -1/3, 1/3, -1/4, 1/4, -1/6,
1/6, -1/12 y 1/12. Si ninguna de éstas es raíz, podemos asegurar que el polinomio no
tendrá raíces enteras ni racionales. Aplicando Ruffini se comprueba que las raíces son
-1/2, 1/2 y -1/3, y la descomposición polinómica es:
12·(x+1/2) ·(x-1/2)·(x+1/3) = (2x+1)·(2x-1)·(3x+1)
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Resolver la ecuación: x·(x+3)2=x2·(x+5).
Aunque normalmente se simplifica una x (del primer miembro)
con el cuadrado de la x (del segundo miembro), esto implica la
pérdida de una raíz (x=0), por lo que no debe hacerse. Es
preferible operar y, cuando la expresión esté simplificada, sacar
factor común y resolver la ecuación.
Operando, tenemos: x·(x2+6x+9)=x3+5x -->
x3+6x2+9x=x3+5x2 --> x·(x+9)=0 --> x1=0 , x2=-9.
Verificar que a3+b3=(a+b)·(a2-a·b+b2). Utilizando esta identidad,
descompón el polinomio x3+64. Las raíces de su ecuación asociada
x3+64=0 son:
-2, 4 y -4.
-4 y dos raíces imaginarias.No tiene raíces reales.
Las raíces de la ecuación (x2+1)·(x2+x+1)=0 son:
No tiene raíces reales, son todas imaginarias.-1, 1 y dos raíces imaginarias.
-1, 1, y
Las raíces de la ecuación (x2-9)·(x2-x-1)=0 son:
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2.1. Ecuaciones racionales
Ecuación racional es la que tiene en su expresión cocientes de funciones polinómicas, con
alguna de ellas en, al menos, un denominador. Para resolverlas se operan las fracciones
algebraicas que figuran en los dos miembros para simplificar al máximo la expresión, ésta
tomará normalmente la forma (Si en la simplificación de los dos miembros de la
ecuación, el segundo no fuera 0, lo pasaríamos restando al primero).
En tal caso las raíces de la ecuación serán las del polinomio que no anulen los
denominadores de la ecuación original, ya que si comparte alguna raíz con algún
denominador, la fracción estaría indeterminada para ese valor (no se puede dividir por 0),
con lo que no existiría. Por lo tanto, deberemos eliminarla por no ser válida.
Los siguientes ejercicios nos aclararán mejor lo que decimos.
-3, 3, y
-3, 3 y dos raíces imaginarias.
, y dos raíces imaginarias.
Resolver las ecuaciones:
1. .
Las soluciones del numerador son 3 y -1 simples y 2 doble.
Como ninguna de éstas lo es del denominador, todas ellas serán
las raíces de la ecuación.
2. .
Aquí las raíces son 1 y -2, pero 1 también es raíz del
denominador, por lo que x=1 no es solución de la ecuación. La
única solución es, pues, -2.
3. .
En este ejemplo debemos averiguar las raíces del numerador y
del denominador. Descomponiendo el numerador se obtiene:
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CASO GENERAL
Lo que acabamos de ver no es más que un caso particular de ecuaciones racionales. Estas
son las ecuaciones en las que únicamente aparecen (en el primer o en el segundo
miembro) polinomios o cocientes de polinomios. Puede haber varias formas de
presentación y la forma de resolverlas puede ser variada, pero, en esencia, todas se
reducen a simplificar y operar hasta dejarlas reducidas al tipo anterior o similar. Bastará
con aplicar el sentido común para eliminar las sucesivas dificultades que se nos vayan
presentando.
Ejemplos:
1. cuyas raíces son
-3 y 1, ninguna de las dos anula el denominador de la ecuación original, luego las
dos son válidas.
2. . Conviene, en general, empezar señalando cuáles son las
restricciones del problema, o sea, qué valores anulan los diversos denominadores
de la ecuación, en este caso 3 y -3 para descartarlos posteriormente si fuera
necesario.
con raíces -3 y 4. La única solución válida es, pues, 4.
3.
que es la única solución .
cuyas raíces reales son -1 y 1 (junto con las imaginarias ).
Mientras que el denominador es:
cuyas raíces son 1 y 2.
Por lo tanto, 1 no es raíz de la ecuación y, en consecuencia, las
raíces de ésta son: -1 simple y las dos raíces imaginarias .
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2.2 Ecuaciones irracionales
Se entiende por ecuaciones irracionales aquellas en las que aparecen raíces de polinomios
en su expresión. Las raíces que trataremos serán cuadradas o, en algún caso particular,
cúbicas. Para resolverlas se intenta aislar una de ellas en un miembro y se elevan los dos
al cuadrado (o al cubo si fuera el caso) para simplificarla. Si hubiera más de una raíz se
repetiría el procedimiento.
Con esto lo que hacemos es sustituir unas ecuaciones por otras en las que,
gradualmente, van desapareciendo las raíces. En este proceso, sin darnos cuenta, se
añaden soluciones, las ecuaciones no siempre son totalmente equivalentes, como en este
ejemplo:
x=3 tiene por solución 3, pero x2=9 tiene por soluciones 3 y -3.
Por lo tanto, una vez resuelta la ecuación deberemos comprobar que las raíces son válidas
y que pertenecen al dominio de definición de la misma, o sea, que las raíces que se
obtienen al sustituir las x por los valores correspondientes existen en el conjunto de los
reales (recordemos que las raíces de índice par y radicando negativo no existen).
Ejemplos:
1. Resolver la ecuación: .
Primero eliminamos la raíz elevando al cuadrado los dos miembros: .
Agrupamos términos en el primer miembro y los simplificamos, obteniendo:
que tiene como raíces 2 y -1/2. Debemos comprobar si son raíces
también de la ecuación original, en este caso 2 lo es, y -1/2 no lo es si consideramos la
raíz cuadrada como positiva (daría como resultado: 1/2 = -1/2).
2. Resolver la ecuación: .
Lo primero será aislar la raíz para, elevando al cuadrado, eliminarla. ,
haciendo operaciones obtenemos: cuyas raíces son 6 y -1. Debemos
comprobar, ahora, si estas raíces lo son también de la ecuación original. Ambas lo son.
3. Resolver: .
La solución de la ecuación: es:
0 y 2-2 y 0.-1 y 1.
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Cuando aparecen dos raíces, conviene no precipitarse y elevar inmediatamente al
cuadrado. Recordemos que el cuadrado de la suma no es la suma de los cuadrados, por
lo que, aunque simplificáramos una raíz, volvería a aparecer otra inmediatamente. Es
mejor, en estos casos, eliminar las raíces una a una, aislándola previamente en uo de los
dos miembros de la ecuación.
Empezaremos con:
2.3 Resolución geométrica de ecuaciones
Aunque hasta ahora hemos resuelto las ecuaciones anteriores de forma algebraica, no
siempre se podrá obtener una solución por estos métodos. En ocasiones nos tendremos
que conformar con soluciones conseguidas a través de cálculos aproximados, que es uno
de los aspectos de los que se ocupa el Cálculo Numérico.
Pero en otras ocasiones, será muy conveniente poder ver el problema desde un punto de
vista geométrico, no sólo para obtener las soluciones, sino también poder interpretarlo
correctamente y discutir la validez de las mismas.
Las raíces de la ecuación son:
0 y 4/3.Su única raíz es 4/3.
No tiene raíces reales.
La solución de la ecuación es:
3.
0 y 3.No tiene raíces reales, la solución es el conjunto vacío .
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Veamos algunos ejemplos sencillos en los que la solución se obtiene más fácilmente de
manera algebraica, pero que nos van a permitir entender mejor la situación.
1. Resolver la ecuación: x2-x-6=0.
La resolución de la ecuación da las soluciones x1=-2,
x2=3. Como hemos dicho, geométricamente las
soluciones son las abscisas de los puntos de
intersección de la gráfica de f(x)=x2-x-6 con el eje
OX. Como se ve en:
2. Resolver geométricamente la ecuación: 3x-2=6-x.
Es inmediato que la solución es x=2. En este caso, las
dos funciones son dos rectas secantes con
ecuaciones: f(x)=3x-2 , y g(x)= 6-x. Sus gráficas se
cortan en el punto P(2,4), cuya abscisa (x=2) es la
solución de la ecuación.
Si la ecuación es de la forma f(x)=0, las raíces serán
las abscisas x para las que la función tiene ordenada
nula, o sea, las abscisas de los puntos de
intersección de su gráfica con el eje OX.
Si la ecuación es de la forma general f(x)=g(x), las
raíces serán los valores x en los que las dos funciones
tienen el mismo valor para sus ordenadas. Es decir, las
abscisas de los puntos de intersección de las curvas
correspondientes a las dos funciones.
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3. Idem con: x2-x+2=x+3.
Al igual que en el ejemplo anterior, se podía resolver
la ecuación de segundo grado resultante: x2-2x-
1=0 de una forma rápida y exacta. Desde un punto
de vista geométrico, tendríamos:
Las soluciones aproximadas son: x1=-0'41 y
x2=2'41 .
4. Idem: .
Hemos elegido este ejemplo porque tiene soluciones
sencillas y exactas, pero nos da idea de que, en el
caso general, la situación empieza a complicarse
seriamente. Si las soluciones fueran todas
irracionales nos sería difícil hallarlas con exactitud.
Pero si nos fijamos en las gráficas (aprenderemos a
esbozarlas más adelante) es relativamente sencillo
determinarlas de manera aproximada. Las gráficas
son:
Las soluciones son x1=-1'5, x2=2, x3=3.
3. Inecuaciones de una variable
Una ecuación es una relación de igualdad entre dos expresiones algebraicas. Cuando la
relación que hay entre ellas es de desigualdad, nos encontramos con una inecuación, que
puede ser de uno de los cuatro tipos siguientes:
Aunque en ocasiones se pueden resolver inecuaciones directamente, lo normal es
reducirlas previamente a otra donde el segundo miembro sea 0, como .
Con las inecuaciones se opera de forma similar a como lo hacemos con las ecuaciones:
podemos sumar o restar una misma cantidad en los dos miembros sin que varíe la misma,
pero en el caso del producto o cociente por un número hay que cambiar el sentido de la
desigualdad si éste es negativo. Veámoslo con más detalle.
Sabemos que el producto de dos números positivos es otro positivo: ,
entonces si y tendremos .
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Por lo tanto, si : , o sea:
De forma parecida, si multiplicamos por un número negativo y
multiplicando por este último y simplificando se obtendrá:
, es decir, la desigualdad cambia de
signo.
3.1 Inecuaciones lineales
Las inecuaciones lineales son de la forma que se pueden reducir a
.
Para resolverlas se pasan las x al miembro en las que resulten positivas (izquierda o
derecha), los términos independientes al otro y después se divide toda la ecuación por el
coeficiente de las x.
La solución de una ecuación lineal es, en general, un semiintervalo infinito. En algún caso
concreto podemos encontrarnos con una inecuación sin solución (la inecuación se reduce
a por ejemplo), o bien otras en las que todo número real es solución.
Ejemplos: Resolver las inecuaciones siguientes:
1. , cuya solución es el conjunto .
2. , solución: .
3. , solución: .
4. , con solución:
5. , primero eliminamos los denominadores:
, solución:
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
a. La solución de la inecuación es el conjunto de números reales para los
que la ordenada de la función (cuya gráfica es una recta) es menor o
Si los dos miembros de una inecuación los multiplicamos por
un número positivo, la desigualdad no cambia.
Pero si se multiplica por un número negativo la desigualdad
cambia de signo. Ejemplos:
1.
2.
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igual que 0, o sea, el intervalo infinito que queda a la izquierda (o derecha, según
los casos) del punto de corte con el eje X.
b. De la misma manera la solución de la inecuación sería el conjunto de los
valores del eje de abscisas tales que la ordenada de la función es menor o
igual que la de . O bien, las abscisas en las que la gráfica de la primera función
queda por debajo de la de la segunda. En general, lo más sencillo es reducirla a la
equivalente , que es el caso (a).
Veámoslo con ejemplos. Consideraremos las cuatro inecuaciones posibles de la función
lineal y=x+4
En el primer caso la solución son los valores de x en los que la función está por debajo
del eje de abscisas y, al ser la desigualdad estricta, la raíz de la ecuación no es solución
por lo que se excluye.
En el segundo la única diferencia con el anterior es que el extremo (la raíz) está incluida.
En el tercero la solución son los valores de la x para los que la gráfica de la función está
por encima del eje de abscisas, sin el extremo por ser desigualdad estricta.
Y en el último, puntos por encima del eje de abscisas, incluyendo el extremo.
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3.2 Inecuaciones cuadráticas
Las inecuaciones cuadráticas son las que se pueden reducir a una expresión de la forma:
o cualquiera de las otras tres desigualdades.
Si pensamos en el significado geométrico del anterior apartado, está claro que las
soluciones deben ser las abscisas de los puntos de la gráfica de la función
que están por debajo del eje de abscisas (en este caso).
Para hallar la solución deberemos determinar los puntos intersección de la curva con el eje
OX, o sea las raíces de la ecuación de segundo grado asociada. Si éstas son los números
, la solución será uno de los dos conjuntos: o bien . En
la práctica, dado que la gráfica de las funciones cuadráticas es una parábola vertical
dirigida hacia arriba si , o hacia abajo si , la resolución suele ser medianamente
sencilla.
Ejemplo: Resolver la inecuación
.
En primer lugar simplificamos la expresión y
pasamos todo al primer miembro:
. La ecuación asociada
tiene por raíces 2 y 4. La gráfica
de va hacia arriba, pues el
coeficiente de : , por lo tanto debe
ser de la forma:
por lo que la solución que buscamos será
.
La solución de la inecuación es:
Resolver la inecuación: .
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INECUACIONES PRODUCTO
De la misma forma que hemos resuelto la inecuación cuadrática, podemos resolver la
inecuación factorizada , en realidad se trata de la misma inecuación: se
podría desarrollar, obtener la gráfica (las raíces las conocemos ya) y escribir la solución
.
Como en el ejemplo,
lo primero es
simplificar la
inecuación, haciendo
operaciones
obtenemos
(o
bien: ),
siendo -3 y 2 las
raíces de la ecuación
asociada.
La gráfica es una parábola dirigida hacia abajo ( ), y, en
este caso, buscamos las abscisas de los puntos que estén por
debajo del eje OX, por lo que la solución será
.
Resolver:
Las operaciones se
desarrollan de la forma
usual. Pero en este
problema no se
obtienen raíces de la
ecuación asociada, en
este caso la solución
será el conjunto vacío
o todo . Dado que la
inecuación es
equivalente a :
resulta este segundo caso.
También se podría haber comprobado tomando un punto y
viendo si es solución o no.
Fijémonos que si la inecuación hubiera sido
todos los
números reales habrían sido solución de la inecuación.
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Pero si nos fijamos en el hecho de que la inecuación está factorizada, podemos
aprovechar que el producto de dos números reales es positivo si éstos son del mismo
signo y negativo en otro caso, para obtener la solución de una manera muy sencilla.
Como sólo nos interesa el signo del producto estudiaremos los signos de los factores por
separado, resumiendo el estudio en una tabla de signos.
tiene por gráfica una recta, tomando valores negativos a la izquierda de y
positivos a su derecha, lo mismo, respectivamente, que la función . Así, pues se
puede considerar la tabla de signos:
x a b x-a - 0+ │ + x-b - │ - 0 +
(x-a)·(x-b) + │ - │ +
de donde se deduce de una manera visual que la solución es .
Una vez entendido el procedimiento de resolución de una inecuación producto nada nos
impide resolver una inecuación producto de cualquier grado, si ésta está descompuesta
en factores. Veremos sólo un ejemplo que permite generalizar fácilmente.
Ejemplo: Resolver la inecuación .
Las raíces de la ecuación asociada son -3 doble, -1/5 simple y 4 triple. El signo de una
potencia par siempre es positivo (si la base no es 0) y el de una potencia impar es el
Resolver la inecuación: .
Al estar factorizado, sabemos que las raíces son -1/3 y 5. La
tabla de signos es:
x -1/3 5 x+1/3 - 0 + │ +
x-5 - │ - 0 + (x+1/3)·(x-5) + │ - │ +
por lo que la solución será .
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mismo que el de su base. Así será + para x distinto de -3, y el signo de
será el mismo que el de .
La tabla de signos será:
x -3 -1/5 4 (x+3)2 . + . 0 . + .│ . + . │ . + . (5x+1) - │ - 0 + │ +
(x-4)3 - │ - │ - 0 + (x+3)2·(5x+1)·(x-4)3 + │ + │ - │ +
por lo que la solución será . (Observemos que en x=-3 la
inecuación quedaría 0>0, por lo que -3 no es solución).
Sin explicar cómo se puede obtener, y sólo para entender mejor lo que estamos viendo,
la gráfica correspondiente a esta inecuación sería:
en donde el eje OY está representado a una escala 1:1000 para que se puedan apreciar
mejor los detalles de la curva (las funciones potenciales crecen enormemente).
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Inecuaciones cociente
La resolución por tabla de signos de las inecuaciones producto
se generaliza de forma muy sencilla a las inecuaciones
cociente, que son aquéllas en las que el primer miembro es un
cociente de polinomios que debemos factorizar, y el segundo
0. Como el signo de un producto de números es el mismo que
el de su cociente, el razonamiento empleado en el caso
anterior se aplica totalmente al presente, añadiendo la
consideración de que el denominador de la fracción no puede
ser nulo. Veamos dos ejemplos para entenderlo.
Ejemplos: Resolver las inecuaciones cociente:
1.
La raíz del numerador es -3, y 2 la del denominador.
Construiremos una tabla de signos parecida a las ya vistas
x -3 2 (x+3) - 0 + │ + (x-2) - │ - 0+
+ 0 - │ +
en donde se ve que la solución es , pues
la inecuación no está definida en x=2 y no admite el valor 0
para x=3.
2.
En primer lugar se factorizan numerador y denominador, las
raíces son 4, -4 y -1/2 luego: , la tabla de
signos será:
x -4 -1/2 4 (4+x) - 0 + │ + │+ (4-x) + │ + │ + 0 -
(x+1/2) - │ - 0 + │ +
+ │ - 0 + 0 -
por lo que la solución es , pues la función
no está definida en , pero sí en y en .
3.
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4. Resolución de problemas
En este apartado aplicaremos los conocimientos sobre ecuaciones e inecuaciones para
resolver dos problemas. En los temas anteriores hemos aprendido a plantear las
ecuaciones que reflejen una situación particular y a tener en cuenta las restricciones del
problema. A continuación veremos un problema en el que la ecuación resultante es de
grado mayor que 2 y otro en el que aparecen inecuaciones.
Pasamos el segundo miembro a la izquierda y operamos,
obteniendo: . Las raíces del numerador y
denominador son 5/2, 3 y 4. La tabla de signos es:
x 5/2 3 4 (4x-10) - 0 + │ + │+ (x-3) - │ - 0 + │ +
(x-4) - │ - │ - 0 +
- 0 + │ - │ +
por lo que la solución es .
La solución de la inecuación es:
..
.
La solución de la inecuación es:
.
.
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1. LAS DAMAS CHINAS
Resolvamos el problema que presentábamos al inicio
del tema. Juan ha decidido recortar 4 cuadrados
iguales en las esquinas de la chapa de dimensiones
22x19 cm para obtener una caja de volumen 616
cm3.
Una vez cortados los cuadrados y dobladas las
lengüetas, la caja será un paralelepípedo de volumen:
V = (22-2x)·(19-2x)·x = 616
de donde:
418x-44x2-38x2+4x3 = 616 o: 4x3-82x2+418x-616=0
Dividiendo por 2 queda: 2x3-41x2+209x-308=0 .
Para hallar las raíces enteras de esta ecuación debemos probar con los divisores de -308,
o sea: 1, 2, 4, ... y sus correspondientes opuestos.
Aplicando la regla de Ruffini se ve inmediatamente que 4 es solución, y que el cociente es:
2x2-33x+77 , cuyas raíces son, aproximadamente: 2,81 y 13,69. Esta última no puede
ser, pues que sobrepasa las dimensiones de la chapa.
Así, puede cortar cuadrados de 4 o de 2,81 cm de longitud y, para que la caja quede más
proporcionada, elige 4 cm.
Nota: Naturalmente, los datos del problema están elegidos para que una de las raíces sea
un número entero. En la realidad, raramente nos encontramos con que las raíces de las
ecuaciones que se plantean sean enteras (ni, en general, racionales). La forma de trabajar
suele ser por métodos de aproximación o utilizando programas de ordenador que nos
calculan las raíces con el número de decimales que necesitemos.
2. LA BANDERA
La bandera de cierto país consiste en una cruz blanca
constituida por dos tiras de la misma anchura sobre
fondo azul. Según las leyes del país las dimensiones
de las banderas pueden ser variables, pero siempre
en la relación 5:3 y la superficie de la cruz debe ser
de entre el 20 y el 30% del total de la bandera.
Para celebrar el día de la bandera, el gobierno encarga
a una tienda especializada la confección de una gran
bandera que mida 10 metros de largo. ¿Cuál puede
ser la anchura de las tiras de la cruz para que cumpla la norma que establecen las leyes?
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Las dimensiones de la bandera son 10x6 metros, por
lo que su área es de 60 m2. Si x es la anchura de las
tiras blancas, la superficie de la cruz será de 60-(10-
x)·(6-x), que es la total menos el fondo azul (para
calcularla podemos imaginar que las tiras están justo
en la parte inferior e izquierda del rectángulo, con lo
que resulta muy fácil el cálculo).
Las restricciones que impone la ley sobre el área de la
parte blanca son que debe estar entre el 20 y el 30%
del total, luego tendremos:
o sea:
La solución de las ecuaciones
asociadas a estas dos
inecuaciones son: 0,79 , 15,21 y
1,23 , 14,77 respectivamente.
Aunque la solución del problema
de la bandera sea muy intuitivo,
tal vez nos quede aún alguna
duda sobre qué debemos hacer
con las cuatro raíces que hemos
hallado. Si vemos el problema
geométricamente, la solución es
bastante más sencilla.
Volviendo a las inecuaciones
anteriores
( ) y
considerando la función: , las soluciones serán los conjuntos de abscisas
tales que la función está por debajo de la recta y=-12, y por encima de la y=-18.
Es evidente que las soluciones mayores son solución del sistema pero no del problema
que estamos considerando (si la bandera tiene 10 metros de largo, las tiras no pueden
ser de unos 15 metros de ancho). Así, las restricciones del problema nos impiden tomar
en consideración valores de x mayores que unos 3 metros (el área de la cruz es, como
máximo, el 30% de la superficie total), por lo que la solución está entre 0'79 y 1,23. Lo
normal es que utilizaran tiras de 1 metro.
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