tema 3 geometrÍa de masas · 2019. 10. 22. · 2. centro de masas, centro de gravedad y centroide...
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Tema 3
GEOMETRÍA DE MASAS
1. Introducción
2. Centro de masas, centro de gravedad y centroide
3. Momento de inercia
4. Radio de giro
5. Teoremas de Steiner para momentos de inercia
6. Productos de inercia
7. Momentos principales de inercia
AugustoBeléndezVázquezDepartamentodeFísica,IngenieríadeSistemasyTeoríadelaSeñalUniversidaddeAlicante(2017)
CENTRO DE MASAS
mi Myz =M xG = mi
i=1
N
∑ xi
Mxz =M yG = mii=1
N
∑ yi
Mxy =M zG = mii=1
N
∑ zi
xG =mi
i=1
N
∑ xi
MyG =
mii=1
N
∑ yi
MzG =
mii=1
N
∑ zi
M
M= mii=1
N
∑
O
z
G
y
x
xi yi
zi zG
xG yG
CENTRO DE MASAS!MO =M
!rG = mii=1
N
∑!ri
!ri =xi!i + yi
!j+ zi!k
!rG =xG!i + yG
!j+ zG
!k
⎫⎬⎪
⎭⎪
!rG =1M
mii=1
N
∑!ri
M= mii=1
N
∑
mi
O
z
G
y
x
xi yi
zi zG
xG yG
!ri!rG
CENTRO DE MASAS
xG =xdm
M∫
MyG =
ydmM∫
MzG =
zdmM∫
M
O
z
G
y
x
dm
x y
z zG
xG yG
Myz =M xG = xdmM∫
Mxz =M yG = ydmM∫
Mxy =M zG = zdmM∫
M= dmM∫
CENTRO DE MASAS
!rG =1M!rdm
M∫
O
z
G
y
x
dm
x y
z zG
xG yG
!MO =M
!rG =!rdm
M∫
M= dmM∫
!r!rG
!ri =xi!i + yi
!j+ zi!k
!rG =xG!i + yG
!j+ zG
!k
⎫⎬⎪
⎭⎪
CENTRO DE MASAS
Myz =M xG = xdmM∫ , Mxz =M yG = ydm,
M∫ Mxy =M zG = zdm
M∫
Momentosdeprimerorden:Momentosestá/cosdelsistemarespectoalosplanosx=0,y=0,z=0
Myz =M xG = mii=1
N
∑ xi , Mxz =M yG = mii=1
N
∑ yi , Mxy =M zG = mii=1
N
∑ zi
ElmomentoestáJcorespectoaunplanoesnulosiladistribucióndemasaessimétricarespectoadichoplano:
G
EG EG
G
EG EG
CENTRO DE MASASCuerposcompuestos
Myz = xdmM∫ = xdm
M1
∫ + xdmM2
∫ + xdmM3
∫ +…= xdmMi
∫i=1
N
∑
xdmMi
∫ =Mi xGi xdmM∫ =M xG
xG =Mi xGi
i=1
N
∑
MyG =
Mi yGii=1
N
∑
MzG =
Mi zGii=1
N
∑
M
M = Mii=1
N
∑
CENTRO DE MASASCuerposconhuecos
xG =
Mti xGti + (−Mhj ) xGhjj=1
N '
∑i=1
N
∑
M
M = Mti −i=1
N
∑ Mhjj=1
N´
∑
Un cuerpo con huecos puede considerarse como la unión de NcuerposdemasatotalMtyN’huecosconmasatotalnegaJva−Mh
Línea
Densidadlinealdemasa, λ
!rG =1M
λ!rdL
L∫
λ =dmdL
→ dm = λdL
dmdL
L,M
CENTRO DE MASAS
Superficie
Densidadsuperficialdemasa, σ
!rG =1M
σ!rdS
S∫
σ =dmdS
→ dm =σ dS
dmdS
S,M
CENTRO DE MASAS
Volumen
Densidadvolumétricademasa, ρ
!rG =1M
ρ!rdV
V∫
ρ =dmdV
→ dm = ρdV
dm, dV
V ,M
CENTRO DE MASAS
CENTRO DE GRAVEDAD
xCG =1P
xdpP∫ =
↑
dp=gdmP=Mg
1Mg
gxdmM∫ =
↑
Si g es cte.
gMg
xdm = 1M
xdmM∫
M∫
xCG = xG
CENTROIDE
xC =1V
xdVV∫ yC =
1V
ydVV∫ zC =
1V
zdVV∫
Volumen
Superficie
Línea
xC =1S
xdSS∫ yC =
1S
ydSS∫ zC =
1S
zdSS∫
xC =1L
xdLL∫ yC =
1L
ydLL∫ zC =
1L
zdLL∫
MOMENTO DE INERCIA
dm
O
O
!r
M
I = r2dmM∫
dI = r2dm
MOMENTO DE INERCIA RESPECTO A LOS EJES COORDENADOS
O
z
x
dm
x y
z
y
rx
Ix ≡ Ixx = rx2
M∫ dm = (y2 + z2)
M∫ dm
I y ≡ I yy = ry2
M∫ dm = (x2 + z2)
M∫ dm
Iz ≡ Izz = rz2
M∫ dm = (x2 + y2)
M∫ dm
ry
rz
MOMENTO DE INERCIA RESPECTO A UN PUNTO
O
z
x
dm
x y
z
P Q
O(0,0,0)
P(x, y, z)
Q(xQ , yQ , zQ )y
PQ
IQ = QP2 dmM∫ = [(x − xQ )
2 + (y − yQ )2 + (z − zQ )
2]dmM∫
MOMENTO DE INERCIA POLAR
O
z
x
y
z’
x’
y’
IO = OP2 dmM∫ = (x2 + y2 + z2)dm
M∫
IO =12(Ix + I y + Iz )
MOMENTO DE INERCIA DE CUERPOS COMPUESTOS
Ix = (y2 + z2)dmM∫ =
= (y2 + z2)dm1M1
∫ + (y2 + z2)dm2 +…+ (y2 + z2)dmN =MN
∫M2
∫
= Ix1+ Ix2 +…+ IxN
RADIO DE GIRO
dm
E
r
M E
kM
I = r2 dmM∫
I =Mk 2
⎫
⎬⎪
⎭⎪
⇒ k = IM
PRODUCTOS DE INERCIA
O
z
x
y x y
dIxy = xydm
Ixy = xy dmM∫
I yz = yz dmM∫
Ixz = xz dmM∫
dm
distanciadedmalplanoyz
distanciadedmalplanoxz
x y
Ixy = I yx I yz = Izy Ixz = Izx
PRODUCTOS DE INERCIA
Si alguno o ambos planos ortogonales respecto a los cuales secalculaelproductodeinerciasonplanosdesimetríaparalamasa,elproductodeinerciarespectoaestosplanosseránulo
(a) ElplanoyzesunplanodesimetríayentoncesIxy=Ixz=0,mientrasqueIyz>0.
(b) Losplanosxzeyzsonplanosdesimetríay,portanto,Ixy=Iyz=Ixz=0.
TEOREMAS DE STEINER PARA MOMENTOS DE INERCIA
G
z
x
dm
dQG
Q
P
G(0,0,0)P(x, y, z)Q(xQ , yQ , zQ )
y
dPQ
TeoremadeSteinerrespectodepuntos
TEOREMAS DE STEINER PARA MOMENTOS DE INERCIA
O
z’
x’
y’
TeoremadeSteinerrespectodeejes(teoremadelosejesparalelos)
G
z
x
y
xG yG
zG
dz = xG2 + yG
2Ix ' = IxG +Mdx
2
I y ' = I yG +Mdy2
Iz ' = IzG +Mdz2
dx2 = yG
2 + zG2
dy2 = xG
2 + zG2
dz2 = xG
2 + yG2
TEOREMAS DE STEINER PARA PRODUCTOS DE INERCIA
O
z’
x’
y’
G
z
x
y
xG yG
zG
Ix ' y ' = IxyG +M xG yGI y ' z ' = I yzG +M yGzGIx ' z ' = IxzG +M xGzG
MOMENTOS DE INERCIA RESPECTO A UN EJE ARBITRARIO
O
z
x
y
E
u
γ
βα
MOMENTOS DE INERCIA RESPECTO A UN EJE ARBITRARIO
O
z
x
y
E
uθ
dm
!r
90º
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