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Ingeniería Eléctrica y Electrónica
Índice
01 Señales variables con el tiempo. Ondas senoidales
02 Régimen senoidal permanente
03 Circuitos de 1er orden. Respuesta en frecuencia
04 Potencia activa y reactiva. Factor de potencia
2
Ingeniería Eléctrica y Electrónica
Amplitud
Amplitud
Amplitud
Amplitud
Onda sinusoidal
Onda triangular
Onda cuadrada
Diente de sierra
Señales variables en el tiempo• La corriente y la tensión en los circuitos puede ser
constante (CC) o variable con el tiempo (CA)• Escalón y rampa. Formas de onda periódicas
3
Ingeniería Eléctrica y Electrónica
Grados Radianes
Forma de onda senoidal
Vp-Vp
)()( tsenVsenVv pp ωφ ==
fπω 2= rad/s
4
• Período T (s), frecuencia f (Hz), amplitud o valor de pico Vp, ω (rad), frecuencia angular, fase (grados o rad)φ
)( φω += tsenVv p
ωπ21
==f
T
4
Ingeniería Eléctrica y Electrónica
• La respuesta en régimen permanente de un circuito lineal con excitación senoidal es una función senoidal de igual frecuencia. La amplitud y la fase puede variar.
• La suma de funciones senoidales de igual frecuencia es una función senoidal de igual frecuencia. La amplitud y la fase puede variar.
• La derivada de una senoide es de forma senoidal, y su integral también.
Forma de onda senoidal. Carácterísticas
5
Ingeniería Eléctrica y Electrónica
Forma de onda senoidal. Carácterísticas
• Mediante la descomposición en serie de Fourier cualquier función periódica puede representarse como una combinación lineal de un número finito de funciones senoidales
• Los alternadores generan tensión con forma senoidales. Es una forma de onda fácil de obtener
• La respuesta de un sistema ante funciones senoidales de distinta frecuencia nos da información del sistema. Respuesta en frecuencia.
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Ingeniería Eléctrica y Electrónica
)( φω += tsenAy )( φω −= tsenAy
Forma de onda senoidal. Fase• Período (ángulo) desde un valor de referencia
B va retrasada 90ºrespecto de A B va adelantada 90º respecto de A
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Ingeniería Eléctrica y Electrónica
Forma de onda senoidal. Valor medio• El valor medio en un ciclo es 0• Suponiendo medio ciclo u onda rectificada:
( ) ( ) ( )[ ] ppπpπ
pTa
a pavm V.πV
πV
dsenVπ
dsenVT
V ×==−=∫=∫= + 63702
cos11
00)( φφφφφ
Valor medio calculado sobre medio ciclo de onda
Valor medio calculado sobre la onda rectificada
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Ingeniería Eléctrica y Electrónica
Forma de onda senoidal. Valor eficaz• El valor eficaz es la raíz cuadrada del valor cuadrático
medio (r.m.s.)• Su utilidad deriva de que la potencia medida mediante
valores eficaces es equivalente a la de los valores de CC
( )[ ] ( )[ ]2
110
22)(
pπp
Taa prmsef
VdsenV
πdsenV
TV =∫=∫= + φφφφ
CCCCavccm VIP ·).(. = efefavacm VIP ·).(. =
9
Ingeniería Eléctrica y Electrónica
Régimen senoidal permanente• Notación compleja. Euler
tjjp
tjjp eeItieeVtv iV ωφωφ ·)(;·)( ==
)()( tiRtv ⋅= dtdiLtv ⋅=)(
dtdvCti ⋅=)(
)()cos()()cos(tsenjtetsenjte
tj
tj
ωω
ωωω
ω
−=
+=−
[ ][ ]tj
tj
etsenet
ω
ω
ω
ω
Im)(Re)cos(
=
=
[ ] [ ]tjjp
tjpVp eeVeVtVtv VV ωφφωφω ⋅⋅=⋅=+= + ReRe)·cos()( )(
Resistencias Bobinas Condensadores
sen(wt)
j
wt
cos(wt)
10
Ingeniería Eléctrica y Electrónica
Elementos pasivos. Módulo y fase• Respuesta de los elementos pasivos básicos. Impedancia
)()( tiRtv ⋅=
tjjp
tjjp eeIReeV iV ωφωφ ·· ⋅=
p
p
IV
R =
2πφφ += iV
dtdiLtv ⋅=)(
tjjp
tjjp eeILjeeV iV ωφωφ ω ·· ⋅=
2·· πφφ ω +⋅= iV jp
jp eILeV
pp ILV ⋅=ωLjL ω=Z
La corriente retrasa 90º a la tensión
iV ϕϕ =2πφφ += Vi
dtdvCti ⋅=)(
tjjp
tjijp eeVCjeeI V ωφωφ ω ·· ⋅=
2·· πφφ ω +⋅= Vi jp
jp eVCeI
pp VCI ⋅= ω
CjC ω1
=Z
La corriente adelanta 90º a la tensión
2πφφ −= Vi
La corriente está en fase con la tensión
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Ingeniería Eléctrica y Electrónica
Elementos pasivos • Formas de onda de la tensión y la corriente en los
elementos pasivos básicos. ReactanciaResistencia
Reactancia inductiva
Reactancia capacitiva
][ΩR
][1 Ω=C
XC ω
][Ω= LXL ω
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Ingeniería Eléctrica y Electrónica
Elementos pasivos. Serie y paralelo. Impedancias
• Serie. Todos los elementos recorridos por la misma corriente
LRCR ZZZZZ +++=21
LR ZZZ111
2
+=
• Paralelo. Todos los elementos sometidos a la misma tensión
R1 C LR2
13
…+++=
321
1111
ZZZ
Z
Ingeniería Eléctrica y Electrónica
Diagramas de fase o vectoriales• En sistemas de frecuencia fija, una señal senoidal queda
caracterizada por el módulo y la fase• Un diagrama de fase permite representar módulo y fase en
un único diagramaA
Representación fasorial de la tensión en una resistencia R, una inductancia L y un condensador C
Representación fasorial de una señal de magnitud A y fase φ
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Ingeniería Eléctrica y Electrónica
• Un diagrama de fase permite sumar y restar vectorialmente señales senoidales de igual frecuencia
Resta fasorial o vectorial A-B
Diagramas de fase o vectoriales
Suma fasorial o vectorial A+B
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Ingeniería Eléctrica y Electrónica
• Un diagrama de fase permite representar impedancias complejas mediante su módulo y argumento (fase)
Diagramas de fase o vectoriales. Impedancias
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LjXR+=Z
CjXR−=Z
Representación gráfica de una impedancia RL Representación gráfica de una impedancia RC
• Generalización de la Ley de Ohm. Z·∙IV =
Ingeniería Eléctrica y Electrónica
Resolución fasorial o vectorialMódulo:
Argumento:
Solución:
Método muy laborioso y difícil para circuitos más complicados
• Circuitos formados por resistencias, fuentes independientes y un solo elemento almacenador de energía (L ó C). Se caracterizan por una ecuación diferencial de primer orden
Circuitos de 1er orden. RC
2
222
)(·
CI
IRVω
+=
RCarctgvi ω
φφφφ1; =−=
22
)(1C
R
VI
ω+
=
)cos(
)(1
)(
22
vt
CR
Vti φφω
ω
−+⋅
+
= )(1
)(1
)(
22
vC tsenC
CR
Vtv φφωω
ω
−+⋅⋅
+
=
V
I
17
Ingeniería Eléctrica y Electrónica
V
I
Función de transferencia H (jω)
Módulo:
Argumento:
RCjj
RCjCj
R
Cj CC ω
ωω
ω
ω+
==+
=+
=1
1)(11
·1
VV
HV
VV
)()0()( RCarctgarctgj C ωφω −==∠=∠VV
H
• Resolución directa al régimen senoidal permanente mediante complejos
2)(11)(RC
j C
ωω
+==
VV
H
Cjω1
[ ]tjeVtVtv ωω Re)·cos()( ⋅==Siendo
[ ] [ ] )·cos()(1
Re)(·Re2
φωω
ω φω ++
=⋅⋅= tRCVejHeVV jtj
C
18
Circuitos de 1er orden. RC
Ingeniería Eléctrica y Electrónica
V
I
19
VZZ
ZV
CR
CC +=
VVRCjC ω+
=1
1Cjω1
• Divisor de impedancias
Circuitos de 1er orden. RC
Ingeniería Eléctrica y Electrónica
• Resolución fasorial o vectorialMódulo:
Argumento:
Solución:
Método muy laborioso y difícil para circuitos más complicados
Circuitos de 1er orden. RL
RLarctgvi
ωφφφφ =−= ;
2222 ·)(· ILIRV ω+= 22 )( LRVIω+
=
)cos()(
)(22
φφωω
−+⋅+
= vtLR
Vti )()(
)(22
φφωωω
−+⋅⋅+
−= vL tsenLLR
Vtv
V
I
20
Ingeniería Eléctrica y Electrónica
Función de transferencia H (jω)
Módulo:
Argumento:
φπω
ω −=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−∞=∠=∠2
)()(RLarctgarctgj L
VV
H
2
1
1)(
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
==
LR
j L
ω
ωVV
H
LjRLjj
LjRLj L
L ωω
ωω
ω+
==+
=VV
HV
V )(·
V
I
• Resolución directa al régimen senoidal permanente mediante complejos
[ ] )(·
1
)2
·cos(
1
Re)(·Re22
2 φω
ω
φπ
ω
ω
ωφ
πω +
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
=−+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⋅⋅=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
tsen
LR
Vt
LR
VejHeVVj
tjL
[ ] ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⋅==
RLarctgeVtVtv tj ω
φω ω ySiendo Re)·cos()(
Ljω
21
Circuitos de 1er orden. RL
Ingeniería Eléctrica y Electrónica
22
VZZ
ZV
LR
LL +=
VVRLjRLj
L ωω+
=1
V
I
Ljω
• Divisor de impedanciasCircuitos de 1er orden. RL
Ingeniería Eléctrica y Electrónica
Circuitos de 1er orden. Paralelo
• Diagramas fasoriales de corrientes
V
V
I
I
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Ingeniería Eléctrica y Electrónica
• Circuitos con 2 elementos almacenadores de energía
Circuitos de 2º orden. RLC
V
I
)( Ljω
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Cjω1
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Ingeniería Eléctrica y Electrónica
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Respuesta en frecuenciaGráfica de la magnitud y la fase de la función de transferencia en función de la frecuencia.Función de transferencia, H(w), es el cociente entre la amplitud compleja de la salida, Y(w) (tensión o corriente), entre la amplitud compleja de la entrada X(w) (tensión o corriente)El módulo de la función de transferencia indica la ganancia del sistema en función de la frecuencia. La fase es la diferencia angular entre las sinusoides de salida y de entrada
Aplicación fundamental del análisis de respuesta en frecuencia: filtros.
Ingeniería Eléctrica y Electrónica
• Potencia instantánea
• Potencia media
• Potencia eficaz
Potencia media
Potencia en una resistencia
)()·()( titvtpR = ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −==×=
2)2cos(1)()()( 2 tIVtsenIVtsenItsenVp PPPPPPR
ωωωω
PPavm IVP21
)( =
21
2)2cos(1
21 2
0
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −∫π ω
πt
)..()..(2221
.)..( smrefsmrefPP
PPR IVIVIVPsmref
=×==
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
2)2cos(1 tIVp PPR
ω
PPR IVPavm 2
1)(=
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Ingeniería Eléctrica y Electrónica
• Potencia instantánea (I adelanta 90º de V)
• Potencia media y eficaz
Potencia en un condensador
)()·()( titvtpC = ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=×=
2)2()cos()( tsenIVtItsenVp PPPPC
ωωω
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
2)2( tsenIVp PPC
ω0
2)2(=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ tsen ω 0.)..()( == smrefCavmC PP
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Ingeniería Eléctrica y Electrónica
• Potencia instantánea (I retrasa 90º de V)
• Potencia media y eficaz
Potencia en una bobina
)()·()( titvtpL = ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=−×=
2)2()]cos([)( tsenIVtItsenVp PPPPL
ωωω
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=
2)2( tsenIVp PPL
ω0
2)2(=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ tsen ω 0.)..()( == smrefLavmL PP
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Ingeniería Eléctrica y Electrónica
• Energía en una resistencia
• Energía en un condensador
• Energía en una bobina
Energía en régimen senoidal permanente
∫ ∂=t
R ttitvtw0
)()·()( ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=∂⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −= ∫ 2
)2(2
)2cos(1
0
tsentIV
ttIVw efeft
PPRω
ωω
ω
∫ −=∂⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
t
efPPC tCVttsenIVw0
2 ))2cos(1(21
2)2(
ωω
efef
ef CVC
VI ω
ω== 1
Valor creciente con t
Valor oscilante con frecuencia (2ωt) entre 0 y CVef
2
efef LIV ω= ∫ −=∂⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=
t
efPPL tLIttsenIVw0
2 ))2cos(1(21
2)2(
ωω Valor oscilante con
frecuencia (2ωt) entre 0 y LIef
2
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Ingeniería Eléctrica y Electrónica
• Potencia instantánea. La corriente irá desfasada
• Potencia media. Primer término. Potencia disipada en los componentes resistivos
• Potencia media. Segundo término. Potencia almacenada en el elemento reactivo (bobina), y que recircula por el circuito en cada ciclo
Potencia en una resistencia y una bobina
)()·()( titvtp = )}2cos({cos21)()( iiPPiPP tIVtsenItsenVp φωφφωω −−=−×=
0)2cos( =− it φω
iφ
)2cos(21cos
21
iPPiPP tIVIVp φωφ −−=
iefefiPP
iPP IVIVIVP φφφ cos)(cos22
)(cos21
=××==
Frecuencia tω2
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Ingeniería Eléctrica y Electrónica
• En circuitos con componentes resistivos y reactivos, la potencia tiene dos términos:! Potencia disipada en los componentes resistivos. Potencia activa
(P) en vatios (W)
! Potencia almacenada en los elementos reactivos y devuelta al circuito. Potencia reactiva (Q) en Voltamperios reactivos (VAr)
• El producto de la tensión eficaz V por la corriente eficaz I se denomina Potencia aparente (S) en Voltamperios (VA)
iefefiPP
iPP IVIVIVP φφφ cos)(cos22
)(cos21
=××==
iiefef SIVP φφ coscos ==
Potencia Activa y Reactiva
)2cos(21
iPP tIVp φω −−=
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Ingeniería Eléctrica y Electrónica
• La potencia reactiva (Q) no se disipa, pero al circular por el circuito obliga a dimensionar cables y otros elementos adecuadamente y aumenta las pérdidas
Potencia Activa y Reactiva
Potencia Activa (P)
Potencia Reactiva (Q)
][cos WVIP φ=
][ rVAsenVIQ φ=
Potencia Aparente (S)2222 ][VAQPS +=
Diagrama de tensiones
Diagrama de tensiones
Diagrama de potencias
V
Las bobinas “consumen” potencia reactiva mientras con los condensadores la “suministran”. Convenio de signos
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Ingeniería Eléctrica y Electrónica
Factor de potencia• Factor de potencia
• Las cargas inductivas tienen un factor de potencia “de retraso”
• Las cargas capacitivas tienen un factor de potencia “de adelanto”! Un motor de alterna típico tiene un factor de potencia inductivo de 0,9! Una gran red eléctrica nacional tiene un factor de potencia inductivo de 0,8
- 0,9! Equipos electrónicos: Fuentes conmutadas, rectificadores e inversores! Industrias. Motores trifásicos. Hornos de inducción. Ferrocarriles
φcos=SP
PotenciadeFactorAparentePotenciaActivaPotencia
=)()(VAW
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Ingeniería Eléctrica y Electrónica
Factor de potencia. Corrección• El problema de un bajo factor de potencia se puede
corregir añadiendo al circuito componentes adicionales que lo hagan cercano a la unidad. Correción del Factor de Potencia! Instalaciones eléctricas convencionales. Un condensador del tamaño
adecuado en paralelo con una carga con un bajo factor de potencia inductivo puede “cancelar” el efecto inductivo
! Podría colocarse en serie, pero modificaría la tensión en la carga! Cuanto más cercano a la unidad, más eficiente el sistema! Cuanto más lejano de la unidad, aumentan las pérdidas, hay que
sobredimensionar las instalaciones, hay caídas de tensión! Las compañias eléctricas penalizan en la factura los consumos con
bajo (pobre) factor de potencia
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Ingeniería Eléctrica y Electrónica B BIBLIOGRAFÍA
• Microelectrónica: circuitos y dispositivos. M. N. Horenstein, Prentice Hall
• Circuitos eléctricos. Nilsson, James W.Pearson Prentice Hall.
• Teoría de Circuitos. V. Parra, J. Ortega, A. Pastor, A. Pérez. UNED
• Fundamentals of electric circuits ó Fundamentos de circuitos eléctricos. Alexander, Charles K., Matthew N. O. Sadiku.
• Electronics: A Systems Approach. Neil Storey. Pearson-Prentice Hall.4th Edition���
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