tema 2-modulacion-fm
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Tema 2
Técnicas de Modulación Analógica
MODULACIÓN
EN FRECUENCIA
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAUNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”
VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ
Departamento de Ingeniería Electrónica
1. Frecuencia de una señal periódica y frecuenciainstantánea.
2. Modulación de fase (PM) y Modulación de frecuencia(FM).
3. Determinación de la frecuencia instantánea para unaseñal modulada en fase y en frecuencia.
4. Expresiones complejas para una señal modulada enfase y en frecuencia.
5. Análisis de una señal modulada en fase y enfrecuencia cuando la modulante es una señalsenusoidal.
6. Espectro de frecuencia de una señal modulada enfrecuencia.
7. Modulación de frecuencia de banda estrecha oangosta: NBFM .
8. Modulación de frecuencia de banda ancha: WBFM.
9. Generación de señales moduladas en ángulo.
10. Demodulación de FM.
11. Potencia asociada a una señal con modulación deángulo.
12. Sistema de comunicación con modulación angular enpresencia de ruido.
Una señal periódica es aquella que se repite cadaT segundos.
Por ejemplo, se puede representar por laexpresión:
Tf
πfw
twAtg
c
c
1
2
),cos()(
también y
donde
wt [rad]
g(t)
A
-A
T
La Frecuencia puede ser lineal (f) o angular (w).
Es de interés conocer el valor que toma lafrecuencia de la señal f(t) en un instante dado detiempo ti. El valor que toma la frecuencia de laseñal en un instante de tiempo ti , se conocecomo frecuencia instantánea de la función f(t).
Veamos dos ejemplos:w
f(t)
w
f(t)
tt
tt
wo
2wo
wo
2wo
a) b)
T 2T 3T 4TT 2T
Cambios bruscos de Frecuencia Cambios graduales de Frecuencia
En la modulación AM la información secoloca en la amplitud de la señal portadora. Estoes un inconveniente a la hora de recuperar lainformación pues la misma se contaminafácilmente con el ruido que se agrega en laamplitud. Ante este es posible hacer varia lafrecuencia de la señal y mantener constante laamplitud, dando origen a la FM.
Sea la ecuación: )cos()( twAtg c
Si en la ecuación anterior se considera que elángulo de fase no es constante sino que puedeser considerado como una función del tiempo,se tiene: ))(cos()( ttwAtg c
Al hacer variar φ(t) en esta ecuación, se tendráuna dependencia del tiempo “t” de la fase de laecuación. Se tiene en este caso una señalmodulada en ángulo.
Consideremos la ecuación:
donde kp es constante y m(t) es la modulante, entonces la señal modulada es:
( ) ( )t k m tp
))(cos()( tmktwAtg pCPM
Esta ecuación representa una señal modulada en fase y se denota como gPM(t)
Fase de la señal
El índice de modulación de la señal moduladaen fase se puede determinar como:
El índice de modulación representa la máxima desviación de fase que puede darse a la función
gPM(t) y está dado por el valor máximo de la amplitud de la modulante por la constante kP
[radianes] max
)(tmk pmp
Considere ahora que (t) está dado como laintegral de la función m(t), entonces se tiene:
ctte donde
fff k
t
dmk
t
dmkt ,)()()(
))(cos()( ttwAtg c Como vimos previamente:
Si se remplaza por la ecuación previa, se tiene:
t
dmktwAtg fcFM )(cos)(
Esta ecuación representa la señal modulada en frecuencia y se denota por gFM(t)
El índice de modulación de la señal moduladaen frecuencia se determina por:
f m f
max
k m d
t
( )
El índice de modulación está dado por el máximo valor positivo de la integral de la
modulante por el factor de escala kf
En resumen, se tiene que las ecuacionesque definen las técnicas de modulaciónangular y su índice de modulación son:
Técnica EcuaciónÍndice de
Modulación
MODULACIÓN EN FASE
MODULACIÓN EN FRECUENCIA
max
)(
t
dmk fmf
t
dmktwAtg fcFM )(cos)(
))(cos()( tmktwAtg pCPM max
)(tmk pmp
Considérese la ecuación:
))(cos()( ttwAtg c
Si se toma que (t)=wct + (t), se tiene:
La frecuencia instantánea de la ecuaciónanterior, se define como:
g t A t( ) cos ( )
w td t
dti ( )
( )
Esta ecuación expresa que la frecuencia instantánea es igual a la variación respecto al
tiempo del ángulo de la función
Aplicando este criterio a la modulación en fasese tiene:
Esta ecuación permite determinar la frecuencia
instantánea para una señal modulada en fase
w td t
dt
d
dtw t k m ti c p( )
( )( )
w t w kd
dtm ti c p( ) ( )
Cuando la modulante va de – a + su derivada es positiva, siendo la frecuencia máxima.
Cuando la modulante va de + a - su derivada es negativa, siendo la frecuencia mínima.
Representación gráfica de una
señal modulada en FASE.
De igual forma para la modulación enfrecuencia se tiene:
w td
dtw t k m d
t
i c f( ) ( )
w t w k m ti c f( ) ( )
Esta ecuación permite determinar la frecuencia
instantánea para una señal modulada en
frecuencia.
Cuando la modulante tiene su máximo “+” su frecuencia es máxima.
Cuando la modulante tiene su máximo “-” su frecuencia es mínima.
Representación gráfica de una
señal modulada en FRECUENCIA
w t w kd
dtm ti c p( ) ( ) w t w k m ti c f( ) ( )
Conclusión: Al comparar las dos ecuaciones seestablece que en la modulación de fase, lafrecuencia instantánea varía linealmente con laderivada de la señal modulante, mientras que enla modulación en frecuencia, la frecuenciainstantánea varía linealmente con la señalmodulante.
Modulación de Fase Modulación de Frecuencia
La ecuación para Modulación de fase se puedeescribir utilizando la notación compleja, de estamanera:
g t Ae AePM
j t j w t k m tc p( ) Re Re( ) ( ( ))
][)()(tmjktjw
PMpc eeAtg
Para la Modulación de frecuencia, se tiene:
t
dmktwj
FM
fc
Aetg))((
)( ]))([
)(
t
dmjktjw
FM
f
c eAetg
Hasta ahora, el análisis matemático para lamodulación en fase y en frecuencia se harealizado en función de una señal modulantegenérica, llamada :
Se considerará a continuación para el análisis,una señal particular y a través de ella, realizar elanálisis espectral correspondiente que permitatener una clara idea de cómo se presenta elespectro de la señal modulada en fase y enfrecuencia.
)()( tmot
Considérese, que la señal modulante es:
constantem donde 0 ),cos()( 0 twmtm m
))(cos()( tmktwAtg pCPM :que tiene se Como
twmktwAtg mpcPM coscos)( 0
Reemplazando por la modulante dada, se tiene:
p m pk m 0Como:
Entonces reemplazando, se tiene:
g t A w t w tPM c p m( ) cos cos Ecuación de PM cuando
la modulante es una onda senusoidal
Considérese, que la señal modulante es:
constantem donde 0 ),cos()( 0 twmtm m
Reemplazando la modulante, tiene:
Como: g t A t k m d
t
FM c f( ) cos ( )
dwmktwAtg m
t
fcFM coscos)( 0
m
mf
cFMw
tsenwmktwAtg
0cos)(
Al resolver la integral se tiene:
Ya que el máximo valor de m es:
f m
f
m
k m
w
0
La expresión final es:
g t A w t w tFM c f m( ) cos sen
Ecuación de FM cuando la modulante es una
señal senusoidal
Según se vió, la frecuencia instantánea de una señal modulada está dada por:
Si consideramos como modulante la señal:
w w k m ti c f ( )
entonces:
twmtm mcos)( 0
w w k m w ti c f m 0 cos
w w k m w ti c f m0 cos
2 2 0 f f k m w ti c f mcos
Factorizando, se tiene: 2 0 ( ) cosf f k m w ti c f m
El valor máximo que puede tomar el miembroderecho de la ecuación, es kf m0, por tanto:
( )f fk m
i c max
f
0
2
f f fi c m f
MAX
k m d
t
( )Sea, y como
f m
f
m
f m f
k m
ww k m
0
0
Integrando se tiene:
(Ec. 1)
Reemplazando en la Ec. 1, se tiene:
La ecuación anterior permite determinar ladesviación de frecuencia angular de la señalmodulada en frecuencia cuando la modulante esuna señal senusoidal. Representa el índice demodulación para FM
fw ff m f m
2
2
2
f
m
f
f
Finalmente:modulante frecuencia
frecuencia de desviación
mf
f
Por naturaleza la FM posee un ancho debandaamplio, lo cual se constituye en una limitacióncuando la disponibilidad de ancho banda eslimitada.
Sin embargo, la excelente relación señal a ruidoque posee la hace interesante aún a pesar de lalimitación anterior.
Se han realizado análisis y estudios que permitenreducir el ancho de banda de esta técnica demodulación, logrando salvar esta limitación.
La ecuación de una señal modulada en frecuenciaes:
tsenwtwAtg mfcFM cos)(
FM
j w t w tt Ae c f m( ) Re
( sen
tsenwjtjw
FMmfc eAet
Re)(
En forma compleja se puede escribir:
(Ec. 2)
También la Ec. 2 puede ser reescrita usandoidentidades trigonométricas como:
FM c f m c f mt A w t w t A w t w t( ) cos cos( sen ) sen sen( sen )
(Ec. 3)
Al observar la ecuación 3 se evidencia sucomplejidad para resolverla. Para simplificarla seharán algunas consideraciones.En primer lugar, considérese que los valores de
son pequeños, entonces:
cos( sen ) f mw t 1 tsenwtsenwsen mfmf )(y
Los valores de f usuales para las consideracionesanteriores, pueden ser tomados como menores a0,2 , es decir, f < 0,2. Apliquemos este criterio enla ecuación 3.
FM c f m c f mt A w t w t A w t w t( ) cos cos( sen ) sen sen( sen )
Así, se tiene que:
NBFM c f c mt A w t A w t w t( ) cos sen sen
La ecuación 4 representa la ecuación para lamodulación de frecuencia de banda angosta y sedenota como NBFM, donde f es el índice demodulación para FM.
(Ec. 4)
NBFM c f c mt A w t A w t w t( ) cos sen sen
Señal Portadora
Índice de Modulación
Señal Modulante
En ausencia de modulante, solo está presente la portadora de frecuencia wc
llamada frecuencia de reposo. En caso contrario, la frecuencia de la señal
portadora se desvía por encima y por debajo de wc en un valor dado según f
Representando la ecuación 4 en forma fasorial, setiene:
(Ec. 5)
NBFM
jw t
f mt Ae j w tc( ) Re ( sen ) 1
NBFM
jw t
f
jw t
f
jw tt Ae e ec m m( ) Re ( )
11
2
1
2
Consideremos una señal modulada en amplitud:
AM c m ct A w t mA w t w t( ) cos cos .cos
AM
jw t
mt Ae m w tc( ) Re ( cos ) 1
AM
jw t jw t jw tt Ae me mec m m( ) Re ( )
11
2
1
2
Escrita en forma fasorial, se tiene:
(Ec. 6)
Las ecuaciones 5 y 6 pueden ser graficadastomando como referencia el término decada una.
wm
Portadora = 1
Eje real
Eje
Imaginario
Resultante
Eje real
Eje
Imaginario
wm
Eje
Imaginario
-w m
Eje real
1
2me jw tm
1
2me jw tm
Portadora = 1
Eje real
Eje
Imaginario
Eje real
Eje
Imaginario
/ 2 / 2
/ 2
Portadora = 1
b)
Resultante
sen w tm
Eje real
Eje
Imaginario
a)
suma vectorial
suma vectorial
Ae jw tc
Realizando una comparación entre los resultados para AM y NBFM se puede establecer lo siguiente:
Ambas modulaciones poseen dos bandaslaterales y su ancho de banda es igual a 2wm.
En AM la modulación se agrega en fase con laportadora mientras que en NBFM se hace encuadratura.
La modulación AM proporciona variación deamplitud sin desviación de fase mientras queNBFM da origen a una variación de fase conmuy pequeño cambio de amplitud.
El desfase se puede determinar a partir deltriángulo resultante del diagrama fasorial como:
1)( 1 tsenw
tgt m ( ) tg sent w tm 1
La desviación de la frecuencia instantánearespecto a la frecuencia de la portadora es:
d
dt
d w t
dt
m
tg ( sen )1
twsen
tww
dt
d
m
mm
221
)(cos
122 twsen m que toma se Si twwdt
dmm cos
Angulo de Desfase
La desviación de la frecuencia instantánearespecto a la frecuencia de la portadora es:
d
dt
d w t
dt
m
tg ( sen )1
twsen
tww
dt
d
m
mm
221
)(cos
122 twsen m que toma se Si twwdt
dmm cos
Análisis: Para evitar variaciones en la amplitudde una señal modulada en frecuencia, se deberestringir el valor de .
Según el diagrama fasorial b, la magnitud delvector resultante se puede determinar como:
g t A w t A w tNBFM m m( ) sen sen 1 12 2
2 2
Para que la magnitud de la ecuación 7 semantenga constante, se deben hacer algunasconsideraciones. Si , como sen2wmt≤1 entonces2 < 1, que nos dice que los valores de deben sermenores que uno. En la práctica < 0,3, es una buena aprox.
(Ec. 7)
2 2 1sen w tm
Con las consideraciones anteriores, se garantizaque la amplitud de una señal modulada enfrecuencia sea constante, es decir:
g t A constanteNBFM ( )
NOTA: Para que esto se cumpla, el índice demodulación debe ser muy pequeño.
Considérese una modulante senusoidal:
f t A w tm( ) cos twAkwtw mfci cos)(
twwwtwAkwSi mcif cos)(
De la Ec. 7, el ángulo de fase se determina como:
(Ec. 7)
( ) ( )sen
t w d w tw w t
wi
t
c
m
m
0
m
fw
w pero
tsenwtwt mfc )( :tiene se reemplazar Al
)(Re)( tj
FM Aetg :Como tsenwjtjw
FMmfc eAetg
Re)(
(Ec. 8)
El segundo exponencial de la ecuación 8, se puedeexpandir en una serie exponencial de Fourier,resultando:
e F ej w t
n
jnw t
n
f m m sen
FT
f t e dtT
e e dtn
jnw t
T
j w t jnw t
T
m f m m
1 1
( ).sen
en donde:
f t ej w tf m( )
sen
Si se considera que:
tT
twm
2 :haciendoy
deF
nsenj
nf )(
2
1 tienese do,Reemplanza
(Ec. 9)
d
T
T
ddtdt
Td
22
2
La solución de la integral de la ecuación 9 seobtiene por medio de la función de BESSEL deprimera clase y se indica como , donde n es elorden y es el argumento.
Los valores de se obtienen a partir de lastablas de BESSEL
La función de BESSEL de primera clase y enésimoorden se denota como:
Jn ( )
Jn ( )
J mn ( )
Teoría de las Funciones de BESSELLa expresión matemática para determinar los valores decada uno de los componentes espectrales, está definidacomo:
!3!3
2/
!21!2
2/
!1!1
2/
!
1
2)(
642
nnnnnJ
ffff
fN
Usando la función de BESSEL, se puede expresaruna ecuación en otra forma. Veamos
n
n
nnxmJxm
2cos)()coscos(
El argumento de la primera ecuación, es una funcióntrigonométrica, en la segunda es una funcióntrigonométrica con argumento simple.
Teoría de las Funciones de BESSELNormalmente para trabajar con las funciones deBessel no hay que hacer todos los engorrososcálculos. Al contrario, es muy simple empleandolas tablas ya calculadas, llamadas TABLAS DEBESSEL.
Propiedades de las funciones de BESSEL:
Elemento Descripción
Son de valor real
Para n PAR
Para n IMPAR
Jn ( ))()( nn JJ
)()( nn JJ
Friedrich Wilhelm Bessel
Funciones de Bessel para valores de n = 0 a n = 15
FUNCIÓN DE BESSEL
Portadora ORDEN DE LA FUNCIÓN
J0 J1 J2 J3 J4 J5 J6 J7 J8 J9 J10 J11 J12 J13 J14 J15
0 1,00 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
0,1 1,00 0,05 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
0,2 0,99 0,10 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
0,25 0,98 0,12 0,01 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
0,5 0,94 0,24 0,03 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
0,75 0,86 0,35 0,07 0,01 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
1 0,77 0,44 0,11 0,02 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
1,5 0,51 0,56 0,23 0,06 0,01 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
2 0,22 0,58 0,35 0,13 0,03 0,01 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
2,4 0,00 0,52 0,43 0,20 0,06 0,02 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
3 -0,26 0,34 0,49 0,31 0,13 0,04 0,01 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
4 -0,40 -0,07 0,36 0,43 0,28 0,13 0,05 0,02 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
5 -0,18 -0,33 0,05 0,36 0,39 0,26 0,13 0,05 0,02 0,01 ~ ~ ~ ~ ~ ~
6 0,15 -0,28 -0,24 0,11 0,36 0,36 0,25 0,13 0,06 0,02 0,01 ~ ~ ~ ~ ~
7 0,30 0,00 -0,30 -0,17 0,16 0,35 0,34 0,23 0,13 0,06 0,02 0,01 ~ ~ ~ ~
8 0,17 0,23 -0,11 -0,29 -0,11 0,19 0,34 0,32 0,22 0,13 0,06 0,03 0,01 ~ ~ ~
9 -0,09 0,25 0,14 -0,18 -0,27 -0,06 0,20 0,33 0,31 0,21 0,12 0,06 0,03 0,01 ~ ~
10 -0,25 0,04 0,25 0,06 -0,22 -0,23 -0,01 0,22 0,32 0,29 0,21 0,12 0,06 0,03 0,01 ~
11 -0,17 -0,18 0,14 0,23 -0,02 -0,24 -0,20 0,02 0,22 0,31 0,28 0,20 0,12 0,06 0,03 0,01
12 0,05 -0,22 -0,08 0,20 0,18 -0,07 -0,24 -0,17 0,05 0,23 0,30 0,27 0,20 0,12 0,07 0,03
13 0,21 -0,07 -0,22 0,00 0,22 0,13 -0,12 -0,24 -0,14 0,07 0,23 0,29 0,26 0,19 0,12 0,07
14 0,17 0,13 -0,15 -0,18 0,08 0,22 0,08 -0,15 -0,23 -0,11 0,09 0,24 0,29 0,25 0,19 0,12
15 -0,01 0,21 0,04 -0,19 -0,12 0,13 0,21 0,03 -0,17 -0,22 -0,09 0,10 0,24 0,28 0,25 0,18
f
Representa la Portadora de la señal Modulada
Para este índice de modulación la
portadora se hace CERO !
Desde J1 Hasta J15
representan las
bandas laterales
Índice de Modulación
A mayor índice de Modulación, mayor numero de Bandas
Laterales
Las funciones de Bessel pueden ser graficadas,obteniéndose por ejemplo las siguientes graficaspara valores de n = 0 a n = 4
Retomando el análisis, la ecuación
puede ser reescrita como:
y empleándola en la expresión general para FM:
e F ej w t
n
jnw t
n
f m m sen
e J ej w t
n
jnw t
n
m m sen ( )
g t Ae J eFM
jw t
n
jnw t
n
c m( ) Re ( )
n
mcnFM tnwwJAtg )cos()()(
Analizando la expresión:
Se puede concluir que el ancho de banda de unaseñal modulada en frecuencia por una onda seno,tiene un número de bandas laterales infinito.
Pero según la tabla de Bessel solo algunas bandaslaterales tienen magnitud significativas y enconsecuencia el ancho de banda se hace finito.
n
mcnFM tnwwJAtg )cos()()(
CRITERIO PARA DEFINIR EL ANCHO DE BANDA.Sea la ecuación de una señal modulada enfrecuencia:
Una banda lateral es significativa si tienemagnitud igual ó mayor al 1 % de la magnitud de laportadora no modulada.Esto es:
n
mcnFM tnwwJAtg )cos()()(
J n ( ) . 0 01
CRITERIO PARA DEFINIR EL ANCHO DE BANDA.
Los valores de Jn() son despreciables para n > .Entonces el ancho de banda para FM se puedeobtener tomando la última banda lateralsignificativa en n = , esto es:
W nw ww
wwm m
m
m 2 2 2
grande es si βwW 2
W w wm 2( ) )1(2 mwW
Para una forma de onda general, se emplea la reglade Carlson para determinar el ancho de banda:
CONSIDERACIÓN PRELIMINAR
Según los análisis anteriores, la modulaciónangular se produce cuando se hace variar el ángulode fase de una señal portadora de frecuencia wc endependencia de la amplitud de una modulante.
El tipo de modulación obtenida PM o FM dependede que se use la señal modulante directamente o seutilice como modulante la señal después de serintegrada.
))(cos()( tmktwAtg pCPM
t
dmktwAtg fcFM )(cos)(
Generación de NBPM y NBFM.
CASO DE NBPM: Si partimos de la ecuación:
analicemos como generarla…. Una alternativa semuestra en la figura siguiente:
g t A w t A w t w tNBFM c f m c( ) cos sen( ) sen( )
cos wc
t
90
f(t)X kp +
+
a) Caso NBPM
90
f(t)X kf +
+
b) Caso FM
cos wc
t
g tNBPM
( )
g tNBFM
( )
Generacion de NBPM:
g t A w t A w t w tNBFM c f m c( ) cos sen( ) sen( )
cos wc
t
90
f(t)X kp +
+
a) Caso NBPM
90
f(t)X kf +
+
b) Caso FM
cos wc
t
g tNBPM
( )
g tNBFM
( )
El generador de portadora cuya salida es desfasada en 90 grados
para se multiplicada linealmente con la señal f(t) de entrada
(modulante) señal senwmt. El índice de modulación se puede
controlar por medio de kp. Finalmente la señal de salida de
modulador balanceado con ganancia ajustada se suma con la señal
portadora sin desfase alguno para dar como resultado la señal de
FM de banda estrecha.
Generación de NBFM y NBPM.
CASO DE NBFM: Si se integra la función antes deingresar al sistema, se tiene NBFM , según vimos.
Entonces para generar NBFM se tiene:
cos wc
t
90
f(t)X kp +
+
a) Caso NBPM
90
f(t)X kf +
+
b) Caso FM
cos wc
t
g tNBPM
( )
g tNBFM
( )
Método Directo
El proceso de demodular una señal de FMinvolucra un método tal que permita convertirlas variaciones de frecuencia en una variaciónde voltaje. Este sistema debe tener unacaracterística de transferencia lineal, llamadodiscriminador de frecuencia.Un circuito con esta característica loconstituye el diferenciador ideal con funciónde transferencia jw.
Método DirectoLa señal de FM es:
g t A w t k m d
t
FM c f( ) cos ( )
g t A J w nw tn c m
n
( ) ( ) cos( )
Si se aplica la ecuación 48 a la entrada del diferenciador
ideal se tiene como salida:
(Ec. 48)
g td
dtA w t k m dFM c f
t
, ( ) cos( ( ) )
g t A w k m t w t k m d
t
FM c f c f
, ( ) ( ) sen[ ( ) ] (Ec. 49)
Método DirectoLa señal de FM es:
g t A w k m t w t k m d
t
FM c f c f
, ( ) ( ) sen[ ( ) ] (Ec. 49)
La señal de la ecuación 49 está modulada tanto en
frecuencia como en amplitud.
La envolvente de la ecuación 49 es:
A w k m tc f[ ( )]cof wmkwComo 0)( tmkw fc
De la ecuación 50, se concluye que la envolvente essiempre positiva, es decir, toma valores por encima del ejedel tiempo, lo cual permite usar detección de envolventepara obtener la señal m(t) (la modulante).
(Ec. 50)
El esquema de un demodulador de FM es entonces:
d
dt
detector
envolvente
A w k m tc f[ ( )]g tFM ( )g tFM ( )
La ecuación de salida supone la amplitud constante. Si
la amplitud no fuese constante, sino una función del
tiempo, se tendría como envolvente:
A t w k m tc f( )[ ( )]
Esta ecuación indica que la salida del detector de
envolvente es proporcional a A(t)m(t).
De acuerdo al resultado de la ecuación 50 es necesario
mantener la amplitud constante.
La amplitud se puede mantener constante si se usa un
limitador de pasabanda, el cual posee un limitador
seguido de un filtro pasabanda.
La expresión de la señal modulada en frecuencia
general tiene la ecuación siguiente:
v t w t k m d
w t k m d
w t k m d
c f
t
c f
t
c f
t
0 0
4
1
33
1
55
( ( )) [cos( ( ) )
cos .( ( ) )
cos .( ( ) ) ]
FrecuenciaFundamental
FrecuenciaArmónicas superiores
El limitador hace la amplitud constante y el filtro pasa
banda extrae la señal modulante ubicada en wc .
LIMITADOR
ESTRICTO
FILTRO
PASABANDA
C L
Señal de FM de
amplitud variable
Señal de FM de
amplitud constante
A t w t tc( ) cos[ ( )]4
cos[ ( )]w t tc
Sea
y g t A w t w tFM c m( ) cos( sen ) Ec. 51
Considerando la ortogonalidad de la funcióncoseno, el valor cuadrático medio de la suma esigual a la suma de los valores cuadráticos medios,por lo cual:
g t A J w nw tn c m
n
( ) ( ) cos( )
pero
g tA
JFM n
n
22
2
2( ) ( )
J n
n
2 1( )
Obteniendo finalmente que:
g tA
FM2
2
2( )
El valor cuadrático medio de cada banda lateral es:
g tA
JFM BL n2
22
2( ) ( )
El valor cuadrático medio es igual a la potencia promedio
si se considera como resistencia R = 1 Ohm.
Las bandas laterales o la portadora se pueden hacer tan
pequeñas como se desee eligiendo el índice de modulación
apropiado.
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