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1Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16

Tema 2: Álgebra vectorial

FISICA I, 1º Grado en Ingeniería Civil

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

2Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16

ÍndiceÍndice

Magnitudes escalares y vectoriales

Definición de vector

Vectores libresSuma y producto por un escalar

Bases vectoriales

Producto escalar, vectorial, mixto

Doble producto vectorial

Derivada de un vector

3Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16

Magnitudes escalares y vectorialesMagnitudes escalares y vectoriales

Magnitud escalar : queda definida con un número y una unidadTemperatura, longitud, carga eléctrica, tiempo, etc

Magnitud vectorial: require magnitud, dirección y sentidoVelocidad, aceleración, fuerza, etc

Magnitud tensorial

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ÍndiceÍndice

Magnitudes escalares y vectoriales

Definición de vector

Vectores libresSuma y producto por un escalar

Bases vectoriales

Producto escalar, vectorial, mixto

Doble producto vectorial

Derivada de un vector

5Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16

Definición de vectorDefinición de vector

En Matemáticas es un elemento de un espacio vectorial

En Física es un segmento orientado: una flechaMódulo

Recta soporte

Dirección

Sentido

Punto de aplicación

Representación: a o

Recta soporte

(dirección)

módulo

Punto de aplicación

Sentido

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Tipos de vectoresTipos de vectores

Libres: módulo, dirección y sentidoPueden moverse libremente en el espacio

Deslizantes: módulo, dirección, sentido y recta soportePueden desplazarse libremente sobre su recta soporte

Ligados: módulo, dirección, sentido y punto de aplicaciónNo pueden desplazarse en el espacio

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ÍndiceÍndice

Magnitudes escalares y vectoriales

Definición de vector

Vectores libresSuma y producto por un escalar

Bases vectoriales

Producto escalar, vectorial, mixto

Doble producto vectorial

Derivada de un vector

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Vectores libresVectores libres

Relación de equivalencia: a y b son vectores equivalentes si tienen el

mismo módulo, dirección y sentidoDos vectores libres equivalentes pueden hacerse coincidir si se desplazan

en el espacio

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ÍndiceÍndice

Magnitudes escalares y vectoriales

Definición de vector

Vectores libresSuma y producto por un escalar

Bases vectoriales

Producto escalar, vectorial, mixto

Doble producto vectorial

Derivada de un vector

10Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16

Vectores libresVectores libres

Suma de vectores libresDos vectores

Varios vectores

11Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16

Vectores libres: sumaVectores libres: suma

Propiedades de la sumaConmutativa

Asociativa

Existencia de elemento neutro

Existencia de elemento opuesto

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Vectores libres: producto por un escalarVectores libres: producto por un escalar

El producto por un escalar es otro vector

Propiedades Asociativa respecto al producto por un escalar

Distributiva respecto a la suma de vectores

Distributiva respecto a la suma de escalares

Existencia de escalar unidad

13Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16

ÍndiceÍndice

Magnitudes escalares y vectoriales

Definición de vector

Vectores libresSuma y producto por un escalar

Bases vectoriales

Producto escalar, vectorial, mixto

Doble producto vectorial

Derivada de un vector

14Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16

Bases vectorialesBases vectoriales

Los infinitos vectores que pueden definirse sobre una recta

pueden caracterizarse con uno de los vectores y un número

La base del espacio vectorial formado por todos los

vectores contenidos en una recta tiene dimensión 1

Los infinitos vectores que pueden definirse sobre un plano

pueden caracterizarse con dos de los vectores no

colineales y dos números

La base del espacio vectorial formado por todos los

vectores contenidos en un plano tiene dimensión 2

15Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16

Bases vectorialesBases vectoriales

Los infinitos vectores que pueden definirse en un espacio tridimensional pueden

caracterizarse con tres de los vectores no colineales y no coplanarios y tres números

La base del espacio vectorial formado por todos los vectores en el espacio tiene

dimensión 3

16Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16

Bases vectorialesBases vectoriales

Una base en E3 es una terna de vectores, B = {v1, v2, v3} , tal que cualquier vector

a puede escribirse como combinación lineal de ellos

a1, a2, a3 son las componentes de a en la base B

Para que tres vectores formen una base no deben ser ni colineales ni coplanarios

(linealmente independientes)La dimensión del espacio vectorial es el número mínimo de vectores linealmente

independientes que pueden describir todos los vectores del espacio

17Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16

Base cartesianaBase cartesiana

Triedro OX1X2X3 ≡ OXYZ

X1≡X

X2≡Y

X3≡Z

O

Base ortonormal

Álgebra vectorial

Componentes

18Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16

ÍndiceÍndice

Magnitudes escalares y vectoriales

Definición de vector

Vectores libresSuma y producto por un escalar

Bases vectoriales

Producto escalar, vectorial, mixto

Doble producto vectorial

Derivada de un vector

19Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16

Producto escalarProducto escalar

Definición

El resultado de la operación es un escalar

El punto es importante

Permite expresar de modo sencillo la condición de ortogonalidad, distancias y

ángulos

20Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16

Producto escalar: aplicacionesProducto escalar: aplicaciones

Condición de ortogonalidad para dos vectores

Si uno de los vectores es unitario da la proyección ortogonal sobre él del otro

vector

Extrae la componente del vector paralela a la dirección del vector

Está relacionado con la proyección ortogonal de un vector sobre otro

Si ninguno de los vectores es unitario

21Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16

Producto escalar: métrica del espacioProducto escalar: métrica del espacio

Distancia entre dos puntos

X1

X2

X3

P(p1,p2,p3)

O

Q(q1,q2,q3)

Ángulo entre dos vectores

Permite definir una métrica en el espacio

22Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16

Producto escalar: propiedadesProducto escalar: propiedades

Propiedades

Asociativa resp. prod. por un escalar

Conmutativa

Distributiva resp. a suma

Cancelativa

23Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16

Producto escalar: base ortonormalProducto escalar: base ortonormal

Los vectores de una base ortonormal son mutuamente perpendiculares y de

módulo unidad

Producto escalar de dos vectores expresados en una base ortonormal

24Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16

Producto escalar: aplicacionesProducto escalar: aplicaciones

Construcción de un vector unitario paralelo a un vector a

Ángulo entre dos vectores

Distancia entre dos puntos

Módulo de un vector

25Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16

Producto escalar: aplicacionesProducto escalar: aplicaciones

X1

X2

X3

O

Cosenos directores

Componentes cartesianas de un vector

26Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16

Producto escalar: ecuación vectorial de un planoProducto escalar: ecuación vectorial de un plano

X Y

Z

P1

O

P

Punto por el que pasa el plano

Punto genérico del plano

Vector normal al plano

Condición para que el punto P esté en el plano

Ecuación general del plano

27Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16

Producto vectorialProducto vectorial

Definición

El resultado de la operación es un vector

Escritura alternativa

Permite expresar de modo sencillo la condición de paralelismo

Permite construir rápidamente vectores perpendiculares

Extrae la componente perpendicular en una proyección ortogonal

28Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16

Producto vectorialProducto vectorial

Condición de paralelismo

=0 =

Se relaciona con la componente perpendicular de la proyección ortogonal

Si uno de los vectores es unitario (u) da la componente perpendicular a u de la

proyección ortogonal sobre él del otro vector

La otra componente la da el producto escalar

29Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16

Producto vectorialProducto vectorial

Si ninguno de los dos vectores es unitario, el módulo es la componente perpendicular

de la proyección ortogonal multiplicada por el otro vector

Área del paralelogramo que forman dos vectores

30Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16

Producto vectorialProducto vectorial

PropiedadesNo es asociativo

Anticonmutativa

Asociativa resp. al prod. por un escalar

Distributiva respecto a la suma

Cancelativa

31Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16

Producto vectorial: base cartesianaProducto vectorial: base cartesiana

Es una base ortonormal dextrógira

Expresión en una base ortonormal

32Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16

Producto vectorial: ecuación vectorial de una rectaProducto vectorial: ecuación vectorial de una recta

Punto por el que pasa la recta

Punto genérico de la recta

Vector director de la recta

Condición para que el vector sea paralelo al vector director

Ecuaciones de la recta

X Y

Z

O

P

P1

r

Vectorial Paramétricas Continua

33Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16

Producto mixtoProducto mixto

Definición: involucra tres vectoresEl resultado de la operación es un escalar

El valor absoluto es el volumen del paralelepípedo

h

Tres vectores forman una base si y solo si su producto mixto es no nulo

Condición de coplanariedad

34Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16

Producto mixtoProducto mixto

Propiedades

Permutabilidad cíclica

Permutabilidad acíclica

Expresión en una base cartesiana

35Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16

Producto mixto: ecuación de un plano que pasa por tres puntos no alineadosProducto mixto: ecuación de un plano que pasa por tres puntos no alineados

X Y

Z

P1

O

P3

P2

Puntos por los que pasa el plano

Condición de coplanariedad

Punto genérico del plano

Ecuación del plano

36Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16

ÍndiceÍndice

Magnitudes escalares y vectoriales

Definición de vector

Vectores libresSuma y producto por un escalar

Bases vectoriales

Producto escalar, vectorial, mixto

Doble producto vectorial

Derivada de un vector

37Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16

Doble producto vectorialDoble producto vectorial

Aplicación al desarrollo del producto escalar de dos productos vectoriales

El resultado de la operación es un vector

Resolución de un sistema de ecuaciones vectoriales

Definición: involucra tres vectores

38Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16

ÍndiceÍndice

Magnitudes escalares y vectoriales

Definición de vector

Vectores libresSuma y producto por un escalar

Bases vectoriales

Producto escalar, vectorial, mixto

Doble producto vectorial

Derivada de un vector

39Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16

Derivada de un vectorDerivada de un vector

Un vector puede ser función de una variable

Variación del módulo

Variación de la dirección

En general varían las dos cosas

40Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16

Derivada de un vectorDerivada de un vector

Derivada de un vector expresado en una base cartesiana

Derivada del producto escalar y vectorial de dos vectores

Los vectores de la base cartesiana no dependen del tiempo

41Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16

ResumenResumen

Definición de vector

Vectores libresSuma y producto por un escalar

Bases vectorialesConjunto mínimo de vectores linealmente independientes que permiten expresar todos los vectores del

espacio

Base cartesiana: tres vectores unitarios y mutuamente perpendiculares constantes en todo el espacio

Producto escalarCondición de ortogonalidad

Permite calcular distancias y ángulos: define una métrica en el espacio

Extrae la componente paralela de la proyección ortogonal de un vector sobre una dirección (aplicación

al cálculo de componentes en bases cartesianas)

42Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16

ResumenResumen

Producto vectorialCondición de paralelismo

Extrae la componente perpendicular de la proyección ortogonal de un vector sobre una dirección

Área del paralelogramo

Producto mixtoCondición de coplanariedad

Volumen del paralelepípedo

Doble producto vectorial

Derivada de un vectorPuede cambiar el módulo y/o la dirección

Derivada de un producto escalar y vectorial