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Electricidad y Magnetismo - Grupo

21.1

Curso 2010/2011

Sistemas de Coordenadas 1

J.L. Fernández JambrinaEyM 1a-1

Tema 1: Introducción

� Concepto de campo

� Repaso de álgebra vectorial

� Sistemas de coordenadas

�Cartesiano

�Curvilíneas generalizadas: cilíndrico y esférico.

� Operadores vectoriales.

�Gradiente

�Divergencia

�Rotacional

�Derivada temporal

�Combinación de operadores: Laplaciana

�Expresiones con operadores

�Teorema de Helmholtz: fuentes de los campos.

J.L. Fernández JambrinaEyM 1a-2

Sistemas de coordenadas

• Hacen falta para describir los puntos del espacio.

• El más simple es el cartesiano:

– Al decir que un punto P tiene coordenadasx0, y0, z0 se quiere decir que está contenidoen los planos:

– Los vectores unitarios llevan la dirección y sentido en que se desplaza el punto al incrementar la coordenada correspondiente.

– Los vectores unitarios se ordenan deforma que el producto vectorial del primero por el segundo da el tercero:

» Sistema dextrógiro o a derechas

000 zzyyxx ===

dx

rd

x

rx

x

rr

=∆∆

=→∆limˆ

0

zyx ˆˆˆ =×

z z= 0

y y= 0

X

Z

Y

$x

$y

$z

P

x x= 0

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21.1

Curso 2010/2011

Sistemas de Coordenadas 2

J.L. Fernández JambrinaEyM 1a-3

Sistema cartesiano (2)

rr

r rr l+ ∆∆∆∆

∆∆∆∆rl

O

– El vector de posición del punto es el vector que une el origen de coordenadas con el punto:

– Un desplazamiento a lo largo de una curva se puede definir por un vector:

– Si el desplazamiento es de magnitud muy pequeña (infinitesimal) se puede representar por:

» Puesto que una curva está definida por dos ecuaciones,

los tres diferenciales se pueden reducir a uno.

– La longitud del desplazamiento infinitesimal será:

zzyyxxr ˆˆˆ ++=r

222 dzdydxldldlddl ++=⋅==rrr

zzyyxxl ˆˆˆ ∆+∆+∆=∆r

zdzydyxdxld ˆˆˆ ++=r

J.L. Fernández JambrinaEyM 1a-4

Sistemas cartesiano, cilíndrico y esférico

z z= 0

y y= 0

X

Z

Y

$x

$y

$z

P

x x= 0

X

P

Y

z

ρρρρϕϕϕϕ

Z $z$ϕ

$ρ

$z

$r$ϕ

$θ

X

Y

Z

r

ϕϕϕϕ

θθθθ

θθθθ

Cartesiano Cilíndrico Esférico

( )zyx ,, ( )z,,ϕρ ( )ϕθ,,r

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21.1

Curso 2010/2011

Sistemas de Coordenadas 3

J.L. Fernández JambrinaEyM 1a-5

Coordenadas curvilíneas generalizadas ortogonales

• En general, cualquier tríada de familias de superficies puede servir para definir un sistema de coordenadas:

– Estas ecuaciones permiten el paso de cartesianas al nuevo sistema.

– Despejando x, y y z se realiza el pasoinverso.

( ) ( ) ( ) 332211 ,,,,,, uzyxUuzyxUuzyxU ===

u1=cte

u2 =cte

u3 =cte

P

û1

û2

û3

• La tríada (u1,u2,u3) son las coordenadas del punto:

– Cualquier tríada debe definir un único punto.

– Cualquier punto debe estar definido por una única tríada.

– Se admiten excepciones.

• El vector de posición se puede obtener a partir de cartesianas: zzyyxxr ˆˆˆ ++=

r

J.L. Fernández JambrinaEyM 1a-6

Curvilíneas (2)

• En general las coordenadas no son distancias:

– Un incremento infinitesimal de una coordenada y el desplazamiento correspondiente se relacionan a través de un factor de escala:

» La expresión central permite obtener los vectores unitarios y sus factores de escala.

• Si las superficies son ortogonales el sistema será curvilíneo y ortogonal.

• Un desplazamiento infinitesimal se puede describir como:

iiiiii

ii

uduhlduhu

r

u

rˆˆ1 =⇒=⇒≠

rrr

∂∂

∂∂

213132321

133221

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

0ˆˆ0ˆˆ0ˆˆ

uuuuuuuuu

uuuuuu

=×=×=×

=⋅=⋅=⋅

2

3

2

3

2

2

2

2

2

1

2

1

333222111ˆˆˆ

duhduhduhdl

uduhuduhuduhld

++=

++=r

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Sistemas de Coordenadas 4

J.L. Fernández JambrinaEyM 1a-7

Curvilíneas (3)

• Propiedad interesante:

– Es evidente que:

es decir, todos los coeficientes de transformación de los vectores unitarios de un sistema de coordenadas ortogonal en otro también ortogonal se repiten en la transformación inversa en posición traspuesta.

– Se puede definir una matriz de rotación [R] que es ortogonal (su inversa es su traspuesta).

[ ] [ ]

[ ] [ ]TRR

RRu

u

u

z

y

x

z

y

x

u

u

u

=

=

⇒

=

−

−

1

3

2

11

3

2

1

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 332211

332211

332211

3333

2222

1111

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

uzuuzuuzuz

uyuuyuuyuy

uxuuxuuxux

zzuyyuxxuu

zzuyyuxxuu

zzuyyuxxuu

⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅=

J.L. Fernández JambrinaEyM 1a-8

• También se puede calcular el diferencial de volumen:

– En cartesianas:

– En curvilíneas generalizadas ortogonales:A pesar del aspecto del dibujo,al ser las dimensiones muypequeñas, los lados sonson rectos y ortogonales.

Curvilíneas (4)

dy

dz

dxX

Z

YdzdydxdV =

u2

u1

u3h2du2

h3du3

h1du1

321321 dududuhhhdV =

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Sistemas de Coordenadas 5

J.L. Fernández JambrinaEyM 1a-9

Sistema de coordenadas Cilíndricas

• Las superficies coordenadas del sistema son:

– Cilindros de eje z y radio ρ.

– Semiplanos que contienen al eje z y forman un ángulo ϕ con el semiplano xz que se toma como referencia.

– Planos z = cte.

• Las coordenadas del sistema serán ternas de valores ρ, ϕ, z.

• Para describir unívocamente todos los puntos del espacio las coordenadas deberán variar en los márgenes: 0 ≤ ρ < ∞, 0 ≤ ϕ < 2π, -∞ < z < +∞.

zz =

x

yarctg=ϕ

22 yx +=ρ

• Existe una ambigüedad:

Los puntos del eje z quedan definidos por su z y ρ=0: ϕ puede ser cualquiera.

• Relaciones inversas:

X

P

Y

z

ρρρρϕϕϕϕ

Z $z$ϕ

$ρ

zzyx === ϕρϕρ sencos

J.L. Fernández JambrinaEyM 1a-10

Cilíndricas (2)Vectores unitarios y factores de escala

• De momento el vector de posición es:

• Trabajando un poco:

zzy

y

x

x

r ˆˆsenˆcos ++=321321

rϕρϕρ

( )

zzz

rhz

z

rz

yxh

rrhyx

r

yxh

rrhyx

r

zˆˆ1ˆ:

ˆcosˆsenˆˆcosˆsen:

ˆsenˆcosˆ1ˆsenˆcos:

====

+−====+−=

+====+=

∂∂

∂∂

ϕϕ∂ϕ∂

ϕρ∂ϕ∂

ϕϕρ∂ϕ∂

ϕ

ϕϕ∂ρ∂

ρ∂ρ∂

ϕϕ∂ρ∂

ρ

ρϕ

ρρ

rr

rrr

rrr

−=

z

y

x

z ˆ

ˆ

ˆ

100

0cossen

0sencos

ˆ

ˆ

ˆ

ϕϕϕϕ

ϕρ

−

=

zz

y

x

ˆ

ˆ

ˆ

100

0cossen

0sencos

ˆ

ˆ

ˆ

ϕρ

ϕϕϕϕ

11 === zhhh ρϕρ

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Sistemas de Coordenadas 6

J.L. Fernández JambrinaEyM 1a-11

Cilíndricas (3)Vector de posición y diferenciales

• Vector de posición:

– La dependencia con ϕ está implícita dentro de :

• Diferencial de longitud (vector):

• Diferencial de longitud (escalar):

• Diferencial de volumen:

( ) ( ) zz

yyxx

r ˆ

ˆ

ˆcosˆsensen

ˆ

ˆsenˆcoscos +++−=44 344 2132144 344 21321

rϕϕρϕϕρϕϕρϕϕρ zzr ˆˆ += ρρ

r

zdzddld ˆˆˆ ++= ϕϕρρρr

2222 dzdddl ++= ϕρρ

dzdddV ϕρρ=

$ρ ( ) ( ) zzzr ˆˆ,, += ϕρρϕρr

J.L. Fernández JambrinaEyM 1a-12

Sistema de coordenadas Esféricas

• Las superficies coordenadas del sistema son:

– Esferas de radio r:

– Conos cuya generatriz forma unángulo θθθθ con el eje z positivo:

– Semiplanos limitados por el eje zque forman un ángulo ϕϕϕϕ con eleje z:

• Para describir unívocamente todoslos puntos del espacio las coordenadas deberán variar en los márgenes: 0 ≤ r < ∞, 0≤θ≤π, 0 ≤ ϕ < 2π

z

yx 22

arctg+

=θ

x

yarctg=ϕ

222 zyxr ++=

• Existen dos ambigüedades:

– Los puntos del eje z quedan definidos por su r y θθθθ=0 =0 =0 =0 ó ππππ, ϕϕϕϕ puede ser cualquiera.

– El origen queda definido por r=0, con independencia de los valores de θθθθ y ϕϕϕϕ.

• Relaciones inversas: θϕθϕθ cossensencossen rzryrx ===

$z

$r$ϕ

$θ

X

Y

Z

r

ϕϕϕϕ

θθθθ

θθθθ

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Sistemas de Coordenadas 7

J.L. Fernández JambrinaEyM 1a-13

zz

ry

y

rx

x

rr ˆcosˆsensenˆcossen 3214342143421

rθϕθϕθ ++=

( ) ( )

( )[ ] ( )

( ) yxrhyxrr

zyxrhzyxrr

zyxrhzyxr

rr r

ˆcosˆsenˆsenˆcosˆsensen:

ˆsenˆsenˆcoscosˆˆsenˆsenˆcoscos:

ˆcosˆsenˆcossenˆ1ˆcosˆsenˆcossen:

ϕϕϕθϕϕθ∂ϕ∂

ϕ

θϕϕθθθϕϕθ∂θ∂

θ

θϕϕθθϕϕθ∂∂

ϕ

θ

+−==+−=

−+==−+=

++==++=

r

r

r

−

−=

z

y

xr

ˆ

ˆ

ˆ

0cossen

sensencoscoscos

cossensencossen

ˆ

ˆ

ˆ

ϕϕθϕθϕθ

θϕθϕθ

ϕθ

−

−

=

ϕθ

θθϕϕθϕθϕϕθϕθ

ˆ

ˆ

ˆ

0sencos

cossencossensen

sencoscoscossen

ˆ

ˆ

ˆ r

z

y

x

θϕθ sen1 rhrhhr ===

Esféricas (2)Vectores unitarios y factores de escala

• De momento el vector de posición es:

• Trabajando un poco:

J.L. Fernández JambrinaEyM 1a-14

Esféricas (3)Vector de posición y diferenciales

• Vector de posición:

– La dependencia con θ y ϕ está implícita dentro de

• Diferencial de longitud (vector):

• Diferencial de longitud (escalar):

• Diferencial de volumen:

rrr ˆ=r

ϕϕθθθ ˆsenˆˆ drrdrdrld ++=r

ϕθθ ddrdrdV sen2=

( )[ ]44444 344444 21

r

r

zysenxsenrr

ˆ

ˆcosˆˆcos θ+ϕ+ϕθ=

222222 sen ϕθθ drdrdrdl ++=

$r

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Sistemas de Coordenadas 8

J.L. Fernández JambrinaEyM 1a-15

Cilíndricas - Esféricas

• Es posible relacionar directamente entre sí cilíndricas y esféricas:

– Relación entre coordenadas:

– Relación entre vectores unitarios:

r zz

r z r

= + = =

= = =

ρρρρ θθθθρρρρ

ϕϕϕϕ ϕϕϕϕ

ρρρρ θθθθ ϕϕϕϕ ϕϕϕϕ θθθθ

2 2arctg

sen cos

$

$

$

sen cos

cos sen

$

$

$

r

z

θθθθ

ϕϕϕϕ

θθθθ θθθθ

θθθθ θθθθ

ρρρρ

ϕϕϕϕ

= −

0

0

0 1 0

$

$

$

sen cos

cos sen

$

$

$

ρρρρ

ϕϕϕϕ

θθθθ θθθθ

θθθθ θθθθ

θθθθ

ϕϕϕϕz

r

=

−

0

0 0 1

0

$z

$r

$ρ

$ϕ

$θ

X

Y

Z

r

ϕϕϕϕ

θθθθ

θθθθρρρρ

z