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Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 1
TEMA 1Intersecciones directas
MÉTODOS TOPOGRÁFICOSCurso 2015/2016
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 2
Correcciones a la distancia
1. Corrección meteorológica
a. En el momento de la toma
b. Con fórmulas
c. Con ábaco
2. Corrección de la constante del prisma
3. Reducción al sistema proyectivo
a. Sistema de coordenadas local o arbitrario
b. Largas distancias y/o sistema de coordenadas oficial
i. Reducción por curvatura de la trayectoria
ii. Reducción a la cuerda del elipsoide
• Método A: Un paso
• Método B: Dos pasos
iii. Reducción al arco del elipsoide
iv. Reducción a la proyección cartográfica
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 2
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 3
1. Corrección meteorológica
• Corrección en el momento de toma de datos (ppm):
• Corrección a posteriori a la medida de distancias:
LeicaSiendo P la presión
atmosférica en mbar
Sokkia P en mm de mercurio
Topcon P en mm de mercurio
t
PD
00366.01
29065.08.281
t
PD
00366.01
3872.096.278
6102.273
1066.279
t
PD
Altitud/Temperatura 500 600 700 800 900
20º 22 25 28 30 33
25º 26 29 32 34 37
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 4
1. Corrección meteorológica
• Ábaco proporcionado por el fabricante para la
corrección, en función de altitud y temperatura:
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MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 5
2. Corrección de la constante del prisma
• El espacio que recorre la onda portadora del M.E.D. se
tendrá que descontar de la distancia facilitada
Marca
comercial
Constante del
prisma
Corrección
meteorológica
Leica -99 mm a 99 mm -999 ppm a 999 ppm
Topcon -99 mm a 99 mm -99 ppm a 99 ppm
Sokkia 0 mm a 90 mm -50 ppm a 130 ppm
Geodimeter
(Trimble)- -60 ppm a 195 ppm
Nikkon 0 mm a 90 mm -
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 6
3.a. Distancias en un sistema de
coordenadas local o arbitrario
• Si las distancias medidas son de pequeña magnitud y
el ámbito del levantamiento es una zona de pequeña
superficie, se puede realizar la siguiente reducción de
la distancia:
• Si el sistema de referencia es un sistema local y por lo
tanto considera la Tierra plana a efectos de
planimetría también se utilizará la misma expresión
para reducir las distancias
senr gD D V
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(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 4
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 7
3.b. Distancias de elevada longitud y/o
sistema de coordenadas oficial
Eje Dg Cota estación Vertical Dr D
A-B 3000 mHA=750.00 m VA
B=93g.0000 2981.883 m0.156 m
HB=1079.20 m VBA=107g.0300 2981.727 m
B-C 2000 mHB=1079.20 m VB
C=110g.0000 1975.377 m0.098 m
HC=766.33 m VCB=90g.0200 1975.475 m
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 8
3.b. Distancias de elevada longitud y/o
sistema de coordenadas oficial
• Si las distancias medidas son de elevada magnitud y
el ámbito del levantamiento es una zona de gran
superficie, se deben realizar las siguientes reducciones
a las distancias
• Si el sistema de coordenadas es el oficial también se
deberán aplicar las siguientes reducciones a las
distancias medidas:
i. Reducción por curvatura de la trayectoria
ii. Reducción a la cuerda del elipsoide
iii. Reducción al arco del elipsoide
iv. Reducción a la proyección cartográfica
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MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 9
3.b. Distancias de elevada longitud y/o
sistema de coordenadas oficial
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 10
3.b.i. Reducción por curvatura de la
trayectoria
• La trayectoria de la portadora describe una curva
• Por lo tanto, habrá que corregirla de dicho efecto
• No es una corrección demasiado significativa en
distancias de pequeña magnitud
• Su magnitud es similar a la reducción de la cuerda al
arco, pero de signo contrario → Se anulan
m 998.14999
Km 1543 2
3
rc
M
MMrc D
DR
DDD
DrcDM
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MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 11
3.b.ii. Reducción a la cuerda del elipsoide
• Reducción a la cuerda de la superficie de referencia,
donde se proyectará el terreno
• Posteriormente, se obtendrán sobre un plano
(proyección cartográfica)
• Este proceso se puede realizar mediante dos métodos:
– Método A. Reducción en dos pasos
1. Reducción a la superficie de nivel de la
estación
2. Reducción a la cuerda del elipsoide
– Método B. Reducción en un solo paso
Reducción a la cuerda
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 12
3.b.ii. Método A. Paso 1: Reducción a la
superficie de nivel de la estación
sen 200sen 1002
sen sen
cossen 100 22
A
A
rg
B
B Br g g
DD
V
V VD D D
AAB VVV 200200
Además se podría tener en cuenta
el efecto de la refracción
atmosférica:
sen
cos2
A
A
r g
V rD D
g ccD
rR
r K
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MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 13
3.b.ii. Método A. Paso 2: Reducción a la
cuerda del elipsoide
• Por proporcionalidad:
• Siendo DrE, la distancia
reducida a la superficie
de referencia (elipsoide)
A E A
E
r rr
r
A A
D D RDD
R h R R h
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 14
3.b.ii. Método A
• Ejemplo:
• Contemplando la convergencia:
• Reducción al elipsoide:
3000 sen94 .996 2990.74 m
3000 sen105 .026 2990.66 m
B g
r A
A g
r B
D AB
D BA
sen 94 .996 0.03 0.004 2990.64 m
sen 105 .026 0.03 0.004 2990.75 m
A
B
g
r g
g
r g
D D
D D
E
E
r
r
850 m D 2990.24 m850
1086.09 m D 2990.24 m1086.09
A
B
r
A
r
B
D RH
R
D RH
R
3000 m0.03
94 .9960.004
105 .0261086.09 m
850 m
g g
g
A g
g
B
B
A
D
Vr
VH
H
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MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 15
3.b.ii. Método B. Reducción a la cuerda del
elipsoide en un solo paso
2 2
1 2gD l l h
0 0 1
0 0 2
y OAA'
y OBB'
E
E
Ar
Br
R hOA B l D
R
R hOA B l D
R
2 2
2 2 2 2
2
1 1
E E
E
A Bg r r
g g
r
A B A B
R h R hD D D h
R R
D h D hD
R h R h h h
R R R R
2 2
1 1E
g
r
A B
D hD
h h
R R
2
2
22 2
1
2 2 2 2
1 1
2 2 2 2
1 1
2 2
1 1
2 1
2 2 2 1
2 2 2 1
2 2
g
g
g
h
g
l
D l C C
D l C l C C
D l l C C C
D l l C h
Para el cálculo de hB sólo
se tendrá en cuenta el
término t y la corrección
de esfericidad y refracción
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 16
3.b.ii. Método B
• Ejemplo:
• Reducción directa al elipsoide:
3000 m
94 .996 1086.09 m
850 m
g
g
A B
A
D
V H
H
2 2
2990.24 m
1 1E
g
r
A B
D hD
h h
R R
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MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 17
3.b.iii y 3.b.iv
• Reducción al arco del elipsoide
• Reducción a la proyección cartográfica
Siendo k el coeficiente de anamorfosis lineal, propio de
la proyección utilizada
3
2 15000.003 m24
15 Km
E
E
E
r
Arco rArco
Cuerda r
DD D
DR
D D
proyección ArcoD D k
Superficie de nivel en A
Elipsoide de Referencia
Dc
DA
RR
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 18
Comparación de resultados
• Se va a reducir las distancias a la cuerda del elipsoide
por dos métodos aplicando simplificaciones a los
mismos, con el fin de compararla con la obtenida
mediante la expresión que supone la Tierra plana, a
efectos de planimetría
• Se supondrán en todos los casos V=98g, K=0.13 y
HE=1000.00 m
– Comparación 1: Efecto en la reducción de la
distancia al simplificar la expresión de la
corrección conjunta de esfericidad y refracción
– Comparación 2: Efecto por simplificar la
reducción según las diferentes expresiones
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MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 19
Comparación 1
Dg
100 3.142 99.935 3.142 99.935
200 6.284 199.870 6.284 199.870
500 15.720 499.674 15.720 499.674
1000 31.469 999.346 31.469 999.346
2000 63.053 1998.683 63.054 1998.683
5000 158.502 4996.642 158.504 4996.642
8000 254.994 7994.522 254.999 7994.522
10000 319.901 9993.064 319.909 9993.064
12000 385.272 12991.571 385.283 12991.571
15000 484.197 14989.264 484.214 14989.263
22
cos2
grg
D KDh D V
R R
2 2
1 1E
g
r
A B
D hD
h h
R R
2
cos 0.37 rg
Dh D V
R
2 2
1 1E
g
r
A B
D hD
h h
R R
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 20
Comparación 2
Dg
100 99.935 99.935 99.935 99.951
200 199.870 199.870 199.870 199.901
500 499.674 499.674 499.674 499.753
1000 999.346 999.346 999.346 999.507
2000 1998.683 1998.683 1998.683 1999.013
5000 4996.641 4996.641 4996.642 4997.533
8000 7994.520 7994.522 7994.522 7996.052
10000 9993.061 9993.064 9993.064 9995.066
12000 11991.566 11991.571 11991.571 11994.079
15000 14989.253 14989.263 14989.264 14992.598
sen
E
r g
rr
A
D D V r
D RD
R h
sen
cos2
E
g
r
rr
A
D V rD
D RD
R h
2 2
22
1 1
cos2
E
g
r
A B
grg
D hD
h h
R R
D KDh D V
R R
senr gD D V
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MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 21
Intersecciones angulares
• Basadas en la determinación tridimensional de UN SOLO punto
• Medidas exclusivamente angulares
• Según la naturaleza del punto a determinar, se clasifican en:
– INTERSECCIÓN DIRECTA. Punto desconocido no
estacionable
– INTERSECCIÓN INVERSA. Punto estación desconocido
– INTERSECIÓN MIXTA. Combinación de los dos anteriores o
con inclusión de distancias
• Según el número de soluciones, se clasifican en:
– INTERSECCIONES SIMPLES
– INTERSECCIONES MÚLTIPLES
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 22
Fundamento intersección directa
• Se estaciona, al menos, en dos puntos de posición
conocida
• Observaciones exclusivamente angulares
• Se puede determinar la posición planimétrica y
altimétrica del punto observado
• Es necesario observar a otro
punto de coordenadas
conocidas desde cada uno de
los estacionamientos, con la
finalidad de determinar la
desorientación
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MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 23
Solución planimétrica analítica
tan tan tanV V VV AA V A V A A V V A A A
V A
E EE E N N E N N E
N N
tan tan tan tanV V V V
V B B B V A A A A BN N N N E E
tan tan tan tanV V V V
V B A B B A A A BN N N E E
tan tan
tantan tan
V VVB B A A A B
V V A V A AV V
B A
N N E EN E N N E
tan tan tanV V VV BB V B V B B V V B B B
V B
E EE E N N E N N E
N N
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 24
Solución planimétrica trigonométrica
• Ambas soluciones deben coincidir exactamente puesto
que la intersección de dos rectas sólo tiene una
solución
ˆ ˆsen sen
ˆ ˆsen sen
AB B AB BAV
A B
senˆcos
VV B V A AA A V
V A A
E E AVA
N N AV
B V V A
A A B BA LH LH B LH LH
A A V V
B B B B B BLH LH B B V V
A A A A A ALH LH
senˆcos
VV A V B BB B V
V B B
E E BVB
N N BV
• Desde A: • Desde B:
ˆ ˆsen sen
ˆ ˆsen sen
AB A AB ABV
A B
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MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 25
Solución planimétrica trigonométrica
• Caso singular: No existe visual entre los extremos de
la baseV
A
C C V
A A A A ALH LH
V
B
D D V
B B B B BLH LH
sen
cos
VV V A AA V
V A A
E E AV
N N AV
Bˆ ˆB V V A
A A BA B
• Desde A: • Desde B:
ˆ ˆsen sen
ˆ ˆsen sen
AB B AB BAV
A B
ˆ ˆsen sen
ˆ ˆsen sen
AB A AB ABV
A B
sen
cos
VV V B BB V
V B B
E E BV
N N BV
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 26
Solución altimétrica
• La solución altimétrica de una intersección directa
simple es doble
• Se puede determinar la altitud del punto interceptado,
a través de dos caminos independientes
• Existen dos formas de resolver el cálculo altimétrico:
– Sistema de coordenadas locales (Tierra plana)
– Sistema de coordenadas en una proyección
conforme
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MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 27
Solución altimétrica: coordenadas locales
2 2V
A V A V AD E E N N
tan
VV AA A V erV
A
DH i m C
V
tan
VV BB B V erV
B
DH i m C
V
2 2V
B V B V BD E E N N
A
V
V A AH H H B
V
V B BH H H
2 2
HA B V VA BV V HH H
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 28
Solución altimétrica: coordenadas UTM
• Puesto que el sistema proyectivo es conforme, las
distancias sufren deformaciones y estas habrán de ser
tenidas en cuenta para el cálculo de la altitud
ARCO
UTMr
DD
k
cos 2
sen
ESTr
g V
EST
DD
V r
tan
VV ESTEST EST V erV
EST
DH i m C
V
cosV V V
EST gEST EST EST V erH D V i m C
ARCO
EST
r EST
r
D R HD
R
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
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MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 29
Ponderación en la solución altimétrica
2
2
VA
V
H A rD
2
2ˆVAAA
H HHV
2 2
A B V VA BV V H HH H
2 22 2
2 22 2
1 11 1
1 1 1 1
A BA B
V VA B
V VA B
V VV V V VH H A B
V
V VH H A B
H HH HD D
H
D D
2
2
VB
V
H B rD
2
2ˆVBBB
H HHV
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 30
Desviación típica a priori planimétrica
• La desviación típica
a priori planimétrica
dependerá, única y
exclusivamente, de
la desviación típica
a priori de las
medidas angulares
• Se hacen dos
medidas angulares
en cada estación
• Constituirá el error
máximo
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
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MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 31
Desviación típica a priori planimétrica
• Simplificación: se consideran
paralelas las líneas que definen el
paralelepípedo → paralelogramo
• Se obtiene la elipse de error
(incertidumbre) inscrita
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 32
Desviación típica a priori planimétrica
• Simplificación: se consideran
paralelas las líneas que definen el
paralelepípedo → paralelogramo
• Se obtiene la elipse de error
(incertidumbre) inscrita
• Se caracterizará mediante el
semidiámetro mayor de esta elipse
(a)
• Los semidiámetros conjugados:
2
sen
V
ADVV
2
sen
V
BDVV
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MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 33
Desviación típica a priori planimétrica
• El valor máximo de los
semidiámetros conjugados se
producirá:
– Cuanto mayor sea el numerador:
A mayor distancia
A mayor desviación típica
angular
– Cuanto menor sea el
denominador:
Ángulo próximo a 0g ó 200g
2
sen
V
ADVV
2
sen
V
BDVV
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 34
Desviación típica a priori planimétrica
• La posición más alejada
del centro de la elipse es
el semieje mayor a
• Para calcularlo se
recurre a la construcción
de la elipse por afinidad
• Dos diámetros
perpendiculares en la
circunferencia se
transforman en dos
diámetros conjugados en
la elipse
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 18
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 35
Desviación típica a priori planimétrica
• Construcción de dos
diámetros en la elipse:
– Paralela al eje
horizontal, en el punto
de intersección del
diámetro con la
circunferencia de menor
tamaño
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 36
Desviación típica a priori planimétrica
• Construcción de dos
diámetros en la elipse:
– Paralela al eje
horizontal, en el punto
de intersección del
diámetro con la
circunferencia de menor
tamaño
– Paralela al eje vertical
en el punto de
intersección del
diámetro con la
circunferencia mayor
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 19
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 37
Desviación típica a priori planimétrica
• Construcción de dos
diámetros en la elipse:
– Paralela al eje
horizontal, en el punto
de intersección del
diámetro con la
circunferencia de menor
tamaño
– Paralela al eje vertical
en el punto de
intersección del
diámetro con la
circunferencia mayor
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 38
Desviación típica a priori planimétrica
• De esta forma, se
obtienen los diámetros
homólogos en la elipse a
dos diámetros
perpendiculares en la
circunferencia
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 20
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 39
Desviación típica a priori planimétrica
• Los semidiámetros
conjugados b y c forman
un ángulo , intersección
de las visuales
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 40
Desviación típica a priori planimétrica
• Los semidiámetros
conjugados b y c forman
un ángulo , intersección
de las visuales
• Semidiámetro mayor de
la elipse, coincide con el
radio de la circunferencia
mayor
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 21
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 41
Desviación típica a priori planimétrica
• Los semidiámetros
conjugados b y c forman
un ángulo , intersección
de las visuales
• Semidiámetro mayor de
la elipse, coincide con el
radio de la circunferencia
mayor
• Se abate 100g uno de los
semidiámetros
ˆ 200 100 100g g gA
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 42
Desviación típica a priori planimétrica
• Los semidiámetros
conjugados b y c forman
un ángulo , intersección
de las visuales
• Semidiámetro mayor de
la elipse, coincide con el
radio de la circunferencia
mayor
• Se abate 100g uno de los
semidiámetros
ˆ 200 100 100g g gA
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 22
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 43
Desviación típica a priori planimétrica
• Determinación del semidiámetro mayor de la elipse:
– Determinación de O’T:
Aplicando el teorema del coseno en PNQ:
– Determinación de PO’:
Aplicando el teorema de la mediana en PNQ:
• Finalmente:
a PO O T
2 2QN dO T
2 2 2 cosd b c bc A
2 2 21 22dPO m b c d
12da m d
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 44
Desviaciones típicas
• Desviación típica “a priori” planimétrica, en una
intersección directa simple:
• Desviación típica “a priori” altimétrica, en una
intersección directa simple:
• Desviación típica “a posteriori” altimétrica, en una
intersección directa simple:
2 2 2ˆ ˆV A BEN EN EN a
2 2 2 2ˆ ˆV VV A BA B
H H HH H
2
ˆprom V
i
i i V H
vv H H
m n
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 23
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 45
Intersección directa múltiple
• Intersección directa simple → Solución gráfica y
numérica
• Falta de comprobación de resultados
• Necesarias más visuales
• Con tres visuales → Tres combinaciones → Tres
soluciones
! 3!
3! ! 2!
n
m
mC
m n n
• Obtención de unas
coordenadas promedio
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 46
Intersección directa múltiple
• Planimetría
– Cálculo planimétrico de todas las soluciones
simples
– Cálculo del máximo error en cada una de las
soluciones simples
– Estudio de la tolerancia planimétrica
– Media ponderada de aquellas soluciones
tolerables inversamente proporcional a las
varianzas
• Altimetría
– Proceso idéntico al seguido en la solución simple
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 24
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 47
Estudio de tolerancias
• Se obtienen tantas soluciones
simples como combinaciones posibles
1
2
3
2 2 2
1
2 2 2
2
2 2 2
3
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
V A B
V A C
V B c
EN EN EN
EN EN EN
EN EN EN
a
a
a
1 1 1
2 2 2
3 3 3
,
,
,
AB V E N
AC V E N
BC V E N
• Se obtienen los errores teóricos de cada solución
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 48
Estudio de tolerancias
• Diferencias entre soluciones:
• Tolerable si la diferencia entre las más discrepantes es
menor que la componente cuadrática de las
desviaciones típicas:
2 2 2 2 2 2
2 2 2 3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 1 1 2 2 2d E N d E N d E N
1 2 1 3 2 3
2 2 2 3 2 2 3 2 2
1 1 2V V V V V VEN EN EN EN EN ENd d d
• Si una visual es errónea →
Dos soluciones afectadas →
Tres soluciones discrepantes →
No es posible averiguar cuál es
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 25
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 49
Promedio de coordenadas
• Si esto se cumple, las
coordenadas del punto
será la media ponderada
inversamente
proporcional a la
varianza
• Altimetría: Tres
soluciones → Mismo
tratamiento que en la
intersección directa
simple
2 31
1 2 3
1 2 3
2 31
1 2 3
1 2 3
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1 1 1
1 1 1
V V V
V V V
V V V
V V V
V VV
EN EN EN
V
EN EN EN
V VV
EN EN EN
V
EN EN EN
E EE
E
N NN
N
2 2 2
2 2 21 1 1
CA B
V V VA B C
V V VA B C
VV V
H H H
V
H H H
HH H
H
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 50
Métodos gráficos
• Mejor intersecciones directas > 3 visuales; para
cuatro, se tienen:
• Tedioso trabajo de estudio de tolerancias y promedios
posteriores
• Métodos gráficos: introducción a cálculo MM.CC.
• Se basan en el cálculo de unas coordenadas
aproximadas del punto obtenido por cualquier
intersección
2
4
4!6
4 2 ! 2!C
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 26
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 51
Métodos gráficos
• Las soluciones son las intersecciones de las visuales
• No es posible dibujarlas a gran escala, pero sí el
entorno del punto
• Si las observaciones son correctas →
Soluciones próximas y diferentes
• Se podría elegir el centro de masas
de la figura
• Obligaría a resolver todas las
soluciones
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 52
Métodos gráficos
• Se podría dibujar la recta, conocido un punto y el
acimut
'
'
tan tanQ A Q AP P
A Q A P A A
Q A P A
E E E EE E N N
N N N N
Q Pe E E
Q PE E e
tan P
P A P A AE e E N N
tan P
P A A P Ae N N E E
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 27
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 53
Métodos gráficos
• Para la intersección con el eje N:
cotan cotanP PR A R A
A R A P A A
R A P A
N N N NN N E E
E E E E
R P R Pn N N N N n
cotan P
P A P A AN n N E E
cotan P
P A A P An E E N N
• Así se podrían dibujar todas las
visuales
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 54
Métodos gráficos
• Se debería situar el punto P’ centrado para hacer
pasar los ejes coordenados
P P P PE E e N N n
• Se dibujan las visuales a partir de
los incrementos calculados
• Se calcula el centro de
gravedad del polígono
formado
• Se miden los
incrementos del punto
respecto a los ejes
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 28
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 55
Métodos gráficos
• Para obtener mayor precisión en la determinación → dibujar paralelas interiores
• Pueden considerarse las distancias de observación: A mayor distancia, mayor amplitud
• Es una forma de ponderación
• Se pueden eliminar visuales que estén alejadas del polígono de mayor probabilidad
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 56
Consideraciones y elección de las
mejores intersecciones
• La precisión del punto depende de:
– La precisión en la medida de ángulos
– La longitud de las visuales
– La abertura de los ángulos de intersección de las
visuales
• Para la intersección directa simple:
– Mejor ángulo próximo a 90º
– Distancias lo más cortas posibles
– No tiene comprobación
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 29
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 57
Consideraciones y elección de las
mejores intersecciones
• Las soluciones AVB y BVC son
inmejorables, pero no la
solución AVC
• Mejor si forman 60º entre sí
• Es conveniente reducir
también las distancias
• La mejor solución es cuando
forman un triángulo
equilátero:
– El punto V debería ser el centro
geométrico
– Ángulos de intersección de 120º
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 58
Resolución por Mínimos Cuadrados
• Apoyada en la resolución por métodos gráficos
• Mayor precisión
• Basada en la variación de coordenadas de un punto
aproximado
• Sobreabundancia de observaciones
• La solución final no satisface a
ninguna visual
• Está equidistante de todas las
visuales
• La separación es el Residuo
• Tantos residuos como visuales
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 30
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 59
Resolución por Mínimos Cuadrados
• Condición matemática impuesta: La suma de los
cuadrados de los residuos sea mínima
• Se pueden utilizar medidas directas o indirectas
• Máxima aplicación en redes topográficas
• Modos de resolución:
– Ecuaciones de condición
– Relaciones de observación
Relaciones de observación de dirección
Relaciones de observación de distancia
Relaciones de observación de desnivel
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 60
• En función del punto estación y el punto visado:
– Observación directa
– Observación inversa
• Dan lugar a una expresión matemática que relaciona:
– Valores aproximados
– Correcciones buscadas
– Valores observados
Relaciones de observación de dirección
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 31
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 61
Relaciones de observación de dirección
• Forma general de la relación de observación:
• O:
• Fundamento de los MM.CC.: Encontrar la corrección
• Resolución a través de los acimuts:
– Aproximados, si se utilizan las coordenadas
calculadas a priori del punto
– Observados, si se utilizan las observaciones de
campo
Valor aproximado + Corrección = Valor observado + Residuo
Residuo = Corrección + Valor calculado - Valor observado
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 62
Intersección directa por MM.CC.
• Forma de la ecuación:
• cal obtenido mediante las coordenadas aproximadas
del punto, resueltas a través de una intersección
• Nº de ecuaciones de observación > Nº de incógnitas
• Se pretenden obtener las coordenadas ajustadas, no
los acimuts
• Relación entre acimuts y coordenadas: Tangente
Corrección cal obsV
tan P P AA
P A
E E
N N
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 32
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 63
Intersección directa por MM.CC.
• Es no lineal: no puede formar un sistema de
ecuaciones
• Linealización por desarrollo en serie de Taylor,
despreciando términos de segundo orden
• Se va a derivar respecto de las dos incógnitas
• Forma general:
• Particularizando:
uy
v
2
' ''
u v v uy
v
2 2cos
PP A P A P A P AA
P
A P A
E E N N N N E E
N N
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 64
Intersección directa por MM.CC.
• Operando:
• Teniendo en cuenta:
• Se tiene, en radianes, la expresión linealizada:
2 2
2
2
cos
cos
PP P A A P A P P A A P AA
P
A P A
PP AA P P A A P A P P A A P A
P A
E N N E N N N E E N E E
N N
E N N E N N N E E N E EN N
2 2 2
cos
cos
P P
P A A A
P
P A A
N N N D
N N D
2
2 2
cos1P
A
P AD N N
2 2 2 2
P P P PP A A A AA P P A A
N E N EE N E N
D D D D
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(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 33
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 65
Intersección directa por MM.CC.
• La expresión en segundos centesimales:
• Particularizando sobre la intersección directa, donde
las coordenadas de la estación no sufren alteración:
• Volviendo a la fórmula general:
2
ccP P P P P
A A P A P A A A A
rN E E N N E E N
D
2
ccP P P
A A P A P
rN E E N
D
2
ccP P P P P P P
A A cal A obs A P A P A cal A obs
rV N E E N
D
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 66
Intersección directa por MM.CC.
• Sistema de ecuaciones formado:
• Dos incógnitas y tantas ecuaciones como visuales
• Resolución de este sistema:
– Por notaciones de Gauss
– Matricialmente
1 1 1 1
2 2 2 2
n n n n
a E b N k v
a E b N k v
a E b N k v
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 34
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 67
Resolución por notaciones de Gauss
• La suma de los cuadrados de los residuos debe ser
mínima:
• Derivando parcialmente, el segundo término será cero:
22 2 2
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
M nimo
a 2 2 2
n n n i
i
a E b N k a E b N k a E b N k v
E a b E N a Ek b N b Nk k v
í
2 2 2
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 0( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 0( )
n n n n n
n n n n n
Fa E a b N a k a E a b N a k a E a b N a k
E
Fb N a b E b k b N a b E b k b N a b E b k
N
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 68
Resolución por notaciones de Gauss
• Agrupando términos y sacando factor común:
• Agrupando nuevamente:
• Teniendo el sistema de ecuaciones normales:
1 1 1 1 2 2 2 2
1 1 1 1 2 2 2 2
2 2 2 0
2 2 2 0
n n n n
n n n n
a a E b N k a a E b N k a a E b N k
b a E b N k b a E b N k b a E b N k
2 2 2
1 2 1 1 2 2 1 1 2 2
2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 1 2 2
0
0
n n n n n
n n n n n
a a a E a b a b a b N a k a k a k
a b a b a b E b b b N b k b k b k
0
0
aa E ab N ak
ba E bb N bk
2
1 1
2
1 1
1
[ ]
n n
i i i
n n
i i i
n
i i
aa a ak a k
bb b bk b k
ab ba a b
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 35
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 69
Resolución matricial
• El sistema de ecuaciones es de la forma:
– A: matriz de los coeficientes
– X: matriz de las incógnitas
– L: matriz de los términos independientes
– V: matriz de los residuos
• La suma del cuadrado de los residuos tiene que ser
mínima:
• Es un escalar → sus sumandos también → un escalar
es igual a su traspuesto:
AX L V
TT T T T T T T T T TV V Ax L Ax L x A L Ax L x A Ax x A L L Ax L L
2 2T T T T T T T T Tx A Ax x A L L L x Nx x A L L L
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 70
Resolución matricial
• Como ø tiene que ser mínimo:
• Propiedades de N-1:
– Simétrica
– También denominada Q: matriz de varianzas-covarianzas
– Diagonal principal → Varianzas de las incógnitas
1
1
2 2 0T
T
T
Nx A Lx
Nx A L
x N A L
x N t
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 36
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 71
Resolución matricial
• Precisión de las coordenadas del punto visado:
• Siendo, la desviación estándar de la serie:
• Donde:
– n: número de incógnitas
– m: número de ecuaciones
– m-n: redundancia o grados de libertad
1 1
1,1 2,2ˆ ˆ ˆ ˆE NN y N
22ˆ ˆ
T
iVV V
m n m n
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 72
Resolución matricial
• Elipse de error del punto: semieje mayor, menor y
orientación:
22 2 2 2 2 2
22 2 2 2 2 2
2 2
1ˆ ˆ ˆ ˆ 4 ˆ
2
1ˆ ˆ ˆ ˆ 4 ˆ
2
2 ˆ1arctan
2 ˆ ˆ
E N E N EN
E N E N EN
EN
E N
a
b
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 37
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 73
Estudio de la eliminación de las visuales
erróneas
• Cálculo MM.CC.: Sólo para obtener coordenadas más probables
• Mejora del cálculo con eliminación de visuales erróneas
• Procedimiento de captación:
– Obtención de los residuos, utilizando coordenadas ajustadas
– Cálculo de la desviación estándar
– Eliminación de visuales cuyo residuo supere:
• En la práctica: Eliminar la que supere la desviación estándar cuando el resultado no es satisfactorio
max 2.5 ˆ al 99% confianzaE
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 74
Resolución incluyendo la incógnita
desorientación
• Se está suponiendo conocida la incógnita
desorientación
• Después del ajuste variará debido al nuevo punto
• Se podría introducir como incógnita en el sistema
• Se conoce su valor aproximado como media con las
lecturas a vértices conocidos, pero no su valor exacto
2
ccP P P P P
A A P A P A A A A
rN E E N N E E N
D
tan P P AA
P A
E E
N N
P P P
A A Acal obsV
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 38
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 75
Resolución incluyendo la incógnita
desorientación
• Introduciendo una corrección a este valor:
• Sustituyendo en la fórmula:
P P
A A AobsL
B
C
B B
A A A
C C
A A A A A A A
L
L
P P P
A A A A AcalV L
2
ccP P P P P P
A P A P A A A A A cal A A A
rV N E E N N E E N L
D
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 76
Resolución incluyendo la incógnita
desorientación
• Se introduce una incógnita más por desorientación
• Se incluyen también las visuales a puntos fijos
• Particularizando en la intersección directa:
– Ecuación de la visual de punto fijo a punto
desconocido
– Ecuación de la visual entre puntos fijos
• Ventaja: se podrían analizar los residuos de estas
visuales
2
ccP P P P
A P A P A cal A A A
rV N E E N L
D
P P
A A A AcalV L
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 39
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 77
Introducción de distancias
• Mejora ostensible de los resultados
• Redundancia en el sistema → Resolución por MM.CC.
• No supone mayor trabajo de campo, excepto la colocación de un prisma receptor en el punto
• Ocasionalmente no es posible por no ser accesible el punto a calcular
• Si las distancias no son grandes, se podrían utilizar instrumentos con medida de distancias sin prisma
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 78
Intersección mixta por MM.CC.
• La intersección directa se convierte en una
intersección mixta
• Dos tipos de ecuaciones de observación:
– De dirección directas
– De distancias
2
ccP P P
A A P A P A cal obs
rV N E E N
D
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 40
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 79
Intersección mixta por MM.CC.
• Forma de la ecuación de distancia:
• Se pretenden obtener las coordenadas ajustadas, no
las distancias
• Relación entre distancias y coordenadas:
• Es no lineal: no puede formar un sistema de
ecuaciones
2 2P
A P A P AD E E N N
Corrección cal obsV D D
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 80
Intersección mixta por MM.CC.
• Linealización por desarrollo en serie de Taylor,
despreciando términos de segundo orden
• Se va a derivar respecto de las dos incógnitas
• Forma general:
• Particularizando:
ny u 1ny n u u
2 2 2 2P A
A P P A P AD D E E N N
2 2 2P A P A P A P AD D E E E E N N N N
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 41
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 81
Intersección mixta por MM.CC.
• Volviendo a la fórmula general:
• Dcal se obtiene de las coordenadas aproximadas de P y
las correspondientes del vértice considerado fijo
• Residuo, términos independientes e incógnitas están
expresados en metros
2 2
2 2
P A P A
P A P A
P P P PP A A A AA P A P A
E E N ND E E N N
D D
E E N ND E E N N
D D D D
A A A
P P cal P obsV D D D
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 82
Intersección mixta por MM.CC.
• Si A es un punto fijo:
• Para que todo el sistema tenga las mismas unidades:
se transforma D en valor angular, multiplicando por
rcc/D:
• Quedando:
1
P A P P A PD E E E N N ND
2
cc
P A P P A P
rD E E E N N N
D
2
cccccal obs
P A P P A P
r D DrV E E E N N N
DD
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 42
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 83
Solución en proyección UTM
• Con observaciones angulares, las coordenadas obtenidas están en el mismo sistema que las de los vértices
• Pero las distancias de observación son distancias geométricas
• Hay que transformarlas en distancias UTM:
– Reducir la distancia geométrica a la superficie de nivel de la estación:
siendo la convergencia de las verticales
– Reducir al elipsoide:
– Reducir a la proyección:
sen senA P
P A
r g r gA PD D V D D V
A
E
r
r
A
D RD
R H
EUTM rD k D
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 84
Los pesos en el cálculo por MM.CC.
• Es habitual considerar unas visuales más fiables que
otras, debido a las diferentes distancias entre los
puntos
• Cada observación debe ir acompañada de un peso
• En las ecuaciones de dirección, los pesos pueden
estimarse en función de las distancias
• Es costumbre establecerlos en razón inversa de σa,
que ya contempla las distancias
• En las ecuaciones de distancia, los pesos son
asignados según el σd que también queda influido por
la distancia medida
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 43
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 85
Los pesos en el cálculo por MM.CC.
• Para ponderar, se puede proceder de dos formas:
– Formación de la matriz de pesos: en la diagonal
principal se situará la varianza de cada
observación y el resto de la matriz será nula
– Ponderar las ecuaciones inversamente
proporcional a su desviación típica
• Ambos procedimientos aportan idénticos resultados,
con la ventaja del segundo sobre el primero de no
tener que manejar tantas matrices
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 86
Los pesos en el cálculo por MM.CC.
• Sistema de ecuaciones de observación sin ponderar
• Sistema de Ecuaciones Normales
• Solución del Sistema
cc m cc ccm
A x L V
21 1
0
tN
T T
mmm
A P A x A P L
2
1
1m mm
x N t
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 44
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 87
Los pesos en el cálculo por MM.CC.
• Sistema de ecuaciones de observación ponderadas
• Sistema de Ecuaciones Normales
• Solución del Sistema
1
1 1 1 1
1
1
m ad adm
A A P
L L P A x L V
V V P
1 1 1 1 0
0
T T
T T
N t
A A x A L
A P P A x A P P L
2
1
1m mm
x N t
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 88
Los pesos en el cálculo por MM.CC.
• Residuos ponderados
(adimensionales). Desviación
típica “a priori” como
referencia
• Residuos peso unidad, en
metros y sin ningún patrón
de referencia
• Desviación típica media “a
posteriori”
• Desviación típica “a
posteriori” de los parámetros
1 1 1
1 m ad adm
A x L V
1 1ˆT
ad
V V
m n
1ˆEN ii
adm m
N
1
1
1 1 1
1mm
ad adm
VA x L V V
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 45
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 89
Los pesos en el cálculo por MM.CC.
• Se entiende el peso como la inversa de la varianza:
• Se distinguirán:
– Ecuaciones de dirección
Distancias largas ▪ Distancias cortas
– Ecuaciones de distancia
Distancias largas ▪ Distancias cortas
– Ecuaciones de dirección y distancia
Distancias largas ▪ Distancias cortas
21P
21 1
aa
P P
ó→
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 90
Pesos en las ecuaciones de dirección
• En este caso, los errores son producidos por errores angulares
• Estos errores obedecen a dos causas:
– El error de dirección σd, muy influyente en visuales cortas
– El error de verticalidad, único a tener en cuenta cuando las
visuales son largas
• Ejemplo: Teodolito de s=100cc y con errores compuestos de
estación y señal de 3 cm:
– Distancia de 500 m:
– Distancia de 5000 m:
3
30 mm38
500 10 391 8.312
cc cc
d cc
acc cc
v
r
s
3
30 mm3.8
5000 10 91 8.312
cc cc
d cc
acc cc
v
r
s
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 46
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 91
Pesos en las ecuaciones de dirección:
Distancias largas
• Es común admitir en distancias largas un σa establecido a priori para todas las observaciones → Todas las visuales tendrán el mismo peso
• Supondría multiplicar a las matrices por un mismo escalar → No modifica los resultados finales
• Otro modo de introducir pesos: Inversamente proporcional al cuadrado de las distancias:
• Pero en la ecuación de dirección, los coeficientes quedan ya muy afectados por las distancias
• Por tanto, puede establecerse:
– Si el σa es el mismo para todas las visuales, resulta inútil introducirlo como peso
– No parece aconsejable introducir pesos en razón de las distancias
21 1P P
DD ó
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 92
Pesos en las ecuaciones de dirección:
Distancias largas
• Ejemplo: El instrumental y la metodología generan una
desviación típica angular igual para todas las visuales σa=5cc
– Visual a 1 D=1000 m
– Visual a 2 D=2000 m
– Visual a 3 D=3000 m
• Se supone i=50g → E N
• Cálculo de los errores para cada visual:
1
1 2
2
2 2
3
3 2
11 1
22 2
33 3
0.0078 m 707 m 450.09D
0.0157 m 1414 m 225.045D
0.0236 m 2121.32 m 150.03D
cc cc
T cc
cc cc
T cc
cc cc
T cc
D EE N r
r
EDE N r
r
D EE N r
r
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 47
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 93
Pesos en las ecuaciones de dirección:
Distancias largas
• Análisis de proporcionalidad de coeficientes:
• Por lo tanto, no es necesario ponderar las ecuaciones,
puesto que ya lo están (siempre y cuando las
desviaciones típicas sean iguales)
1
2
1
3
2
3
2
1
3
1
3
2
0.0078 225.0450.50 0.50
0.0157 450.09
0.0078 150.0300.33 0.33
0.0236 450.09
0.0157 150.030.66 0.66
0.0236 225.045
T
T
T
T
T
T
E
E
E
E
E
E
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 94
Pesos en las ecuaciones de dirección:
Distancias cortas
• En este caso, existirá un σa diferente para cada dirección,
consecuencia del error de dirección:
• Observando las unidades, como antes estaban expresadas en
segundos, al ser divididas por 1/σacc, los nuevos valores son
adimensionales
• Los valores de los residuos también serán adimensionales, así
como la desviación estándar
• Para obtenerlos en segundos:
21 1
aa
P P
ó
1 1adimensional
adimensional
cal obs
cc
V a E P b N P P
VV
P
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 48
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 95
Pesos en las ecuaciones de dirección:
Distancias cortas
• El instrumental y la metodología generan una desviación típica
angular distinta para todas las visuales
• Cálculo de los errores para cada visual:
s
cc
m
m
Sensibilidad 60
0.0055
0.0052.2
55
depende de cada caso30 Aumentos
ecc
v
cc
p
cc
lcc
l
d
1 1 1
2 2 2
3 3 3
T
T
m
m
m
0.00722.28 23.48 0.0074
200
0.00711.14 13.38 0.0084
400
0.0075.57 9.27 0.0116
800
cc cc cc
d T
cc cc cc
d
cc cc cc
d
r
r
r
Visual a 1 m
Visual a 2 400 m
Visual a 3 800 m
200
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 96
Pesos en las ecuaciones de dirección:
Distancias cortas
• Se supone i=50g → E N
2
2
50 3
2
1 1
2 2
3 3
2
2
2
3
2
1 2250.772D
1125.397 Sin PonderarD
562.698D141.420
282.8431 95.859565.6852D 1
84.1103D
D
cc
c
gi
cc
cc
r
r
Eccr
Er
Er
E N
E N ccE rE N
E
E
2
Ponderando
60.701c
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
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MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 97
Pesos en las ecuaciones de dirección:
Distancias cortas
• Análisis de la proporcionalidad de los coeficientes y los
errores transversales:
2
1
1
3
2
1
3
3
2
1
2
2
2
3
2
2250.772250.77 2
D 1125.397
2250.771125.397 4
562.698D1.135 1125.397
562.6980.0074 562.6D
0.0084 1.568
0.0116
1.381
cc
cc
T
ccT
T
T
T
T
T
T
T
Er
Er
Er
m
m
m
1
2
3
1
2
2
2
3
2
298
95.85995.8591.139D
84.1103
95.85984.1103 1.579
60.701D
84.11031.386
60.701 60.701D
cc
cc
cc
E r
E r
E r
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 98
Pesos en las ecuaciones de dirección:
Distancias cortas
• Conclusión: Las observaciones se ponderarán siempre
• Excepción: Cuando sólo existan observaciones
angulares y la desviación típica sea la misma para
todas las visuales, ya que las observaciones resultarán
ponderadas al formularse
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 50
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 99
Pesos en las ecuaciones de distancia
• Existen dos factores dominantes en la medida de distancias:
– El parámetro fijo amm del distanciómetro que es constante y
en distancias cortas dominante
– El término bppm del distanciómetro que a largas distancias
presenta un factor de proporcionalidad dominante
• Por ejemplo, un distanciómetro de 5 mm 5 ppm:
– Poligonal o red de 500 m de lado:
– Poligonal o red de 5000 m de lado:
2.5 mm8 mm
5 5 0.5 7.5 mm
j
d
i kma b D
2.5 mm30 mm
5 5 5 30 mm
j
d
i kma b D
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 100
Pesos en las ecuaciones de distancia:
Distancias largas
• y estableciendo el valor del peso como:
• Ejemplo a dos distancias diferentes:
– Ecuaciones expresadas en segundos:
– Ecuaciones expresadas en metros:
21 1
dd
P P
ó
1 1 cal obsP P
d d d
D DE NV E N
D D
2
2
5001000 m 1 318.31
1000
1 1000 12000 m 79.57
2 22000
cc cc
P
cc cc
P
r E rD V E E E
D D
r E rD V E E E
D D
5001000 m 1 0.5
1000
1 1000 12000 m 0.25
2 2000 2
P
P
ED V E E E
D
ED V E E E
D
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 51
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 101
Pesos en las ecuaciones de distancia:
Distancias largas
• Se observa que en las ecuaciones con distancias largas
expresadas en segundos quedan muy afectadas en sus
coeficientes
• En este caso, la fuerza de la segunda ecuación dentro de la
matriz A será la cuarta parte que la primera ecuación, cuando
presenta la misma dirección
• De no haber dado peso, la relación entre las dos hubiera sido de
un medio, lo que resulta lógico ya que una distancia es el doble
de la otra
• Se deduce una conclusión muy importante:
– Si las ecuaciones son originales, deben introducirse pesos
– Si las ecuaciones se expresan en segundos, no deben
introducirse pesos
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 102
Pesos en las ecuaciones de distancia:
Distancias cortas
• En este caso, el σd es igual para cualquier medida y la introducción de
pesos también puede hacerse de dos modos diferentes en función de las
unidades que se deseen obtener:
– Planteamiento de la ecuación en metros:
– Planteamiento de la ecuación en segundos:
• Si el peso es igual para todas las observaciones, resulta inútil
introducirlo
500 m 500 m 8 mmdE D
1 500 1125 adimensional
500 0.008P
d
EV E E E
D
2
1cc
P cc
d
r EV E
D
cc ccd
d rD
2
500 1125
500
cc
P cc
dd
r E DV E E E
D r
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 52
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 103
Pesos en las ecuaciones de dirección y
distancia
• Cuando las ecuaciones estén entremezcladas, existirá
mayor precisión en unas que en otras
• Se podría establecer una relación de proporcionalidad
entre ellas
• Dando peso unidad a las ecuaciones de dirección:
• El peso de la ecuación de distancia será:
1 cc cc cc
a aa
KP K P
cc
ccdd
KP
cc ccdd r
D
adimensional
cc cca a
d ccccd d
P DP
rrD
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 104
Pesos en las ecuaciones de dirección y
distancia
• Suponiendo que se observa una dirección con 6.36cc
de σa y que la distancia es de 1000 m. Si esta
distancia se mide con MED cuyo error sea de 5 mm
5 ppm, traduciendo ese σd en σa se tiene:
luego, las observaciones tienen el mismo peso
• Si el peso en la medida de ángulos es la unidad, el de
la medida de distancias será:
3
10 mm6.36
1000 10 mm
cc cc cc
d r
66.36 101
10 mm
cc cc
ad cc cc
d
DP
r r
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 53
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 105
Pesos en las ecuaciones de dirección y
distancia
• Otro modo de asignar pesos, es transformando las ecuaciones en
adimensionales:
– Ecuaciones de dirección:
– Ecuaciones de distancia:
• Aplicando el ejemplo anterior, para E=500 m, se tienen las dos
ecuaciones:
2adimensional
cc
Pcc
a
E rV E
D
1adimensionalP
d
EV E
D
2
50050.0487
1000 6.36
cc
cc
rV E E
500 150
1000 0.01V E E
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 106
Pesos en las ecuaciones de dirección y
distancia
• Conclusión:
– En largas distancias, si las ecuaciones se
expresan en segundos y presentan precisiones
parecidas no sirve de nada introducir pesos
– Cuando se contemplan conjuntamente ecuaciones
de dirección y de distancia y se quieren introducir
pesos, es más cómodo plantear las mismas en
modo adimensional
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 54
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 107
Determinación de residuos y precisiones
• Si las ecuaciones están en segundos, los residuos y la
desviación típica también estarán en segundos
• Si se tienen ecuaciones adimensionales, al haber
introducido pesos en las ecuaciones, los residuos y la
desviación típica estarán afectados por éstos y
resultarán en modo adimensional
• Es costumbre expresar los residuos con peso unidad,
es decir, sin aplicar pesos
• Los residuos tendrán unas unidades u otras según el
tipo de ecuación:
– segundos en las de dirección
– metros en las de distancia
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 108
Determinación de residuos y precisiones
• La desviación estándar está en modo adimensional
para que esas precisiones aparezcan en metros
2
1
1
2
1 2
1dirección
Matriz 1
distancia
Matriz mismas unidades
Matriz
Matriz
cc
cc
a
d
T
T
E r
DA m
E
D
A m
N A A m
N m
1 1
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