tema 1 canales en comunicaciones digitales
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Tema 1Canales en comunicaciones digitales
Dr. José Ramón CerquidesTeoría de la Señal y Comunicaciones
Universidad de Sevilla
Transmisión Digital
Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 2
Organización• Introducción. Diagrama de bloques de un sistema de
transmisión digital • Elementos de un sistema de transmisión digital
• Fuente, codificador, modulador, canal, ruido, demodulador, detector, decodificador y destino
• Canal digital equivalente• Definición y modelado• Obtención de los parámetros del canal digital equivalente• Parámetros importantes de una transmisión
• Canal discreto equivalente• Definición y modelo• Obtención del canal discreto equivalente
• Canal binario equivalente• Definición y modelo• Obtención del canal binario equivalente
• Conclusiones• Referencias
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Diagrama de bloques
FUENTECODIFICADOR
MODULADOR
CANAL
DESTINODECODI
FICADORDETEC
TORDEMODULADOR
Mensajeemitido
m[l](secuenciabinaria)
Símbolos emitidos
s[n](secuencia
digital)
Señalemitida
s(t)(señal
analógica)
Señal a la salida del
canal
c(t)(señal
analógica)
Ruido
v(t)(señal analógica)
Señalrecibida
x(t)(señal
analógica)
Símbolos recibidos
r[n](secuencia discreta)
Símbolos estimados
s’[n](secuencia
digital)
Mensajerecibido
m’[l](secuenciabinaria)
CANAL DIGITAL EQUIVALENTECANAL DISCRETO EQUIVALENTE
CANAL BINARIO EQUIVALENTE
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• Genera el mensaje binario m[l] a transmitir.• Puede proceder de una fuente analógica
• La velocidad de transmisión, también denominada flujo binario o régimen binario es Rb (bits/segundo).
• Tb = 1/Rb es la duración de un bit o período de bit.
• La codificación de fuente queda fuera de los objetivos de la asignatura.
Fuente
Fuenteanalógica
Codificadorde fuente(opcional) m(t)
Mensaje analógico
(señal analógica)
Mensajebinario sin codificar
Mensaje binario
codificado
m[l]
Conversor A/D
Nb fs
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Ejemplos de fuentes• Telefonía
• Señal analógica de voz• Banda de 300 a 3400 Hz• Muestreo a 8 bits y 8000 Hz Rb = 64 Kb/s
• Telefonía móvil• Señal analógica de voz• Banda de 300 a 3400 Hz• Muestreo a 8 bits y 8000 Hz 64 Kb/s• Codificación de fuente a Rb de 13 Kb/s
• CD-Audio (1x)• Señal digital a 44100·16·2 = 176 KB/s
• Música MP3 (MPEG II Layer 3)• Señal analógica de audio• Muestreo a 44100 Hz, stereo, 16 bits/muestra (como
CD)• Codificación de fuente a Rb = 32, 64, 128, 256, 384 …
Kbps
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Ejemplo de codificación de fuente• Supongamos que la fuente quiere transmitir el
carácter ‘N’.• Es necesario decidir qué código se va a
utilizar.• Se decide utilizar el código ASCII extendido (8
bits por caracter).• Dicho carácter toma el valor 78 (en decimal)• Codificado con 8 bits resulta ser 01001110• De ese modo,
m[l] = 0,1,0,0,1,1,1,0 sería el mensaje a transmitir.
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Codificador• Genera la secuencia de símbolos s[n] a
transmitir, que representan la información contenida en el mensaje m[l].
• Pueden añadirse códigos de privacidad, protección y/o corrección de errores a la secuencia original (fuera de este tema).
• La velocidad de salida de los símbolos es Rs y se denomina velocidad de señalización (en símbolos/s o baudios).
• Ts = 1/Rs = período de símbolo o duración de un símbolo (segundos).
• La relación Rb/Rs = Ts/Tb = ?bits por símbolo
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Ejemplo: Un codificador sencillo• Un ejemplo sencillo podría ser el que mapea
la secuencia de bits en símbolos de la forma siguiente:
• El mensaje m[l] del ejemplo anteriorm[l] = 0,1,0,0,1,1,1,0
se convertiría en la secuencia de símbolos s[n] = [-1,1,-1,-1,1,1,1,-1].
• En este caso Ts = Tb y por tanto Rs y Rb coincidirán.
Bit Símbolo
0 -1
1 1
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Equivalentes paso bajo• Supondremos siempre que utilizamos
equivalentes paso bajo de los sistemas reales de comunicación.
• Debemos considerar la posibilidad de símbolos complejos,
s[n] = si[n] + jsq[n]
donde si[n] y sq[n] denotan respectivamente las componentes fase y cuadratura del símbolo s[n].
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EJEMPLO: Un codificador de 2 bits/símbolo.• Si realizamos el mapa siguiente:
la secuencia original de bits m[l] = 0,1,0,0,1,1,1,0 resultaría en una secuencia de símbolos
s[n] = j,1,-j,-1• Cada símbolo lleva información de 2 bits
Ts = 2Tb Rs = Rb/2
Bits Símbolo
00 1
01 j
10 -1
11 -j
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Constelación transmitida• Si marcamos sobre un
plano complejo los posibles valores de los símbolos transmitidos, obtendremos la constelación de la señal transmitida.
Re
Im
1 -1
1 0
Re
Im
1 -1
j
-j
00
01
10
11
Re
Im
00 01
10 11
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Ejemplo: 128 - QAM
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• Supongamos que, debido a un error, se recibiese la secuencia de símbolos
s’[n] = j,1,1*,-1 (el * indica el símbolo erróneo)
• El mensaje decodificado sería01000010
66 ‘B’
• Obsérvese que entre el mensaje binario original y el decodificado hay dos bits de diferencia. Original: 0 1 0 0 1 1 1 0
Decodificado: 0 1 0 0 0 0 1 0
Un error !!!!
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Códigos de Gray• Cuando se produce un error, se suele
confundir el símbolo con uno de los más próximos
• Parece lógico, que los bits asociados a símbolos más próximos se parezcan más entre sí, de modo que, al producirse un error en un símbolo este repercuta en el menor número de bits posibles.
• Esto es lo que persigue la codificación Gray.
Re
Im
1 -1
j
-j
00
01
10
11
Re
Im
1 -1
j
-j
00
01
11
10
Código no Gray Código Gray
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EJEMPLO: Codificador alternativo (Gray)
Re
Im
1 -1
j
-j
00
01
11
10
• Si hubiesemos utilizado el codificador:
Mensaje: 01001110 Codificada: j,1,-1,-j.Recibida: j,1,-j*,-j Decodificado: 01001010 74
‘J’. • Entre el mensaje binario original y el
decodificado habría ahora únicamente un bit de diferencia.Original: 01001110Decodificado: 01001010
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Ejemplo: 256 QAM (Gray) (un cuadrante)
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Modulador• Elemento encargado de convertir la secuencia de
símbolos presentes a la salida del codificador en una señal analógica s(t) que pueda ser transmitida a través del canal de comunicaciones.
• Tecnológicamente se despliegan en este punto un enorme número de posibilidades dependiendo de las características que se pretendan obtener del sistema de comunicaciones.
• Iremos revisando algunas de los diferentes técnicas de modulación utilizadas habitualmente.
• A la salida del modulador encontraremos una señal analógica s(t) que debe contener la información necesaria para la correcta transmisión del mensaje.
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Ejemplo de modulador• Se podría construir una
señal analógica s(t) asignando formas de onda diferentes a los diferentes símbolos.
• Podríamos transmitirp1(t) cuando s[n] = s0 = 1
p-1(t) cuando s[n] = s1 = –1
• La señal que transmitiríamos sería:
0 ½Ts Ts t
p1(t)
1
0 ½Ts Ts t
p-1(t)
1
0 Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Ts 6Ts 7Ts 8Ts t
s(t)
1
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Moduladores sin memoria• Aunque existen moduladores “con memoria”
(la señal transmitida en cada instante depende de la señal actual y de señales anteriores), para estudiar las principales características de un sistema de transmisión digital podemos suponer que nuestro sistema utiliza un modulador “sin memoria”:
• Un modelo habitual de modulador que puede servir para describir un buen número de modulaciones viene dado por la expresión:
• Dependiendo de ps(t), el esquema anterior puede dar lugar a diferentes modulaciones.
ss kk
s t p t kT
s sk
s t s k p t kT
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EJEMPLO: Un modulador en I-Q• Partiendo de la secuencia s[n] = j,1,-1,-j si
utilizamos un modulador que genere a la salida
con ps(t) = u(t)-u(t-Ts).
• Las señales generadas en los canales en fase y en cuadratura serán:
s sk
s t s k p t kT
0 Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Ts
t
si(t) 1
0 Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Ts
t
sq(t) 1
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EJEMPLO: Un modulador I-Q (2)• La señal que realmente se emitirá será
ŝ(t) = Re{s(t)·ej2f0t}
i q 0 0s t Re s t js t cos 2 f t jsen 2 f t i 0 q 0s t s t cos 2 f t s t sen 2 f t
0 Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Ts
t
1 si(t)cos(2πf0t)
0 Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Ts
t 1
-sq(t)sin(2πf0t)
0 Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Ts
t
1 si(t)cos(2πf0t)- sq(t)sin(2πf0t)
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EJEMPLO: Un modulador I-Q (y 3)f0 = 10 Hz
f0 = 500 Hz
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EJEMPLO: Modulador con pulso de Nyquist• Si el pulso ps(t) es un pulso de Nyquist:
y se utiliza un modulador lineal binario con símbolos de entrada ±1, la señal de salida será:
0 Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Ts
t
1
pt(t)
-1 1 -1 -1 1 1 1 -1
s(t)
1
0 Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Ts 6Ts 7Ts 8Ts 9Ts 10Ts 11Ts 12Ts 13Ts 14Ts t
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Canal• El canal es el medio utilizado para transportar
la señal desde el transmisor hasta el receptor. • Puede ser un medio físico: hilos conductores,
fibra óptica, guía de ondas..., o bien puede estar constituido por la atmósfera o el espacio, como en los radioenlaces terrenales por microondas, en las comunicaciones vía satélite o en la telefonía móvil.
• Describiremos el canal analógico mediante su respuesta impulsional hc(t) o equivalentemente mediante su función de transferencia Hc(f).
• A la salida del mismo nos encontraremos con una señal c(t) dada por:
c(t) = s(t)*hc(t) C(f) = S(f)·Hc(f)
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Ejemplos de canales• Canal ideal
• Un canal ideal, que no presentara retraso ni atenuación, entregaría a la salida una señal c(t) idéntica a la señal s(t) que se hubiera presentado a su entrada.
• Su respuesta impulsional hc(t) se representaría como una delta,
hc(t) = δ(t)
• Retardo y atenuación• Para modelar un canal con retardo y atenuación
utilizaríamos una expresión para su respuesta impulsional como la siguiente:
hc(t) = α•δ(t-td)siendo α la atenuación del canal y el parámetro td el retraso del mismo.
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Ruido• Uno de los problemas inevitables de cualquier
sistema de comunicación es la presencia de ruido.
• En nuestros modelos introduciremos el ruido como una señal v(t), descrita en términos estadísticos y que se añade a la señal de salida del canal, para obtener la señal de entrada a los circuitos del demodulador:
x(t) = c(t) + v(t)• Debemos interpretar este ruido como un “ruido
equivalente”. • Será necesaria una caracterización estadística
doble:• Función densidad de probabilidad (usualmente Gauss)• Densidad espectral de potencia (usualmente plana)
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EJEMPLO: Descripción del ruido• Ruido blanco
• Si decimos que v(t) es un ruido blanco esto significa que su densidad espectral de potencia es plana (igual a todas las frecuencias):
Svv(f) = v2
• Dado que la autocorrelación y la densidad espectral de potencia forman un par transformado:
rvv() = E{v(t)v*(t-)} = v2()
• Ruido gaussiano• Si decimos que v(t) es un ruido gaussiano de media
cero estamos imponiendo una f.d.p. a las muestras del ruido:
2
2v
v
2v(t )
v
1f v e
2
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Ejemplos de ruido (diferentes p.d.f.’s)
Gauss Rayleigh
Rice Uniforme
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Ejemplos de ruido (gauss) (diferentes colores)
Ruidoblanco
Ruidorosa
Ruidomarrón
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Demodulador• El demodulador es el elemento encargado de
interpretar la señal recibida, extrayendo de la misma los símbolos que fueron inyectados en el modulador.
• El demodulador es probablemente el elemento más complejo de todo el sistema de transmisión, ya que normalmente necesita la incorporación de circuitos auxiliares de sincronismo, ecualización, muestreo...
• En cualquier caso, a la salida del demodulador nos encontraremos con una secuencia discreta de símbolos que denominaremos r[n], secuencia que será entregada al detector para su interpretación.
• Nos centraremos en la demodulación mediante filtro adaptado, por ser óptimos para modulaciones lineales sin memoria.
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EJEMPLO: Demodulador con filtro adaptado• En modulaciones lineales sin memoria, la
estructura de un demodulador óptimo es la siguiente:
donde la expresión del filtro adaptado es:
FILTRO
ADAPTADO
Señal recibida
x(t) (señal
analógica)
DEMODULADOR
Símbolos recibidos
r[n] (secuencia discreta)
Señal salida
r(t) (señal
analógica)
0j2 ft* *s c
rvv
P f H f eH f k
S f
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EJEMPLO: Demodulador y constelación• Las muestras tomadas a la salida del
demodulador constituyen la constelación de la señal recibida.
Recepcióncorrecta
Excesode ruido
Error de faseen sincronismo
de portadora
Error defrecuencia ensincronismode portadora
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Detector• El detector o decisor es elemento encargado de
interpretar la secuencia de símbolos r[n] presente a la salida del demodulador con el objetivo de determinar la secuencia de símbolos original transmitida s[n].
• A la salida del detector encontraremos una secuencia de símbolos s’[n], donde la tilde indica “estimados” o lo que es lo mismo, que pueden ser erróneos.
• Probablemente el parámetro de calidad más importante de un sistema de transmisión digital es precisamente el porcentaje de símbolos erróneos que se recibe, parámetro que suele expresarse como una probabilidad y que se denomina Probabilidad de Error de Símbolo.
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Decodificador• El objetivo del decodificador es analizar s’[n]
para determinar el mensaje original. Si en el codificador se han introducido códigos de protección y corrección de errores, el decodificador deberá ser capaz de procesar adecuadamente dicha información.
• A la salida encontraremos en cualquier caso un mensaje “estimado” m’[l], formado por una secuencia de bits.
• Otro de los parámetros de interés en un sistema digital de comunicaciones es la Probabilidad de Error de Bit, que no tiene porqué coincidir con la Probabilidad de Error de Símbolo anteriormente descrita.
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Canal digital equivalente
FUENTE
CODIFI-CADOR
MODU-LADOR
CANAL
DEMODU-LADOR
DETECTOR
DESTINO
Mensaje transmitido
m[l] (secuencia
digital)
Símbolos transmitidos
s’[n] (secuencia
digital)
Señal transmitida
s(t) (señal
analógica)
Ruido
v(t) (señal
analógica)
Señal recibida
x(t) (señal
analógica)
Símbolos recibidos
r[n] (secuencia discreta)
Mensaje recibido
m’[l] (secuencia
digital)
Señal de salida del canal
c(t) (señal
analógica)
Símbolos estimados DECODIFI-
CADOR
s[n] (secuencia
digital)
CANAL DIGITAL
EQUIVALENTE
CANAL DISCRETO
EQUIVALENTE
CANAL BINARIO
EQUIVALENTE
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Canal digital equivalente
FUENTECODIFICADOR
MODULADOR
CANAL
DESTINODECODI
FICADORDETEC
TORDEMODULADOR
Mensajeemitido
m[l](secuenciabinaria)
Símbolos emitidos
s[n](secuencia
digital)
Señalemitida
s(t)(señal
analógica)
Señal a la salida del
canal
c(t)(señal
analógica)
Ruido
v(t)(señal analógica)
Señalrecibida
x(t)(señal
analógica)
Símbolos recibidos
r[n](secuencia discreta)
Símbolos estimados
s’[n](secuencia
digital)
Mensajerecibido
m’[l](secuenciabinaria)
CANAL DIGITAL EQUIVALENTE
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Canal digital equivalente• Si observamos el esquema de un sistema
digital de comunicaciones, podemos ver que a la entrada del modulador tenemos una secuencia discreta s[n], y a la salida del demodulador nos encontramos con una nueva secuencia discreta r[n].
• Podemos suponer que la cadena “modulador – canal – ruido – demodulador” se comporta de manera equivalente a un canal discreto. CANAL
DIGITAL hd[n]
s[n]
Secuencia de símbolos de
entrada
r[n]
Secuencia de símbolos de
salida
w[n] Ruido discreto
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Canal digital equivalente• El modelo resultaría por tanto:
r[n] = s[n]*hd[n] + w[n]
donde:• hd[n] es la respuesta impulsional del canal digital
equivalente.• w[n] es el ruido discreto equivalente.
• Para tener perfectamente caracterizado el canal digital equivalente necesitamos determinar:• La respuesta impulsional hd[n]
• Las características de w[n] • Función densidad de probabilidad • Densidad espectral de potencia
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Obtención del canal digital equivalente
MODU-LADOR
CANAL
DEMODULADOR
Símbolos transmitidos
Señal transmitida
s(t) (señal
analógica)
Ruido
v(t) (señal
analógica) Señal recibida
x(t) (señal
analógica)
Símbolos recibidos
r[n] (secuencia discreta)
Señal de salida del canal
c(t) (señal
analógica)
s[n] (secuencia
digital)
CANAL DIGITAL
EQUIVALENTE
FILTRO ADAPTADO
r(t) (señal
analógica)
Señal filtrada
CANAL DIGITAL
hd[n]
s[n]
Secuencia de símbolos de
entrada
r[n]
Secuencia de símbolos de
salida
w[n] Ruido discreto
¿hd[n]?¿w[n]?
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Obtención de hd[n]• Utilizaremos superposición:
• Haciendo v(t) = 0 w[n] = 0 obtendremos hd[n]
• Del modelo digital • Del modelo analógico
r[n] = r(nTs+t0)
t0 Instante óptimo de muestreo de r(t)
• Para obtener t0 será necesario determinar que instante elegirán (o debieran elegir) los circuitos de sincronismo.
• El objetivo es tomar la muestra en el instante en que la probabilidad de error de símbolo sea menor.
d dm
r n s n *h n s m h n m
00 e,st
t arg min P
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Obtención de t0
• Obtendremos primero una expresión de r(t)r(t) = x(t) * hr(t) = c(t) * hr(t)
• Utilizando las siguientes definiciones:pc(t) = ps(t)*hc(t) = Pulso a la salida del canal (recibido).pr(t) = pc(t)*hr(t) = Pulso a la salida del filtro de recepción. s s c r
m
r t s m p t mT *h t *h t
s s c rm
r t s m p t mT *h t *h t
r sm
r t s m p t mT
v(t) = 0
c rr t s t *h t *h t
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Obtención de t0
• En general, los circuitos de sincronismo deben elegir t0 para que la probabilidad de error de símbolo sea mínima.
• En la práctica se utilizan diferentes técnicas de sincronización, con diferentes resultados (véase cap. 6 “Digital Communications”).
• A fin de simplificar el procedimiento y dado que las técnicas de sincronismo de símbolo quedan fuera de los objetivos de este tema, supondremos que los circuitos de sincronismo se “enganchan” al punto máximo del pulso recibido (esta no es la solución óptima, pero puede constituir una buena aproximación).
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Ilustración obtención de t0
t
pr(t)
Máximo
Valor de t para el que se produce = t0
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EJEMPLO: Determinación de t0
• Parámetros del sistema:• Pulso transmitido ps(t) =A·(u(t)-u(t-Ts)) =
Π((t-Ts/2)/Ts)
• Canal ideal hc(t) = δ(t)
• Filtro receptor hr(t) = kps(Ts-t) = kA·(u(t)-u(t-Ts))
pc(t) = ps(t) * hc(t) = ps(t)
pr(t) = pc(t) * hr(t) = kA2Ts·Λ((t-Ts)/2Ts)
0 Ts 2Ts
t
pr(t) kA2Ts
0 Ts t
ps(t) A
0 t
hc(t)
1
0 Ts t
hr(t)
kA
Valormáximo
t0 = Ts
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EJEMPLO: Determinación de t0
• Parámetros del sistema:• Pulso transmitido ps(t) =A·(u(t)-u(t-Ts)) =
Π((t-Ts/2)/Ts)
• Canal con retraso y atenuación hc(t) = αδ(t-td)
• Filtro receptor hr(t) = kps(Ts-t) = kA·(u(t)-u(t-Ts))
pc(t) = ps(t) * hc(t) = αps(t-td)
pr(t) = pc(t) * hr(t) = kαA2Ts·Λ((t-td-Ts)/2Ts)
0 td td+Ts td+2Ts t
pr(t) kαA2Ts
0 Ts t
ps(t) A
0 td t
hc(t)
α
0 Ts t
hr(t)
kA
Valormáximo
t0 = td+Ts
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Obtención de hd[n] (continuación)• Del modelo analógico
r[n] = r(nTs+t0)
r(t) = x(t) * hr(t) = c(t) * hr(t)
r(t) = s(t) * hc(t) * hr(t)
v(t) = 0
c r t s c rm
r t s t *h t *h t s m p t mT *h t *h t
t s c rm
r t s m p t mT *h t *h t
r sm
r t s m p t mT
s 0 r s 0 sm
r n r nT t s m p nT t mT
r s 0
m
r n s m p n m T t
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Obtención de hd[n] (y 3)• Del modelo analógico
• Del modelo digital
• Conclusión:
r s 0m
r n s m p n m T t
d dm
r n s n *h n s m h n m
d r s 0h n m p n m T t
d r s 0h n p nT t
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Obtención de hd[n]. Interpretación
d r s 0h n p nT t
t
hd[n]
-4 -3 -2 -1 0 1
t
pr(t)
t0-4Ts t0-3Ts t0-2Ts t0-Ts t0 t0+Ts
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EJEMPLO. Obtención de hd[n]• Parámetros del sistema
• Pulso transmitido ps(t) =A·(u(t)-u(t-Ts)) = AΠ((t-Ts/2)/Ts)
• Canal ideal hc(t) = δ(t)
• Filtro receptor hr(t) = kps(Ts-t) = kA·(u(t)-u(t-Ts))
• Nótese que si el canal hubiese tenido retraso y atenuación hc(t) = αδ(t-td)
0 Ts 2Ts
t
pr(t) kA2Ts
-1 0 1 n
hd[n]
kA2Ts
0 td td+Ts td+2Ts t
pr(t) kαA2Ts
-1 0 1 n
hd[n]
kαA2Ts
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Intrepretación de hd[n]• Partiendo ya del canal digital equivalente:
es posible notar que:• hd[0] ≠ 0 por definición (o no hay transmisión)
• si hd[n] ≠ kδ[n] Hay ISI en el sistema Ecualizador
• EJEMPLO:s[n] = [-1,1,-1,-1,1,1,1,-1]hd[n] = δ[n] + 0.3 δ[n-1]
r[n] = [-1,0.7,-0.7,-1.3,0.7,1.3,1.3,-0.7,0.3]• NOTA: Aunque en este caso la ISI por si sola no es
suficiente para provocar un error de transmisión, ESTARíA DEBILITANDO LA SEÑAL FRENTE AL RUIDO.
d dm
r n s n *h n s m h n m
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Caracterización del ruido• La relación entre v(t) y w[n] viene dada por:
w[n] = w(nTs+ t0)
donde
• Función densidad de probabilidad:v(t) Gauss de media 0 w[n] Gauss de media 0
r rw(t) v t *h t h v t d
2
2v
v
2v t
v
1f v e
2
2
2w
w
2w n
w
1f w e
2
Dr. J.R. Cerquides Universidad de Sevilla 53
Caracterización del ruido• Obtención densidad espectral de potencia de
w[n]v(t) Densidad espectral de potencia Svv(f)
v(t) Función de autocorrelación rvv(τ)
rvv(τ) = E{v(t)v*(t-)} = F-1{Svv(f)}
w[n] Densidad espectral de potencia Sww(F)
w[n] Función de autocorrelación rww[m]
rww[m] = E{w[n]w*[n-m]} = F-1{Sww(F)}
• Sustituyendo w[n] = w(nTs+ t0)
rww[m] = E{w(nTs+to)w*((n-m)Ts+t0]} = rww(mTs)
• Utilizando los resultados ya conocidos de ruido a través de sistemas lineales:
rww(t) = rvv(t) * rhrhr(t) = rvv(t) * hr(t) * hr*(-t)
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EJEMPLO. Caracterización del ruido• En el ejemplo que venimos siguiendo
hr(t) = kA(u(t)-u(t-Ts))
rhrhr(τ) = k2A2Ts·Λ(t/2Ts)
• Si el ruido v(t) es blancorvv(τ) = σv
2δ(τ)
rww(τ) = σv2k2A2Ts·Λ(t/2Ts)
• La autocorrelación del ruido digital serárww[m] = rww(mTs)
rww[m] = σv2k2A2Ts·δ[m]
-Ts 0 Ts t
rhrhr(τ) k2A2Ts
-Ts 0 Ts t
rww(τ) σv
2k2A2Ts
-1 0 1 n
rww[m]
σv2k2A2Ts
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Caracterización del ruido. Relaciones• Potencia de ruido
σw2 = Potencia de ruido = rww[0]
rww[0] = rww(0) = rvv(τ)*rhrhr(τ)|τ=0
• Si el ruido v(t) es blanco rvv(τ) = σv2δ(τ)
pero rhrhr(0) es, precisamente, la energía del filtro receptor.
• CONCLUSIÓN: En caso de ruido blanco la potencia de ruido en el modelo digital simplemente se incrementa en la energía del filtro de recepción.
• CONCLUSIÓN: Si la “k” del filtro de recepción se elige de forma que la energía sea 1, se simplifica la formulación.
r rww h h vvr 0 r u r u du
r r r r
2 2 2w ww h h v v h hr 0 r u u du r 0
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EJEMPLO. Normalización del filtro receptor• En el ejemplo que venimos siguiendo
hr(t) = kA(u(t)-u(t-Ts))
rhrhr(τ) = k2A2Ts·Λ(t/2Ts)
rhrhr(0) = k2A2Ts
Si queremos normalizar rhrhr(0) = k2A2Ts = 1
• Si el ruido v(t) es blancorvv(τ) = σv
2δ(τ)
rww(τ) = σv2Λ(t/2Ts)
• La autocorrelación del ruido digital serárww[m] = rww(mTs)
rww[m] = σv2δ[m]
s
1k
A T
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EJEMPLO. Normalización del filtro receptor• Otra consecuencia de la normalización del filtro
receptor es que afecta a la amplitud de hd[n].
• En el ejemplo que hemos venido desarrollando• Pulso transmitido ps(t) =A·(u(t)-u(t-Ts)) =
AΠ((t-Ts/2)/Ts)
• Canal ideal hc(t) = δ(t)
• Filtro receptor hr(t) = kps(Ts-t) = 1/√Ts·(u(t)-u(t-Ts))
• CONCLUSIÓN: Al normalizar el filtro receptor y si no hay ISI hd[n] = √Epδ[n]
• CONCLUSIÓN: A partir de ahora tomaremos siempre el filtro receptor normalizado.
0 Ts 2Ts
t
pr(t)
sA T
-1 0 1 n
hd[n] sA T
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Parámetros importantes de una transmisión• Energía del pulso y energía media por símbolo
• Se calculan a la entrada del receptor, es decir, sobre c(t)
• Densidad espectral de ruido (supuesto blanco)• Se calcula a la entrada del receptor, es decir, sobre
v(t), pero teniendo en cuenta toda la cadena de recepción
σv2 = σw
2 = N0/2 = kT0F/2
• Por eso la potencia de ruido disponible en un equipo de comunicaciones es siempre
Pn = kT0FB
2
p cE p t
J 1 J 12 2
s j j p j pj 0 j 0
Equiprobables
1E p s s E s E
J
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El canal discreto equivalente
FUENTE
CODIFI-CADOR
MODU-LADOR
CANAL
DEMODU-LADOR
DETECTOR
DESTINO
Mensaje transmitido
m[l] (secuencia
digital)
Símbolos transmitidos
s’[n] (secuencia
digital)
Señal transmitida
s(t) (señal
analógica)
Ruido
v(t) (señal
analógica)
Señal recibida
x(t) (señal
analógica)
Símbolos recibidos
r[n] (secuencia discreta)
Mensaje recibido
m’[l] (secuencia
digital)
Señal de salida del canal
c(t) (señal
analógica)
Símbolos estimados DECODIFI-
CADOR
s[n] (secuencia
digital)
CANAL DIGITAL
EQUIVALENTE
CANAL DISCRETO
EQUIVALENTE
CANAL BINARIO
EQUIVALENTE
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El canal discreto equivalente (sin memoria)• Observando el esquema podemos ver que a la
entrada del modulador tenemos una secuencia de símbolos s[n]= {s0…sJ-1}, y a la salida del detector nos encontramos con una nueva secuencia discreta s’[n] con otros valores posibles {r0…rK-1}.
• ¿Cómo modelaría el sistema un observador que estuviera analizando ambas secuencias?
CANAL DISCRETO
EQUIVALENTE
s[n]
Secuencia de símbolos de
entrada
s’[n]
Secuencia de símbolos de
salida
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Canal discreto equivalente• El modelo que utilizaremos para representarlo
será una matriz de probabilidades de transición:
• NOTAS• Se utilizará rk en lugar de s’
k por claridad.
• No confudir los símbolos rk detectados con la secuencia r[n] a la entrada del detector.
• Obsérvese que la suma de cualquier fila es 1p(r0|sj) + p(r1|sk) + … + p(rJ-1|sk) = 1 (p. total)
0 0 1 0 K 1 0
0 1 1 1 K 1 1
0 J 1 1 J 1 K 1 J 1
p r | s p r | s p r | s
p r | s p r | s p r | s
p r | s p r | s p r | s
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Canal discreto equivalente• En ocasiones, cuando J x K = número total de
combinaciones es bajo, puede representarse la matriz anterior en forma gráfica:
p(r0|s0)
p(r1|s0) p(r2|s0)
s0
s1
s2
s3
r0
r1
r2
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Obtención del canal discreto equivalente• Para tener perfectamente especificado el
canal discreto equivalente necesitamos determinar la matriz anterior.
• Para ello partiremos del canal digital equivalente y obtendremos cada una de las probabilidades.
• EJEMPLO:• Pulso transmitido ps(t) =AΠ((t-Ts/2)/Ts)
• Canal ideal hc(t) = δ(t)
• Filtro receptor normalizado hr(t) = 1/√Ts·Π((t-Ts/2)/Ts)
• Ruido blanco
• Potencia de ruido σv2 = N0/2 = kT0F/2
• Codificador binario s[n] = {s0,s1} = {-1,1}
• Detector s’[n]=signo(r[n])
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Obtención del canal discreto equivalente• Canal digital equivalente
• hd[n] = √Epδ[n]
• w[n] blanco de potencia σw2 = N0/2
• Determinación de p(r0|s0) y p(r1|s0)• Señal recibida si se transmite s0
r|s0 = -√Ep + w
• Función densidad de probabilidad de la señal recibida
2 2p p
2w 0
0
r E r E
2 Nr|s
w 0
1 1f r e e
2 N
0
0p p
0 0 0 r|s0 0
E 2E1p r | s p r | s 0 f r dr 1 erfc 1 Q
2 N N
p p1 0 0 0
0 0
E 2E1p r | s 1 p r | s erfc Q
2 N N
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El canal binario equivalente
FUENTE
CODIFI-CADOR
MODU-LADOR
CANAL
DEMODU-LADOR
DETECTOR
DESTINO
Mensaje transmitido
m[l] (secuencia
digital)
Símbolos transmitidos
s’[l] (secuencia
digital)
Señal transmitida
s(t) (señal
analógica)
Ruido
v(t) (señal
analógica)
Señal recibida
x(t) (señal
analógica)
Símbolos recibidos
r[n] (secuencia discreta)
Mensaje recibido
m’[l] (secuencia
digital)
Señal de salida del canal
c(t) (señal
analógica)
Símbolos estimados DECODIFI-
CADOR
s[n] (secuencia
digital)
CANAL DIGITAL
EQUIVALENTE
CANAL DISCRETO
EQUIVALENTE
CANAL BINARIO
EQUIVALENTE
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El canal binario equivalente• Observando el esquema podemos ver que a la
entrada del codificador tenemos una secuencia binaria m[l], y a la salida del decodificador nos encontramos con una nueva secuencia binaria m’[l].
• Ambas secuencias tienen únicamente dos símbolos posibles: 0 y 1.
• Sería posible establecer un modelo especial de canal discreto denominado canal binario, que relacione ambas secuencias:
0|0 1|0
0|1 1|1
p p
p p
0
1
0
1
p0|0
p1|0 p0|1
p1|1
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Obtención del canal binario equivalente• Para obtener el canal binario equivalente
necesitaremos conocer:• El canal discreto equivalente• El funcionamiento del codificador/decodificador.
• Deseamos calcular• p0|0 Probabilidad de recibir un ‘0’ si se transmite un ‘0’
• p0|1 Probabilidad de recibir un ‘0’ si se transmite un ‘1’
• p1|0 Probabilidad de recibir un ‘1’ si se transmite un ‘0’
• p1|1 Probabilidad de recibir un ‘1’ si se transmite un ‘1’
• Nótese que p0|0 + p1|0 = p0|1 + p1|1 = 1
• Será necesario identificar todas las posibles situaciones y realizar un promedio.
• Normalmente explotaremos la simetría.
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Obtención del canal binario equivalente• EJEMPLO:
• Codificador QPSK (no Gray)• Canal discreto equivalente
• Supongamos que se transmite un ‘0’. Hay 4 posibles situaciones:
• 1) 1er cero de s0
• 2) 2º cero de s0
• 3) 1er cero de s1
• 4) 2º cero de s2
Re
Im
1 -1
j
-j
00
01
10
11
s0
s1
s2
s3
0.75 0.1 0.05 0.1
0.1 0.75 0.1 0.05
0.05 0.1 0.75 0.1
0.1 0.05 0.1 0.75
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Obtención del canal binario equivalente• EJEMPLO (continuación)
• Debemos determinar la probabilidad de que se reciba un ‘0’ para cada una de las situaciones anteriores.
• Situación 1): Se recibirá un ‘0’ si se recibe el símbolo s0 o s1
p0|01 = p(r0|s0) + p(r1|s0) = 0.85
• Situación 2): Se recibirá un ‘0’ si se recibe el símbolo s0 o s2
p0|02 = p(r0|s0) + p(r2|s0) = 0.8
• Situación 3): Se recibirá un ‘0’ si se recibe el símbolo s1 o s0
p0|03 = p(r1|s1) + p(r0|s1) = 0.85
• Situación 4): Se recibirá un ‘0’ si se recibe el símbolo s2 o s0
p0|04 = p(r2|s2) + p(r0|s2) = 0.8
• Suponiendo equiprobables las cuatro situaciones anteriores:
p0|0 = ¼ · (p0|01 + p0|0
2 + p0|03 + p0|0
4 )
p0|0 = 0.825
p1|0 = 1 - p0|0 = 0.175
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Obtención del canal binario equivalente• EJEMPLO (continuación)
• En este caso hay simetría en el problema, luegop1|1 = p0|0 = 0.825
p0|1 = p1|0 = 0.175
• Se trataría de un canal binario simétrico.
• También podemos describirlo diciendo que se trata de un canal binario simétrico con una probabilidad de error
Pe = 0.175
0.825 0
1
0
1
0.175 0.175
0.825
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Conclusiones• 4 modelos de canal
• Canal analógico o de forma de onda• Muchos parámetros, mayor complejidad• Diseño de moduladores, demoduladores…
• Canal digital equivalente• Pocos parámetros, más versatilidad• Diseño de ecualizadores, análisis de ISI, ruido, …
• Canal discreto equivalente• Matriz de probabilidades de transición• Diseño de codificadores, criptografía
• Canal binario equivalente• Modelo más sencillo posible• Diseño de codificadores de fuente, protocolos de
enlace…
• La obtención sólo es posible en un sentidoAnalógico Digital Discreto Binario
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Referencias• Communication Systems, 3rd .ed.
• Simon Haykin, John Wiley & Sons, 1994.• Apartados 1.1, 1.3, 1.4, 1.7, 2.11 a 2.13, 4.10 a 4.14,
7.1 a 7.4, 7.10, 8.2, 8.7, 8.8 y 8.22, 10.5, Apéndices 6 (Figura de Ruido), 8 (Caracterización estadística de procesos aleatorios complejos) y 10 (Criptografía)
• Digital Communications, 4th ed.• John G. Proakis, McGraw-Hill, 2001.• Apartados 1.1, 1.2, 1.3, 3.3, 4.1 a 4.3, 5.1, 5.2, 6.3, y
7.1• An Introducction to Digital Communications
• Jack Kurzweil, John Wiley & Sons, 2000.• Apartados 3.1, 3.2, 3.6, 3.8, 3.10, 3.12, 3.18, 4.1 a
4.6, 4.A, 5.3 a 5.6, 6.8 a 6.10, 7.1, 8.1 a 8.3.• Digital Transmission Engineering
• John B. Anderson, 1999.• Apartados 2.4, 3.1, 3.3, 3.8, 3.A a 3.C, 4.8, 6.1 y 7.1
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