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MUESTREO ESTRATIFICADO

TECNICAS DE MUESTREO II

Email:cgonzales@lamolina.edu.pe

CONSTRUCCION DE LOS ESTRATOSCONSTRUCCION DE LOS ESTRATOS

¿ Cuál es la mejor característica para la construcción de los estratos?

¿ Cómo se determinan los límites entre los estratos?

¿Cuántos estratos debería haber?

• La población se divide en grupos homogéneos (estratos).

• Se selecciona una muestra aleatoria de cada estrato

• Permite utilizar información a priori

Existen tres razones importantes para utilizar este tipo de muestreo:

• estadísticas, • marcos;• Costos.

6. MUESTREO ESTRATIFICADORazón estadística para usar estratos:

• Conocer alguna característica de los hogares en Lima

• Estimar el consumo de energía eléctrica.

Disponibilidad de marcosmarcos.Ejemplo:Ejemplo:

En una encuesta de hogares:Se utilizan planos catastrales para las zonas urbanas antiguas (un estrato), se usan fotografías aéreas para zonas rurales (otro estrato) y las áreas de posible nueva urbanización (otro estrato) se delimitan como otro marco; se muestrean áreas y se investigan las nuevas urbanizaciones (muestreo en etapas o conglomerados).

CostoCosto de localizar y levantar la información de las unidades.Ejemplo: en una encuesta de unidades agropecuarias.

Estratos(h) Elementos Nh Wh

1 N1 W1

2 N2 W2

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

L NL WL

Yh Sh2

Y Y N11 1 1, ...... Y1 S1

2

Y Y N21 2 2, ...... Y2 S2

2

Y YL LN L1 , ...... YL SL2

Estratos(h) Muestra aleatoria nh wh

1 n1 w1

2 n2 w2

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

L nL wL

y h s h2 v y h( )

y y n11 1 1, ...... y1 s1

2 v y( )1

y y n21 2 2, ...... y2 s2

2 v y( )2

y yL LnL1 ,...... yL sL2 v y L( )

PROPIEDADES DE LA ESTIMACIONES

• TEOREMA 1

( )stE y Y=

• TEOREMA 2

( )2

1

( )L

hst hh

V y W V y=

=∑

ESTIMACION DE PARAMETROS

• MEDIA ∑=

=L

hhhst yWy

1

• VARIANZA

( )∑=

=L

hhhst yvWyv

1

2)(

( )h

hhh n

Sfyv2ˆ

1)( −=

Siendo:( )22

1 1

hnhi h

hi h

y ynS

∧

=

−=

−∑

• ERROR ESTANDAR

( )sty yvSst=ˆ

LIMITES DE CONFIANZALIMITES DE CONFIANZA

Por el Teorema LTeorema Líímite Centralmite Central, para cada estrato, se tendrá que

( )st

st st yLC Y y ts= ±

~ [ , ( )]h h hy N Y V y ˆ ˆ~N [ , ( )]Y Y V Y

( )stst yLC Y N y tNs= ±

Asignación Proporcional

hh wW =

NNnn h

h =

Asignación óptima

)( styv

∑=

= L

hhh

hhh

SW

SWnn

1

ˆ

ˆ

Minimizar

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+= ∑

=

L

hhst nnyvMin

1)( λφ

Minimiza la varianza del estimador, para un costo especificado, o, habiendo fijado la varianza, minimiza el costo.

ESTIMACION DEL TAMAÑO DE LA MUESTRADATOS CONTINUOS

( )2

2

1 1

ˆ1 1 ˆL L

h hh hst

h hh

W Sv y W Sn w N= =

= −∑ ∑

Y

Para cualquier asignación: V =(d/t)2

( )

2

1

2

1

ˆ

1 ˆ

Lh h

h hL

h hsth

W Swn

v y W SN

=

=

=+

∑

∑

Estimación de la media de población

FORMULA GENERAL

( ) ∑

∑

=

=

+= L

hhhst

L

hhh

SNN

yv

SWn

1

22

1

2

ˆ1

ˆ

1. Asignación Proporcional

Casos particulares:

2. Asignación Optima. ( n fijo) ˆh h hw W Sα

( )

2

1

2

1

ˆ

1 ˆ

L

h hh

L

h hsth

W Sn

v y W SN

=

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=+

∑

∑

Si el costo para obtener información de una unidad en el estrato h-ésimo es Ch, el costo total será:

C0 : es costo administrativocosto administrativo.Ch:Costo correspondiente al estrato hC: Costo total

01

L

h hh

C C C n=

= + ∑

AFIJACIÓN DEL TAMAÑO DE MUESTRA EN UNA POBLACIÓN ESTRATIFICADA ASUMIENDO UNA FUNCIÓN COSTO

La minimización de la varianza del estimador con costo fijo o viceversa, produce la asignaciasignacióón n óóptimaptima que es:

1

h h hh L

h h hh

W S Cn n

W S C=

=

∑

h hh

h

N SnC

∝

A. Si el costo es fijo:

( )01

1

Lh h

h hL

h h hh

N SC CC

nN S C

=

=

−

=∑

∑

(6.10)

TAMAÑO DE MUESTRA

01

L

h hh

C C C n=

= +∑

Ejemplo

Estrato Nh Sh Ch1 162 28.96 202 132 20.36 303 61 8.54 40

Se disponemos de un presupuesto total de 3500 y costo fijo de 2500.

¿ Calcular el tamaño de muestra? Y el tamaño de cada estrato

1 1

2

1

1( )

L Lh h

h h hh h h

L

h hsth

W SW S CC

nv y W S

N

= =

=

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎣ ⎦=+

∑ ∑

∑

B. Si V es fijo:

( )2 2

1

1L

h ho h

h h

W SV fn=

= −∑

Ejemplo

Estrato Nh Sh Ch1 162 28.96 202 132 20.36 303 61 8.54 40

¿ Calcular el tamaño de muestra? Y el tamaño de cada estrato

Asumiendo Vo =12,25

1 Si la unidad i-ésima del estrato hYhi= tiene la característica

0 De otro modo

MUESTREO ESTRATIFICADO PARA PROPORCIONES

ESTIMACION DE PARAMETROS - PROPORCIONES

• MEDIA

∑=

=L

hhhst pWp

1

• VARIANZA

( )∑=

=L

hhhst pvWpv

1

2)(

( )1

1)(−

−=h

hhhh n

qpfpvSiendo:

Asignación Optima

A: costo fijo:

1

h

h

hh

hh L

hh

h h

P QN

cn n

P QN

c=

=

∑

( )01

1

hL

hh

h hL

h h h hh

P QC C N

Cn

N P Q C

=

=

−=

∑

∑

1 1

1

1( )

L Lh h

h h h h hh h h

L

h h hsth

P QW P Q C WC

nv y W P Q

N

= =

=

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎣ ⎦=⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑

∑

B. Si V es fijo:

( )2

1

1L

h h ho h

h h

W P QV fn=

= −∑

EjemploEn un estudio de consumo de energía se desea estimar la proporción de edificios públicos que, según análisis, operan supuestamente de manera eficiente en lo que se refiere al uso deenergía. Se dividió el territorio en tres zonas, dos grandes áreas urbanas y una rural. Los resultados de la encuesta, para la eficiencia energética, se tienen en la tabla siguiente:

ZONA 1 ZONA 2 ZONA 3

No. Edificios públicos en la ZONA 250 400 350

Tamaño de Muestra 50 80 70

No. Edificios con uso eficiente de energía en la muestra

14 34 29

a-)¿Qué tipo de asignación se utilizó en este estudio?b-)Estime la proporción de todos los edificios públicos que

operan en forma eficiente en lo que se refiere al consumo de energía.

Ejemplo

Un especialista propone tomar una muestra aleatoria estratificada de una población que ha sido dividida en dos estratos; espera que sus costos de trabajo de campo tendrán la forma: sus estimaciones preliminares sobre los valores principalmente para los dos estratos son:

h hc n∑

Estrato Wh sh Ch

I 0.4 10 4

II 0.6 20 9

a. Determinar los valores n1/n, n2/n que minimizan el costo de trabajo de campo de la investigación asumiendo una varianza una varianza predeterminada

b. Encontrar el tamaño de muestra requerido para que una asignación óptima se pueda lograr una . Ignore el factor de corrección.

c. Cuál será el costo total de trabajo de campo que se espera incurrir para la investigación.

( ) 1stV y =

Y: variable objetivo

X: variable complementaria que se utiliza para estratificar

( )2 2

22( ) 1st

SV Yn L

ρ ρ⎡ ⎤

= + −⎢ ⎥⎣ ⎦

Ejemplo

• Sea: ρ=0,90• C=1000L +10n• Presupuesto= 10000¿Cuál el número de estratos?

L n V(Yst)

1 900 0.0011111111 S2

2 800 0.0004906250S2

3 700 0.0004000000S2

4 6000.0004010417S2

5 5000.0004448000S2

6 4000.0005312500S2

7 3000.0006884354S2

8 2000.0010132813S2

9 100 0.0020000000S2

COMPARACION DE EFICIENCIAS SEGÚN LOS DISTINTOS DE ASIGNACION

A partir de: ( )22

1 1

11

hNL

hih i

S Y YN = =

= −− ∑∑

2 2 2

1 1( )

L L

h h h hh h

S W S W Y Y= =

= + −∑ ∑

( ) ( )MAS st pV y V y≥

Comparación de las precisiones de la asignación proporcional y la óptima

( ) ( )st p st oV y V y≥

22 2

1 1 1

1 1( ) ( ) ( )L L L

st p st o h h h h h hh h h

V y V y W S W S W S Sn n= = =

⎛ ⎞⎛ ⎞− = + = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∑ ∑ ∑

Por lo tanto:

( )2 2 2

1 1 1

11 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )L L L

MAS st p h h st o h h h hh h h

fV y V y W Y Y V y W S S W Y Y

n n n= = =

−= + − = + − + −∑ ∑ ∑

.

.

Estrato Nh Wh

M.A.SClasificados después. nh

1 N1 W1 Y11 Y12 .. Y1n1

2 N2 W2 Y21 Y22 Y2n2

YL2 YLnL

n1

L NL WL YL1 nL

n2

hy 2ˆh

S

1y 1

2S

2y22S

Ly2ˆL

S

TECNICA DE POST-ESTRATIFICACION

PROMEDIO

1

L

hst hh

y W y=

= ∑

VARIANZA

( ) ( ) ( )2

22

1 1

ˆ 1 ˆ1 1L L

h hh hst

h h

W Sv y f W Sn n= =

= − + −∑ ∑

EFECTOS DE LAS DESVIACIONES A PARTIR DE LA ASIGNACION OPTIMA

EFECTOS DE LAS DESVIACIONES A PARTIR DE LA ASIGNACION OPTIMA

( )´ h hh

h h

n W Sn

W S=∑

( ) ( )2 2min

1 1hh h hstV y W S W S

n N= −∑ ∑

( ) ( )( )

( )2´min

1min

ˆ1ˆ

Lst st h h

h hst

V y V y n nn nV y =

− −= ∑

Por lo tanto:

'hn ˆhn ' ˆ

ˆh h

h

n nn− ( )2' ˆ

ˆh h

h

n nn−Estrato

1 400 300 0.33 33.332 200 240 0.17 6.673 80 140 0.43 25.71

680 680 65.71

Efecto de las desviaciones de la asignación óptima

Incremento real:

Estrato Nh optimo valoral proporcional

1 52710 444 321 488

2 1190 43 129 11

3 50 13 50 1

Total 53950 500 500 500

'hn ˆ hn ˆ hn

Para poblaciones desproporcionadas

EJERCICIO

Suponga que durante el mes de febrero del año 2007 un determinado establecimiento ha tenido 100 clientes y que dispone de la información sobre las compras en nuevos soles que ha realizado cada uno de ellos; Explica con un caso concreto (genere los datos) el procedimiento que seguirías para obtener una muestra de tamaño 10

a. Mediante un muestreo aleatorio simpleb. Mediante un muestreo sistemático con arranque

aleatorio.c. Mediante un muestreo con probabilidades desiguales en

el que se da tanta mayor probabilidad de salida a los individuos cuánto mayor sea su volumen de compras (probabilidades proporcionales al tamaño).

d. Que ventajas principales aporta el muestreo sistemático con arranque aleatorio sobre el muestreo aleatorio simple?

EJERCICIO

En el ejemplo creado anteriormente, genera una muestra de 20 clientes mediante muestreo estratificado; explica que criterio has seguido para determinar.

a. El número de estratos a considerarb. Los límites de dichos estratos.c. La asignación de la muestra por estratos