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SERIES DE POTENCIAS
David Felipe Orjuela Hurtado - Cdigo 02244927
1 de junio de 2011
1.
x0
Ln(1 + t)dt
Rta/:
Partiendo de la serie
1
1 + x
1
1 (x) =n=0
(1)n(x)n = 1 x + x2 x3 + ...
Se puede integrar a ambos lados para obtener la serie Ln(1 + x)
1
1 + xdx =
n=0
(1)n(x)ndx =
1dx
xdx +
x2dx
x3dx + ...
Ln(1 + x) + C1 =n=0
(1)n x(n+1)
(n + 1)= x x
2
2+x3
3 x
4
4+ ...
Al reemplazar x = 0 a ambos lados de la ecuacin se tiene que
Ln(1) + C1 =n=0
(1)n 0(n+1)
(n + 1) C1 = 0
Conociendo el valor de la primera constante generada en la primera integracin se puede
integrar a ambos lados para obtener la serie de la integral buscada en el ejercicio
1
-
Ln(1 + x)dx =
n=0
(1)n x
(n+1)
(n + 1)dx =
xdx
x2
2dx+
x3
3dx
x4
4dx+ ...
(1 + x)Ln(1 + x) x + C2 =n=0
(1)n x(n+2)
(n + 1)(n + 2)=x2
2 x
3
6+x4
12 x
5
20+ ...
Igualmente si se reemplaza en la ecuacin x = 0
Ln(1) + C2 =n=0
(1)n 0(n+2)
(n + 1)(n + 2) C2 = 0
Para averiguar el radio de convergencia se halla el lmite mediante el criterio del cociente
absoluto
lmn
(1)n+1(x)n+3(n + 3)(n + 2) (n + 1)(n + 2)(1)n(x)n+2 = lmn
x(n + 1)(n + 3) |x| < 1 x (1, 1)
Sin embargo es necesario comprobar la convergencia en cada uno de los extremos del radio
de convergencia; cuando x = 1n=0
(1)2n+2(n + 1)(n + 2)
n=0
(1)2n 1(n + 1)(n + 2)
n=0
1n
n2 + 3n + 2
Usando el criterio de comparacin de series con Sn = 1
n2
n=0
1n
n2 + 3n + 2
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