taller algebra lineal matrices
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Algebra Matricial y OptimizacionSegundo Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Semestre Enero-Mayo 2012
Grupo: Matrıcula: Nombre:
1. (10pts) Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a
cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A es invertible, entonces
AT x = 0
tiene infinitas soluciones. R: Si A es invertible, en-
tonces tambien lo es AT. Por tanto, AT x = 0 tiene
solucion unica; es falso que tenga infinitas soluciones.
b) Si para un vector b el sistema A x = b tiene infinitas
soluciones, entonces A · AT no es invertible. R: Si
A x = b tiene infinitas soluciones, entonces A no es
invertible. Tampoco lo es la matriz A ·B cualquiera
que sea la matriz cuadrada B (Si C es la inversa de
A ·B, entonces B ·C es la inversa de A); en parti-
cular, tampoco lo sera A · AT. Es cierto que es no
invertible.
c) Si el sistema A x = 0 tiene solucion unica, entonces
AT es invertible. R: Si A x = 0 tiene solucion uni-
ca, entonces A es invertible. Ası, es cierto que AT es
invertible.
d) Si la matriz AT no es invertible, entonces
AT ·A x = 0
tiene infinitas soluciones. R: Si AT no es inverti-
ble, entonces tampoco lo es AT · A. Es cierto que
AT ·A x = 0 tendra infinitas soluciones.
e) Si la matriz A cumple que A ·A ·A = I enton-
ces el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones. R:
A ·A ·A = I indica que A es invertible y que su in-
versa es A ·A. Por tanto, A x = 0 tendra solucion
unica: es falso que tenga infinitas soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
2. (15pts) Una Solucion Basica (SB) de un sistema de ecua-
ciones lineales de m ecuaciones con n incognitas que tiene
infinitas soluciones, es una solucion que se obtiene hacien-
do cero exactamente n−m incognitas y que da origen a un
sistema con solucion unica. De hecho, se desaparece(n)
la(s) columna(s) correspondiente(s) a la(s) incognita(s) y
se resuelve el sistema correspondiente para determinar la
SB. Por otro lado, una SB se llama solucion basica fac-
tible (SBF) si ningun valor de sus incognitas es negativo.
Marque en sus hojas de procedimiento las SBF e indique
en orden el numero de SBs y numero de SBFs para el
siguiente sistema de ecuaciones. 1 1 1 5 8
5 1 1 5 32
1 4 1 5 8
x =
4
12
7
Sugerencia: Si planea usar calculadora, note que en lu-
gar de trabajar con la matriz de coeficientes le conviene
trabajar con las columnas de matriz y combinar esto con
el comando augment. Note tambien que en este ejem-
plo debe intentar 10 alternativas; de 5 posibles variables
quedarse con 3:
C5,3 =
(5
3
)=
5!
3! · (5− 3)!= 10.
Respuesta:
Solucion
Nota: Ubicandonos en la interpretacion de la solucion de
un SEL como la busqueda de una combinacion lineal de
las columnas de la matriz de coeficientes que da el vector
de constantes, la definicion formal de solucion basica (SB)
para un SEL con infinitas soluciones
A x = b, A ∈Mm×n y b ∈ Rm
es aquella donde la combinacion lineal buscada no es con
todas las columnas de A, si no que se reduce a una selec-
cion determinada de columnas que corresponde a una base
para Rm. Observe que esto garantiza que con la seleccion
de las columnas de A, el sistema efectivamente tiene so-
lucion unica. La busqueda de la combinacion lineal sobre
esta seleccion de columnas equivale justo a hacer cero los
coeficientes de las columnas que no participan en la combi-
nacion lineal buscada, es decir, a hacer cero las incognitas
del SEL que no corresponden a las columnas seleccionadas.
Estas incognitas se llaman variables no basicas mientras
que las que corresponden a las columnas que forman la
base se llaman variables basicas. Note que la prueba de
que la seleccion de columnas corresponde a una base pue-
de hacerse calculando o la inversa o el determinante de la
matriz cuyas columnas corresponden a la seleccion.
Sean a1, a2, a3, a4 y a5 las 5 columnas de la matriz de
coeficientes A. Sean x1, x2, x3, x4 y x5 las incognitas del
MA4011, segundo examen parcial, semestre enero-mayo 2012 2
SEL y sea b el vector de constantes del SEL. Con esta
notacion:
B1 = {a1,a2,a3} sı corresponde a una base y la so-
lucion correspondiente a [a1 a2 a3|b] es:
x1 = 2, x2 = 1, x3 = 1, x4 = 0, x5 = 0
esta es una SB y como los valores son no negativos
esta es una SBF.
Note que se ha encontrado que
2 · a1 + 1 · a2 + 1 · a3 + 0 · a4 + 0 · a5 = b
B2 = {a1,a2,a4} sı corresponde a una base y la so-
lucion correspondiente a [a1 a2 a4|b] es:
x1 = 2, x2 = 1, x4 = 1/5, x3 = 0, x5 = 0
esta es una SB y como los valores son no negativos
esta es una SBF.
B3 = {a1,a2,a5} sı corresponde a una base y la so-
lucion correspondiente a [a1 a2 a5|b] es:
x1 = −1, x2 = 1, x5 = 1/5, x3 = 0, x4 = 0
esta es una SB y como tiene valores negativos esta no
es una SBF.
B4 = {a1,a3,a4} no corresponde a una base. Esta
seleccion no da una SB.
B5 = {a1,a3,a5} no corresponde a una base. Esta
seleccion no da una SB.
B6 = {a1,a4,a5} no corresponde a una base. Esta
seleccion no da una SB.
B7 = {a2,a3,a4} no corresponde a una base. Esta
seleccion no da una SB.
B8 = {a2,a3,a5} sı corresponde a una base y la so-
lucion correspondiente a [a2 a3 a5|b] es:
x2 = 1, x3 = 1/3, x5 = 1/3, x1 = 0, x4 = 0
esta es una SB y como los valores son no negativos
esta es una SBF.
B9 = {a2,a4,a5} sı corresponde a una base y la so-
lucion correspondiente a [a2 a4 a5|b] es:
x2 = 1, x4 = 1/15, x5 = 1/3, x1 = 0, x3 = 0
esta es una SB y como los valores son no negativos
esta es una SBF.
B10 = {a3,a4,a5} no corresponde a una base. Esta
seleccion no da una SB.
Resumiendo, el SEL tiene un total de 5 SB de las cuales 4
son SBF.
3. (15pts) Suponiendo que A, B sean matrices n×n inverti-
bles y que I sea la matriz identidad. Determine la inversa
de cada una de las siguientes matrices:
a)
A I I
0 A−1 I
0 0 I
R:
A−1 −I I−A−1
0 A −A
0 0 I
b)
A I I
0 I I
0 0 B
R:
A−1 −A−1 0
0 I −B−1
0 0 B−1
c)
I A I
0 I B
0 0 I
R:
I −A A B− I
0 I −B
0 0 I
Solucion
Las soluciones son obtenidas formando la aumentada
con la matriz identidad: I 0 0
0 I 0
0 0 I
y reduciendo; Siempre haciendo operaciones elemen-
tales de renlgon cuidando que las multiplicaciones
sean siempre por la izquierda.
4. (15pts) Para que valores del escalar a no tiene dimension
3 el espacio generado por las matrices:
A1 =
[1 1
−1 −2
]
A2 =
[−2 0
3 2
]
A3 =
[−1 1
2 0
]
A4 =
[−1 −1− 9 a + a2
1− 2 a 32− 2 a
]Indique su respuesta en las posibles:
1) Hay al menos dos valores de a.
2) No existe valor de a.
3) Solo para el valor a=
Solucion
Al formar una matriz con la vectorizacion de las matrices
dadas y escalonar obtenemos:
B =
1 −2 −1 −1
0 2 2 −9 a + a2
0 0 0 5/2 a− 1/2 a2
0 0 0 −11 a + a2 + 30
MA4011, segundo examen parcial, semestre enero-mayo 2012 3
Para no tener dimension 3, no se debe tener pivote en la
cuarta columna:
b3,4 = 0 ↔ a = 0 o a = 5
b4,4 = 0 ↔ a = 6 o a = 5
por tanto, a = 5 es el unico valor para el cual ambos ele-
mentos son cero y lo que nos dara 2 para la dimension
del espacio generado por las matrices. Note que al tener
pivotes en la primera y segunda columna, la dimension de
espacio generado es por lo menos dos. El valor de a se
escoge para que la dimension sea 2.
5. (10pts) Busque la respuesta a cada pregunta:
a) Sea A una matriz m×n. Suponga que A x = b tiene
infinitas soluciones para un vector b. ¿A es de rango
columna completo? R: Si A x = b tiene infinitas so-
luciones, entonces las columnas de A son linealmente
independiente. Por tanto, el conjunto de las n colum-
nas de A son un conjunto generador que no es base
para C(A). Por tanto, dim(C(A)) < n. Por tanto,
rank(A) < n, y ası es falso que es de rango columna
completo.
b) Suponga que el sistema A x = b con Am× n, es in-
consistente para un vector b particular. ¿El rango de
A es menor que m? R: Si el sistema A x = b con
Am × n es inconsistente, entonces las columnas de
A no generan Rm y por tanto dim(C(A)) < m. Por
tanto, es cierto que el rango de A es menor que m.
c) Sean A y B matrices m×n y b un vector en Rm. Su-
ponga que B x = b es consistente, que C(A) ⊆ C(B)
y que rank(A) = rank(B). ¿El sistema A x = b
es consistente? R: Si C(A) ⊆ C(B) y rank(A) =
rank(B), entonces C(A) = C(B). Si B x = b es con-
sistente, entones b ∈ C(B), y por tanto b ∈ C(A).
Por tanto, es cierto que A x = b consistente.
d) Sea A una matriz cuadrada. Suponga que es de rango
columna completo. ¿Para cualquier vector b el siste-
ma A x = b tiene solucion unica? R: Si A una matriz
cuadrada n × n de rango columna completo, enton-
ces su rango es n. Por tanto, su rango renglon es
n. Por tanto, cualquier sistema A x = b tiene solu-
cion. Si su rango columna es n, las columnas seran
linealmente independientes; por tanto, es cierto que
cualquier sistema A x = b tiene solucion unica. De
hecho, se deduce que si A una matriz cuadrada n×n
de rango renglon o columna completos, entonces A
es invertible.
e) Sea A una matriz n×n y B una matriz n×m. Supon-
ga que A es de rango renglon completo. ¿El sistema
A X = B tiene solucion unica? R: por el inciso ante-
rior, A es invertible. Por tanto, es cierto que A X = B
tiene solucion unica (la solucion es X = A−1 ·B).
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
6. (10pts) Busque la respuesta a cada pregunta: Sea A una
matriz n× n:
a) Si AT es invertible, entonces rank (A) < n. R: Si
AT es invertible, entonces A es invertible. Por tanto,
rank (A) = n. Entonces, es falso que rank (A) < n.
b) Si rank (A) = n, entonces ¿existe un vector b pa-
ra el cual el sistema AT x = b s inconsistente? R: Si
rank (A) = n, entonces dim(C(A)) = dim(C(AT)) =
n. Por tanto, C(AT) = Rn. Por tanto, es falso que
existe un vector b para el cual el sistema AT x = b
es inconsistente.
c) Si A x = 0 tiene solucion unica, entonces rank (A) <
n. R: Si A x = 0 tiene solucion unica, entonces las co-
lumnas n de A forman un conjunto linealmente inde-
pendiente y siendo un conjunto generador para C(A)
forman una base para el. Por tanto, dim(C(A)) = n.
Ası, es falso que rank (A) < n.
d) Si AT es singular, entonces rank (A) = n. R: Si AT
es singular, tambien lo es A. Ası, las n columnas de A
forman un conjunto linealmente dependientes y sien-
do un conjunto generador para C(A), no forman una
base para el. Por tanto, dim(C(A)) < n. Ası es falso
que rank (A) = n.
e) Si el rango renglon de A es n, entonces para cual-
quier matriz B n× q la ecuacion matricial A X = B
tiene solucion unica. R: Si el rango renglon de A es
n, entonces A es invertible. Por tanto, es cierto que
A X = B tiene solucion unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
7. (10pts) En las afirmaciones siguientes V es un espacio li-
neal, B es una base para V , G es un conjunto generador
para V , I es un conjunto linealmente independiente de V ,
D es un conjunto linealmente dependiente de V , C es un
conjunto de elementos de V y n es la dimension de V .
Indique como son cada una de las afirmaciones (ninguna
tiene error de dedo):
MA4011, segundo examen parcial, semestre enero-mayo 2012 4
a) I tiene menos de n elementos. R: No hay suficiente
informacion para concluir eso: puede ser que tenga n
elementos. Se acepta como valida que la afirmacion
sea falsa.
b) D tiene mas de n elementos. R: No hay suficiente in-
formacion para concluir eso: se puede tener un con-
junto linealmente dependiente con un solo elemento
(el vector cero). Aquı el resultado es que: Si un con-
junto tiene mas de n elementos, entonces el conjunto
es linealmente dependiente. Pero su recıproca no ne-
cesariamente es cierta. Se acepta como valida que la
afirmacion sea falsa.
c) Si I tiene n elementos, entonces I es genera a V . R:
Cierto; siendo linealmente independiente y teniendo
n elementos se convierte en base para V y por tanto,
genera a V .
d) Si G tiene menos de n elementos, entonces I es depen-
diente. R: Ambas partes de la implicacion son falsas.
Por tanto, la implicacion es cierta (Recuerde la tabla
de verdad de la implicacion).
e) Si C tiene mas elementos que G, entonces C es lineal-
mente dependiente. R: Sabemos que #(G) ≥ n; por
tanto, si C tiene mas elementos que G, concluirıamos
que #(C) > n. Por tanto, es cierto que C serıa lineal-
mente dependiente.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
8. (15pts) Si W1 = Gen(B1) y W2 = Gen(B2), donde
B1 =
x1 =
−4
4
−3
−2
1
,x2 =
−4
0
1
0
1
,x3 =
1
4
1
1
1
y
B2 =
y1 =
4
−4
7
2
0
,y2 =
4
4
−3
−2
1
,y3 =
0
8
−10
−4
1
Encuentre la dimension del subespacio interseccion.
Sugerencia: Para cada espacio generado encuentre el sis-
tema de ecuaciones homogeneas que determinan partene-
cer a el.
Solucion
Con los vectores x1, x2, x3 como columnas, formamos la
matriz A1 y con los vectores y1, y2, y3 como columnas for-
mamos la matriz A2. Para determinar las ecuaciones que
caracterızan a los vectores que pertencen a Wi formamos
y reducimos:
[A1|I]→
1 0 0 0 0 −1/4 0 1/4
0 1 0 0 0 3/4 −1 1/4
0 0 1 0 0 −1/2 1 1/2
0 0 0 1 0 5/2 −5 3/2
0 0 0 0 1 3 −4 −3
[A2|I]→
1 0 −1 0 0 0 1/2 1
0 1 1 0 0 0 0 1
0 0 0 1 0 0 −2 −8
0 0 0 0 1 0 2 0
0 0 0 0 0 1 −7/2 −4
Por tanto, si
B1 =
[1 0 5/2 −5 3/2
0 1 3 −4 −3
]y
B2 =
1 0 0 −2 −8
0 1 0 2 0
0 0 1 −7/2 −4
para un vector x ∈ R5:
x ∈W1 ↔ B1 · x = 02×1
x ∈W2 ↔ B2 · x = 02×1
Por tanto, un vector x ∈ W1 ∩ W2 si y solo si satisface
ambos sistemas; es decir:[B1
B2
]· x =
[02×1
02×1
]= 05×1
Al formar esta aumentada vertical, su reducida queda:1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
Esto nos dice que el unico vector comun a ambos espacios
lineales es el vector 0; concluimos que la dimension del
espacio interseccion es cero.
9. Sean A y B matrices n × n. Considere la afirmacion si-
guiente: Si existe una matriz X tal que
X A XT = BT
entonces rank(B) ≤ rank(A).
MA4011, segundo examen parcial, semestre enero-mayo 2012 5
a) (5pts) Enuncie las tres variantes de esta afirmacion
condicional.
Solucion
Recıproca
Si rank(B) ≤ rank(A), entonces existe una matriz
X tal que X A XT = BT.
Inversa
Si para toda matriz X se cumple X A XT 6= BT, en-
tonces rank(B) > rank(A).
Contrapositiva
Si rank(B) > rank(A), entonces para toda matriz
X se cumple X A XT 6= BT.
b) (15pts) Demuestre la afirmacion.
Solucion
Supongamos que existe X tal que X A XT = BT. En
particular, existe una matriz Y (que es precisamente
XT) tal que X A ·Y = BT. Por tanto
C(BT) ⊆ C(X A)
Y por tanto rank(BT) ≤ rank(X A). Por otro la-
do, y usando un razonamiento similar pero con
el espacio renglon aplicado a X A, se deduce
que rank(X A) ≤ rank(A). Ası rank(BT) ≤rank(A). Como rank(BT) =rank(B), concluimos que
rank(B) ≤ rank(A).
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