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Tabla de contenido Página

Sustitución en ecuaciones diferenciales 3

Ecuación de Bernoulli 3

Ecuación de Ricatti 7

Otras sustituciones 10

Resumen 14

Bibliografía recomendada 14

Nexo 14

Autoevaluación formativa 15

5

2

Copyright©1999 FUNDACION UNIVERSITARIA SAN MARTIN

Facultad de Ingeniería de Sistemas.

Sistema de Educación Abierta y a Distancia.

Santa Fe de Bogotá, D.C.

Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización por

escrito del Presidente de la Fundación.

La redacción de este fascículo estuvo a cargo de

JAIME PRECIADO LOPEZ

Sede Santa Fe de Bogotá, D.C.

Diseño instruccional y orientación a cargo de

MARIANA BAQUERO DE PARRA

Diseño gráfico y diagramación a cargo de

SANTIAGO BECERRA SAENZ

ORLANDO DIAZ CARDENAS

Impreso en: GRAFICAS SAN MARTIN

Calle 61A No. 14-18 - Tels.: 2350298 - 2359825

Santa Fe de Bogotá, D.C.

5

3

Sustitución en ecuaciones diferenciales En este fascículo veremos cómo al realizar una sustitución apropiada

sobre una ecuación diferencial es posible que esta última se convierta

en una ecuación de alguno de los tipos que hemos estudiado y por tan-

to sabremos cómo resolverla. Las ecuaciones más famosas para desa-

rrollar por sustitución son las conocidas como de Bernoulli y de Ricatti.

Vamos a aprender a reconocerlas y a resolverlas.

Al terminar el estudio del presente fascículo, el estudiante:

Identifica y distingue ecuaciones diferenciales de Bernoulli y Ricatti.

Resuelve correctamente una ecuación de Bernoulli.

Resuelve correctamente una ecuación de Ricatti.

Realiza sustituciones apropiadas para reducir ecuaciones diferenciales

a los tipos conocidos.

Resuelve ecuaciones diferenciales empleando sustitución.

Ecuación de Bernoulli

Si n es un número real, la ecuación diferencial

nyxfyxP

dx

dy)()( (1)

es llamada Ecuación de Bernoulli. Para 0n y 1n la sustitución

nyu

1 convierte la ecuación diferencial (1) en una ecuación lineal,

veamos:

Si n

yu 1

entonces:

dx

dyyn

dx

du n )(1

5

4

Jacob Bernoulli (1645–

1705): matemático suizo,

maestro de Guillaume de

L’Hopital.

de donde:

dx

du

n

y

dx

dyn

)(

1

Si sustituimos en términos de u en la ecuación (1) obtenemos:

)()()()( xfnuxPndx

du 11 (2)

Es claro que (2) tiene la forma de una ecuación diferencial lineal y por

tanto podemos resolverla. Veamos una aplicación de Bernoulli.

Ejemplo

Resolvamos la ecuación 2

1

yy

dx

dyx , podemos reescribir esta

ecuación como:

211 yx

yxdx

dy (1)

La ecuación (1) corresponde a una ecuación de Bernoulli, con 2n ,

empleando la sustitución 321

yyu )( se convierte en:

xu

xdx

du 13

13 (2)

(2) es una ecuación lineal, el factor de integración es:

33

3

xeex

dxx ln

Multiplicando por el factor integrante y reduciendo la ecuación podemos

escribir (2) como:

23 3xuxdx

d (3)

5

5

integrando (3) tenemos:

cxux 33

con c constante arbitraria, despejando tenemos:

31 cxu

como 3

yu la solución la podemos escribir por:

33 1 cxy

Ejemplo

Resolvamos la ecuación:

42 32 yxydx

dyx (1)

Sujeta a la condición

2

1y cuando 1x .

Podemos escribir (1) como:

4

2

32y

xy

xdx

du (2)

Esta es una ecuación de Bernoulli, con 4n , si hacemos la sustitu-

ción 341 yyu (2) se convierte en:

| 2

96

xu

xdx

du (3)

Para la ecuación diferencial lineal (3) el factor de integración es:

66

6

xeex

dxx ln

Multiplicando (3) por el factor de integración y escribiendo el lado iz-

quierdo como derivada obtenemos:

5

6

46 9xuxdx

d (4)

Integrando (4):

cxux 56

5

9

de donde

65

9

x

c

xu

Si reemplazamos u por 3

y la solución general es:

6

3

5

9

x

c

xy

(5)

La condición inicial

2

1y cuando 1x nos lleva a que

549c , al

remplazar c en (5) obtenemos la solución

6

3

5

49

5

9

xxy

10.1

a. Resuelve la ecuación de Bernoulli dada.

1. 2

yyy ' 2. 13 xyy

dx

dy

3. 21 xyyxdx

dyx 4. xyy

dx

dyx 22

5. 1213 322 yxydx

dyx 6.

592yxy

xy '

b. Resuelve la ecuación diferencial dada, sujeta a la condición inicial

que se indica.

5

7

Jacobo Francisco Ricatti

(1676 – 1754): filósofo y

matemático italiano.

40123

21

)(, yydx

dyy

Ecuación de Ricatti

Una ecuación no lineal

2yxRyxQxP

dx

dy)()()( (1)

es llamada ecuación de Ricatti. Si se conoce una solución particular 1y

de la ecuación (1) podemos a partir de 1y construir una solución u de

tal forma que uy 1 sea la solución de (1).

Es fácil encontrar u si resolvemos la ecuación lineal:

)()(,)( xRwxRyxQdx

dw 2 (*)

es decir, si encontramos w y hacemos luego

wu 1 .

En este fascículo omitimos la demostración del procedimiento

que lleva a la solución dada para la ecuación de Ricatti. Si

estás interesado puedes encontrar las sugerencias para dicho

desarrollo en la bibliografía recomendada.

A continuación desarrollamos algunos ejemplos de ecuaciones de

Ricatti.

Ejemplo

Resolvamos la ecuación

02 2 yydx

dy (1)

5

8

Sabiendo que 21 y es una solución particular.

Podemos reescribir la ecuación (1) como

22 yydx

dy (2)

(2) corresponde a una ecuación de Ricatti con:

112 )(,)(,)( xRxQxP

podemos resolver (2) si encontramos la solución (*) con estos valores

11221 wdx

dw))((

es decir

13 wdx

dw (3)

(3) es una ecuación lineal, calculemos el factor de integración

xdx

ee3

3

Si multiplicamos los miembros de (3) por el factor de integración y lo es-

cribimos como derivadas obtenemos:

xxewe

dx

d 33

integrando

ce

wex

x

3

33

de donde

xcew

3

3

1

Si hacemos

wu

1 obtenemos

5

9

xce

u3

3

1

1

así, la solución general y es

xce

uyy3

1

3

1

12

Ejemplo

Resolvamos la ecuación de Ricatti

022 yyxxdx

dy)(tansec , con xy tan1 .

Reconocemos a 12 )(,tan)(,sec)( xRxxQxxP

reemplazando en la ecuación )()(,)( xRwxRyxQdx

dw 2

tenemos

112 wxxdx

dw)(tantan (1)

de donde:

1 wxdx

dw)(tan

Hallemos el factor de integración:

xeex

xdx

sec)ln(sec

tan

Multiplicando (1) por el factor de integración y escribiendo como deriva-

da obtenemos:

5

10

xxwdx

dsecsec

integrando:

cxxxw tanseclnsec

despejando w

x

cxxw

sec

tansecln

Haciendo

wu

1 obtenemos:

cxx

xu

tansecln

sec

por tanto la solución general es:

cxx

xxuyy

tansecln

sectan1

10.2

Resuelve las ecuaciones de Ricatti que siguen:

1. 11 1

2 yxyyxdx

dy,

2.

xyyy

xxdx

dy 2141

2

2 ,

3. xyyyx

xdx

dy 1

22 21

2 ,

Otras sustituciones

Hemos visto cómo una sustitución apropiada puede convertir una ecua-

ción diferencial en otra más fácil de resolver por los procedimientos co-

5

11

nocidos; podemos intentar cualquier sustitución para buscar la solución

de una ecuación, la sustitución apropiada a veces salta a la vista, pero

en algunas otras se debe probar hasta obtener la adecuada.

A continuación veremos algunos ejemplos donde una sustitución con-

vierte la ecuación dada en una sencilla de resolver.

Ejemplo

Resolvamos la ecuación:

x

xe

dx

dyxe

yy ln 22

(1)

Después de observarla, durante un buen rato, se nos ocurre intentar la

sustitución

yxeu

2 o su equivalente yx

u2

ln y al aplicar las propiedades

de la función logaritmo natural tenemos:

yxu 2 )ln()ln(

al derivar respecto a x

dx

dy

xdx

du

u2

11

de donde

xdx

du

udx

dy 11

2

1

si sustituimos en (1) obtenemos:

x

x

x

u

xdx

du

uu

ln

11

2

1

que corresponde a:

5

12

x

xu

xdx

du ln21 (2)

La ecuación (2) es lineal, calculemos el factor de integración:

xeex

dxx ln

1

si multiplicamos (2) por el factor de integración y la escribimos como

derivada obtenemos:

xxudx

dln2

integrando:

cxxxxu 22 ln

Si sustituimos u obtenemos la solución general:

cxxxexy 2222

ln

Ejemplo

Resolvamos la ecuación:

32 33324 xyxyyx'

(1)

Si hacemos sustitución 33

yxu o su equivalente 3

3y

x

u

podremos reducir la ecuación (1); si derivamos respecto a x nuestra

sustitución obtenemos:

dx

dyy

x

uxdx

dux

2

6

23

3

3

equivalente a:

dx

dyyxu

dx

dux

2433

5

13

Si sustituimos en (1) obtenemos:

323

33

xu

udx

dux

de donde

96 3 xdx

dux (2)

La ecuación diferencial (2) se puede desarrollar por separación de varia-

bles, veamos, (2) es equivalente a:

xx

dx

du 96 2

Integrando tenemos:

cxxu ln92 3

Remplazando u tenemos la solución:

cxxyx ln92 333

10.2

Resuelve la ecuación diferencial dada usando una sustitución apro-

piada:

1. 01 dyyeydxx

2. 0122

dyy

xdxe

yx

3. 02 22 xyxyy'

4. yxdx

dyyx tanlncsc 222

5. senxeyyx )('

'1

5

14

6.

xexy

dx

dyxseny

2 cos

7. 2

)(''''

yxyxy . Sugerencia: Sea '

yu

8. 022 )('''

yyx

En este fascículo hemos trabajado dos nuevos tipos de ecuaciones dife-

renciales, las ecuaciones de Bernoulli y Ricatti, hemos visto cómo a tra-

vés de una sustitución simple y apropiada éstas y muchas otras ecua-

ciones pueden llevarse a una de las formas ya conocidas por nosotros

(por separación, exactas, lineales), las cuales podemos resolver de ma-

nera fácil y rápida.

Rainville, Earl D. y otros. Ecuaciones Diferenciales. México: Ed. Prentice

Hall, octava edición, 1997, cap. 2

Zill, Dennis G. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado.

México: Ed. Internacional – Thomson Editores, sexta edición. 2000, cap.

2, secciones 2.6 y 2.7.

En el próximo fascículo trabajaremos algunas aplicaciones de las ecua-

ciones diferenciales para resolver problemas reales e interesantes; ha-

remos aplicaciones para mezcla de sustancias, circuitos eléctricos y

otras situaciones físicas.

5

15

Autoevaluación formativaAutoevaluación formativaAutoevaluación formativa

Ecuaciones diferenciales - Fascículo No. 10

Nombre_____________________________________________________________________

Apellidos ________________________________________ Fecha ____________________

Ciudad __________________________________________ Semestre _________________

Resuelve las ecuaciones diferenciales siguientes:

1. 0111 2 )(, ydx

dyxyxy

2. xxxeyyyee

dx

dy 1

22 21 ,

3. '''

yyy 2