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UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL MÉRIDA - VENEZUELA
“Análisis de Estructuras Tridimensionales de Concreto Armado mediante la Teoría de Daño”
Trabajo presentado como requisito parcial para optar al título de
Ingeniero civil
Br. Analí Angélica Cabeza Guerra
Tutor: Prof. Julio Flórez López Cotutor: Prof. Maylett Uzcátegui
Noviembre, 2008
ii
“Análisis de Estructuras Tridimensionales de Concreto Armado mediante la Teoría de Daño”
Br. Analí Angélica Cabeza Guerra
El trabajo de Grado titulado “Análisis de Estructuras Tridimensionales de Concreto Armado mediante la Teoría de Daño”, presentado por Analí Angélica
Cabeza Guerra, en cumplimiento parcial de los requisitos para optar al Título de Ingeniero Civil, fue aprobado en la fecha -11-208, por el siguiente jurado:
____________________ ____________________ Prof. Rafael Torres Prof. Carlos Quintero C.I. C.I.
_______________________ Prof. Julio Flórez López
C.I.
iii
AGRADECIMIENTOS
Gracias a Dios, por ser la luz que guía mi camino y hacer en mí grandes maravillas.
Gracias a mis Padres, por formarme con tanto amor y sacrificio. Gracias a mi hermano y a mi pareja, por ser compañeros incondicionales.
Gracias a Julio Flórez y a Maylett Uzcátegui, por el apoyo ilimitado, académico y humano, ofrecido durante el desarrollo de este trabajo.
Gracias a todos los profesores, que contribuyeron con mi aprendizaje. Gracias a mis amigos y compañeros, por hacer diferente esta faena de estudio.
iv
INDICE GENERAL APROBACIÓN…………………………….................................................................ii AGRADECIMIENTOS............................................................................................... iii INDICE DE FIGURAS.................................................................................................x INDICE DE TABLAS..................................................................................................xi RESUMEN DEL TRABAJO......................................................................................xii I. INTROCUCCIÓN…………………………………………………………………1
II. MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS PARA SÓLIDOS ELÁSTICOS……………………..…..………..………………4
2.1 TEORÍA DE SÓLIDOS ELÁSTICOS.…………………………………...4
Cinemática de sólidos Planos………………………………………….5 Estática de Sólidos Planos……………………………………………..8 Ley de comportamiento para un material elástico e isótropo………..10
2.2 ELEMENTOS FINITOS TRIANGULARES……………………………11
Discretización de un sólido plano en elementos finitos triangulares, T3………………………………...12 Funciones de interpolación lineal para los desplazamientos…………13 Ecuaciones cinemáticas discretizadas…..……………………………15 Ecuación de equilibrio………………………………………………..16 Matriz de rigidez…………………………………………………….17
III. MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
PARA PLACAS.…………………………………………………….………….20
3.1 TEORÍA DE PLACAS DE KIRCHHOFF………………………………20 Representación geométrica de las palcas…………………………….20 Movimiento de una placa de Kirchhoff……………………………...21 Deformaciones de una placa de Kirchhoff.…………………………..24 Esfuerzos de placas de Kirchhoff…………………………………… 26 Leyes de comportamiento para placas de Kirchhoff…………………31 Desacoplamiento del problema en dos análisis………………………32
3.2 ELEMENTO FINITO DKT (Discrete Kirchhoff Triangle)……………..32
Representación de los desplazamientos y funciones de interpolación.33 Ecuaciones cinemáticas discretizadas………………………………..36 Matriz de rigidez del elemento finito DKT…………………………..36 Matriz de fuerzas internas del elemento finito DKT…………………37
v
IV. TEORÍA DEL DAÑO CONCENTRADO……………………………………38
4.1 CINEMÁTICA DE PÓRTICOS PLANOS……………………………...38 Representación del movimiento……………………………………...39 Desplazamientos impuestos………………………………………….40 Deformaciones generalizadas………………………………………...40 Ecuaciones cinemáticas………………………………………………41
4.2 ESTÁTICA DE PÓRTICOS PLANOS…………………………………42
Esfuerzos generalizados……………………………………………...42 Fuerzas externas sobre los nudos…………………………………….43 Ecuaciones de equilibrio......................................................................44
4.3 LEYES DE COMPORTAMIENTO…………………………………….44
Ley de comportamiento elástica lineal……………………………….45 Análisis de pórticos elásticos lineales………………………………..45
4.4 LEYES DE COMPORTAMIENTO ELASTOPLÁSTICAS……………47
Ley de comportamiento elastoplástica perfecta para miembros de pórticos planos…………………………..47 Pórticos elastoplásticos con endurecimiento cinemático…………….49
4.5 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA DE LA FRACTURA………...50
Distribución de esfuerzos en los bordes de un agujero elíptico……...50 El criterio de Griffith…………………………………………………52
4.6 TEORÍA DEL DAÑO CONTINUO……………………………………..54
La variable de daño continuo………………………………………...55 Ley de estado y ley de evolución de la deformación plástica………..57 Ley de evolución del daño para materiales frágiles………………….59 Daño en una rótula plástica…………………………………………..60 Matriz de rigidez de un miembro elastoplástico dañado……………..61 Función de fluencia de una rótula plástica con daño………………...63 Criterio de Griffith en una rótula plástica……………………………64 Resistencia al agrietamiento en un elemento estructural de concreto armado………………………………………65 Determinación indirecta de los parámetros característicos de la resistencia al agrietamiento…………………………………….68 Función de fluencia de la rótula plástica…………………………..…69
V. IMPLEMENTACIÓN DE ELEMENTOS FINITOS EN EL PEEF…………71
5.1 DISEÑO DEL PEEF……………………………………………………..71
Estructura del PEEF………………………………………………….72
vi
5.2 IMPLEMENTACIÓN DE LOS NUEVOS ELEMENTOS.……..………79 Elemento finito triangular de placa T3……………………………….79 Subrutina para la implementación del elemento finito T3 en el PEEF………………………………………………….81 Elemento finito triangular de placa DKT………………………….…88 Subrutina para la implementación del elemento finito DKT en el PEEF……………………………………………….90
5.3 EJEMPLOS DE VALIDACIÓN.……………………………………....107
Validación del elemento finito DKT………………………………..107 Validación del elemento finito T3…………………………………..114 Análisis de una estructura tridimensional de concreto armado……..117
VI. CONCLUSIONES. ………………………………………………...………....128
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS………………………………………..….130
ANEXOS……………………………………………...……………………………131
INDICE DE FIGURAS Figura 2.2.1 Elemento diferencial de volumen de un sólido……………………………………….5 Figura 2.1.2 Desplazamientos del elemento diferencial de volumen……………….………………6 Figura 2.1.3 Desplazamientos de la estructura…………………….………………………………..6 Figura 2.1.4. Deformaciones unitarias de las fibras del EDV en a) dirección X, b) dirección Y, c) en el plano XY...........................…………………..7 Figura 2.1.5. Esfuerzos generalizados para un EDV…………………..……………………………9 Figura 2.2.1. Malla de un sólido plano con elemento finito triangular…………………………….13 Figura 2.2.2. Elemento diferencial de volumen de desplazamientos aproximados………………..14
vii
Figura 3.1.1 Representación geométrica de las placas………………………………………….....21 Figura 3.1.2 Representación del movimiento de la fibra vertical según la teoría de placas de Kirchhoff……………………………………………………………………………..23 Figura 3.1.3 Deformaciones axiales para un elemento de volumen representativo de la placa..….25 Figura 3.1.4 Representación de las deformaciones longitudinales por curvatura en placas según la teoría de Kirchhoff…………………………………...………………………………26 Figura 3.1.5 a) Fuerzas externas en el plano de la placa, b) Fuerzas externas normales al plano de la placa……………………………………………………………………………….27 Figura 3.1.6. Tensor de fuerzas axiales para un elemento de volumen representativo…………….29 Figura 3.1.7 Tensor de flujo de momentos flectores de un EVR de placa………………………...30 Figura 3.2.1 Elemento finito DKT (Discrete Kirchhoff Triangle)…………………………...……33 Figura 3.2.2 Rotaciones βs y βn……………………...……………………………………………34 Figura 4.1.1 Representación de un pórtico y desplazamientos generalizados de un nudo "i" del mismo……………………..……................................................................................40 Figura 4.1.2 Deformaciones generalizadas del miembro entre los nudos i y j…………………....41 Figura 4.2.1 Esfuerzos generalizados en un miembro de un pórtico plano…………………...…..43 Figura 4.4.1 Modelo de plasticidad concentrada de un miembro de un pórtico plano..…………..48 Figura 4.4.2 Comportamiento de una rótula plástica con endurecimiento cinemático lineal…......49
viii
Figura 4.5.1. Placa con agujero elíptico sometida a tracción uniforme en el infinito………...……51 Figura 4.5.2 Energía total en función de la longitud de la fisura………………………………….53 Figura 4.6.1. Validez de la mecánica de la fractura frágil………………..………………………..55 Figura 4.6.2. Daño en un medio continuo………………………………………………………….56 Figura 4.6.3. Esfuerzo efectivo…………………………………………………………………….58 Figura 4.6.4. Envolvente parabólica en un modelo de daño frágil………………………...………60 Figura 4.6.5. Representación del estado de daño de un miembro de un pórtico plano mediante parámetros de daño…………………………………………………………………..61 Figura 4.6.6 Junta viga-columna para la identificación de la resistencia al agrietamiento………..66 Figura 4.6.7 Fuerza en función del desplazamiento en el ensayo de identificación………………66 Figura 4.6.8 Daño en función de la tasa de disipación de energía….......................………………67 Figura 5.1.1. Método de Newton usado para resolver cada uno de los n problemas locales……... 73 Figura 5.1.2 Diagrama de flujo del programa de elementos finitos…………………….…………76 Figura 5.1.3 Diagrama de flujo del bloque de subrutinas para la solución del problema local………………………………….……………………………………….………78 Figura 5.2.1 Diagrama de flujo de la subrutina del elemento finito de placa T3….………………80
ix
Figura 5.2.2. Diagrama de flujo de la subrutina general para el DKT ……………………...……..88 Figura 5.2.3 Subrutina para el cálculo del jacobiano del elemento finito DKT…….……………..90 Figura 5.3.1. Placa triangular, validación del elemento finito DKT…………………...…………108 Figura 5.3.2 Matriz de Rigidez del DKT de una placa de espesor h, modulo de elasticidad E y μ=0.3……………………………...………………………………….……………. 109 Figura 5.3.3 Placa cuadrada empotrada discretizada con a) cuatro elementos DKT, b) ocho elementos DKT, c) dieciséis elementos DKT………………………………………111 Figura 5.3.4 Placa cuadrada simplemente apoyada discretizada con a) cuatro elementos DKT, b) ocho elementos DKT, c) dieciséis elementos DKT……………………………………...…………………113 Figura 5.3.5 a) Placa sometida a fuerzas en dirección “x” b) Placa de 4 nodos y dos elementos T3 c) Placa de 9 nodos y ocho elementos T3 d) Placa de 25 nodos y treinta y dos elementos T3...………………….……………115 Figura 5.3.6. Mesa de concreto armado con carga uniformemente distribuida……………………………………………….…..119 Figura 5.3.7 Malla con elementos finitos de placa: a) 2 elementos, b) 4 elementos, c) 8 elementos d) 32 elementos.......……………...119 Figura 5.3.8 Mesa sometida a desplazamientos en la dirección del eje X……...………………..122 Figura 5.3.9 Fuerza vs. Desplazamiento en dirección X de un nodo………………………..…..124 Figura 5.3.10 Mesa sometida a solicitaciones combinadas…………………..……………………126
x
INDICE DE TABLAS Tabla 3.2.1 Índices i, k y m para el elemento finito DKT………………………………………..35 Tabla 3.2.2 Funciones Ni y Pk para el elemento finito DKT …...……………………………….35
Tabla 3.2.3 Coordenadas de integración de Hammer…….....................…………………………35 Tabla 3.2.4 Valores de [J]…………………………………………………………………….......36 Tabla 5.3.1. Reacciones en los apoyos de la placa triangular…………………………………..109 Tabla 5.3.2 Flecha en el centro de la placa, empotrada en el contorno, sometida a una fuerza concentrada para la malla del caso “a”…………………………………...………...112 Tabla 5.3.3 Flecha en el centro de la placa sometida a una fuerza concentrada para la malla del caso de “a”………………………………………………………………………….112 Tabla 5.3.4 Solución obtenida de PEEF para la flecha en el centro de la placa, de contorno empotrado, sometida a una fuerza concentrada…………………………………….112 Tabla 5.3.5 Flecha en el centro de la placa, simplemente apoyada en las esquinas, sometida a una fuerza concentrada para la malla del caso de “a”…………………………………..114 Tabla 5.3.6 Flecha en el centro de la placa, simplemente apoyada, sometida a una fuerza concentrada, obtenida utilizando el PEEF………………………………………….114 Tabla 5.3.7. Coordenadas constantes de los nodos de las esquinas……………………………...116 Tabla 5.3.8. Fuerzas en los nodos de las esquinas………………………………………………116 Tabla 5.3.9. Desplazamientos en X en los nodos de las esquinas Malla “b”..…………....116
xi
Tabla 5.3.10. Desplazamientos en X en los nodos de las esquinas, Malla “c”…………...…...….117 Tabla 5.3.11. Desplazamientos en X en los nodos de las esquinas, Malla “d”………………..…117 Tabla 5.3.12 Resumen de las flechas en las esquinas de la mesa………………………………...120 Tabla 5.3.13 Resumen de las reacciones verticales en los nodos empotrados…………………...121 Tabla 5.3.14 Carga total vertical en la placa……………………………………………………...121 Tabla 5.3.15 Desplazamientos y fuerzas en las esquinas de la placa. Malla 2E…………………123 Tabla 5.3.16 Desplazamientos y fuerzas en las esquinas de la placa. Malla 32E………………..123 Tabla 5.3.17 Desplazamientos horizontales y fuerzas en las esquinas de la placa. Malla 32E….126 Tabla 5.3.18 Flechas en las esquinas de la placa. Malla 32E…………………………………….127
xii
RESUMEN
“Análisis de Estructuras Tridimensionales de Concreto Armado mediante la Teoría de Daño”
Br. Analí Angélica Cabeza Guerra
Tutor: Prof. Julio Flórez López Cotutor: Prof. Maylett Uzcátegui
En esta tesis se describe la implementación de dos nuevos elementos finitos en
un programa de análisis estructural para pórticos tridimensionales de concreto armado.
Este programa, denominado PEEF (Programa Endógeno de Elementos Finitos)
permite la inclusión de elementos finitos con un número arbitrario de nodos, cada uno de los cuales puede tener un número indefinido de grados de libertad.
Antes del inicio de este trabajo, la biblioteca de elementos de PEEF sólo incluía
elementos para el análisis de pórticos de concreto armado basados en la teoría del daño concentrado. Los nuevos elementos implementados en el programa permiten el análisis de placas elásticas.
El primero de ellos, denominado elemento T3, caracteriza el comportamiento
de placas sometidas a acciones en su plano. El segundo elemento, denominado DKT, utiliza la teoría de placas delgadas de Kirchhoff para determinar el comportamiento a flexión de este tipo de estructuras.
Ambos elementos, que pueden usarse separadamente o en conjunto,
corresponden a triángulos de aristas rectas y tres nudos. El T3 supone una aproximación lineal para los desplazamientos en el plano de la placa. El elemento DKT supone una aproximación lineal para las rotaciones normales y una aproximación cuadrática para las rotaciones tangentes.
Los elementos fueron validados comparando los resultados obtenidos utilizando
PEEF con soluciones analíticas o resultados numéricos descritos en las referencias bibliográficas.
Finalmente se muestra el análisis de una estructura conformada por una placa
elástica cuadrada apoyada sobre cuatro columnas de concreto armado, sometida a tres casos de cargas; el primer caso corresponde a una carga vertical uniformemente distribuida sobre la placa (uso del DKT); en el segundo la estructura está sometida a desplazamientos horizontales (uso del T3), y en el último caso se combina la carga vertical distribuida con los desplazamientos horizontales (T3 y DKT).
I. INTROCUCCIÓN
Venezuela en los últimos años ha sido testigo de sucesos que señalan la
presencia de fallas en los criterios de estabilidad y seguridad de sus estructuras. Por
ejemplo, el Viaducto Caracas- La Guaira, que colapsó en el año 2006, debido al
empuje de la montaña donde se apoyaba su estribo sur [1]. O también las estructuras
que se derrumbaron durante el terremoto que ocurrió en 1997, en el estado Sucre; una
de ellas el Liceo Raimundo Martínez Centeno (LRMC), donde murieron 18 personas
entre estudiantes y maestros [2]. Acontecimientos como éstos despiertan la necesidad
de saber cuál es el comportamiento real de las estructuras ante la acción de ciertas
solicitaciones o demandas externas, y de esta manera poder identificar cuáles son los
errores cometidos en el diseño y construcción de las mismas.
Para conocer la respuesta real de una estructura ante la acción de un agente
externo, se han planteado a través del tiempo diferentes modelos matemáticos que
permiten representarla por medio de variables, ecuaciones y teorías. La teoría que
permite simular matemáticamente el proceso de deterioro de la resistencia y las
propiedades de los materiales en los elementos que componen a cualquier estructura,
se denomina Teoría del daño concentrado.
La teoría del daño concentrado se combina con la teoría de pórticos, para
aplicarse al análisis de estructuras aporticadas [3]. A partir de esta propuesta nace “El
Portal de Pórticos”, que es un programa basado en la Web que permite la simulación
1
numérica del comportamiento sísmico de pórticos bidimensionales de concreto
armado [4].
El programa Portal de Pórticos arroja resultados innovadores y útiles a la hora
de analizar estructuras aporticadas de concreto armado, como es la magnitud y
localización de los daños que podrían ocurrir en la edificación, y en casos extremos,
el colapso de la misma. Sin embargo, también tiene ciertas limitaciones, como es el
hecho de que sólo se pueden analizar estructuras aporticadas de concreto armado,
bidimensionales, con tres grados de libertad por nodo, además de que los usuarios no
pueden introducir nuevos elementos finitos, de acuerdo a sus necesidades de análisis.
Debido a las limitaciones que presenta el Portal de Pórticos, se está
desarrollando un nuevo programa, denominado “Portal de Pórticos 3D (PDP3D)”,
que permite el análisis de estructuras tridimensionales de concreto armado, además de
la inclusión de elementos finitos con un número arbitrario de nodos, cada uno de los
cuales puede tener un número indefinido de grados de libertad, basado
fundamentalmente en el método de los elementos finitos y en la teoría del daño
concentrado [5,6]. El motor del PDP3D se denomina “Programa Endógeno de
Elementos Finitos, (PEEF)”, que está debidamente diseñado para que el PDP3D
pueda cumplir con las funciones antes mencionadas.
Antes del inicio de este trabajo, la biblioteca de elementos de PEEF sólo incluía
elementos para el análisis de pórticos de concreto armado basados en la teoría del
daño concentrado.
Esta tesis tuvo por objeto implementar dos nuevos elementos finitos, en dicho
programa, para el análisis de placas elásticas. Los nuevos elementos finitos, T3 y
2
DKT, permiten modelar placas elásticas delgadas, sometidas a cargas en el plano y/o
cargas perpendiculares. La implementación de estos elementos finitos en el programa
permite simular estructuras tridimensionales, y considerar en su comportamiento la
contribución de elementos que puedan modelarse como placas, por ejemplo el
entrepiso de un edificio o el tablero de un puente.
El elemento finito T3, caracteriza el comportamiento de placas sometidas a
acciones en su plano. El elemento finito DKT, utiliza la teoría de placas delgadas de
Kirchoff, para determinar el comportamiento a flexión de este tipo de estructuras.
Este trabajo esta organizado de la siguiente manera:
En el capítulo II se presenta la teoría de sólidos planos elásticos, la cual se
conjuga con el método de elementos finitos, para dar origen al elemento finito T3.
En el Capítulo III se describe la teoría de placas de Kirchhoff, a partir de la cual
se plantea el elemento finito DKT.
En el capítulo IV se muestra la teoría del daño concentrado, siendo ésta la base
fundamental del diseño del “Programa Endógeno de Elementos Finitos (PEEF)”.
En el capítulo V se explica la estructura del programa, el aporte de los nuevos
elementos finitos, las tareas que se realizan en las nuevas subrutinas, y su validación.
3
II. MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS PARA SÓLIDOS ELÁSTICOS
En este capítulo se desarrollan los aspectos fundamentales que describen la
teoría de sólidos elásticos, incluyendo la forma de incorporar sus variables y las
ecuaciones que la definen. Además se presenta un resumen del método de los
elementos finitos aplicado al análisis de sólidos elásticos. Específicamente se
plantean las expresiones de un elemento finito triangular para sólidos planos, llamado
elemento finito “T3”. Ambos temas a tratar forman parte de la base para el
planteamiento del elemento finito de placa y su implementación en el programa
endógeno de elementos finitos.
2.1 TEORÍA DE SÓLIDOS ELÁSTICOS
La teoría de sólidos elásticos estudia el comportamiento de los sólidos que
sufren una deformación, cuando son sometidos a ciertas solicitaciones, la cual se hace
nula cuando la solicitación se elimina. Esta sección contiene los puntos que permiten
definir por completo el comportamiento de los sólidos elásticos, tal como lo son la
cinemática y la estática de sólidos planos, así como las leyes de comportamiento para
un material elástico e isótropo. En el análisis de cualquier estructura es necesaria la
identificación de un elemento que permita, con mayor facilidad, la representación de
las variables involucradas. A este elemento se le denomina “unidad básica
estructural” (UBE). En el caso particular del estudio de los sólidos, la UBE viene
4
dada por un “elemento diferencial de volumen” (EDV) como por ejemplo, el que se
presenta en la figura 2.1.1.
Figura 2.2.1 Elemento diferencial de volumen de un sólido
Cinemática de sólidos planos
La cinemática permite, en términos generales, relacionar el movimiento con la
deformación del sólido, sin tomar en consideración las causas que lo producen. Para
definir esta relación es necesario establecer las variables que intervienen:
Representación del movimiento.
El movimiento para cada elemento diferencial de volumen se representa por
medio del vector de desplazamiento:
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
vu
U (2.1.1)
5
Donde “u” corresponde al movimiento del EDV en dirección al eje de
referencia X, y “v” al movimiento en dirección al eje Y, con respecto a su posición
inicial, tal como se muestra en la figura 2.1.2
Figura 2.1.2 Desplazamientos del elemento diferencial de volumen
Adicionalmente, el “campo de desplazamiento de la estructura” identifica el
movimiento de la misma, donde “U y V” son funciones de las coordenadas (x, y).
(figura 2.1.3):
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
),(),(
yxVyxU
U (2.1.2)
Figura 2.1.3 Desplazamientos de la estructura.
6
Representación de las deformaciones:
La matriz de deformaciones del EDV de coordenadas (x, y) es:
[ ]( )( )( )⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
yx
yxyx
xy
y
x
,
,,
γ
εε
ε (2.1.3)
Donde, de acuerdo a la figura 2.1.4, se tienen las siguientes interpretaciones
físicas:
εx: es la deformación unitaria de las fibras del EDV en la dirección X
dxx
xδ
ε = (2.1.4)
εy: es la deformación unitaria de las fibras del EDV en la dirección Y
dyy
y
δε = (2.1.5)
γxy: es la deformación angular en el plano XY
βαγ +=xy (2.1.6)
a) b) c)
Figura 2.1.4. Deformaciones unitarias de las fibras del EDV en a) dirección X, b) dirección Y, c) en el plano XY.
7
Ecuaciones cinemáticas
Las ecuaciones cinemáticas relacionan los desplazamientos con las
deformaciones de la siguiente manera:
[ ] [ ] [ ]U∂=ε , [ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=∂
xy
y
x0
0
(2.1.7)
Donde [ es denominada matriz de transformación. ]∂
Estática de sólidos planos
La estática introduce, al análisis de la estructura, las fuerzas externas y los
esfuerzos generalizados, que están relacionados a su vez por medio del principio de
trabajos virtuales.
Representación de las fuerzas externas
Las fuerzas que actúan sobre un sólido plano pueden ser de volumen, de
superficie y/o concentradas. En esta sección se representan por medio de vectores
caracterizados por su magnitud, sentido y dirección.
Fuerzas de Volumen: vienen expresadas por unidad de volumen
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
y
x
fvfv
Fvfv (2.1.8)
Fuerzas de Superficie: se indican por unidad de superficie.
8
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
y
x
fsfs
Fsfs (2.1.9)
Fuerzas Concentradas: son también llamadas cargas puntuales.
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
y
x
fpfp
Fpfp (2.1.10)
Para todos los casos anteriores, [fn] es el vector que representa a la fuerza, Fn
corresponde a su magnitud y indica su dirección y sentido, de acuerdo a los
ejes de referencias. La fuerza total resulta de la combinación de todos los tipos de
fuerzas actuantes sobre la estructura.
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
y
x
fnfn
Representación de los esfuerzos generalizados.
La distribución interna de esfuerzos que produce un sistema de fuerzas
exteriores se representa por medio de una matriz que contiene el esfuerzo de tracción
tanto en la dirección de eje X (σx) como en la dirección del eje Y (σy) , y la fuerza
cortante (τxy) para un EDV (figura 2.1.5).
[ ]( )( )( )⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=yxyxyx
xy
y
x
,,,
τσσ
σ (2.1.11)
Figura 2.1.5. Esfuerzos Generalizados para un EDV
9
Principio de los trabajos virtuales
El principio de los trabajos virtuales se cumple para cualquier sólido o
estructura. El mismo plantea que el equilibrio estático de una estructura se consigue
cuando el trabajo virtual de las fuerzas externas es igual al trabajo virtual de las
fuerzas internas, en un campo de desplazamientos virtuales {U*}
**ei TT = (2.1.12)
El trabajo virtual interno relaciona los esfuerzos con las deformaciones
virtuales, mientras que el trabajo virtual externo se refiere al producto de las fuerzas
externas por los desplazamientos virtuales. Estas expresiones se generalizan a la
estructura en su totalidad realizando la suma infinitesimal de la contribución de cada
EDV, con excepción de las fuerzas puntuales, de la siguiente manera:
[ ] [ ]∫ ∫ ∫=v
T dvTi σε ** (2.1.13)
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑∫ ∫∫ ∫ ∫ ++= fpUdsfsUdvfvUTe T
s
T
v
T ****
Ley de comportamiento para un material elástico e isótropo
Con el fin de definir por completo el comportamiento de la estructura analizada
se relacionan los esfuerzos generalizados y las deformaciones generalizadas, por
medio de la expresión general:
[ ] [ ] [ ]εσ H= (2.1.14)
Donde [H] es la matriz de coeficientes elásticos, por medio de la cual se
introducen las propiedades del material de la estructura de acuerdo a dos criterios:
10
Esfuerzos Planos: este criterio se aplica a estructuras que pueden modelarse por
medio de placas delgadas, donde una dimensión es notablemente más pequeña que el
resto de las dimensiones. En este caso [H] viene dada por la expresión:
[ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=
2100
0101
1 2μ
μμ
μEH (2.1.15)
Deformaciones Planas: se aplica en el modelado de estructuras sólidas largas
con secciones transversales constantes. [H] es entonces calculada por medio de la
siguiente ecuación:
[ ] ( )( )⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
+−=
22100
0101
121 μμμ
μμ
μμEH (2.1.16)
En ambas ecuaciones (2.1.15 y 2.1.16) E es el módulo de elasticidad y μ es el
coeficiente de Poisson.
2.2 ELEMENTOS FINITOS TRIANGULARES
En la sección anterior se exponen ciertas ecuaciones variacionales que permiten
definir el comportamiento de las estructuras que pueden modelarse por medio de la
teoría de sólidos elásticos. Es evidente que en la práctica encontrar la solución
analítica de estas expresiones implica un trabajo complejo; no obstante el método de
elementos finitos, se convierte en una alternativa práctica de cálculo.
11
El método de elementos finitos (MEF) consiste en dividir la estructura en una
serie de particiones llamadas “elementos finitos”, cada una de las cuales se trazan por
medio de puntos llamados “nodos”. Un nodo puede pertenecer a varios elementos
finitos simultáneamente. Al conjunto de nodos se les denomina “malla”, sobre la cual
se realizan los cálculos. A cada nodo se le vinculan las variables que caracterizan el
comportamiento (movimiento, deformación, fuerzas externas, esfuerzos
generalizados), las cuales que se relacionan entre si por medio de un sistema de
ecuaciones definido por “la matriz de rigidez”. El número de ecuaciones de dicho
sistema es proporcional al número de nodos. Los resultados convergen hacia la
solución exacta del sistema de ecuaciones mientras más refinada se genere la malla,
esto implica mayor cantidad de particiones.
En esta sección se expone el método de elementos finitos con discretizaciones
triangulares, con el fin de definir el comportamiento de un sólido plano. Este
elemento finito es identificado como “T3”. Se plantean las funciones de
interpolaciones lineales para los desplazamientos, ecuaciones cinemáticas y de
equilibrio, así como las matrices de fuerzas nodales y de rigidez.
Discretización de un sólido plano en elementos finitos triangulares, T3.
El análisis de estructuras por medio del MEF comienza con su discretización,
una vez que se tiene las características geométricas de la misma. En este caso se
realiza por medio de un número determinado de elementos finitos triangulares, T3, lo
que implica que cada uno de ellos está definido por tres nodos, que son puntos de
conexión entre elementos. El conjunto de nodos y elementos forman la malla, como
12
por ejemplo la mostrada en la figura 2.2.1. A cada nodo le corresponde un
identificador de acuerdo al sistema de numeración global de la estructura, y está
caracterizado por sus coordenadas (x, y) correspondientes a los ejes de referencias.
Figura 2.2.1. Malla de un sólido plano con elemento finito triangular
Funciones de interpolación lineal para los desplazamientos
En el MEF las incógnitas fundamentales son los desplazamientos de cada nodo,
que se presentan en una matriz columna llamada [UN]. Para el caso en que se tengan
dos desplazamientos por nodos, en las direcciones X e Y de acuerdo a un sistema
coordenado, por ejemplo el mostrado en la figura 2.2.1, se tendrá entonces una
matriz [UN] de tamaño 2n, donde “n” es el número total de nodos del sólido o
estructura, de este conjunto sólo se conocen los desplazamientos correspondientes a
los nodos restringidos. La matriz de desplazamientos se expresa de la siguiente
manera:
[ ] [ ]nnT
N vnvuvuU .....2211= (2.2.1)
13
Donde “u” corresponde al desplazamiento del nodo en dirección del eje X, y
“v” al desplazamiento en dirección del eje Y
Sin embargo es evidente que entre nodo y nodo existen infinitos puntos que
también pertenecen al sólido en estudio, que se pueden llamar elementos diferenciales
de volumen (EDV). A fin de conseguir los desplazamientos aproximados de éstos se
aplican las ecuaciones de interpolación lineal, que vienen dadas por la siguiente
expresión matricial:
( )[ ] ( )[ ] [ ]qyxNyxU L ,, = (2.2.2)
( )( )
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
VkUkVjUjViUi
NkNjNiNkNjNi
yxVyxU
000000
,,
Donde [U(x,y)] es la matriz de desplazamientos del EDV de coordenadas (x, y)
que se encuentra dentro del elemento finito de nodos i, j y k (figura 2.2.2), NL la
matriz de funciones de interpolación, y [q] los desplazamientos en dirección X e Y
de los nodos del elemento.
Figura 2.2.2. Elemento diferencial de volumen de desplazamientos aproximados
14
Las funciones de interpolación lineal para cada nodo se definen como [7]:
( ) ( ) ( )[ ]yyxxyyxyyxA
N jkkjkjkji −+−+−=21
( ) ( ) ([ ]yyxxyyxyyxA
N kiikikikj −+−+−=21 ) (2.2.3)
( ) ( ) ( )[ ]yyxxyyxyyxA
N ijjiijjik −+−+−=21
( ) ( ) ( )[ ]kjijikikj xyyxyyxyyA −−+−=21 (2.2.4)
Donde ( )ii yx , , ( )jj yx , y ( )kk yx , son las coordenadas del nodo i, j y k
respectivamente; corresponden a las coordenadas del EDV y A es el área del
elemento finito triangular.
( yx, )
Mientras más pequeños sean los elementos finitos triangulares, la solución será
más parecida a la solución exacta.
Ecuaciones cinemáticas discretizadas
Las ecuaciones cinemáticas relacionan los desplazamientos con las
deformaciones. Partiendo de la teoría de los sólidos planos, las deformaciones se
expresan mediante la ecuación (2.1.7). Adicionalmente, para un punto cualquiera, los
desplazamientos se definen por medio de la igualdad (2.2.2). Combinando ambas
expresiones y resolviendo las derivadas respectivas se obtiene para un elemento
cualquiera “b” la siguiente ecuación cinemática:
[ ] [ ] [ ]bbLb qB=ε (2.2.5)
15
Donde [ε] b es la matriz de deformaciones para cada elemento finito “b”, que
depende de la matriz de transformación local del mismo elemento [ BL] b , y los
desplazamientos de sus nodos, [q] b. También las deformaciones se pueden expresar
en función de todos los desplazamientos de la estructura por medio de la matriz de
transformación global, que se diferencia de la matriz anterior, porque se añaden
columnas “0” en las posiciones que corresponden a los desplazamientos de los nodos
que no pertenecen al elemento, en ese caso se tiene:
[ ] [ ] [ ]NbGb UB=ε (2.2.6)
Ecuación de equilibrio
La ecuación de equilibrio es el vínculo entre las fuerzas externas y los esfuerzos
generalizados. Esta ecuación se obtiene de la combinación del principio de los
trabajos virtuales y la ecuación cinemática. Sabiendo que la deformación y los
esfuerzos son constantes para cada elemento finito triangular, y [ ]*U es la matriz de
desplazamientos virtuales de toda la estructura, resulta:
[ ] [ ] [ Nb
m
b
TbG PBVe =∑
=
σ1
]
[ ]( )
(2.2.7)
(( ) )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−−−−
−−−=
ikijikkikjjk
ijkijk
jiikkj
bL
yyxxyyxxyyxxxxxxxx
yyyyyyB 000
000
Donde “m” es el total de elementos finitos, Ve el volumen del elemento y [PN]
corresponde a la matriz de fuerzas nodales de la estructura de tamaño 2n, ya que
16
contiene la fuerza externa en la dirección X y en la dirección Y de cada uno de los
nodos que conforman la malla. En esta matriz son incógnitas las reacciones o fuerzas
respectivas a los nodos restringidos.
En resumen, hasta ahora se tienen un total de incógnitas de 2n, entre
desplazamientos y reacciones, 3m deformaciones y 3m esfuerzos. Es evidente que
para resolver esta cantidad de incógnitas se necesitan el mismo número de
ecuaciones. La cinemática aporta 3m ecuaciones, que se combinan con las 2n
ecuaciones de equilibrio. Para suplir las 3m ecuaciones faltantes se incorporan ley de
comportamiento, expresión 2.1.14, que se aplica para cada elemento finito triangular.
Matriz de Rigidez
Relacionando la ecuación cinemática, la ecuación de equilibrio y la ley de
comportamiento, se obtiene la siguiente igualdad:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ NN
m
bbGb
TbG PUBHB =⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛∑=1
] (2.2.8)
Al término [ ] [ ] [ ]bGbTbG BHB se asigna a una nueva matriz llamada matriz de
rigidez, global o ampliada, de cada elemento:
[ ] [ ] [ ] [ ]bGbTbGbG BHBK = (2.2.9)
Esta matriz también puede expresarse en términos locales del elemento, en este
caso es función de [ : ]bLB
[ ] [ ] [ ] [ ]bLbTbLbL BHBK = (2.2.10)
17
La matriz de rigidez de la estructura será entonces la sumatoria de cada una de
las matrices de rigidez global de los elementos:
[ ] [ ] [ ] [ ] ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= ∑
=
m
bbGb
TbGN BHBK
1 (2.2.11)
En el caso de que la matriz del elemento esté expresada en términos locales, la
matriz de rigidez de la estructura se obtendrá por medio de un procedimiento llamado
ensamblaje.
Finalmente la ecuación general que permite determinar los desplazamientos y
reacciones por medio del método de los elementos finitos, es:
[ ] [ ] [ ]NNN PUK = (2.2.12)
Matriz de rigidez del elemento finito T3
En el caso particular del elemento finito triangular, T3, bajo el criterio de
esfuerzos planos, se tiene la expresión 2.2.13 que define a la matriz de rigidez local.
Donde h es el espesor del elemento, E el modulo de elasticidad del material, μ el
coeficiente de poisson, xab es la diferencia de (xa - xb) así como análogamente yab es
la diferencia de (ya - yb), y los números 1, 2 y 3 corresponden a los nodos i, j y k del
elemento “b”.
18
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+++
+
=
G y + Hx
yG x + xH y
yG y + xH x
yG x+ xHy
G x+H y
G x y+ y H x
G xx+ y H y
G y+ H x
yG x xHy
G x + Hy
yG yG xyyG yG xyGy + xHx+ yHxxHxyHxHx
yG xG x xyG xG x xyG xG xxHy+ yHy + xH y + y H y + xH y + Hy
4
212
12
21
1221
21212
1231
21113
1213
212 31
221
12
12
2131
12213
21 13
12131
231
12
13
3113
132 312
13
12
31
12232123312313232
23
211 3212232131323123212
32
123221323132133223322
32
2122312 1 231322331 123322 2312
23
bbL A
hK
(2.2.13)
( )( )μμ −+=
111EH ; 12 HH μ= ; ( )μ+
=12EG
Matriz de fuerzas internas del elemento finito T3
La matriz de fuerzas internas [Fi], es el producto de la matriz de rigidez local
del elemento “b” por la matriz de desplazamientos del mismo, y se resta el vector de
fuerzas externas [Fe], debido a cargas distribuidas, fx y/o fy, en caso de que las haya.
En base a esto, se plantea de siguiente expresión:
[ ] [ ] [ ] [ ]FeUKFi bbL −= (2.2.14)
[ ] [ ]fyfxfyfxfyfxAFe T
31
=
Dónde A es el área del elemento, fx y fy son cargas distribuidas en dirección de
los ejes de referencias X e Y respectivamente.
19
III. MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS PARA PLACAS
El objetivo de este capítulo es describir la teoría de placas por medio de
variables y ecuaciones que permitan definir por completo su comportamiento.
Además se aplica el método de elementos finitos (MEF) discretizando las placas con
elementos triangulares denominados DKT, desarrollando sus características, así como
las expresiones que definen la matriz de rigidez, que será el aporte fundamental para
su implementación en el programa endógeno de elementos finitos.
3.1 TEORÍA DE PLACAS DE KIRCHHOFF
El objetivo de esta sección es plantear las variables y expresiones que permitan
explicar el comportamiento de una placa bajo la teoría de Kirchhoff. Para ello se
define, según [7,8], la representación geométrica de las placas, el movimiento, las
deformaciones, los esfuerzos de una placa de Kirchhoff y las leyes de
comportamiento para una placa elástica
Representación geométrica de las placas
Las placas son sólidos deformables formados por dos planos paralelos,
limitados por una superficie cerrada, separados entre sí por el espesor “e” de la placa.
Se representan por medio de un plano equidistante a los planos extremos, llamado
superficie neutra, y una serie de fibras verticales de longitud constante unidas por
dicha superficie.
20
La teoría de Kirchhoff para placas delgadas, admite que estas fibras se
desplazan como cuerpos rígidos y permanecen perpendiculares a la superficie neutra
durante todo su movimiento. La superficie neutra se encuentra en un plano cartesiano
XY, y el elemento de volumen representativo tiene forma de paralelepípedo con
altura igual al espesor “e”, las dimensiones restantes de este elemento corresponden a
los diferenciales dx y dy, tal como se muestra en la figura 3.1.1
e
Y
X
Z
(x,y,0)
Plano neutro
Figura 3.1.1 Representación geométrica de las placas
Movimiento de una placa de Kirchhoff
En general el desplazamiento de una placa se describe como el movimiento de
la superficie neutra y el movimiento de las fibras verticales.
21
El vector de desplazamientos del punto “p” de la superficie neutra viene dado
por la expresión 3.1.1.
( )( )( )⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
yxwyxvyxu
W,,,
(3.1.1) zyx iwiviuW ++=
Donde u, v y w son las componente del desplazamiento de la superficie neutra
en dirección de los ejes X, Y y Z respectivamente. En el caso de que las acciones
externas sean únicamente verticales el campo de desplazamientos de la superficie
neutra queda definido por:
( )yxwW ,= (3.1.2)
En el movimiento de las fibras verticales se supone que las mismas se desplazan
con la superficie neutra y adicionalmente experimentan una rotación, que se
representa mediante el vector ( )0,, yxT θθθ = ; donde θx y θy son los giros alrededor de
los ejes X y Y respectivamente.
El campo de desplazamientos para una placa, en general, se expresa por medio
de la ecuación 3.1.3.
( )(
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−+
=wZvZu
U x
y
θθ
) (3.1.3)
Sin embargo, en la teoría de placas de Kirchhoff se admite que las fibras se
mantienen perpendiculares a la superficie neutra durante todo su movimiento, como
22
se observa en la figura 3.1.2, donde el símbolo u,x representa la derivada parcial de u
con respecto a x, entonces se puede plantear lo siguiente:
xy wTan ,−=≈= ααθ
(3.1.4) yx wTan ,=≈= ββθ
Z
θy
90°
α
Figura 3.1.2 Representación del movimiento de la fibra vertical según la teoría de placas de Kirchhoff
Con el fin de eliminar el signo negativo del giro en la ecuación cinemática, se
introducen las variables auxiliares βx y βy, donde yx θβ −= , xy θβ =
Sustituyendo la expresión 3.1.4 en la 3.1.3 se obtiene la ecuación (3.1.5) que
define el campo de desplazamientos, para placas, según la teoría de Kirchhoff.
( )(
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
=wZwvZwu
U y
x
,
,
) (3.1.5)
23
Las componentes del campo de desplazamiento son respectivamente:
( ) ( )yxwZyxuu xx ,, ,−=
( ) ( )yxwZyxvu yy ,, ,−= (3.1.6)
( )yxwuz ,=
Deformaciones de una placa de Kirchhoff
Las componentes del tensor de deformaciones infinitesimales para placas de
Kirchhoff se expresan de acuerdo a la expresión 3.1.7
2
2
x
wZ
xu
x∂
∂−
∂∂
=ε ; 2
2
y
wZ
yv
y ∂
∂−
∂∂
=ε ; 0=∂∂
=zuz
zε
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂∂
−∂∂
+∂∂
=yx
wZxv
yu
xy
2
21ε ; 0
21
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∂∂
=xw
xw
xzε ; 021
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
=yw
yw
yzε
xyyx εε = ; xzzx εε = ; zyyz εε = (3.1.7)
Agrupando los diferente términos del tensor de acuerdo a su interpretación
mecánica se plantea la siguiente ecuación:
3xn −= εε χ (3.1.8)
Donde nε es el tensor de deformación debido a cargas en el plano de la placa de
Kirchhoff , también llamado deformaciones de membrana, definido por la ecuación
cinemática 3.1.9.
( )⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
xy
y
x
nz
ny
nx
n
vuvu
,,
,
,
2εεε
ε (3.1.9)
24
La interpretación física de las componentes del tensor de deformaciones
infinitesimales en placas debido a cargas en el plano es la siguiente (figura 3.1.3):
nxε : deformación unitaria en la fibra diferencial en la dirección X sobre la
superficie neutra por cargas en el plano.
nyε : deformación unitaria en la fibra diferencial en la dirección Y sobre la
superficie neutra por cargas en el plano
nxyε y : mitad de la deformación angular entre dos fibras diferenciales en las
direcciones x1 y x2 por fuerzas de corte en dirección de X
nyxε
z y
x
yv
y ∂∂
=ε xu
x ∂∂
=ε ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
=xv
yu
xy 21ε
Figura 3.1.3 Deformaciones axiales para un elemento de volumen representativo de la placa
Por otro lado, χ es el tensor de deformaciones por curvatura. Para placas de
Kirchhoff se expresa de acuerdo a la ecuación cinemática (3.1.10), donde el símbolo
w,xx representa la derivada segunda de w con respecto a x dos veces:
25
χ = (3.1.10) ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
xy
yy
xx
xy
y
x
WWW
,
,
,
χχχ
Se admite que las fibras permanecen perpendiculares a la superficie neutra, lo
que conlleva a deformaciones angulares por corte nulas; de esta manera las
componentes del tensor de deformaciones por curvatura corresponden a la pendiente
de la curva que describe la superficie neutra por efectos de la flexión o rotación
alrededor de los ejes X y Y y flexión biaxial debido a cargas verticales o
perpendiculares a la superficie neutra.
y
xy ∂
∂=
βχ
xy
x ∂
∂=
βχ
yy
xy ∂
∂=
βχ
Figura 3.1.4 Representación de las deformaciones longitudinales por curvatura en placas según la teoría de Kirchhoff
Esfuerzos de placas de Kirchhoff
En esta sección se estudia la representación matemática de las fuerzas internas y
externas de las placas.
26
Representación de las Fuerzas Externas
Para representar la acción de fuerzas externas se considera una placa de espesor
2e y área A dividida en dos zonas: σA∂ es la zona donde actúan las fuerzas internas y
la zona donde se imponen los desplazamientos. UA∂
Se consideran dos tipos de fuerzas para definir las acciones internas: las cargas
en el plano (XY) y las normales al mismo plano. A su vez estas fuerzas pueden ser de
superficie (fuerza por unidad de área) y/o de borde (fuerza por unidad de longitud),
como se observa en la figura 3.1.5
Los campos de cargas generalizadas consideradas como acciones externas en
placas se indican de la siguiente manera:
Fuerzas de superficie o de área:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=dz
dy
dx
d
qqq
q Ax ∈∀ (3.1.11)
Fuerza de borde o lineales:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=d
z
dy
dx
d
PPP
P σAx ∂∈∀ (3.1.12)
Momentos distribuidos o borde:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=0
dy
dx
d MM
M σAx ∂∈∀ (3.1.13)
27
a)
b)
Figura 3.1.5 a) Fuerzas externas en el plano, b) Fuerzas externas normales al plano
Trabajo virtual externo en placas de Kirchhoff
El trabajo externo es definido para el campo de desplazamientos virtuales para
placas de Kirchhoff que tienen la siguiente expresión:
( )(
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
=*
,**
,**
*
wzwvZwu
U y
x
) (3.1.14)
Así pues, el trabajo virtual externo para cargas generalizadas es:
∫∫ ∫ ∫ ∫∂
−−+=A A A A
xdxy
dy
ddext dswMdswMdsWPdAWqW
σ σ σ
*,
*,
*** (3.1.15)
Fuerzas internas en placas de Kirchhoff
Cuando un elemento diferencial de volumen de la placa es aislado, actúa sobre
cada una de sus caras un vector tensión, que representa la acción del resto de la placa
sobre el elemento. Los elementos de la matriz de esfuerzos σij, representan las
componentes de los vectores tensión. Las componentes normales de esfuerzos están
asociadas a las fuerzas internas axiales y de flexión, las componentes cortantes de
esfuerzos se asocian a las fuerzas internas de corte y de flexión.
28
El tensor de flujo de fuerzas axiales se designa como N, definida por la
ecuación 3.1.16 en base la figura 3.1.6, y está asociado con el tensor de
deformaciones de membrana. Las fuerzas axiales y cortantes en placas se generan por
cargas en el plano.
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
xy
y
x
ij
NNN
N
(3.1.16)
∫−
=e
exx dzN σ ; ; ∫
−
==e
exyyxxy dzNN σ ∫
−
=e
eyy dzN σ
Figura 3.1.6. Tensor de flujo fuerzas axiales para un elemento de volumen representativo
El tensor de flujo de momentos flectores se define en la expresión 3.1.17, de
acuerdo a la figura 3.1.7. Los momentos flectores se generan por cargas verticales y
está asociado con el tensor de deformaciones por curvatura.
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
yx
y
x
MMM
M (3.1.17)
29
∫−
=e
exx dzzM σ ; ; ∫
−
==e
exyyxxy dzzMM σ ∫
−
=e
eyy dzzM σ
Figura 3.1.7 Tensor de flujo de momentos flectores de un EVR de placa
M y N caracterizan el estado de esfuerzos en placas de Kirchhoff sometidas a
fuerzas generalizadas.
Trabajo virtual interno en placas de Kirchhoff
El trabajo de las fuerzas internas en placas de Kirchhoff se obtiene al desarrollar
la expresión:
∫∫∫=V
dVW **int : εσ (3.1.18)
La ecuación de trabajo interno para cargas generalizadas vienen dada por:
( ) ( ) ∫∫∫∫∫∫ ∫∫ +++++=A
yyA
xyyxA A
xyxyxx dAvNdAvuNdAvvNdAuNW *,
*,
*,
*,
*,
*,
*int 2
121
( ) ( ) ∫∫∫∫∫∫ ∫∫ +++++−A
yyyA
yxxyyxA A
yxxyxyxxx dAwMdAwwMdAwwMdAwM *,
*,
*,
*,
*,
*, 2
121 (3.1.19)
Lo que equivale a:
[ ] [ ] [ ] [ ]( )∫∫ +=A
TTn dAMNW ***
int χε (3.1.20)
30
La expresión del trabajo interno para cargas en el plano es:
[ ] [ ]∫∫=A
Tn dANW **
int ε (3.1.21)
La expresión del trabajo interno para cargas verticales es:
[ ] [ ]∫∫=A
T dAMW **int χ (3.1.22)
Leyes de comportamiento para placas de Kirchhoff
En base a las ecuaciones anteriores se desarrollan las leyes de comportamiento
para placas de Kirchhoff sometidas a cargas en su plano y cargas verticales.
Leyes de comportamiento sólo para cargas en el plano.
La ley de comportamiento para placas isótropas y homogéneas sometidas a
cargas en su plano se representa de la siguiente forma:
[ ] [ ] [ ]εHnN = (3.1.23)
( ) ( ) ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
xy
y
x
xy
y
x
vuvu
eE
NNN
,,
,
,
2
2100
0101
1 μμ
μ
μ
Leyes de comportamiento sólo para cargas verticales.
La ley de comportamiento para placas isótropas y homogéneas sometidas a
cargas en su plano se representa de la siguiente forma:
[ ] [ ] [ ]χHmM = (3.1.24)
31
Donde
( ) ( ) ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
xy
yy
xx
xy
y
x
www
eE
MMM
,
,
,
2
3
2100
0101
112 μμ
μ
μ
En ambas ecuaciones, 3.1.23 y 3.1.24, μ es el coeficiente de Poisson, e es el
espesor de la placa y E el módulo de elasticidad.
Desacoplamiento del problema en dos análisis: placas sometidas a fuerzas en su plano y placas sometidas a fuerzas perpendiculares
De acuerdo a las ecuaciones que definen el comportamiento de las placas, se
puede observar que las variables bajo los diferentes casos de cargas son diferentes, y
no intervienen unas con otras. Por lo tanto se plantea un desacoplamiento del
problema al introducir el método de elementos finitos para su solución, es decir, en
los casos de placas sometidas a solicitaciones en el plano que la contiene se utiliza el
elemento finito T3, descrito en la sección 2 del capítulo II. Por otro lado, para el
análisis de placas bajo solicitaciones perpendiculares a su plano, se empleará el
elemento finito DKT, cuyas características y ecuaciones se presentan en la sección a
continuación.
3.2 ELEMENTO FINITO DKT (Discrete Kirchhoff Triangle)
El elemento finito triangular DKT, de acuerdo a los planteamientos de [8],
permite obtener soluciones numéricas al problema de placas delgadas, sometidas a
cargas normales al plano que las contiene, de acuerdo con las hipótesis de Kirchhoff,
32
por medio de la aplicación de ecuaciones relativamente precisas. El DKT es un
elemento finito de tres nodos, como se muestra en la figura 3.2.1, y tres
desplazamientos por nodos.
Figura 3.2.1 Elemento finito DKT (Discrete Kirchhoff Triangle)
Representación de los desplazamientos y funciones de interpolación
Para el elemento finito DKT [8] se tienen tres movimientos posibles por nodos,
los cuales se representan de la siguiente manera:
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
yi
xi
i
n
Wu
ββ (3.2.1)
Donde es el vector de desplazamientos del nodo “i”, Wi es la flecha o
movimiento vertical del nodo, βxi es el giro alrededor del eje X, y βyi el giro
alrededor del eje Y.
[ ]nu
Ahora bien, considerando un lado k del elemento finito triangular, tal como se
observa en la figura 3.2.2, la rotación en el plano sz, es designada como βs y el giro
en el plano nz, se llama βn.
33
Figura 3.2.2 Rotaciones βs y βn
Es evidente que existe una relación entre las rotaciones βs y βn y las rotaciones
βx y βy.
El elemento finito DKT está basado en una aproximación cuadrática para βs y
una lineal para βn [8]. Desarrollando las ecuaciones que permiten definir este vínculo,
se obtiene la siguiente expresión para βx y βy en función de las variables nodales:
( )( ) [ ]ny
iy
iy
i
xi
xi
xi uni
NNNNNN
yx
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡==⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡,1
321
321
ββ
(3.2.2)
Donde son las funciones de interpolación definidas de
acuerdo a las siguientes igualdades:
( )( ) ⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡= ni
NNNNNN
yi
yi
yi
xi
xi
xi ,1
321
321
mmm
kkk
xi CP
LCP
LN
23
23
1 −= ; 222 4
343
mmkkixi CPCPNN −−=
(3.2.3)
mmmkkkxi SCPSCPN
43
43
3 −−=
34
mmm
kkk
yi SP
LSP
LN
23
23
1 −= ; ; xi
yi NN 32 =
(3.2.3) 22
2 43
43
mmkkiy
i SPSPNN −−=
k
jik L
xC = ;
k
jik L
yS = ; 22
ijijk yxL +=
Ni, Pk y Pm, definidas de acuerdo a las tablas 3.2.1 y 3.2.2, son funciones de las
coordenadas de integración de Hammer, que se presentan en la tabla 3.2.3
Tabla 3.2.1 Índices i, k y m para el elemento finito DKT [8]
Nodo i Lado k (i-j) Lado m (i-j) 1 4 (1-2) 6 (3-1) 2 5 (2-3) 4 (1-2) 3 6 (3-1) 5 (2-3)
Tabla 3.2.2 Funciones Ni y Pk para el elemento finito DKT [8]
Ni (i = 1, n) Pk (n+1, 2n)
N1=λ=1-ξ-η
P 4=4ξλ N2=ξ P 5=4ξη N3=η P 6=4ηλ
Tabla 3.2.3 Coordenadas de integración de Hammer [8]
Números de Puntos de Integración
Coordenadas Peso ξ η ω
½ ½ 3 0 ½ 1/6 ½ 0
35
Ecuaciones cinemáticas discretizadas.
Las ecuaciones cinemáticas relacionan los desplazamientos con las
deformaciones. Partiendo de la teoría de placas de Kirchhoff sometidas a cargas
verticales, se obtiene la siguiente expresión [8]:
[ ] [ ] [ ]nuB=χ (3.2.4)
[ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−++−
+−
−
=yyxx
yy
xx
NJNJNJNJNJNJ
NJNJ
JB
ηξηξ
ηξ
ηξ
,12,22,11,21
,11,21
,12,221 (3.2.5)
Donde [B] es la matriz de transformación geométrica del elemento para cada
coordenada de Hammer, xN ξ, y xN η, son las matrices que contienen las derivadas
con respecto a ξ y a η, respectivamente, de las funciones Nx, mostradas en la
expresión 3.2.3; yN ξ, y yN η, son las matrices de las derivadas con respecto a ξ y a η
de las funciones Ny, y así sucesivamente para el resto de las matrices en forma
análoga. Los términos de J y [J] se presentan en la tabla 3.2.4
Tabla 3.2.4 Valores de [J] [8]
DKT J11 X21 = X2-X1 J12 Y21 = Y2-Y1 J21 X31 = X3-X1 J22 Y31 = Y3-Y1 J J11 J22-J12 J21
Matriz de rigidez del elemento finito DKT
La matriz de rigidez local del elemento finito DKT viene dada por la expresión:
36
[ ] [ ] [ ] [ ]∑=
=3
1i
TibL BHBJK ω (3.2.6)
Donde [H] se determina aplicando la igualdad 3.1.24. [B] está definida por la
ecuación 3.2.5 y J se calcula de acuerdo a la tabla 3.2.4. Para determinar la matriz de
rigidez de cada elemento DKT, debe calcularse el término tres
veces, es decir, una vez para cada coordenada de integración de Hammer. Para fines
prácticos, la expresión 3.2.6 se puede escribir de la siguiente manera:
[ ] [ ] [ ]BHBJ Tiω
[ ] [ ]∑=
=3
1iibL KK ξω
(3.2.7) [ ] [ ] [ ] [ ]BHBJK T=ξ
Matriz de fuerzas internas del elemento finito DKT
La matriz de fuerzas internas [Fi], es el producto de la matriz de rigidez local
del elemento “b”, por la matriz de desplazamientos del mismo. A este producto se le
resta el vector de fuerzas externas [Fe], debido a cargas distribuidas normales a la
placa, q, en caso de que las haya. En base a esto, se plantea de siguiente expresión
[8]:
[ ] [ ] [ ] [ ]FeUKFi bbL −= (3.2.8)
[ ] ( ) ( ) ( ) ([ ]2123212313121312 2261 yyxxyyxxqAFe T ++++= )
Dónde A es el área del elemento, Xij es la diferencia de (Xi –Xj), Yij es la
diferencia de (Yi –Yj)
37
IV. TEORÍA DEL DAÑO CONCENTRADO
En los capítulos anteriores ya se han desarrollado las teorías que permiten el
análisis de estructuras, o elementos estructurales, que pueden ser modelados como
placas delgadas, de acuerdo a sus características, como por ejemplo el entrepiso de un
edificio. El objetivo general de este trabajo de investigación es el análisis de
estructuras tridimensionales de concreto armado. Por ello en este capítulo se
describen las bases que fundamentan el análisis de estructuras aporticadas de concreto
armado, así como también se definen algunos modelos matemáticos utilizados en la
representación de su comportamiento, que son la base del desarrollo del programa
PEEF.
4.1 CINEMÁTICA DE PÓRTICOS PLANOS
La cinemática, en general, estudia los movimientos de los cuerpos sin tomar en
cuenta las causas que lo producen, describiendo trayectorias, en función del tiempo,
relativas a un sistema de coordenadas de referencia.
La cinemática de los pórticos planos se representa por medio de las relaciones
matemáticas entre el desplazamiento, o movimiento, y la deformación, o cambio de
forma, de una estructura, denominadas ecuaciones cinemáticas.
38
Representación del movimiento.
Para la representación del movimiento, a manera de ejemplo explicativo, se
muestra en la figura 4.1 una estructura plana aporticada, compuesta por “m”
elementos estructurales intersecados en “n” nodos, que tiene una “posición inicial”
conocida, en el instante de tiempo 0, de acuerdo a las coordenadas según un sistema
de referencias de ejes ortogonales X-Z que se mantiene fijo en el intervalo de tiempo
[0, T]. La forma de la estructura en cualquier instante de tiempo diferente a “0” es
desconocida y se llama “configuración deformada”. La referencia [2] define tres
variables equivalentes para la representación del movimiento a tres niveles diferentes:
el nudo, el miembro y la estructura,.
a) Los desplazamientos generalizados de un nudo i: , donde
son los desplazamiento del nudo en la dirección X, en la dirección Z y su
rotación con respecto a su posición en la configuración inicial (ver figura 4.1.1).
{ } ( , , )u u u uit = 1 2 3
u u u1 2, y 3
b) La matriz de desplazamientos generalizados de un elemento b {q}b entre los
nudos i y j, que está compuesta por los desplazamientos de ambos nudos:
= (q1, q2, ...., q6), caracterizando el movimiento de la barra. )}u{,}u({}q{ tj
ti
tb =
c) La matriz de desplazamientos generalizados de la estructura {U}, compuesta
por los desplazamientos de todos los nudos del pórtico:
= ( , definiendo el movimiento de
toda la estructura.
{ } ({ } ,{ } ,.........,{ } )U u u ut t tnt= 1 2 , ,......, )U U U n1 2 3
39
Figura 4.1.1 Representación de un pórtico y desplazamientos generalizados de un nudo "i" del mismo.
Desplazamientos impuestos.
Cuando se habla de desplazamientos impuestos, se refiere a las restricciones al
movimiento que debe tener la estructura para mantener su estabilidad. Estos valores
son conocidos por el analista durante el intervalo de tiempo [0, T]. También se
pueden especificar las velocidades o aceleraciones en los apoyos, y junto con las
condiciones iniciales en el instante t = 0 y su integración en el tiempo, se consigue la
historia de desplazamientos de los mismos. Es común el uso de las aceleraciones en
los problemas de Ingeniería Sísmica, puesto que las mismas se pueden medir durante
la ocurrencia de un terremoto.
Deformaciones generalizadas.
Por medio de las deformaciones generalizadas se representa el cambio de forma
de un miembro “m” de la estructura, para ello se define la matriz de deformaciones
generalizadas del miembro “b”; la misma se expresa como: ),,(}{ jib δφφ=Φ [2].
x
yZ
u3 u2
u1 Nudo i
40
Donde representan las rotaciones de la tangente al miembro en los extremos i
y j con respecto a la cuerda i-j y δ es el alargamiento de la cuerda con respecto a la
configuración inicial (ver figura 4.1.2). Así pues, esta matriz es nula para el
movimiento de cuerpo rígido de un miembro.
ji y φφ
q]{B[ 0l=
L0 +δ
L0
φi
φj
Figura 4.1.2 Deformaciones generalizadas del miembro entre los nudos i y j.
Ecuaciones cinemáticas.
A fin de relacionar las deformaciones con los desplazamientos generalizados, se
plantean las ecuaciones cinemáticas [2].
}}{Φ
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−
=
0cos0cos
1cos0cos
0cos1cos
][
αααα
αααα
αααα
sensenll
senll
senll
senll
sen
Bol (4.1.1)
De acuerdo a la ecuación anterior, [Bl°] es la "matriz de transformación local",
donde las variables l y α son constantes suponiendo pequeños desplazamientos. La
matriz de transformación se puede expresar como una matriz de transformación
global [B°]b. La ventaja es que permite relacionar las deformaciones en una barra b
con los desplazamientos de todos los nudos de la estructura. Esta matriz se consigue
41
introduciendo columnas adicionales en la matriz de transformación del elemento, que
contienen ceros (0) en los lugares que no corresponden a los grados de libertad del
mismo, de la manera siguiente:
}q]{B[}{ 0l=Φ o (4.1.2) }U{]B[}{ b
0b =Φ
,........3 ,13 ,23....,,.........3 ,13 ,23,....,1
....... 0cos ......0cos ... 0
....... 1cos...... 0cos ...... 0
....... 0cos...... 1cos ...... 0
][
jjjiii
sensenll
senll
senll
senll
sen
B b
−−−−
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−
=°
αααα
αααα
αααα
4.2 ESTÁTICA DE PÓRTICOS PLANOS
La estática de pórticos planos plantea la caracterización de las fuerzas externas
y su distribución en cada uno de los elementos estructurales, así como también las
ecuaciones que relacionan a las fuerzas externas y los esfuerzos. Se aplica para ello el
principio de los trabajos virtuales.
Esfuerzos generalizados.
El principio de los trabajos virtuales se cumple para cualquier sólido o
estructura; en el caso de un pórtico plano formado por n nudos y m miembros, al que
se le imponen unos desplazamientos infinitesimales virtuales {U*}, el trabajo virtual
de las fuerzas externas debe ser igual al trabajo virtual de las fuerzas internas más el
42
trabajo virtual de las fuerzas de inercia (ecuación 4.2.1), cuando se cumple esta
igualdad se dice que la estructura se encuentra en equilibrio dinámico:
**ei TT = (4.2.1) }U{ *∀
En general, el trabajo virtual interno viene dado por el producto de los esfuerzos
por las deformaciones virtuales. Donde el esfuerzo generalizado de la barra b está
expresado como {M}b. El trabajo virtual interno de la estructura es por lo tanto la
expresión que relacionan a los esfuerzos generalizados con las deformaciones
generalizadas:
b
m
1b
tb
**i }M{}{T ∑
=
= Φ (4.2.2)
Los esfuerzos generalizados están definidos por: . Donde mi
y mj corresponden a los momentos flectores en los extremos del miembro y n a la
fuerza axial (ver figura 4.2.1)
)n,m,m(}M{ jit =
mi
mj
n
Figura 4.2.1 Esfuerzos generalizados en un miembro de un pórtico plano.
Fuerzas externas sobre los nudos.
El trabajo virtual de las fuerzas externas es el producto de los desplazamientos
virtuales por las fuerzas externas de la estructura. Los desplazamientos virtuales se
encuentran caracterizados en la matriz {U*}, y las fuerzas externas de la estructura
43
están definidas en la matriz {P}, en la que se ubican las fuerzas en la dirección del
eje X, en la dirección del eje Z, y el momento, respectivamente para cada nodo.
nudo nsobre el fuerzas 1re el nudofuerzas sb
)P,P,P.........,,.....P,P,P(}P{ n31n32n3321t
.... −−= (4.2.3)
El trabajo virtual de las fuerzas externas es por lo tanto:
}P{}U{T t**e = (4.2.4)
El conjunto de fuerzas externas correspondientes a los grados de libertad
restringidos se deben determinar mediante el análisis de la estructura; por otro lado el
conjunto de fuerzas correspondientes a los grados de libertad no restringido son
conocidas e impuestas por el analista.
Ecuaciones de equilibrio.
Substituyendo las ecuaciones (4.2.2) y (4.2.4) en la ecuación de trabajo virtual
(4.2.1), y empleando las ecuaciones cinemáticas puede escribirse:
}{}{][1
PMB b
m
b
tb =∑
=
(4.2.5)
4.3 LEYES DE COMPORTAMIENTO.
En esta sección se plantea la ecuación que relaciona a los esfuerzos
generalizados con las deformaciones generalizadas. Estas ecuaciones toman en cuenta
el material del pórtico y las propiedades según sus secciones. También se plantean los
pasos para la realización del análisis de pórtico, lo que implica identificación de los
datos, incógnitas y ecuaciones utilizadas.
44
Ley de comportamiento elástica lineal
El análisis se realiza en base a la teoría de vigas de Resistencia de Materiales.
De esta manera se obtiene la relación entre las deformaciones generalizadas φi y φj y
los esfuerzos generalizados mi y mj, así como la relación entre n y δ, las cuales se
expresan matricialmente de la siguiente manera:
}]{S[}M{ Φ= ;
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
lAE00
0lEI4
lEI2
0lEI2
lEI4
]S[ (4.3.1)
Donde [S] es llamada matriz de coeficientes elásticos del miembro, E es él
modulo de elasticidad del material del miembro, I el momento de inercia de la
sección transversal de la barra y A su área
En caso de que las cargas distribuidas sobre el miembro no sean nulas, es
necesario añadir a la expresión anterior los esfuerzos generalizados “iniciales” {M0},
los cuales dependen del tipo de fuerzas existentes sobre el miembro.
{ } [ ]{ } { }M S Mo= +Φ (4.3.2)
Análisis de pórticos elásticos lineales.
En este caso en particular se plantean las ecuaciones de acuerdo a las
consideraciones específicas en el análisis de los pórticos elásticos lineales.
Combinando las ecuaciones cinemáticas lineales, la ecuación de equilibrio (4.2.5) y la
45
ley de comportamiento en el caso elástico lineal (4.3.2), se obtiene la siguiente
ecuación matricial:
))}M{]B([}P({}U){])B][S[]B([( b
m
1b
otom
1bb
ooto ∑∑==
−=
(4.3.3) [ ] [ ] [ ]PUK bA =
Cada uno de los términos anteriores representa lo siguiente, según los textos de
elementos finitos:
"matriz de fuerzas nodales": es una matriz columna, resultado de la resta de la
matriz de fuerzas externas sobre los nudos {P} menos la contribución de las fuerzas
distribuidas sobre los elementos, b
m
1b
oto )}M{]B([}P{ ∑=
−
"matriz de rigidez de la estructura": matriz cuadrada, resultado de la suma, de
la matriz de rigidez de los “m” elementos, ([ ] [ ][ ])B S Bo t o ob
b
m
=∑
1
“matriz de rigidez del elemento”: matriz cuadrada, ]B][S[]B[ ooto
El proceso de sumar las matrices de rigidez de cada elemento para obtener la
matriz de rigidez global es llamado “ensamblaje de la matriz de rigidez”, así como, el
proceso de construcción de la matriz de fuerzas nodales también es conocido como su
“ensamblaje”.
De esta manera se obtiene un sistema de ecuaciones lineales para determinar los
desplazamientos nodales desconocidos y las reacciones en los apoyos. A partir de
estos, pueden calcularse los esfuerzos y las deformaciones generalizadas empleando
de nuevo la ecuación cinemática y la ley de comportamiento de cada miembro.
46
4.4 LEYES DE COMPORTAMIENTO ELASTOPLÁSTICAS.
En la sección anterior se plantea la relación entre los esfuerzos y las
deformaciones generalizadas, mediante un modelo lineal, es decir, para cada matriz
de deformaciones generalizadas existe una sola matriz de esfuerzos generalizados, y
viceversa. En ese modelo no es posible la aparición de deformaciones generalizadas
permanentes, en otras palabras, cuando se usan las ecuaciones de los pórticos
elásticos, para las fuerzas externas iguales a cero, sólo pueden existir deformaciones
nulas.
Sin embargo, es obvio que en la práctica existen ciertas deformaciones, debido
a una fuerza externa cuyo valor es superior a cierto límite, que se mantienen aún
cuando la fuerza externa es igual a cero, por ejemplo un alambre que se dobla con la
mano hasta deformarlo permanentemente. Sobrepasado este límite no puede
representarse correctamente el comportamiento estructural sin tomar en cuenta estos
efectos.
El objetivo de esta sección es el estudio de las leyes de comportamiento que
consideran este efecto, a partir de los modelos plásticos o elastoplásticos, en el caso
uniaxial.
Ley de comportamiento elastoplástica perfecta para miembros de pórticos planos.
Este modelo se basa en suponer que un miembro de un pórtico plano está
compuesto por una viga-columna elástica (lineal o no) y dos rótulas (i y j) plásticas en
los extremos, tal como se muestra en la figura 4.4.1.
47
Se introduce, entonces, la variable interna: “matriz de deformaciones
generalizadas plásticas”, en la que se almacenan las rotaciones plásticas de la rótula
"i" y la "j", [2]. )0,,(}{ pj
pi
p φφ=Φ
x
y
Figura 4.4.1 Modelo de plasticidad concentrada de un miembro de un pórtico plano.
La suma de las deformaciones de la viga-columna elástica {Φvc} y las plásticas
{Φp} dan como resultado a las deformaciones generalizadas totales del miembro
{Φ}:
}{}{}{ pvc ΦΦΦ += (4.4.1)
La ley de estado de un miembro elastoplástico viene dada por:
}{}]{S[}{ 0p MM +−= ΦΦ (4.4.2)
Donde [S] es la matriz de rigidez de la viga-columna elástica, que puede ser
constante o depender del alargamiento de la cuerda, y {M0} los esfuerzos
generalizados iniciales.
Las funciones de fluencia, se obtienen considerando rótulas plásticas perfectas:
yiii mmmf −=)( yjjj mmmf −=)( (4.4.3)
rótulas plásticas
lástica viga-columna e
Z
48
La ley de evolución de las deformaciones plásticas generalizadas del miembro
es por lo tanto la siguiente:
⎩⎨⎧
≠φ=φ
0=f y d0= f si 0d0<f o d0<si f0d
iii
iii (4.4.4)
⎩⎨⎧
φ=φ
0=f y d0=si f 0>d0<f o d0< f si 0d
jjj
jjj
Este modelo junto con las ecuaciones cinemáticas y de equilibrio define
perfectamente el comportamiento de la estructura.
Pórticos elastoplásticos con endurecimiento cinemático.
El objetivo de este modelo es introducir términos de endurecimiento cinemático
en las rótulas. Las funciones de fluencia ahora se escriben de la siguiente manera:
yiiiii mxmxmf −−=),( yjjjjj mxmxmf −−=),( (4.4.5)
Se introduce la variable x, la cual corresponde a la posición del centro del
dominio elástico en el espacio de momentos flectores. Ahora se añaden las leyes de
evolución de la misma, para un endurecimiento lineal:
pcx φ= (4.4.6)
El comportamiento de la rótula descrito por este modelo se muestra en la figura
4.4.2 m
my
Figura 4.4.2 Comportamiento de una rótula plástica con endurecimiento cinemático lineal.
φp
my
c
49
4.5 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA DE LA FRACTURA
Las estructuras reales tienen un comportamiento diferente al que se representa
con los modelos mencionados en las secciones anteriores. El modelo elástico, plantea
que los esfuerzos admisibles de la estructura no tienen límites. El modelo
elastoplástico, supone que el material mantiene constante su resistencia durante la
vida útil de la estructura. Sin embargo, las propiedades mecánicas de la estructura y
de los materiales que la componen cambian en el tiempo, degradándose debido a
diversos factores, trayendo como consecuencia la pérdida de su resistencia. Este
proceso de deterioro de resistencia se representa por medio de dos teorías: la
mecánica de la fractura y la teoría del daño continuo.
En la teoría de la mecánica de la fractura, el material se supone frágil, sin embargo,
considera la existencia de fisuras macroscópicas que pueden propagarse, lo que
conlleva a disminución de la resistencia y la rigidez de la estructura y eventualmente
a su colapso.
Con el fin de explicar el comportamiento de un material frágil ante la presencia
de una grieta y su propagación se explica a continuación algunos aspectos
fundamentales como la distribución de esfuerzos en los bordes de un agujero elíptico,
el criterio de Griffith, el cálculo de la tasa de restitución de energía, la resistencia al
agrietamiento y la propagación de fisuras por fatiga.
Distribución de esfuerzos en los bordes de un agujero elíptico.
El objetivo del estudio de la distribución de esfuerzos en los bordes de un
agujero elíptico es determinar las condiciones de propagación de una fisura; para ello
50
se considera una placa de dimensiones infinitas y espesor unitario, de un material
elástico e isótropo, sometida a una tracción S constante en la dirección del eje x2 y
aplicada lejos de un agujero en forma elíptica (ver figura 4.5.1)
S
x2
σmax
Figura 4.5.1. Placa con agujero elíptico sometida a tracción uniforme en el infinito.
Empleando el método Airy puede ser calculada la distribución de esfuerzos en
la placa y se observa que los esfuerzos máximos ocurren en el borde del agujero, en la
dirección del eje x2, y toman un valor de ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=σ
ba21Smax .
Si en la ecuación anterior se estudia el caso en que “b” tiende a 0, tratando de
representar una placa fisurada, se observa que el esfuerzo elástico en la punta de la
fisura tiende a infinito, de manera independiente de su tamaño (a) o del esfuerzo al
que está sometida; este comportamiento no es real, ya que no todas las fisuras se
propagan. Con este análisis se concluye que no se puede predecir la propagación de
2a2b
x1
51
una fisura por medio de criterios de esfuerzos. Según Griffith [10] este fenómeno
puede describirse en base a un análisis de los procesos de transformación de energía
involucrados durante la propagación de la fisura.
El criterio de Griffith.
Según Griffith, la energía total en la placa fisurada puede expresarse de la
siguiente manera:
sex WTWE +−= (4.5.1)
Donde W es la energía de deformación elástica, Tex es el trabajo de las fuerzas
externas y Ws corresponde a una energía superficial asociada a la aparición de nuevas
superficies durante la propagación de la fisura. Para el caso particular considerado, la
energía de deformación es igual a:
EaSWW
22
0π
−= (4.5.2)
Donde W0 es la energía elástica de la placa cuando no hay fisura y E él modulo
de elasticidad del material.
Según la hipótesis de Griffith, el término Ws es proporcional a la longitud de la
fisura y tiene por expresión:
Ws = 4 γ a (4.5.3)
Donde γ es la densidad de energía por unidad de superficie. Supóngase ahora
que la placa esta sometida a desplazamientos impuestos constantes en el infinito, de
tal manera que las reacciones a esos desplazamientos sean iguales a la tracción S. La
52
expresión (4.5.2) sigue siendo válida en ese caso y, además, el trabajo de las fuerzas
externas es nulo. Se tiene por lo tanto:
0
22
Wa4E
aSE +γ+π
−= (4.5.4)
La energía total de la placa puede representarse mediante una parábola cóncava
tal y como se muestra en la figura 4.5.2
E Propagación posible
a
Figura 4.5.2 Energía total en función de la longitud de la fisura.
De la figura mostrada se puede deducir que la propagación de la fisura depende
de un cambio en la energía total de la placa. En el caso de que una fisura tenga una
longitud menor a la correspondiente al punto máximo de la curva y la placa está
sometida a desplazamientos impuestos constante, no hay suministro de energía
mecánica adicional, por lo tanto no hay energía disponible para que ocurra la
propagación de la fisura, independientemente del nivel de esfuerzos en la punta de la
misma. De esta manera se explica el comportamiento en aquellas fisuras que no se
propagan. Ahora bien si la longitud de la fisura tiene un valor igual o superior al
correspondiente al máximo de la gráfica, la propagación de la fisura ocurre con una
disminución en la energía total de la placa. Este remanente de energía se transforma
53
en energía cinética y el proceso de propagación de la fisura es ahora físicamente
posible. Este es el criterio de Griffith que se escribe como: dE/da = 0.
En el caso general el criterio de Griffith puede expresarse de la manera
siguiente:
RG = (4.5.5)
donde:
)TW(dadG ext−−= ;
dadWR s= (4.5.6)
La variable G es denominada “tasa de restitución de energía” o “fuerza
conductora de la grieta” y depende de la geometría, de las propiedades de la
estructura y de sus solicitaciones, es decir, es el resultado de un análisis estructural.
El término R es llamado “resistencia al agrietamiento” y se admite que es una
propiedad del material, de la misma manera que el modulo de elasticidad E o el
esfuerzo de fluencia σy .
4.6 TEORÍA DEL DAÑO CONTINUO
En la sección anterior, se presenta un modelo que define el comportamiento del
material ante la propagación de una fisura, por medio de las leyes de comportamiento
elásticas, que son válidas siempre y cuando las zonas de microagrietamiento,
generadas en el proceso de propagación de las fisuras, sean relativamente pequeñas
comparadas con el tamaño de la estructura.
El objetivo de la teoría del daño continuo, que se presenta en esta sección, es
presentar un nuevo modelo que permita reflejar el comportamiento del material
54
durante la creación de las zonas microagrietadas, en el caso de que las mismas sean
significativamente grandes (ver figura 4.6.1).
Zona Zona i i i i
Teoría del daño continuo
Mecánica de la fractura frágil
Mecánica de la fractura frágil corregida
Figura 4.6.1. Validez de la mecánica de la fractura frágil.
A continuación se presentan algunos aspectos fundamentales como la variable
de daño continuo, la ley de estado y ley de evolución de la deformación plástica, la
ley de evolución del daño para materiales frágiles
La variable de daño continuo
Para definir al daño continuo se introduce una nueva variable interna,
denominada daño, y viene dada por la siguiente expresión [2]:
AAd
n =ω (4.6.1)
De la ecuación anterior se tiene que A es el área de la cara de un elemento de
volumen representativo del material, orientada según la normal ; Ad es el área de nr
55
microdefectos en la misma cara (véase la figura 4.6.2); y ωn es el daño de esa cara en
el elemento de volumen representativo.
Ad= área de micro defectos A = área total
Figura 4.6.2. Daño en un medio continuo.
Es indiscutible que ωn varía en el intervalo [0,1]. Cuando ωn =0, significa que el
elemento de volumen, según la normal nr
, no tiene microdefectos; por otro lado si ωn
=1, representa a un elemento de volumen partido en dos pedazos, según el plano de
normal . En general el campo ωn(nr
xr
) representa la densidad relativa de
microdefectos en planos perpendiculares al vector normal nr
.
Ahora bien, por medio de la hipótesis de daño isótropo se puede suponer que el
daño es aproximadamente constante en todas las direcciones posibles, lo que
simplifica considerablemente la teoría del daño continuo, de la siguiente manera:
nr
ω≅ωn nr
∀ (4.6.2)
Así pues, mediante la variable escalar ω se puede representar el daño en un
elemento de volumen representativo del material.
La teoría de daño continuo propone una alternativa al problema de propagación
de fisuras. Una fisura podría definirse como el conjunto de puntos en los cuales el
56
daño
la deformación plástica.
En el comportamiento elástico o elastoplástico del material influye
necesario incluir la
varia
ión entre la fuerza aplicada y
el áre
toma el valor de uno. De esta manera no sería necesario emplear los conceptos
de la mecánica de la fractura al nivel macroscópico para predecir la propagación de la
fisura. También pueden seguir usándose estos conceptos y utilizar la teoría del daño
continuo únicamente para modelar el comportamiento del material en la zona
microagrietada, o para predecir la iniciación de fisuras en partes de la estructura
donde estas no existen previamente.
Ley de estado y ley de evolución de
significativamente la densidad de microdefectos; lo que hace
ble daño en el análisis, por medio de los siguientes conceptos: El esfuerzo
efectivo y la hipótesis de equivalencia en deformación.
Para describir los conceptos anteriores se considera una barra microagrietada
(figura 4.6.3). El esfuerzo de Cauchy es igual a la relac
a resistente: σ = P/A. El esfuerzo efectivo se define como la fuerza aplicada
sobre el área resistente efectiva: σ = P/(A-Ad), donde el área efectiva es la diferencia
entre el área total A y el área de microdefectos Ad. Todo esto permite relacionar el
esfuerzo efectivo con el esfuerzo de Cauchy y la variable de daño, en la ecuación
siguiente:
ω−σ
=σ (4.6.3) 1
57
igura 4.6.3. Esfuerzo efectivo
Sustituyendo el esfuerzo de Cauchy por el esfuerzo efectivo en las ecuaciones
que corresponden al material intacto, se puede expresar el comportamiento de un
mater
(4.6.4) [2]:
P
F
ial dañado; a esto se le llama la hipótesis de equivalencia.
Considerando la hipótesis de equivalencia, la ley de estado del material
elastoplástico dañado puede ser obtenida a partir de la expresión
σ = E (ε − εp ); o lo que es lo mismo σ = (1-ω)E(ε − εp ) (4.6.4)
La función de fluencia de un material dañado, considerándolo al inicio
perfectamente r edim plástico, también puede obtenerse siguiendo el mismo p oc iento:
01
),(f ≤σ−ω−
σ=σ−σ=ωσ (4.6.5) yy
Las funciones de fluencia de los modelos con endurecimiento cinemático lineal,
se derivan de manera similar.
ólo interviene a través de la función de fluencia:
(4.6.6)
La ley de evolución de las deformaciones plásticas permanece inalterada,
puesto que en ella el esfuerzo s
⎩
⎧ωσωσ≠εωσωσ=ε
0)=, df( y 0)=, f( si 0d0)<, df( o 0)<, f( si 0d
p
p⎨
58
Ley de evolución del daño para materiales frágiles
Al considerar la existencia adicional de una variable interna en la ley de estado,
ución, con el fin de definir por
comp
iento propuesta
es vál
s r la
variab
es necesaria la introducción de una nueva ley de evol
leto la ley de comportamiento uniaxial de un material dañado.
En este caso en particular, el material se caracteriza por tener deformaciones
plásticas nulas o despreciables (εp = 0), es decir, la ley de comportam
ida para materiales frágiles, como el hormigón o la roca.
Para obtener la ley de evolución del daño de un material frágil se supone que
se puede aplicar el criterio de Griffith al caso de las microfisura caracterizadas po
le de daño continuo. La densidad de energía de deformación w puede ser
obtenida a partir de la ley de estado (4.6.4):
2E)1(11),(w εω−=σε=ωε (4.6.7) 22
La tasa de restitución de energía en un elemento de volumen puede definirse
ahora como:
2E1wG ε=2ω∂
∂−= (4.6.8)
La ecuación anterior se obtiene por analogía con la expresión (4.6.9) del
capítulo anterior, sustituyendo la energía de defor
energ
(4.6.9)
mación W por la densidad de
ía de deformación w y la longitud de la fisura a por la variable de daño continuo
ω. El criterio de Griffith al nivel del elemento de volumen se expresa ahora como:
⎩
⎧=ω=>ω<ω<=ω
dRdGy)(RGsi0ddRdGo)(RGsi0d
⎨
59
60
La ley de evolución (4.6.9) revela que si la tasa de restitución de energía G es
menor a la resistencia al agrietamiento del material R, o si se está iniciando una
desca
e obtenerse a partir del comportamiento observado del
mater
Figura 4.6.4. Envolvente parabólica en un modelo de daño frágil [2].
ara el miembro mostrado en la figura 4.4.1, se plantea la existencia de un
den la densidad del agrietamiento en los extremos del
eleme
rga elástica (dG < dR) no existirá evolución de daño. Por el contrario, habrá
crecimiento de las microfisuras si la tasa de restitución de energía es igual a la
resistencia al agrietamiento y no se esta iniciando una descarga elástica. Se admite
que G > R es imposible.
La función de resistencia al agrietamiento (o más precisamente al
microagrietamiento) deb
ial. Por ejemplo, el comportamiento del hormigón en compresión se representa
con frecuencia utilizando una envolvente parabólica de segundo grado (Véase la
figura 4.6.4). Esta clase de modelo correspondería a una función R definida por: R =
a ω2.
−ε
−σ
Daño en una rótula plástica.
P
conjunto de parámetros que mi
nto (figura 4.6.5), tomando valores entre cero y uno, { } ( , , )D d d dt = ,
representando el daño por flexión en la rótula i y la rótula j y el daño debido a las
i j a
fuerzas axiales respectivamente. A diferencia de la variable de daño continuo, el
daño en una rótula plástica está relacionado con grietas macroscopicas en el material.
Las deformaciones genera adas totales del miembro resultan de la suma de
las deformaciones de la viga-columna elástica, las deformaciones plásticas de las
liz
rótula
xpresarse en función de
los esfuerzos generalizados a través de la matriz de flexibilidad elástica [Fo].
no ha
Figu ón d estado de daño de un miembro de un pórtico plano media te pa ñ
uación caracteriza a un modelo de
ño continuo en el caso
particu
s y un término adicional debido al daño en el elemento:
}{}{}]{F[}{}{}{}{ dpodpvc ΦΦΦΦΦΦ ++=++= M (4.6.10)
Las deformaciones de la viga-columna elástica pueden e
Cuando
y agrietamiento, el término adicional {Φd} es nulo.
r 4.6.5 ian
. Representac el rámetros de da o.
Matriz de rigidez de un miembro elastoplástico dañado
La expresión que se muestra a contin
inelasticidad concentrada que es equivalente a la teoría del da
lar de un miembro sometido exclusivamente a fuerzas axiales:
nF033d ω
=δ (4.6.11) 1 ω−
Concreto Modelo de
inelasticidad j ≤ 1Concentrada 0 ≤0 ≤ ≤ 1 i
61
Donde ω es de nuevo la variable de daño c p
alargamiento plástico de la cuerda n es la fuerza axial, es el elemento en la tercera
fila y tercera columna de la matriz de flexibilidad elástica del miembro. En esta
ecuación cuando el daño es igual a cero, no hay deformaciones adicionales y si es
xpresan de la manera siguiente:
{Φd}=[C(D)]{M};
ontinuo, δ corresponde al
033F
igual a 1, se tiene una rótula con flexibilidad infinita (o rigidez nula), es decir, entre la
rótula y la viga-columna elástica no existe conexión y por lo tanto no hay transmisión
de fuerzas axiales.
Cuando los efectos de flexión y axial se combinan, las deformaciones
generalizadas debidas al daño se e
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎢⎢ − i
0
00d1
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
a
033a
j
022j
11i
d1Fd00
0d1
Fd0
Fd
)]D(C[ (4.6.12)
Las ecuaciones (4.6.11) y (4.6.12) coinciden cuando se trata de un miembro
sometido únicamente a fuerza axial, en este caso da es igual a ω. En los casos
restantes la variable de
o alternativamente {M}=[S(D)]{ Φ-Φp }; (4.6.13)
Donde [F(D)] = [C(D)] +[F ] es la matriz de flexibilidad del miembro dañado y
[S(D)] = [F(D)]
daño continuo no corresponde a ninguno de los parámetros de
daño en las rótulas.
La ley de estado de un miembro elastoplástico dañado viene dada por:
{Φ-Φp}=[F(D)]{M};
0
-1 es su matriz de rigidez.
62
La expresión de la matriz de rigidez, para un miembro de sección transversal
constante, en el que se desprecian los efectos geométricamente no lineales, es:
⎥⎥⎥⎥
⎤
⎢⎢
⎡
−= 0)d1(12k)]( j
jii
D[S ; ⎥
⎦⎢⎢
⎢
⎣−
−−−
kL)d1(EA
0)d1)(d1(6)d1(12
a
LEI
)d1)(d1(41k
ji −−−= (4.6.14)
Donde I es el momento de inercia de la sección, L es la longitud de la cuerda, A
su área y E el modulo de elasticidad.
lástica con daño.
El momento efectivo sobre la rótula i se define de la manera siguiente:
Función de fluencia de una rótula p
imm = i
i d1− (4.6.15)
La función de fluencia de una rótula inelástica, es decir, para la cual se
desprecian los efectos inelásticos axiales: alargamientos permanentes y daño axial, en
el caso de una rótula plástica con endurecimiento cinemático no lineal, se presenta
por medio de la siguiente expresión:
eii
iiiii mx
d1m)d,x,m(f −−−
= (4.6.16)
Donde xi es de nuevo el término de endurecimiento cinemático y me es el
momento de primera plastificación de la sección. Las leyes de evolución de xi y de la
rotación plástica son:
63
⎩
⎧≠φ=φ
0=f y d0= f si 0d0<f o d0<si f0d
iii
iii
(4.6.17) dx
⎨
)dpxd]mm([ iipieui −φ−α= p
ii ddp φ=
Donde pi es la rotación plástica acumulada, mu corresponde al momento último
de la sección y α es un parámetro que depende igualmente de la sección tra
del miembro.
ando el miembro de la figura 4.4.1 y suponiendo que el daño asociado
las fuerzas axiales es despreciable (da ≅ 0), la tasa de restitución de energía de una
dio de la siguiente expresión:
nsversal
Criterio de Griffith en una rótula plástica.
Consider
a
rótula plástica puede ser definida ahora por me
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂∂
∂∂
)d1(2Fm
)d1(2Fm
dW
dW
j
022
2j
i
02
j
*
i
*
ji
Donde Gi y Gj representan las tasas de restitución de energía de las rót
⎟⎜=⎟⎜== ,,)G,G(}G{ 11it (4.6.18)
ulas i y j
respectivamente. El criterio de Griffith para la rótula plástica i se escribe:
(4.6.19)
función de
resistencia al agrietamiento.
⎩ ==> iiiii dRdGyRGsi0dd
Donde ddi representa el incremento de daño en la rótula y Ri es su
⎨⎧ <<= iiiii dRdGoRGsi0dd
64
Resistencia al agrietamiento en un elemento estructural de concreto armado.
La resistencia al agrietamiento es una propiedad variable que se obtiene a partir
e resultados experimentales. El método de la variación de la rigidez elástica permite
por
medio
result
d
determinar R en el caso particular de un elemento estructural de concreto armado;
del ensayo de una probeta, como la mostrada en la figura 4.6.6, que representa
la unión entre una viga y una columna; la misma está simplemente apoyada y
sometida a una fuerza en el tope de la columna, que se controla en desplazamientos
que a su vez siguen una serie de cargas y descargas específica. La curva fuerza contra
desplazamiento típica obtenida en un ensayo como este se presenta en la figura 4.6.7.
El modelo de plasticidad concentrada del ensayo se muestra en la figura 4.6.6;
el mismo supone un comportamiento simétrico de la estructura, que permite
exclusivamente el análisis en uno de los elementos. Esta hipótesis se ajusta bien a los
ados experimentales, hasta que se alcanza el máximo de la curva fuerza contra
desplazamiento de la figura 4.6.7. A partir de ese momento, se observa una
localización del daño y la plasticidad en una sola de las rótulas de la estructura y un
comportamiento no simétrico.
65
2P
t
L L
P
Z
X
Figura 4.6.6 Junta viga-columna para la identificación de la resistencia al grietamiento [2]. a
Figura 4.6.7 Fuerza en función del desplazamiento en el ensayo de identificación [2].
El ensayo cumple con ciertas condiciones iniciales que combinadas con la ley
de estado (4.6.13) permiten obtener la relación entre la fuerza y la flecha:
donde ; 30 LEI3Z =)tt)(d(ZP p−= 0Z)d1()d(Z −= (4.6.20)
constante Z0 corresponde a la pendiente elástica inicial, antes de producirse el
agrietamiento del concreto. El daño en la rótula puede medirse empleando la
ecuación:
El término Z es interpretado como la pendiente durante la descarga. La
66
0ZZ1d −= (4.6.21)
Los valores de Z pueden tomarse directamente de la gráfica de la figura 4.6.7.
La tasa de restitución de energía asociada al daño se calcula con los valores de daño,
el momento flector en el momento de iniciar la descarga y la expresión (4.6.19),. La
curva de daño en función de la tasa de restitución de energía se muestra en la figura
4.6.8
Figura 4.6.8 Daño en función de la tasa de restitución de energía [2].
A partir de este gráfico es posible proponer una expresión para la función de
resistencia al agrietamiento en una rótula plástica:
i
iicrii d1
qGR−
)d1ln( −+= (4.6.22)
Donde Gcri y qi son parámetros que dependen de las propiedades del material
del miembro, su geometría y la fuerza axial.
67
Deteragrietamiento.
Los parámetros característicos de la resistencia al agrietamiento en elementos
e concreto armado, se presentan en función del momento de agrietamiento mcr y del
pueden variar ilimitadamente en medidas y disposiciones del refuerzo. Estas dos
propi
minación indirecta de los parámetros característicos de la resistencia al
d
momento último mu de la sección transversal del elemento, debido a que las mismas
edades pueden ser calculadas por el Ingeniero Civil de manera rutinaria
empleando los métodos clásicos de la teoría del concreto armado.
El criterio de Griffith establece que la relación entre el momento flector y el
daño en una rótula plástica se escribe de la siguiente manera:
)d1ln()d1(qG)d1(EI6
Lm 22
cr −−+−= (4.6.23)
sidera una solicitación
monotónica en un elemento estructural de concreto armado, la cual crece hasta
generar un momento sobre la sección igual al momento de agrietam cr
en es
Para calcular el coeficiente Gcr, en función del momento de agrietamiento de la
sección y la rigidez o flexibilidad del elemento, se con
iento (m = m );
e instante se cumple que (G = R) además de que el valor de daño en la rótula es,
nulo (d = 0). Por lo tanto, se tiene según (4.6.23):
EI6Lm2
cr=
Si el momento flector sigue aumentando hasta alcanzar el momento último
resistente mu. Aplicando de nuevo (4.6.23) para es
Gcr (4.6.24)
e caso, se tiene:
68
)d1ln()d uu − (4.6.25) 1(qG)d1(EI6
Lmcr
2u
2u −+−=
u, la función de m2
en función del daño, definida por (4.6.23), debe pasar por un máximo:
Donde du es el daño en la rótula que corresponde al momento máximo que
puede soportar la misma. Adicionalmente se tiene que para m = m
0q)-d1(logq)-d1(G2 uucr =++
La resolución del sistema de ecuaciones formado por (4.6.24) y (4.6.25)
permite el cálculo de q y de du.
Función de fluencia de la rótula plástica.
La función de fluencia de una rótula plástica se supone con endurecimiento
cinem
(4.6.26)
ático lineal y se obtiene mediante la hipótesis de equivalencia en
deformaciones:
ypp mc
d1)d,,m(f
−m
−φ−=φ (4.6.27)
n plástica de la rótula.
Con el fin de determinar la constante my
solicitación monotónica sobre un elemento estructural de concreto armado, si mp es el
valor del momento correspondiente a la primera fluencia del refuerzo longitudinal del
Donde c y my son coeficientes que dependen de las propiedades del miembro y
de la fuerza axial. Los términos m, d y φp representan, por supuesto, el momento, el
daño y la rotació
se considera de nuevo una
miembro, según la ecuación (4.6.26), se tiene:
69
)d1ln()d1(qG)d1(EI6
Lm 22p
Donde dp es daño en la rótula que corresponde al momento plástico mp. La
función de fluencia se hace cero por primera v
ppcrp −−+−= (4.6.28)
ez cuando el momento sobre la rótula
es igual a mp. A pesar de que en ese instante comienza la plastificación de la rótula su
rotación plástica es todavía nula. Según (4.4.24) se tiene en este caso:
p
p
dm
m−
=1
(4.6.29)
Obviamente, my depende de la fuerza axial a través del momento plástico mp.
El último coeficiente del modelo, la constante c, puede ser c
y
alculado si se
conoce la rotación plástica que corresponde al momento último: igualando la
función de fluencia a cero para m = mu se tiene:
puφ
0mcd1 yu
u−
Ahora ya están planteados todos los elementos para formular una ley de
comportamiento para estructuras aporticadas de
m pu =−φ− (4.6.30)
hormigón armado. Este modelo se
puede entender de acuerdo a los principios de pórticos tridimensionales, como se
indica en [11], combinados con la ley de estado (4.6.13), la ley de evolución del daño
(4.6.19, 4.6.22) para las rótulas i y j y la ley de evolución de las deformaciones
plásticas con la función de fluencia, siendo la base del desarrollo de los elementos
finitos viga-columna en dos y tres dimensiones de los cuales se hablará en el capítulo
V. En las figuras 4.6.6 y 4.6.7 se muestran una comparación entre un ensayo y este
modelo.
70
V. IMPLEMENTACIÓN DE ELEMENTOS FINITOS EN EL PEEF
En este capítulo se explica el propósito y funcionamiento del programa PEEF;
así como la implementación de nuevas subrutinas desarrolladas en esta investigación
las cua
l lenguaje de programación Fortran 90. Además presentan los resultados de varias
simul
a de elementos finitos, para la realización de simulaciones
uméricas que representen el proceso de daño en estructuras aporticadas de concreto
ucturales de mampostería de relleno, muros de corte de
concr
les incluyen los elementos finitos triangulares de placa DKT y T3, utilizando
e
aciones, las cuales permitieron corroborar el buen funcionamiento de las nuevas
subrutinas y su vínculo con el programa general, en otras palabras la prueba y
depuración del programa.
5.1 DISEÑO DEL PEEF
El diseño del PEEF pretende la creación de una herramienta computacional,
mediante el uso de la teorí
n
armado, elementos no estr
eto armado, placas elásticas y elementos metálicos con pandeo local; para ello el
programa está diseñado de tal manera que puedan integrarse nuevos elementos finitos
por medio de los cuales se realizan dichas simulaciones. En términos generales el
programa endógeno de elementos finitos (PEEF) tiene por objeto realizar el análisis
de estructuras de concreto armado en tres dimensiones, bajo solicitaciones estáticas y
dinámicas. Además debe permitir que nuevas subrutinas de elementos finitos sean
71
incluidas, de tal manera que el análisis no este limitado al uso exclusivo de
estructuras.
En esta sección se realiza un resumen de la estructura del PEEF y dentro de ella
la intervención de los nuevos elementos finitos.
Estru
uiente manera:
1. Problema Global: Conjunto de subrutinas que se encargan de resolver
.
a los diferentes
eleme s fini
Esqu
e
empo [0, T], para la solución del problema global este intervalo es substituido por
dos instantes
conse
ctura del PEEF
Según [5], PEEF está estructurado de la sig
la ecuación de equilibrio
2. Problemas Locales: Subrutinas que contienen
nto tos, a través de la cual se obtiene el comportamiento de la estructura.
ema general para la solución del Problema Global (Procesador)
Considérese el cálculo del estado de una estructura durante el intervalo d
ti
un conjunto discreto de instantes (0, t1, t2, ....., T). La diferencia entre
cutivos (Δt = t1 – t2) es llamada “paso del problema global”. La estructura es
calculada entonces solamente en los instantes considerados y no para el intervalo
completo. La ecuación de equilibrio en cualquier instante dado puede expresarse en
función de una única incógnita {U}:
0}{)}({][)}({1
=−= ∑=
n
i
t (5.1.1)
kkk PUBUL σα
72
Donde:
{U}: Matriz de desplazamientos nodales de la estructura discretizada.
k: Factor de peso del punto de integración.
atriz de transformación del punto de integración k que depende, entre otras
egración k.
uación de equilibrio junto con las
ente resuelto por el método
uiere la solución del siguiente problema lineal:
α
[B]k: M
cosas, de las funciones de interpolación escogidas.
{σ}k: Medida del esfuerzo en el punto de int
{P}: Matriz de fuerzas nodales.
El “problema global” está definido por la ec
condiciones de contorno en desplazamientos, y es usualm
de Newton. En cada iteración req
0}UU{UL
0}U{}U{
00
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∂∂
=
Donde {U0} representa la matriz de desplazamientos en el instante conside
)}U(L{)}U(L{ =−+≅ (5.1.2)
rado
y en la iteración precedente (figura 5.1.1).
igura 5.1.1. Método de Newton usado para resolver cada uno de los n problemas cales.
Flo
73
Los “problemas locales” consisten en el cálculo de todas las matrices de
así como sus jacobianos, las cuales son necesarias para hallar la matriz de
desplazamientos en la iteración actual del problema global y a su vez {L(U0)} junto
con su derivada. Este problema local es en general no lineal lo que implica el empleo
del método de Newton para resolver cada uno de los n problemas locales
En la figura 5.1.2 se presenta el diagrama de flujo que muestra el esquema
general del programa de elementos finitos a desarrollar.
El objetivo de cada uno de los bloques mostrados en el diagrama es:
• Declaración de variables e inicialización: En este bloque se declaran todas las
variables que serán usadas por el programa con su respectivo significado.
• Lectura del archivo de entrada: Conjunto de subrutinas que se encargan de leer el
archivo de entrada (INP) con los datos del modelo y llena la estructura de datos
definida para el manejo del problema.
• Condiciones iniciales: Bloque de subrutinas que se encargan de establecer las
condiciones iniciales antes de comenzar el análisis, estas condiciones son
dimensionar las matrices y vectores en función del tamaño del problema a
resolver, así como inicializar las variables necesarias a cero.
• Lazo para cada step: Lazo necesario para realizar el análisis (solución del
problema global y problema local) del modelo para cada uno de los steps.
• Inicializar variables de tiempo: Esta subrutina se encarga de actualizar e
inicializar las variables de tiempo para cada step.
esfuerzo
74
• Lazo para el tiempo del step actual menor al tiempo total del step: Este lazo se
ejecuta hasta que el tiempo del step actual es mayor al tiempo total definido para
dicho step.
• Actualizaciones: Subrutinas encargadas de actualizar las variables de
desplazamiento, velocidad y aceleración dependiendo si el problema avanza o
retrocede para el instante de tiempo en estudio.
• Solución del problema y uso del elemento finito: Este bloque de subrutinas se
encarga de resolver el problema global es decir, obtener la solución de la ecuación
de equilibrio. Para realizar este cálculo se necesita que el programa llame a la
subrutina que contiene al elemento finito (solución del problema local), para
posteriormente hacer el ensamblaje, introducir las condiciones de contorno y
fuerzas externas, resolver el sistema de ecuaciones y finalmente evaluar la
convergencia.
• Escritura de los archivos de salida: El programa de elementos finitos
posiblemente creará durante un análisis los siguientes archivos de salidas: archivo
de datos, de resultado, de mensajes y estatus. Estos tienen como objetivo mostrar
a través de visualizaciones, o por medio de archivos de texto, los resultados del
modelo analizado, así como los posibles errores originados durante un análisis.
• Evaluación de las variables de tiempo: Evalúa si el paso de tiempo se va a
incrementar o reducir y a su vez se actualizan las variables de tiempo para el caso
en el que el número de iteraciones es menor al máximo, en caso contrario se
escribe un mensaje indicando el error y se detiene el análisis.
75
Figura 5.1.2 Diagrama de flujo del programa de elementos finitos [5].
LAZO PARA CADA STEP
INICIALIZAR VARIABLES DE TIEMPO
LAZO PARA EL TIEMPO DEL STEP ACTUAL MENOR AL TIEMPO TOTAL DEL STEP
ACTUALIZACIONES
SOLUCION DEL PROBLEMA Y USO DEL ELEMENTO FINITO
ESCRITURA DE LOS ARCHIVOS DE SALIDA
EVALUACION DE LAS VARIABLES DE TIEMPO
FIN
CONDICIONES INICIALES
LECTURA DEL ARCHIVO DE ENTRADA
DECLARACION DE VARIABLES E INICIALIZACION
INICIO
76
Ahora bien, el bloque “Solución del problema y uso del elemento finito”, se
lleva a cabo por medio de la subrutina “Jacobiano_Global”, que se encarga de obtener
el jacobiano global del modelo; sin embargo, previo a esta operación es necesario
determinar elemento por elemento el jacobiano local, y el vector de fuerzas internas.
En otras palabras, el objetivo de las subrutinas que contienen a los diferentes
tipos de elementos finitos es encontrar la solución del problema local.
Hasta ahora el programa contaba con dos elementos finitos. En [6] se explica
que el elemento finito VC2DCA (Viga - columna 2D de concreto armado) permite el
análisis no lineal de estructuras planas de concreto armado. Y el elemento VC3DCA
(Viga - columna 3D de concreto armado), describe el proceso de daño debido a la
flexión biaxial y considera la posibilidad de cargas axiales variables y momentos
torsionales [11]. En general, utilizando cualquiera de los elementos finitos anteriores,
sólo es posible modelar el esqueleto de estructuras aporticadas de concreto armado,
bien sea bidimensionales o tridimensionales.
Los nuevos elementos finitos, T3 y DKT, permiten modelar placas elásticas
delgadas, sometidas a cargas en el plano y/o cargas perpendiculares, tal como se
describe en los capítulos II y III respectivamente. El objetivo de la implementación de
estos elementos finitos en el programa es poder simular estructuras tridimensionales y
considerar en su comportamiento la contribución de elementos que puedan modelarse
como placas, por ejemplo el entrepiso de un edificio o el tablero de un puente.
En la figura 5.1.3 se presenta el diagrama de flujo generalizado, para el bloque
de subrutinas que dan solución al problema local.
77
LAZO DESDE: i = 1, TOTAL DE ELEMENTOS
INICIALIZA LAS VARIABLES LOCALES QUE VARIAN PARA
CADA ELEMENTO FINITO
ELEMENTO FINITO DE PLACA T3
ELEMENTO FINITO DE PÓRTICO
ELEMENTO FINITO DE PLACA DKT
TIPO DE ELEMENTO
ENSAMBLAJE
SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE
ELEMENTOS FINITOS
INICIALIZAR A CERO: JACOBIANO GLOBAL, LOCAL Y
FUERZAS LOCALES
FIN
DECLARACION DE VARIABLES
Figura 5.1.3 Diagrama de flujo del bloque de subrutinas para la solución del problema local.
78
5.2 IMPLEMENTACIÓN DE LOS NUEVOS ELEMENTOS
En esta sección se presenta el procedimiento utilizado para la implementación
en el PEEF de los elementos finitos triangulares de placa T3 y DKT, descritos en los
capítulos 2 y 3 respectivamente, que tienen por objeto simular numéricamente el
comportamiento de placas elásticas, y de esta manera tomar en cuenta su contribución
en el análisis de estructuras tridimensionales de concreto armado, considerando que
algunos elementos que la componen se comportan de acuerdo a estas hipótesis.
Tal como se explicó en la sección anterior cada una de estas subrutinas
corresponden a la solución del problema local, cuya finalidad es determinar la matriz
de fuerzas internas y el jacobiano.
Elemento finito triangular de placa T3
Esta subrutina permite la implementación del elemento finito triangular de placa
T3, descrito en la sección dos del capítulo II; de ella se obtiene la contribución de este
elemento al resto de la estructura por medio del cálculo del jacobiano o matriz de
rigidez local del elemento y la determinación de la matriz de fuerzas internas. Su
diagrama de flujo se presenta en la figura 5.2.1. En cada paso del diagrama se
realizan las siguientes tareas:
• Declaración de variables: En este bloque se declaran todas las variables que
serán usadas en la subrutina con su respectivo significado.
• Traducción de las variables de entrada: se guardan en variables locales,
utilizadas por la subrutina, los valores de los desplazamientos, las coordenadas
79
del elemento y las propiedades, que envía el programa general, necesarias para la
determinación del jacobiano y la matriz de fuerzas internas.
• Cálculo del jacobiano: consiste en la aplicación de la ecuación 2.2.13 para la
determinación de la matriz de rigidez local del elemento.
• Cálculo de las fuerzas internas: se determina el producto de la matriz de rigidez
local del elemento (jacob) por la matriz de desplazamientos, y se resta el vector
de fuerzas externas debido a cargas distribuidas (ecuación 2.2.14).
• Traducción de variables locales a variables del programa general: se transcriben
las matrices de rigidez y de fuerzas internas a las variables definidas para el
programa general.
Figura 5.2.1 Diagrama de flujo de la subrutina del elemento finito de placa T3
TRADUCCIÓN DE VARIABLES LOCALES A VARIABLES DEL
PROGRAMA GENERAL
FIN
CÁLCULO DE LA FUERZA INTERNA
CÁLCULO DEL JACOBIANO EC.2.2.13
TRADUCCIÓN DE LAS VARIABLES DE ENTRADA
DECLARACION DE VARIABLES
INICIO
80
Subrutina para la implementación del elemento finito T3 en el PEEF
***************************************************************** C ELEMENTO TRIANGULAR T3 DE 3 NODOS C VER "Modélisation des estrctures par éléments finis" C Volumen 1 (pag 246) C PLACA 4 C VERSION 4.0 C**************************************************************** C SUBRUTINA DE INTERFASE CON PEEF C VERSION 4.0 C ESCRITA POR ANALI CABEZA C COMENZADA EL 13 DE AGOSTO DEL 2008 C**************************************************************** subroutine uel_T3(rhs,amatrx,svars,energy,ndofel,nrhs,nsvars, 1 props,nprops,coords,mcrd,nnode,u,du,v,a,jtype, 2 time,dtime,kstep,kinc,jelem,params, 3 ndload,jdltyp,adlmag,predef,npredf,lflags, 4 mlvarx,ddlmag,mdload,pnewdt,jprops,njprop,period) C************************************************************* C DECLARACION DE LAS VARIABLES PEEF C************************************************************ C para el significado de estas variables ver el manual C PEEF version 6.7 seccion 1.1.19 C C Las caracteristicas del elemento y de la integracion numérica C son transmitidas por PEEF a placa T3 a traves de la matriz C props:
C props(1): h (espesor de la placa) C props(2): E Modulo de elasticidad C props(3): nu Coeficiente de Poisson C props(4): fx valor de la carga en x por unidad de área C props(5): fy valor de la carga en y por unidad de área C**************************************************************** C include 'aba_param.inc' C
81
Real(kind=8):: rhs(mlvarx,*),amatrx(ndofel,ndofel),props(*), 1 svars(*),energy(8),coords(mcrd,nnode),u(ndofel), 2 du(mlvarx,*),v(ndofel),a(ndofel),time(2),params(*), 3 jdltyp(mdload,*),adlmag(mdload,*),ddlmag(mdload,*), 4 predef(2,npredf,nnode) Real(kind=8):: dtime,pnewdt integer ndofel,nrhs,nsvars,nprops,mcrd,nnode,jtype,kstep,kinc integer jelem,mdload,npredef,mlvarx,jprops(*),lflags(*) C**************************************************************** C DECLARACION DE VARIABLES T3 C**************************************************************** C prop= matriz de propiedades del elemento props C prop(1): h (espesor de la placa) C prop(2): E Modulo de elasticidad C prop(3): nu Coeficiente de Poisson C prop(4): fx valor de la carga en x por unidad de área C prop(5): fy valor de la carga en y por unidad de área C prop(6):x21 C prop(7):x13 C prop(8):x32 C prop(9):y12 C prop(10):y31 C prop(11):y23 C prop(12):Area del elemento C max_prop: tamaño maximo de la matriz prop C fuerza_interna: jacob*desp-fuerza C jacob: matriz de rigidez del elemento C n_desp: numero de grados de libertad del elemento C max_desp: tamaño maximo de las matrices fuerza_interna y rigidez C**************************************************************** integer max_prop,max_desp C parameter(max_prop=12) parameter(max_desp=6) C real*8 prop(max_prop),fuerza_interna(max_desp) real*8 jacob(max_desp,max_desp),desp(max_desp) integer n_desp C**************************************************************** C definicion de variables locales C**************************************************************** C i_prop: contador C i_desp: contador C j_desp: contador
82
C x1: coordenada x del nudo 1 C x2: coordenada x del nudo 2 C x3: coordenada x del nudo 3 C y1: coordenada y del nudo 1 C y2: coordenada y del nudo 2 C y3: coordenada y del nudo 3 C**************************************************************** integer i_prop,i_desp,j_desp real*8 x1,x2,x3,y1,y2,y3 real*8 x21,x13,x32,y12,y31,y23,Area C**************************************************************** C traducción de variables PEEF a variables T3 C**************************************************************** C traducción de props C do i_prop=1,4 prop(i_prop)=props(i_prop) end do C C traducción de las coordenadas del elemento C x1=coords(1,1) x2=coords(1,2) x3=coords(1,3) y1=coords(2,1) y2=coords(2,2) y3=coords(2,3) C C diferencia de las coordenadas C x21=(x2-x1) x13=(x1-x3) x32=(x3-x2) y12=-(y2-y1) y31=-(y1-y3) y23=-(y3-y2) C C Área del elemento C A=1./2.*(xi*(yj-yk)+xj*(yk-yi)+xk*(yi-yj)) C Area=1./2.*(x1*(y23)+x2*(y31)+x3*(y12)) C C traducción de las diferencias de las coordenadas C a la matriz de propiedades prop(6)=x21
83
prop(7)=x13 prop(8)=x32 prop(9)=y12 prop(10)=y31 prop(11)=y23 prop(12)=Area C C traducción de los desplazamientos C n_desp=ndofel do i_desp=1,n_desp desp(i_desp)=u(i_desp) end do C**************************************************************** C LLAMADA A PLACA T3 C CALCULO DE LAS FUERZAS RESIDUALES, C Y JACOBIANO C**************************************************************** call placaT3( e prop,max_prop, e desp,max_desp, s fuerza_interna,jacob) C**************************************************************** C TRADUCCION T3-PEEF C**************************************************************** C do i_desp=1,n_desp rhs(i_desp,1)=-fuerza_interna(i_desp) do j_desp=1,n_desp amatrx(i_desp,j_desp)=jacob(i_desp,j_desp) end do end do C C**************************************************************** C return end C C***************************************************************** C**************************************************************** C ELEMENTO DE PLACA T3 DE 3 NODOS C VER "Modélisation des estrctures par éléments finis" C C PLACA T3 C VERSION 4.0
84
C**************************************************************** C SUBRUTINA PLACA T3 C CALCULO DE LAS FUERZAS RESIDUALES, C Y JACOBIANO C COMENZADA EL 13/08/08 C ESCRITA POR Anali Cabeza C**************************************************************** C subroutine placaT3( e prop,max_prop, e desp,max_desp, s fuerza_interna,jacob) C C**************************************************************** C DECLARACION DE VARIABLES T3 C**************************************************************** C prop= matriz de propiedades del elemento props C prop(1): h (espesor de la placa) C prop(2): E Modulo de elasticidad C prop(3): nu Coeficiente de Poisson C prop(4): fx valor de la carga en x por unidad de área C prop(5): fy valor de la carga en y por unidad de área C prop(12):Area del elemento C max_prop: tamaño maximo de la matriz prop C fuerza_interna: jacob*desp-fuerza C jacob: matriz de rigidez del elemento C max_desp: tamaño maximo de las matrices fuerza_interna y rigidez C desp: matriz de desplazamientos C**************************************************************** C implicit none integer max_prop,max_desp C real*8 prop(max_prop),fuerza_interna(max_desp),jacob(max_desp,max_desp) real*8 desp(max_desp) C C**************************************************************** C DECLARACIONES DE VARIABLES LOCALES PARA EL CÁLCULO DEL JACOBIANO C H1,H2,G C h=prop(1) C E=prop(2) C nu=prop(3) C fx=prop(4) C fy=prop(5) C x21=prop(6)
85
C x13=prop(7) C x32=prop(8) C y12=prop(9) C y31=prop(10) C y23=prop(11) C Area=prop(12) C**************************************************************** C real*8 H1,H2,G real*8 h,E,nu,fx,fy real*8 x21,x13,x32,y12,y31,y23,Area C C**************************************************************** C cálculo del jacobiano C Tabla 2.6.4 pag 248 C**************************************************************** C Traducción de las variables locales C h=prop(1) E=prop(2) nu=prop(3) fx=prop(4) fy=prop(5) x21=prop(6) x13=prop(7) x32=prop(8) y12=prop(9) y31=prop(10) y23=prop(11) Area=prop(12) C H1=E/((1.+nu)*(1.-nu)) H2=nu*H1 G=E/(2.*(1.+nu)) C C Cálculo de jacob C jacob(1,1)=h/(4.*Area)*(y23 ** 2. * H1 + x32 ** 2. * G) jacob(1,2)=h/(4.*Area)*(y23 * H2 * x32 + x32 * G * y23) jacob(1,3)=h/(4.*Area)*(y23 * H1 * y31 + x32 * G * x13) jacob(1,4)=h/(4.*Area)*(y23 * H2 * x13 + x32 * G * y31) jacob(1,5)=h/(4.*Area)*(y23 * H1 * y12 + x32 * G * x21) jacob(1,6)=h/(4.*Area)*(y23 * H2 * x21 + x32 * G * y12) jacob(2,1)=jacob(1,2) jacob(2,2)=h/(4.*Area)*(x32 ** 2. * H1 + y23 ** 2. * G)
86
jacob(2,3)=h/(4.*Area)*(x32 * H2 * y31 + y23 * G * x13) jacob(2,4)=h/(4.*Area)*(x32 * H1 * x13 + y23 * G * y31) jacob(2,5)=h/(4.*Area)*(x32 * H2 * y12 + y23 * G * x21) jacob(2,6)=h/(4.*Area)*(x32 * H1 * x21 + y23 * G * y12) jacob(3,1)=jacob(1,3) jacob(3,2)=jacob(2,3) jacob(3,3)=h/(4.*Area)*(y31 ** 2. * H1 + x13 ** 2. * G) jacob(3,4)=h/(4.*Area)*(y31 * H2 * x13 + x13 * G * y31) jacob(3,5)=h/(4.*Area)*(y31 * H1 * y12 + x13 * G * x21) jacob(3,6)=h/(4.*Area)*(y31 * H2 * x21 + x13 * G * y12) jacob(4,1)=jacob(1,4) jacob(4,2)=jacob(2,4) jacob(4,3)=jacob(3,4) jacob(4,4)=h/(4.*Area)*(x13 ** 2. * H1 + y31 ** 2. * G) jacob(4,5)=h/(4.*Area)*(x13 * H2 * y12 + y31 * G * x21) jacob(4,6)=h/(4.*Area)*(x13 * H1 * x21 + y31 * G * y12) jacob(5,1)=jacob(1,5) jacob(5,2)=jacob(2,5) jacob(5,3)=jacob(3,5) jacob(5,4)=jacob(4,5) jacob(5,5)=h/(4.*Area)*(y12 ** 2. * H1 + x21 ** 2. * G) jacob(5,6)=h/(4.*Area)*(y12 * H2 * x21 + x21 * G * y12) jacob(6,1)=jacob(1,6) jacob(6,2)=jacob(2,6) jacob(6,3)=jacob(3,6) jacob(6,4)=jacob(4,6) jacob(6,5)=jacob(5,6) jacob(6,6)=h/(4.*Area)*(x21 ** 2. * H1 + y12 ** 2. * G) C C**************************************************************** C cálculo de la contribución del elemento al residual C fnv ecuación 2.6.40 pag 249 C fuerzas por unidad de área C**************************************************************** call pro_2mat(6,6,6,1, 1 6,1, 1 6,6,1,jacob,desp, 1 fuerza_interna) C fuerza_interna(1)=fuerza_interna(1)-1./3.*Area*fx fuerza_interna(2)=fuerza_interna(2)-1./3.*Area*fy fuerza_interna(3)=fuerza_interna(3)-1./3.*Area*fx fuerza_interna(4)=fuerza_interna(4)-1./3.*Area*fy fuerza_interna(5)=fuerza_interna(5)-1./3.*Area*fx fuerza_interna(6)=fuerza_interna(6)-1./3.*Area*fy
87
C C**************************************************************** return end C****************************************************************
Elemento finito triangular de placa DKT
Con esta subrutina se incluye en el programa, el elemento finito triangular de
placa DKT, cuyas ecuaciones y características se describen en el capítulo III. En la
figura 5.2.2 se muestran el diagrama de flujo correspondiente a su procedimiento:
CÁLCULO DEL JACOBIANO Y FUERZAS INTERNAS
TRADUCCIÓN DE VARIABLES LOCALES A VARIABLES DEL
PROGRAMA GENERAL
FIN
CALCULO DE DIFERENCIAS DE COORDENADAS DEL
ELEMENTO
CALCULO DEL AREA EC. 2.2.4
TRADUCCIÓN DE LAS VARIABLES DE ENTRADA
DECLARACION DE VARIABLES E INICIALIZACION
INICIO
Figura 5.2.2. Diagrama de flujo de la subrutina general para el DKT
88
En el diagrama de flujo anterior, los pasos denominados Declaración de
variables, traducción de las variables de entrada y traducción de variables locales a
variables del programa general, implican un procedimiento análogo al presentado en
la sección anterior. Ahora bien el cálculo del jacobiano y de las fuerzas internas se
realiza por medio de una subrutina donde se emplean las ecuaciones para la
determinación de la matriz de rigidez del elemento DKT. Estas ecuaciones se
presentan en la sección dos del Capítulo III. El procedimiento a seguir se esquematiza
en el diagrama de flujo de la figura 5.2.3.
La subrutina para el cálculo del jacobiano y la fuerza interna del elemento finito
DKT, comienza, al igual que las anteriores, con la declaración de las variables locales
que serán usadas. Posteriormente se inicializa a cero la matriz jacobiano. Luego para
cada punto de integración de Hammer se determinan sus coordenadas; que son la base
para el cálculo de la matriz de rigidez auxiliar Kξ, a partir de la cual se obtiene
finalmente la matriz de rigidez local del elemento. Para el cálculo de la matriz de
fuerzas internas, una vez hallado el jacobiano o matriz de rigidez local del elemento,
se realiza su producto con la matriz de desplazamientos y se resta el vector de fuerzas
externas debido a cargas distribuidas, en caso de que las haya, de acuero a la ecuación
3.2.7.
89
DECLARACIÓN E INICIALIZACION DE VARIBLES
LAZO PARA CADA PUNTO DE
INTEGRACIÓN DE HAMER
CÁLCULO DE LAS COORDENADAS HAMER
DETERMINACIÓN DE LA MATRIZ Kξ
CALCULO DEL JACOBIANO
CALCULO DE LAS FUERZAS INTERNAS
FIN
INICIO
Figura 5.2.3 Subrutina para el cálculo del jacobiano del elemento finito DKT
Subrutina para la implementación del elemento finito DKT en el PEEF
C**************************************************************** C ELEMENTO DE PLACA ELASTICA DE KIRCHOFF DKT DE 3 NODOS C VER "Modélisation des estrctures par éléments finis" C Volumen 2 (pag 343) Volumen 1 (pag 200) C C PLACA DKT C VERSION 3.0 C**************************************************************** C SUBRUTINA DE INTERFASE CON PEEF
90
C VERSION 3.0 C ESCRITA POR ANALI CABEZA Y J. FLOREZ LOPEZ C COMENZADA EL 1 DE AGOSTO DEL 2008 C****************************************************************
subroutine uel_DKT(rhs,amatrx,svars,energy,ndofel,nrhs,nsvars, 1 props,nprops,coords,mcrd,nnode,u,du,v,a,jtype, 2 time,dtime,kstep,kinc,jelem,params, 3 ndload,jdltyp,adlmag,predef,npredf,lflags, 4 mlvarx,ddlmag,mdload,pnewdt,jprops,njprop,period)
C************************************************************* C DECLARACION DE LAS VARIABLES PEEF C************************************************************ C para el significado de estas variables ver el manual C PEEF version 6.7 seccion 1.1.19 C C Las caracteristicas del elemento y de la integracion numerica C son transmitidas por PEEF a PLACA DKT1 a traves de la matriz C props: C
C props(1): h (espesor de la placa) C props(2): E Modulo de elasticidad C props(3): nu Coeficiente de Poisson C props(4): q valor de la carga uniformemente distribuida C**************************************************************** C include 'aba_param.inc' C
Real(kind=8):: rhs(mlvarx,*),amatrx(ndofel,ndofel),props(*), 1 svars(*),energy(8),coords(mcrd,nnode),u(ndofel), 2 du(mlvarx,*),v(ndofel),a(ndofel),time(2),params(*), 3 jdltyp(mdload,*),adlmag(mdload,*),ddlmag(mdload,*), 4 predef(2,npredf,nnode) Real(kind=8):: dtime,pnewdt integer ndofel,nrhs,nsvars,nprops,mcrd,nnode,jtype,kstep,kinc integer jelem,mdload,npredef,mlvarx,jprops(*),lflags(*)
C C****************************************************************
91
C DECLARACION DE VARIABLES PLACA DKT C**************************************************************** C C prop= matriz de propiedades del elemento props C prop(1):h C prop(2):E C prop(3):nu C prop(4):q C prop(5):x21 C prop(6):x13 C prop(7):x32 C prop(8):y21 C prop(9):y13 C prop(10):y32 C prop(11):A:área del elemento C max_prop: tamaño maximo de la matriz prop C fuerza_interna: jacob*desp-fuerza C jacob: matriz de rigidez del elemento C n_desp: numero de grados de libertad del elemento C max_desp: tamaño maximo de las matrices fuerza_interna y rigidez C****************************************************************
integer max_prop,max_desp C
parameter(max_prop=11) parameter(max_desp=9)
C real*8 prop(max_prop),fuerza_interna(max_desp) real*8 desp(max_desp),jacob(max_desp,max_desp) integer n_desp
C C****************************************************************
C definicion de variables locales C**************************************************************** C i_prop: contador C i_desp: contador C j_desp: contador C x1: coordenada x del nudo 1 C x2: coordenada x del nudo 2 C x3: coordenada x del nudo 3 C y1: coordenada y del nudo 1 C y2: coordenada y del nudo 2 C y3: coordenada y del nudo 3 C****************************************************************
integer i_prop,i_desp,j_desp real*8 x1,x2,x3,y1,y2,y3
92
real*8 x21,x13,x32,y21,y13,y32,Area C**************************************************************** C traducción de variables PEEF a variables PLACA DKT C**************************************************************** C C traducción de props C
do i_prop=1,4 prop(i_prop)=props(i_prop) end do
C C traducción de las coordenadas del elemento C
x1=coords(1,1) x2=coords(1,2) x3=coords(1,3) y1=coords(2,1) y2=coords(2,2) y3=coords(2,3)
C C diferencia de las coordenadas C
x21=(x2-x1) x13=(x1-x3) x32=(x3-x2) y21=(y2-y1) y13=(y1-y3) y32=(y3-y2)
C C Área del elemento C A=1./2.*(xi*(yj-yk)+xj*(yk-yi)+xk*(yi-yj)) C
Area=1./2.*(x1*(-y32)+x2*(-y13)+x3*(-y21)) C C traducción de las diferencias de las coordenadas C a la matriz de propiedades C
prop(5)=x21 prop(6)=x13 prop(7)=x32 prop(8)=y21 prop(9)=y13 prop(10)=y32 prop(11)=Area
C
93
C traducción de los desplazamientos C
n_desp=ndofel do i_desp=1,n_desp desp(i_desp)=u(i_desp) end do
C C**************************************************************** C LLAMADA A PLACA DKT C CALCULO DE LAS FUERZAS RESIDUALES, C Y JACOBIANO C****************************************************************
call PLACA DKT( e prop,max_prop, e desp,max_desp, s fuerza_interna,jacob)
C**************************************************************** C TRADUCCION PLACA DKT-PEEF C**************************************************************** C
do i_desp=1,n_desp rhs(i_desp,1)=-fuerza_interna(i_desp) do j_desp=1,n_desp amatrx(i_desp,j_desp)=jacob(i_desp,j_desp) end do end do
C C**************************************************************** C
return end
C C**************************************************************** C ELEMENTO DE PLACA ELASTICA DE KIRCHOFF DKT DE 3 NODOS C VER "Modélisation des estrctures par éléments finis" C PLACA DKT 3 C VERSION 3.0 C**************************************************************** C SUBRUTINA PLACA DKT 3 C CALCULO DE LAS FUERZAS RESIDUALES, C Y JACOBIANO C COMENZADA EL 1/08/08 C ESCRITA POR Anali Cabeza C****************************************************************
subroutine PLACA DKT(
94
e prop,max_prop, e desp,max_desp, s fuerza_interna,jacob)
C**************************************************************** C DECLARACION DE VARIABLES PLACA DKT C**************************************************************** C C prop= matriz de propiedades del elemento props C prop(1): h C prop(2): E C prop(3): nu C prop(4): q C prop(5):x21 C prop(6):x13 C prop(7):x32 C prop(8):y21 C prop(9):y13 C prop(10):y32 C prop(11):Area C max_prop: tamaño maximo de la matriz prop C fuerza_interna: jacob*desp-fuerza C jacob: matriz de rigidez del elemento C max_desp: tamaño maximo de las matrices fuerza_interna y rigidez C desp: matriz de desplazamientos C C****************************************************************
implicit none integer max_prop,max_desp real*8 prop(max_prop),fuerza_interna(max_desp),jacob(max_desp,max_desp) real*8 desp(max_desp)
C**************************************************************** C DECLARACIONES DE VARIABLES LOCALES PARA EL CÁLCULO DEL JACOBIANO C iH,jH:contadores de Hammer C xi, eta: coordenadas locales de Hammer C max_k:tamaño de la matriz de rigidez K y Kex C iK,jK:contadores de la matriz k C k:matriz auxiliar de rigidez C kex: matriz necesaria para calcular K C C****************************************************************
real*8 eta,xi,wi integer iH,jH,ik,jk integer max_k parameter(max_k=9) real*8 Kex(max_k,max_k)
95
C**************************************************************** C DECLARACIONES DE VARIABLES LOCALES PARA EL CÁLCULO DE LA fuerza_interna C q:prop(4):caraga distribuida C x21:prop(5) C x13:prop(6) C x32:prop(7) C y21:prop(8) C y13:prop(9) C y32:prop(10) C Area:prop(11):área del elelmento C C****************************************************************
real*8 q,x21,x13,x32,y21,y13,y32,Area C**************************************************************** C cálculo del jacobiano C**************************************************************** C C Inicialización, en 0, de la matriz auxilir de rigidez C
do ik=1,9 do jk=1,9 jacob(ik,jk)=0. end do end do
C C Cálculo de la matriz jacob=sumatoria(wi*Kex) C
do iH=1,3 C C Determinación de las coordenadas "iH" de Hammer C
call cal_Hammer( e iH, s wi,xi,eta)
C C Cálculo de la Matriz Kex C
call cal_Kex( e xi,eta,wi, e max_prop,prop,max_k, s kex)
C C jacob=sumatoria(wi*Kex) C
do ik=1,9
96
do jk=1,9 jacob(ik,jk)=jacob(ik,jk)+wi*Kex(ik,jk) end do end do C end do
C**************************************************************** C cálculo de la contribución del elemento al residual C****************************************************************
call pro_2mat(9,9,9,1, 1 9,1, 1 9,9,1,jacob,desp, 1 fuerza_interna)
C C Traducción a Variables locales C
q=prop(4) x21=prop(5) x13=prop(6) x32=prop(7) y21=prop(8) y13=prop(9) y32=prop(10) Area=prop(11)
C fuerza_interna(1)=fuerza_interna(1)-1./6.*Area*q*2. fuerza_interna(2)=fuerza_interna(2)-1./6.*Area*q*(-x21+x13) fuerza_interna(3)=fuerza_interna(3)-1./6.*Area*q*(-y21+y13) fuerza_interna(4)=fuerza_interna(4)-1./6.*Area*q*2. fuerza_interna(5)=fuerza_interna(5)-1./6.*Area*q*(-x32+x21) fuerza_interna(6)=fuerza_interna(6)-1./6.*Area*q*(-y32+y21) fuerza_interna(7)=fuerza_interna(7)-1./6.*Area*q*2 fuerza_interna(8)=fuerza_interna(8)-1./6.*Area*q*(-x13+x32) fuerza_interna(9)=fuerza_interna(9)-1./6.*Area*q*(-y13+y32)
C**************************************************************** return end
C**************************************************************** C Subrutina cal_Hammer_eta C Se realiza el cálculo de la coordenada de Hammer C (eta,wi) C Tabla 2.3.4, Volumen 1 (pag 200) C****************************************************************
subroutine cal_Hammer ( e cont_H,
97
s w_H,coord_xi,coord_eta) C**************************************************************** C Declaración de Variables C cont_H:contandor de Hammer C w_H,coord_H: coordenadas Hammer C****************************************************************
implicit none integer cont_H real*8 w_H,coord_xi,coord_eta
C**************************************************************** C Cálculo de las coordenadas Hammer C****************************************************************
if (cont_H.eq.1)then coord_xi=1./2. coord_eta=1./2. else if (cont_H.eq.2)then coord_xi=0 coord_eta=1./2. else if (cont_H.eq.3)then coord_xi=1./2. coord_eta=0. end if w_H=1./6.
C**************************************************************** return end
C**************************************************************** C SUBRUTINA Kex C En esta Subrutina se realiza e cálculo de la matriz Kex C Según la ecuación 4.3.17, Volumen 2 (pag 348) C C Kex=J*BT*Hf*B C C****************************************************************
subroutine cal_Kex( e xi,eta,wi, e max_prop,prop,max_k, s Kex)
C**************************************************************** C DECLARACIÓN DE VARIABLES DE Kex C xi,eta,wi: coordenadas Hammer C max_prop:tamaño máximo e la matriz de propiedades C prop: matriz de propiedades del elemento props C max_k:máximo tamaño de la matriz Kex C Kex=J*BT*Hf*B
98
C C****************************************************************
implicit none integer max_k,max_prop real*8 eta,xi,wi real*8 prop(max_prop),Kex(max_k,max_k)
C**************************************************************** c DECLARACIÓN DE VARIABLES LOCALES DE Kex C iK,jK:contadores de la matriz Kex C J:valor necesario para el cálculo de Kex C B:matriz función de las coordenadas de Hammer C BT:transpuesta de la matriz B C Hf:matriz función de las propiedades del elemento C max_fB:tamaño máximo de las filas de la matriz B C max_cB:tamaño máximo de las columnas de la matriz B C max_H:tamaño máximode la matriz Hf C****************************************************************
integer max_fB,max_cB,max_H parameter(max_fB=3) parameter(max_cB=9) parameter(max_H=3) real*8 J real*8 B(max_fB,max_cB),BT(max_cB,max_fB),Hf(max_H,max_H) integer ik,jk
C**************************************************************** C Cálculo de las matrices B, BT C y de J C
call cal_B_BT ( e xi,eta, e max_prop,prop, e max_fB,max_cB, s B,BT,J)
C C Cálculo de la Matriz Hf C
call cal_Hf( e max_prop,prop,max_H, s Hf)
C C Producto de las tres Matrices C Kex=J*BT*Hf*B C
call pro_3mat( e 9,3,3,3,
99
e 3,9,9,9, s 9,3,3,9,BT,Hf,B,Kex)
C C Producto Kex=J*BT*Hf*B C
do ik=1,9 do jk=1,9 Kex(ik,jk)=J*Kex(ik,jk) end do end do
C**************************************************************** return end
C**************************************************************** C CÁLCULO DE LAS MATRICES B Y BT C MATRIZ B= EC. 4.3.16 Volumen 2 (pag 347) C BT= MATRIZ TRANSPUESTA DE B C J=Tabla 4.3.3 Volumen 2 (pag 348) C****************************************************************
subroutine cal_B_BT ( e xi,eta, e max_prop,prop, e max_fB,max_cB, s B,BT,J)
C**************************************************************** C DECLARACIÓN DE VARIABLES C MATRIZ B= EC. 4.3.16 Volumen 2 (pag 347) C BT= MATRIZ TRANSPUESTA DE B C J=Tabla 4.3.3 Volumen 2 (pag 348) C max_prop:tamaño máximo de la matriz prop C prop:matriz de propiedades C prop(5):x21 C prop(6):x13 C prop(7):x32 C prop(8):y21 C prop(9):y13 C prop(10):y32 C x21:diferencia de coordenadas x2-x1 C x13:diferencia de coordenadas x1-x3 C x32:diferencia de coordenadas x3-x2 C y21:diferencia de coordenadas y2-y1 C y13:diferencia de coordenadas y1-y3 C y32:diferencia de coordenadas y3-y2 C max_fB:tamaño máximo de las filas de la matriz B C max_cB:tamaño máximo de las columnas de la matriz B
100
C xi,eta= coordendas según la integración de Hammer C****************************************************************
implicit none real*8 eta,xi integer max_fB, max_cB, max_prop real*8 B(max_fB,max_cB),BT(max_cB,max_fB),prop(max_prop) real*8 J
C**************************************************************** C DECLARACIÓN DE VARIABLES LOCALES C iB,jB=CONTADORES AUXILIARES C LK,Ck,Sk,Lm,Cm,Sm=PARÁMETROS AUXILIARESPARA C CALCULAR LAS MATRICES N C dxiNxii= Nx DERIVADA EN FUNCIÓN DE xi C dxiNyii= Ny DERIVADA EN FUNCIÓN DE xi C detaNxii= Nx DERIVADA EN FUNCIÓN DE eta C detaNyii= Ny DERIVADA EN FUNCIÓN DE eta C****************************************************************
integer iB,jB integer max_N parameter (max_N=3) real*8 dxiNx(max_N,max_N),detaNx(max_N,max_N) real*8 dxiNy(max_N,max_N),detaNy(max_N,max_N) real*8 x21,y21,x13,y13,x32,y32 real*8 J22,J12,J21,J11 real*8 L4,C4,S4,L5,C5,S5,L6,C6,S6
C**************************************************************** C TABLA 4.3.2 "Modélisation des estrctures par éléments finis" C*************************************************************** C Traducción a Variables Locales C
x21=prop(5) x13=prop(6) x32=prop(7) y21=prop(8) y13=prop(9) y32=prop(10)
C C Cálculo de las Matrices N C que contienen las derivadas de las ecuaciones de la taba 4.3.1 C volumen 2 C
do iB=1,3 if (iB.eq.1)then
C L4=(x21**2.+y21**2.)**(1./2.)
101
C4=x21/L4 S4=y21/L4 L6=(x13**2.+y13**2.)**(1./2.) C6=(x13)/L6 S6=(y13)/L6
C dxiNx(iB,1)=6. * (1. - xi - eta) * C4 / L4 1 - 6. * xi * C4 / L4 + 6. * eta * C6 / L6 dxiNx(iB,2)=-1. - 3. * (1. - xi - eta) * C4 ** 2. 1 + 3. * xi * C4 ** 2. + 3. * eta * C6 ** 2. dxiNx(iB,3)=-3. * (1. - xi - eta) * C4 * S4 1 + 3. * xi * C4 * S4 + 3. * eta * C6 * S6
C dxiNy(iB,1)=6. * (1. - xi - eta) * S4 / L4 1 - 6. * xi * S4 / L4 + 6. * eta * S6 / L6 dxiNy(iB,2)=-3. * (1. - xi - eta) * C4 * S4 1 + 3. * xi * C4 * S4 + 3. * eta * C6 * S6 dxiNy(iB,3)=-1. - 3. * (1. - xi - eta) * S4 ** 2. 1 + 3. * xi * S4 ** 2. + 3. * eta * S6 ** 2.
C detaNx(iB,1)=-6. * xi * C4 / L4 1 - 6. * (1. - xi - eta) * C6 / L6 + 6. * eta * C6 / L6 detaNx(iB,2)=-1. + 3. * xi * C4 ** 2. 1 - 3. * (1. - xi - eta) * C6 ** 2. + 3. * eta * C6 ** 2. detaNx(iB,3)=3. * xi * C4 * S4 1 - 3. * (1. - xi - eta) * C6 * S6 + 3. * eta * C6 * S6
C detaNy(iB,1)=-6. * xi * S4 / L4 1 - 6. * (1. - xi - eta) * S6 / L6 + 6. * eta * S6 / L6 detaNy(iB,2)=3. * xi * C4 * S4 1 - 3. * (1. - xi - eta) * C6 * S6 + 3. * eta * C6 * S6 detaNy(iB,3)=-1. + 3. * xi * S4 ** 2. 1 - 3. * (1. - xi - eta) * S6 ** 2. + 3. * eta * S6 ** 2.
C else if (iB.eq.2)then
C L5=(x32**2.+y32**2.)**(1./2.) C5=x32/L5 S5=y32/L5 L4=(x21**2.+y21**2.)**(1./2.) C4=x21/L4 S4=y21/L4
C dxiNx(iB,1)=6. * eta * C5 / L5
102
1 - 6. * (1. - xi - eta) * C4 / L4 2 + 6. * xi * C4 / L4 dxiNx(iB,2)=1 - 3. * eta * C5 ** 2. 1 - 3. * (1. - xi - eta) * C4 ** 2. 2 + 3. * xi * C4 ** 2. dxiNx(iB,3)=-3. * eta * C5 * S5 1 - 3. * (1. - xi - eta) * C4 * S4 2 + 3. * xi * C4 * S4
C dxiNy(iB,1)=6. * eta * S5 / L5 1 - 6. * (1. - xi - eta) * S4 / L4 + 6. * xi * S4 / L4 dxiNy(iB,2)=-3. * eta * C5 * S5 1 - 3. * (1. - xi - eta) * C4 * S4 + 3. * xi * C4 * S4 dxiNy(iB,3)=1. - 3. * eta * S5 ** 2. 1 - 3. * (1. - xi - eta) * S4 ** 2. + 3. * xi * S4 ** 2.
C detaNx(iB,1)=6. * xi * C5 / L5 + 6. * xi * C4 / L4 detaNx(iB,2)=-3. * xi * C5 ** 2. + 3. * xi * C4 ** 2. detaNx(iB,3)=-3. * xi * C5 * S5 + 3. * xi * C4 * S4
C detaNy(iB,1)=6. * xi * S5 / L5 + 6. * xi * S4 / L4 detaNy(iB,2)=-3. * xi * C5 * S5 + 3. * xi * C4 * S4 detaNy(iB,3)=-3. * xi * S5 ** 2 + 3. * xi * S4 ** 2
C else if (iB.eq.3)then
C L6=((x13)**2.+(y13)**2.)**(1./2.) C6=x13/L6 S6=y13/L6 L5=(x32**2.+y32**2.)**(1./2.) C5=x32/L5 S5=y32/L5
C dxiNx(iB,1)=-6. * eta * C6 / L6 - 6. * eta * C5 / L5 dxiNx(iB,2)=3. * eta * C6 ** 2. - 3. * eta * C5 ** 2. dxiNx(iB,3)=3. * eta * C6 * S6 - 3. * eta * C5 * S5
C dxiNy(iB,1)=-6. * eta * S6 / L6 - 6. * eta * S5 / L5 dxiNy(iB,2)=3. * eta * C6 * S6 - 3. * eta * C5 * S5 dxiNy(iB,3)=3. * eta * S6 ** 2. - 3. * eta * S5 ** 2.
C detaNx(iB,1)=6. * (1. - xi - eta) * C6 / L6 1 - 6. * eta * C6 / L6 - 6. * xi * C5 / L5 detaNx(iB,2)=1. - 3. * (1. - xi - eta) * C6 ** 2. 1 + 3. * eta * C6 ** 2. - 3. * xi * C5 ** 2.
103
detaNx(iB,3)=-3. * (1. - xi - eta) * C6 * S6 1 + 3. * eta * C6 * S6 - 3. * xi * C5 * S5
C detaNy(iB,1)=6. * (1. - xi - eta) * S6 / L6 1 - 6. * eta * S6 / L6 - 6. * xi * S5 / L5 detaNy(iB,2)=-3. * (1. - xi - eta) * C6 * S6 1 + 3. * eta * C6 * S6 - 3. * xi * C5 * S5 detaNy(iB,3)=1. - 3. * (1. - xi - eta) * S6 ** 2. 1 + 3. * eta * S6 ** 2. - 3. * xi * S5 ** 2.
C end if end do
C C Cálculo de J C
J22=-y13 J12=y21 J21=-x13 J11=x21
C J=J11*J22-J12*J21
C C Cálculo de la Matriz B C ecuación 4.3.16 Volumen 2 (pag347) C
do jB=1,3 B(1,jB)=J22*dxiNx(1,jB)-J12*detaNx(1,jB) B(2,jB)=-J21*dxiNy(1,jB)+J11*detaNy(1,jB) B(3,jB)=-J21*dxiNx(1,jB)+J11*detaNx(1,jB) 1 +J22*dxiNy(1,jB)-J12*detaNy(1,jB) end do
C do jB=4,6 B(1,jB)=J22*dxiNx(2,jB-3)-J12*detaNx(2,jB-3) B(2,jB)=-J21*dxiNy(2,jB-3)+J11*detaNy(2,jB-3) B(3,jB)=-J21*dxiNx(2,jB-3)+J11*detaNx(2,jB-3) 1 +J22*dxiNy(2,jB-3)-J12*detaNy(2,jB-3) end do
C do jB=7,9 B(1,jB)=J22*dxiNx(3,jB-6)-J12*detaNx(3,jB-6) B(2,jB)=-J21*dxiNy(3,jB-6)+J11*detaNy(3,jB-6) B(3,jB)=-J21*dxiNx(3,jB-6)+J11*detaNx(3,jB-6) 1 +J22*dxiNy(3,jB-6)-J12*detaNy(3,jB-6) end do
104
C do iB=1,3 do jB=1,9 B(iB,jB)=1./J*B(iB,jB) end do end do
C C Transpuesta de la matriz B C
do iB=1,3 do jB=1,9 BT(jB,iB)=B(iB,jB) end do end do
C**************************************************************** return end
C**************************************************************** C CÁLCULO DE LA MATRIZ Hf C h: espesor de la placa C E: Modulo de elasticidad C nu: Coeficiente de Poisson C C***************************************************************
subroutine cal_Hf( e max_prop,prop,max_H, s Hf)
C**************************************************************** C DECLARACIÓN DE VARIABLES C max_prop:tamaño máximo de la matriz prop C prop:matriz de propiedades C prop(1): h C prop(2): E C prop(3): nu C prop(4): q C max_H:tamaño máximo de la matriz H C C !1 nu 0 ! C Hf= h**3/12 * E/(1-nu**2)* !nu 1 0 ! C !0 0 (1-nu)/2! C C Hf= h**3/12 * E/(1-nu**2)* Ha C
105
C C***************************************************************
implicit none integer max_prop, max_H real*8 Hf(max_H,max_H), prop(max_prop)
C**************************************************************** C Declaración de las variables locales C iH,jH:contadores de la matriz Hf C Ha:matriz auxiliar para el cálculo de Hf C nu,q,h,E:propiedades de la placa C prop(1): h C prop(2): E C prop(3): nu C prop(4): q C****************************************************************
integer iH,jH real*8 h,E,nu,q real*8 Ha(max_H,max_H)
C**************************************************************** C C Traducción a Variables locales C
h=prop(1) E=prop(2) nu=prop(3) q=prop(4)
C C Cálculo de H C
Ha(1,1)=1. Ha(1,2)=nu Ha(1,3)=0. Ha(2,1)=nu Ha(2,2)=1. Ha(2,3)=0. Ha(3,1)=0. Ha(3,2)=0. Ha(3,3)=(1.-nu)/2.
C do iH=1,3 do jH=1,3 Ha(iH,jH)=E/(1.-nu**2.)*Ha(iH,jH) end do end do
C
106
C Cálculo de Hf do iH=1,3 do jH=1,3 Hf(iH,jH)=h**3./12.*Ha(iH,jH) end do end do
C**************************************************************** return end
5.3 EJEMPLOS DE VALIDACIÓN
Con el fin de validar el programa, verificar el ensamblaje y, la adaptación de los
elementos finitos de placas elásticas DKT y T3, se realizaron varias simulaciones
numéricas. Las primeras constituyen modelos simples a través de los cuales se
verifica que los datos son leídos correctamente por el programa y que el
comportamientos de cada uno de los elementos por separados arroje resultados
correctos; en las segundas se realizaron simulaciones numéricas de estructuras
tridimensionales de concreto armado por medio de las cuales se evalúa el vínculo de
los nuevos elementos finitos, DKT y T3, con otros elementos, y su contribución a la
estructura total.
Validación del elemento finito DKT
Con el fin de verificar que la matriz de rigidez local del elemento finito de placa
elástica DKT está siendo calculada correctamente y que dicha subrutina está
adecuadamente vinculada con el resto del programa, se plantean varias simulaciones
numéricas relativamente sencillas.
107
Placa Triangular
El ejercicio “Placa Triangular”, consiste en una placa discretizada en un sólo
elemento finito de tres nodos, DKT, como se muestra en la figura 5.3.1. Para efectos
de su análisis se modela como una estructura simplemente apoyada en cada uno de
los nodos y con una carga uniformemente distribuida, normal a su plano, de 100
Kg/m2, considerando que sus dimensiones se expresan en (m). Para un coeficiente de
Poisson de μ=0.3, un módulo E=2x109 Kg/m2 y h=0.1m.
Figura 5.3.1. Placa triangular, validación del elemento finito DKT
La matriz de rigidez de esta placa es comparada con el resultado que se presenta
en [8] en función del módulo de elasticidad “E”, su espesor “h” y para un μ=0.3.
(Figura 5.3.2)
108
Figura 5.3.2 Matriz de Rigidez del DKT de una placa de espesor h, modulo de elasticidad E y μ=0.3 [8]
El primer paso es verificar que los valores de la matriz de rigidez son
proporcionales a la matriz presentada en la figura 5.3.2, de acuerdo a la relación
10
3Eh . Luego se comprueba que el resultado de las reacciones verticales en los apoyos
son coherentes (Tabla 5.3.1)
Tabla 5.3.1. Reacciones en los apoyos de la Placa Triangular
Apoyo en elNodo Rv (Kg) 1 -16.667 2 -16.667 3 -16.667
Σ -50.00
Rápidamente se corrobora la certeza de los resultados mostrados en la tabla
5.3.1, ya que la sumatoria de las tres reacciones debe ser igual a la carga vertical total
(CVT), que puede determinarse, en este caso en particular, por medio de la expresión
5.3.1.
CDxACVT = (5.3.1)
109
Substituyendo los valores correspondientes a la carga uniformemente
distribuida (CD) y al área (A), se obtiene la siguiente carga total vertical:
KgmxxmKgCVT 5011
21100 2
2 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
El signo de las reacciones es negativo indicando que tienen sentido contrario a
la carga uniformemente distribuida aplicada.
Este ejercicio que parece tan sencillo es muy útil desde el punto de vista de
validación, ya que permite:
• Verificar que es correcto el intercambio de datos e información entre la
subrutina del DKT y el programa general
• Comprobar que los cálculos realizados en la subrutina del DKT son
confiables
• Evaluar el adecuado vínculo de la subrutina con el resto programa
Placa cuadrada con carga puntual
Este ejercicio consiste en la determinación del desplazamiento del punto central
de una placa cuadrada, en dirección perpendicular al plano que la contiene, cuando la
misma está sometida a una carga concentrada en ese mismo punto. El objetivo es
comparar el resultado obtenido, aplicando el MEF por medio del elemento DKT,
haciendo uso del PEEF, con respecto a la solución exacta expuesta en [8]. La
determinación se presenta para una placa cuadrada con carga puntual y diferentes
casos de apoyo: contornos empotrados y contornos apoyados.
110
Placa cuadrada con carga puntual y contornos empotrados
En este caso se presenta una placa cuadrada discretizada con tres mallas
diferentes, tal como se muestra en la figura 5.3.3. El contorno de la placa está
empotrado, es decir tienen todos los movimientos posibles restringidos. La placa esta
sometida a una carga puntual de 100 Kg en el nodo central de la misma. Sus
coordenadas se expresan en (m). El coeficiente de Poisson es μ=0.3, el módulo
E=2x109 Kg/m2 y el espesor h=0.15m.
a) b) c)
Figura 5.3.3 Placa cuadrada empotrada discretizada con a) cuatro elementos DKT, b) ocho elementos DKT, c) dieciséis elementos DKT.
La flecha para el caso “a” de la figura 5.3.3, viene dada por la expresión:
( )2
3
23
112
1044.12
μ−=
= −
hED
DaP
W (5.3.2)
Dónde “W” es la flecha en el punto central de la placa, “a” su ancho y “P” es la
carga concentrada. De acuerdo a la expresión 5.3.1 se obtienen los resultados que se
exponen en la tabla 5.3.2
111
Tabla 5.3.2 Flecha en el centro de la placa, empotrada en el contorno, sometida a una fuerza concentrada para la malla del caso “a”
P (Kg) E (kg/m2) h (m) Μ a(m) D W (m)
100 2.00E+09 0.15 0.3 1 618132 2.01252E-06
Por otro lado, la solución exacta de la flecha en el centro es:
DaP
W2
3106.5= (5.3.3)
Substituyendo los valores específicos para este ejercicio, en la igualdad anterior,
se obtiene la solución exacta para la flecha, mostrada en la tabla 5.3.3
Tabla 5.3.3 Flecha exacta en el centro de la placa sometida a una fuerza
concentrada
P (Kg) E (kg/m2) h (m) μ a(m) D W (m) 100 2.00E+09 0.15 0.3 1 618132 9.05956E-07
Empleando el PEEF para cada caso de malla (a, b y c) se consiguen las flechas
presentadas en la tabla 5.3.4
Tabla 5.3.4 Solución obtenida de PEEF para la flecha en el centro de la placa, de contorno empotrado, sometida a una fuerza concentrada
W (m)
Caso "a" W (m)
Caso "b" W (m)
Caso "c" 2.01220E-06 9.17110E-07 9.12E-07
Se observa que el resultado para la malla del caso “a” es muy parecido a la
solución que se presenta en la tabla 5.3.2. y para un mallado más refinado, con mayor
número de elementos, como en los casos “b” y “c”; las flechas se acercan a la
solución exacta, lo que indica que el programa está trabajando adecuadamente para
112
estructuras modeladas con el elemento finito DKT. Adicionalmente es evidente que
los resultados para los últimos dos casos de malla son parecidos entre sí. En el estudio
de una estructura real, el analista no conoce la solución exacta, así que se recomienda
discretizarla con diferentes mallas hasta que los resultados sean similares o iguales.
Para el caso práctico de la presente Tesis la discretización de las estructuras será poco
refinada debido a que no se cuenta aún con el generador de los archivos de entradas
del PEEF.
Placa cuadrada con carga puntual y contornos simplemente apoyados
Ahora la placa cuadrada del ejemplo anterior está simplemente apoyada en el
contorno, como se muestra en la figura 5.3.4
a) b) c)
Figura 5.3.4 Placa cuadrada simplemente apoyada discretizada con a) cuatro elementos DKT, b) ocho elementos DKT, c) dieciséis elementos DKT.
En este caso la flecha en el centro de la placa se determina de la siguiente
manera:
DaP
W2
0116.0= (5.3.4)
113
Los parámetros que intervienen en esta ecuación tienen el mismo significado
que los de la expresión 5.3.2. Así pues se obtiene el resultado que se exhibe en la
tabla 5.3.5
Tabla 5.3.5 Flecha en el centro de la placa, simplemente apoyada en las
esquinas, sometida a una fuerza concentrada para la malla del caso de “a”
P (Kg) E (kg/m2) h (m) μ a(m) D W (m) 100 2.00E+09 0.15 0.3 1 618132 1.87662E-06
Las flechas para cada uno de los casos expuestos en la figura 5.3.3, utilizando
el PEEF se enseñan en la tabla 5.3.6
Tabla 5.3.6 Flecha en el centro de la placa, simplemente apoyada, sometida a
una fuerza concentrada, obtenida utilizando el PEEF
Caso "a" Caso "b" Caso "c" 5.90110E-06 2.08E-06 1.95050E-06
Al comparar los resultados se puede observar la notable diferencia que existe
entre las flechas que arroja el análisis para diferentes mallas, sin embargo a medida
que aumenta el número de elementos finitos, y la malla se hace más refinada, el
resultado se acerca a la solución exacta de la flecha del punto central de la placa
Validación del elemento finito T3
En esta sección se plantea una simulación numérica poco compleja que da lugar
a la validación y depuración del elemento finito T3, además de que permite
comprobar que está bien acoplado con el resto del programa, lo que implica que el
intercambio de datos e información se realiza correctamente.
114
Placa sometida a fuerzas en dirección “x” (Placa_fx_T3)
El ejercicio “Placa_fx_T3” consiste en una lámina cuadrada discretizada para
varias mallas. Se encuentra simplemente apoyada en dos nodos consecutivos, y está
sometida a fuerzas horizontales en los nodos opuestos a los apoyados, cuyo valor es
de 100 Kg, tal como se muestra en la figura 5.3.5. Sus coordenadas se expresa en cm,
y sus datos generales son: espesor h = 5 cm, módulo de elasticidad E=2 105 Kg/cm2 y
coeficiente de poisson μ=0.3.
a) b)
c) d)
Figura 5.3.5 a) Placa sometida a fuerzas en dirección “x” b) Placa de 4 nodos y dos elementos T3 c) Placa de 9 nodos y ocho elementos T3 d) Placa de 25 nodos y treinta y dos elementos T3
Para cualquiera de los casos de malla, b, c, d ó e, los nodos de las esquinas
permanecen con numeración constante, lo que quiere decir que sus coordenadas
siempre serán las mismas e iguales a las que se presentan en la tabla 5.3.7.
115
Tabla 5.3.7. Coordenadas constantes de los nodos de las esquinas
Nodo x (cm) y (cm) 1 0 0 2 150 0 3 150 150 4 0 150
Considerando lo anterior y resolviendo el ejercicio propuesto para cualquiera de
las mallas resultan las reacciones y fuerzas horizontales en los apoyos que se
muestran en la tabla 5.3.8
Tabla 5.3.8. Fuerzas en los nodos de las esquinas
Nodo 1 2 3 4
Fuerza Externa en X -100 100 100 -100
Tal como se esperaba se obtienen fuerzas de igual magnitud y sentido
contrario. En los nodos 2 y 3 está aplicada la fuerza externa del problema y en los
nodos 1 y 4 se encuentran los apoyos.
Por otro lado se analizan los desplazamientos, ahora sí, diferenciando los
obtenidos entre una malla y otra, los resultados se muestran en las tablas 5.3.9, 5.3.10
y 5.3.11
Tabla 5.3.9. Desplazamientos en X en los nodos de las esquinas. Malla “b”
Nodo 1 2 3 4
Desplazamientos en X 2.6963E-15 0.00020 0.00020 2.6963E-15
116
Tabla 5.3.10. Desplazamientos en X en los nodos de las esquinas. Malla “c”
Nodo 1 2 3 4
Desplazamientos en X 2.6963E-15 0.00033 0.00033 2.6963E-15
Tabla 5.3.11. Desplazamientos en X en los nodos de las esquinas. Malla “d”
Nodo 1 2 3 4
Desplazamientos en X 2.6963E-15 0.00054 0.00054 2.6963E-15
Los desplazamientos mostrados en las tablas revelan un adecuado
comportamiento del elemento finito T3 y su vínculo con el programa general. Tal
como se espera el movimiento tiende a cero en los nodos 1y 4, debido a que los
apoyos restringen su desplazamiento en el plano en esta dirección. Así mismo el
signo del desplazamiento en los nodos 2 y 3 indica acertadamente que la placa se
traslada en dirección de la fuerza aplicada; la magnitud del mismo varía entre una
malla y otra, pero se mantiene el orden de magnitud. En un caso real sería aconsejable
seguir refinando la malla hasta que los desplazamientos entre un análisis y otro sean
similares de acuerdo al criterio y la experiencia del analista.
Análisis de una estructura tridimensional de concreto armado
Los ejercicios anteriores permitieron validar por separado cada uno de los
nuevos elementos finitos triangulares de placa, implementados en el PEEF; ahora se
quiere comprobar que ambos elementos se enlazan ajustadamente con otros
elementos finitos y que su contribución al comportamiento de una estructura es
117
correcta. En este caso específico, se modela una mesa de concreto armado cuyas patas
o soportes se simulan por medio del elemento finito VC3DCA (Viga - columna 3D de
concreto armado), el cual describe el proceso de daño debido a la flexión biaxial y
considera la posibilidad de cargas axiales variables y momentos torsionales. Las
propiedades y características de dichas columnas se describen en el anexo “A”
Mesa con carga uniformemente distribuida perpendicular al plano que contiene a la placa (Mesa_CD)
El ejercicio “Mesa_CD” consiste en una estructura tridimensional de concreto
armado formada por cuatro columnas y una placa en el tope de las mismas, cuyas
dimensiones en (cm) se muestran en la figura 5.3.6. La placa de la mesa está sometida
a una carga uniformemente distribuida de 90 Kg/m2 y las propiedades de la placa son:
espesor h = 5 cm, módulo de elasticidad E=2 105 Kg/cm5 y coeficiente de poisson
μ=0.3. Las columnas están empotradas en el extremo que no está en contacto con la
placa. Los nodos de los empotramientos son constantes y corresponden a la
numeración siguiente 1, 2, 3 y 4. Los nodos de las esquinas de la placa tampoco
varían por el mallado y son respectivamente 5, 6, 7 y 8.
118
Z
Y
1
2
4
3
8
7 6
5
150 cm
150 cm
90 kg/m2
150 cm
X
Figura 5.3.6. Mesa de concreto armado con carga uniformemente distribuida
La placa está discretizada por medio de diferentes mallas, las cuales se muestran
en la figura 5.3.7
a) b)
c) d) Figura 5.3.7 Malla con elementos finitos de placa: a) 2 elementos, b) 4 elementos, c) 8 elementos d) 32 elementos.
119
Como la mesa está sometida a una carga uniformemente distribuida,
perpendicular al plano que contiene la placa, se revisan entonces las flechas y las
reacciones verticales en los empotramientos de las columnas. Estos resultados se
muestran en la tabla 5.3.12.
Tabla 5.3.12 Resumen de las flechas en las esquinas de la mesa
Uz (cm) Nodos Malla 2E Malla 4E Malla 8E Malla 32E
5 7.42E-02 4.54E-02 5.26E-02 4.37E-02 6 1.66E-02 4.54E-02 3.82E-02 4.72E-02 7 7.42E-02 4.54E-02 5.26E-02 4.37E-02 8 1.66E-02 4.54E-02 3.82E-02 4.72E-02
Punto central 1.33E-01 8.47E-02 9.86E-02
Se observa que las flechas obtenidas difieren de un análisis a otro. Sin embrago
los valores más alejados al promedio de los mismos se consiguen en el análisis con
una malla de dos elementos.
Adicionalmente la estructura es simétrica, así como la carga aplicada, por lo
tanto es de suponerse que su movimiento también lo será. Con respecto a esta
observación, cuando se comparan los movimientos de los diferentes nodos de un
mismo análisis se nota que el único resultado completamente simétrico se consiguió
con la malla de cuatro elementos. Es importante destacar que la disposición de los
elementos triangulares de esta malla también es simétrica. Por otro lado es evidente
que a medida que se tiene una malla con mayor cantidad de elementos se asemejan
más los desplazamientos de los nodos de un mismo análisis, es decir, se infiere que
para una malla con más elementos la solución se va hará más simétrica.
120
En general, una vez más se comprueba que los resultados serán más precisos
mientras la malla sea más refinada. Además, para mayor cantidad de nodos mayor
será la información obtenida; por ejemplo la malla de dos elementos no permite
conocer la flecha en el centro de la placa, y la malla de 32 elementos proporciona los
desplazamientos de un número mayor de puntos que la de ocho elementos, y así
sucesivamente.
Tabla 5.3.13 Resumen de las reacciones verticales en los nodos empotrados
Rv (cm) Nodos Malla 2E Malla 4E Malla 8E Malla 32E
1 -8.27E+01 -5.06E+01 -5.87E+01 -4.86E+01 2 -1.85E+01 -5.06E+01 -4.26E+01 -5.26E+01 3 -8.27E+01 -5.06E+01 -5.87E+01 -4.86E+01 4 -1.85E+01 -5.06E+01 -4.26E+01 -5.26E+01
Σ -2.025E+02 -2.025E+02 -2.025E+02 -2.025E+02
Ahora bien, observando las reacciones obtenidas para cada caso de malla, que
se presentan en la tabla 5.3.12, se deduce que el problema de simetría es análogo al de
los desplazamientos, es decir, para una malla más refinada seguramente se
conseguirán reacciones más simétricas o al menos más parecidas entre sí. Por otro
lado los resultados cumplen con la ecuación equilibrio de fuerzas, en todos los casos
la sumatoria de las reacciones es igual a 202.5 Kg que se compensan con la carga
total aplicada, determinada en la tabla 5.3.12.
Tabla 5.3.14 Carga total vertical en la placa
CD (kg/m2) A (m) B (m) CT=CD*A*B Reacción 90 1.5 1.5 202.5 50.625
121
Mesa sometida a desplazamientos en la dirección del eje X (Mesa_dx)
Ahora se somete a la mesa del ejercicio anterior a un desplazamiento impuesto,
en dirección del eje de regencias X, tal como se muestra en la figura 5.3.8, de 6cm,
aplicado en 6 pasos, es decir 1cm por paso. La placa se modeló con elementos finitos
triangulares formando cuatro mallas diferentes, tal como se muestra en la figura 5.3.7.
Los resultados del análisis utilizando el PEEF se muestran en las tablas 5.3.13 y
5.3.14.
Z
150 cm
Y
1
2
4
3
8
7 6
5
150 cm
6 cm 6 cm
150 cm
X
Figura 5.3.8 Mesa sometida a desplazamientos en la dirección del eje X
122
De los ensayos anteriores se dedujo que los resultados menos satisfactorios son
los que surgen del análisis con la malla de dos elementos, y los más precisos se
obtienen utilizando la malla con mayor cantidad de elementos, así pues se realiza la
com de
la m
Ta .3 z to as esq la M
paración entre los desplazamientos y las fuerzas de los nodos de las esquinas
esa para estas dos mallas.
bla 5 .15 Despla amien s y Fuerz en las uinas de placa. alla 2E
N odo 5 Nodo 6 N odo 7 N odo 8 U x (cm) Fx (kg) Ux (cm) Fx (kg) U x (cm) Fx (kg) U ) x (cm Fx (kg)
0,00 0,00E+00 0.00 0,00E+00 0.00 0,00E+00 0.00 0,00E+001,00 -4,76E-03 1.00 1,50E+01 1.00 1,62E+01 1.00 1,93E-03 2,00 9,36E-06 2.00 1,78E+01 2.00 1,95E+01 2.00 -8,24E-063,00 1,30E-05 3.00 1,93E+01 3.00 2,14E+01 3.00 -1,09E-054,00 2,50E-05 4.00 2,02E+01 4.00 2,24E+01 4.00 -1,95E-055,00 3,99E-05 5.00 2,06E+01 5.00 2,30E+01 5.00 -2,91E-056,00 5,48 5 1 2,32 01 -3,77E-05E-0 6.00 2,07E+0 6.00 E+ 6.00
Ta 3.1 am s en sq a p Mbla 5. 6 Desplaz iento y Fuerzas las e uinas de l laca. alla 32E
N odo 5 N odo 6 N odo 7 N odo 8 U x (cm) Fx (kg) U )x (cm Fx (kg) Ux (cm) Fx (kg) U ) x (cm Fx (kg)
0.00 0,00E+00 0.00 0,00E+00 0.00 0,00E+00 0.00 0,00E+001.00 -4,61E-03 1.00 1,56E+01 1.00 1,55E+01 1.00 1,83E-03 2.00 1,01E-05 2.00 1,86E+01 2.00 1,86E+01 2.00 -9,17E-063.00 1,36E-05 3.00 2,02E+01 3.00 2,04E+01 3.00 -1,16E-054.00 2,45E-05 4.00 2,11E+01 4.00 2,14E+01 4.00 -1,92E-055.00 3,82E-05 5.00 2,16E+01 5.00 2,20E+01 5.00 -2,79E-056.00 5,13E-05 6.00 2,17E+01 6.00 2,22E+01 6.00 -3,54E-05
Se observa que para ambos casos de mallado los desplazamientos son iguales a
los impuestos en cada paso del análisis, como era de esperarse. Por otro lado las
fuerzas conseguidas varían poco entre una malla y otra; por ejemplo la fuerza en el
nodo 6 al final del análisis con la malla de dos elementos es 20.7 Kg y para la malla
de treinta y dos elementos es 21.7 Kg, la diferencia debe ser más pequeña a medida
de que se refina la malla.
123
Si se traza la curva de la fuerzas vs. el desplazamiento de cada nodo se obtiene
el comportamiento que se muestra en la figura 5.3.9
Figura 5.3.9 Fuerza vs. Desplazamiento en dirección X de los nodos 6 y 7
En esta figura se demuestra un comportamiento satisfactorio desde el punto de
vista del análisis de la estructura. Se observan tres zonas de diferentes pendientes. En
la primera zona existe una relación lineal entre el desplazamiento y la fuerza; luego la
pendiente disminuye, esto significa que existe incremento apreciable de los
despl
initos y con ello se cumple con el objetivo
rincipal de este trabajo que es contribuir a la simulación de estructuras
azamientos para un incremento de fuerza menor. Finalmente la zona tres
muestra un aumento del movimiento para una fuerza prácticamente constante.
Finalmente se puede concluir que los resultados en general son satisfactorios y
se comprueba que los nuevos elementos introducidos en el programa se ajustan
adecuadamente con otros elementos f
p
tridimensionales de concreto armado.
124
Mesala placa y simultáneamente sometida a desplazamientos horizontales
La finalidad de este ejercicio es comprobar que los elementos finitos de placas
elásticas, T3 y DKT, pueden usarse en conjunto. Esta aplicación es necesaria cuando
se tienen casos de cargas combinados, es decir, sobre la placa actúan cargas externas
en el plano y de flexión simultáneamente.
Cuando existen cargas externas combinadas, en el plano y perpendiculares, se
hace necesario crear dos conjuntos de elementos que comparte los mismos nodos, el
primero para asignarlo al elemento finito T3 y a el segundo para el elemento DKT.
En este caso en particular se combinan los casos de cargas expuesto en los
ejemplos anteriores sobre la misma estructura tridimensional descrita, como se
muestra en la figura 5.3.10.
con carga uniformemente distribuida perpendicular al plano que contiene a
(Mesa_DX_CD)
125
Z
Figura 5.3.10
La solución obtenida del análisis realizado utilizando PEEF se muestra en las
tablas 5.3.15 y 5.3.16
Malla 32E
Mesa sometida a solicitaciones combinadas
Tabla 5.3.17 Desplazamientos horizontales y Fuerzas en las esquinas de la placa.
Nodo 5 Nodo 6 Nodo 7 Nodo 8 Ux F (Kg) Ux F Ux F Ux F
0,00 0,00E+00 0,00 0,00E+00 0,00 0,00E+00 0,00 0,00E+001,00 -4,59E-04 1,00 1,83E+01 1,00 1,80E+01 1,00 1,40E-04 2,00 1,15E-05 2,00 2,40E+01 2,00 2,37E+01 2,00 -9,96E-063,00 2,08E-06 3,00 2,62E+01 3,00 2,60E+01 3,00 -2,67E-064,00 -1,14E-06 4,00 2,74E+01 4,00 2,73E+01 4,00 6,55E-07 5,00 -1,19E-06 5,00 2,80E+01 5,00 2,79E+01 5,00 9,78E-07 6,00 -9,69E-07 6,00 2,82E+01 6,00 2,82E+01 6,00 8,50E-07
1
2
8
7 6
5
4
150 cm
X 3
Y
150 cm
90 kg/m2
6 cm c6 m
150 cm
126
Tabla 5.3.18 Flechas en las esquinas de la placa. Malla 32E
Nodos w (cm) 5 -4.36E-02 6 -4.73E-02 7 -4.36E-02 8 -4.72E-02
Comparando los resultados presentados en la tabla 5.3.17 con los de la tabla
5.3.16, se puede observar que la fuerza cambia de 21 a 28 Kg , lo que es de esperarse
puesto que la carga distribuida hace que sea necesario la aplicación de una fuerza
mayor para lograr el mismo desplazamiento.
parar los resultados expuestos en las tablas 5.3.18 y 5.3.12,
se concluye que las flechas son las mismas para ambas estructuras.
Con esto resultados se entos finitos trabajan bien
nto separadamente como en conjunto.
Por otro lado al com
comprueba que ambos elem
ta
127
VI. CONCLUSIONES
Para incluir en el análisis de las estructuras tridimensionales de concreto
armad
retizaciones triangulares
defin
alla, con
discretizaciones triangulares, el elemento finito T3. Para el caso en que las fuerzas
xternas en la placa sean normales a su plano, se asigna a la malla, con
discretizaciones triangulares, el elemento finito DKT. Finalmente, si existen cargas
exter mbinadas, en el plano y perpendiculares, se hace necesario crear dos
o la contribución de elementos estructurales que pueden ser modelados por
medio de placas elásticas, se implementaron en el Programa PEEF dos nuevos
elementos finitos.
El elemento finito T3, tiene forma triangular definida por aristas rectas y tres
nudos; se utiliza para modelar placas elásticas sometidas a solicitaciones en el plano
que la contiene. Este elemento supone una aproximación lineal para los
desplazamientos en el plano de la placa.
El elemento finito DKT, también corresponde a disc
idas por aristas rectas y tres nudos; se utiliza para determinar el comportamiento
a flexión de placas delgadas de Kirchhoff. Este elemento supone una aproximación
lineal para las rotaciones normales y una aproximación cuadrática para las rotaciones
tangentes.
Ambos elementos pueden usarse separadamente o en conjunto. Cuando la
placa está sometida solo a fuerzas externas en el plano, se asigna a la m
e
nas co
128
conjuntos de elementos que comparten los mismos nodos, el primero para asignarlo
al elemento finito T3 y a el segundo para el elemento DKT.
ntes de la implementación de los elementos finitos, T3 y DKT, la biblioteca de
elementos de PEEF sólo incluía elementos para el análisis de pórticos de concreto
arma centrado. Los nuevos elementos permiten
inclu en el análisis la contribución, en el comportamiento de las estructuras
tridim ntes estructurales que pueden modelarse por medio de
los elementos finitos de placa, como por ejemplo el entrepiso de un edificio.
A
do basados en la teoría del daño con
ir
ensionales, de compone
129
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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ript=sci_arttext 3. Flórez López J. “Plasticidad y Fractura en Estructuras Apropiadas”. 1999 4. http://portaldeporticos.ula.ve/ 5. Uzcátegui, Maylett. “Desarrollo de un Programa de Elementos Finitos
Tridimensional basado en la Web”. (Informe de actividades). 2007 6. Uzcátegui, Maylett. “Desarrollo de un Programa de Elementos Finitos
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Volume 1. HERMES. Paris. 1990 8. Batoz Jaane y Otros. “Modélisation des estructures par elements finis”
Volume 2. HERMES. Paris. 1990 9. Perdomo, María. “Fundamentos de la Mecánica de Sólidos aplicada a la
Ingeniería Estructural”. 2004. Venezuela. 10. Griffit A. A. “The fenomena of ruptura and flow in solids”. (1990).
Londres 11. Flórez López J. y Marante M. E. “Three-dimensional analysis of
reinforced concrete frames based on lumped damage mechanics”.
eation des estructu
International Journal of Solids and Structures 40 (2003) 5109–5123
130
131
ANEXO “A”
PROPIEDADES DE LAS COLUMNAS DE LA MESA DE CONCRETO ARMADO (MESA_CD Y MESA_DX)
Los especímenes consisten en columnas cuadradas de concreto reforzado de 1.5
metros de altura con una sección transversal de 25 x 25 centímetros. Estos elementos
fueron construidos en volado sobre una base cuadrada de 1 metro cuadrado de área
por 0.5 metros de espesor fuertemente reforzada como se muestra en la figura UAA.
l refuerzo longitudinal de la columna implica 8 barras de 1 milímetros de diámetro
sversal se utilizaron
estribos de 2 ramas de 8 milímetros de diámetro espaciados a 70 centímetros. Las
barras de refuerzo presentan un esfuerzo de cedencia de 470 megapascales y un
esfuerzo último de 710 megapascales.
E 6
uniformemente distribuidas en el perímetro. Como refuerzo tran
Figura UAA. Detalle de refuerzo de los especímenes ensayados
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