sumas de rieman
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Integral definida: definición
• La integral definida se define como:
• Donde F’(x) = f(x) y además f(x) es una función continua y finita en el intervalo de integración [a; b].
• a y b reciben el nombre de extremo inferior y superior de integración, respectivamente.
)()()()( aFbFxFdxxfb
a
b
a
Área como límite de una suma
• Considere la región definida por la gráfica de la función y = f(x), el eje X y las verticales x = a y x = b, siendo f(x) ≥ 0 y f continua en el intervalo[a; b].
• Para abordar el problema de hallar el área de dicha región, la relacionaremos con áreas de figuras conocidas, por ejemplo rectángulos
Ejemplo 1: La siguiente figura muestra la región cuya área se desea calcular
El área de una región podrá plantearse por una integral definida: A = f(b) – f(a)
Dividiremos dicha región en rectángulos verticales. Por ejemplo ...
n = 3 rectángulos
n = 6 rectángulos
n = 12 rectángulos
n = 24 rectángulos
n = 48 rectángulos
n = 99 rectángulos
La integral definida plantea el límite de una suma de áreas.
Interpretación geométrica de la integral definida
b
a
dxxfÁrea )(
altura
ancho
Suma desde “a” hasta “b”
Ejemplo 2
¿De cuántas formas podemos calcular el área “R”?
f(x) = 2x
0 2
R
Forma 1: Base*altura/2
2*4/2=4 u2
Forma 2: integral definida
2222
0
22
0
402)2( uxdxx
Como acaba de verse, el área de una región podrá plantearse como el límite de una suma de áreas. Este límite está dado por la integral definida:
a
bdxxfA )(
Siempre que f(x) sea continua en [a; b] y positiva en ese intervalo.
¿Cómo está definida el área sombreada de los siguientes gráficos?
Analicemos los siguientes ejemplos…….
Ejemplo 3: área debajo del eje X
La altura no puede ser negativa
b
a
dxxf )(Respuesta:
Ejemplo 4: área por encima y debajo del eje X
c
a
dxxf )( La altura no puede ser
negativa
b
c
dxxf )(
Respuesta:
Ejemplo 5: área entre dos curvas
¿Cómo podemos aplicar los conocimientos previos a este gráfico?
Si se sabe que: )()( xgxf bax ,
Ejemplo 5 (recordando..)
El área bajo la curva f(x) es…
El área bajo la curva g(x) es…
Ejemplo 5
Respuesta:
b
a
dxxgxf )()(
Aplicaciones de la Integral Definida
1. Excedente del Consumidor
2. El Excedente del Productor
3.Estimación del cambio neto, a partir de la razón de cambio, en el valor de
reventa de bienes capitales o en la utilidad, ingresos y costos de una empresa
Aplicaciones de la Integral Definida
4.Estimación del exceso de utilidad de un plan de inversión, respecto de otro
ANÁLISIS 1: Recordando el concepto de la demanda
Una curva de demanda resume la relación inversa existente entre precios y cantidades.
Una curva de demanda refleja las cantidades que están dispuestos a comprar los
consumidores, ante determinados precios.
Una curva de demanda representa la disponibilidad marginal de gastar de
parte del consumidor.
Dem
andaAlimentos (unidades
mensuales)
Precio de los alimentos
G
E
F
2,00$
4 12 20
1,00$
0,50$
ANÁLISIS 2: La disponibilidad total a gastar de los consumidores
PS/
. por
uni
dad
0 1 2 3 4 5 6 …….
Demanda
q
6
0)( dqqD
0
0)(
qdqqDGeneralizando:
En el ejemplo….DTG
La disponibilidad total a gastar de los consumidores refleja la utilidad total que alcanzan los consumidores.
La disponibilidad total a gastar de los consumidores está representada por toda el área de la región que está por
debajo de la curva de demanda
ANÁLISIS 3: El gasto de los consumidores
Ofe
rta
E
q
Demanda
0 1 2 3 4 5 6 …….
PS/
. por
uni
dad
4
3
2
Si se define al gasto como p.q....
¿Cuál sería el gasto efectuado por los consumidores en este ejemplo?
RTA: S/. 8
¿Cuál sería el área respectiva?
Gasto
RTA….
ANÁLISIS FINAL: El excedente de los consumidores
4
0)( dqqD
q
Demanda
0 1 2 3 4 5 6 …….
PS/
. por
uni
dad
4
3
2
q
Demanda
0 1 2 3 4 5 6 …….
PS/
. por
uni
dad
4
3
2
Análisis 2 La disponibilidad a gastar en este caso es….
Gasto
Análisis 3 El gasto efectivo (lo que realmente
gastan) en este caso es…. = 8u2
Finalmente…. - Todos aquellos consumidores que estuvieron dispuestos a pagar un precio mayor que el del
mercado (S/.2 por unidad), se benefician
El área que representa dicho “excedente” es el EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR :
Área de Disponibilidad total – Área de Gasto
4
0)4)(2()( dqqDEC
Resultado del ejemplo
En este ejemplo…
Generalizando:
p = D(q)
2
0 4 q
p
EC
0
0 00)(q
qpdqqDEC
• La ecuación de demanda para un producto es p = D(q) = -q2+25, para 0 < q < 5. Sabiendo que p es el precio por unidad en dólares y q la cantidad de unidades demandadas.
(a) ¿Cuál es la disponibilidad total de gasto de los consumidores de este mercado, si se sabe que el precio de mercado asciende a $9?
(b) ¿Cuál es el EC?
Ejercicio Matemático
50 p
• Problemas de texto : Haeussler, Jr; “Matemáticas para administración y economía”; páginas 672-674
Ejercicios del libro
28
La integral
• Determina la antiderivada más general.
• Interpreta la integral y su relación con la derivada.
• Define la integral definida.• Calcula áreas de regiones
limitadas en el plano.
29
Antiderivadas
Definición: Una función F se llama antiderivada de una función f en un intervalo I si la derivada de F es f, esto es F´(x) = f(x) para todo x en I.
Observación:
De la definición se ve que F no es única.
Para que F´(x) exista la función F(x) debe ser continua.
Observación:
De la definición se ve que F no es única.
Para que F´(x) exista la función F(x) debe ser continua.
30
Teorema:
Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, la antiderivada más general de f en I es F(x)+c, donde c es una constante arbitraria.
Teorema:
Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, la antiderivada más general de f en I es F(x)+c, donde c es una constante arbitraria.
Teorema:
Si dos funciones P y Q son antiderivadas de una función f en un intervalo I , entonces P(x) = Q(x) + C, ( C constante) para todo x en I.
31
INTERPRETACION GEOMETRICA
32
INTERPRETACION GEOMETRICA
33
INTERPRETACION GEOMETRICA
34
INTERPRETACION GEOMETRICA
35
Ejemplo 1
Encuentre la antiderivada más general de cada una de las siguientes funciones.
n
x
xxfc
b
exfa
)( )
x1
f(x) )
)( )
36
xsen
x
e
x
nx
xgxf
xfc
x
n
cos
1
)1(
)()(
)(
Función
x
xsen
e
x
nx
xGxF
xcF
x
n
cos
ln
1
)()(
)(
1
Antiderivada particular
37
CALCULO DE ÁREAS
A2
A4
A3
A1
INTEGRAL DEFINIDA Y
¿Área?
38
39
1e)x(f x
Definición : El área de la región S que se encuentra debajo de la gráfica de la funcióncontinua f es el límite de la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación:
xxfxxfxxfAA nn
n
ii
n
**2
*1
1
...limlim
x
40
n
1iii
*
n
b
a
x)x(flimdx)x(f
b
a
dx)x(f
Integrando
Limite
superior
No tiene significado, indica respecto a que variable se integra.
El procedimiento para calcular integrales se llama por si mismo integración.
Limite Inferior
41
2° Teorema Fundamental del Cálculo
Si f es una función continua en [a, b]y F una antiderivada de f en [a, b], entonces:
Esta regla convierte al cálculo de integrales definidas en un problema de búsqueda de antiderivadas y evaluación.
)()()()( aFbFxFdxxfb
a
b
a
42
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDAPROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
1. Si f y g son funciones integrables en [a, b] y y son constantes, se tiene:
b
a
b
a
b
adx)x(gdx)x(fdx))x(g)x(f(
Propiedad de linealidad
43
2. Si existen las integrales de la izquierda, también existe la integral de la derecha:
c
a
b
a
b
cdx)x(fdx)x(fdx)x(f
Propiedad aditiva respecto al intervalo de integración
bac ,
44
La propiedad anterior es aplicada cuando la función está definida por partes y cuando es seccionalmente continua.
31 1 -
10 x )(
2
xx
xxf
3
0
1
0
3
1
2 dx)1x(dxxdx)x(f
3
0
dxxf
Ejemplo:Si
y se quiere hallar:
45
)( abhdxhb
a
Y representa el área de un rectángulo de alturah y longitud de base (b – a).
3.
46
DEFINICIONES:Sea f una función integrable en[a, b], entonces:
a
a0dx)x(f.1
b
a
a
bdx)x(fdx)x(f.2
47
Definición:Sea f una función contínua tal que:• f(x) 0 en [a, b] y• S={(x, y)/ axb, 0yf(x)}
Se denota por A(S) y se llama área de la región definida por S al número dado por:
ò=b
adx)x(f)S(A
48
y = f(x)
dx
dA = f(x)dx
b
a
f(x)dxA
f(x)
dx
y
x0 a bx
49
Ejemplo 1:Calcular el área de la región:S={(x, y)/ 0 x 2, 0 y x2 + 1}
50
dy
y
x0
dyx = g(y)
d
c
d
c
g(y)dyA
dA = g(y)dy
g(y)
51
Ejemplo 2:
Hallar el área de la región limitada por y = 2x, y = (x-2)2 + 1, x = 3 y el eje X, tal como lo muestra la figura.
52
dx
y
x0 dx
y = f(x)
y = g(x)
f(x)
- g(x)
b
a
dxg(x)-f(x)A
dA =[f(x) - g(x)]dxba
53
3. Encontrar el área entre las curvas y = x - x3 ;
2x1xy
-1 1
-1
1
x
y
54
4. Encontrar el área entre las curvas y - x = 3;
x1y2
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