suma de variables aleatorias · prueba de hipótesis para la varianza poblacional un fabricante...
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Pruebas de Hipótesis
1er C. 2019
Mg. Stella Figueroa Clase Nº 13
Esquema para realizar una prueba de hipótesis
1) Enunciado de la hipótesis nula y alternativa
2) Selección del estadístico de prueba (Considerar el parámetro poblacional utilizado en 1) y los datos del problema).
3)Gráfico de la distribución del estadístico de prueba y
determinación de la región crítica 4) Cálculo del valor observado a partir del estadístico. 5) Comparación de valores. 6) Conclusiones
Prueba de hipótesis para la varianza poblacional
Un fabricante esta produciendo piezas de 8 mm de longitud, y se
sabe que las longitudes de estas piezas se distribuyen
normalmente.
Con propósitos de control de calidad, se obtuvo una muestra de 25
piezas de una línea de producción para estimar la varianza de
todas las longitudes de las piezas. Si su estimación resultó ser de
0.009 mm2. Con un nivel de significación de 0.05. ¿Se puede
concluir que la varianza poblacional es menor que 0.01 mm2?
Prueba para la comparación de Medias
varianzas poblacionales conocidas
Se hace un test de eficiencia a 50 ingenieros industriales y 60
ingenieros mecánicos, obteniéndose los siguientes resultados:
Verificar con un nivel de significación del 5% si la diferencia se
puede atribuir a la casualidad o no.
5 87
7 89
22
11
X
X
Prueba de hipótesis para comparar medias con varianzas poblacionales desconocidas
Comparación de varianzas poblacionales
1) Plantear las hipótesis 2) Establecer el estadístico de prueba.
2
1
2
2
ob
SF
S
3) Definir el nivel de significación y la zona de rechazo de Ho, en el gráfico de la distribución del estadístico. Hallar los valores críticos. Si
1 2
2 1
1, 1,12
1, 1,2
1
n n
n n
FF
1 2
1 2
4,4;0,011, 1;
2
1, 1,14,4;0,012
15,977
1 10,0625
15,977
n n
n n
F F
FF
Tener en cuenta que es el inverso porque los tamaños de las muestras son
iguales
0,02
Prueba de hipótesis para comparar medias con varianzas poblacionales
desconocidas
Se espera que dos operadores produzcan, en
promedio, el mismo número de unidades
terminadas en el mismo tiempo .
Los datos son los números de unidades
terminadas para ambos en una semana de
trabajo: Operador
1
Operador
2
12 14
11 18
18 18
16 17
13 16
Si se supone que el número de unidades
terminadas diariamente por los dos
trabajadores son variables aleatorias
independientes distribuidas normalmente. ¿Se
puede establecer diferencia entre las medias a
un nivel de significación del 0,1 ?
Análisis de Regresión y
Correlación Lineal
1er C. 2019
Mg. Stella Figueroa Clase Nº 14
Tipos de relaciones entre variables
Modelo determinista Modelo estadístico
• Ejemplo: Relación de la altura con la edad en niños.
• Niños de la misma edad no tendrán la misma altura.
• Pero, a través de un modelo estadístico es posible concluir que
la altura aumenta con la edad.
• Podríamos predecir la altura de un niño de cierta edad y asociarle un
ERROR DE PREDICCIÓN que tiene en cuenta: ERRORES DE MEDICIÓN y
VARIABILIDAD ENTRE INDIVIDUOS.
Existe un componente aleatorio por
lo que las predicciones tienen
asociado un error de predicción.
Análisis de Regresión
• Involucra el estudio la relación entre dos variables
CUANTITATIVAS.
• Investiga si existe una asociación entre las dos variables
• Estudia la forma de la relación. Se grafican los datos en un
diagrama de dispersión para elegir un modelo para la relación.
• A partir del modelo será posible predecir el valor de una variable
a partir de la otra. (modelo de regresión lineal)
• Estudia la fuerza de la asociación, a través del coeficiente de
correlación de Pearson.
Ejemplos
• Un ingeniero puede querer predecir la cantidad de óxido que se formaría en la superficie de un metal, calentado en un horno durante un tiempo especificado a 200°C.
• El tiempo de un desgaste entre recubrimientos de una cubierta de una rueda de un auto, que tiene una composición y espesor de cuerda dados.
• Tales predicciones requieren una fórmula que relacione la variable dependiente con una o más variables independientes.
• Sólo consideraremos el caso en el que una variable dependiente se deba predecir en función de una sola variable independiente.
Herramientas para relacionar dos variables
1. Diagrama de dispersión
2. Covarianza
3. Coeficiente de correlación de Pearson
,Cov x y E y y x x
cov( )
x y
xyr
Modelo de regresión lineal simple
No hay correlación
Correlación positiva
Correlación negativa
Predice el efecto de una variable explicativa Y sobre
otra variable predictiva X, ambas cuantitativas.
Diagramas de dispersión
Media condicional
Si a cada valor de x, le corresponden varios valores de y
1 1 2 32 toma los valores y 5; y 7 ;y 12x
media condicional
2
5 7 12entonces y 8
3
Media condicional es la media aritmética de los valores
de y correspondientes al valor de X = x xy
Dependencia de correlación
Se llama dependencia de correlación de Y respecto de X,
a la dependencia funcional
de la media condicional respecto de x
( )xy f x Ecuación de regresión de Y en X
Función de
regresión de
Y en X
Análogamente se determina ( )yx g y
Cálculo de la Recta de Regresión de Y en X
Para el cálculo de la recta de regresión se aplica el método de mínimos cuadrados entre dos variables.
Consideramos el caso distintos valores de x de la variable X y
distintos valores de y de la variable Y, observados una vez
cada uno.
yxY bx a donde b
Se eligen las estimaciones de los parámetros a y b de
manera tal que los valores observados se encuentren lo más
cerca posible a la recta de regresión.
Diagrama de dispersión recta de regresión
Notación
Como no podemos hacer mínima cada desviación, haremos mínima su suma:
:desviación, donde Y es una ordenada calculada por la ecuación
correspondiente al valor observado y
i i i
i
Y y
1
n
i i
i
Y y
Esta suma se puede hacer cero de muchas
maneras y los errores compensarse.
2
1
( , )n
i i
i
F a Y y
22
1 1
( , )n n
i i yx i i
i i
F a Y y x a y
Minimizar
Resolviendo el sistema obtenemos
22
i i i i
yx
i i
n x y x y
n x x
i iy xa
n n
x yxy x aEcuación muestral de regresión de Y en X
Ecuación muestral de regresión de X en Y y xyx y c
1
1
1
2
1
2 . 00
2 00
n
yx i i i
i
i in
yx i i
i i i i i
FFx a y x
y an xFF
x a yx y a x xaa
22
1 1
( , )n n
i i yx i i
i i
F a Y y x a y
Ejemplo
X: tiempo de recalentamiento
Y: los espesores de óxido de cierta pieza
X
(min)
20 30 40 60 70 90 100 120 150 180
Y
(Ang)
3,5 7,4 7,1 15,6 11,1 14,9 23,5 27,1 22,1 32,9
18469i ix y 860ix 165,2iy
2 98800ix 0,17 1,76 0,17 1,76yx xa y x
Con geogebra
¿Cómo efectuar predicciones?
0,17 1,9xy x
Para predecir el espesor de óxido de hierro de una pieza
calentada durante 80 minutos:
0,17.80 1,9 15,5 Angstromxy
La pendiente b no mide la FUERZA de la asociación. Su
valor numérico depende de las unidades de medida de las
dos variables.
Un cambio de unidades en una de ellas puede producir un
cambio drástico en el valor de la pendiente.
Coeficiente de correlación de Pearson
cov( )
x y
xyr
2 2
.
E y y x xr
E y y E x x
Mide la calidad del ajuste de la recta de regresión
Dice cuánto se relacionan las dos variables X e Y
x
xy
y
r xyr
Si la covarianza
es cero, las
variables son
independientes
Notar que si σx=σy
Valores posibles del coeficiente de correlación r
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