solucion de mate
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-
8/17/2019 Solucion de Mate
1/44
Aritmética
A) n2-1 B) 5n3+n2 C) 6n2-n D) 2n2+n E) n3-2n
1. Calcular el valor de
-
8/17/2019 Solucion de Mate
2/44
Solución:
Sea:n2
1k
2k Sk)1(
S = -12 + 22 32 + 42 - 2
S = (22 + 42 2) (12 + 32 1)2
S =n
1k
n
1k
22 )1k2()k2(
S =n
1k
22 )1k2()k2(
S =n
1k
1k4
S =n
1k
n
1k
1k4
S = n2
)1n(n4
S = 2n2 + n
Clave: D
2. Si la media geométrica y la media aritmética de los números enteros positivosa y b se diferencian en 4 unidades y la media aritmética de las raíces
cuadradas de a y b, es igual al doble de la diferencia de dichas raíces, hallar lamedia armónica de a y b.
A) 450
17B)
13
220C)
15
227D)
16
213E)
17
217
Solución:
Sean a, b Z+
se tiene:
4MGMA )b,a()b,a(
4ab2
ba
-
8/17/2019 Solucion de Mate
3/44
8)ba( 2
Además:
)ba(22
ba
)ba(4ba
5 a3a
k3
k5
b
a
(II) en (I):
(5k 3k)2 = 84k2 = 8
k2 = 2a = 50 b = 18
17
450
ba
ab2MH )b,a(
Clave: A
3. Si la media armónica de los números positivos a y b es 15
2y la media
armónica de (a-3) y (b-3) es 24
7, halle la diferencia positiva de a y b.
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
Solución:
2
15MH )b,a(
2
15
ba
ab2
4
15
ba
ab
Además:
7
24MH 3b(),3a(
7
24
)3b()3a(
)3b)(3a(2
-
8/17/2019 Solucion de Mate
4/44
7
12
6ba
)3b)(3a(
De I y II:a = 15 , b = 5
a b = 10
Clave: C
4. El promedio armónico de 60 números es 17 y el promedio armónico de otros40 números es 34 .Halle el promedio armónico de los 100 números.
A) 22 B) 23 C) 23,25 D) 21 E) 21,25
Solución:
17
a
1...
a
1
a
1
60
6021
34
b
1...
b
1
b
1
40
4021
Luego:
17
20
17
60
100
b
1...
b
1
a
1...
a
1
60
401601
25,2180
)17(100
Clave: E
5. La varianza de los sueldos de los trabajadores de una empresa es S/.32. Si laempresa decide descontar en 75% el sueldo de cada trabajador y luegoaumentarles S/. 800 a cada uno, Halle la varianza de los nuevos sueldos.
A) 2 B) 2,8 C) 2,2 D) 5,1 E) 4,2
Solución:2 = 32
xi = sueldo de cada trabajador.
Luego los nuevos sueldos son:25% xi + 800
Entonces la nueva varianza es:
2)32(%)25( 22N
-
8/17/2019 Solucion de Mate
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Clave: A6. Halle la media aritmética de los números
8 ; 20 ; 32 ; 44; . . . ; 356
A) 124 B) 160 C) 182 D) 176 E) 133
Solución:
a1 a2 a3 a4 30
an = 12n 4
30
a
MA
30
1ii
3030
4
2
)31(30
30
12
30
)4i12(
MA
30
1i
182MAClave: C
7. La media aritmética de 3 números enteros positivos es 623
, su media armónica
es 150
31y su media geométrica igual a uno de los números. Halle la diferencia
del mayor y menor de estos números.
A) 32 B) 42 C) 48 D) 30 E) 56
Solución:
Sean a, b, c Z+
donde a < b < centonces:
3
62MA )c.b.a(
Además
31
150MH )c.b.a(
50
31
c
1
b
1
a
1
3
-
8/17/2019 Solucion de Mate
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También:
)III...(bac
babc
bMG
2
3
)c,b,a(
De I, II, III:b = 10 , a = 2 c = 50
c a = 48Clave: C
8. El promedio geométrico de 4 números enteros positivos diferentes es 4 255 .Halle el promedio armónico de estos números.
A) 21,25 B) 13,75 C) 510203
D) 512103
E) 1214517
Solución:
a, b, c, d Z+, diferentes
44 255dcba
1 3 5 17
Luego:
203
510
85
22
3
4
4
17
1
5
1
3
11
4MH
Clave: C
9. En un concurso de matemática los puntajes de la primera fase de 11estudiantes fueron 04, 05, 06, 10, 08, 09, 10, 11, 12, 13 y 14. Si pasan a la
segunda fase todo aquel que tiene un puntaje mayor que la media geométricade la moda y la mediana, halle el número de estudiantes que pasaron a lasegunda fase.
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
Solución:04, 05, 06, 08, 09, 10, 11, 12, 13, 14
notas mayores que 10
Mo = 10Me = 10
Luego:
10)10(10MF )10,10(
Entonces pasan a la siguiente fase 4 estudiantes.
-
8/17/2019 Solucion de Mate
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Clave: B10. El promedio aritmético de un conjunto de números aumenta en 5 unidades
cuando se le suma 6 unidades a cada uno de los 15 primeros números.¿Cuantos elementos tiene dicho conjunto de números?
A) 22 B) 12 C) 20 D) 18 E) 24
Solución:Sea
xMA )x,...x( r 1Se sabe que si se suma 6 unidades a los primeros s el nuevo promedio es
5x
Entonces:
xn
xn
1ii
Además:
18n
n590
5xn
90nx
5xn
)6(15xn
1ii
Clave: D
11. Halle la diferencia positiva de dos números positivos sabiendo que el productode su media armónica por su media aritmética es 900 y el producto de su
media aritmética por su media geométrica es 1305.
A) 46 B) 63 C) 41 D) 35 E) 29
Solución:
Se sabe:
900MAxMH )b,a()b,a(
1305MExMA )b,a()b,a(Entonces:
)I....(900ab
9002
ba
ba
ab2
-
8/17/2019 Solucion de Mate
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Además:
)II....(87ba
1305ab2
ba
De I y II:
a = 12 , b = 75b a = 63
Clave: B
12. La media aritmética de 30 números es 12 y la media aritmética de otros 20números es 17. Hallar la media aritmética de los 50 números.
A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17
Solución:
1720
b
1230
a
20
1ii
30
1ii
Luego
1450
)17(20)12(30
50
ba20
1ii
30
1ii
Clave: B
EJERCICIOS DE EVALUACIÓN N°15
1. Sin
1k4
24
kk
1kkS , calcular el valor de S.
A)5
1)-n(nB)
n5
3)n(nC) n
4
n)-(2n3
D)1-n
5E)
1n
2)n(n
Solución:
-
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n
1k4
24
kk
1kkS
n
1k4
24
kk
1kkkkS
n
1k4
2
kk
1kk1S
n
1k )1k(k
11S
1n)2n(nS
1n
11nS
1k
1
k
11S
n
1k
Clave: E
2. El promedio aritmético de una cierta cantidad de números es un número primo
ab y eliminando a 31 números cuya suma es 527, el promedio de los números
restantes no varía. Además si agregamos 23 números cuya suma es xya a los
números no eliminados el promedio sigue siendo ab . Determine el valor de
x + y + a + b.
A) 20 B) 21 C) 19 D) 22 E) 18
Solución:
Se tiene:
17ab
31
527
Luego se debe de cumplir
391xya
391)23(17x23
1ii
(x + y + a + b) = 20
-
8/17/2019 Solucion de Mate
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3 9 1 7Clave: A
3. Sio
)6( 173a1 , halle la varianza de a 1; a + 1; 2a + 3 y 3a 1.
A) 7 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
Solución:o
)6( 173a1
36 + 6a + 3 =o
17
6a =o
17+ 12a = 2
Luego
4
)45()47()43()41(
44
5731x
22222
2 = 5Clave: D
4. La media geométrica de los términos de una proporción geométrica continuaes 16 y la media aritmética de los términos diferentes de la misma proporciónes 28. Halle la media armónica de los términos diferentes de la proporciónindicada.
A)7
64B)
4
81C)
5
36D)
6
49E)
13
98
Solución:
Sea la P.G continua:b = 16
)I...(c
b
b
a
ac = b2
luego28MA )c,b,a(
a + b + c = 84Además:
bcacab
abc3MH )c,b,a(
-
8/17/2019 Solucion de Mate
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De I:
7
64
84
)16(3
cba
ac3MH
2
Clave: A
5. Si la desviación estándar de 2; 2; 3; 6; m y n es 5,8 y la media aritmética de
dichos números es 5, hallar la media aritmética de m2 y n2.
A) 74 B) 60 C) 75 D) 72 E) 64
Solución:
(2,2,3,6,m,n) = 5,82 = 8,5
Además:
22i2
x6
x
Luego
17nm
56
nm6322x
74MA
148nm
56
nm63225,8
)nm(
22
2222222
22
Clave: A
6. La media aritmética de ab y ba es 66. Si se cumple que a2 + b2 = 90, halle lamedia geométrica de a y b.
A) 3 3 B) 2 3 C) 3 D) 13 3 E) 5 3
Solución:
33ab
90bapero
12ba
132baab
66MA
22
)ba,ab(
Clave: A
ab = 27
-
8/17/2019 Solucion de Mate
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7. La diferencia de dos números enteros positivos es n3 . Halle el menor de ellossi se sabe que la media aritmética y la media geométrica de ambos son dosnúmeros impares consecutivos.
A) 9 B) 49 C) 43 D) 47 E) 45
Solución:
Sea:a b = n3
Además:
)II...(2ba
2ab2
ba
2MGMA )b,a()b,a(
De (I) y (II):a = 81 , b = 49
49Clave: B
8. La MH de dos números es igual a la mitad del mayor número y la MA excede ala MH en 24 unidades. Determinar la diferencia de los números.
A) 120 B) 100 C) 98 D) 96 E) 85
Solución:
Sea: a > b
k1
k3
b
a
bab42
a
ba
ab22
aMH )b,a(
Además:
96k2ba
48k
242
k3k2
24ba
ab22
ba
24MHMA )b,a()b,a(
-
8/17/2019 Solucion de Mate
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Clave: D9. En una serie de tres razones geométricas, la media geométrica de los
promedios aritméticos de los términos de cada razón es 2. Determinar la mediaaritmética, de la media geométrica de los antecedentes y la media geométricade los consecuentes.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Solución:
22
)1k(bdf
2
bdf ace
bdf ,aceMA
Luego
4)1k(bdf
64)1k(bdf
64)f e)(dc)(ba(
22
f e
2
dc
2
ba
22
f e,
2
dc,
2
baMG
kf
e
d
c
b
a
3
33
33
3
3
Clave: B
10. es 93,5; si a los4; ... ; p respectivamente y al
resto se les agrega 1; 4; 9; 16; ...; q² respectivamente; entonces el promedioaritmético aumenta en sus 2/5. Determinar p/q.
A) 1/5 B) 2/3 C) 7/3 D) 4/7 E) 5/7
Solución:
Se sabe:
* )I...(4675an
1ii
*)II...(5,93
n
an
1ii
-
8/17/2019 Solucion de Mate
14/44
De I y II: n = 50
Luego:
3
7
15
35
b
a
15b,35a11220)1b2)(1b(b)1a(a3
)5,93(5
7
50
)b...41()a...21(ba 2i1
Clave: C
Álgebra EJERCICIOS DE CLASE
1. Halle el cardinal del conjunto solución en Z
Z del sistema
4y0
3x0
2yx
A) 15 B) 17 C) 18 D) 16 E) 13
Solución:
El conjunto solución tiene 17 elementos.Respuesta: B
2. Si a es la mayor abscisa y b es la menor ordenada de las soluciones que
satisfacen el sistema
7y
9y3x3yx
; zy,x , halle a + b.
A) 4 B) 12 C) 6 D) 8 E) 10
4
0
y
x3
-
8/17/2019 Solucion de Mate
15/44
Solución:
iii...7y
ii...9y3x
i...3yx
De (i) y (ii): ...9y3xy3
iv...y3
y412
9y3y3
De (iii) y (iv): 7y36;5;4:y
Si 3x1:en,4y2,2,4,1,4,0
Si 6x2:en,5y
5,5,5,4,5,3,5,2,5,1,5,0,5,1
Si 9x3:en,6y
6,8,........,6,1,6,2
4by8a
Luego a + b=12.Respuesta: B
3. Hallar el área de la región limitada por
0y
0x1yx
7x
3xy
A) 2u44 B) 2u40 C) 2u45 D) 2u64 E) 2u36
Solución:
-
8/17/2019 Solucion de Mate
16/44
A = Área del Trapecio Área del Triángulo= 2u452
1.17.
2
103 .
Respuesta: C
4. Halle el área de la región limitada por
24x3y4x
xy
6y0
A) 2u20 B) 2u24 C) 2u16 D) 2u18 E) 2u22
Solución:
Área (R) Área del Triángulo OAB Área (T)
.u20
22.4
26.8
2
Respuesta: A
5. Sea Ra;ayax9)y,x(f la función objetivo sobre la región R
Si Zb y el área de la región R es 2u14 , halle el valor de a sabiendo que elmáximo valor de f(x,y) es 90.
A) 5 B) 6 C) 3 D) 2 E) 4
-
8/17/2019 Solucion de Mate
17/44
Solución:
Área (R)2
1.b9.
9
b763
15b3b
b9362.9
b9b9714
2
Evaluando en la función ayax9y,xf
máximo,a45a39
42a93,9
42f
a99,0f
a33,0f
.2a90a45
Respuesta: D
6. Dada las restricciones
0y0x
30y2x3
12yx
. Determine la suma de las coordenadas del
punto que minimiza la función f (x,y) = 5x + 2y
A) 10 B) 12 C) 8 D) 9 E) 6
Solución:
Evaluando un y2x5y,xf
4212306,6f
3015,0f
mínimo,2412,0f
.12120scoordenadadesuma
Respuesta: B
-
8/17/2019 Solucion de Mate
18/44
7. Hallar el mínimo valor del producto de los valores de x e y que satisfacen elsistema
0a;a2ay
11
100
110
x...
6
x
2
x
A) 10 B) 100 C) 60 D) 30 E) 20
Solución:
10x
11100
1110x
11100
111
101...
31
21
211x
11100
1101...
61
21x
11100
110x...
6x
2x
Como 2ya2ay
.20210xy mínimoRespuesta: E
8. Juan ganó 10 millones en un negocio y decide invertir como máximo 6millones en la compra de acciones del tipo M que producen un beneficio de10% anual y por lo menos 2 millones en la compra de acciones del tipo N queproducen un beneficio de 7% anual y también decide que lo invertido en M sea
por lo menos igual a lo invertido en N. ¿Cómo debe invertir para que elbeneficio anual sea lo máximo posible?
A) 6 millones en acciones de tipo M y 4 millones en acciones de tipo N.B) 2 millones en acciones de tipo M y 2 millones en acciones de tipo N.C) 4 millones en acciones de tipo M y 6 millones en acciones de tipo N.D) 5 millones en acciones de tipo M y 5 millones en acciones de tipo N.E) 6 millones en acciones de tipo M y 2 millones en acciones de tipo N.
Solución:
Sea x: cantidad en millones que invierte en comprar acciones del tipo My: cantidad en millones que invierte en comprar acciones del tipo N
-
8/17/2019 Solucion de Mate
19/44
0y
0x
10yx
yx
2y
6x
.millones4ymillones6invertir debe
742,6f máximo,884,6f
855,5f
342,2f :Evaluando
utilidadfunción,y7x10y,xf
Respuesta: A
EVALUACIÓN DE CLASE
1. Halle el área de la región limitada por
12yx
x3y
x2y
A) 2u5 B) 2u6 C) 2u4 D) 2u9 E) 2u7
Solución:
Área (R)= .u62
8.12
2
9.12 2
Respuesta: B
-
8/17/2019 Solucion de Mate
20/44
2. Halle el número de soluciones en Z
Z del sistema
5x
8xy4x3
yx2yx
A) 3 B) 4 C) 2 D) 5 E) 6
Solución:
iii...5x
ii...8xy4x3
i...yx2yx
De (i) y (ii): ...48x2
y2
x
4;3;2:x
5x2
x2
x48
8x2x2
1,2
1y1:en;2xSi
1,3
21y
23:en;3xSi
0,4,1,4,2,4
0y2:en;4xSi
Hay 5 soluciones.Respuesta: D
3. Si T es la región determinada por
0y,0x
9y3x
6yx
, halle el área de T.
A) 2u4
45B) 2u20 C) 2u16 D) 2u14 E) 2u64
-
8/17/2019 Solucion de Mate
21/44
Solución:
Área (T)= .u4
452
23.3
23.9 2
Respuesta: A
4. Halle la suma de los componentes de los elementos del conjunto solución del
sistema
5x
5yx
5x2y3
en Z
xZ .
A) 6 B) 27 C) 4 D) 7 E) 9
Solución:
iii...5x
ii...5yx
i...5x2y3
De (i) y (ii)
4,3:x
x2
5x2x315
...3
5x2yx5
3,3
311y2:en;3xSi
4,4,3,4,2,4
313y1:en;4xSi
Suma de componentes = 27.Respuesta: B
-
8/17/2019 Solucion de Mate
22/44
5. Halle el punto que minimiza la función objetivo 2yx)y,x(f sujeto a lasrestricciones.
0y
0x
30y3x4
5yx
A) (4,0) B) (7,0) C) (0,5) D) (5,0) E) (0,10)
Solución:
Evaluando en y2xy,xf
2150,15f
2010,0f
mínimo,50,5f
105,0f
.funciónlaimizamin0,5
Respuesta: D
6. El número de unidades de dos tipos de productos M y N que un comerciantepuede vender es como máximo 100. Dispone de 60 unidades del tipo M con unbeneficio de 2,5 dólares y de 70 unidades del tipo N con un beneficio de 3dólares. ¿Cuántas unidades de cada tipo de producto debe vender elcomerciante para maximizar sus beneficios?
A) 30 de tipo M y 70 de tipo N B) 60 de tipo M y 40 de tipo NC) 40 de tipo M y 20 de tipo N D) 30 de tipo M y 30 de tipo NE) 50 de tipo M y 50 de tipo N
Solución:Seax: # de unidades del tipo My: # de unidades del tipo N
-
8/17/2019 Solucion de Mate
23/44
0y
0x
70y
60x
100yx
y3x5,2y,xf
1500,60f
27012015040,60f
máximo,2852107570,30f 21070,0f
00,0f
Debe vender 30 del tipo M y 70 del tipo N.Respuesta: A
7. Halle el área de la región limitada por
6y0
0x
4yx
2yx
A) 2u25 B) 2u16 C) 2u40 D) 2u19 E) 2u27
Solución:
Área (R)= .u402
2.26.
2
104 2
Respuesta: C
-
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8. Un sastre tiene 80 m2 de tela M y 120 m2 de tela N. Para hacer un terno decaballero requiere de 1 m2 de tela M y 3 m2 de tela N y hacer un vestido dedama requiere de 2m2 de cada tela. Si la venta de un terno deja el mismobeneficio que la de un vestido, cuantos ternos y vestidos debe fabricar elsastre para obtener la máxima ganancia?
A) 20 ternos y 30 vestidos B) 40 ternosC) 30 ternos y 10 vestidos D) 20 ternos y 20 vestidos
E) 40 vestidos.
Solución:
Sea x: número de ternosy: número de vestidos
Terno VestidosTela M X 2yTela N 3x Y
0y
0x
120y2x3
80y2x
yxy,xf
Evaluando
400,40f
máximo5030,20f
4040,0f
00,0f
Debe fabricar 20 ternos y 30 vestidos.
Respuesta. A
-
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Geometría
EJERCICIOS DE LA SEMANA Nº 15
1. El desarrollo de la superficie lateral de un cono de revolución es un semicírculo.Halle la medida del ángulo que forman dos generatrices diametralmente opuestas.
A) 30° B) 45° C) 60° D) 37° E) 53°
Solución:
1) AL = S
rg =2
g2
g = 2r
2) ABC: Equilátero
x = 60°
Clave: C
2. En un cono de revolución, cuya altura mide 15 cm y el radio de la base mide 6 cm,se traza un plano secante paralelo a la base a una distancia de 5 cm del vértice del
cono. Halle el área total del tronco de cono resultante.
A) 8 (2 29 + 5) cm2 B) 6 (3 29 + 5) cm2 C) 8 (3 29 + 5) cm2
D) 5 (3 29 + 2) cm2 E) 2 (3 29 + 5) cm2
Solución:
1) CDE ~ ABC
r = 2
g = 2 29
2) AT = g(R + r) + (R2 + r 2)
AT = (2 29 )(6 + 2) + (22 + 62)
AT = (16 29 + 40)
AT = 8 (2 29 + 5) cm2
Clave: A
A
B
xg
r CO g g
g
D es a r r o l l o d e l a s u e r f i ci elat e ral d e un c o no d e
re vo lu ció n
AB
C
D Er
5
h =10g
R = 6
-
8/17/2019 Solucion de Mate
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3. En la figura, el trapecio circular sombreado es el desarrollo de la superficie lateral de
un tronco de cono recto. Si O es centro, mBOC = 60°, OB = 12 cm y OA = 3 cm,
halle el área total del tronco de cono correspondiente.
A) 2cm4
865B) 2cm
4
875C) 2cm
4
675
D) 2cm4945 E) 2cm4
877
Solución:
1) AB = 9 = g : generatriz
2) mBOC = 60° =3
3) Longitud de arco:
L1 = 2 r 1 = 33
5r 1 =
2
5
L2 = 2 r 2 = 123
5r 2 = 10
4) AT = g(r 1 + r 2) + ( 21r + 2
2r )
AT = (9) 1025 + 2
2
1025 AT = 2cm
4875
Clave: B
4. En una superficie esférica de radio R, se inscribe un cono circular recto cuya alturamide h (h > R). Halle el volumen del cono.
A) 2h)hR2(3
B) 2h)hR(3
C) h)hR2(3
D)3
hR 2E)
3
hR 3
Solución:
1) AEO: (Pitágoras)
r 2 + (h R)2 = R2
r 2 = 2Rh h2
2) V =3
1r 2h
=3
1(2Rh h2)h
V =3
(2R h)h2
Clave: A
O
AB
C
g
r 1
r 2
L1
L2
h
Rh R
r A B
C
E
OR
-
8/17/2019 Solucion de Mate
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5. En la figura, halle el valor de para que el área de la superficie lateral del conocircular recto que se forma con el sector circular sombreado sea el triple del área dela base del mismo cono.
A) 240° B) 260°
C) 280° D) 300°
E) 220°
Solución:
1) AL = 3B g = 3 r 2
rR = 3 r 2
R = 3r . . . (*)
2) Longitud de arco = Perímetro base
R(2 ) = 2 r
3r(2 ) = 2 r
6 3 = 2 =3
4
= 3
4
(180) = 240°Clave: A
6. El área de un huso esférico de 30° es 2m3
4. Halle el volumen de la cuña esférica
correspondiente.
A) 3m9
4B) 3m
6
5C) 3m
8
7D) 3m
9
8E) 3m
7
8
Solución:
1) AH.E. =3
4= 4 R2
360
30
R = 2 m
2) VCUÑA = 3R3
4
360
30
= 3)2(3
4
360
30
VCUÑA = 3m9
8
Clave: D
O
A B
C
R
O
A Husoesférico
O
A B
C
g = R
r
h
F
E D
B
2
R R
-
8/17/2019 Solucion de Mate
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7. En una superficie esférica cuya área es 144 m2, es seccionada por dos planos queforman entre sí un ángulo diedro de 60°, determinando dos casquetes esféricoscongruentes que tienen un punto en común. Halle el área de la superficie esféricacomprendida entre ambos planos.
A) 60 m2 B) 72 m2 C) 76 m2 D) 80 m2 E) 96 m2
Solución:
1) 4 R2 = 144 R = 6
2) AEO (Notable 30°- 60°)
h = 3
3) Sx = AS.E. 2AQ.E.
= 144 2[2 Rh]
= 144 2[5 (6)(3)]
= 144 72
Sx = 72 m2
Clave: B
8. El radio de una superficie esférica mide 12 cm. Si las áreas de una zona esférica yun huso esférico son equivalentes en dicha superficie esférica, y la altura de la zonaesférica es 3 cm, halle el volumen de la cuña esférica correspondiente.
A) 248 cm3 B) 268 cm3 C) 278 cm3 D) 288 cm3 E) 300 cm3
Solución:
1) A1 = A2
2 Rh = 4 (122)360
2 (12)(3) = 4 (122)360
= 45°
2) VCUÑA =36045R
34 3
=360
45)12(
3
4 3
VCUÑA = 288 cm3
Clave: D
30° A
B
O
Er
r
R =6R =6
círculomáximo
F Sx
AQ.E.
AQ.E.
R = 12
O
A
h = 3
A2
A1
-
8/17/2019 Solucion de Mate
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9. Una superficie esférica está inscrita en un tronco de pirámide cuadrangular regular cuyas aristas básicas miden 4 cm y 8 cm. Halle el volumen de la esfera.
A) 3cm3
264B) 3cm
3
265C) 3cm
3
267
D) 3cm
3
277E) 3cm
3
280
Solución:
1) MNAC: Trapecio isósceles
2) AEC: (Rel. métricas)
O1 A = AB = 2
O2C = CB = 4
r 2 = (2)(4) r = 2 2
3) VESFERA =3
4(2 2 )3
VESFERA = 3cm
3
264
Clave: A
10. El radio de una esfera mide 3 cm. Halle el volumen de un segmento esférico de dos
bases congruentes cuya altura mide 2 3 cm.
A) 3cm38 B) 3cm316 C) 3cm310
D) 3cm312 E) 3cm314
Solución:
1) ABO (Pitágoras)
r = 22 )3(3 r = 6
2) v = 212
21 BB3
hBB
2
h
v =3
)32(r r
2
32 222
v = 3cm316Clave: B
E
A
B
CM
N
O2 4
4
2O1
4
r
O
A B
R = 3
r r
r
3
h
=2 3
B1
B2
-
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-
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13. La base de un cono circular recto es un círculo máximo de una semiesfera cuyoradio mide 5 cm tal que al intersecar la semiesfera determina un círculo menor. Si elvolumen del cono es igual a la mitad del volumen de la esfera, halle el volumen deltronco de cono comprendido entre el círculo máximo y el círculo menor mencionados.
A) 3cm3
206B) 3cm
3
131C) 3cm
3
146D) 3cm
3
176E) 3cm
3
196
Solución:
1) vCONO =2
1vESFERA
3
1(5)2H = 3)5(
3
4
2
1
H = 10
2) ADE (Notable 53°/2)
3) DBC (Notable 37°- 53°)
r = 3 h = 4
4) vx =3
h[R2 + r 2 + Rr]
=3
)4([52 + 32 + 5(3)]
vx = 3cm
3
196
Clave: E
14. En la figura, el radio de la superficie esférica inscrita en la superficie cilíndrica recta
mide 5 cm. Si O1 y O2 son centros, halle el área de la zona esférica que contiene
al arco AD.
A) 30 cm2 B) 40 cm2
C) 50 cm2 D) 60 cm2
E) 70 cm2
Solución:
1) AZ.E. = 2 Rh
2) AEO (Notable 37°- 53°)MN = 2R = 10 R = 5,
2
h= 3
h = 6
3) AZ.E. = 2 (5)(6) = 60 cm2
Clave: D
O2
A B
D C
M O1
A
B C
D E
h
53°
R = 5
R = 5
53°
53°2
H = 1vx r
O2
A B
D C
M NO1
53°2
h
53°
E
h2
-
8/17/2019 Solucion de Mate
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EVALUACIÓN Nº 15
1. El área total de un cono de revolución es 200 m2 y numéricamente el producto delas medidas de la generatriz y el radio de la base es 136. Halle el volumen del cono.
A) 320 m3 B) 220 m3 C) 520 m3 D) 420 m3 E) 720 m3
Solución:1) AT = 200 = r(r + g)
r 2 + rg = 200 . . . (*)
2) Dato: rg = 136 . . . (**)
3) Reemplazando (**) en (*):
r 2 + 136 = 200 r 2 = 64
r = 8 g = 17
h = 15
4) V =3
1r 2h
V =
3
1(8)2(15)
V = 320 m3
Clave: A
2. En la figura, se tiene un depósito cónico equilátero cuya generatriz mide 12 3 cm.
Se vierte agua hasta que su volumen sea la mitad del volumen del depósito. Halle laaltura del cono determinado por el agua.
A) cm493
B) cm293
C) cm393 D) cm593
E) cm29
Solución:
1) AOB (Notable 30°- 60°):
h = 18 v1 =2
v 2
2)3
3
2
1
18
x
v
v3
3
1
1
18
x
v2
v
x = cm493
Clave: A
g = 17
h = 15
r = 8
O
A
B
C
v2
30°
A
B
C D
O
h =18
R =6 3
x v1
-
8/17/2019 Solucion de Mate
33/44
3. En la figura, mDBC = mACB = 53° y BC = 6 cm. Halle el volumen de tronco de
cono de revolución de generatriz AD .
A) 112 cm3 B) 113 cm3
C) 116 cm3 D) 124 cm3
E) 136 cm3
Solución:
1) DEC (Notable 37°- 53°): r = 4
ABC (Notable 37°- 53°): R = 8
2) vx =
3
h[R2 + r 2 + Rr]
=3
)3([82 + 42 + 8(4)]
vx = 112 cm3
Clave: A
4. Halle el área de la superficie esférica circunscrita a un cilindro circular recto, si elradio de la base mide 12 cm y su altura es 32 cm.
A) 1600 cm2 B) 1700 cm2 C) 1800 cm2 D) 1200 cm2 E) 1660 cm2
Solución:
1) OBA: OB = r = 12
AB = 2
h
= 16R = 20
2) AS.E. = 4 R2
= 4 (20)2
AS.E. = 1600 cm2
Clave: A
5. Una circunferencia menor en una superficie esférica, determina dos casquetes cuyasáreas están en relación de 3 a 5. Si la longitud del radio de la superficie esféricaes 16 m, halle la medida del radio de la circunferencia menor.
A) 3 15 m B) 4 15 m C) 3 17 m D) 4 19 m E) 5 15 m
A B
C
D E M
N
A
B
C
D E M
N
h= 3
R
53°h = 3
53°
r v
x
O
A
B
R h2
h2
-
8/17/2019 Solucion de Mate
34/44
Solución:
1) Área de casquetes: (dato)
5
3
S
S
2
1
5
3
Rh2
Rh2
2
1
5
3
h
h
2
1
k5h
k3h
2
1
20h
12h
2
1
h1 + h2 = 32 = 8k k = 4
2) OAB: (Pitágoras): r 2 + 42 = R2
r 2 = 162 42 r = 4 15 mClave: B
6. En la figura, MON es un cuadrante, OM = 5 cm y OA = 3 cm. Halle el volumen
generado por la región sombreada al girar 360° alrededor de ON .
A) 3cm3
143B) 3cm
3
134C) 3cm
3
124
D) 3cm4
132E) 3cm
3
142
Solución:1) vx = vSEMI-ESFERA vCILINDRO
= 353
4
2
1(3)2(4)
vx = 3cm3
142
Clave: E
Trigonometría
EJERCICIOS DE LA SEMANA Nº 15
1. Sea la función real f definida por ,4x329)x(f hallar el dominio de f.
A)2
17,
2
1B)
6
17,
6
1C)
6
17,
16
1
D) 3,6
1E) 4,1
A
BC
M
N
O
R = 5
360°N
h = 4
A
BC
Or = 3 M
R 4
r
S1
S2
AB
O
h1
h2R= 16
-
8/17/2019 Solucion de Mate
35/44
Solución:
617
,61
)f (Dom
617
x61
217
x321
429x3294294x329
29
4x394x32
04x329sss)f (Domx
Clave: B
2. Sea f una función real definida por 4x
x
2x
8x2x)x(f
32
. Calcular el dominio
de f.
A) ,22,4 B) ,4 C) ,2
D) ,00,4 E) ,44,2
Solución:
,22,4)f (Dom
2x4x
2x04x
4x,2x02x
8x2x:)f (Dom
2
Clave: A
3. Dada la función real f definida por 1x3x3x
1x2x)x(f 23
2
; determinar el complemento
del dominio de dicha función.
A) 1R B) 1, C) ,1 D) ,0 E) 1
-
8/17/2019 Solucion de Mate
36/44
Solución:
1)f (Dom
dondede,1)f (Dom,Luego
1xsss)f (Domx
)1x)(1x(
)1x(
)1x2x()1x(
)1x(
)x31xx()1x(
)1x()x(f
)1x(x3)1xx()1x(
)1x(
)x3x3()1x(
)1x(
1x3x3x
1x2x)x(f
C
2
2
2
2
2
2
2
2
23
2
23
2
R
Clave: E
4. Sea la función real f definida por 12x2x4xx)x(f 234 , calcular el
complemento del dominio de f.
A) 2,1 B) 2,2 C) 1,2 D) 2,3 E) 1,3
Solución:
2,3)f Dom(C
,23,)f (Dom
02x3x02x3x2x
012x2x4xxsss)f (Domx
2
234
Clave: D
5. Sea f la función real definida por x
xx)x(f . Determinar la intersección del
dominio y rango de la función.
A) 0R B) ,2 C) 2, D) 2 E) 0
-
8/17/2019 Solucion de Mate
37/44
Solución:
2)f (Ran)f (Dom)3
2,0)f (Ran
2x
xx)x(f 0x
0x
xx)x(f 0x
:0)f (DomxSea)2
0)f (Dom,luego,0xsss)f (Domx)1
R
R
Clave: D
6. Los pares ordenados (0,6) , (1,5) y ( 1,13) pertenecen a la función real F definida
por cxbax)x(F 2 ; ¿cuál es el valor mínimo que asume la función real G
definida por c7xbax)x(G 2 ?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
Solución:
66)6x(0)6x(
6)6x(Gy
6)6x()x(G
6)6x12x()x(G
42x12x)x(G
4b3a6a2
7ba136ba)1(F
1ba56ba)1(F
6c)0(F
22
2
2
22
2
Por lo tanto, 6y . El valor mínimo de G es 6.
Clave: C
7. De la función real f , definida por 3x2x2
1)x(f 2 , se sabe que su dominio es el
intervalo 6,2 y su rango es el intervalo b,a ; halle b a.
A) 8 B) 2 C) 2 D) 8 E) 4
-
8/17/2019 Solucion de Mate
38/44
)(...3b2
3a
4
3I
)(...32
ba
4
3II
Solución:
8)5(3ab
3,5)f (Ranel
,luego;35)2x(21
5
8)2x(2
1016)2x(042x4
entonces,6x2,atodPor
5)2x(21
)x(f
2
22
2
Clave: A
8. Los puntos t,2
3P y m,
2
1Q pertenecen a las gráficas de las funciones
reales f y g definidas por xbax)x(f 2 y 3xa)x(g . Hallar .5
mtg
A) 4 B) 15 C) 8 D) 11 E) 5
Solución:
3a23
b23
a49
t3a23
23
g
tb23
a49
23
f
32a
2b
43
m32a
21
g
m2b
4a
21
f
-
8/17/2019 Solucion de Mate
39/44
De (I) y (II) se obtiene b = 0 , a = 4
113)2(4)2(g5
19g,Finalmente
1321
421
gm
923423f t
3x4)x(g
x4)x(f
2
2
Clave: D
9. La gráfica adjunta corresponde a una función real periódica f.
Evaluar .2
55
f 2
37
f 25f 2
33
f
A) 6 B) 4,5 C) 5 D) 8,5 E) 7
Solución:
4x3,1
3x2,6x22,x1,2
1x0,x2
)x(f
-
8/17/2019 Solucion de Mate
40/44
El periodo de la función f es 4.
511212
55f 2
37f 25f 2
33f
127
f 2427
f 2
55f
125
f 1625
f 2
37f
21f 241f 25f
121
f 4421
f 1621
f 2
33f
Clave: C
10. Calcular el área de la región limitada por las gráficas de las funciones reales f y gdefinidas por .9)x(gy,x41)x(f
A) 18 u2 B) 16 u2 C) 14 u2 D) 8 u2 E) 10 u2
Solución:
x41)x(f ,0xSi
x41)x(f ,0xSi
1)0(f ,0xSi
x41)x(f
La región sombreada es la regióndeterminada por los gráficos de lasfunciones f y g.
2
u16 Área
168421
Área
Clave: B
-
8/17/2019 Solucion de Mate
41/44
EVALUACIÓN Nº 15
1. Determinar el dominio de la función real f definida por .x41)x(f 2
A) B) C) 3,1
D) E)
Solución:
2,33,2)f (Dom
2x23x3x
2xx3
4)x(33x43x4,414x440
1x401x40
x41
0x41sss)f (Domx
2222
22
2
2
Clave: E
2. Si f es una función real definida por ,3x2
1x3)x(f determine el dominio
de f.
A) 1,72,3 B) 12,4
C) 7,12,4 D) 12,3
E) 2,3
-
8/17/2019 Solucion de Mate
42/44
Solución:
12,3)f (Dom
1x,3x2x41x,3x31x3
23x3x1x3
03x203x01x3sss)f (Domx
Clave: D
3. La función real f está definida por
2x0,1x 5x2
5x3,13x
)x(f
Si el rango de f es b,a , hallar .ab 22
A) 21 B) 16 C) 24 D) 25 E) 17
Solución:
2x0,1x
32
5x3,2x)x(f
:como)x(f escribir Podemos1x
32
1x5x2
)ii
2x13x13x
23x05x3)i
-
8/17/2019 Solucion de Mate
43/44
Cálculo del rango de f.
5y331x
3
2511x
3
3
31
1x1
131x1;2x0,1x
32y)ii
3y132x15x3,2xy)i
Por lo tanto, 5,1)f (Ran de donde
2415ab 2222
Clave: C
4. La gráfica de la función real f definida por 12xx)x(f 2 interseca al eje X enlos puntos (a, 0) y (b, 0). Calcular )b3a3(f .
A) 4 B) 3 C) 2 D) 6 E) 1
Solución:
6159123912)3()3()3(f )b3a3(f
3)34(3)ba(3b3a3
3x,4x)3x()4x()(012xx0f )0,b(,)0,a(
2
2
Clave: D
5. Sea f una función real periódica (de período 6) con regla
6x4,2
4x2,2x
2x0,x2
)x(f
Calcular 3
35f
2
9f
7
66f 7
5
16f 5
2
3f 4
A) 21 B) 20 C) 23 D) 24 E) 22
-
8/17/2019 Solucion de Mate
44/44
Solución:
272
5f 632
5f 32
11f 3
35f
25,4f 29
f
710
273
373
3f 673
3f 73
9f 7
66f
5
62
5
16
5
16f
21
5,125,1f 23
f
Si E es el número buscado entonces
22E
41062E
227
107565
214E
Clave: E
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