slope deflexion
Post on 30-Dec-2015
447 Views
Preview:
TRANSCRIPT
C A P Í T U L O
DEFORMACIONES ANGULARES
CHRISTIAN OTTO MOHR (08/10/1835 – 02/10/1918)
Nació en una familia de terratenientes en Wesselburen en el
Holstein Alemania. Entró en el Instituto Politécnico Hannover,
a la edad de 16 años y se graduó con una licenciatura en
1855. En 1868 Otto Mohr se convirtió en profesor de
Ingeniería Mecánica en la Polytechnicum Stuttgart. Otto
Mohr fue uno de los ingenieros más laureados de
Europa en el siglo 19.
En 1868, a la edad de 32 años, Mohr fue invitado a ser
el profesor de ingeniería mecánica en la Polytechnicum
Stuttgart. A pesar de un parto sin pulir, sus
conferencias fueron bien recibidas por los estudiantes
debido a su simplicidad, claridad y concisión. Ser a la
vez teórico y la práctica de ingeniería civil, Mohr sabía de
su tema a fondo y siempre fue capaz de traer algo fresco e
interesante para la atención de sus estudiantes. En 1873,
Mohr se trasladó a la Polytechnicum Dresde, y enseñó allí hasta
la edad de 65 años (1900). Después de su retiro, se quedó en el área de Dresden,
donde continuó su labor científica hasta su muerte.
Los Teoremas de Mohr representan un valioso aporte para el cálculo de
deformaciones en estructuras es así que tenemos lo siguiente:
1er. Teorema:
“El ángulo comprendido entre las tangentes en dos puntos cualesquiera de la línea
elástica, es igual al área total del trozo correspondiente del diagrama de momentos
flectores, dividido por el módulo de rigidez “.
2do. Teorema:
“La ordenada de un punto de la elástica, respecto a la tangente en otro punto, es igual al
momento estático de la superficie de momentos flectores, comprendida entre las
ordenadas de ambos puntos, respecto al punto primero, dividido por el módulo de
rigidez E.I ".
FUENTE: www.pacific.math.ualberta.ca
VIII
OII
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 2
INTRODUCCIÓN
El método pendiente-deflexión (PD) representa el punto de inicio en la evolución del
método matricial de rigidez como este es conocido actualmente.
El método pendiente-deflexión “PD” puede ser utilizado para analizar todo tipo de vigas
y pórticos estáticamente indeterminados. Las ecuaciones clásicas de pendiente-
deflexión son derivadas por medio del teorema del momento-área considerando la
deformación causada sólo por los momentos de flexión y despreciando los debidos por
fuerzas de cortantes y axiales. Básicamente, un número de ecuaciones simultáneas son
planteadas con incógnitas como las rotaciones angulares y los desplazamientos de cada
nodo. Una vez que estas ecuaciones han sido solucionadas, los momentos en todos los
nudos pueden ser determinados. El método pendiente-deflexión “PD” es simple de
explicar y aplicar ya que se basa en el equilibrio de los nudos y de los elementos. El
método pendiente-deflexión “PD” clásico es enseñado en cursos elementales de
“ANÁLISIS ESTRUCTURAL I” y empleados en el diseño estructural porque este provee
una perspectiva clara y completa de cómo los momentos internos y las deformaciones
están interrelacionados, conceptos que son esenciales en la ingeniería estructural.
OBJETIVOS
Identificar adecuadamente las variables, los casos y las restricciones para las
estructuras a analizar para luego resolver correctamente las estructuras que
cumplan todas las condiciones y requisitos previos en los que se aplicará el método,
para de esta manera lograr llevar a cabo un buen y adecuado análisis.
Identificar adecuadamente las ecuaciones y demás variables que se han de utilizar
durante la resolución de las estructuras planteadas para de esta manera tener la
lucidez adecuada y solucionar correctamente los problemas del capítulo.
Interpretar adecuadamente los resultados obtenidos por el método y plasmarlos
adecuadamente el los diagramas correspondientes (de momentos flectores y
fuerzas cortantes) para su posterior utilización en trabajos de diseño de concreto
armado, diseño en acero, entre otras aplicaciones.
Dar la respectiva y adecuada solución a los problemas propuestos del capítulo en
base al conocimiento adquirido en la parte teórica y práctica del capítulo que a
continuación se procede a desarrollar.
DEFORMACIONES ANGULARES
VIII - 3
TEOREMA DE LAS DEFORMACIONES ANGULARES
(SLOPE – DEFLECTION)
(Pendiente – Deflexión)
El método pendiente-deflexión se basa en expresar los momentos de los extremos de
los miembros de estructuras estáticamente indeterminadas en función de los giros y
deflexiones observadas en los nudos, teniendo como supuesto que si bien los nudos
pueden girar o deflectarse, los ángulos entre los elementos que convergen en el nudo
se mantienen constantes.
RESTRICCIONES:
Este método considera sólo el efecto de la flexión sobre los elementos y omite el efecto
del corte y axial.
Este método es adecuado para el análisis de estructuras pequeñas, corresponde a un
caso especial del método de las deformaciones o rigideces y proporciona una muy
buena aproximación inicial para presentar la formulación matricial del método de la
rigidez.
VENTAJAS:
Este método presenta la ventaja de proporcionar de manera inmediata un primer esbozo
de la deformada.
Figura 8.1
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 4
Figura 8.2
SE CALCULA:
Momentos flectores en los extremos de las barras deseadas y/o analizadas.
LAS VARIABLES:
Las principales variables utilizadas durante el desarrollo del curso son los
desplazamientos. Existen dos tipos de desplazamientos desconocidos: angulares y
lineales. Las incógnitas angulares son los ángulos de giro de los nudos rígidos del
sistema analizado. Las incógnitas lineales son los desplazamientos lineales de los
nudos del sistema.
APLICACIÓN:
Sea una parte de la viga que sometida a un sistema de cargas cualquiera.
Sean (i) y (j) dos secciones cualesquiera de la viga de sección constante con una
longitud “Lij” y un momento de inercia de la sección igual “Iij”.
En la resolución por este método se consideran como incógnitas (variables) los
desplazamientos en los nudos de la estructura. A fin de presentar la ecuaciones que
definen este método considere el siguiente elemento estructural ubicado entre los
puntos “i y j” con las constantes ya descritas así tenemos la siguiente gráfica.
Observación:
Para la aplicación del método se asume para todos los efectos en sentido horario
POSITIVO.
DEFORMACIONES ANGULARES
VIII - 5
Figura 8.3
OBJETIVO PRINCIPAL:
Calcular los momentos en los extremos:
Figura 8.4
En donde “Mij y Mji” son los momentos finales a determinar mediante el método.
DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO:
Para cumplir con el objetivo trazado primero debemos identificar adecuadamente
nuestras variables a partir del siguiente gráfico:
Figura 8.5
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 6
El método consiste en determinar “ del elemento en función de las cargas
(Momentos de Empotramiento Perfecto:
) y de las deformaciones producidas por
estas “ .Es así que las deformaciones (giros y desplazamientos) utilizadas por
el método son las siguientes:
Desplazamiento transversal relativo del extremo (j) respecto del extremo (i)
Rotación de la barra “i j”
La manera o forma de relacionar las deformaciones y desplazamientos ya mencionadas
con los momentos finales a determinar (“Mij y Mji”) es mediante las ecuaciones de
Maney que presentamos a continuación.
ECUACIONES DE MANEY:
( )
( )
En donde:
Momentos flectores con signos de Maney
Momentos de empotramiento perfecto (MEP)
Giros en (i) y (j) respectivamente
Deformación angular (ROTACION) de la barra “i j”
Estas ecuaciones se utilizarán cuando sean conocidas las deformaciones: de
no ser así se recomienda trabajar con las expresiones simplificadas siguientes:
Rigidices relativas:
DEFORMACIONES ANGULARES
VIII - 7
Cambio de variable:
( )
( )
Cuando los nudos solamente giran más no desplazan, como es común en sistema de
vigas hiperestáticas, entonces:
Entonces las fórmulas simplificadas serían las siguientes:
( )
( )
DEMOSTRACIÓN:
Resolveremos por el Principio de Superposición de efectos, considerando 4 estados.
Estado “0”:
Momentos producidos por las cargas con extremos del elemento en la condición de
perfectamente empotrados.
Figura 8.6
Estado “1”:
M
j
ij
iMji
º
º
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 8
Momentos producidos por el giro elástico del extremo empotrado (i)
Figura 8.7
Estado “2”:
Momentos producidos por el giro elástico del extremo empotrado (i).
Figura 8.8
Estado “3”:
Momentos producidos por la rotación de la barra o debido al desplazamiento transversal
relativo del extremo (j) respecto del extremo (i).
Figura 8.9
Superponiendo:
( )
ji
DEFORMACIONES ANGULARES
VIII - 9
( )
Resolviendo el estado: 1
Aplicando la ecuación de los 3 momentos:
Figura 8.10
( )
(
)
Tramo: (0) – (1) – (2)
( ) ( ) (
)
( )
Tramo: (1) – (2) – (3)
( ) ( ) ( )
( )
De (1) y (2):
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 10
Figura 8.11
Por lo tanto:
Figura 8.12
Resolviendo el estado: 2
Por analogía:
Resolviendo el estado: 3
Figura 8.13
Tramo: (0) – (1) – (2)
( ) ( ) (
)
iθ
M ji
M ij
i j Para el método
DEFORMACIONES ANGULARES
VIII - 11
( )
Tramo: (1) – (2) – (3)
( ) ( ) (
)
( )
De (3) y (4):
Figura 8.14
Por lo tanto:
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 12
Figura 8.15
Reemplazando en (I) y (II):
(
)
( )
(
)
( )
Ecuaciones de Maney:
( )
( )
DEFORMACIONES ANGULARES
VIII - 13
GRADO DE HIPERGEOMETRIA:
También llamado GRADO DE INDETERMINACIÓN CINEMÁTICA. Es esta una
propiedad muy importante para el análisis de toda estructura; el grado de
hipergeometría se basa en las variables ya descritas anteriormente es así que juega un
papel importante dentro del análisis de los sistemas analizados.
Básicamente está dado por el número de giros y desplazamientos desconocidos de los
nudos de la estructura.
Estos giros y desplazamientos son las incógnitas que se calcularan por este método y
consecuentemente usando las expresiones planteadas anteriormente, los momentos
flectores con signos de Maney y los momentos flectores finales.
NOTA:
Se puede mencionar como algo resaltante que no se consideran el giro y
desplazamientos en el extremo libre del volado.
EJEMPLO:
Determinar del grado de hipergeometría del siguiente sistema mostrado a continuación
considerando para 1-2 y 3-4 un EI constante y para la barra 2-3 considerar EI=∞.
Figura 8.16
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 14
SOLUCIÓN:
Como se puede apreciar en la gráfica el efecto de la fuerza externa que actúa sobre el
nudo 2 provocará un desplazamiento lateral de todo el sistema en conjunto que a la vez
provocará la rotación de ciertos nudos, es así que tenemos la siguiente gráfica para un
mejor entendimiento:
Como podemos apreciar en la gráfica la fuerza externa provoca solo un desplazamiento
lateral (y ángulos de giro en 1 y 4; en los nodos 2 y 3 no existe ángulos de giro
alguno debido a la naturaleza de la barra 2-3.Es así que tenemos:
GRADO DE HIPERGEOMETRÍA = 3er. GRADO (
DIAGRAMA FINAL DE MOMENTO FLECTOR
Todo problema o sistema analizado se resuelve de forma descompuesta, entonces será
necesario graficar previamente el diagrama de momentos en los nudos. Los momentos
en los nudos se determinarán por las fórmulas anteriores ya descritas, para los valores
de los desplazamientos determinados del sistema de ecuaciones.
En los tramos, donde existen cargas externas, será necesario agregar al diagrama de
momentos en los nudos, el diagrama de momentos debido a la acción de las cargas
externas, como si se tratase de una viga simplemente apoyada sometida a dichas
cargas.
DIAGRAMA FINAL DE FUERZA CORTANTE
Para graficar el diagrama de fuerza cortante, se utiliza la dependencia diferencial de la
fuerza cortante en base al momento flector.
DEFORMACIONES ANGULARES
VIII - 15
En el tramo, donde el diagrama de momento flector es lineal, el valor numérico de la
fuerza cortante se determina como la tangente del ángulo de desviación del diagrama
con el eje de la barra.
En el tramo, donde el diagrama es curvo, la fuerza cortante puede ser calculada como la
suma algebraica de dos fuerzas cortantes.
DIAGRAMA FINAL DE FUERZA AXIAL
Las fuerzas axiales o normales, se determinarán a partir de la condición de equilibrio de
los nudos del sistema analizado. Para ello, a los nudos se les aplicará sus cargas
externas, las fuerzas cortantes, así como las fuerzas axiales correspondientes.
Los nudos se deben de analizar en forma consecutiva, de tal manera, que en cada uno
de ellos no debe haber más de dos fuerzas axiales desconocidas.
PARTICULARIDADES DEL CÁLCULO DE PÓRTICOS SIMÉTRICOS
En los pórticos simétricos, sometidos a cargas simétricas, sólo surgirán fuerzas y
deformaciones simétricas. En base a ello, para su cálculo se deben de tomar
desplazamientos simétricos desconocidos. Los desplazamientos que permiten
deformaciones anti simétricas del sistema analizado, consecuentemente serán nulos.
Si las cargas son anti simétricas, entonces los desplazamientos desconocidos se deben
de tomar también anti simétricos. Los desplazamientos que permiten una deformación
simétrica, también son nulos.
Si sobre el pórtico actúa una carga general, entonces será necesario dividirlo en
componentes simétricos y anti simétricos. El cálculo del pórtico ante cada componente
se realiza en forma separada y el diagrama final resulta como la suma de ambos.
EJEMPLO N° 1:
Para el siguiente sistema de pórticos simétricos de acero, con cargas también simétricas
se pide bosquejar las deformaciones y desplazamientos que sufre la estructura como
consecuencia de las cargas aplicadas.
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 16
Figura 8.17
SOLUCION:
El pórtico tiene siete nudos rígidos, en consecuencia, los ángulos de giro desconocidos
son 6Debido a la simetría del pórtico y de las cargas externas, entonces
la deformación del pórtico también será simétrica, esto es:
Esta manera, producto de la simetría del pórtico tenemos tres ángulos de giro
desconocidos Nd=3:
Para determinar el número de desplazamientos lineales desconocidos, elaboramos el
esquema del pórtico con rótulas (introduciendo articulaciones en todos los
empotramientos y nudos rígidos porque se trata del análisis de una estructura de acero)
Los esquemas de desplazamiento de cada nudo del pórtico se muestran en la siguiente
figura:
DEFORMACIONES ANGULARES
VIII - 17
Del gráfico anterior se puede concluir que debido a la naturaleza simétrica del pórtico
analizado en dimensiones y cargas se pueden notar desplazamientos laterales debido a
la acción de las cargas distribuidas; se puede mencionar también que 7=
y como consecuencia de esto podemos decir que:
En consecuencia, el pórtico indicado tiene cuatro incógnitas:
y
es así que exige la formulación y solución de un sistema de cuatro ecuaciones.
RIGIDEZ LATERAL:
Se entiende por rigidez lateral a la propiedad de resistencia de los elementos a la
deformación lateral.
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 18
Donde:
EJEMPLO Nº 2:
Hallar la rigidez lateral de cada columna del sistema mostrado en la figura:
Figura 8.18
Solución:
P Pe e
h
L
DEFORMACIONES ANGULARES
VIII - 19
1º. De las ecuaciones de Maney se tiene:
M 1-2, M 2-1
( ) =
(
) ………………. (1)
( ) =
(
)…….…………..…. (2)
2º. De la ecuación (1) se tiene :
(
)
(
)
3º. Reemplazando en la ecuación (2):
(
) =
(
) =
4º. Finalmente tenemos para el elemento 1-2:
EJEMPLO Nº 3
Hallar la rigidez lateral de cada columna del sistema mostrada en la siguiente figura:
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 20
Figura 8.19
SOLUCIÓN:
1º. De las ecuaciones de Maney se tiene:
M 1-2, M 2-1
( ) =
(
)
( ) =
(
)
DEFORMACIONES ANGULARES
VIII - 21
2º. Así tenemos para el elemento 1-2:
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 22
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
PROBLEMA 8.1
De la estructura mostrada empotrada en uno de sus extremos y volado en el otro
extremo como muestra la figura determinar los momentos flectores en los extremos de
los elementos y dibujar el DMF y DFC (EI=constante).
Figura 8.20
SOLUCIÓN:
1º. Grado de Hipergeometría 5º GRADO ( )
2º. Rigideces
DEFORMACIONES ANGULARES
VIII - 23
m.c.m. = 12
3º. M.E.P.
4º. Deformada:
m.c.m. = 6
5º. Ecuación de barras:
( )
( )
( )
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 24
( )
( )
( )
( )
( )
( )
6º. Equilibrio de nudos:
Nudo:
( )
Nudo:
( )
( )
Nudo:
( )
DEFORMACIONES ANGULARES
VIII - 25
De la estática: (Encontrados la 5ta ecuación)
Equilibrio Nudo:
( ) ( )
( )
De (1), (2), (3), (4) y (5):
7º. Momentos de Maney
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 26
8º. Momentos flectores
9º. Isostatización
DEFORMACIONES ANGULARES
VIII - 27
PROBLEMA 8.2
De la estructura mostrada empotrada en uno de sus extremos y volado en el otro
extremo como muestra la figura determinar los momentos flectores en los extremos de
los elementos y dibujar el DMF y DFC (EI=constante).
Figura 8.21
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 28
SOLUCIÓN:
1º. Grado de Hipergeometría : 5º GRADO ( )
2º. Rigideces:
3º. M.E.P.
4º. Deformada
5º. Ecuación de barras:
( )
( )
DEFORMACIONES ANGULARES
VIII - 29
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
6º. Equilibrio de nudos
Nudo:
⁄
( )
Nudo:
⁄ ( )
( )
Nudo:
( )
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 30
De la estática: (Encontramos la 5ta ecuación)
Equilibrio nudo:
( )
De (1), (2), (3), (4) y (5):
7º. Momentos de Maney
DEFORMACIONES ANGULARES
VIII - 31
8º. Momentos flectores
9º. Isostatización
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 32
PROBLEMA 8.3
Para la estructura empotrada en sus dos extremos, determinar los momentos flectores
en los extremos de los elemento y dibujar el DMF y DFC (EI=1).
Figura 8.22
DEFORMACIONES ANGULARES
VIII - 33
SOLUCION
1º. Grado de hipergeometría: 3º GRADO ( )
2º. M.E.P.
3º. Desplazamientos:
4º. Ecuación de barras:
Ecuaciones de Maney:
( )
( )
( (
))
(
)
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 34
( (
))
(
)
( ( ))
( )
( ( ))
( )
( (
))
(
)
( (
))
(
)
5º. Equilibrio de nudos:
Nudo:
(
)
( )
(
) ( )
Nudo:
( )
(
)
(
) ( )
De ( ) ( )
Remplazando en ( ) ( )
Remplazando en las ecuaciones de barras
DEFORMACIONES ANGULARES
VIII - 35
6º. De la estática:
En todo el sistema:
∑
Por simetria de la estructura
Nudo:
ING. RONALD SANTANA TAPIA
VIII - 36
∑
( )
Nudo:
∑
( )
7º. Momentos de Maney
8º. Momentos flectores
DEFORMACIONES ANGULARES
VIII - 37
9º. Dibujo del DFC y DMF
(-)D.F.C.
P
(+)
-P
(-)
(-)
D.M.F.
-4.5P
-1.5P
+1.5P
(+)
(+)
(+)
+1.5P
+1.5P
-1.5P-4.5P
top related