sistemas de segundo orden dinámicos
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Sistemas de segundo orden
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Sistemas de segundo orden. y Un sistema convencional de segundo orden se muestra a continuacin:
y La ecuacin dinmica del sistema de carga es: + cBcJT
y Tomando la transformada de Laplace:
+= cBcJT
)()()( 2 B CCJT +y As que la funcin de transferencia es:
)()()( 2 sBsCsCJssT +=
sC 1)(BsJssT
sC+= 21
)()(
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Sistemas de segundo orden. y Utilizando la funcin transformada:
y Calculando el sistema de lazo cerrado:y Calculando el sistema de lazo cerrado:
/)( JKKsC ==)/()/()( 22 JKsJBsKBsJssR ++++
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Sistemas de segundo orden. y Respuesta al escaln unitario.y Reescribiendo la funcin de transferencia del sistema de lazo cerrado:
+ ++
=KBBsKBBs
JKsRsC
22
/)()(
+
++ JJJsJJJs 2222
y Los polos en lazo cerrado son complejos conjugados si:
042
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Sistemas de segundo orden. y Respuesta al escaln unitario.y Para el anlisis de la respuesta transitoria se define:
K B
y Donde:
2nJ
K = nJB 22 ==
y Atenuacin.y n Frecuencia natural no amortiguada.y Factor de amortiguamiento relativo, tambin definido como:
B=JK2
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Sistemas de segundo orden. y Respuesta al escaln unitario.y En trminos de yn, el sistema se convierte en:
y La funcin de transferencia del lazo cerrado se reescribe como:
2)(sC Forma estndar del22 2)(
)(nn
n
sssRsC
++=Forma estndar delsistema de segundo orden.
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Sistemas de segundo orden. y Respuesta al escaln unitario.y Finalmente se obtendr la respuesta del sistema redefinido para unaentrada escaln unitario considerando tres casos diferentes:entrada escaln unitario, considerando tres casos diferentes:
1. Caso sub-amortiguado (0
- Sistemas de segundo orden. y Respuesta al escaln unitario.1. Caso sub-amortiguado (0
- Sistemas de segundo orden. y Respuesta al escaln unitario.1. Caso sub-amortiguado (0
- Sistemas de segundo orden. y Respuesta al escaln unitario.1. Caso sub-amortiguado (0
- Sistemas de segundo orden. y Respuesta al escaln unitario.1. Caso sub-amortiguado (0
- Sistemas de segundo orden. y Respuesta al escaln unitario.1. Caso sub-amortiguado (0
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Sistemas de segundo orden. y Respuesta al escaln unitario.2. Caso crticamente-amortiguado (=1):
Si 1 l d l i i l l ly Si =1, los dos polos son casi iguales, y la respuesta para un escalnunitario se escribe como:
C nn 11)(22
Y l f d d L l
ssssssC
n
n
nn
n
)(2)( 222 +=++=
y Y la transformada inversa de Laplace es:
)1(1)( tetc ntn +=
y Esto considerando el siguiente lmite:
( )tt 21sin)sin( ( ) ttt nnd == 2121 1 1sinlim1 )sin(lim
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Sistemas de segundo orden. y Respuesta al escaln unitario.3. Caso sobre-amortiguado (>1):
Si >1 l d l l di i P d l ly Si >1, los dos polos son reales distintos. Para una entrada escaln, lasalida se escribe como:
C n 1)(2
Y l f d d L l
( )( ) ssssC nnnn n 11)( 22 +++= y Y la transformada inversa de Laplace es:
( ) ( ) ( ) ( ) tt nn eetc 122122 22 111)( + += ( ) ( ) 2222 112112)( +
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Sistemas de segundo orden. y Respuesta al escaln unitario.3. Caso sobre-amortiguado (>1):
Si d fi Si se define:
( ) ns 121 += ( ) ns 122 = La salida del sistema se puede reescribir como:
( ) n1 ( ) n2
+=
2
21
121)( eetc
tstsn
212 12 ss
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Sistemas de segundo orden. y Especificaciones de la respuesta transitoria.
y Al ifi l t ti d l t t it i d i t dy Al especificar las caractersticas de la respuesta transitoria de un sistema decontrol para una entrada escaln unitario, es comn especificar losiguiente:
1. Tiempo de retardo, td.
2 Tiempo de subida t2. Tiempo de subida, tr.
3. Tiempo pico, tp.
4. Sobreelongacin,Mp.
5. Tiempo de asentamiento, ts.
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Sistemas de segundo orden. y Especificaciones de la respuesta transitoria.1. Tiempo de retardo, td.
2. Tiempo de subida, tr.p
3. Tiempo pico, tp.
4. Sobreelongacin,Mp.
5. Tiempo de asentamiento, ts.p
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Sistemas de segundo orden. y Especificaciones de la respuesta transitoria.
y C id iy Consideraciones:
y La respuesta transitoria debe ser suficientemente rpida y amortiguada.p p y gy Para una respuesta transitoria conveniente, debe estar entre 0.4 y 0.8.y Valores pequeos de (0.8) producen respuestas muy lentas.y No es posible hacer que la sobreelongacin y el tiempo de subida seo es pos e ace que a so ee o gac y e t e po e su a sereduzcan de manera simultnea, es decir, si uno se reduce el otronecesariamente aumenta.
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Sistemas de segundo orden. y Clculo de las especificaciones de la respuesta transitoria.y Tiempo de subida tr:
+== )sin(
1)cos(11)(
2 rdrdt
r ttetc rn
0)sin(
1)cos(
2=+ rdrd tt
1
drd t ==21)tan(
= drt 1tan1 dr
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Sistemas de segundo orden. y Clculo de las especificaciones de la respuesta transitoria.y Tiempo pico tp:
0)( =tcdtd
01
)sin()(2
==
=pntn
pdtt
etdttdc
1= ptt
( ) 0sin =pdtpt
=d
p
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Sistemas de segundo orden. y Clculo de las especificaciones de la respuesta transitoria.y Sobreelongacin mxima Mp:
1)( = pp tcM
t
+= )sin(
1)cos(
2 pdpdt
p tteM pn
+= ))/(sin(
1))/(cos(
2)/(
ddddpdneM
( ) 21/ = eM p
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Sistemas de segundo orden. y Clculo de las especificaciones de la respuesta transitoria.y Tiempo de asentamiento ts:
n
T 1=
s Tt 44 == (Criterio del 2%)n
s Tt 33 == (Criterio del 5%)n
s
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Sistemas de segundo orden. y Clculo de las especificaciones de la respuesta transitoria.
y Ej l bt l ti d bid d t i t iy Ejemplo: obtener el tiempo de subida, de asentamiento, pico ysobreelongacin mxima de un sistema de segundo orden sujeto a unaentrada escaln unitario y caracterizado por: =0.6 y n=5rad/s.
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