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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFacultad de Electrotecnia y Computación

Sistemas de Control2009

Docente:Alejandro A Méndez TProf. Titular Dpto. Electrónica2009 Prof. Titular Dpto. ElectrónicaFEC - UNI

Asistente:Yamil O Jiménez LPrograma PIEDVRAC - UNI

Diseño de sistemas de control

Respuesta Errores deRespuesta Transitoria

EstabilidadErrores de

Estado Estable

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Error de estado estable

Es la diferencia entre la entrada y la salida para una entrada de pruebaEs la diferencia entre la entrada y la salida para una entrada de pruebadeterminada cuando t → ∞

A Méndez Dpto. Electrónica

Formas de onda de prueba para evaluar errores de estado estable de sistemas de control de posición

A Méndez Dpto. Electrónica

A Méndez Dpto. Electrónica

A Méndez Dpto. Electrónica

Fuentes del error de estado estable

1. No linealidades (backlash, saturación, tiempo muerto)

2. Configuración del sistema y el tipo de entrada aplicada

eeee eK c =

eeee cK1 e =

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Si la ganancia de camino directo es reemplazada por un integrador, habrá no habrá error de estado estable para una entrada tipo escalón.p p

A medida que c(t) se incrementa, e(t) disminuirá, ya que e(t) = r(t) – c(t). La disminución continuará hasta que el error sea cero, pero habrá un valor para c(t) ya que un

integrador puede tener una salida constante sin una entrada presente.

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Errores de estado estable para sistemas con RA unitaria

El error de estado estable, para sistemas con retroalimentación unitaria, puede ser calculado a partir de:

1. la función de transferencia de lazo cerrado de un sistema T(s) o( )

2. la función de transferencia de lazo abierto G(s)

Errores de estado estable en términos de T(s)Errores de estado estable en términos de T(s)

0 s t E(s) S lim e(t) lim )e(

→∞→==∞

T(s)]-[1R(s)E(s) =

T(s)] - [1 R(s) S lim )e(0 s→

=∞

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T(s)] [1 R(s) E(s)

Ejercicio

Encontrar el error de estado estable para el sistema cuya función de transferencia se indica abajoy cuya entrada es un escalón unitario.

10) 7S (S5 T(s) 2 ++

=

10) 7S (S S5 7S S E(s) 2

2

++++

=

1)(e =∞2

)(e =∞

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Errores de estado estable en términos de G(s)

G(s) 1R(s) E(s)+

= G(s) lim0 s→

Ganancia DC de la función de transferenciadirecta

G(s) 1R(s) S lim )e(

0 s +=∞

→Para obtener un error de estado estable igual a cero, sedebe cumplir:

1(1/S) Slim)(e)e( t ==∞=∞

R(s) = 1 / S ∞=→

G(s) lim0 s

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G(s)lim1G(s) 1 lim )(e )e(

0 s0 sstep

→→ ++

∞∞

Para satisfacer la ecuación anterior, G(s) debe tomar la siguiente forma:

).....p )(sp (ss..... )z )(sz (s G(s)

21n

21

++++

=

y para que en el límite G(s) tienda a infinito, el denominador debe seri l did S ti digual a cero a medida que S tiende a cero.

n ≥ 1 al menos un polo debe existir en el origenn ≥ 1, al menos un polo debe existir en el origen

Si no hay integradores:

.....pp.....z z G(s) lim

21

210 s

=→

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Entrada tipo rampa, R(s) = 1 / S2

G(s) s lim1

sG(s) s1 lim

G(s) 1)(1/s s lim )(e )e(

0s0 s

2

0 srampa

→→→

=+

=+

=∞=∞s→

∞= G(s) S lim0 )p)(sp(ss

..... )z )(sz (s G(s) n21

++++

=→ 0s

n ≥ 2, al menos dos polos debe existir en el origen

).....p)(sp(ss 21 ++

.....pp.....z z G(s) S lim

21

210 s

=→

Si existe solo un integrador:21

0G(s)Slim =Si no hay integrador:

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( )0s→

y g

Entrada tipo parábola, R(s) = 1 / S3

G(s)s lim1

G(s)s s1 lim

G(s) 1)(1/s s lim )(e )e( 2

0 s

220 s

3

0 sparabola

→→→

=+

=+

=∞=∞

∞=→

G(s) S lim 2

0 s ).....p)(sp(ss..... )z )(sz (s G(s)

21n

21

++++

=).....p)(sp(ss 21

n ≥ 3, al menos tres polos debe existir en el origen

.....pp.....z z G(s) S lim

21

212

0 s=

→Si existen dos integradores:

0 G(s) S lim 2

0 s=

→Si un integrador:

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Ejercicio

Encuentre los errores de estado estable para las entradas 5u(t), 5tu(t) y 5t2u(t) para el sistemamostrado en la figura.

215 )(e )e( step =∞=∞

∞==∞=∞ 05 )(e )e( rampa

∞==∞=∞10)(e)e( b l

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∞∞∞0

)(e )e( parabola

Constantes de error estático y tipo de sistema

G(s) lim 11 )(e )e(

0 s

step

→+

=∞=∞ G(s) lim K0 sp →

= Posición constante

SG(s)lim1 )(e )e( rampa =∞=∞ G(s) S lim K

0sv →= Velocidad constante

SG(s) lim0 s

p

→

1

0s→

G(s)s lim1 )(e )e( 2

0 s

parabola

→

=∞=∞ G(s) S lim K 2

0 sa →= Aceleración constante

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Tipo de sistema

El tipo de sistema es el valor de n en el denominador, o equivalentemente, el número d i t i l i di t

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de integraciones puras en el camino directo.

Especificaciones del error de estado estable

Por ejemplo, si un sistema de control tiene especificaciones Kv = 1000, podemossacar las siguientes conclusiones:

1. El sistema es estable

2. El sistema es de tipo 1, ya que solamente los sistemas tipo 1 tienenKv’s que son constantes finitasKv s que son constantes finitas.

3. Una entrada tipo rampa es la señal de prueba. Ya Kv esespecificada como una constante finita, y el error de estado establepara una rampa unitaria es inversamente proporcional a Kv,sabemos que la entrada de prueba es una rampasabemos que la entrada de prueba es una rampa.

4. El error de estado estable entre la entrada tipo rampa y la rampa desalida es 1/Kv por unidad de pendiente de entrada.

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Control de la antena: Diseño del error de estado estable mediante la ganancia

Para el sistema de posición de la antena, considerando la configuración 1:

1. Encuentre el error de estado estable en términos de la ganancia, K, para las entradas step, rampa y parábola.

2. Encontrar el valor de la ganancia, K , para obtener un 10% de error en el estado estable

100) 1.71)(S S(SK 6.63 G(s)++

= Tipo 1

G(s) 1R(s) S lim E(s) S lim )e(

0 s0 s +==∞

→→(0, 25.79/K, ∞)

K25.79

K 6.63)(1.71)(100

K1 0.1 )e(

v

====∞ (257.9)>> t = 0:0.1:5;>> num = [0 0 0 6.63*257.9];>> den = [1 101.71 171 6.63*257.9 0];>> c = step(num,den,t);>> plot(t,c,'.',t,t,'.');

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0 < K < 2623.29

5

3.5

4

4.5

2

2.5

3

0.5

1

1.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

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Error de estado estable para sistemas con RA no unitaria

Sistemas de control, con frecuencia, no tienen retroalimentación unitaria debido a lacompensación usada para mejorar el desempeño o debido al modelo físico del sistema. Elcamino de retroalimentación puede ser una ganancia pura o tener alguna representacióndinámica.

Sistema retroalimentado generalPlanta y controlador

Transductor deentrada

Retroalimentación

( )( )GGG( ) (s)(s)GG G(s) 21=

(s)G(s)H H(s)

1

1=

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Ejemplo

Para el sistema mostrado en la figura, encuentre el tipo de sistema, la constante de errorPara el sistema mostrado en la figura, encuentre el tipo de sistema, la constante de errorasociada con el tipo de sistema, y el error de estado estacionario para una entradaescalón unitario. Asuma que las unidades de la entrada y la salida son iguales.

G(s) - G(s)H(s) 1G(s) (s)Ge +

=4-

(5/4)- 11

K 11 )e(

p

==+

=∞

400-50S-15SS5) (S 100 (s)G 23e +

+=

Step Response

4

5

6

System: TFinal Value: 5

400 - 50S - 15S S +

Ampl

itude

1

2

3

4

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45 -

400-5 x 100 (s)G lim K e0 sp ===

→

Time (sec)0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

1

Errores de estado estable para perturbaciones

(s)D(s)G (s)(s)GE(s)G C(s) 221 +=

E(s) - R(s) C(s) =

D(s) (s)(s)GG 1

(s)G - R(s) (s)(s)GG 1

1 E(s)21

2

21 ++=

D(s) (s)(s)GG 1

(s)SG lim - R(s) (s)(s)GG 1

S lim E(s) S lim )e(21

20 s

210 s0 s ++

==∞→→→

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)(eR ∞ )(eD ∞

Sensibilidad

Durante el proceso de diseño, el ingeniero puede estar interesado en saber en queDurante el proceso de diseño, el ingeniero puede estar interesado en saber en quemedida los cambios en los sistema del sistema afectan el comportamiento de un sistema.

El grado en el cual los cambios en los parámetros del sistema afectan la función detransferencia y, por consiguiente, el desempeño del mismo es llamado SENSIBILIDAD.

Ffunción laen fraccionalCambioliS

transferencia y, por consiguiente, el desempeño del mismo es llamado SENSIBILIDAD.

P parámetro elen fraccional CambiolimS

0 P:PF →Δ=

F/FliS ΔP/P

limS0 P:PF Δ

=→Δ

FPliS ΔPF

FPlimS

0 P:PF ΔΔ

=→Δ

FP δ

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PF

FP S :PF δδ

=

Ejemplo

Dado el sistema mostrado en la figura calcular la sensibilidad de la función de transferencia deDado el sistema mostrado en la figura, calcular la sensibilidad de la función de transferencia de lazo cerrado ante los cambios en el parámetro a. Cómo se podría reducir la sensibilidad?

K aS SK T(s) 2 ++

=

aS-)KS -(KaTaS 222a:T ===

δKaSS

)K)aS(S

(

K) aS (SK

aT S 222

2

a:T ++++++

δ

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Ejercicio #1

El sistema mostrado en la figura debe cumplir con las siguientes especificaciones: Kv = 10; ζ = 0.5.Encontrar los valores de K1 y Kf requeridos para cumplirlas.

La función de transferencia directa es: )10K1S(SK 10 G(s)

f

1

++=

)10K1S(S f++

También:1f

21

10K 1)S (10K SK 10

G(s) 1G(s) T(s)

+++=

+=

Resolviendo para K1 y Kf simultaneamente

K 10

10 10K 1

10K Kf

1v =

+= 1fn 10K * 0.5 *2 1 10K 2 =+=ζω

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K1 = 10 y

Kf = 0.9.

Ejercicio #2

Un bote se mueve alrededor de un barco el cual usa un radar de seguimiento (tracking radar) LaUn bote se mueve alrededor de un barco el cual usa un radar de seguimiento (tracking radar). Lavelocidad del bote es de 20 knots y está a una distancia de una milla náutica, como se muestraen la figura. Un modelo simplificado del sistema de seguimiento es mostrado en la figura 2.Encontrar el valor de K que garantice que el bote se mantenga en el centro del rayo del radar conmás de 0.1 grado de error.

1 knots = 1 milla náutica

Fig. 2

Fig. 1

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Verificar los resultados usando MATLAB

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