sistemas coordenados - gradiente divergente y rotacional
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UNIDAD 1.
CAMPO ELCTRICO, FLUJO ELECTRICO Y POTENCIAL ELCTRICO
CAPTULO 1: El MARAVILLOSO SOPORTE MATEMTICO El encanto que producen las ecuaciones de Maxwell solo puede ser
experimentado cuando uno ha manejado un ratito con alegra, bondad y
rigurosidad el soporte matemtico, al principio parece muy complejo, que permite
una comprensin razonable de la teora de los campos electromagnticos. Este
captulo se interesa por dar a conocer las ideas matemticas bsicas que permiten
navegar con tranquilidad por estos mgicos mundos de los campos de inters
para nosotros. Comprender las operaciones vectoriales (suma, producto escalar o
vectorial), manipular los operadores especiales (gradiente, divergencia, rotacional,
laplaciano), adems de ser un desafo estimulante para la mente y para el alma,
es un mecanismo sencillo, elegante y apropiado, que nos llena de fortaleza, de
conocimientos, de esperanza, para disfrutar y comprender el trabajo de Maxwell.
Leccin 1: Sistemas de Coordenadas Existen muchos sistemas de coordenadas de inters para la ciencia o para la
tecnologa y su utilizacin es una necesidad especfica de acuerdo al tema de
inters. Es bueno saber que en la fsica del movimiento, en electromagnetismo o
en el clculo de varias variables, se manejan los tipos de coordenadas
mencionados a continuacin: cartesiana (rectangulares, cilndricas y las esfricas.
Coordenadas Cartesianas.
Es el sistema que hemos disfrutado y manejado desde siempre; nos lo
compartieron en el colegio, en l el hombre ha evolucionado, vivido,
amado, sufrido, progresado y ha comprendido que su vida se ha
desarrollado en tres dimensiones y en l nos hablaron de los volmenes.
Es este sistema, como se indica en la figura un punto cualquiera P
puede ser identificado mediante sus tres coordenadas xp , yp , zp
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Es bueno mostrar que los vectores unitarios, que indican la direccin en cada
eje coordenado se representan por: y que equivalen a
los vectores unitarios y ordenados: i, j, k y en estricto orden.
Conviene recordar que los tres vectores mencionados con lin ealmente
independientes, de magnitud uno, y que cada par es perpendicular entre s.
Adems de esos detalles importantes mencionados, los especiales vectores
(i, j, k) se deben orientar de tal manera que: i x j = k, j x k = i.
Los desplazamientos diferenciales a lo largo de los ejes coordenados son
sencillamente: dx , dy , dz. Es el sistema coordenado ms cercano a nosotros.
Coordenadas Cilndricas.
Otro sistema, es el indicado en la figura [3], aqu un punto cualquiera P
puede ser identificado mediante las coordenadas rp , p , zp
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Puedes imaginar este sistema de coordenadas concibiendo un tarro recto y
cilndrico en cual se tiene su radio ( r ), su altura ( z ) y el ngulo que ves en la
figura. Este sistema es muy interesante para trabajar con las lneas de los
campos magnticos que son lneas cerradas y concntricas, que como el caso
de un conductor rectilneo son circunferencias concntricas y de valor fijo.
Los desplazamientos diferenciales presentes a lo largo de cada uno de los ejes
coordenados en este sistema de referencia son: dr , r d , dz
Coordenadas Esfricas.
En la figura un punto cualquiera P ser identificado en este sistema de
referencia mediante las coordenadas, rp , p , p
Los desplazamientos diferenciales a lo largo de los ejes coordenados son: dr,
r d, r sen d. Este marco de referencia es muy utilizado en sistemas esfricos de distribuciones de carga elctrica en sistemas estticos en los
cuales las lneas de campo son lneas abiertas que como en el caso de una
carga elctrica puntual se consideran que son lneas que salen del sistema.
Los desplazamientos diferenciales a lo largo de los ejes coordenados son: dr,
r d, r sen d. Este marco de referencia es muy utilizado en sistemas esfricos de distribuciones de carga elctrica en sistemas estticos en los
cuales las lneas de campo son lneas abiertas que como en el caso de una
carga elctrica puntual se consideran que son lneas que salen del sistema.
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Leccin 2: Cantidades Vectoriales
En matemticas, en la fsica y en la ingeniera, se manejan varios tipos diferentes
de cantidades. Ellas son las escalares, las vectoriales y las tensoriales, aunque
para los estudiosos normales solo son conocidas las dos primeras clases .
Escalares: son cantidades que quedan definidas por una magnitud
(un nmero) como ejemplos tenemos masa, tiempo, estatura, rea,
longitud, energa, rapidez, parmetros en los cuales al preguntar por
ellos aquedamos satisfechos y comprendemos cuando nos
responden con una cifra definida. Por ejemplo: cul es tu
estatura?... la respuesta puede ser 1.78 m, pero nunca preguntamos:
acostado? parado? Es de inters solo el nmero que nos digan.
Vectoriales: son aquellas cantidades que para quedar debidamente
definidas necesitan una magnitud y una direccin (ngulo).
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Para representar un vector, es costumbre universal utilizar una flecha, cuya
longitud es proporcional a su magnitud y su orientacin con respecto al eje X
muestra su direccin.
Dos vectores son iguales si tienen la misma magnitud y la misma direccin. como
ejemplo tenemos:
Un vector en dos dimensiones, algebraicamente se puede especificar como un
par ordenado . Los elementos del par ordenado se llaman componentes
rectangulares del vector.
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Leccin 3: Operaciones Vectoriales
La suma de vectores puede lograrse usando el mtodo grfico (polgono, o
usando reglilla, transportador, papel milimetrado), o el mtodo analtico (el cual
hace uso de la calculadora cientfica y de las componentes rectangulares).
Adems de la operacin suma, se definen entre vectores dos productos
importantes: el escalar (producto escalar) y el vectorial (producto cruz).
PRODUCTO PUNTO ( a . b )
Se define como el producto de sus mdulos (magnitudes) multiplicado por el
coseno del ngulo que forman. Note que es siempre menor o igual que 180. l resultado es siempre un nmero que puede ser positivo, negativo o nulo. Se
representa por un punto, y se define de la siguiente manera:
En coordenadas cartesianas y sabidas las componentes rectangulares de cada
vector en bases ortonormales (ortogonal y unitaria), lo cual se traduce en vectores
de magnitud igual a la unidad y que forman ngulos rectos entre s):
PRODUCTO CRUZ ( a X b)
El producto vectorial de los vectores a y b (a b) es un vector cuya
magnitud est dada por |a||b| sen , en donde |a| y |b| son las magnitudes
de los vectores a y b y es el ngulo entre ellos. La direccin del vector resultante apunta en la direccin en la que un tornillo de rosca
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derecha penetrara perpendicularmente al pasar del vector a al vector b. El vector resultante es un vector que es perpendicular a cada uno de los
vectores que lo generaron: (a x b) . a = (a x b) . b = 0
Ejemplos:
A) Sean los vectores:
y
El producto vectorial entre a y b se calcula como:
Expandiendo el determinante:
Por lo tanto:
Si (a x b) . a = (1, -5, -2) . (2, 0, 1) = (1) (2) + (-5) (0) + (-2) (1) = 0, lo cual
garantiza, que como estaba predicho, estos dos vectores eran perpendiculares.
H a l l a r e l p r o d u c t o p u n t o ( a . b ) d e l o s v e c t o r e s a y b c u y a s c o o r d e n a d a s r e c t a n g u l a r e s s o n ( 1 , 1 / 2 , 3 ) y ( 4 , 4 , 1 ) .
a . b = ( 1 , 1 / 2 , 3 ) ( 4 , 4 , - 2 ) = 1 4 + ( 1 / 2 ) 4 + 3 ( - 2)
= 4 + 2 + - 6 = 0 ( s o n p e r p e n d i c u l a r es )
Leccin 4: Operadores especiales Las cantidades vectoriales son bsicas en este curso. Las funciones escal ares y
las funciones vectoriales siempre estn asociadas con el comportamiento de los
campos elctricos y algunas descripciones o parmetros asociados.
Los operadores que son de inters en el estudio de los campos electromagnticos
son: el gradiente (operador fundamental), el cual combinado con el producto punto
o con el producto cruz y bien comprendida la naturaleza de una cantidad fsica
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debemos saber su naturaleza escalar o vectorial para poder contribuir con su
estudio. Los operadores derivados de las distintas mezclas entre gradiente y los
productos escalar y vectorial, generan los dems operadores: divergencia,
rotacional, laplaciano, y es el tema de inters en este captulo que ha disfrutado de
la presencia de la esencia matemtica y fsica de cada n avegante.
Estos operadores mgicos y especiales, fundamento y soporte de la teora
electromagntica, se estructuran en el manejo de las derivadas direccionales (si
tienes dudas sobre su manejo o hace rato no los estudias por favor busca un libro
de clculo avanzado y trabaja algunos ejercicios) y van a ser definidos:
GRADIENTE
Es el operador fundamental. Este operador especial se le aplica a funciones
escalares y genera como resultado una funcin vectorial. Se representa el
gradiente de la funcin escalar "V", de la siguiente forma V (se lee nabla).
El operador gradiente muestra en un punto, la direccin y la magnitud de cambio
de una funcin escalar V. Observar que todas las derivadas implicadas en estos conceptos son derivadas acostadas es decir derivadas direccionales:
Las expresiones matemticas del operador gradiente en cada uno de los sistemas coordenadas se muestran a continuacin y se sugiere guardarlos en
tablas apropiadas para su debida utilizacin:
En coordenadas rectangulares se tiene que:
En coordenadas Cilndricas se tiene que:
En coordenadas Esfricas se tiene que:
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DIVERGENCIA ( . A)
Es un operador especial que se le aplica a funciones vectoriales (A) para generar funciones escalares. Se interpreta como una funcin que nos indica en un punto determinado la presencia de fuentes o de sumideros (desagues).
Por ejemplo: la fuente de los campos elctricos son las cargas elctricas, por lo
tanto en ciertos puntos .E (la divergencia del campo elctrico es diferente de
cero, porque existe una fuente (cargas elctricas) que lo genera)
Para la funcin vectorial E el concepto matemtico, que es prcticamente, un producto escalar entre dos funciones vectoriales se trabaja de la manera siguiente:
. E= ( i ) . (E1 i + E2 j + E3 k)
En coordenadas rectangulares se resume a::
En coordenadas cilndricas se tiene que: En coordenadas esfricas se tiene que:
Asociado con este interesante operador se tiene el conocido t eorema de la divergencia o teorema de Gauss o teorema del flujo, el cual permite convertir una integral de superficie en una integral de volumen para una regin. Su inters
se presenta en los campos electrostticos o en la mecnica de los fluidos, donde
en forma natural se presentan los conceptos de fuentes o de sumideros. Este teorema se describe matemticamente de la manera siguiente:
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ROTACIONAL ( x E)
Es otro operador especial que se le aplica a funciones vectoriales y genera
otra funcin vectorial. Es operador est asociado al concepto de giro
bien sea en un fluido o bien sea en un campo. Mentalmente se puede
asociar a una rueda colocada dentro de un fluido y el anlisis se dara
pensando en los lugares donde ella pueda girar como consecuencia del
desplazamiento del fluido. Su expresin en cada uno de los sistemas de
referencia es:
En coordenadas Rectangulares se tiene:
En coordenadas Cilndricas se tiene:
En coordenadas Esfricas se tiene:
LAPLACIANO (2
V)
Es un operador especial de enorme inters en los cursos avanzados de
matemticas especiales por su relacin estrecha con los armnicos. Toda funcin cuyo laplaciano sea nulo se denomina armnica y ella es la ecuacin
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diferencial ms conocida (cumple el papel del famoso teorema de Pitgoras en
los cursos bsicos de matemticas). Este operador, se indica y se define como:
En coordenadas Rectangulares se tiene que:
En coordenadas Cilndricas se tiene que:
En coordenadas Esfricas se tiene que:
La bella ecuacin de Laplace es entonces: 2
V = 0, y a las funciones V que la
satisfacen plenamente se les denomina funciones armnicas. Buscar algunas
Ejemplo: la funcin V = 3 X
2 + 2 Y
2 - 5 Z
2, cumple la ecuacin de Laplace
porque: 2
(3 X2) / X
2 = 6,
2 (2 Y
2) / Y
2 = 4,
2 (- 5 Z
2) / Z
2 = -10
Y entonces: 2
(V) / X2
+2
(V) / X2
+ 2
(V) / X2
= 6 + 4 10 = 0
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Leccin 5: El vector posicin (R) y el lgebra de operadores
En coordenadas cartesianas el vector posicin (R) se define como:
R = X i + Y j + Z k, cuya magnitud, una cantidad escalar, es simplemente:
R = (X2
+ Y2
+ Z2) = (X
2 + Y
2 + Z
2)0.5
UR, es un vector unitario (magnitud uno) en la direccin del vector R.
Algunas propiedades del vector de posicin R son:
R X R = 0 (vector nulo o vector cero)
R . R = R 2 = R2 (cantidad escalar o simplemente un nmero) . R = 3
X R = 0 (vector nulo o vector cero)
R X UR = 0 (vector nulo o vector cero)
R . UR = R
Si f( R ) es una funcin meramente radial, es decir, depende slamente del
parmetro R, entonces su gradiente { f ( R ) } se puede hallar
simplemente encontrando df ( R ) / dR (la derivada de f con respecto a
R y colocando el vector UR; es decir: f ( R ) = {df ( R ) / dR} UR
Por ejemplo, si f ( R ) = R
6, entonces su gradiente es la funcin vectorial:
f ( R ) = 6 R5
UR, porque d R6/ dR = 6 R
5. El UR le da el carcter vectorial.
Los operadores mencionados, tal como las funciones trigonomtricas,
cumplen unas propiedades que conviene tener presentes permanentemente.
Si A es una funcin vectorial y es una funcin escalar, se cumple que:
(1 2) = 1 (2) + 2 (1)
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. ( A) = . (A) + A . ()
x ( A) = x (A) - A x ()
X (A x B) = (B .) A (A. ) B + A (.B) B (.A)
. (x A) = 0 (la divergencia del rotacional es cero)
X (F) = 0 (rotacional del gradiente es vector nulo)
x ( X A) = (.A) - 2A
Para socializar el manejo de esta lgebra de operadores favor analizar con
cuidado y entusiasmo los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1: 1 =X2 y 2 = ln X
5 (ln logaritmo natural) son dos funciones escalares,
encontrar el gradiente de 1 2. Solucin: se sabe del lgebra de operadores que: (1 2 ) = 12 + 21
(1 2) = { x2 (1/ X
5)(5 X4 ) + (ln X
5 ) 2x } UR
(1 2 ) = (5 x + ln (X5) 2 x) UR
(1 2) = (5X + 10x ln x ) UR
Ejemplo 2: si F = R3
R, es una funcin de carcter vectorial, hallar con la ayuda
del lgebra de los operadores y los conocimientos del clculo: a. X F
b. . F
Solucin: se sabe que x ( A) = x (A) - A x (), y adems x R = 0
Luego: X F = R3
( x R) R x ( R3) = 0 - R x (3R UR)
pero R X UR =0 por lo tanto: X F = 0
Para resolver la parte b. del ejemplo 2 recordar: . ( A) = . (A) + A . ()
. F = . (R3
R) = R3 . R + R . R
3 = 3 R
3 + R . 3 R
2 UR = 3 R
3 + 3 R
3 = 6 R
3
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CAPTULO 2: CAMPO ELCTRICO ESTTICO La fuerza gravitacional es una fuerza muy estudiada en la naturaleza y su
comportamiento explica con claridad el movimiento planetario, el peso que
ejerce la tierra sobre nosotros y que no nos permite levantarnos del piso con
facilidad. Esta fuerza es atractiva, de carcter central y solo puede notarse
cuando las masas son grandes; es el caso de los planetas movindose
alrededor del sol, las mareas terrestres causadas por la influencia de la luna.
La fuerza elctrica es una fuerza significativamente ms poderosa, que
puede ser atractiva o repulsiva, de carcter central y adems es una fuerza
conservativa. Es la responsable de los enlaces de la materia, explica el
movimiento de los electrones en una pantalla de televisin, nos ayuda a
comprender el fenmeno del galvanizado, justifica la esttica de las nubes;
es una fuerza especial de la naturaleza que est muy cerca de nosotros.
Comprender y manejar los campos elctricos estticos, es decir, aquellos
campos elctricos que no dependen del tiempo, es muy importante para
justificar y analizar el comportamiento de muchos equipos, dispositivos o
fenmenos relacionados de la industria con este bello campo del saber.
Leccin 1: Carga elctrica La carga elctrica es un concepto fundamental (al nivel de la masa, la longitud y el
tiempo) y que se aplica ante la existencia de fuerzas susceptibles de ser medidas
experimentalmente. Es una medida de la cantidad de electrizacin que posee un
cuerpo. La carga tiene dos formas conocidas como son:
Carga positiva (+).
Carga negativa (-).
Estos dos tipos de carga fueron determinados por Benjamn Franklin (1706 -
1790), quien a travs de sus observaciones sistemticas determin que cargas
similares se repelen entre s y cargas opuestas se atraen entre s.
Grficamente esta situacin se puede ilustrar de la siguiente manera:
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Figura 1
En la figura 1A si se suspende una barra dura de caucho que se ha frotado con un
pao y se le acerca una barra de cristal que igualmente se ha frotado con seda,
las dos barras se atraern entre s (el frotamiento permanente de un cuerpo y en
la misma direccin produce una electrizacin que carga elctricamente los
cuerpos y recibe el nombre de triboelectricidad). De manera similar, si se
acercan dos barras de caucho (o dos de cristal) cargadas, como se muestr a en la
figura 1B, ambas se repelern. Cargas de diferente signo o carga elctrica,
simplemente se atraen y de igual signo se repelen o se rechazan.
La carga elctrica en un cuerpo, se puede presentar en su exterior, en su interior o
dentro de una superficie cerrada, constituyendo una forma cualitativa de exceso
de electricidad respecto a la presente en otro cuerpo o superficie.
La electricidad es una de las siete cantidades fundamentales, las que han sido
adoptadas por la General Conference on Weights and Measures (Junta General
de Pesas y Medidas) y son aquellas cantidades que no se derivan de ninguna
otra. Las unidades de estas cantidades fundamentales son las creadas por el
Sistema Internacional (SI), se basan en el sistema M.K.S.A (metro-kilogramo-
segundo-amperio) y han sido adoptadas por las entidades normativas a nivel
mundial, entre las que se pueden mencionar la IEC, el ANSI y el IEEE.
La unidad correspondiente a la cuantificacin de la carga elctrica es el Coulomb io
(C), el cual es una unidad derivada en el Sistema Internacional, es decir, que se
expresa en trminos de las llamadas y aceptadas cantidades fundamentales.
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Un coulombio equivale aproximadamente a 6 x 1018 electrones, mientras que la
carga de un electrn es: 1 e-
= -1,6019 x 10-19
C. La carga elctrica de un protn
es positiva y tiene el mismo valor absoluto de la carga elctrica del electrn. Debe
conocerse adems que los neutrones no poseen carga elctrica. En el mundo de las partculas atmicas los protones y los neutrones son
prcticamente igual de pesados y cada una de sus masas con casi dos mil veces
la del electrn, el cual es una partcula sumamente ligera con respecto a ellos. En
los pesos atmicos se consideran los protones y los neutrones (muy pesados).
Leccin 2: Clases de Materiales elctricos Los materiales por sus propiedades fsicas tienen una capacidad para conducir las
cargas elctricas. Los electrones de la ltima capa atmica de un elemento
determinan su capacidad de conducir bien sea la electricidad o bien sea el calor;
por ejemplo, el cobre, que es un metal muy conocido, es muy buen conductor del
calor y por lo tanto de la electricidad. En la naturaleza se pueden encontrar o
generar cuatro tipos especiales de materiales segn su capacidad conductora:
Materiales aislantes: son aquellos en los que una pequea o despreciable
cantidad de cargas elctricas se pueden mover o fluir. Los electrones no se
pueden desplazar fcilmente y se utilizan como aislantes del calor o de la
electricidad. Tambin se les conoc e con el nombre de dielctricos. Son la
materia prima para los condensadores. Son muy conocidos y usados el tefln,
el neopreno, la mica, algunas cermicas, la madera seca.
Materiales conductores: son los que permiten el paso de cargas elctricas
con absoluta facilidad. Tienes electrones libres fciles de desplazar, lo cual
favorece el desplazamiento del calor o de la electricidad por su interior. Son
buenos conductores el cobre, la plata, el aluminio.
Semiconductores: es una tercera clase de materiales y cuyas propiedades
son intermedias entre los aislantes y los conductores, por lo que se denominan
de esta manera. Estos materiales permiten el paso de cargas elctricas en
unas condiciones, mientras que en otras condiciones, el mismo material se
comporta como un aislante. La magia del silicio (del grupo IV A de la tabla
peridica) elemento que tiene 4 electrones de valencia, o sea favorece cuatro
enlaces sencillos, ha motivado grandes investigaciones a su alrededor y se
puede dopar con ciertas impurezas (elementos del grupo III A o del V A) y ese
detalle de la fsica del estado slido produce unas sustancias muy especiales
en cada caso: si se dopa con elementos del III A se van a tener estructuras con
7 electrones y como la ley del octeto exige ocho elec trones en el ltimo nivel
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para fortalecer el enlace, se percibe que queda un hueco el cual se comporta
como un sistema positivo, son las famosas pastillas tipo P. El otro caso especial se genera cuando se dopa, el silicio por ejemplo, con elementos del
grupo V A se tienen 9 electrones; se copan los 8 electrones para la ley del
octeto y sobra uno que hace ms negativo le sistema; de esta manera se
forman las pastillas tipo N. La gran revolucin moderna se produce cuando los laboratorios Bell le entregan al mundo un negrito de tres patas, el transistor. El mundo cambi profundamente y los aparatos electrnicos se
hicieron compactos, pequeos, con bajo consumo de energa; fue una
revolucin profunda que permiti socializar muchos dispositivos que han
facilitado y elevado la calidad de vida de los seres humanos.
Superconductores: son materiales especiales que a temperaturas cercanas al
cero absoluto (-273C) no presentan resistencia elctrica. Esta propiedad
sugiere que esos materiales no gastan energa elctrica y es como si fuese un
proceso eterno. En los resonadores magnticos, equipos bsicos para la
R.M.N (resonancia magntica nuclear) se utiliza el helio lquido a temperaturas
muy bajas como elemento superconductor en los sistemas de trabajo.
Como ejemplos tpicos de cada una de estas clases de materiales, se pueden
mencionar los siguientes:
Aislantes Caucho, porcelana, mica, resinas polimricas, vidrio,
celulosa, nylon, polivinilos, policarbonatos.
Conductores Metales como el cobre, aluminio, oro, plata.
Semiconductores Silicio, germanio.
Superconductores Helio lquido a -269 C
La acumulacin de cargas elctricas en un cuerpo se puede dar por dos mtodos
bsicos: la induccin y la conduccin. En el primero, un cuerpo cargado
elctricamente induce acumulacin de cargas de polaridad contraria en un cuerpo
cercano, sin que haya un contacto entre los dos cuerpos.
Leccin 3: La ley de Coulomb Charles Coulomb (1736 1806) midi las magnitudes de las fuerzas elctricas
que experimentaban cuerpos cargados elctricamente, mediante un dispositivo
denominado Balanza de Torsin y que l mismo desarroll. Las fuerzas que
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actuaban a distancia y que Newton haba inmortalizado en sus trabajos de
gravitacin universal estimularon los trabajos de Coulomb en la fuerza elctrica.
Las mediciones de Coulomb permitieron concluir lo siguiente: La fuerza elctrica entre dos pequeas esferas cargadas es inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia que las separa, es decir:
F 1 r
2
La fuerza elctrica experimentada por dos partculas cargadas es proporcional
al producto de la magnitud de cargas de las partculas, o sea:
F q1, q2 La fuerza elctrica es de atraccin si los signos de las cargas son opuestos
(fig. 5B) o de repulsin si los signos son iguales (fig. 5A), con lo cual:
Figura 5
A partir de esas conclusiones experimentales, Coulomb expres la ley que lleva su
apellido, la cual se puede representar con la siguiente ecuacin:
F = k q1 .q2
r 2
Donde:
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C
F: fuerza elctrica entre las cargas, [N].
q1, q2: magnitudes de las cargas elctricas bajo consideracin, [C].
r: distancia de separacin entre las cargas, [m].
k: constante de proporcionalidad, [ N .m 2
]. C
2
Las unidades aplicadas son las correspondient es al SI (Sistema Internacional). La
constante k se deriva de la siguiente expresin:
k = 1
4
La constante se conoce como la permitividad elctrica del medio y
equivale a = 0 . r donde r es la constante dielctrica del medio y
adems la constante o se conoce como la permitividad elctrica del vaco. Representa el efecto que las cargas elctricas tienen en el espacio libre y tiene el
2
siguiente valor: o = 8,854 x 10-12 N .m
2
N .m 2 Con lo cual para el vaco: k = 9 x 109
C 2
Hay que destacar que la fuerza es una cantidad vectorial, por lo que tendr una
magnitud y un sentido, y la suma de fuerzas se debe realizar de forma vectorial. Leccin 4: El campo elctrico esttico Un campo elctrico esttico no depende del tiempo. La electrosttica es la parte
del electromagnetismo que analiza, estudia, aplica, el estudio de las cargas
elctricas en equilibrio. Un campo elctrico es una regin en la cual una carga
elctrica es capaz de experimentar una fuerza elctrica como consecuencia de
otras cargas presentes en el lugar. Una carga elctrica altera el espacio que la
circunda, siendo la intensidad de esa alteracin igual a la relacin entre la fuerza
elctrica (F) sobre la carga de prueba (qo). La expresin correspondiente es:
E = F
[ N
]
qo C
-
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o
El campo elctrico es producido por una carga externa a la carga de prueba, es
decir, no es producido por la carga de prueba. El campo elctrico es un vector y
tendr la misma direccin de la fuerza (F) considerada. En la siguiente tabla se presentan algunos valores tpicos de campo elctrico.
Fuente
E ( N
) C
Tubo de luz fluorescente 10
Atmsfera (buen clima) 100
Atmsfera (con nubes de tormenta) 10.000
Fotocopiadora 100.000
Chispa elctrica en el aire > 3.000.000
Ejemplo. Encontrar la intensidad de campo elctrico a 50cm de una carga
positiva de 10-4
C.
Figura 8
En este ejemplo la carga externa es la carga de +10 -4
C y la carga de prueba
positiva se ubica a 50 cm de sta (en el punto A).
N .m 2 F = 9 x 109 x
C 2
(10 4
C).(q )
(0,5m) 2
= 3,6 x 106
. qo [N]
E = F
= qo
3,6x106.q N o = 3,6 x 106
qo C
Si se aplica un campo elctrico uniforme a un conjunto de iones se percibe una
dolarizacin de cargas es decirlas positivas siguen la direccin del campo y las
negativas se van en la direccin contrarias. Adems usando el concepto de fuerza:
-
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F ma F q E
a q
E m
Este fenmeno fue aplicado por el creador Faraday para estructurar y aplicar la
electrlisis (descomposicin de sustancias por medio de la electricidad) y su
industria se denomina galvanoplastia, como en el caso del cobrizado, plateado,
dorado, cromado, industrias prsperas y cercanas en todos los mbitos sociales.
Dado que el campo elctrico tiene una direccin, se pueden establecer lneas de
campo que permitan visualizar la distribucin del mismo, determinando los
puntos de concentracin. De manera pictrica ayudan a comprender o a explicar
significativamente el comportamiento de los campos elctricos estticos.
Unas reglas bsicas para dibujar las lneas de campo elctrico son:
Las lneas salen de la carga positiva y llegan o terminan en la carga negativa.
El nmero de lneas dibujadas saliendo de una carga positiva o aproximndose a una carga negativa es proporcional a la magnitud de la carga.
Ningn par de lneas de campo puede cruzarse.
Algunas configuraciones tpicas se ilustran a continuacin:
-
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Figura 9 Analizando con cuidado y detenimiento las lneas de fuerza mostradas en la figura
9 y recordando la interpretac in del operador rotacional puede concluirse que
sise colocase un aspa en el interior de ese campo elctrico ella no rotara, lo cual
sera una evidencia de que su rotacional ( x E) sera el vector cero o vector nulo.
Esta gran apreciacin permite deducir con magia extrema que:
x E = 0 Para que una expresin matemtica (E) tenga validez en el reino del
electromagnetismo se requiere que se cumplan dos detalles importantes:
x E = 0 y que adems que cuando la distancia (R) es muy grande () el lmite de
la expresin que define el campo elctrico debe ser cero. Ese detalle nos muestra
que los campos elctricos son decrecientes, es decir a medida que nos alejamos
de la fuente que lo genera (carga) su valor va decayendo, va disminuyendo
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Ejemplo. Una carga elctrica puntual genera a su alrededor un campo elctrico de
la forma: E = q UR / ( 4 R2). Repasando las propiedades del vector R y el
lgebra de los operadores, se tiene que:
E = {q / (4 R2) } R / R = {q / (4 )} (R
-3 R) y su rotacional ser:
x E = {q / (4 )} x (R
-3 R) = {q / (4 )} { R
-3 x R R x R-3}
x E = {q / (4 )} { R-3
O R x (-3 R-4 UR)} = O De esta manera se ha probado con propiedad que el rotacional del campo
elctrico es nulo. La segunda propiedad exige que el lmite de esa expresin
tienda a cero cuando la distancia ( R ) tiende a infinito ( ). Favor verificarlo.
Leccin 5: Campo elctrico debido a distribuciones continuas de carga
Hasta el momento se han considerado los efectos de cargas puntuales . Sin
embargo, se tienen muchos casos de inters en el mundo de la ciencia o de la
tecnologa, cuando las cargas elctricas se agrupan y se distribuyen a lo largo de
una lnea, en una superficie o en volumen. Cuando las cargas se encuentran en
grupo, la distancia de separacin entre ellas es mucho menor, por lo que se
consideran que estn distribuidas de forma continua.
Para estudiar el campo elctrico producido por una distribucin de carga continua
se debe seguir con un procedimiento, como el siguiente:
Se establece una densidad de carga, segn corresponda a una distribucin
lineal, superficial o volumtrica, as:
Densidad de carga lineal: es la carga elctrica distribuida por unidad de
C longitud (L = dQ / dL= ) y sus unidades de medida son [
m ]. Por ejemplo las
cargas elctricas distribuidas a lo largo de un filamento o de un hilo.
-
V
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Densidad de carga superficial: es la carga elctrica distribuida por unidad de
C superficie (S = dQ / dS=) y sus unidades de medida son
m 2
.Por ejemplo las
cargas elctricas distribuidas en una hoja de papel para fotocopiadora.
Densidad de carga volumtrica: es la carga elctrica distribuida por unidad de
volumen ( = dQ / dV= ) y sus unidades de medida son [ C
]. Por m 3
ejemplo las cargas elctricas distribuidas en una esfera slida y conductora.
La intensidad de campo elctric o debido a cada una de las distribuciones de
carga , , , puede considerarse como la sumatoria de las contribuciones al
campo que realizan todas las cargas puntuales que componen esa distribucin
de carga y se puede obtener la carga total como una integr al definida con los
lmites apropiados segn la distribucin de carga elctrica considerada.
Ejemplo 1. Cunta carga elctrica est contenida en una distribucin de la cual
se tienen 1.8 metros y se tiene una densidad uniforme con = 12 mC / m?
Como = dQ / dL, entonces dQ = dL, y as:
Q = dL = dL = L = 12 mC / m * 1.8 m = 21.6 mC
Ejemplo 2. Cunta carga elctrica est contenida en una distribucin cuadrada
de lado 0.5 metros y se tiene una densidad uniforme con = 12 mC / m2?
Como = dQ / dS, entonces dQ = dS, y as:
Q = dS = dS = S = 12 mC / m2 * (0.5m)2 = 3 mC
Ejemplo 3. Cunta carga elctrica est contenida en una distribucin esfrica de
radio 3 metros y se tiene una densidad uniforme con = 12 mC / m3?
Como = dQ / dV, entonces dQ = dV, y as:
Q = dV = dV = V = 12 mC / m3 * 4 (3m)3 / 3 = 432 mC
Ejemplo 4. Cunta carga elctrica est contenida en un cascarn esfrico de
radio 3 metros y se tiene una densidad uniforme con = 12 mC / m2?
Este caso es muy interesante tanto tcnica como acadmicamente. Si es un cascarn la carga elctrica est distribuida obviamente solo en la parte externa y adentro no hay carga (est vaca); por esa razn la carga interna es nula pero mirando desde afuera del elemento se percibe una carga elctrica superficial y
total de: Q = dS = dS = S = 12 mC / m2
* (3 m)2
= 108 mC
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CAPTULO 3: FLUJO ELCTRICO Y POTENCIAL ELCTRICO
Leccin 1: FLUJO ELCTRICO Considerando un campo elctrico uniforme tant o en magnitud como en direccin,
las lneas de campo penetrarn una superficie rectangular de rea S, la cual es
perpendicular al campo. El nmero total de lneas que penetra la superficie es
proporcional al producto entre S y E, lo cual constituye el flujo elctrico, as:
E = E . S [ N .m 2
] C
Figura 10 En otras palabras, el flujo elctrico es proporcional al nmero de lneas de campo
elctrico que penetran una superficie. Por lo general, la evaluacin del flujo se
realiza a travs de una superficie cerrada, la que se define como aquella que
divide el espacio en una regin interior y en otra exterior, de manera que no se
puede mover de una regin a la otra sin cruzar la superficie. El ejemplo ms tpico
de una superficie cerrada es una esfera. El concepto de flujo en general es un
concepto matemtico, que a su vez tiene profunda interpretacin fsica, y el cual
es una integral definida a travs de una superficie S:
E = E . dS Asociado con el concepto de flujo est el teorema o ley de Gauss, el cual puede
ser trabajado a travs del teorema de la divergencia (lgebra de operadores).
Asociado al campo elctrico se encuentra el vector desplazamiento elctrico (D),
el cual en ausencia de polarizacin elctrica se define como: D = E y es paralelo,
en este caso especial, al vector campo elctrico ( E ).
-
N
9
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Leccin 2: LA LEY DE GAUSS Kart Friedrich Gauss (1777 1855) estableci una relacin general entre el flujo
elctrico neto a travs de una superficie cerrada y la carga elctrica encerrada por
esa superficie. Esta relacin se conoce como la Ley de Gauss y establece que:
E = E.dS = E ds
Para una carga elctrica puntual, todos los puntos ubicados sobre una misma
superficie (tienen igual radio) tienen el mismo valor de intensidad de campo
elctrico, por lo tanto el flujo de campo elctrico desarrollado a travs de esa
integral genera:
E = E.dS = E dS E = q / (4 R2) UR . dS = q / , en la cual se
recuerda que la superficie de una esfera de radio R es: 4 R2. Este resultado se
ha generalizado a mltiples distribuciones de carga elctrica y se ha encontrado
que: el flujo de campo elctrico a travs de una superficie cerrada equival e a la
carga elctrica encerrada por la superficie dividida por la permisi vidad elctrica
del medio (); es decir:
q E =
o
La Ley de Gauss es una formulacin alterna a la Ley de Coulomb, con la cual se
puede hallar el campo elctrico en el caso de distribuciones simtricas de carga
como la de carga puntual, carga lineal, carga superficial cilndrica o esfrica.
Ejemplo. Cul es el flujo elctrico a travs de una superficie esfrica que tiene
un radio de 1,0 m y porta una carga elctrica de +1C en su centro?
Solucin 1: mediante la Ley de Coulomb, se tiene:
E = k . q
= (9 x 10 r
2
N .m 2 ) x
C 2
1x10 6
C
(1m) 2
= 9 x 103 N
C
El campo apunta radialmente hacia fuera, y por tanto, es perpendicular en todo
punto a la superficie de la esfera. El rea de la superficie de la esfera es:
S = 4 R2
= 12,6 m2
El flujo a travs de la superficie esfrica es:
E = E . S = (9 x 103 ) x (12,6 m2)
C
-
2
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N .m 2 E = 1,13 x 10
5
C
Solucin 2: mediante la Ley de Gauss, se tiene que:
E = q
= o
1x10 6
C
8,854x10 12 C
N .m 2 = 1,13x105
C
N .m 2 Leccin 3: APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS Antes de aplicar la Ley de Gauss para el clculo del campo el ctrico se debe
identificar la existencia de simetra. Una vez identificada la distribucin simtrica
de carga, se determina una superficie cerrada (superficie gaussiana). Las
siguientes son las aplicaciones sobre las que se puede aplicar la Ley de Gauss:
Carga de lnea infinita: asmase una lnea infinita de carga uniforme [ C
] m
se ubica a lo largo del eje z en el espacio. Para determinar el campo elctrico
en un punto P, se elige una superficie cilndrica de radio R y de altura arbitraria L que contenga a P para satisfacer la condicin de simetra:
Figura 13
-
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La Ley de Gauss restringida a una longitud determinada L de la lnea es:
E . dA = E . 2R.L = L /
En la cual 2R.L es el rea de la superficie gaussiana (correspondiente a un cilindro de radio R y de altura L), con lo cual el campo elctrico ( E ) es:
E = L / (2R.L ) = / (2 R )
Campo elctrico en una placa conductora. considerar una placa conductora
inmersa en un campo elctrico externo E, de acuerdo con la siguiente grfica:
Figura 11 Las cargas inducidas en las caras de la placa, por efecto del campo externo E,
producen un campo que se opone a ese campo externo, de tal forma que el
efecto neto sobre las cargas de la placa es nulo. En tal sentido, el campo en el
interior de la placa es cero. La aplicacin de la Ley de Gauss fuera de esta
superficie se expresa como:
q E = E.dA = E.A = =
o
.A
o = E . A de donde: E =
o
Leccin 4: POTENCIAL ELCTRICO El concepto de potencial se asocia con el de fuerza conservativa, como la fuerza
gravitacional o la fuerza elstica. Dado que la fuerza electrosttica, estudiada bajo
el concepto de la Ley de Coulomb es conservativa, los fenmenos electrostticos
pueden describirse en trminos de energa potencial elctrica.
Esta idea, permite definir una cantidad escalar denominada Potencial Elctrico,
el cual se determina en cualquier punto dentro de un Campo Elctrico. Tambin es
vlido usar el trmino voltaje el cual se mide en voltios en honor al genio de
Volta, creador de la primera pila elctrica, presentada en el ao de 1800.
-
o
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Cuando una carga de prueba qo se encuentra dentro de un Campo Elctrico E
creado por un algn otro cuerpo cargado, la fuerza elctrica que acta sobre esa
carga de prueba es: F = qo . E
Esta fuerza es de tipo conservativo. Ahora, si la carga se mueve dentro de ese
Campo Elctrico por efecto de un agente externo, el trabajo realizado por el
Campo Elctrico sobre la carga es igual al negativo del trabajo hecho por el
agente externo que produce el movimiento de la carga. La energa empleada en
la realizacin de este trabajo, equivale al producto de la fuerza por la distancia
recorrida (d), con lo cual: F . d = qo . E . d
Para un desplazamiento determinado entre dos puntos, A y B, el cambio en la
energa potencial del sistema se puede expresar como:
Ep = UA-B = qo . E. d U A B
= E . d qo
Al igual a lo que sucede en la determinacin de la energa potencial gravitatoria, el
cambio en la condicin de energa no depende de la trayectoria seguida, sino de la
diferencia de potencial entre los dos puntos considerados.
La energa potencial por unidad de carga, U
es independiente del valor de q y q o
tiene un valor nico en cada punto en un campo elctrico. La cantidad
U recibe
q o
el nombre de Potencial Elctrico (o simplemente Potencial) V, por tanto, el
Potencial Elctrico en cualquier punto en un campo elctrico es:
V = U qo
La diferencia de potencial V = VB BA entre los puntos A y B, en un campo
elctrico, se define como el cambio en la energa potencial del sistema, con lo
cual: V = U qo
= E . d (Voltio = Joule / coulombio)
Observar que de acuerdo con la expresin anterior, al expresar el Campo Elctrico
V E en funcin de la Diferencia de Potencial, el campo queda con unidades de [ ].
m
-
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Leccin 5: RELACIN ENTRE CAMPO ELCTRICO Y POTENCIAL En los laboratorios, en las placas de los televisores, de los osciloscopios, los
campos elctricos reales, se registran o se controlan por la manipulacin de la
distancia entre dos placas deflectoras y el voltaje o potencial entre ellas. En efecto
V la experiencia registra que: E =
d
(voltios / metro)
La magnitud del Campo Elctrico en cualquier direccin es igual al cambio del
potencial elctrico en dicha direccin. El voltaje no cambia para cualquier
desplazamiento perpendicular al Campo Elctrico, por lo que las superficies
equipotenciales se determinan perpendicularmente al Campo Elctrico. Ejemplos
se superficies equipotenciales se presentan en la siguiente figura:
Figura 16
Debido a que el rotacional del campo elctrico esttico es nulo y que adems,
segn el lgebra de operadores, el rotacional del gradiente es nulo, y
considerando las relaciones y experiencias en los laboratorios se ha logrado
encontrar y evidenciar que: el campo elctrico equivale a menos el gradiente del
voltaje: E = - V
Esta relacin determina que si se conoce la forma del voltaje (cantidad escalar), se
puede encontrar la forma del campo elctrico (cantidad vectorial).
Para una carga puntual se tiene que:
E q
4 R2
R
V
V (R) v
R
R
q Por tanto: 4 R
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El voltaje es entonces una funcin escalar y a diferencia del campo elctrico es
medible en un laboratorio. El voltaje debido a varias cargas en un punto definido
puede ser positivo negativo o cero.
Los campos electrostticos no son capaces de mantener una corriente elctrica
entre dos puntos. En efecto usando el teorema del rotacional se tiene que:
V E.dl xE.ds 0
s
Los campos elctricos estticos pueden generar chispas los cuales pueden
producir incendios y se recomienda a empresas que trabajen con algodn, teres,
disolventes o espumas, eliminarlos significativamente. En el sector productivo la
esttica ha sido muy bien estudiada y se han ideado experiencias para eliminarla.
Leccin 6: APLICACIONES DE LA ELECTROSTTICA La electrosttica est presente en dispositivos de uso corriente, entre los cuales se
pueden mencionar los siguientes:
Filtros electrostticos: son dispositivos que eliminan las partculas
materiales de los gases de combustin, reduciendo la contaminacin
atmosfrica producida por las industrias que generan humos. Los sistemas
actuales pueden eliminar el 99% de las emisiones de partculas.
La siguiente figura muestra un esquema de un filtro electrosttico:
-
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Figura 17
Se mantiene una alta diferencia de potencial, entre 40 y 100kV, entre el
alambre que se ubica en el centro del dispositivo y las paredes del mismo,
estando el primero conectado a tierra. El alambre est a un potencial negativo
respecto de las paredes, con lo cual, el Campo Elctrico est dirigido hacia el
alambre. El Campo Elctrico en el alambre es tan intenso que produce
descargas elctricas alrededor del mismo, las cuales ionizan el aire. El humo a
ser tratado se introduce en el ducto del dispositivo y se mueve cerca del
alambre, al entrar en contacto con los iones de aire se producir una ionizacin
de las partculas del humo, y dado que la mayora de esas partculas quedan
con carga negativa, se desplazarn hasta las pared es del dispositivo
permitiendo ser retiradas por precipitacin mediante vibracin del ducto.
Impresoras lser: el proceso de impresin con ayuda del rayo lser se basa
en el proceso de xerografa en el cual primero se recubre la superficie de una
placa o un tambor con una pelcula delgada de material fotoconductor
(generalmente selenio) y se le proporciona una carga electrosttica positiva
bajo un ambiente oscuro. La imagen de lo que se va a imprimir o a copiar se
proyecta con el rayo lser sobre la superficie cargada, la superficie
fotoconductora se vuelve conductora slo en aquellas reas donde incide la
luz. En estas reas la luz produce conduccin de cargas en el fotoconductor,
lo cual mueve la carga positiva del tambor, pero se presenta permanencia de
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algunas cargas positivas en aquellas zonas donde no incide la luz. El polvo del
toner con carga negativa se esparce sobre la superficie fotoconductora, el
polvo cargado se adhiere slo en aquellas zonas con carga positiva, pasando
al papel que se encuentra cargado positivamente.
En la figura siguiente se presentan los pasos mencionados en el proceso de
impresin.
Figura 18
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ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIN DE LA UNIDAD
1. Un electrn y un protn ubicados en el vacio estn separados una distancia de 1.5 metros. Evaluar: A. La fuerza gravitacional que los atrae
B. La fuerza elctrica que se presenta entre ellos
C. La relacin existente entre esas dos fuerzas
2. Un protn y un neutrn ubicados en el vacio estn separados una distancia de 1.5 metros. Evaluar:
A. La fuerza gravitacional que los atrae
B. La fuerza elctrica que se presenta entre ellos
C. La relacin existente entre esas dos fuerzas
3. El campo elctrico generado por una carga elctrica puntual es descrito por la expresin:
. Demostrar que esa relacin satisface las dos condiciones necesarias para que una
expresin matemtica sea reconocida como vlida para representar un campo elctrico ( )
4. Se piensa que el campo elctrico generado por cierta distribucin de carga elctrica est dada
por la expresin: (K es una constante). Desde el puno de vista de la teora
electromagntica analizar profundamente la validez matemtica que encierra esa interesante y
sencilla relacin.
5. Para la carga central de la distribucin puntual de cargas elctricas presentada (en forma de cuadrado) y
donde las cargas uno y cuatro son negativas mientras que la dos y la tres son positivas, hallar:
a. La fuerza total
b. El campo elctrico
c. El potencial (V)
d. La energa potencial (Ep)
Coulombios
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(Constante dielctrica)
Observar que cada diagonal forma un ngulo de 45 o con la lnea horizontal o con la vertical. En la figura derecha est el diagrama de fuerzas correspondiente a esa distribucin de cargas elctricas; si
analizas la simetra se percibe que las componentes verticales de las fuerzas se anulan y solo quedan las
componentes horizontales de las fuerzas y todo debido a que la magnitud de las fuerzas es la misma.
6. El potencial elctrico generado por cierta distribucin de carga elctrica est dado por la relacin
matemtica: . Encontrar el campo elctrico asociado con esa distribucin y mostrar que la expresin
propuesta satisface plenamente las dos condiciones especiales para consolidar su validez.
7. Se aplica una diferencia de potencial (d.d.p) de 1000 Voltios entre dos placas paralelas separadas 20 centmetros. Qu intensa aceleracin podr experimentar un electrn en esa regin? y un protn?
8. Analizar cules de las tres funciones dadas son armnicas (aquellas cuyo Laplaciano es nulo).
A. B.
D.
9. Sea P una funcin vectorial definida como
A. B.
10. Sea una funcin escalar definida como: . Con alegra:
A. encontrar el gradiente de () y hacerlo igual a la funcin vectorial M
B. hallar con emocin extrema la divergencia de la funcin M ( . M)
11. En la carga elctrica 4 de la siguiente distribucin puntual de cargas hallar:
a.
b.
c. V (potencial)
d. Ep (energa potencial)
La base del rectngulo es de 60 cms y la altura 30 cms.
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