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Sincronización en osciladores
acoplados a pulsos
Albert Díaz-Guilera
Conrad J. Pérez
Alex Arenas
Álvaro Corral
Xavier Guardiola
Mateu Llas
UNIVERSIDAD DE
BARCELONA
http://www.ffn.ub.es/albert
2 modelos
Pilas de arena, terremotos y luciérnagas
Sincronización y estructuras espacio-temporales
Pilas de arena, terremotos y luciérnagas
Bak Tang Wiesenfeld (PRL 59 (1987) 381)Sistemas dinámicos extendidosRuido 1/f: superposición de escalas de tiempoAutosimilaridad espacialTerremotos: leyes potenciales de distribución
AUSENCIA DE ESCALAS CARACTERÍSTICAS
Autómata celular
Sistema discreto con reglas dinámicas sencillas
Condición umbral que introduce la nolinearidad
Criticalidad auto-organizada
Autoorganizada: El sistema evoluciona de forma natural hacia un estado estacionario de no-equilibrioCrítico: El sistema es crítico en el sentido que no hay escalas características en su evolución: ni espaciales ni temporalesSin necesidad de reglas complicadas y sin ajustar ningún parámetro externo
Terremotos: modelo de muelles y bloques
Olami, Feder y Christensen
PRL 68 (1992) 1244Ei,j 0
Enn Enn+Ei,j
2 time scales
Sincronización
Física: uniones Josephson
Química: reacciones químicas
Biología: Celulas marcapasos del corazón
Neuronas en el córtex visual
Luciérnagas
Osciladores de fase
1 escala temporal Osciladores nolineales que se mueven en un ciclo límite
Interaccion débil pero continua
Modelo de Kuramoto
1
sin ( )N
ii ij i j i
i
dJ t
dt
Positivo Negativo
Integrate-and-fire oscillators
2 escalas temporales
Si Ei(t)>Ec
Pulso transmitido: EjEj+(Ej)
Reinicializado: Ei0
( )ii
dEf E
dt
Mirollo & Strogatz
SIAM J. Appl. Math. 50 (1990) 1645
SincronizaciónTodos con todos
Acoplamiento uniforme positivo
Tiempo refractario
f’(E)>0
CPDA (PRL 75 (1995) 3697)
Generalización a acoplamiento dependiente del estado
'( ) ( )f E E
'( ) ( ) ( ) '( )f E E f E E
MS en 2d con interacciones nn y CC periódicas (CPDA)
SOC y oscilaciones de relajación
TERREMOTO (FF-OFC) LUCIERNAGAS (MS)
Nearest neighbors All-to-all
Uniform driving rate dE/dt=1
Nonuniform dE/dt=f(E)
Open BC’s No BC’c
Enn Enn+ (FF)
Enn Enn+Ei
Ej Ej+
NO refractory time Refractory time
SOC SYNCHRONIZATION
Sin tiempo refractario (PRL 74 (1995) 118)
Se rompe la sincronización
OFC con driving no-uniforme
Efecto de la diversidad
Periódico SOC Decaimiento exponencial (PRL 78 (1997) 1492)
Sincronización y estructuras espacio-temporales
Representación continua
Con la condición de puesta a cero Ei1
( ) ( ) ( )ii i j
j
dEf E E t t
dt
Acoplamiento independiente del estado
siendo
0 0
0
'( ) ( ) ( )
( ')
Ei
i jj
dydEy E g y t t
E dt
0
( )( )
( )i
ii
f Eg y
E
Descripción en términos de fase
siendo
0
'( ) 1 ( ) ( )
( ')
Ei
i jj
ddEE t t
f E dt
( )( )
( )i
ii
E
f E
Separando las escalas de tiempo
Driving: di/dt=1
Firing
01
( )i
inn nn nn
PRC
Relación entre las interacciones
Recibiendo n firings simultáneos
( )'
( )( ')
jn
j
t
jj t
dt t dt n
Evolución discreta1
( )i
i i i
umbral
jt
( )
Evolución de las fases
Dos tipos de interacciones
Interacciones excitatorias <0
Interacciones inhibitorias >0
Ejemplo 2 osciladores
Dos osciladores
Medio ciclo
10 1--1()
F D
+ 1()1
Puntos fijos
*=1- *- 1(*)
Estabilidad
’1()>0 Inestable -> Sincronización
’1()<0 Estable -> Phase-locking
Osciladores dirigidos en un anillo (PRE 57 (1998) 3820)
Driving: di/dt=1
Firing
1 1 1 1
01 i
ii i i i
Firing + Driving
Return map
' ( ) 1k kT M
Acoplamiento negativo
Acoplamiento positivo
Puntos fijos
Analíticamente: cotas a los módulos de los valores propios
<0 puntos fijos estables>0 puntos fijos inestables
*1 1
1
mm N
N m
Estructuras (PRE 60(1999) 3626)
Ejemplo: N+1=4 osciladores
C(N+1,m)
Degeneración del patrón
1
4
1
Selección de los patrones
Aproximación “de campo medio”
1 ( ) () ( )1 1,( ) mNm C N mp 1( ) 1N
mm
p Cálculo de la degeneración:
( 1, ) ( , ) ( )1 ) 1( ,C N m C N m C N mm N m
( 1,1 1) ( 1, )C N C N N
Patrón dominanteN par: m=(N+1)/2
N impar: m=(N+2)/2 y m=N/2
Desaparición de patrones
Desaparece !!
Desorden topológico (PRE 62 (2000) 5565)
Sincronización
Medida de la sincronización
Medida de la sincronización:
10
1[1 ( )]
N
ii
m tN
T tiempo de sincronización
Redes aleatorias
( N nodos, l conexiones) ln( )2
Nl N
Estudiando como escala T con los parámetros de la red se obtiene la ley de escala:
2 2
T l
N N
1.30 0.05
1.50 0.05
Redes parcialmente desordenadas
p = 0 p = 1
Caracterizamos el grado de desorden topológico de la red mediante un parámetro p (reconexionado)
(Watts, Strogatz)
Orden y desorden
Simulaciones (T vs p)Dispersión en el número de vecinos
“Frustración dinámica” que impide una sincronización eficiente
Normalicemos los acoplamientos
para compensar la frustración( ( ))
( ( ))norm N i
N i
Conclusiones
Diferentes comportamientos espacio-temporales, obtenidos a partir de reglas muy sencillas
Criticalidad auto-organizadaSincronizaciónFormación de estructuras
Mediante simulaciones y resultados analíticos exactos y de “campo medio”
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