simulaciÓn de mÁquinas elÉctricas septiembre – diciembre 2004 clase 2: transformadores ph. d.,...

SIMULACIÓN DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS SEPTIEMBRE – DICIEMBRE 2004

Clase 2: Transformadores

Ph. D., M. Sc., Ing. Jaime A. González C.

e-mail: gjaime@ula.ve

web: http://webdelprofesor.ula.ve/ingenieria/gjaime

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Introducción

• El principal uso de los transformadores es el de cambiar los niveles de tensión de c.a.

• Está formado por dos o más conjuntos de devanados estacionarios los cuales están magnéticamente acoplados casi siempre, pero no necesariamente.

• Con una alta permeabilidad en el núcleo para maximizar el acoplamiento.

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Introducción

• Primario: Entrada de energía.

•Secundario: Salida de energía para la carga.

•Los Transformadores de Potencia trabajan a frecuencias entre 25 y 400 Hz., con núcleo de hierro para concentración del camino del enlace de flujo.

•Pérdidas de corriente de Eddy (Foucault) se minimizan usando una construcción laminada.

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Transformador Ideal

Suposiciones:

– No hay pérdidas del cobre en los devanados.– No hay pérdidas del núcleo.– No hay enlaces de flujo.– No hay reluctancia en el núcleo.

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Transformador Ideal

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Transformador Ideal

2211

1

22

2

2111

2

1

2

1

2

1

m2

m1

2

1

1

2

2

12211

i*ei*e

N

N*i*

N

e*Ni*e

N

N

e

e

N

N

dt

d*N

dt

d*N

e

e

N

N

i

i0i*Ni*N

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Transformador Ideal

2

2

2

2

1

22

2

22

1

1

22

2

21

1

1

i

eZ2p

Z2p*N

NZ1p

i*N

e*N

N

N*i

N

e*N

i

eZ1p

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Modelo de un Transformador de dos Devanados

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Modelo de un Transformador de dos Devanados

• Ecuación de Enlace de Flujos

m22

m11

111 *N 222 *Nλ

)(*N 1m11 )(*N 2m22

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Modelo de un Transformador de dos Devanados

1

11

1

P

i*N

2

22

2

P

i*N

m

2211m P

i*Ni*N

112

1m2211m2

11

)111m221111

P*i*NP*i*N*Ni*P*N

P*i*N(P*)i*Ni*N(*N

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Modelo de un Transformador de dos Devanados

2121111

2m21112

11m2

11

i*Li*L

i*)P*N*N(i*)P*Ni*P*N(

12

1m2

111 P*NP*NL m2112 P*N*NL

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Modelo de un Transformador de dos Devanados

222 *Nλ

22

22m1212m

222

)222m221122

P*i*NP*i*N*Ni*P*N

P*i*N(P*)i*Ni*N(*N

1212222

1m21222

21m2

22

i*Li*Lλ

i*)P*N*(Ni*)P*Ni*P*(Nλ

)(*N 2m22

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Observación

• La auto inductancia de la bobina 1 puede ser considerada como la suma de un enlace LL1, y su componente magnetizante Lm1 de su corriente.

Con i2=0:

m2

112

11

m111

1

01i11 P*NP*N

i

)(*N

i

λL 2

m11m1 P*i*N Es la porción del flujo

magnetizante de i1.

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Autoinductancia L11

m2

11m12

11

1m111

m2

112

111

P*NLP*NL

LLL

P*NP*NL

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Observación

Para la bobina 2:

m2

222

22

m222

2

02i22 P*NP*N

i

)(N

i

λL 1

m22m2 P*i*Nφ Es la porción de flujo

magnetizante de i2.

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Autoinductancia L12

m2

22m22

22

2m222

m2

222

222

P*NLP*NL

LLL

P*NP*NL

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Componentes

m1

2

1

2m2

m2

1

2

1

22

1

21

m2

21

122m2

m21121

m212m2

1

1m

22

2

2m22

2

m22m2

L*N

NL

P*N*N

N

N

N*P*N

N

L*NL

P*N*NLN

P*N*NNL

N

N*P*N

i

i*P*NN

i

*NL

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Enlace de Flujo Mutuo

El flujo mutuo total enlazado por cada devanado puede ser expresado en término de:

m21m1

221

22

1

21m1m1

1

12m211m

21m1

2m21m11m1

m2m11m1

PNL

referidaii*N

Ni*

N

Ni*L*N

N

NiPNN*iPN*N

)iPNiPN(*N*N

)(*N*N

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Corriente Magnétizante Mutua

La corriente magnetizante equivalente vista del lado 1, es la suma de las corrientes del devanado 1 y la corriente del devanado 2 reflejada.

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Ecuaciones de Tensión

'iidt

d*L

dt

di*Le

i*N

Ni

dt

d*L

dt

di*Le

N

NPN

N

NPNNLLLL

dt

di*L

dt

di*L

dt

dλe

21m11

11

21

21m1

111

1

2m

21

1

1m2112m1111

212

111

11

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Ecuaciones de Tensión

2

122

21m12

22

21m22

22

N

N*e'e

´iidt

d*L

dt

'di'*L'e

ii*N2

N1

dt

d*L

dt

di*Le

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Tensión Terminal

'iidt

d*L

dt

'di'*L''*ri'v

'er*N

N*i*

N

Nv*

N

N'v

'iidt

d*L

dt

di*Lr*iv

er*iv

21m12

2222

22

2

2

12

1

22

2

12

21m11

1111

1111

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Representación del Circuito Equivalente

2

2

2

12 r*

N

N'r

22

12 v*

N

N'v L2

2

2

1L2 L*

N

N'L

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Simulación de un Transformador de dos

Devanados

• Producir ecuación de enlace de flujo y de tensiones de un transformador de dos devanados.

• Pueden existir otras formas de simulaciones

• Se tomará el enlace de flujo total de los dos devanados como variables de estado.

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Simulación de un Transformador de dos

Devanados

dt

'dψ*

1''*ri'v

dt

dψ*

1r*iv

2

b222

1

b111

1b1 λ*ψ

2b2 λ*ψ

basefrecuenciab

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Simulación de un Transformador de dos

Devanados

m111b1 ψi*Xλ*ψ

m222b2 ψ''*iX'λ*'ψ

'ii*X)'i(i*L*ψ 21m121m1bm

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Simulación de un Transformador de dos

Devanados

• Ψm está asociado con la inductancia magnetizante referida al devanado 1.

1

m11 X

ψψi

'X

ψ'ψ'i

2

m22

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m

'X

ψ'ψ

X

ψψ

X

ψ

'X

ψ'ψ

X

ψψXψ

2

m2

1

m1

m1

m

2

m2

1

m1m1m

'X

'ψ

X

ψ

'X

1

X

1

X

1*ψ

'X

'ψ

X

ψ

'X

ψ

X

ψ

X

ψ

2`

2

1

1

21m1m

2`

2

1

1

2

m

1

m

m1

m

'X

1

X

1

X

1

X

1

'X

'ψ

X

ψXψ

21m1M2

2

1

1Mm

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1

dt

dψr*i**v

dt

dψ*

1r*iv 1

11bb11

b111

dtX

ψψr**vψ

1

m11bb11

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2

dt

'dψ*

1''*ri'v 2

b222

dt

'dψ'i'*r*'*v 2

22bb2

dt'X

ψ'ψ'r*'*v'ψ

2

m22bb22

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Condiciones Finales

• En la simulación anterior, las tensiones terminales del transformador de dos devanados, fueron usadas como entrada y las corrientes producidas en los devanados como salida.

• El conjunto entrada-salida de una simulación no son siempre los mismos de un sistema real.

• Si una carga es conectada al devanado secundario, y esta carga puede ser descrita por una ecuación, se podrá escoger la corriente de carga como entrada y la tensión del secundario como salida.

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Condiciones FinalesCondiciones Finales

• Corriente de cortocircuito:

0'v 2

0'i 2

dt

'dψ*

1'v 2

b2

m222b2 ψ'*iX'λ*'ψ

dt

dψ'v m

2

•Condición de circuito abierto No es fácil:

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Condiciones Finales

Para evitar tomar derivadas de Ψm, la tensión de entrada secundaria

puede ser derivada de dΨ1 /dt justo antes que el integrador encuentre Ψ1.

dt

dψ'v m2

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Condiciones Finales

b111m11

m1m2oc

1

m11

m1m2oc

1

1

m1

1

m11m

1

1

m1

1

m1m1

1

m1m

1

m1m

m1

1

m1m1m1

21m1m2oc

*r*iv*XX

X

dt

dψ'v

dt

dψ*

XX

X

dt

dψ'v

dt

dψ*

X

X

X

XX

dt

dψ

dt

dψ*

X

X

X

X1*

dt

dψ

dt

dψ*

X

X

dt

dψ*

X

X

dt

dψ

dt

ψψd*

X

X

dt

ψψd*X

dt

iiXd

dt

dψ'v

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Para el caso Finito de Cargas

*

L

2

2

2

11LL

S

'V*

N

N'jB'G

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Para el caso Finito de Cargas

RCdt'R

'v'i'*B*dt*'i*

'C

1'v

R'*dtv'*B*dt*'v*

'L

1'i

'R*'i'i'*Ri'v

L

22Lbc

L2

L2Lb2

LL

LL2LR2

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Para el caso Finito de Cargas

Para acoples de cargas muy complejas es usual utilizar resistencias prácticas.

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Para el caso Finito de Cargas

Con el capacitor se incrementa los estados para la tensión pero la tensión no amplifica los ruidos en las corrientes como en el caso donde se usan resistencias.

pequeñoCdti'i*C

1'v

RR*i'iR*i'v

2L

2

H2HH2

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Saturación del núcleo

Saturación magnética

Afecta más Inductancia Mutua

Afecta menos Inductancia de Enlace

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Saturación del núcleo

Con las pérdidas del hierro ignoradas, la corriente de vacío es la corriente de magnetización Im(rms).

• Con la corriente de vacío fluyendo para el devanado 1, la tensión a través de la impedancia serie será:

r1+jwLr1normalmente despreciada, comparada con la gran reactancia de magnetización Xm1=w*Lm1.

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Saturación del núcleo

Si el transformador está en vacío

V1(rms)=Im(rms)*Xm1 En la región no saturada:

V1(rms)/ Im(rms) = cte

0'i 2

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Saturación del núcleo

• Pero como el nivel de tensión se levanta sobre el codo de la curva del circuito abierto, ese cociente llega a ser más pequeño.

• Algunos de los métodos que han sido usados para la incorporación de los efectos de saturación del hierro en simulaciones dinámicas son:

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Saturación del núcleo

i. Usando el valor saturado apropiado de la reactancia mútua a cada paso de tiempo de la simulación.

ii. Aproximación de la corriente magnetizante por alguna función analítica del flujo de enlace saturado.

iii. Usando la relación entre los valores saturados y no saturados del flujo de enlace mútuo.

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i

snsat

m1sat

m1 K*XX

Ensayos en vacío

Ks = factor de saturación

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i

Para las condiciones de vacío:

Cuando el flujo de excitación es sinusoidal:

La línea del entrehierro =

(rms)E(rms)V0jXv m1L1r1

(rms)ψ(rms)E mm

nsatmX

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Si la ractancia de magnetización saturada efectiva X m sat es

definida cómo:

1K(rms)I

(rms)Ió

(rms)ψ

(rms)ψK ssat

m

nsatm

nsatm

satm

s

nsatm

satm

nsatm

nsatm

satm

satm

ssatm

satmnsat

mX

X

(rms)ψ

(rms)I*

(rms)I

(rms)ψK

(rms)I

(rms)ψX

i

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ii

• Se debe obtener la relación entre el valor pico del enlace de flujo y el valor pico de la corriente de magnetización.

• En el ensayo en vacío es asumido que V1 es una fuente sinusoidal y se puede asumir que el flujo también lo será.

• La corriente magnetizante de un flujo de excitación sinusoidal dentro de la zona de saturación no es sinusoidal.

• La conversión en rms de la tensión aplicada y de la corriente de magnetización no es fácil.

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iii

• Utiliza las relaciones entre los valores saturados y no saturados de los enlaces de flujo.

• A diferencia del método II, no se requiere una relación explícita entre el enlace de flujo y la corriente magnetizante.

• Cuando los enlaces de flujo son escogidos como variables de estado, como en nuestro caso, el método iii es el preferido.

• Los valores saturados y no saturados de las corrientes de los devanados y los enlaces de flujo totales son implicados por seis relaciones con el enlace de flujo mútuo.

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Nuevas Expresiones

Reescribiendo

)'i(i*X)'i(i*L*wψ 21nsat

m121nsat

m1bnsat

m

1

satm1

1 X

ψψi

'X

ψ'ψ'i

2

satm2

2

'X

ψ'ψ

X

ψψ'ii

X

ψ

2

satm2

1

satm1

21nsatm

nsatm

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Nuevas Expresiones

• Ψ1 y Ψ2’ son valores saturados

nsatmL2

2

L1

1

L2L1nsat

m

satm

L2

satm2

L1

satm1

nsatm

satm

satm

nsatm

X

Δψ

X

'ψ

X

ψ

X

1

X

1

X

1*ψ

'X

ψ'ψ

X

ψψ

X

Δψψ

Δψψψ

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Conexiones Trifásicas

Los estudios de Generación y distribución pueden ser hechos basados en:

• Condiciones Balanceadas

• Condiciones Desbalanceadas

Las características de operación de un transformador trifásico dependerán no sólo de las conexiones de sus devanados si no también de su circuito magnético del núcleo

Si existe diferentes devanados compartiendo un mismo camino en su núcleo, existirán flujos mutuos entre ellos

Las conexiones más comunes son la conexión en Estrella y Triángulo

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Conexión Y - Y

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Conexión Y - Y

NCBANG

NGCGCN

0AAG

0AAG

0AAG

NGBGBN

NGAGAN

Riiiv

vvv

vv

vv

vv

vvv

vvv

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Copnexión Y -