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11 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
4. SOLUCIÓN DE LAS PRUEBAS 2012
4.1 MATEMÁTICA
SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA
EXAMEN DE MATEMÁTICA NIVEL I
Instrucciones:
A continuación se le presenta una serie de siete problemas, resuélvalos correctamente
en el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 100 minutos.
Problema 1: (20 puntos)
Resuelva las siguientes ecuaciones por el método que considere conveniente
1.1 cos2 2 3sen , 0 2x x x
1.2 3 2
82 loglog4
162 log 8
3
xxx x
Problema 2: (10 puntos)
El tesorero de la sociedad de alumnos informó que los recibos por la venta de boletosdel
último concierto habían sumado un total de Q916, con la asistencia de 560 personas. Si
los estudiantes pagaron las entradas a Q1.25 y los que no eran estudiantes pagaron a
Q2.25 cada entrada. ¿Cuántos estudiantes asistieron al concierto?
Problema 3: (10 puntos)
Calcule el radio “r” del semicírculo, si el área sombreada tiene A unidades cuadradas.
Problema 4: (10 puntos)
Hallar los valores de las constantesa y b diferentes de cero tal que:
12 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
22 2
4 2lim lim
62( 2)x a x b
a xx a
bbx x
Problema 5: (15 puntos)
La figura muestra un sector circular inscrito en un triángulo rectángulo de 20cm de
base. Si 1A es el área sombreada que queda fuera del sector circular y dentro del
triángulo y 2A es el área del sector circular,
5.1 Expresar 1A y 2A en términos de .
5.2 Calcule
1
02
limA
A.
5.3 Encuentre la razón de cambio de 1
2
A
A
con respecto a , cuando 3
.
Problema 6: (20 puntos)
En una situación hipotética, una persona de 1.70 metros de altura se encuentra a 6
metros de un poste de luz de 12 metros de longitud. Por efectos de la corrosión, el
poste se deteriora y empieza a inclinarse hacia donde se encuentra la persona a un
ritmo constante de 0.5 grados por minuto. Suponiendo que el poste mantiene su
longitud constante, y la lámpara describe una trayectoria circular, determine a qué
ritmo decrece la sombra de la persona cuando la inclinación del poste es de 15 grados.
Problema 7: (15 puntos)
Un edificio debe apuntalarse con una viga que ha de pasar sobre un muro paralelo de
10 pies de altura y a 8 pies de distancia del edificio. Hallar la mínima longitud posible
de esa viga.
10
8
20 m
h
13 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
SOLUCIÓN DE LA PRUEBA
PROBLEMA 1
Resuelva las siguientes ecuaciones por el método que considere conveniente
1.1 cos2 2 3sen , 0 2x x x
1.2 3 2
82 loglog4
162 log 8
3
xxx x
Solución
1.1 Resuelva la ecuación
cos2 2 3sen , 0 2x x x
Utilizando la identidad 2 2cos2 cos senx x x para expresar la ecuación en
términos de un solo ángulo
2 2cos sen 2 3senx x x
Expresando la ecuación con una sola función trigonométrica y resolviendo
2 2
2
1 sen sen 2 3sen
2sen 3sen 1 0
(2sen 1)(sen 1) 0
x x x
x x
x x
1sen ; sen 1
2x x
Si1
sen2
x , 1 1sen
2x , como x puede estar en el primero o segundo
cuadrante las soluciones para 0 2x son 6
x
y 5
6x
.
Si sen 1x , 1sen 1x y la única solución en 0 2x es 2
x
.
Por lo tanto todas las soluciones de la ecuación en 0 2x son
6x
,
2x
,
5
6x
14 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
1.2 Resuelva la Ecuación
3 2
82 loglog4
162 log 8
3
xxx x
Expresando los logaritmos en base 2 y utilizando propiedades de los
exponentes
23 2
2 2
2 2
2 2
log
log log 8 2
2
2 1log log
3 3
2/3 1/3log log
log 8162
3 log 4
2 8
2 8 0
x
x
x x
x x
x x
x x
x x
Haciendo la sustitución 2log xu x se obtiene la ecuación
2/3 1/32 8 0u u
Factorizando y resolviendo para u
1/3 1/3( 4)( 2) 0u u
1/3 4
64
u
u
1/3 2
8
u
u
Encontrando los valores de x para 64u
2
2
log
log2 2
2 2
22
2
6 6
64
log ( ) log 64
(log )(log ) 6
(log ) 6
log 6
2 , 2
x
x
x
x
x x
x
x
x x
Para 8u , se tiene que
2
2
log
log2 2
8
log ( ) log ( 8)
x
x
x
x
Como 2log ( 8) , no está definido, no hay soluciones de la ecuación para 8u
Las soluciones de la ecuación son 62x y 62x
15 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
PROBLEMA 2
El tesorero de la sociedad de alumnos informó que los recibos por la venta de boletos
del último concierto habían sumado un total de Q916, con la asistencia de 560
personas. Si los estudiantes pagaron las entradas a Q1.25 y los que no eran
estudiantes pagaron a Q2.25 cada entrada. ¿Cuántos estudiantes asistieron al
concierto?
Solución
Suponga que x es el número total de estudiantes que asistieron al concierto,
entonces:
El número de personas que no eran estudiantes es 560 x
Como el ingreso total por la venta de boletos es de Q916, la ecuación que
resuelve el problema es
1.25 2.25(560 ) 916x x
Resolviendo la ecuación para x
1.25 1260 2.25 916
344
344
x x
x
x
Por lo tanto el asistieron al concierto 344 estudiantes.
16 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
PROBLEMA 3
Calcule el radio “r” del semicírculo, si el área sombreada tiene A unidades cuadradas.
Solución
Si se trazan los radios de los circulos dentro de la figura, se puede observar
que el área sombreada está formada por 8 segmentos circulares iguales.
El área de cada segmento es la diferencia entre el área del sector de
angulo2
y radio2
r yel triángulo de base2
r y altura2
r .
Por lo tanto el área sombreada equivale a:
2
2 2
2 2
8 sector triángulo
1 18
2 2 2 2 2 2
816 8
12
2
A A A
r r r
r r
A r r
Despejando el radio se obtiene
2
2
2 ( 2)
2
2
2
2
A r
Ar
Ar
17 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
PROBLEMA 4
Hallar los valores de las constantesa y b diferentes de cero tal que:
22 2
4 2lim lim
62( 2)x a x b
a xx a
bbx x
Solución
Se considera inicialmente el caso en que 0b .
2 2 2 2
lim6 6 6 6x b
a x a b a b a
b b b
Igualando ambos límites:
2 2 2
4 2lim
2( 2) 6x a
x a a
bx x
Evaluando el límite del lado izquierdo
2 2 2
4 2
2
4 2
2( 2) 6
0
2( 2) 6
a a a
ba a
a
ba a
Si 4 2 2 0ba a , entonces 2 0a , lo que contradice la hipótesis 0a
Por lo tanto: 4 2 2 0ba a (ecuación I)
Al obtener la forma 0/0, es aplicable la regla de L´Hopital:
2 2
4 2 3 3 2
2 2 1lim lim
2( 2) 2(4 2 ) 2(4 2 ) 4 2x a x a
x a x a
bx x bx x ba a a b
Pero el valor del límite es:2
6
a ,de donde obtenemos:
2
2
1
4 2 6
a
a b
(ecuación II)
Por álgebra elemental
2 2
4 2
6 (4 2)
6 4 2
a a b
a b a
De la ecuación I, se tiene que: 4 22ba a
Sustituyendo 4a b por 22 a y despejando a obtenemos
2 2
2
6 4(2 ) 2
1
1
a a
a
a
18 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
Para ambos valores de a se obtiene que 1b .
Por lo tanto si 0b , las soluciones son 1a y 1b .
Si 0b , se pueden construir las ecuaciones siguiendo el mismo procedimiento
y se obtienen las soluciones
7a y 5
49b
19 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
PROBLEMA 5
La figura muestra un sector circular inscrito en un triángulo rectángulo de 20cm de
base. Si 1A es el área sombreada que queda fuera del sector circular y dentro del
triángulo y 2A es el área del sector circular,
5.1 Expresar 1A y 2A en términos de .
5.2 Calcule
1
02
limA
A.
5.3 Encuentre la razón de cambio de 1
2
A
Acon
respecto a , cuando 3
.
Solución
5.1 El área del sector circular con el ángulo en radianes es
2 22
1 1(20) 200
2 2A r
1A es el área del triángulo menos el área del sector circular
11 1
200 (20)(20tan ) 2002 2
200tan 200 200(tan )
A bh
De donde 1 200(tan )A y 2 200A
5.2 Calculando el límite
1
0 02
0 0 0
200(tan )lim lim
200
sentan sen 1coslim lim lim 1
cos
(1)(1) 1 0
A
A
Por lo tanto 1
02
lim 0A
A
5.3 Calculando la razón de cambio
1
2
2 2
2 2
tan
(sec 1) (tan )(1) sec tan
Ad d
d A d
20 m
h
20 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
Evaluando cuando 3
22
1
2 22
2 2 2
sec tan 2 33 3 3 3
93
4 3 34 933 12 9 33 2.24
9
Ad
d A
Por lo tanto 1
22
12 9 32.24
Ad
d A
21 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
PROBLEMA 6
En una situación hipotética, una persona de 1.70 metros de altura se encuentra a 6
metros de un poste de luz de 12 metros de longitud. Por efectos de la corrosión, el
poste se deteriora y empieza a inclinarse hacia donde se encuentra la persona a un
ritmo constante de 0.5 grados por minuto. Suponiendo que el poste mantiene su
longitud constante, y la lámpara describe una trayectoria circular, determine a qué
ritmo decrece la sombra de la persona cuando la inclinación del poste es de 15 grados.
Solución
Cuando el poste comienza a inclinarse, forma un ángulo con su posición
inicial. Sea H es la longitud total del poste y 1H la altura que hay desde el
foco hasta el suelo como se ilustra en figura siguiente
H
l
h
x
1H
Utilizando semejanza de triángulos
1
1
1
1
( )
x h
x l H
xH h x l
xH xh hl
hlx
H h
La altura 1H y la distancia l están dadas por
1 cos
6 sen
H H
l H
Sustituyendo se obtiene que la longitud de la sombra es
(6 sen )
cos
h Hx
H h
22 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
Derivando respecto al tiempo
2
(6 sen )
cos
( cos ) ( cos ) 6( sen )( sen )
( cos )
h Hdx d
dt dt H h
H h h H l H H d
dtH h
2 2 2 2
2
2
( cos cos 6 sen sen )
( cos )
( cos 6sen )
( cos )
h H hH H Hdx d
dt dtH h
hH h H d
dtH h
Sustituyendo la información
2
(1.7)(12) (1.7cos(15) 6sen(15) 12) 0.5
180(12cos15 1.7)
mts0.016
min
dx
dt
Por lo tanto la sombra decrece a mts
0.016min
23 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
PROBLEMA 7
Un edificio debe apuntalarse con una viga que ha de pasar sobre un muro paralelo de
10 pies de altura y a 8 pies de distancia del edificio. Hallar la mínima longitud posible
de esa viga.
10
8
Solución
Se definen las siguientes variables
L longitud de la viga
x distancia del pie de la viga al muro paralelo
y altura del apoyo de la viga en el edificio
En la siguiente figura se ilustran cada una de las variables que se han
definido anteriormente
10
8x
yL
Utilizando el teorema de Pitágoras, la longitud de la viga puede expresarse
como
2 2( 8)L x y
Por semejanza de triángulos se expresa y entérminos de x
8
10
10( 8)
y x
x
xy
x
Al sustituir la restricción nos queda
24 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
22
2
100( 8)( 8)
xL x
x
Simplificando se obtiene
28( ) 100
xL x x
x
DOMINIO: (0, ) Problema en intervalo abierto (analizando la restricción )
Calculando la primera derivada y encontrando números críticos
2 1/2 2 1/2 2 1/2
2
3
2 2
( 100) ( 8)( 100) ( 8)( 100)
800
100
x
x x x x x x xD L
x
x
x x
Al igualar a cero para obtener los valores críticos se obtiene
3
3
800 0
2 100
x
x
Que es el único valor crítico en el dominio de la función. Utilizando el criterio
de la primera derivada para establecer si en el valor crítico hay un mínimo
Intervalo ( )L x ( )L x Conclusión
3(0,2 100) * - Decreciente
32 100x 3 3/2( 100 4) 0 Mínimo
32 100, * + Creciente
Como solo existe un valor mínimo, éste es el mínimo absoluto. Por lo tanto
La longitud mínima de la viga es 3 3/2( 100 4)
25 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA
EXAMEN DE MATEMÁTICA NIVEL II
Instrucciones:
A continuación se le presenta una serie nueve de problemas, resuélvalos correctamente
en el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 100 minutos.
Problema 1: (10 puntos)
El material para el fondo de una caja rectangular cuesta el triple por pie cuadrado de
lo que cuesta el material de las caras y la tapa. Utilice el método de multiplicadores de
Lagrange para obtener la máxima capacidad de dicha caja que se puede tener si la
cantidad total de dinero disponible para material es de Q12.00 y el pie cuadrado de
material para el fondo cuesta Q0.60.
Problema 2: (15 puntos)
Verifique el teorema de Stokes al calcular la circulación del campo
ˆ ˆ ˆ3 4 6F yi zj xk
, a lo largo de la frontera de la superficie 2 29z x y que se encuentra arriba del
plano xy .
Problema 3: (10 puntos)
Calcular el volumen del sólido acotado por las gráficas de las ecuaciones:
0z , z h , exterior a 2 2 1x y , interior a 2 2 2 1x y z .
Problema 4: (10 puntos)
Utilice las técnicas de integración para encontrar:
3
4
4
4
x
x
edx
e
Problema 5: (10 puntos)
Un equipo de oceanógrafos está elaborando un mapa del fondo del océano para ayudar
a recuperar un barco hundido. Utilizando el sonido, desarrollan el modelo:
2, 250 30 50sen 0 2, 0 22
yD x y x x y
donde D es la profundidad, x e y son las distancias.Suponga que el barco se localiza en
el punto P(1, 0.5)
26 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
5.1 Determine la pendiente del fondo del océano en la dirección del eje y positivo a
partir del punto donde se encuentra el barco.
5.2 Determine la dirección de mayor tasa de cambio de la profundidad a partir del
punto donde se encuentra el barco.
5.3 Determine el valor máximo del ritmo de cambio de la profundidad a partir del
punto donde se encuentra el barco.
Problema 6: (15 puntos)
Una masa que pesa 16 libras alarga 83
pies un resorte. La masa se libera inicialmente
desde el reposo desde un punto 2 pies abajo de la posición de equilibrio y el movimiento
posterior ocurre en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a 12
de la
velocidad instantánea. Encuentre la ecuación de movimiento si se aplica a la masa una
fuerza externa igual a
( ) 10cos3F t t
Problema 7: (10 puntos)
Dada la función: 2( , )f x y x y
Determinar:
7.1 El dominio de la función.
7.2 Trazar 4 curvas de nivel.
Problema 8: (10 puntos)
Resuelva la ecuación diferencial:
3 6 30 15sen tan3xy y y x e x
Problema 9: (10 puntos)
Sea ( )f x la función cuya gráfica se
muestra en la figura.
Encontrar 1
0
( )f x dx
y
x
1y
1y
( )y f x
112
14
Continúa la
misma tendencia
hasta x = 0
18
27 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
SOLUCIÓN DE LA PRUEBA
PROBLEMA 1
El material para el fondo de una caja rectangular cuesta el triple por pie cuadrado de
lo que cuesta el material de las caras y la tapa. Utilice el método de multiplicadores de
Lagrange para obtener la máxima capacidad de dicha caja que se puede tener si la
cantidad total de dinero disponible para material es de Q12.00 y el pie cuadrado de
material para el fondo cuesta Q0.60.
Solución
Se definen las siguientes variables
V volumen
x lado de la base
y ancho de la base
z altura
Como el costo de fabricación es Q12, se tiene la siguiente restricción
12 0.80 0.40xy yz xz
( , , ) 0.80 0.40 12G x y z xy yz xz
Como hay que encontrar el volumen máximo, la función a maximizar es
( , , )V x y z xyz
Utilizando multiplicadores de Lagrange
( , , ) ( , , )x xV x y z G x y z
0.8 0.400.80 0.40
yzyz y z
y z
( , , ) ( , , )y yV x y z G x y z
0.8 0.400.80 0.40
xzxz x z
x z
y
x
z
28 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
( , , ) ( , , )z zV x y z G x y z
0.400.40
xyxy y x
y x
0.80 0.40 0.80 0.40
yz xz
y z x z
0.80 0.40 0.40
xyxz
x z y x
& 2x y z y
Al sustituir en la restricción
2 2 212 0.80 0.40 2 2y y y
5 5 & 2 5y x z
Respuesta
310 5 piesV
29 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
PROBLEMA 2
Verifique el teorema de Stokes al calcular la circulación del campo
ˆ ˆ ˆ3 4 6F yi zj xk
, a lo largo de la frontera de la superficie 2 29z x y que se encuentra arriba del
plano xy .
Solución
Verificar que
.
cS
F dr F dS
Por integral de línea
Curva
2
0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ9sen 0 18cos 3sen 3cos 0ti j tk tdti tdtj k
22
0
22272
0 0
27sen
1 cos2 sen227 27
2 2
tdt
t td t
Entonces
. 27c
F dr
Curva 3cos ; 3sen
3sen ; 3cos
0 ; 0
x t dx t dt
y t dy t dt
z dz
y
z
S
x
c
30 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
Por integral de superficie.
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ4 6 3
3 4 6
i j k
F i j kx dy z
y z x
2 2 2
ˆ ˆ ˆ2 2 1
4 4 (1)
xi yj k
x y
2 2 2
8 12 3
4 4 (1)
x yF
x y
ˆS R
dydxF dS F
k
2 2 2
2 2 2
2 32 2
0 0
32 23 3
0 0
2
0
2
0
8 12 3
14 4 (1)4 4 (1)
8 12 3
( 8 cos 12 sen 3 )
8 3cos 4 sen
3 2
2772cos 108sen
2
2772sen 108cos 27
2
R
Rxy
x y dydx
x yx y
x y dydx
r r r drd
rr r d
d
De donde
. 27c
S
F dr F dS
31 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
PROBLEMA 3
Calcular el volumen del sólido acotado por las gráficas de las ecuaciones:
0z , z h , exterior a 2 2 1x y , interior a 2 2 2 1x y z .
Solución
La figura siguiente muestra en forma aproximada la representación gráfica de
las superficies que forman el sólido
En coordenadas cilíndricas el diferencial de volumen está dado por:
dV rdzdrd
Determinando los límites de integración de𝑧 tenemos:
z=h
z=0
h
z
y
z
x y
32 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
2 2 2
2 2
2
2
1
1
1
1
x y z
r z
z r
r z h
Determinando los límites de integración der tenemos:
De: 2 1z r ,Si: z h se puede sustituir
2 1h r
Despejandor tenemos:
2 1r h
21 1r h
Los límites de están dados por:
0 2
La integral de volumen está dado por:
2
2
2 13
0 1 1
1
3
h h
r
V rdzdrd h
y
r
x
1r
2 1r h
33 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
Otra solución del problema
V Volumen del hiperboloide – Volumen del cilindro
El volumen del cilindro es
2 2(1)CV r h h h
El volumen del hiperboloide se puede calcular por el método de discos
2
2
0
32
0 0
3
1
(1 )3
1( )
3
h
H
hh
V z dz
zz dz z
h h
Por lo tanto el volumen del sólido es
3
3
1
3
1
3
V h h h
h
z=h
z=0
h
z
y
dz
34 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
PROBLEMA 4
Utilice las técnicas de integración para encontrar:
3
4
4
4
x
x
edx
e
Solución
Sea xt e entonces xdt e dx
Sustituyendo:
3 2 2
4 4 4
4 4 4
4 4 4
x x x
x x
e e e tdx dx dt
e e t
Completando el trinomio cuadrado perfecto en el denominador se tiene:
3 2 2
4 4 2 2 2 2 2
4 4 4
4 4 4 4 ( 2) 4
x
x
e t tdx dt dt
e t t t t t
Por diferencia de cuadrados:
2 2
2 2 2 2 2
2
2 2
4 4
( 2) 4 (( 2) 2 )(( 2) 2 )
4
( 2 2)( 2 2)
t tdt dt
t t t t t t
tdt
t t t t
Por fracciones parciales:
2
2 2 2 2
4
( 2 2)( 2 2) 2 2 2 2
t At B Ct D
t t t t t t t t
2 2 24 2 2 2 2t At B t t Ct D t t
El sistema de ecuaciones correspondiente es
0A C
2 2 4A B C D
2 2 2 2 0A B C D
2 2 0B D
La solución del sistema es
1, 0, 1, 0 A B C D
Sustituyendo:
2
2 2 2 2
4
( 2 2)( 2 2) ( 2 2) ( 2 2)
t t tdt dt dt
t t t t t t t t
35 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
Sumando y restando 1,
2 2
2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
t tdt dt
t t t t
t tdt dt dt dt
t t t t t t t t
Completando el trinomio cuadrado perfecto:
2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 ( 1) 1 2 2 ( 1) 1
t tdt dt dt dt
t t t t t t
Por fórmulas directas de integración, se tiene:
2 1 2 11 1
ln 2 2 tan 1 ln 2 2 tan 12 2
t t t t t t C
Finalmente, en términos de x, se tiene:
2 1 2 11 1ln 2 2 tan 1 ln 2 2 tan 1
2 2
x x x x x xe e e e e e C
36 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
PROBLEMA 5
Un equipo de oceanógrafos está elaborando un mapa del fondo del océano para ayudar
a recuperar un barco hundido. Utilizando el sonido, desarrollan el modelo:
2, 250 30 50sen 0 2, 0 22
yD x y x x y
donde D es la profundidad, x e y son las distancias.Suponga que el barco se localiza en
el punto P(1, 0.5)
5.1 Determine la pendiente del fondo del océano en la dirección del eje y positivo a
partir del punto donde se encuentra el barco.
5.2 Determine la dirección de mayor tasa de cambio de la profundidad a partir del
punto donde se encuentra el barco.
5.3 Determine el valor máximo del ritmo de cambio de la profundidad a partir del
punto donde se encuentra el barco.
Solución
5.1
25 cos2
ydD
dy
1,0.5 55.5360dD
dy
5.2
60 25 cos2
1,0.5 60 55.5360
yD x
D
i j
i j
5.3
2 260 55.5360 81.7573D
37 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
PROBLEMA 6
Una masa que pesa 16 libras alarga 83
pies un resorte. La masa se libera inicialmente
desde el reposo desde un punto 2 pies abajo de la posición de equilibrio y el movimiento
posterior ocurre en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a 12
de la
velocidad instantánea. Encuentre la ecuación de movimiento si se aplica a la masa una
fuerza externa igual a
( ) 10cos3F t t
Solución
La ecuación diferencial que resuelve el problema es
83
( )
16 1 1610cos3
32 2
1 16 10cos3
2 2
12 20cos3
mx x kx F t
x x x t
x x x t
x x x t
Se tiene una EDO de 2º orden a coeficientes constantes, no homogénea. Para
resolverla, primero encaramos el problema homogéneo. Planteando la
ecuación característica y resolviendo tenemos:
21 1 4 1 12 1 47
2 2 2m i
1 1
2 21 2
47 47( ) cos sen
2 2
t t
cx t C e t C e t
Ahora se encuentra una solución particular del problema no homogéneo.
cos3 sen3
3 sen3 3 cos3
9 cos3 9 sen3
p
p
p
x A t B t
x A t B t
x A t B t
12 9 cos3 9 sen3 3 sen3 3 cos3
12 cos3 12 sen3
p p px x x A t B t A t B t
A t B t
(3 3 )cos3 ( 3 3 )sen3 ( ) 20cos3A B t A B t F t t
103 10 10
3 3103
3 3 20cos3 sen3
3 3 0p
AA Bx t t
BA B
La solución general de la ecuación no homogénea es:
38 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
1 110 102 2
1 2 3 3
47 47( ) cos sen cos3 sen3
2 2
t tx t C e t C e t t t
Encontrar las constantes:
Para 0 2t x
101 3
41 3
2 C
C
1 1 1
2 2 21 1 2
1
22
1 47 47 47 1 47( ) cos sen sen
2 2 2 2 2 2
47 47cos 10sen3 10cos3
2 2
t t t
t
x t C e t C e t C e t
C e t t t
Para: 0 0t x
1 21 47
0 102 2
C C
264
3 47C
La ecuación de movimiento es:
1 110 102 23 3
4 47 64 47( ) cos sen cos3 sen3
3 2 23 47
t tx t e t e t t t
39 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
PROBLEMA 7
Dada la función: 2( , )f x y x y
Determinar:
7.1 El dominio de la función.
7.2 Trazar 4 curvas de nivel.
Solución
7.1 El dominio de la función está formado por todos los puntos ( , )x y tales que
2x y
La representación gráfica del dominio se muestra en la figura siguiente
7.2 Las cuatro curvas de nivel se muestran en la siguiente figura
x
y
x
y
40 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
PROBLEMA 8
Resuelva la ecuación diferencial:
3 6 30 15sen tan3xy y y x e x
Solución
Dividiendo entre 3
12 10 5s n tan3
3
xy y y e x e x
La solución de la ecuación es de la forma
c py y y
Obteniendo :cy
2 10 0y y y ¨
2 2 10 0m m
22 ( 2) 4(1)(10)1 3
2(1)m i
1 2cos3 e 3s nx xcy C e x C e x
1 2p py y y
1sen cospy A x B x
1cos senpy A x B x
1sen cospy A x B x
( sen cos ) 2( cos sen ) 10( sen cos ) 5sen
sen cos 2 cos 2 sen 10 sen 10 cos 5sen
A x B x A x B x A x B x x
A x B x A x B x A x B x x
10 2 5 9 2 5A A B A B
10 2 0 9 2 0B B A B A
La solución del sistema es
45 10
85 85A B
1
45 10sen cos
85 85py x x
2 1 1 2 2py u y u y 1 cos3xy e x 2 s 3enxy e x
41 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
2cos3 33
cos3 3 3 3 3 cos3
sen
sen sen
x xx
x x x x
e x e xw e
e x e x e x e x
21
sen
se
0 31
tan3 sen31 3tan3 3 3 cos33
n
x
x
x x x
e xw e x x
e x e x e x
22
sen
os3 01
tan3 cos31 3cos3 3 3 tan33
x
x
x x x
e xw e x x
e x e x
c
e x
11 2
1tan3 sen3
1 13 cos39cos3 93 x
x xw
u xw xe
11 1 1 1
( cos3 ) ln sec3 tan3 cos39cos3 9 27 27
u x dx x x xx
2
22 2
1tan3 cos3
13 s n393
x
x
e x xw
u e xw e
21 1
( sen3 ) cos39 27
u x dx x
2 1 1 2 2
1 1ln sec3 tan3 sen3 cos3
27 27
1cos3 3
27
1cos3 ln sec3 tan3
2
s
7
en
p
x
x
x
y u y u y
x x x e x
x e x
e x x x
1 2
45 10 1sen cos cos3 ln sec3 tan3
85 85 27
xp p py y y x x e x x x
1 245 10
cos3 3 sen cos85 85
1cos3 ln sec3 tan3
2
sen
7
c p
x x
x
y y y
C e x C e x x x
e x x x
42 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
PROBLEMA 9
Sea ( )f x la función cuya gráfica se
muestra en la figura.
Encontrar 1
0
( )f x dx
Solución
La integral se puede interpretar como la suma infinita de las áreas de los
triángulos de altura 1 y base que disminuye de acuerdo con la función. Los
triángulos sobre el eje x se consideran con área positiva, mientras que los que
quedan por debajo del eje x se toma negativa
1
1 3 5 2 4 60
2 3
( ) ( )
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 8 2 32 2 4 2 16 2 64
1 1 1 1 1 1 1
2 2 8 32 4 16 64
1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 16 64 2 4 4 4
f x dx A A A A A A
La suma resaltada con una llave es una serie geométrica con
1
4a y
1
4r
Por lo tanto
1
0
11 14( )
12 614
f x dx
y
x
1y
1y
( )y f x
112
14
Continúa la
misma tendencia
hasta x = 0
18
43 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
4.2 FÍSICA
SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE FÍSICA NIVEL I
Instrucciones:
A continuación se le presenta una serie de cuatro problemas, resuélvalos
correctamente en el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 100 minutos.
Problema 1: (25 puntos)
Sobre un bloque de 500 N de peso, que inicialmente está en reposo, se aplica una
fuerza P que varía con el tiempo como se muestra en la figura. Si los coeficientes de
fricción estática y cinética entre el bloque y la superficie horizontal son 0.500 y 0.400
respectivamente:
a. ¿En qué instante el bloque empezará a moverse?
b. Determine la rapidez máxima que alcanzará el bloque.
c. ¿En qué instante, desde que se empieza a aplicar la fuerza P, el bloque dejará de
moverse?
Problema 2: (25 puntos)
Una onda tiene una frecuencia de = 512 Hz y una velocidad de v = 360 m/s. Calcule:
a. A qué distancia entre sí están dos puntos que difieran en fase por 55º (0.31rad)
b. La diferencia de fase entre dos desplazamientos en el mismo punto pero en
tiempos que difieran en 1.12 ms.
44 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
Problema 3: (25 puntos)
El sistema de tanques abiertos muy grandes mostrado en la figura, contiene un fluido
ideal. Si el área transversal en C es la mitad del área en D y si D está a una distancia
h1 =1m por debajo del nivel del líquido en A, ¿a qué altura h2 subirá el líquido en el
capilar F?
Problema 4: (25 puntos)
Una cuenta de masa m es obligada a moverse sobre un alambre sin rozamiento en
forma de cicloide y colocado en un plano vertical, como se muestra en la figura. Las
ecuaciones paramétricas son:
( sen )x a (1 cos )y a
El parámetro se encuentra entre 0 ( 0)t y 22
Tt . Si la cuenta parte
del reposo en el punto O.
a. Encuentre su rapidez en el punto inferior de la trayectoria
b. Encuentre su período de oscilación.
c. Demuestre que la oscilación de la cuenta corresponde con el de un péndulo simple
de longitud 4a.
B C
D
h1
F h2
A
O x
y
A B
m s
P
2a
45 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
SOLUCIÓN DE LA PRUEBA
PROBLEMA 1
Sobre un bloque de 500 N de peso, que inicialmente está en reposo, se aplica una
fuerza P que varía con el tiempo como se muestra en la figura. Si los coeficientes de
fricción estática y cinética entre el bloque y la superficie horizontal son 0.500 y 0.400
respectivamente:
a. ¿En qué instante el bloque empezará a moverse?
b. Determine la rapidez máxima que alcanzará el bloque.
c. ¿En qué instante, desde que se empieza a aplicar la fuerza P, el bloque dejará de
moverse?
Solución
a.
La partícula principia a moverse en el instante en que la fuerza P iguala a la
fuerza de fricción estática máxima f sF N
46 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
Sabemos que en este caso la magnitud de la normal es igual a la magnitud del
peso,
0.500 500 N 250 NfF
El valor de 250 N, en la gráfica corresponde al tiempo t, el cual se calcula por
semejanza de triángulos así:
250 N
8.00 s 445 N
(8.00 s)(250)4.49 s
445
t
t
A los 4.49 s de haber principiado a aplicarse la fuerza, se moverá la partícula
b. La rapidez máxima la alcanzará la partícula cuando el impulso de la fuerza P
alcanza la máxima diferencia sobre el impulso de la fuerza de fricción, que es
lo que aparece sombreado en la gráfica. Se calcula los valores b&c para
calcular el área.
El valor de b es solamente una diferencia:
8.00 s 4.49 s
=3.51 s
b
El valor de c se obtiene de una semejanza de triángulos
245 N
8.00 s 445 N
(8.00 s)(245)4.40 s
445
c
c
Con estos resultados, se puede calcular el área y se obtiene:
50 N 245 N (3.51 s) 245 N)(440 sArea
2 2
517.725 Ns 539 Ns
=1,056.725 Ns
Como p J y el movimiento es en una dimensión, se tiene que
0fmv mv J y el bloque parte del reposo,
2
Area
1056.725 Nsv
(500 N / 9.81m/s )
20.73 m/s
f
f
f
mv
v
La rapidez máxima que alcanza el bloque es de 20.73 m/sfv
47 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
c. A partir de la rapidez máxima, principia a dominar el impulso que ejerce la
fuerza de fricción. El intervalo de tiempo en el cual actúa aún la fuerza P, a
partir de la rapidez máxima es “d” en la gráfica
8.00 s 4.40 s 3.60 sd
0
0
2
impulso neto
2
2
(200 N)(3.60 s) 500 N(200 N)(3.60 s) 20.73 m/s
2 9.81 m/s
=360 Ns 720 Ns 1056.725 Ns
696.725 Ns
f f
f f
f
f
p
P tmv mv F t
P tmv F t mv
mv
mv
A partir de este momento, sólo actúa el impulso de la fuerza de fricción:
0
0
0
impulso
696.725 Ns3.48 s
200 N
16 s 3.48 s
f f
f
f
p
mv mv F t
mv F t
mvt
F
t
t
El bloque se detiene 19.48 s después de aplicar la fuerza P.
48 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
PROBLEMA 2
Una onda tiene una frecuencia de = 512 Hz y una velocidad de v = 360 m/s. Calcule:
a. A qué distancia entre sí están dos puntos que difieran en fase por 55º (0.31rad)
b. La diferencia de fase entre dos desplazamientos en el mismo punto pero en
tiempos que difieran en 1.12 ms.
Solución
a. De la ecuación general de una onda, max seny y kx t , la fase viene
dada por el argumento del seno, es decir fase = (kx- t). De tal forma que es
necesario encontrar la fase para cada punto y encontrar su diferencia:
Primer punto: 1 1 1 11fase k x t
Segundo punto: 2 2 2 22fase k x t
Diferencia de fase: 1 2fase fase fase
1 1 1 1 2 2 2 2fase k x t k x t
Como estamos trabajando con una única onda, los vectores de onda k y las
frecuencias angulares son iguales, es decir, 1 2 1 2yk k . Además, para
este inciso, el tiempo en que se están analizando los puntos es el mismo. De
manera que la última ecuación nos queda así:
1 2( )fase k x x
fase k x
De los datos del problema es posible encontrar k para así sustituirlo en la
ecuación anterior y despejar x tenemos:
2
2
kvT k
1
ms
2 (512Hz)22.84 m
360k
v v
De modo que x nos queda así:
-1
0.31 rad
2.84 m
0.11 m
fase k x
fasex
k
x
49 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
b. Ahora encontraremos el cambio de fase para un mismo punto, 1 2x x , pero
con una diferencia temporal, es decir 32 1 1.12 10 st t t . Procedamos
de la misma forma que en el inciso (a):
Tiempo 1: 1 1 1 11fase k x t
Tiempo 2: 2 2 2 22fase k x t
Diferencia de fase:
1 1 1 1 2 2 2 2
1 2fase fase fase
fase k x t k x t
Como estamos trabajando con una única onda, los vectores de onda k y las
frecuencias angulares son iguales, es decir, 1 2 1 2yk k . Además, para
este inciso, las posiciones que se están analizando son iguales. De manera que
la última ecuación nos queda así:
1 2
2 1
-3
( )
2 2 (512Hz)(1.12 10 s)
1.15 rad
fase kx t kx t
t t
t
fase
El cambio de fase encontrado en grados tiene un valor de:
.0360
2 rad1.15 rad
206º
fase
fase
50 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
PROBLEMA 3
El sistema de tanques abiertos muy grandes mostrado en la figura, contiene un fluido
ideal. Si el área transversal en C es la mitad del área en D y si D está a una distancia
h1 =1m por debajo del nivel del líquido en A, ¿a qué altura h2 subirá el líquido en el
capilar F?
Solución
Utilizaremos el principio de Bernoulli donde existe fluido en movimiento y
estática de fluidos en el tanque F, considerando el nivel de referencia la línea
punteada BD.
El tanque A es lo suficientemente grande como para considerar la velocidad
en ese punto cero, 0Av .Aplicaremos la ecuación de Bernoulli entre los
puntos A y D, la presión en el punto A es la misma que en D y es igual a la
presión atmosférica ( A D atmp p p )de manera que:
2 21 112 2
211 2
A A D D D
D
p v gh p v gh
gh v
Al despejar de la ecuación anterior la velocidad en el punto D, obtenemos:
12Dv gh (1)
Como es un fluido ideal, y conocemos la relación de áreas entre los puntos D y
C(2 )C DA A , encontraremos la velocidad en C, con la condición de
continuidad :
2
2
D D C C
C D C C
D C
A v A v
A v A v
v v
Si en la ecuación anterior sustituimos la ecuación (1) tenemos:
12 2 Cgh v (2)
B C
D
h1
F h2
A
51 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
Aplicaremos ahora la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y C,
considerando que pA= patm y que la altura en el punto C es cero:
2 21 112 2
211 2
A A C C C
atm C C
p v gh p v gh
p gh p v
Si en la ecuación anterior, sustituimos la velocidad encontrada en la ecuación
(2), y despejamos la diferencia de presiones entre el punto A y C:
2
11 12
2 2atm Cp gh p gh
13atm Cp p gh (3)
Analicemos ahora el tanque F, y qué condiciones es posible aplicar. Note que
en el punto F, la presión dentro del capilar es la misma que la que existe fuera
del capilar, que es la presión atmosférica. En la parte superior de la columna
del líquido, la presión es la misma que en C (ya que despreciamos la
contribución del aire dentro del capilar), de manera que al aplicar estática de
fluidos:
2
F dentrodelcapilar F fueradel capilar
C atm
p p
p gh p
2atm Cp p gh (4)
Si finalmente igualamos la ecuación (3) con la ecuación
(4) y ordenamos términos obtenemos:
2 13gh gh
2 13h h
F h2
p
C
aire
52 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
PROBLEMA 4
Una cuenta de masa m es obligada a moverse sobre un alambre sin rozamiento en
forma de cicloide y colocado en un plano vertical, como se muestra en la figura. Las
ecuaciones paramétricas son:
( sen )x a (1 cos )y a
El parámetro se encuentra entre 0 ( 0)t y 22
Tt . Si la cuenta parte
del reposo en el punto O.
a. Encuentre su rapidez en el punto inferior de la trayectoria
b. Encuentre su período de oscilación.
c. Demuestre que la oscilación de la cuenta corresponde con el de un péndulo simple
de longitud 4a.
Solución
a. Sean P la posición de la cuenta en cualquier tiempo, t y s la longitud del arco
de la cicloide medida desde el punto O.
Teniendo en cuenta la conservación de la energía y colocando el nivel de
referencia en la línea AB que pasa por el punto más bajo de la cicloide,
tenemos:
2
12
(2 ) (2 ) 0ds
mg a y m mg adt
Entonces:
2
2 2ds
v gydt
En el punto más bajo la velocidad tendría un valor de:
2v ga
O x
y
A B
m s
P
2a
53 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
b. De la ecuación de velocidad de la parte a) tenemos:
2 222 2
2 2 2 2(1 cos ) sindyds dx
a adt dt dt
22
22 2 (1 cos ) 2 (1 cos )ds
gy ga adt
2
1
g gt c
a a
Para las condiciones: =0 y t=0, =2, t=T/2, donde T es el período, de
manera que tenemos:
42
aT
g
c. Para un péndulo simple el período viene dado por la ecuación:
2l
Tg
De manera que la longitud equivalente de un péndulo simple que tenga el
mismo período es de:
4l a
54 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA
EXAMEN DE FÍSICA NIVEL II
Instrucciones:
A continuación se le presenta una serie de cuatro problemas, resuélvalos
correctamente en el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 100 minutos.
Problema 1: (25 puntos)
Dos electrones se encuentran fijos a 2m de distancia. Desde el infinito se lanza un
tercer electrón que queda en reposo en el punto medio entre los primeros dos. ¿Cuál
debe ser su velocidad inicial?
Problema 2: (25 puntos)
Un circuito plano tiene la forma de un triángulo isósceles, cuyos lados son dos barras
fijas perpendiculares y una tercera barra MN que se desplaza perpendicularmente con
velocidad constante v como se indica en la figura. El circuito está colocado en un
campo magnético uniforme B que forma un ángulo con la normal al plano del
circuito. Sabiendo que la resistencia eléctrica de las barras por unidad de longitud es
r, determine:
a. La potencia necesaria para desplazar la barra MN
b. La potencia disipada en calor en función de la posición de la barra.
55 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
Problema 3: (25 puntos)
Una esfera sólida no conductora tiene una distribución de carga volumétrica dada por:
( ) sen2
rr
r R
a. Encuentre la carga total contenida en el volumen esférico.
b. Encuentre el campo eléctrico en la región r R .
Problema 4: (25 puntos)
Tres láminas metálicas paralelas están dispuestas como se indica en la figura: la
lámina central, aislada, tiene una carga +Q y las otras dos están unidas eléctricamente
y separadas de la lámina central distancias d y 3d respectivamente. Si a la lámina
izquierda se le da una carga igual a -3Q determinar:
a. Las distribuciones de carga en las superficies de las tres láminas.
b. La fuerza que actúa sobre la lámina central.
Se desprecian efectos de bordes d S .
56 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
SOLUCIÓN DE LA PRUEBA
PROBLEMA 1
Dos electrones se encuentran fijos a 2m de distancia. Desde el infinito se lanza un
tercer electrón que queda en reposo en el punto medio entre los primeros dos. ¿Cuál
debe ser su velocidad inicial?
Solución
Aplicando el principio de conservación de la energía se tiene:
o o f fU K U K
La energía cinética final 0;fK ya que los tres electrones están en reposo.
Denominaremos 1 y 2 a los electrones que se encuentran fijos y 3, al que es
lanzado desde el infinito. Sea 12 2mr la distancia entre los electrones que se
encuentran fijos. Entonces: 13 231m; 1mr r
2
12 12 13 23
31 2 9 19 2
( )( ) ( )( ) ( )( )1
2
19.1 10 2(9 10 )(1.6 10 )
2
31.82 m/s
e o
o
o
k e ek e e k e e k e em v
r r r r
v
v
57 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
PROBLEMA 2
Un circuito plano tiene la forma de un triángulo isósceles, cuyos lados son dos barras
fijas perpendiculares y una tercera barra MN que se desplaza perpendicularmente con
velocidad constante v como se indica en la figura. El circuito está colocado en un
campo magnético uniforme B que forma un ángulo con la normal al plano del circuito.
Sabiendo que la resistencia eléctrica de las barras por unidad de longitud es r,
determine:
a. La potencia necesaria para desplazar la barra MN
b. La potencia disipada en calor en función de la posición de la barra.
Solución
La fem inducida en el circuito es:
2coscos 2 cos
2
d BAd d xN B Bxv
dt dt dt
La resistencia del circuito en función de “x”
2 2R r x
Y la intensidad de la corriente:
2 cos
2 2
BvI
r
El signo significa que la corriente crea un campo que se opone al aumento de
flujo producido por el movimiento de la barra y la fuerza que actúa sobre la
barra es opuesta a la velocidad, o sea una fuerza de frenado F IL B
con
una magnitud de:
58 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
2 22 cos2 cos
2 2
xvBF I xB
r
En un cierto instante la potencia necesaria para mover la barra y la potencia
disipada en calor son, respectivamente:
2 2 22
2
cos
2m
xv BP Fv
r
2 2 22 cos2
2 2e
xv BP I R
r
59 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
PROBLEMA 3
Una esfera sólida no conductora tiene una distribución de carga volumétrica dada por:
( ) sen2
rr
r R
a. Encuentre la carga total contenida en el volumen esférico.
b. Encuentre el campo eléctrico en la región r R .
Solución
a. Se trata de una distribución volumétrica de carga, en la cual:
dq dV ; 24dq r dr
la carga total contenida en la esfera viene dada por:
2
0
0
sen 42
4 sen2
R
R
Q dq
rQ r dr
r R
rQ r dr
R
Integrando por partes; sea
; ;u r du dr
2sen cos
2 2
r R rdv v
R R
2
2
2 24 cos cos
2 2
2 44 cos sen
2 2
Rr r R rQ dr
R R
Rr r R rQ
R R
Ahora valuando entre 0 y R:
22
2
1644
RRQ
60 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
b. Encuentre el campo eléctrico en la región r R
Al dibujar una superficie gausiana esférica de radio r R
0
encerradaqE dA
2
2
0
16
4
R
E r
2
2 20
4 ̂
RE r
r
61 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
PROBLEMA 4
Tres láminas metálicas paralelas están dispuestas como se indica en la figura: la
lámina central, aislada, tiene una carga +Q y las otras dos están unidas eléctricamente
y separadas de la lámina central distancias d y 3d respectivamente. Si a la lámina
izquierda se le da una carga igual a -3Q determinar:
a. Las distribuciones de carga en las superficies de las tres láminas.
b. La fuerza que actúa sobre la lámina central.
Se desprecian efectos de bordes d S .
Solución
a. Como las láminas A y C están unidas eléctricamente, la carga de la lámina A
se reparte entre las caras de ambas láminas. Denominando las densidades de
carga con los subíndices que se indican en la figura y teniendo en cuenta la
conservación de la carga eléctrica, obtenemos:
62 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
Láminas A y C:
1 2 5 63Q
S
Lámina B:
3 4Q
S
Aplicando la ley de Gauss a las superficies punteadas indicadas en la figura,
como el campo en el interior de los conductores es cero, también es cero la
carga encerrada por la superficie gausiana por lo que:
2 3 0
4 5 0
Asimismo, las placas A y C se encuentran al mismo potencial 0;A CV V
52
0 0
(3 )0
dd
2 53
Resolviendo el sistema de ecuaciones anteriores:
1 6Q
S ; 2
3;
4
Q
S 3
3
4
Q
S
4 ; 4
Q
S 5
4
Q
S ;
b. La fuerza eléctrica que actúa sobre la lámina central es debida a los campos
eléctricos existentes a cada lado de la placa. Observe que la dirección de los
campos es normal a la placa. Denominaremos 1E
al campo que se encuentra
a la izquierda de la lámina y que ejerce sobre ésta una fuerza hacia la
izquierda, asimismo 2E
al campo que se encuentra a la derecha de la lámina
y que ejerce sobre ésta una fuerza hacia la derecha.
3 1 4 2( ) ( )F S E S E
2 2 2
0 0 0 0 0
3 3 9
4 4 4 4 16 16 2
Q Q Q Q Q Q QF
S S S S S
El signo negativo indica que está dirigida hacia la izquierda.
63 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
4.3 QUÍMICA
SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE QUÍMICA NIVEL I
INSTRUCCIONES:
A continuación se le presentan dos series generales de problemas, con instrucciones y
valor adjunto. Está permitido el uso de Tabla Periódica, y calculadora. No está
permitido el uso de celular.
Primera Serie (50 puntos):
Consta de 25 preguntas de selección múltiple todas corresponden a la parte teórica.
Subraye la respuesta correcta. Si necesita razonar una respuesta, hágalo en la parte de
atrás de la hoja, indicando el número de inciso que se razona.
1. ¿Cuántos protones y electrones tiene el ion Se2-?
a. 36 protones y 36 electrones
b. 36 protones y 34 electrones
c. 34 protones y 34 electrones
d. 34 protones y 36 electrones
e. Ninguna de las anteriores
2. Cifras significativas son:
a. Sólo los dígitos enteros de una cantidad
b. Sólo los dígitos decimales de una cantidad
c. Todos los dígitos decimales de una cantidad
d. Todos los dígitos de una cantidad
e. Sólo los números enteros de una cantidad
3. Una estatua de Buda que se encuentra en el Tibet mide 26 m de alto y está
recubierta con 279 kg de oro. Si el oro se aplicó con un espesor de 0.0015 mm, ¿qué
área superficial se recubrió (en metros cuadrados)?
a. 9600 m2
b. 9.6 x 103m2
c. 9.6 x 102m2
d. 4800 m2
e. 89 x 102m2
64 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
4. El cobre tiene densidad de 8.94 g/cm3. Un lingote de cobre con masa de 57 kg se
forma como alambre con diámetro de 9.50 mm. ¿Qué longitud de alambre, en
metros, se podría producir?
a. 323 m
b. 100 m
c. 90 m
d. 85.37 m
e. 92.45 m
5. ¿A cuánto equivalen 327.5° C (el punto de fusión del plomo) en grados Fahrenheit?
a. 621.5 ° F
b. 600 ° F
c. 623.84 ° F
d. 650.853 ° F
e. 678.52 ° F
6. ¿Cuál de los compuestos siguientes es una substancia pura?
a. concreto
b. madera
c. agua salada
d. cobre elemental
e. leche
7. ¿Cuáles de los siguientes son procesos químicos?
a. Oxidación de un clavo
b. Congelamiento del agua
c. Descomposición del agua en hidrógeno y oxígeno
d. Compresión del gas oxígeno
e. Evaporación del agua
8. La fórmula del carbonato de amonio es:
a. (NH4)2CO3
b. NH4CO2
c. (NH3)2CO4
d. (NH3)2CO3
e. N2(CO3)3
65 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
9. Un cierto elemento tiene 3 isótopos. Las masas isotópicas (uma) y sus abundancias
son: 159.37 (30.60%), 162.79 (15.79%), y 163.92 (53.61%). ¿Cuál es la masa
atómica promedio (uma) de este elemento?
a. 161.75
b. 162.03
c. 162.35
d. 163.15
e. 33.33
10. ¿Cuál es el porcentaje en masa del carbono en el compuesto dimetilsulfóxido,
C2H6SO?
a. 60.0
b. 20.6
c. 30.7
d. 7.74
e. 79.8
11. De los siguientes conjuntos de números cuánticos cuál, no puede ser correcto:
a. n = 3, l = 2, ml = -2
b. n = 3, l = 2, ml = 3
c. n = 1, l = 0, ml = 0
d. n = 6, l = 0, ml = 0
e. n = 2, l = 0, ml = -1
12. ¿Cuál es la frecuencia de la luz que tiene una longitud de onda de 456 nm?
a. 6.58 x 10-14 Hz
b. 6.58 x 1014 Hz
c. 6.58 x 1013 Hz
d. 3.29 x 1014 Hz
e. 3.29 x 10-14 Hz
13. Calcule la energía de un fotón con una frecuencia de 2.85 x 1012 s-1.
a. 2.32 x 10-46J
b. 6.97 x 10-38J
c. 1.89 x 10-21J
d. 4.30 x 1045J
e. 2.55 x 10-23J
66 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
14. Para ℓ = 2, ¿cuáles son los valores posibles de ml?
a. 2
b. 1, 0
c. 1, 0, -1
d. 2, 1, 0
e. 2, 1, 0, -1, -2
15. Indique los valores de n, l y mlde cada orbital de la subcapa 2p.
a. n = 2, l = 2, ml = 2, 1, 0, -1, -2
b. n = 2, l = 1, ml = 1, 0, -1
c. n = 2, l = 0, ml = 0
d. n = 2, l = 1, ml = 0
e. n = 2, l = 3, ml = 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3
16. Identifique el elemento específico que corresponde a la configuración electrónica
siguiente: [Ne]3s23p1
a. Boro
b. Carbono
c. Aluminio
d. Silicio
e. Galio
17. ¿Cuál de los siguientes es un cambio físico?
a. Al calentarse el agua se convierte en vapor
b. El peróxido de hidrógeno convierte el pelo amarillo
c. Al calentar el azúcar se pone café
d. La leche se pone agria
e. Las manzanas que se exponen al aire se oxidan
18. Los grupos de la tabla periódica corresponden a:
a. Las columnas de los elementos de la tabla
b. Las filas de los elementos de la tabla
c. Las diagonales de los elementos de la tabla
d. Los lantánidos y los actínidos
e. Los periodos de la tabla
67 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
19. El número atómico de un elemento es igual a:
a. El número de protones de ese elemento
b. El número de neutrones de ese elemento
c. La sumatoria de los protones y neutrones de ese elemento
d. La sumatoria de los protones y electrones de ese elemento
e. La sumatoria de los protones, electrones y neutrones de ese elemento
20. Los metales alcalinotérreos tienen _____ electrones de valencia.
a. Dos
b. Uno
c. Tres
d. Cuatro
e. Cinco
21. Los gases nobles existen como:
a. Átomos gaseosos individuales
b. Moléculas gaseosas diatómicas
c. Iones gaseosos
d. Cationes gaseosos
e. Aniones gaseosos
22. Las formas diferentes de un mismo elemento se llaman:
a. Alótropos
b. Compuestos moleculares
c. Compuestos iónicos
d. Iones
e. Iones poliatómicos
23. En referencia al tamaño los aniones son:
a. Más grandes que los átomos de los que se originan
b. Más pequeños que los átomos de los que se originan
c. Del mismo tamaño que los átomos de los que se originan
d. Levemente menores que los átomos de los que se originan
e. No ha sido determinado
68 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
24. Un elemento neutro tiene el mismo número de:
a. Protones y electrones
b. Protones y neutrones
c. Neutrones y electrones
d. Electrones y cationes
e. Protones y aniones
25. La energía mínima requerida por un átomo o ión para separar un electrón del
estado basal del átomo o ión aislado en estado gaseoso se llama:
a. Energía de ionización
b. Afinidad electrónica
c. Polaridad
d. Electronegatividad
e. Energía de red
Segunda Serie (50 puntos):
A continuación encontrará 5 problemas. Resuélvalos correctamente en su cuadernillo
de trabajo. Deje constancia escrita, objetiva, lógica, explícita y ordenada todo
su procedimiento y todas sus suposiciones. Resalte sus resultados y ecuaciones
más importantes de forma inequívoca y anote la respuesta específica en el temario.
Problema 1:
Para la elaboración de vidrio se utiliza Oxido de Calcio, compuesto que le da
resistencia al vidrio. Si para preparar un lote de vidrio (ρv= 2.5080 g/cm3), uno de los
componentes es arena (ρarena= 1.3 g/cm3) con un volumen 0.69 m3 y otro es Oxido de
Magnesio 12%, Carbonato de Sodio 18 % y otros componentes 0.75%. ¿Cuál es la masa
de Oxido de Calcio que se debe de utilizar si el lote llena un mezclador cilíndrico con
un diámetro de 0.9 m y cuya altura es 2 veces el radio del mezclador?
Problema 2:
El gas Cloro se obtiene calentando ácido Clorhídrico con óxido de Manganeso. Si este
gas se recoge sobre agua y luego se utiliza para preparar Hipoclorito de
Sodiohaciéndolo reaccionar con Hidróxido de Sodio a una temperatura de 35°C,
obteniéndose como productos secundarios Cloruro de Sodio y agua. ¿Cuánto de gas
Cloro se necesita para preparar 1 m3 de Hipoclorito de Sodio al 15 % v/v si la reacción
tiene un rendimiento del 95%?
Densidad de Hipoclorito de Sodio = 1.165 g/cm3
69 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
Problema 3:
Realice la estructura de Lewis del Peróxido de Hidrógeno.
a. Indique y explique el número de oxidación de cada átomo de oxígeno en función de
los electrones recibidos o proporcionados por el átomo.
b. Indique y explique el número de oxidación de cada átomo de hidrogeno en función
de los electrones recibidos o proporcionados por el átomo.
c. ¿Cuántos enlaces covalentes polares existen e indique entre que átomos?
d. ¿Cuántos enlaces covalentes puros existen e indique entre que átomos?
e. Si el Peróxido de Hidrógeno perdiera los átomos de Hidrógeno y estos fueran
sustituidos por un solo átomo de Potasio (formando un Superóxido), explique el
número de oxidación del Oxígeno realizando la estructura de Lewis y los pasos del
a al d.
Problema 4:
El umbral fotoeléctrico del aluminio es de 5.986 V. Si, en el efecto fotoeléctrico, el
voltaje de frenado de los electrones es de 0.3 V, cuando la placa de aluminio es
irradiada con 300W, calcule la intensidad de flujo de electrones, en amperios.
Problema 5:
Considere la combustión del GLP, compuesto por 85 por 100 n/n de propano y el resto
es butano. :
C3H8 +C4H10 + O2 CO + CO2 + H2O
En un proceso, se queman 35 lb/h de este gas, por una combustión el 85 por 100 n/n
completa, y el resto produce monóxido de carbono. ¿Cuántos kg/h de O2 consume
esteproceso? ¿Cuántos kg/año de gas de invernadero se vierte al ambiente?
70 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
SOLUCIÓN DE LA PRUEBA
PRIMERA SERIE
1. d 6. d 11. b 16. c 21. a
2. d 7. a 12. b 17. a 22. a
3. b 8. a 13. c 18. a 23. a
4. c 9. c 14. e 19. a 24. a
5. a 10. c 15. b 20. a 25. a
SEGUNDA SERIE
Problema 1:
Para la elaboración de vidrio se utiliza Oxido de Calcio, compuesto que le da
resistencia al vidrio. Si para preparar un lote de vidrio (ρv= 2.5080 g/cm3), uno de los
componentes es arena (ρarena= 1.3 g/cm3) con un volumen 0.69 m3 y otro es Oxido de
Magnesio 12%, Carbonato de Sodio 18 % y otros componentes 0.75%. ¿Cuál es la masa
de Oxido de Calcio que se debe de utilizar si el lote llena un mezclador cilíndrico con
un diámetro de 0.9 m y cuya altura es 2 veces el radio del mezclador?
Solución
arena arena arena
3 3
Masa Volumen
(1,300 kg/m ) (0.69 m ) 897 kg
Volumenmezclador= πr2h = (π)*(0.9 m/2)2*(0.9m) = 0.5723 m3
ρvidrio*Vmezclador = Masa Total
Masa Total = (2,508 Kg/m3)*(0.5723 m3)
Masa Total = 1,435.03 Kg
Masa Total= Masaarena+ MasaNa2CO3 + MasaMgO+ MasaOtros+ MasaCaO
X = MasaCaO
Masa Total = 897 Kg + 0.18*MT + 0.12*MT + 0.0075*MT + X
1,435.03 = 897 + 0.3075*MT + X
602.78 = 0.3075*MT + X ec. 1
MT = 897 + 0.3075*MT + X
X = MT – 897 – 0.3075*MT
71 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
X = 0.6925*MT – 897 ec. 2
Sustituimos la ec. 2 en la ec. 1
602.78 = 0.3075*MT + 0.6925*MT – 897
602.78 = MT – 897
MT = 1,499.78 ≈ 1,500 Kg
X = 0.6925*1,500 – 897
X = 141.75 ≈ 142 Kg
R. 142 Kg de CaO.
Problema 2:
El gas Cloro se obtiene calentando ácido Clorhídrico con óxido de Manganeso. Si este
gas se recoge sobre agua y luego se utiliza para preparar Hipoclorito de
Sodiohaciéndolo reaccionar con Hidróxido de Sodio a una temperatura de 35°C,
obteniéndose como productos secundarios Cloruro de Sodio y agua. ¿Cuánto de gas
Cloro se necesita para preparar 1 m3 de Hipoclorito de Sodio al 15 % v/v si la reacción
tiene un rendimiento del 95%?
Densidad de Hipoclorito de Sodio = 1.165 g/cm3
Solución
Cl2 + 2NaOH NaCl + H2O NaClO
1 m3NaClO al 15 % v/v 95%
1 m3 sol NaClO* 15 m3NaClO / 100 m3 sol* 1.165 Kg NaClO / 1 m3 *
1,000g NaClO/ 1 Kg * 1 mol NaClO / 74.4394 g NaClO * 1 mol Cl2/1 mol
NaClO * 70.9054 g Cl2 / 1 mol Cl2 = 166.45Cl2
% R = g Exp / g Teo * 100
gExp =( % R * g Teo) / 100
gExp = (95*166.45) / 100 = 158.13 g Cl2
166.45 g Cl2 * L / 3.214 g = 51.78 L * 1 m3 / 1,000 L = 0.051 m3*0.95= 0.049 m3
R. 49 L de Cl2
72 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
Problema 3:
Realice la estructura de Lewis del Peróxido de Hidrógeno.
a. Indique y explique el número de oxidación de cada átomo de oxígeno en función de
los electrones recibidos o proporcionados por el átomo.
b. Indique y explique el número de oxidación de cada átomo de hidrogeno en función
de los electrones recibidos o proporcionados por el átomo.
c. ¿Cuántos enlaces covalentes polares existen e indique entre que átomos?
d. ¿Cuántos enlaces covalentes puros existen e indique entre que átomos?
e. Si el Peróxido de Hidrógeno perdiera los átomos de Hidrógeno y estos fueran
sustituidos por un solo átomo de Potasio (formando un Superóxido), explique el
número de oxidación del Oxígeno realizando la estructura de Lewis y los pasos del
a al d.
Solución
a. Número de oxidación del oxígeno, -1, existe un enlace covalente puro O-O
por lo que cada átomo recibe del H un é.
b. Número de oxidación del H es +1, ya que un átomo de H proporciona
un electrón a cada átomo de oxígeno.
c. Existen 2 enlaces covalentes polar, cada uno entre un átomo de
hidrógeno y un átomo de oxígeno.
d. Existe un enlace covalente puro O-O.
e. Número de oxidación de cada átomo de oxígeno -1/2, lo que significa
que el electrón que proporciona el átomo de potasio permanece la
mitad del tiempo en cada átomo de oxígeno. Número de oxidación del
K es +1, ya que un átomo de K proporciona un electrón a los dos
átomos de oxígeno.
Los enlaces formados por el potasio y cada átomo de oxígeno son
iónicos debido a las propiedades de las especies que forman el
enlace, diferencia de electronegatividades, enlace entre un metal y un
no metal. Existe un enlace covalente puro O-O.
73 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
Problema 4:
El umbral fotoeléctrico del aluminio es de 5.986 V. Si, en el efecto fotoeléctrico, el
voltaje de frenado de los electrones es de 0.3 V, cuando la placa de aluminio es
irradiada con 300W, calcule la intensidad de flujo de electrones, en amperios.
Solución
Los electrones se mueven gracias a una diferencia de potencial de:
Potencial total = (5.986 + 0.3) V = 6.286 V
Cuando son irradiados con 300 W.
Entonces:
1 C/6.286 J * 300 J/s = 47.73 C/s = 47.73 A
Respuesta: 47.73 A
Problema 5:
Considere la combustión del GLP, compuesto por 85 por 100 n/n de propano y el resto
es butano. :
C3H8 +C4H10 + O2 CO + CO2 + H2O
En un proceso, se queman 35 lb/h de este gas, por una combustión el 85 por 100 n/n
completa, y el resto produce monóxido de carbono. ¿Cuántos kg/h de O2 consume
esteproceso? ¿Cuántos kg/año de gas de invernadero se vierte al ambiente?
Solución
Fracciones másicas, Yi: para un total de n mol de GLP:
C3H8 : n mol GLP * 85 mol C3H8/100 mol GLP * 44 g C3H8/1 mol C3H8 =
37.40n g C3H8
C4H10 : n mol GLP * 15 mol C4H10/100 mol GLP * 58 g C4H10/1 mol C4H10 =
8.70n g C4H10
Total= 37.40n g C3H8 + 8.70n g C4H10 = 46.10n g
Y(C3H8) = 37.40n g / 46.10n g = 0.8113
Y(C4H10) = 0.1887
Reacciones:
Propano: 100/3 C3H8 + 955/3 O2 15 CO +85 CO2 + 400/3 H2O (1)
Butano: 25C4H10 + 155 O2 15 CO + 85 CO2 + 125 H2O (2)
74 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
O2
(kg/h)
de 1:
35 lb GLP/h * 354 g GLP/1 lb GLP *0.81.13 g C3H8/1.00 g GLP * 1
mol C3H8/44 g C3H8 * (955/3) mol O2/(100/3) mol C3H8 * 32E-3 kg
O2/1 mol O2 =
69.8157577 kg O2/h
de 2:
35 lb GLP/h * 354 g GLP/1 lb GLP * 0.1887 g C4H18/1.00 g GLP * 1
mol C4H10/58 g C3H8 * 155 mol O2/25 mol C4H10 * 32E-3 kg O2/1
mol O2 =
7.99754847 kg O2/h
TOTAL 77.8133062 kg O2/h
CO2
(kg/año) 1 año = 365.2564 días
de 1:
69.82 kg O2/h * 1 kmol O2/32 kg O2 * 85 kmol CO2/(955/3) kmol O2
* 44 kg CO2/1 kmol CO2 * 24 h/1 día * 365.2564 día/1 año =
224699.465 kg CO2/año
de 2:
7.998 kg O2/h * 1 kmol O2/32 kg O2 * 85 kmol CO2/155 kmol O2 *
44 kg CO2/1 kmol CO2 * 24 h/1 día * 365.2564 día/1 año =
52863.4962 kg CO2/año
TOTAL:
2.777E+05 kg CO2/año
75 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA
EXAMEN DE QUÍMICA NIVEL II
INSTRUCCIONES:
A continuación se le presentan dos series generales de problemas, con instrucciones y
valor adjunto. Está permitido el uso de Tabla Periódica, y calculadora. No está
permitido el uso de celular.
Primera Serie (50 puntos):
Consta de 25 preguntas, 21 de selección múltiple y las últimas 4 de respuesta directa;
todas corresponden a la parte teórica. Subraye la respuesta correcta en la de selección
múltiple y razonela respuesta en las de respuesta directa.
1. ¿Cuál de las siguientes soluciones de NaCl es más concentrada?
a. 0.1 M
b. 0.1 N
c. 0.1 m
d. Xsoluto = 0.2
e. 0.1 g soluto/ 1 L de solución
2. Si una solución acuosa congela a -0.93° C, se puede decir que ebulle a:
a. 100°C
b. 100.26°C
c. 100.52°C
d. 100.1°C
e. 126°C
3. Si una solución acuosa ebulle a 100.26°C, su concentración molar es:
a. 0.26
b. 2.6
c. 0.1
d. 0.5
e. 0.026
76 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
4. Para convertir 100 ml de HCl con pH = 1 a otra de pH = 2, es necesario:
a. evaporar 100 ml de agua
b. adicionar 900 ml de agua
c. adicionar 100 ml de agua
d. adicionar 0.1 mol de ácido clorhídrico
e. Ninguno
5. Considere el equilibrio de la fase gaseosa:
4HCl + O2 ↔ 2H2O + 2Cl2 + calor
Esta reacción se utiliza industrialmente para obtener Cl2. Cuáles son las mejores
condiciones:
a. Presión alta y temperatura alta
b. Presión baja y temperatura alta
c. Presión baja y temperatura baja
d. Presión alta y temperatura baja
e. Temperatura baja y no afecta la presión
6. En una reacción A + B ↔ C + D donde se emplea un catalizador. Sucede lo
siguiente:
a. La reacción se desplaza hacia la derecha
b. Reacción se desplaza hacia la izquierda
c. Aumenta la energía cinética de los productos.
d. Aumenta la concentración de C pero disminuye la concentración del
catalizador.
e. Ninguna
7. La velocidad de una reacción química aumenta a:
a. Si aumenta la concentración de los reactivos aumenta la velocidad de la
reacción:
b. Si aumenta la temperatura.
c. La presencia de un catalizador.
d. Al amentar el área superficial de los reactivos
e. a,b y c son correctas
f. Todas son correctas
77 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
8. La ecuación de Arrehenius es:
a. K = A eea/rt
b. K = A e-ea/t
c. K = A e-ea/rt
d. K = e-ea/rt
e. Ninguno
9. El coloide formado por un líquido en un gas se denomina:
a. Emulsión
b. Aerosol
c. Sol
d. Espuma
e. Ninguno
10. Tenemos la siguiente reacción:
4NH3(g) + 5O2(g) ↔ 4NO (g) + 6H2O (g)
La velocidad de desaparición del NH3 es igual a la velocidad de:
a. De desaparición del O2
b. Formación del NO
c. Formación H2O
d. Toda las velocidades son iguales
e. Si la velocidad de desaparición del NH3 es –( 0.01 moles/ L S) la
velocidad de formación del NO es –(0.04 Mol/L S)
11. La energía de activación de una reacción puede ser disminuida por:
a. Aumento de la temperatura.
b. Adición de un catalizador.
c. Aumentar la concentración de los reactivos.
d. Incrementar la presión.
e. A y B son correctas.
f. C y D son correctas.
78 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
12. ¿Cuál de los siguientes conceptos es falso?
a. Velocidad ∞ 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑑𝑒𝑐𝑜𝑙𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
𝑠
b. Los cálculos basados en la teoría cinética molecular muestran que a
presiones y temperaturas normales, existen aproximadamente 1 x 1027
colisiones binarias a un volumen de 1 ml cada segundo en fase gaseosa.
c. cuando las moléculas chocan, la energía cinética se convierte en energía
vibracional, que es la responsable que se rompan los enlaces químicos.
d. Para que haya una reacción, es decir formación de productos, las
moléculas en un choque deben tener una energía cinética total, igual o
mayor que la energía de activación.
e. Todas son correctas
f. f. A y C son correctas.
13. Para la siguiente reacción en equilibrio:
N2(g) + 3H2(g) ↔ 2NH3(g) + 22kcal
Conteste: A. Si el equilibrio se desplaza hacia la derecha
B. Si el equilibrio se desplaza hacia la izquierda
C. No Varia
a. Si aumenta el volumen del recipiente ____B_____
b. Si aumenta la presión sobre el sistema _____A____
c. Si se agrega un catalizador _____C____
d. Si se agrega N2 ____A_____
e. Si se extrae NH3____A_____
f. Si se calienta el sistema ____B______
g. Si se aumenta la concentración de N2 ____A____
14. Tenemos la siguiente ley de velocidad para una reacción química:
V = K [NO] [BR2]
Se puede decir:
a. Que el orden de la reacción es 2
b. El mecanismo de reacción es de una etapa
c. Que las unidades de K son 1
𝑀𝑆
d. Que K no depende de la temperatura.
e. A y C son correctas
f. B y D son correctas
79 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
15. Para la reacción A → productos de segundo orden se puede decir:
a. Que las dimensiones de K son 1
𝑀∗𝑆
b. Que la T1/2 = 1
𝐾[𝐴]𝑜
c. 1
[𝐴] =
1
[𝐴]𝑜 + KT
d. Que la vida media depende de la concentración.
e. Todas son correctas.
f. b y d son correctas.
16. Subraye todas las respuestas correctas: puede haber más de una.
La solubilidad de los líquidos en los líquidos aumenta con la temperatura porque:
a. Las fuerzas de London entre partículas del soluto se hace más pequeña
cuando aumenta la temperatura.
b. Las fuerzas de London entre partículas del soluto se hace más grande
cuando aumenta la temperatura.
c. La reacción de disolución es endotérmica.
d. La reacción de disolución es exotérmica.
17. La solubilidad de los gases en los líquidos disminuye con la temperatura porque:
a. Las fuerzas de London entre partículas del soluto se hace más pequeña
cuando aumenta la temperatura.
b. Las fuerzas de London entre partículas del soluto se hace más grande
cuando aumenta la temperatura.
c. La reacción de disolución es endotérmica.
d. La reacción de disolución es exotérmica.
e. La presión de vapor de los gases es proporcional a la temperatura, según
la Constante Universal de los gases ideales.
18. La presión de vapor de los líquidos aumenta con la temperatura porque:
a. La distribución de velocidad media en la campana de Gauss presenta
un ala derecha mayor con respecto a la velocidad de escape.
b. El valor de las constantes en la Ecuación de Antoine Aumenta.
c. La distribución molar del soluto en el solvente se hace más grande hacia
el solvente.
d. La reacción de presión se vuelve endotérmica.
80 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
19. En una reacción A <-> 2B, en fase gaseosa, que es exotérmica y está en equilibrio
en un recipiente rígido: un aumento de la presión del sistema, ¿hacia dónde
desplazará la reacción?
a. Hacia A
b. Hacia B
c. Permanece en equilibrio
20. Un elemento tiene un potencial de oxidación de 0.479 V. En una reacción con
Hidrógeno en una celda, ¿Quién es el cátodo?
a. El elemento
b. El Hidrógeno.
21. ¿Qué condiciona que una reacción sea exotérmica o endotérmica?
a. Las Energías de enlace
b. La diferencia de Electronegativadad de los enlaces.
c. La diferencia mol entre productos y reactivos.
d. El estado de oxidación de productos y reactivos.
22. Considere la combustión completa del propano:
C3H8 + O2 CO2 + H2O
¿Cuántos Faraday dona 1 mol de propano al sistema?
Solución:
1 F = 1 mol e.
Estado de oxidación de C en el propano: -8/3
Estado de oxidación de C en CO2 : +4
Electrones transferidos por 1 mol de propano:
Cada carbono transfiere: 4- (-8/3) = 20/3 e
Como hay 3 C en el propano: 20 mol e por mol de propano.
Respuesta: 20 Faraday.
81 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
23. Considere la combustión completa del pentano:
C5H12 + O2 CO2 + H2O
¿Cuántos equivalentes-gramo tiene el pentano en esta reacción redox?
Solución:
En una redox, el número de equivalentes-gramo es igual al número de
electrones transferidos por mol de sustancia que se reduce o se oxida. En este
caso, el pentano se oxida. Como se ve, el caso es igual que el anterior: el
número de equivalentes-gramo es igual al número de Faraday (los químicos
puros tienden a no unificar conceptos, por eso usan varios nombres para un
mismo fenómeno):
Estado de oxidación de C en el pentano: -12/5
Estado de oxidación de C en CO2 : +4
Electrones transferidos por 1 mol de propano:
Cada carbono transfiere: 4- (-12/5) = 32/5 e
Como hay 5 C en el propano: 32 mol e por mol de propano.
Respuesta: 32 equivalentes-gramo (= 32 Faraday = 32 mol e transferidos por
mol de compuesto).
24. La constante cinética de una reacción particular aumenta con la temperatura en el
rango de 0°C a 100°C, ¿necesariamente seguirá aumentando con la temperatura
arriba de ese rango? Explique.
Solución
No necesariamente: Las reacciones siempre son paralelas: Imaginemos dos
caminos (sólo dos, para simplificar): A B, AC. Si la Energía de Activación
para formar B es mucho menor que para formar A, la formación de B será
preferida; pero si la temperatura del sistema llega a ser tal que C alcance su
Energía de Activación, entonces la formación de C será igual que la de B. Y
hasta puede ser que la formación de C domine sobre la de B. Incluso puede ser
que la formación de B se inhiba frente a la de C. Todo esto está dado por la
Energía de Activación, y al fondo, por el cambio en la Energía Libre de Gibbs
de formación de B y de C.
25. Considere 2 alcanos lineales: A y B; si B tiene más carbonos que A, ¿quién tendrá
mayor calor de combustión? ¿Por qué?
Solución
B, que tiene más carbono, tendrá mayor calor de combustión: Esto es porque
el O2 tiene un calor de formación O.OO J, y al reducirse su calor de formación
es negativo: la reacción de reducción de O2 es negativa; por tanto, la reacción
de oxidación del carbono es positiva, y también la del hidrógeno. Entre más
carbonos lineales, más hidrógenos también, y más oxígenos. Por tanto, la
reacción será siempre más exotérmica.
82 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
SEGUNDA SERIE
A continuación encontrará 5 problemas. Resuélvalos correctamente en su cuadernillo
de trabajo. Deje constancia escrita, objetiva, lógica, explícita y ordenada todo
su procedimiento y todas sus suposiciones. Resalte sus resultados y ecuaciones
más importantes de forma inequívoca y anote la respuesta específica en el temario.
Problema 1:
El Texaco es un proceso de oxidación parcial, destinado a la producción de hidrógeno
para síntesis de amoniaco, en el que se hace reaccionar octano gaseoso con oxígeno
puro. Las reacciones que tienen lugar son las siguientes:
C8H18 + 4 O2 8 CO + 9 H2 (Reacción A)
C8H18 + 8 O2 8 CO2 + 9 H2 (Reacción B)
Con los datos que se indican a continuación, calcula por cada 100 moles de octano que
reaccionan:
a. La Cantidad de oxígeno consumido, si el 90% del octano se oxida según la reacción
A.
b. El Calor total desprendido en el inciso anterior, si el proceso ocurriese a 25 grados
centígrados. Entalpías de formación estándar a 25 oC, ∆fHmo (kcal/mol): octano: -
59,749 dióxido de carbono: -94,052 y monóxido de carbono: -26,416.
Solución
a. Por estequiometría tenemos:
Reacción A:
22
4 mol O90 mol Oct 360 mol O
1 mol Oct
Reacción B:
22
8 mol O10 mol Oct 80 mol O
1 mol Oct
b. Considerando 100 moles de mezcla
Reacción A:
26.416 Kcal 59.74 KcalHA 8 mol CO 1 mol Oct
mol CO mol Oct
151.588 Kcal/mol Oct
151.588 KcalQA 90 mol Oct 13,643 Kcal
mol Oct
83 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
Reacción B:
94.052 Kcal 59.74 KcalHB 8 mol CO2 1 mol Oct
mol CO2 mol Oct
692.676 Kcal/mol Oct
692.676 KcalQB 10 mol Oct 6,926.76 Kcal
mol Oct
Problema 2:
El diazometano, CH3-N=N-CH3, se descompone en etano, CH3-CH3, el nitrógeno, N2. Si
la presión inicial es 360 mm Hg, transcurridos 400 s, asciende a 363,6 mm Hg. a) ¿Cuál
es la fracción de diazometano descompuesta? b) ¿Cuál es la constante de Velocidad de
descomposición, supuesta de primer orden? c) ¿Cuál es el periodo de Vida media, t1/2,
del diazometano?
Solución
a) la Ecuación química correspondiente a la descomposición del diazometano es:
CH3 N CH3 (g) CH3 CH3 (g) N2 (g)N
Las presiones son:
diazometano Etano Nitrógeno
P (t=0) 360 --- ---
P (T= 400) 360 - X X X
De acuerdo con la ley de Dalton de las mezclas gaseosas, la presión total para
t=400 es:
P = Pdiazo + Petano + P N2
Sustituyendo las presiones dadas:
363,6 = (360 – X) + X +X
Se obtiene: x = 3,6 mm Hg
Por lo que la fracción del diazometano descompuesta al cabo de 400 s se
obtiene:
P diazo (transfo) 3.6 mmHg0.01 equivale al 1%
P diazo (inicial) 360 mmHg
84 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
b) La ecuación de velocidad de primer orden es:
0
[ ]ln
[ ]
Akt
A
En este caso
Pdiazoln
Pdiazo inikt
Sustituyendo:
5 1
360 3.6ln 400
360
2.5 10 s
k
k
c) El periodo de la vida media al aplicar la ecuación de velocidad es:
01/2
0
[ /2]ln
[ ]
Akt
A
Sustituyendo es 42.8 10 s
Problema 3:
Se dispone de 6.5 g de Disolución acuosa de hidróxido de litio (LiOH) de 1,07 de
densidad relativa y 0.08 de fracción molar en LiOH. Calcular: La Molalidad de la
disolución. B) ¿Cuántos gramos de agua habrá que añadir a la citada cantidad de
disolución para que la fracción molar de LiOH sea Ahora 0.04?
Solución
a) Calculando cantidades de soluto y solvente:
24 g LiOH0.08 mol LiOH =1.92 g LiOH
1mol LiOH
218 g H O0.92 mol agua =16.56 g
1mol agua
Al final se tiene 18.48 g de disolución
Las cantidades de LiOH y H2O contenidas en los 6.5 g de disolución son:
24 g LiOH0.08 mol LiOH =1.92 g LiOH
1mol LiOH
85 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
1.92 g LiOH6.5 g disolución =0.675 g LiOH
18.48 g disolución
Entonces:
6.5 g disolución – 0.675 g LiOH = 5.825 g agua
La molalidad es:
30.675 g LiOH 10 g agua1 mol LiOH=4.83 mol por kg
5.825 g agua 24 g LiOH 1 kg de agua
c) la nueva disolución contiene la misma cantidad de LiOH y n moles de agua:
2
1 mol LiOH0.675 g LiOH
24 g LiOH0.04
1 mol LiOH0.675 g LiOH mol H O
24 g LiOHn
Despejando se obtiene
0.675 g aguan
Como la disolución ya contiene 5.825 g de agua, la masa de esta sustancia a
añadir es:
18 g agua0.675 5.825 g agua = 6.325 g
1mol agua
Problema 4:
La constante de equilibrio de la reacción H2 + I2 2 HI es a 600 grados Celsius igual a
70.0. ¿Cuántos moles de hidrógeno pueden ser mezclados con un mol de yodo cuando el
99 % del yodo es convertido en Ioduro de hidrógeno si la reacción se lleva a cabo a 600
grados Celsius?
Solución
2[H ] Xc 0.99c 2[I ] c 0.99c
[HI] = 1.98 c
2 2 2
2
1.98 c 1.98
0.01(X 0.99)c (1 0.99)(X 0.99)K
X= 6.59 mol H2
86 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
Problema 5
¿Cuántas horas son necesarias para producir 30 g de oro metálico, haciendo pasar una
corriente eléctrica continua de 4.00 A, a través de una disolución de un compuesto
iónico de oro (III)?
Solución
La semireacción en el cátodo sería:
Au 3e Au
Los moles de oro depositados son:
1mol Au30.0 g Au 0.152 mol Au
197 g Au
Sabiendo que 1 mol de electrones tiene una carga de 96500 C (1 Faraday), se
relaciona el oro depositado con la corriente eléctrica necesaria:
3mol e 96500 C0.152 mol Au 44004 C
1 mol Au 1mol e
La cantidad de corriente que circula a través de la disolución electrolítica
viene dado por:
lq t
Por lo que el Tiempo sería:
44004 C 1 h3.1 h
4.00 A 3600 st
87 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
4.4 BIOLOGÍA
SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA
EXAMEN DE BIOLOGÍA NIVEL I
Instrucciones:
Esta prueba consta de seis series. Debe responder toda la prueba con tinta azul o
negra. Puede usar calculadora, pero no celular. El tiempo máximo para responder es de
90 minutos.
SERIE I:COMPLETACIÓN/RESPUESTA DIRECTA
Instrucciones: responda únicamente lo que se le indica. Valor de cada inciso: 2 puntos.
1. Los seres vivos “nacen, crecen, se reproducen y mueren”. Indique otras DOS
características compartidas por TODOS los organismos vivos.
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
2. Complete la ecuación simplificada de disociación del agua, escribiendo las fórmulas
y los nombres de los iones correspondientes.
H2O <=> +
Ion _________ Ion _________
3. ¿Cuál es el número máximo de enlaces que puede formar un átomo de carbono?
___________________________________________________________________________
4. En las plantas, ¿en qué organelas (organelos/orgánulos) ocurre la fotosíntesis?
___________________________________________________________________________
5. Complete la reacción general de la respiración celular y encierre en un cuadro el
reactivo que se reduce.
C6H12O6 + → + 6 H2O + energía (ATP + calor)
6. ¿Cuáles son los tres componentes de CADA NUCLEÓTIDO de ADN?
________________________________
________________________________
7. ¿En qué se diferencia la reproducción sexual de la asexual?
___________________________________________________________________________
8. ¿Qué tipo de enlaces se forman entre dos moléculas de agua?
88 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
___________________________________________________________________________
9. ¿Cuáles son los cuatro elementos químicos predominantes en la materia orgánica?
___________________________________________________________________________
10. De las macromoléculas (ácidos nucleicos, carbohidratos, lípidos y proteínas),
¿cuáles NO son polímeros?
___________________________________________________________________________
11. Enumere DOS distintas funciones de las proteínas de membrana.
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
12. Complete la ecuación simplificada de la fotosíntesis:
+ 6 H2O + Energía lumínica → C6H12O6 +
Preguntas 13 a 16
Complete el cuadro acerca de estructuras de las células eucarióticas.
Estructura Descripción Función
Ejemplo: Núcleo Estructura grande rodeada
por una membrana doble
La información contenida en
el ADN se transcribe a ARN
13. Cuerpo granular en el
núcleo; consiste en ARN y
proteínas.
Sitio de síntesis del ARN
ribosómico y de ensamble de
subunidades ribosómicas
14. Red de membranas
internas que se extienden
en el citoplasma, sin
ribosomas en su superficie
interna
Sitio de síntesis de lípidos y
destoxificación de sustancias
15. Pilas de sacos
membranosos aplanados
Modificación de proteínas,
empaque de proteínas
secretadas, clasificación de
otras proteínas que se
distribuyen a vacuolas u otros
organelos
16. Saco consistente en dos
membranas, de las cuales
la interna se pliega para
formar crestas y contiene
una matriz
Sitio de la mayor parte de las
reacciones de la respiración
celular; transformación de la
energía de glucosa o lípidos
en energía almacenada en el
ATP
Preguntas 17 a 19
Indique la estructura de los grupos funcionales siguientes.
89 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
17. hidroxilo
18. carboxilo
19. amino
SERIE II. ESQUEMATIZACIÓN
20. Esquematice la bicapa fosfolipídica de la membrana celular (1 punto).
21. Esquematice la traducción del ARNm en una célula eucariota (5 puntos).
Incluya y señale:
a. El ARNm
b. Un aminoácido activado (aminoácido + ARNt)
c. Un anticodón
d. Un codón
e. Un ribosoma con los sitios A, E y P
22. Esquematice las cinco fases de la mitosis (10 puntos)
90 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
SERIE III. ORDENAMIENTO
Valor de cada inciso: 2 puntos.
23. Ordene los niveles de organización biológica en secuencia DECRECIENTE:
Biósfera
Células
Comunidades
Ecosistemas
Moléculas
Organelas / organelos / orgánulos
Organismos
Órganos y sistemas orgánicos
Poblaciones
Tejidos
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
24. Ordene las fases del ciclo celular, empezando por la fase G1:
Citocinesis
Fase G1
Fase G2
Fase S
Mitosis
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
25. Ordene las etapas de la respiración celular:
Ciclo del ácido cítrico
Fosforilación oxidativa
Glucólisis
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
91 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
SERIE IV. SELECCIÓN MÚLTIPLE
Instrucciones: subraye la respuesta correcta. Valor de cada inciso: 2 puntos.
26. ¿Aproximadamente cuántos elementos químicos son esenciales para la vida?
a. 4
b. 25
c. 92
d. 96
27. El ________ es un oligoelemento necesario para todos los seres vivos.
a. Calcio (Ca)
b. Fósforo (P)
c. Hierro (Fe)
d. Potasio (K)
28. La comunicación intercelular empieza cuando un/una __________________
receptor(a) de la célula diana se une a una molécula señalizadora.
a. carbohidrato
b. lípido
c. molécula de fosfato
d. proteína
92 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
SERIE V. PROBLEMAS DE GENÉTICA
Instrucciones: responda las siguientes preguntas dejando constancia de su
procedimiento.
Problema 1
En algunas plantas, una cepa de flores rojas de línea genéticamente pura origina
plantas con todas sus flores rosas cuando se la cruza con una cepa de flores blancas:
RR (rojas) x rr (blancas) → Rr (rosas). Si la posición de la flor (axial o terminal) se
hereda de manera mendeliana,
29. ¿cuáles serían las proporciones de los genotipos y los fenotipos de la generación F1
que se originan del siguiente cruce: axial-roja (línea genéticamente pura) x
terminal-blanca? (2 puntos)
30. ¿cuáles serían las proporciones en la generación F2? (2 puntos)
Problema 2
En los conejos, el pelaje manchado (S) es dominante sobre la uniformidad de color (s), y
el negro (B) es dominante sobre el pardo (b). Estos loci no están ligados. Un conejo
pardo manchado, de una línea pura, se aparea con un conejo de color uniformemente
negro, también de una línea pura.
31. ¿Cuáles son los genotipos de los padres? (2 puntos)
32. ¿Cuáles serían el genotipo y el fenotipo de un conejo F1?(2 puntos)
33. ¿Cuáles serían los genotipos y fenotipos esperados de la generación F2? (2 puntos)
93 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
SERIE VI. DESARROLLO DE TEMAS
Instrucciones: desarrolle los cuatro temas que se indican a continuación.
34. Diversidad celular (8 puntos)
Incluya los siguientes subtemas (cada subtema debe constituir un párrafo aparte):
tamaño;
estructura;
forma;
función.
35. Selección natural y adaptación (4 puntos)
36. Microevolución (8 puntos)
Dentro del tema, incluya y explique los siguientes conceptos:
mutación y recombinación sexual;
selección natural;
deriva genética;
flujo génico.
37. Macroevolución (4 puntos)
Incluya los siguientes subtemas (cada subtema debe constituir un párrafo aparte):
especiación alopátrica;
especiación simpátrica.
94 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
SEXTA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA
EXAMEN DE BIOLOGÍA NIVEL II
Instrucciones generales:
Esta prueba consta de 5 series. Debe responder toda la prueba con tinta azul o negra.
Puede usar calculadora, pero no celular. El tiempo máximo para responder es de 90
minutos.
SERIE I:COMPLETACIÓN/RESPUESTA DIRECTA
Instrucciones: responda únicamente lo que se le indica.
Valor de cada inciso: 2 puntos.
1. En la molécula de ADN, ¿qué tipo de enlaces químicos se encuentran entre dos
bases nitrogenadas?
___________________________________________________________________________________________
2. Mencione un ejemplo de proteína de almacenamiento (para nutrir embriones).
___________________________________________________________________________________________
3. ¿Cuántos pares de cromosomas tiene cada célula somática de un ser humano (n)? A
partir de la cifra anterior, ¿cuántos tipos de gametos distintos puede producir una
persona (sin tomar en cuenta el entrecruzamiento)?
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
4. A partir del inciso anterior, ¿cuántas posibilidades de hijos distintos existen para
una pareja?
__________________________________________________________________________________________
5. Describa brevemente algún experimento sencillo para poner a prueba la teoría de
la selección natural.
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
6. Mencione un ejemplo de taxón.
__________________________________________________________________________________________
7. Explique cómo el “grupo externo” (en sistemática filogenética) permite distinguir
entre caracteres compartidos primitivos y derivados.
__________________________________________________________________________________________
95 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
8. ¿A qué Dominio pertenecen los procariotas que están más emparentados con los
eucariotas?
__________________________________________________________________________________________
9. Mencione UN ejemplo de planta medicinal.
__________________________________________________________________________________________
10. Mencione UN ejemplo de animal parásito del ser humano.
__________________________________________________________________________________________
11. Mencione cuatro ejemplos de factores abióticos.
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
12. ¿Cuál es el fenómeno que permite la incorporación del carbono atmosférico a la
materia orgánica?
__________________________________________________________________________________________
Preguntas 13 a 16
Complete la tabla siguiente, referente a la importancia económica de organismos
específicos. En cada caso, deben quedar completos tres aspectos: 1) el nombre científico;
2) la importancia económica; 3) el grupo general al que pertenece la especie en
cuestión.
No Nombre
científico Importancia económica
Grupo al que pertenece (marcar con una “X”)
Procarionte Protista Planta Hongo Animal
13. Kappaphycus
alvarezii
De esta especie se extrae
carragenina.
14. Es el cereal históricamente
más importante para la
subsistencia de los pueblos
indígenas de América, y uno
de los cultivos más
importantes para la
economía guatemalteca
actual.
15. Lactobacillusa
cidophilus
16. Levadura utilizada para
elaborar pan, y en la
industria cervecera.
96 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
Preguntas 17 a 19
Complete la tabla siguiente con ejemplos de organismos patógenos para el ser humano.
Pregunta
No.
Grupo
general
Nombre científico Enfermedad
(Ejemplo) Virus Treponema pallidum Sífilis
17. Procarionte
18. Protista
19. Hongo
SERIE II. SELECCIÓN MÚLTIPLE
Instrucciones: subraye la respuesta correcta. Valor de cada inciso: 1 punto.
20. La ADN polimerasa III agrega nucleótidos…
a. al extremo 3’ de la hebra adelantada
b. al extremo 3’ de la hebra retrasada
c. al extremo 5’ de un cebador
d. a y b son correctas
21. Las enzimas capaces de cortar fragmentos dañados de una hebra de ADN son las…
a. ADN ligasas
b. helicasas
c. nucleasas
d. primasas
22. Dos codones correspondientes a un mismo aminoácido suelen diferir en…
a. la primera base nitrogenada
b. la segunda base nitrogenada
c. la tercera base nitrogenada
d. Ninguna de las anteriores es correcta.
23. Una hélice alfa es un ejemplo de estructura proteica…
a. primaria
b. secundaria
c. terciaria
d. cuaternaria
24. Un alopoliploide es…
a. un híbrido viable fértil
b. un individuo con más de dos juegos de cromosomas, derivados de una única
especie
c. un poliploide estéril
d. una nueva especie surgida por especiación alopátrica
97 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
25. Entre los papeles ecológicos de los procariotas está el de…
a. descomponer materia orgánica
b. producir oxígeno
c. sintetizar materia orgánica
d. Todas las anteriores son correctas.
26. Se cree que los alveolados y estramenópilos se originaron por…
a. endosimbiosis primaria de algas rojas
b. endosimbiosis primaria de algas verdes
c. endosimbiosis secundaria de algas rojas
d. endosimbiosis secundaria de algas verdes
27. Las algas coralinas son algas…
a. doradas
b. pardas
c. rojas
d. verdes
28. ¿Cuáles son los parientes más cercanos de las plantas terrestres?
a. Las algas rojas.
b. Las carofíceas.
c. Las cianobacterias.
d. Las clorofitas.
29. La turba, formada a base del musgo _______________, es un reservorio de carbono
que contribuye a estabilizar la concentración atmosférica de CO2.
a. Bryophyta
b. Marchantia
c. Polytrichum
d. Sphagnum
30. ¿De los siguientes, cuáles son los parientes más cercanos de los hongos?
a. Las plantas.
b. Los animales.
c. Los ovomicetos.
d. Los procariontes.
31. Las micorrizas son relaciones simbióticas de…
a. comensalismo
b. mutualismo
c. parasitismo
d. patogenia
98 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
32. Los grupos Echinodermata y Chordata pertenecen al linaje…
a. Deuterostomia
b. Porifera
c. Protostomia
d. Radiata
33. Los arrecifes de coral son formados por organismos de la clase…
a. Anthozoa
b. Cubozoa
c. Hydrozoa
d. Scyphozoa
34. La mayoría de peces popularmente conocidos (como el atún) son…
a. celacantos
b. condrictios
c. osteíctios de aletas radiadas
d. pulmonados
35. Las paredes de las arterias son un ejemplo de músculo…
a. cardíaco
b. esquelético
c. estriado
d. liso
36. Las inmunoglobulinas que son las primeras en producirse tras la exposición a un
antígeno, y que cuentan con cinco unidades monoméricas son las…
a. IgA
b. IgE
c. IgG
d. IgM
37. Bioma cuya temperatura es siempre cálida:
a. chaparral
b. pradera templada
c. sabana
d. tundra
38. La especie humana se caracteriza por una curva de supervivencia…
a. tipo I (pendiente casi nula al inicio; muy negativa al final)
b. tipo II (pendiente constante)
c. tipo III (pendiente muy negativa al inicio; casi nula al final)
d. tipo IV (pendiente muy positiva al inicio; muy negativa al final)
99 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
39. Los organismos fijadores de nitrógeno son:
a. bacterias
b. hongos
c. protistas
d. Todas las anteriores son correctas.
40. El problema atmosférico que causan los CFC es…
a. el aumento del efecto invernadero
b. el daño a la capa de ozono
c. la lluvia ácida
d. Todas las anteriores son correctas.
SERIE III. ESQUEMATIZACIÓN
41. Esquematice los principales pasos de una infección lítica provocada por un fago (5
puntos).
42. Esquematice las cuatro fases de la meiosis I (8 puntos).
43. Dibuje el tallo de una planta (5 puntos).
Señale SOLAMENTE:
a. un nudo
b. un internudo
c. una axila
d. una yema axilar
e. una yema terminal
44. Esquematice el ciclo del agua (4 puntos).
100 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
SERIE IV. PROBLEMAS DE GENÉTICA
Instrucciones: responda las preguntas dejando constancia de su
procedimiento.
Problema 1 (5 puntos)
María es una anciana albina. Su hija, Paula, tiene pigmentación normal. María se hace
amiga de Raúl, un hombre albino como ella, y le presenta a Paula. Si Paula y Raúl se
enamoraran y tuvieran descendencia,
45. ¿qué proporciones genotípicas y fenotípicas se esperarían para esa descendencia?
Considere como recesivo al alelo del albinismo.
Problema 2
En los pollos, el genotipo sexual de los machos es XX (dos cromosomas X) mientras que
el de las hembras es XO (un cromosoma X sin homólogo). Un alelo dominante B, ligado
al sexo, es responsable de la aparición de manchas blancas sobre los pollos negros.
Elabore los cuadros de Punnett de la F1 y de la F2 de los siguientes cruces.
46. Macho manchado homocigoto x hembra no manchada (2 puntos)
47. Macho no manchado homocigoto x hembra manchada (2 puntos)
Problema 3 (5 puntos)
Un estudio del polimorfismo de la alcohol deshidrogenasa de un pequeño mamífero
reveló la presencia de dos formas alélicas: ADHsy ADHf. La población presentó las
frecuencias genotípicas siguientes:
Frecuencia de ADHsADHs = 0.16
Frecuencia de ADHsADHf = 0.48
Frecuencia de ADHfADHf= 0.36
48. Calcule las frecuencias de los alelos ADHs y ADHfen esta población.
101 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
3. CONTENIDO DE LAS PRUEBAS
Matemática: Nivel 1
Ecuaciones y desigualdades
Funciones y graficas
Geometría
Funciones polinomiales y racionales
Funciones exponencial y logarítmica
Funciones trigonométricas
Trigonometría analítica
Geometría analítica
Límites y derivadas
Reglas de derivación
Aplicaciones de la derivada
Matemática: Nivel 2
Integrales
Técnicas de integración
Aplicaciones de la Integral
Ecuaciones paramétricas, coordenadas polares y ecuaciones de las cónicas en
polares
Sucesiones y series infinitas
Vectores y geometría analítica en el espacio
Funciones vectoriales y derivadas parciales
Integrales múltiples
Calculo vectorial
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Modelos matemáticos y métodos numéricos
Ecuaciones lineales de orden superior
Física: Nivel I, Mecánica
Física y mediciones
Vectores
Movimiento en una dimensión
102 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
Movimiento en dos dimensiones
Las leyes del movimiento
Movimiento circular y otras aplicaciones de las leyes de Newton.
Energía y transferencia de energía
Energía potencial
Cantidad de movimiento lineal y colisiones
Rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo.
Cantidad de movimiento angular
Equilibrio
Elasticidad
Gravitación universal
Mecánica de fluidos
Mecánica de fluidos dinámica
Movimiento oscilatorio
Energía de oscilador armónico simple
Física: Nivel II, Electricidad y Magnetismo
Ley de Coulumb
Campo eléctrico
Ley de Gauss
Potencial eléctrico
Capacitores y dieléctricos
Corrientes y resistencia
Circuitos eléctricos
Fuerza magnética
Ley de Ampere
Ley de Faraday y la ley de inducción
Inductancia
Química: Nivel 1
Ciencia y Medición
Teoría Atómica
Clasificación Periódica
Enlace Químico
103 Sexta Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas
Nomenclatura
Estequiometria
Gases
Química: Nivel II
Estequiometria de las reacciones
Soluciones
Cinética química
Equilibrio químico
Electroquímica
Termodinámica
Biología: Nivel I
Introducción al estudio de los seres vivos
Bases químicas de la vida
Las células
Procesos energéticos fundamentales
División y muerte celular
Genética
Mecanismos de la evolución
Biología:Nivel II
Introducción al estudio de los seres vivos
Bases químicas de la vida
Las células
Procesos energéticos fundamentales
División y muerte celular
Genética
Mecanismos de la evolución
Diversidad de los seres vivos
Estructura y función de los sistemas del cuerpo humano
Ecología
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