sesión1 (power point) componente matemática mayo del 2009

SESIÓN 1LÓGICA PROPOSICIONAL

…Como bien señala Cordero, “para el fructífero ejercicio de la profesión de educador, resulta

imprescindible una cualidad ética en el educador: la que suele expresarse como autoridad

moral”(*) (*) Cf. Jorge Capella, “Política educativa” pg. 31, Ed. IMPRESOS & DISEÑOS 2002

Se dice que ver es creer, ¿pero se puede creer siempre en nuestros sentidos?

Se dice que ver es creer, ¿pero se puede creer siempre en nuestros sentidos?

¿Qué observas?¿Hay operarios arreglando la cerca y el piso, o están reparando la terraza y hay gente que intenta subir?

¿Son posibles esas imágenes?

¿Por qué?

¿Qué ocurre si solo nos dejamos llevar por nuestros sentidos?

¿Es posible llegar a un consenso?

La lógica nos permite ir más allá de la información que nos proporcionan nuestros sentidos.

¿En qué podemos apreciar la lógica?¿se emplea para demostrar teoremas?¿ en computación? ¿en física?, ¿en la vida cotidiana? ¿Ayuda al ser humano a distinguir la realidad de la percepción?¿Ayuda en el debate y en la toma de decisiones?, ¿porqué? ¿Qué es pues la lógica?Irving M. Copi afirma, que el principal problema que aborda la lógica es,

“La distinción entre el razonamiento correcto e incorrecto”.

¿Qué piensa usted?.

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Encontrarás un Nombre

Lógica proposicionalLas proposiciones

Una proposición o enunciado es una expresión lingüística que tiene una función informativa.

La lógica formal simboliza a una proposición mediante los siguientes símbolos: p, q, r, s, t, etc. A estas letras se las denomina letras proposicionales. Cada una de ellas representa un enunciado simple. A su vez, cada enunciado se dice que es un caso de sustitución de una letra proposicional.

Proposición Letra proposicional

La Argentina es el país más austral de América del Sur

p

7 + 5 = 12 q

Lógica es una materia difícil r

Lengua es un curso muy estudiado s

La casa es blanca t

1. Proposiciones simples y compuestas

Las proposiciones se dividen en dos grupos:

Las simples o atómicas .y

Las compuestas o moleculares.

Las proposiciones simples son aquellas que no contienen dentro de sí ninguna otra proposición; en efecto, las proposiciones simples afirman sólo una cosa o informan sólo un estado de cosas. Por ejemplo:

El número cinco es un número primo.Aristóteles fue uno de los filósofos más grandes

de la Antigüedad. La O.N.U. es la Organización de las Naciones

Unidas.

Por otro lado, las proposiciones compuestas son aquellas que contienen dentro de sí al menos una proposición.

Los siguientes ejemplos son de proposiciones compuestas:

Proposición compuesta

Proposiciones simples

Letrasproposicionales

Hubo elecciones y eligieron senadores.

Hubo elecciones p

Eligieron senadores q

No conseguimos entradas para el

teatro.

Conseguimos entradas para el

teatro

p

Si llego temprano entonces te llamaré

por teléfono.

Llego temprano p

Te llamaré por teléfono

q

En las proposiciones compuestas su valor de verdad está en función del valor o de los valores de verdad de las proposiciones simples componentes y la conectiva que las vincula. Por lo tanto, las proposiciones compuestas son funciones de verdad de las proposiciones componentes.

2. Las conectivas La clasificación de los distintos tipos de proposiciones compuestas se establece por la presencia de ciertas palabras o expresiones llamadas conectivas. Estas conectivas tienen la función de relacionar las proposiciones que forman un enunciado compuesto.

Las conectivas se clasifican en monádica y diádicas o binarias. La conectiva monádica es la negación y esta afecta sólo a una proposición simple o a una compuesta. Por otro lado, las conectivas diádicas afectan a dos proposiciones simples o compuestas entre sí.

Tipo de conectiva Conectiva Ejemplo

monádica negación La casa no es blanca

diádicao

binaria

conjunción La casa es blanca y el perro es marrón.

disyunción incluyente El helado es de chocolate o de limón.

disyunción excluyente

2 + 2 = 4 ó 2 + 2 = 5

condicionalSi estudio lógica

entonces aprobaré el examen.

bicondicional Bajará el dólar si y sólo si se reactiva la economía.

La conectiva es la expresión lingüística que, aplicada a uno o

dos enunciados, permite obtener un enunciado

compuesto.

La estructura de una proposición compuesta monádica es:

Conectiva Proposición simple

no es la casa blanca

La estructura de una proposición compuesta diádica es:

Proposición simple

Conectiva Proposición simple

2 + 2 = 5 y 2 . 2 = 4La casa está

en ordeno Alfonsín

miente.

3. La conjunción La palabra “ y ” es la conectiva que

cumple la función conjuntiva. Conjuntar es unir dos proposiciones formando así una compuesta.

El símbolo que en lógica traducirá a la palabra “ y ” es: “ ” .

Juan vino Pedro se fue Juan vino y Pedro se fue

p qp q

se lee:

“ p y q ”

Proposición simple

Proposición simple

Proposición compuesta

La conjunción de dos proposiciones es verdadera si y sólo si son verdaderas las dos proposiciones simples que la integran; y es falsa en todos los demás casos.

Tabla de verdad de la conjunción p q p q

V V V

V F F

F V F

F F F

No sólo la “ y ” tiene función conjuntiva; puede también desempeñarla la coma y otras palabras y expresiones, como "pero", "además", "sin embargo", "aunque".

Inés está enferma, mañana llamaré al médico.

El aviador tuvo dificultades, pero logró aterrizar a salvo.

Aunque reciba amenazas no abandonaré mis ideales.

4. La negación La palabra “ no ” es la conectiva que

cumple la función de negar un enunciado. El signo que usaremos es “ ", el cual se coloca antepuesto a las letra proposicional que representa la proposición negada. Toda proposición simple negada se transforma en una proposición compuesta.

Existen los fantasmas No existen los fantasmas

p

p

se lee:

“ no p “

proposición simple

proposición compuesta

La ley que define la negación es la siguiente: la negación de un enunciado verdadero es falso, y la negación de un enunciado falso es verdadero.

Tabla de verdad de la negación

p p

V F

F V

En el lenguaje ordinario, el "no" suele ubicarse antepuesto al verbo principal o puede ir antepuesto a toda la proposición simple.

Colón no fue consiente de la importancia de su descubrimiento.

No todos los hombres son rubios. No es cierto que ha habido sequía este verano.

Suelen usarse otras expresiones como "no es cierto que", "no es verdad que" y "no es el caso que", bien para dar énfasis a la negación, o cuando la proposición negada es compuesta.

5. La disyunción La palabra "o" es la conectiva que

establece la disyunción entre dos proposiciones simples. Otras expresiones que cumplen con la función disyuntiva son: "o bien... o bien...", "o... o...“ .

La disyunción tiene dos sentidos:

A) Disyunción incluyente: o una cosa o la otra, o ambas a la vez.

Modificarán el plan de estudios

Agregarán nuevas materias

Modificarán el plan de estudios o

agregarán nuevas materias

p q

p q

se lee:

“ p o q "

Proposición simple Proposición simple Proposición compuesta

La disyunción incluyente es falsa sólo cuando ambas proposiciones simples son falsas, de lo contraria es verdadera.

Tabla de verdad de la disyunción incluyente

p q p q

V V V

V F V

F V V

F F F

B) disyunción excluyente: o una cosa o la otra, pero no ambas a la vez.

Viajaré a Huancayo

Viajaré a Arequipa Viajaré a Huancayo o a

Arequipa

p q

p q

se lee:

“ p o q "

Proposición simple Proposición simple Proposición compuesta

La disyunción excluyente es verdadera cuando una de las proposiciones es verdadera y la otra es falsa, y es falsa en los casos restantes.

Tabla de verdad de la disyunción excluyentep q p q

V V F

V F V

F V V

F F F

Otras formas en que puede traducirse la conectiva de la disyunción excluyente es: "a menos que" y "salvo que".

6. El condicional La proposición condicional, es una

proposición compuesta formada por un antecedente y un consecuente. La conectiva es la expresión: "si... entonces...". Lo que sigue a la palabra "si" recibe el nombre de antecedente; y lo que sigue a la palabra "entonces" recibe el nombre de consecuente. El signo que se utiliza es: "".

Me levanto temprano

Tomaré el micro de las ocho

Si me levanto temprano entonces tomaré el micro de

lasocho

p qp q

se lee:

“ si p entonces q ”

Proposición simple Proposición simple Proposición compuesta

El condicional sólo es falso cuando su antecedente es verdadero y su consecuente es falso; en todos los otros casos es verdadero.

Tabla de verdad de la condicionalp q p q

V V V

V F F

F V V

F F V

7. El bicondicional Otro tipo de proposición compuesta es el

bicondicional . La conectiva es: “ si y sólo si ” y su símbolo es: "". Otra expresión del lenguaje que

corresponde al bicondicional es: “ cuando y sólo cuando ”

Jugaremos a las cartas

Reunimos cuatro personas

Jugaremos a las cartas si y sólo si reunimos cuatro

personas

p qp q

se lee:

"p si y sólo si q“

proposición simple proposición simple proposición compuesta

Las condiciones que hacen verdadero o falso una bicondicional son: si uno de sus componentes es verdadero y el otro es falso, el bicondicional es falso; y es verdadero cuando ambos componentes son verdaderos, o ambos falsos.

Tabla de verdad de la condicionalp q p q

V V V

V F F

F V F

F F V

Como su nombre lo indica, una bicondicional es un condicional doble. En efecto, la expresión

"p si y sólo si q“

equivale a la conjunción de "si p entonces q" y "si q entonces p".

En símbolos es: (p q) es equivalente a (p q) (q p)

Veamos otras aplicaciones de la lógica

Veamos otras aplicaciones de la lógica

EL ACERTIJO DEL REY

Un rey plantea a los pretendientes de su hija lo siguiente:

“Se casa con mi hija quien determine en cual de los cofres se encuentra mi retrato”

Si se sabe que de las inscripciones solo una es falsa, ¿en cuál de los cofres se encuentra el retrato?

EL ACERTIJO DEL REY

AEL RETRATO ESTA EN

ESTE COFRE

BEL RETRATO NO ESTA

EN ESTE COFRE

CEL RETRATO ESTA EN EL

COFRE DEL CENTRO

Recuerda solo una inscripción es falsa

SOLUCION:

1.- Analizando lo escrito en el cofre A: Si A es verdadero, entonces B es verdadero y C es falso.Si A es Falso, B y C serían verdaderas, pero eso es

contradictorio

2.- Analizando lo escrito en el cofre B:Si B es verdadero, entonces C es falso y A es verdadero.

3.- Analizando lo escrito en el cofre C:Si C es verdadero, entonces A es falso y B es falso.

Por lo tanto, el retrato se encuentra en el cofre: A

EVALUÁNDONOS

¿Qué hemos aprendido? ¿Cómo lo aprendimos? ¿Es útil lo aprendido? ¿Por qué ? ¿Debe ser útil todo lo que se aprende?

Equipo de lógica matemática

Carlos,Luis,Moises,Ramiro,Alex y

A. Blanco