semana 1

CURSO DE SIMULACION DE CURSO DE SIMULACION DE SISTEMASSISTEMAS

Gabriel Percy Michhue Vela

Semana 1

En Resumen

Proceso

• Secuencia de actividades que tienen un inicio y un fin, que se ejecutan para lograr un objetivo.

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Proceso Estocástico (P.E.)

• cuando, si uno repite las condiciones del experimento el resultado es impredecible.

• Se usan para modelar el comportamiento de experimentos aleatorios que varían en el tiempo o que dependen de alguna otra variable determinista.

Ejemplo de P.E.

• Supongamos que estamos estudiando el número de llamadas que se producen en una central telefónica. Para un intervalo de tiempo determinado, por ejemplo una hora, se puede definir la variable aleatoria (VA): “Número de llamadas que se producen en una hora”.

Ampliación del ejemplo

• Si consideramos un intervalo mayor, por ejemplo dos horas, es evidente que el número de llamadas observadas tenderá a ser superior y, por tanto, la distribución de probabilidad de esta nueva VA será distinta a la anterior. Así para cada tiempo que fijemos tendremos una VA, en principio distinta.

Una nota

• El número de llamadas que llegan a una central telefónica es un proceso continuo en el tiempo pero discreto en el espacio de estados. En la gráfica siguiente se ven 3 realizaciones.

Gráficamente

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Proceso Determinístico

• cuando, si uno repite las condiciones del experimento, el resultado es el mismo.

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Técnicas Analíticas

• Cuando se tiene un modelo o formula que seguir para resolver el problema.

• Ejemplo:

A = 0 ∫ 1 x2dx

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Técnicas Numéricas

• Cuando no se tiene una fórmula y se busca un método que aproxime el resultado.

• Ejemplo:

A = 0 ∫ 1 e–x2dx

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Variables Estáticas

• El valor que adopten en determinado momento no determina el próximo valor.

• Por ejemplo:– El número de aciertos que se

obtenga al jugar la tinka este domingo, no determina el número de aciertos que se obtenga al jugar la tinka el próximo domingo.

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Variables Dinámicas• Del valor que tengan en determinado

momento deriva en próximo valor.

• Por ejemplo:– Consideremos un proceso de producción: La

cantidad que se deba producir, de cierto producto, en un periodo; determina la cantidad que se deba producir, del mismo producto, en el próximo periodo.

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Análisis Estocástico

• Toda la teoría de probabilidades, análisis de variables, series de tiempo, etc.

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Optimización Clásica

• Determinación de máximos y mínimos, restringidos y no restringidos.

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Método de Montecarlo

• Una forma de simulación, poco usada actualmente.

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Programación Matemática

• Todos los métodos de optimización que se desarrollan en los cursos de operativa: Método Simplex, Programación Dinámica, etc.

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Sistemas Dinámicos

• Existen materias especiales donde se desarrollan sistemas dinámicos.

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Simulación

• Inicialmente era una técnica numérica que se usaba para procesos estocásticos que tenían inmersos variables dinámicas.

• Actualmente se usa en todo proceso estocástico (con cualquier tipo de variable) y el los procesos determinísticos con variables dinámicas.

Procedimiento para un experimento de simulación

• Los procesos de modelar y simular involucra la formulación y solución de un problema.

• El proceso de modelamiento es iterativo porque el acto de modelar revela la información importante fragmentaria.

• Esta información apoya las acciones que hacen al modelo y sus medidas de salida más relevantes y exactas.

• El proceso de modelamiento continúa hasta que el detalle o la información adicional ya no es necesaria para la resolución del problema.

Importante

• Durante el proceso iterativo, las relaciones entre el sistema en estudio y el modelo son continuamente definidas y redefinidas.

• A continuación se presentan los pasos sugeridos en la ejecución los proyectos que utilizan el modelamiento y la simulación.

Aplicaciones de la Simulación

• la simulación se está utilizando para hacer estudios en diversos campos del saber humano, tales como: sistemas urbanos, sistemas económicos, sistemas de negocios, sistemas de producción, sistemas biológicos, sistemas sociales, sistemas de transporte, sistemas de salud y muchos más.

Areas de aplicación (1)

• Sistemas de manufactura:– Diseño y disposición de planta.– Mejora continua.– Administración de la capacidad.– Evaluación ágil de la fabricación.– Programación y control.– Manejo de materiales

Areas de aplicación (2)

• Sistemas de Transporte:– Funcionamiento de sistemas de

ferrocarriles.– Programación y ruteo de vehículos.– Control de tráfico aéreo.– Operaciones del terminal y deposito.

Areas de aplicación (3)

• Sistemas de computadoras y comunicaciones:– Evaluación del funcionamiento.– Generación y análisis del flujo de

trabajo.

Areas de aplicación (4)

• Planificación y control de proyectos:– Planificación del producto.– Análisis de la comercialización.– Planeamiento de la construcción de

actividades.

Areas de aplicación (5)

• Planificación financiera:– Toma de decisiones en la inversión

de capitales.– Análisis del flujo de liquidez.– Proyecciones del balance.

Areas de aplicación (6)

• Estudios ambientales y ecológicos:– Control de inundaciones.– Control de la contaminación.– Flujo y utilización de la energía.– Administración de granjas.– Control de pestes.– Mantenimiento de reactores.

Areas de aplicación (7)

• Sistemas de cuidado de salud:– Programación de sala de

operaciones.– Planeamiento del uso de los

recursos.– Evaluación de políticas de

transplante de órganos.

Tipos de Simulación

Por el tipo de variables inmersas en el sistema:

Simulación Discreta:

Orientado a los Eventos

Orientado a las actividades

Orientado al proceso

Simulación Continua

Simulación Combinado Discreto - Continua

Relación entre eventos, actividades y procesos

Evento

Llegada

Evento

Inicio de Servicio

Evento

Fin de Servicio

Actividad

Proceso

Medidas de funcionamiento

• El funcionamiento de un sistema es medido por su eficacia y eficiencia en el logro de los objetivos del sistema.

• Los objetivos de diversos tipos de sistemas varían y las medidas de funcionamiento a través de áreas de los usos de la simulación no son iguales.

Ejemplo de medidas de funcionamiento

• En los sistemas de manufactura, las medidas de funcionamiento de lo operativo, puede ser agrupadas en cuatro categorías:– Rendimiento del procesamiento.– Capacidad para satisfacer plazos.– Utilización de recursos.– Inventario en proceso.

Un Problema para la Un Problema para la SimulaciónSimulación

EXPON(5)

LLEGADAESPERA

LAENTREVISTA

DOS ENTREVISTADORESUNFORM (10, 15)

PARTIDA

Tiempo de Simulación 480 minutos

Y Después que?Y Después que?

Medidas de Perfomance:

•Tiempo en sistema del entrevistado.

•Longitud de Cola

•Utilización de Trabajadores

•Tiempo de espera del entrevistado.

RespuestasRespuestas

•Tiempo en sistema del entrevistado: 80.81 minutos

•Longitud de Cola: 16 personas

•Utilización de Trabajadores: 98.5% por empleado

•Tiempo de espera del entrevistado: 72.80 minutos

Para qué sirve?Para qué sirve?

•Aumentar el número de trabajadores.

•Poner sillas de espera o no.

•Disminuir el tiempo de entrevistas.

•Buscar la zona de espera.

Un problema manual (1)

• Una línea de producción, de artículos, está compuesta por dos operaciones: A y B. La operación A siempre debe de ejecutarse antes de la operación B.

OPERACIÓN A OPERACIÓN B

MATERIA PRIMAPRODUCTO TERMINADO

TRANSITO DE LA OPERACIÓN “A” HACIA

LA OPERACION “B”

Un problema manual (2)

Un problema manual (3)

• Los tiempos necesarios por cada una de las 10 unidades a procesar son los siguientes:

Un problema manual (4)UNIDADUNIDAD EN LA OPERACIÓN AEN LA OPERACIÓN A EN LA OPERACIÓN BEN LA OPERACIÓN B

110.4340760.434076 0.1351180.135118

22 0.4874540.487454 0.0703390.070339

33 0.2467180.246718 1.4276711.427671

440.2939260.293926 0.9597660.959766

55 0.6375680.637568 0.0705490.070549

660.8732880.873288 1.5513591.551359

77 0.856280.85628 0.3154690.315469

88 0.2912350.291235 0.1761040.176104

990.6293210.629321 0.0998150.099815

10100.3507190.350719 1.0296591.029659

Un problema manual (5)

• Se requiere determinar:– La producción promedio de la línea.– El tiempo de espera de cada unidad

por la operación B.– El tiempo muerto de la operación B.– Longitud promedio de la cola en B.

Un problema manual (6)

• Como condiciones iniciales:

– La operación A está constantemente alimentada.

– La operación B inicialmente está desocupada.

La Solución (1)

• La solución de este problema debe ser realizada por ustedes.

• El tipo de simulación a usar es la orientada al proceso.

• De esta manera lo primero que se debe hacer es descubrir la secuencia que cada unidad de materia prima sigue dentro del sistema.

La Solución (2)• Esta secuencia de acciones es:

– Momento en que se inicia la Operación A. (IA)– Tiempo necesario para la ejecución de la

Operación A. (TOA)– Momento en que se termina la Operación A. (FA)– Momento en que se inicia la Operación B. (IB)– Tiempo necesario para la ejecución de la

Operación B. (TOB)– Momento en que se termina la Operación B. (FB)

La Solución (3)

• La tarea es determinar los momentos y/o tiempos de ejecución de cada acción, para cada una de las unidades de materia prima.

• Se recomienda ayudarse con la herramienta EXCEL, para ello puedes hacer uso de una tabla como la siguiente:

UnidUnidadad

IAIA TEATEA FAFA IBIB TEBTEB FBFB

11

22

33

44

55

66

77

88

99

1010

La Solución (4)

• Recuerde que los TOA y los TOB, son datos.

• Usted debe llenar esta tabla y establecer una fórmula para el calculo de cada uno de los parámetros indicados.

• Terminada la simulación debe determinar:

La Solución (5)

• El tiempo total de simulación: el tiempo necesario para procesar las 10 unidades de materia prima.

• La producción promedio de la línea: esto significa el número de unidades por unidad de tiempo procesadas en la línea.

Comportamiento de la cola delante de la OPB

U4

U5

U5

U6

U7

U8

U8

U9

U9

U9

U10

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5 6 7

1.4 2.5

2.0 3.5

2.9 3.6

3.8 5.1

4.1 5.4

4.7 5.6

5.1 5.7

U6

U4

U5

U7

U8

U9

U10

Trabajo de la OPB

1 2 3 4 5 6 7

1U1

0.43

0.56

U2

0.92

0.99

U3

1.16 2.59

U4

3.55

U5

3.62

U6

5.17

U7

5.49

U8

5.66

U9

5.76

U10

6.79

Herramientas Básicas para la Simulación

• 1. Generación de Números Aleatorios.

• 2. Generación de Muestras Aleatorias de Distribuciones Estadísticas Conocidas

Generación de Números Aleatorios entre 0 y 1 (1)

Método Uno:

PROVISION EXTERNA DE UNA TABLA

Características:

Computacionalmente lento.Mucho uso de memoria

Generación de Números Aleatorios entre 0 y 1 (2)

Método Dos:GENERACIÓN EXTERNA MEDIANTE UN PROCESO

FISICO

Características

No es reproducibleNo es controlable

Generación de Números Aleatorios entre 0 y 1 (3)

Método Tres:

GENERACION DE NUMEROS PSEUDOALEATORIOS

Características:

Sucesión de valores producidos de manera determinística

Tienen la apariencia de ser variables aleatorias uniformes e independientes en

(0,1)

El Método Tres (1)

• Se comienza con un valor inicial x0, llamado semilla, y luego se calcula de manera recursiva los valores sucesivos xn, n >= 1, hacinedo:

• xn = axn-1 mod m

• Donde a y m son enteros positivos dados.

El Método Tres (2)

• Xn puede tomar los valores: 0, 1, 2, …, m-1.

• La cantidad xn/m, llamado número pseudoaleatorio, se considera como una aproximación de una variable aleatoria uniforme en (0,1).

• Este método se llama el método congruencial multiplicativo.

El Método Tres (3)• Como cada uno de los números xn asume uno

de los valores 0, 1, 2 …, m-1, se tiene que después de cierto número finito (a lo más m) de valores generados, alguno debe repetirse, y, una vez que esto ocurre toda la sucesión comienza a repetirse .

• Las condiciones que deben cumplir a y m, son:

– Para cualquier semilla inicial, la sucesión resultante tiene la apariencia de ser una sucesión de variables aleatorias independientes y uniformes entre (0, 1).

El Método Tres (4)

– Para cualquier semilla inicial, el número de variables que se deben generar antes de que comience la repetición es grande.

– Los valores se pueden calcular de manera eficiente en una computadora.

El Método Tres (5)

• Así, m debe ser un número primo grande (m = 16807).

• Otra fórmula es:

xn = (axn-1 + c) mod m

El Método Tres (6)

• Ejemplos:– x0 = 5 y xn = 3xn-1 mod 150

– x0 = 3 y xn = (5xn-1 + 7) mod 150

Generación de Muestras Aleatorias de Distribuciones Estadísticas

Método de la transformación inversa:

f(x) = Función de densidad.

F(x) = Distribución aculumada (uniformemente distribuida entre

[0, 1]).

r = Número aleatorio entre [0, 1].

r = F(x)

x = H(r) , H es la inversa de F.

Distribución Uniforme (Rectangular)

• Uniforme entre (a, b) (UNFRM(a,b))

• Especifica que cada valor entre un valor mínimo y un valor máximo tienen la misma probabilidad.

• Función de densidad: la probabilidad de un valor que está dentro de en un intervalo es proporcional a la longitud del intervalo

Distribución Uniforme (Rectangular)

Gráficamente

a b

1/(b-a)

f(x)

Distribución Uniforme (Rectangular)

f(x) = 1/(b - a); a <= x <= b

media: μ = (a + b)/2

Varianza: σ2 = (b - a)2 /12

Distribución Uniforme (Rectangular)

• Para calcular la Distribución Acumulada:

F(x) = a∫ x f(t)dt

• Asi para la uniforme obtenemos:

F(x) = (x - a)/(b-a)

Distribución Uniforme (Rectangular)

• Hallando la inversa:

r = F(x) = (x - a)/(b - a)

x = a + r(b-a) = H(r)

Distribución Uniforme (Rectangular)

• Asi si queremos un número que pertenece al intervalo (5, 11), se toma un número aleatorio entre (0, 1) y se usa la formula:

• x = 5 + r*(6), si r = 0.2 entonces x = 6.2.

En forma general

• De esta manera se puede hallar números que estén distribuidos en de diferentes maneras:– Exponecial: EXPON(m)– Normal: RNORM(m,de), etc.

Como obtener una distribución

• Se debe tener una colección de datos.

• Antiguamente se tenían que hacer cálculos y comparaciones.

• En la actualidad se pude hacer uso de software: STATFIT.