segura 2009 -- dualidad en la teoría de consumidor

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Dualidad en la Teoría de Consumidor

Profesor: J.C.Segura Ms.Sc.

Escuela Colombiana de Ingeniería Facultad de Economía

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Introducción

El de la Minimización del Gasto (PME) es el problema dual del problema de la Maximización de la Utilidad del consumidor. Como el problema de definir las propiedades de las funciones indirecta de utilidad, de demanda compensada y de gasto está basado en PMG, al conjunto de estos tópicos se denomina análisis de

dualidad en la teoría del consumidor.

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La Maximización de la Utilidad

Considere un consumidor cuyo conjunto de consumo es �� = ℝ�ℓ . El consumidor es tomador de precios que se representan mediante un vector p = �, ⋯ , ℓ del

espacio ℝ�ℓ (todas las mercancías son deseables). El costo de adquirir un plan de consumo o vector de mercancías x� = ���, ⋯ , ��ℓ está dado por: px� = Σ��ℓ ����

Considere los siguientes supuestos:

Supuesto C1: �� = ℝ�ℓ

Supuesto C2: La relación de preferencias ≿� se puede representar mediante una función de utilidad ��: �� → ℝ contínua, estrictamente cuasi-cóncava y monótona.

Supuesto C3: El vector de precios es estrictamente positivo y la riqueza es no negativa: p ≫ 0, �� ≥ 0.

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Si los supuestos C1 y C2 se verifican, el problema del equilibrio del consumidor se puede formular como:

� ��� ����� �. �. px� ≤ ���� ≥ 0 " #$�%&

El Supuesto C2 garantiza que las preferencias son continuas, estrictamente convexas y monótonas. La continuidad garantiza que [PMU] tiene solución siempre que el conjunto de oportunidades sea compacto y no vacío. La monotonía implica unicidad de las soluciones.

La Convexidad Estricta y la Monotonia implican: (1) Si existen soluciones, estarán en el umbral de las oportunidades, (2) El problema tiene solución si los precios son estrictamente positivos y la riqueza no negativa; (3) el problema no tiene solucion si alguno de los precios es 0 o si la riqueza es negativa. El supuesto C3 se deriva de esta última conclusión: al tomar p ≫ 0, �� ≥ 0 se garantiza que el conjunto presupuestal sea compacto y no-vacío.

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La Función de Demanda Individual

Considere de nuevo el programa [PMU]:

� ��� ����� �. �. px� ≤ ���� ≥ 0 " #$�%&

Se puede probar que bajo los supuestos C1, C2, y C3 existe una única solución x�∗

para todo �p, �� ∈ ℝ��ℓ × ℝ�ℓ . Esta solución es una función contínua de los datos �p, �� . Por lo tanto, x�∗ = *��p, ��

Donde *��p, �� es la función de demanda que dice cómo varía el plan de consumo óptimo cuando cambian los precios y la riqueza.

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La Función de Utilidad Indirecta

La Función Indirecta de Utilidad es una función +�: ℝ�ℓ� → ℝ que para cada par �p, �� ∈ ℝ�ℓ� cuál es la máxima utilidad alcanzable por el i-ésimo consumidor. De

esta manera, dados �p, �� ∈ ℝ�ℓ�,

+��p, �� = ,max ����� /p�� ≤ ��0

― La Función Indirecta de Utilidad señala cual es el nivel de utilidad asociado a la demanda, para cada par �p, �� .

― La Función Indirecta de Utilidad es la función valor de PMU, es decir, +��p, �� = �����∗ = ��1*��p, �� 2

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Ejemplo: Para el caso de la Utilidad Cobb-Douglas, �����, ��3 = ��4 ��354, la

función indirecta de utilidad es donde los argumentos entre paréntesis en el RHS son maximizadores de la utilidad.

+��p, �� = 67�� 84 9�1 − 7 ��3 <54

O sea (compruebe que es así), +��p, �� = ln �� − 7 ln − �1 − 7 ln 3

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Propiedades de la Función de Utilidad Indirecta

La función indirecta de utilidad +��p, �� presenta unas propiedades particulares que son el contenido de la siguiente proposición:

Proposición: Bajo los supuestos C1~C3, la función indirecta de utilidad +��p, �� verifica las siguientes propiedades:

i. +��p, �� es continua; ii. +��p, �� es homogénea de grado cero en �p, �� ;

iii. +��p, �� es no creciente en p y estrictamente creciente en ��; iv. +��p, �� es cuasi-convexa en p.

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Demostración:

i. Es de cumplimiento inmediato porque +��p, �� es la combinación de *��p, �� que varía en forma continua con sus argumentos y ��: �� → ℝ que, de acuerdo con C2 es continua, estrictamente cuasi-cóncava y monótona;

ii. La Homogeneidad es inmediata y, de cualquier manera, ?@+��p, �� =+��λp, ?�� ; iii. Suponga p, p’ dos vectores de precios tales que p’≥p. Entonces B��p′, �� ⊂B��p, �� de modo que el máximo ����� sobre B��p, �� es por lo menos igual

al máximo ����� sobre B��p′, �� ∎ Suponga ahora ��F > �� y sea �� un

maximizador de ����� sobre B��p, �� . Como B��p, �� ⊂ B��p, ��F es posible

encontrar un ��F en B��p, ��F tal que �����F > ����� ⟹ +��p, ��F >+�1p, �� 2 ∎

iv. Se deja de tarea [ver Villar (1999), p. 76].

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Observación: No se puede afirmar que +��p, �� sea decreciente en los precios (p) porque es absolutamente posible que suceda que, dados p, p’ con p’>p (cuando?) *��pF, �� = *��p, ��

Cuando, por ejemplo ℓ = 2 +��p, �� exhibe el siguiente comportamiento w.r.t. p, ��:

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La Minimización del Gasto, Demanda Compensada y la

Función de Gasto

Suponga que el consumidor se fija un nivel de utilidad ��J como objetivo de la

búsqueda de un plan de consumo que haga mínima la cantidad de dinero que cuesta. La pregunta es:

“Cuánto cuesta ser tan feliz como KLM?”

Este problema, dual del PMU y PMU-w se llama Problema de Minimización del Gasto (PMG):

� minOP p����QRST �:����� ≥ ��J" #$�U&

La solución de #$�U& es un plan de consumo ��∗ única (por qué?) que depende de

los parámetros p y ��J: ��∗ = ℎ��p, ��J

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La función ��∗ = ℎ��p, ��J se denomina función de demanda compensada o

función de demanda Hicksiana y dice cómo varía el consumo del i-ésimo

individuo cuando varían los precios y al modificarse el nivel de utilidad tomado como referencia. La función ℎ��p, ��J es homogénea de grado cero en precios, i.e.,

ℎ��λp, ��J = λ@ℎ��p, ��J = ℎ��p, ��J

con lo cual, solo importan los precios relativos a la hora de definir el consumo óptimo. Si se mantiene la utilidad constante, � = ��J y se tienen en cuenta

únicamente los cambios en los precios, la función de demanda hicksiana, ℎ��p, ��J

muestra el cambio en el consumo al modificar los precios sobre la misma curva de indiferencia.

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Esto equivale (dada la condición inamovible del bienestar del individuo) a determinar cómo cambia el consumo de equilibrio dados cambios en los precios relativos que, sin embargo no afectan el ingreso real. De aquí la denominación de demanda compensada.

En otros términos, se puede pensar que la función de demanda de Hicks se obtiene cuando SE CONPENSA AL CONSUMIDOR POR EL EFECTO QUE CAUSAN CAMBIOS EN LOS PRECIOS SOBRE EL INGRESO REAL.

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Impacto de los Cambios de Precios en la Demanda Hicksiana y la Propiedad

de la No Negatividad

Sea �� = ��° un nivel de utilidad fijo, correspondiente al i-ésimo consumidor y sean

dos vectores de precios p, p′ ∈ ℝ�ℓ y las demandas compensadas asociadas: �� = ℎ�1p, ��°2 y ��F = ℎ�1p′, ��°2

Note que �� , ��F son minimizadoras del gasto (el objetivo en PMG) por lo que tiene

que observarse que: p′��F ≤ p′�� y p�� ≤ p��F p′��F + p�� ≤ p′�� + p��F p�� − p��F − p′�� + p′��F ≤ 0 �p − p′ ��� − ��F ≤ 0

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Esto implica que para un cambio de precios en el j-ésimo bien, ∆Z = Z − ZF

con los precios de los demás ℓ − 1 bienes sin cambio ∆� = 0 �[ ≠ Q , se cumple: ∆Z∆�Z ≤ 0

Que la respuesta de la demanda de una mercancía a aumentos en el precio propio nunca será positiva. La función de demanda hicksiana de una mercancía individual siempre es decreciente respecto de su propio precio. En términos relativos, la elasticidad precio propio de la demanda hicksiana es no positiva.

Esta propiedad se denomina NO POSITIVIDAD del efecto sustitución propio

(Villar, [1999], p.79)

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La Función de Gasto

La función R�: ℝ�ℓ × ℝ ⟶ ℝ� que relaciona cada par precios-utilidad se define por

todo 1p, ��°2 ∈ ℝ�ℓ × ℝ, R�1p, ��°2 = min,p�� | ����� ≥ ��J0

Es decir, R�1p, ��°2 dice el cual es el gasto mínimo para alcanzar el nivel de utilidad ��J cuando el régimen prevalente de precios es p.

Observe que R�1p, ��°2 = p��

Dado que ��∗ = ℎ��p, ��J , se sigue que R�1p, ��°2 = pℎ��p, ��J

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Propiedades de la Función de Gasto

Bajos los supuestos C1, C2, y C3, la función R�1p, ��°2 de gasto verifica:

i. Es Continua; ii. Es Homogénea de grado uno en p;

iii. Es no Decreciente en p y estrictamente creciente en ��; iv. Es cóncava en p;

Prueba:

i. R�1p, ��°2 = pℎ��p, ��J es combinación de funciones continuas (por qué?);

ii. Suponga un ��∗ como solución de [PMG] para 1p, ��°2 y suponga que R� es no

homogénea de grado 1 en p, entonces, R�1λp, ��°2 ≠ λR�1p, ��°2. Sea entonces ��F la solución de [PMG] para 1λp, ��°2, es decir, λp��F = R�1λp, ��°2. Como la

solución es única, necesariamente λp��F < λp��∗ (o al revés), lo que significa

que p��F < p��∗, de modo que ��∗ no puede ser solución para 1p, ��°2.

[Partes iii y iv en Villar (1999), p. 80].

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Concavidad de la Función de Gasto

La homogeneidad de grado 1 en los precios dice que si un precio aumenta, el gasto no debe disminuir; la concavidad de la función de gasto en el dominio de los precios dice que si bien el gasto aumenta con el aumento en los precios, lo hará a una tasa decreciente. ESTO ES CONSECUENCIA DE QUE AL AUMENTAR UN PRECIOS, EL CONSUMIDOR REACCIONARÁ AJUSTANDO SU CONSUMO DE OTRAS MERCANCIAS A LA NUEVA SITUACIÓN, SUSTITUYENDO LA MERCANCÍA RELATIVAMENTE MÁS CARA CON OTRAS MÁS BARATAS.

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Resumen: La Utilidad Indirecta y el Gasto

� ��� ����� �. �. p�� ≤ ���� ≥ 0 " #$�%& � minOP p����QRST �:����� ≥ ��J

" #$�U&

⇓ Resolver ⇓

x�∗ = *��p, �� ��∗ = ℎ��p, ��J ⇓

Sustituir ⇓

+��p, �� = �����∗ R�1p, ��°2 = p��∗

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Propoposición: Relaciones entre PMG y PMU. Bajo los supuestos C1 a C3, se verifica:

i. Si ��∗ es solución de [PMU] dados �p, �� , entonces ��∗ es solución de [PMG]

para ��°���∗ ;

ii. Si ��° es la solución de [PMG] para 1p, ��°2 entonces ��° es la solución de [PMU]

para ep, R�1p, ��°2f

Prueba: Ver Villar [1999].

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Si la anterior proposición se verifica, es posible deducir las siguientes identidades:

R�1p, +��p, �� 2 ≡ �� [1] +� ep, R�1p, ��°2f ≡ ��° [2] *��p, �� ≡ ℎ�1p, +��p, �� 2 [3] ℎ��p, �� ≡ *�1p, R��p, �� 2 [4]

[1] El minimo gasto necesario para alcanzar +��p, �� es justo el ingreso que define el máximo gasto disponible;

[2] La máxima utilidad alcanzable con R�1p, ��°2 es justo ��°. [3] y [4] Establecen que en el óptimo las demandas ordinaria (Marshall) y compensada (Hicks) son idénticas y coinciden al ser evaluadas en los valores de riqueza y utilidad pertinentes.

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Ejemplo 1: Considere la función de utilidad lineal ����, �3 = � + �3.

Bajo esta representación de las preferencias los dos bienes considerados son sustitutos perfectos. Las Utilidades Marginales son iguales a 1 por lo que el consumidor solo comprará el bien más barato de los dos;

Suponga entonces h�i�hJ = min�, 3 . Entonces, la demanda por el bien m´s barato es: �� h�i�hJ⁄ mientras que la demanda por el otro bien es igual a cero.

Si sucede que = 3 las demandas de mercancías pueden ser cualquier combinación tal que agoten el presupuesto, i.e., � + 3�3 = ��

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El consumidor siempre comprará �� h�i�hJ⁄ unidades del bien más barato por lo que su utilidad debe ser, necesariamente �� h�i�hJ⁄ . En conclusión,

+��p, �� = ��min�, 3

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Ejemplo 2: encuentre la función de gasto correspondiente a ����, �3 = � + �3. Cuánto se necesita gastar para obtener 100 unidades de utilidad si = 5 y 3 = 7?

La función de utilidad indirecta es +��p, �� = mPnop�qr,qs Para hallar la función de gasto se hace: � = mPnop�qr,qs y se resuelve para �� , es

decir: R��p, �� ≡ �� = � ∙ min�, 3

O sea, �� = 100 ∙ min�5,7 = 500

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Aplicaciones: El Lema de Shephard, la Identidad de Roy y la Ecuación de

Slutsky

Se ha llegado a los siguientes resultados: +��p, �� ≡ ��1*��p, �� 2 R��p, �� = pℎ��p, ��J Ahora se mostrará que existen distintas relaciones inversas entre estas funciones, suponiendo esencialmente diferenciabilidad:

• El Lema de Shephard permite expresar la demanda compensada como una derivada de la funcipon de gasto,

• La Identidad de Roy permite expresar la demanda marshalliana como una función de las parciales de la función indirecta de utilidad w.r.t. el Ingreso y el Precio Propio, y;

• La Ecuación de Slutsky hace posible descomponer el cambio de la demanda dados cambios en los precios en un efecto renta y un efectos sustitución.

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Proposición: Lema de Shephard. Ba los supuestos C1., C2., C3. y C4. sea ℎ�∗�p∗, ��∗ un plan de consumo que minimiza el gasto necesario para alcanzar el

nivel de utilidad ��∗ a los precios p∗. Entonces se cumple que:

ℎ���p∗, ��∗ = uR��p∗, ��∗ u�∗

Prueba: Sea ℎ��p∗, ��∗ = ��∗ un plan de consumo que resuelve [PMG] y defina una

función v: ℝℓ → ℝ tal que para todo p ∈ ℝ�ℓ asocia el valor, v�p = p��∗ − R��p, ��∗

Por construcción v�p ≥ 0 para todo p mientras que v�p = 0 es su valor mínimo observe que la función es convexa)

Las Condiciones Relevantes para Mínimo son: uv�p∗ u�∗ = 0 ∀x = 1, ⋯ , ℓ

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Esto es, tomando v�p = p��∗ − R��p, ��∗ tendremos,

u#p��∗ − R��p, ��∗ &u�∗ = ���∗ − uR��p∗, ��∗ u�∗

∴ ���∗ = uR��p∗, ��∗ u�∗ ∎

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Proposición: Identidad de Roy. Bajo C1~C4 sea x�∗ = *��p∗, ��∗ la función de

demanda de Marshall (u Ordinaria), entonces:

���∗ = − u+��p∗, ��∗ u�∗⁄u+�1p∗, ��∗2 u⁄ ��∗ ∀x = 1, ⋯ , ℓ

Prueba: Sea x�∗ un plan de consumo que maximiza la utilidad para el par �p∗, ��∗ ,

o sea: ��∗ = ���x�∗ = +��p∗, ��∗

Gracias a que: +� ep, R�1p, ��°2f ≡ ��° [2]

Podemos escribir: ��∗ ≡ +�#p, R��p, ��∗ &

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Esta expresión dice que, para cualquier régimen de precios, si el consumidor recibe la mínima cantidad de dinero para alcanzar la utilidad ��∗, entonces ésa será

precisamente la utilidad máxima que alcanzará con ese dinero. Diferenciando esta identidad se tiene: *+�*� = 0 = u+�u� + u+�uR� ∙ uR�u� ∀x = 1, ⋯ , ℓ

Como esto debe verificarse para cualquier régimen de precios, al evaluar esta derivada en el óptimo, p∗, ��∗ = R��p∗, ��∗ ,

u+��p∗, ��∗ u�∗ + u+��p∗, ��∗ u��∗ ∙ uR��p∗, ��∗ u�∗ = 0 ∀x = 1, ⋯ , ℓ

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Del Lema de Shephard,

uR��p∗, ��∗ u�∗ = ℎ���p∗, ��∗ = *��p∗, ��∗ = ���∗ ∀x = 1, ⋯ , ℓ

Entonces, u+��p∗, ��∗ u�∗ + u+��p∗, ��∗ u��∗ ∙ ���∗ = 0 ∀x = 1, ⋯ , ℓ

u+��p∗, ��∗ u��∗ ∙ ���∗ = − u+��p∗, ��∗ u�∗ ∀x = 1, ⋯ , ℓ

∴ ���∗ = − u+��p∗, ��∗ u�∗u+�1p∗, ��∗2u��∗ ∀x = 1, ⋯ , ℓ

∎

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Ejemplo: La Utilidad CES.

Suponga ���, �3 = 1�z + �3z2r{. Si es cierto que las transformaciones monótonas

representan el mismo sistema de preferencias, sea entonces ���, �3 = �z + �3z.

El Problema de Mimimización del Gasto [PMG] adopta la siguiente forma:

min � + 3�3sujeta a �z + �3z = �

Las CPO son: � − ?��z5 = 03 − ?��3z5 = 0�z + �3z = ��

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De las dos primeras ecuaciones se tiene (elevando todo a la �, luego de despejar las cantidades de mercancías):

�z = �?� 5 zz5� {{�r�3z = �?� 5 zz5�3 zz5

Poniendo esto en la función de utilidad,

��?� 5 zz5� {{�r� + ��?� 5 zz5�3 zz5� = �

Es decir,

�?� 5 zz5 �� {{�r + �3 zz5� = �

Un álgebra sencilla debería dar las siguientes demandas (compensadas):

34 ������∗ =

z5 �zz5 +

zz5�5z ∙ ��3∗ = 3

z5 �zz5 +

zz5�5z ∙ ��

Introduciendo este resultado en la definición de la función objetivo: ��p∗, �� = �∗�p∗, �� + 3�3∗�p∗, ��

Tendremos:

��p∗, �� = �z5 �

zz5 + zz5�5z ∙ �� + 3 �3

z5 �zz5 +

zz5�5z ∙ ��

Un poco adicional de álgebra da la función de gasto:

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��p∗, �� ≡ R��p∗, � = �� + 3� r� ∙ �

donde � = � �� − 1 ⁄ .

La función indirecta de utilidad, se halla invirtiendo la ecuación anterior: dado R��p∗, � ≡ �� ,

R��p∗, � ≡ �� = �� + 3� � ∙ �

+�1p, R��p∗, � 2 = �� + 3� 5� ∙ ��

Aplicando la Identidad de Roy, se obtienen (de nuevo) las demandas. Por ejemplo,

��p, �� = − u+�1p, R��p∗, � 2uu+�1p, R��p∗, � 2u��= −1� 6�� + 3� 5� 58 ��5���� + 3� 5� = �5��� + 3�

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Tomando de nuevo la función de gasto, y por la vía del Lema de Shephard, tenemos: uR��p∗, � u = 1� �� + 3� �5���

Que es idéntica a la demanda por el bien 1 encontrada inicialmente∎

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Las relaciones entre [PMU] y [PMG] acaban de completarse en el siguiente cuadro:

Demanda Marshalliana x�∗ = *��p, ��

Demanda Hicksiana x�∗ = ℎ��p, ��

Identidad de Roy

Lema de Shephard

Función de Utilidad

Indirecta +��p, �� = ���x�∗

Invertir

Función de Gasto R��p, �� = px�∗

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Proposición: La Ecuación de Slutsky. Bajo C1~C4 sea ��Z∗ la demanda ordinaria

por el j-ésimo bien, dado el régimen de precios p y el nivel de ingreso �� . Sea además ��∗ = +��p, �� . Entonces, u��Z∗u� = uℎ�Z�p, ��∗ u� − u��Z∗u�� ���∗

Sea �� = �������#$�%& para el par �p, �� . Se sabe que, ℎ�Z�p, ��∗ ≡ *�Z#p, R��p, ��∗ & [4]

Diferenciando respecto de �: uℎ�Z�p, ��∗ u� = u*�Zu� + u*�ZuR� ∙ uR�u�

Reordenando y dado que por el Lema de Shephard ��P�q� = ���∗ , tendremos:

u��Z∗u� = uℎ�Z�p, ��∗ u� − u��Z∗u�� ���∗ ∎

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La Ecuación de Slutsky descompone el impacto que sobre la demanda tiene el cambio en el precio del k-ésimo bien en dos efectos distintos:

• Efecto Ingreso, y

• Efecto Sustitución.

En efecto, tomando cambios discretos:

∆OP�∆q� ≈ �OP��q� ∴ ∆��Z ≈ �OP��q� ∆� = ��P�1�,�P∗2�q� ∆� − �OP�∗�mP ���∗ ∆�

Donde:

�OP��q� ∆� es el cambio en la demanda del bien j cuando cambia el precio k-ésimo;

��P�1�,�P∗2�q� ∆� es el efecto sustitución, y

�OP�∗�mP ���∗ ∆� es el efecto renta o ingreso.

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