resolver las inecuaciones de primer grado

Resolver las inecuaciones de primer grado

1

2

3

4

5

6Halla los valores de k para los que las raíces de la ecuación x2 − 6x + k = 0 sean las dos reales y distintas.

Solución: ejercicio numero 1

(1, ∞)

Solución ejercicio numero 2

Solución ejercicio numero 3

Solución ejercicio numero 4

Solución ejercicio numero 5

[3, +∞)

Solución ejercicio numero 6

Halla los valores de k para los que las raíces de la ecuación x2 − 6x + k = 0 sean las dos reales y distintas.

(−6)2 − 4k > 0

36 − 4k > 0          − 4k > − 36        k < 9

(−∞, 9)

Solución ejercicio numero 6

7

2x + y ≤ 3

2x + y = 3

x = 0;     2 · 0 + y = 3;   y = 3;          (0, 3)

x = 1;     2 · 1 + y = 3;   y = 1;          (1, 1)

2 · 0 + 0 ≤ 3       0 ≤ 3      Sí

2x + y > 3

2 · 0 + 0 > 3       0 > 3      No

En este caso los puntos de la recta no pertenecen a la solución.

Inecuaciones de primer grado

Inecuaciones de primer grado con una incógnita

1º Quitar corchetes y paréntesis.

2º Quitar denominadores.

3º Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro.

4º Efectuar las operaciones

5º Si el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad.

6º Despejamos la incógnita.

7º Expresar la solución de forma gráfica y con un intervalo.

[3, +∞)

Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas

La solución es uno de los semiplanos que resulta de representar la ecuación resultante, que se obtiene al transformar la desigualdad en una igualdad.

2x + y ≤ 3

1º Transformamos la desigualdad en igualdad.

2x + y = 3

2º Damos a una de las dos variables dos valores, con lo que obtenemos dos puntos.

x = 0;     2 · 0 + y = 3;   y = 3;          (0, 3)

x = 1;     2 · 1 + y = 3;   y = 1;          (1, 1)

3º Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta.

4º Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0), los sustituimos en la desigualdad. Si se cumple, la solución es el semiplano donde se encuentra el punto, si no la solución será el otro semiplano.

2x + y ≤ 3

2 · 0 + 0 ≤ 3       0 ≤ 3      Sí

2x + y > 3

2 · 0 + 0 > 3       0 > 3      No

En este caso los puntos de la recta no pertenecen a la solución.

Ecuaciones racionalesLa ecuaciones racionales son ecuaciones en las que aparecen fracciones polinómicas.

Resolución de ecuaciones racionales

Para resolver ecuaciones racionales se multiplican ambos miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Debemos comprobar las soluciones, para rechazar posibles soluciones extrañas provenientes de la ecuación transformada (la resultante de multiplicar por el mínimo común múltiplo), pero que no lo son de la ecuación original.

Comprobamos la solución:

La ecuación no tiene solución porque para x = 1 se anulan los denominadores.

La solución es:

Para factorizar un polinomio y calcular sus raíces vamos a seguir los siguientes pasos, cuando sean posibles:

1ºFactor común de un polinomioExtraer factor común a un polinomio consiste en aplicar la propiedad distributiva.

a · x + b · x + c · x = x (a + b + c)

Una raíz del polinomio será siempre x = 0

Descomponer en factores sacando factor común y hallar las raíces de:

1 x3 + x2 = x2 (x + 1)

La raíces son: x = 0 y x = − 1

2 2x4 + 4x2 = 2x2 (x2 + 2)

Sólo tiene una raíz X = 0; ya que el polinomio, x2 + 2, no tiene ningún valor que lo anule; debido a que al estar la x al cuadrado siempre dará un número positivo, por tanto es irreducible.

3 x2 − ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a) = (x − a) · (x − b)

La raíces son x= a y x = b.

2ºIgualdad notable

1Diferencia de cuadradosUna diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia.

a2 − b2 = (a + b) · (a − b)

Descomponer en factores y hallar las raíces

1 x2 − 4 = (X + 2) · (X − 2)

Las raíces son X = − 2 y X = 2

2 x4 − 16 = (x2 + 4) · (x2 − 4) = (X + 2) · (X − 2) · (x2 + 4)

Las raíces son X = − 2 y X = 2

2Trinomio cuadrado perfecto Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado.

a2 ± 2 a b + b2 = (a ± b)2

Descomponer en factores los trinomio cuadrados perfectos y hallar sus raíces

La raíz es x = − 3.

La raíz es x = 2.

3ºTrinomio de segundo grado

Para descomponer en factores el trinomio de segundo grado P(x) = a x2 + bx +c , se iguala a cero y se resuelve la ecuación de 2º grado. Si las soluciones a la ecuación son x1 y x2, el polinomio descompuesto será:

a x2 + bx +c = a · (x -x1 ) · (x -x2 )

Descomponer en factores los trinomios de segundo grado y hallar sus raíces

Las raíces son x = 3 y x = 2.

Las raíces son x = 3 y x = − 2.

Descomponer en factores los trinomios de cuarto grado de exponentes pares y hallar sus raíces

x4 − 10x2 + 9

x2 = t

x4 − 10x2 + 9 = 0

t2 − 10t + 9 = 0

x4 − 10x2 + 9 = (x + 1) · (x − 1) · (x + 3) · (x − 3)

x4 − 2x2 − 3

x2 = t

t2 − 2t − 3 = 0

x4 − 2x2 + 3 = (x2 + 1) · (x + ) · (x − )

4º Factorización de un polinomio de grado superior a dosUtilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini.

Descomposición de un polinomio de grado superior a dos y cálculo de sus raíces

P(x) = 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6

1Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3.

2Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.

P(1) = 2 · 14 + 13 − 8 · 12 − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0

3Dividimos por Ruffini.

4Por ser la división exacta, D = d · c

(x −1) · (2x3 + 3x2 − 5x − 6 )

Una raíz es x = 1.

Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.

Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado.

P(1) = 2 · 13 + 3 · 12 − 5 · 1 − 6≠ 0

P(−1) = 2 · (− 1)3 + 3 ·(− 1)2 − 5 · (− 1) − 6= −2 + 3 + 5 − 6 = 0

(x −1) · (x +1) · (2x2 +x −6)

Otra raíz es x = -1.

El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de 2º grado o tal como venimos haciéndolo, aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrar raíces enteras.

El 1 lo descartamos y seguimos probando por − 1.

P(−1) = 2 · (−1)2 + (−1) − 6 ≠ 0

P(2) = 2 · 22 + 2 − 6 ≠ 0

P(−2) = 2 · (−2)2 + (−2) − 6 = 2 · 4 − 2 − 6 = 0

(x −1) · (x +1) · (x +2) · (2x −3 )

Sacamos factor común 2 en último binomio.

2x −3 = 2 (x − 3/2)

La factorización del polinomio queda:

P(x) = 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6 = 2 (x −1) · (x +1) · (x +2) · (x − 3/2)

Las raíces son : x = 1, x = − 1, x = −2 y x = 3/2

Ejercicios resueltos de factorización de polinomios

Factorizar los polinomios19x4 − 4x2 =

x2 · (9x2 − 4) =

x2 · (3x + 2) · (3x − 2)

2x5 + 20x3 + 100x =

x · (x4 + 20x2 + 100) =

x · (x2 + 10)2

33x5 − 18x3 + 27x =

3x · (x4 −6 x2 + 9) =

= 3x · (x2 − 3)2

42x3 − 50x =

=2x · (x2 − 25 ) =

2x · (x + 5) · (x - 5)

52x5 − 32x =

= 2x · (x4 − 16 ) =

2x · (x2 + 4) · (x2 − 4) =

= 2x · (x2 + 4) ·(x +2) · (x − 2)

62x2 + x − 28

2x2 + x − 28 = 0

2x2 + x − 28 = 2 (x + 4) · (x − 7/2)

Descomponer en factores los polinomios

1

2xy − 2x − 3y +6 =

= x · (y − 2) − 3 · (y − 2) =

= (x − 3) · (y − 2)

325x2 − 1=

= (5x +1) ·(5x − 1)

436x6 − 49 =

= (6x3 + 7) · (6x3 − 7)

5x2 − 2x +1 =

= (x − 1)2

6x2 − 6x +9 =

= (x − 3)2

7x2 − 20x +100 =

= (x − 10)2

8x2 + 10x +25 =

= (x + 5)2

9x2 + 14x +49 =

= (x + 7)2

10x3 − 4x2 + 4x =

= x · (x2 − 4x +4) =

= x · (x − 2)2

113x7 − 27x =

= 3x · (x6 − 9 ) =

= 3x · (x3 + 3) · (x3 − 3)

12x2 − 11x + 30

x2 − 11x + 30 = 0

x2 − 11x + 30 = (x −6) · (x −5)

133x2 + 10x +3

3x2 + 10x +3 = 0

3x2 + 10x +3 = 3 (x − 3) · (x − 1/3)

142x2 − x −1

2x2 − x −1 = 0

2x2 − x −1 = 2 (x − 1) · (x + 1/2)

Factorizar y hallar las raíces de los polinomios1 2x3 − 7x2 + 8x − 3

P(1) = 2 · 13 − 7 · 12 + 8 · 1 − 3 = 0

(x −1 ) · (2x2 − 5x + 3 )

P(1) = 2 · 1 2 −5 · 1 + 3 = 0

(x −1 )2 · (2x −3 ) = 2 (x − 3/2 ) · (x −1 )2

Las raíces son: x = 3/2 y x = 1

2x3 − x2 − 4

{±1, ±2, ±4 }

P(1) = 1 3 − 1 2 − 4 ≠ 0

P(−1) = (−1) 3 − (−1) 2 − 4 ≠ 0

P(2) = 2 3 − 2 2 − 4 = 8 − 4 − 4 = 0

(x − 2) · (x2+ x + 2 )

x2+ x + 2 = 0

(x − 2) · (x2+ x + 2 )

Raíz: x = 2.

3x3 + 3x2 −4 x − 12

{±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 }

P(1) = 13 + 3 · 12 − 4 · 1 − 12 ≠ 0

P(−1) = (−1)3 + 3 · (−1)2 − 4 · (−1) − 12 ≠ 0

P(2) = 23 + 3 · 22 − 4 · 2 − 12 = 8 + 12 − 8 − 12 = 0

(x − 2) · (x2 + 5x +6)

x2 + 5x +6 = 0

(x − 2) ·(x + 2) ·(x +3)

Las raíces son : x = 2, x = − 2, x = − 3.

46x3 + 7x2 − 9x + 2

{±1, ±2}

P(1) = 6 · 13 + 7 · 12 − 9 · 1 + 2 ≠ 0

P(−1) = 6 · (−1)3 + 7 · (−1)2 − 9 · (−1) + 2 ≠ 0

P(2) = 6 · 2 3 + 7 · 2 2 − 9 · 2 + 2 ≠ 0

P(−2) = 6 · (−2)3 + 7 · (−2)2 − 9 · (−2) + 2 = − 48 + 28 + 18 + 2 = 0

(x+2) · (6x2 −5x +1)

6x2 −5x +1 = 0

6 · (x + 2) · (x − 1/2) · (x − 1/3)

Raíces: x = − 2, x = 1/2 y x= 1/3

Clasificación de ángulos según su medida

Agudo < 90° Recto = 90° Obtuso>90°

Convexo < 180° Llano = 180° Cóncavo > 180°

Nulo = 0º Completo = 360°

Negativo < 0º Mayor de 360°

Clasificación de ángulos según su posición

Ángulos consecutivos

Ángulos consecutivos son aquellos que tienen el vértice y un lado común.

Ángulos adyacentes

Ángulos adyacentes son aquellos que tienen el vértice y un lado común, y los otros lados situados uno en polongación del otro.

Forman un ángulo llano.

Ángulos opuestos por el vértice

Son los que teniendo el vértice común, los lados de uno son prolongación de los lados del otro.

Los ángulos 1 y 3 son iguales.

Los ángulos 2 y 4 son iguales.

Clasificación de ángulos según su suma

Ángulos complementarios

Dos ángulos son complementarios si suman 90°.

Ángulos suplementarios

Dos ángulos son suplementarios si suman 180°.

Ángulos resultantes del corte entre dos rectas paralelas y perpendiculares entre sí

Ángulos correspondientes

Los ángulos 1 y 2 son iguales.

Ángulos alternos internos

Los ángulos 2 y 3 son iguales.

Ángulos alternos externos

Los ángulos 1 y 4 son