resolucion examen parcial de funciones
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FUNCIONES ANALITICAS
EXAMEN PARCIAL
PROBLEMA 1: Resuelva los siguientes ejercicios:
1) Sea ๐ ๐ฅ, ๐ฆ = ๐ฅ2 + ๐ฆ2.Demuestre que f no puede ser parte real o imaginaria de una
funciรณn analรญtica.
Soluciรณn:
Sabemos que para que una funciรณn sea analรญtica, debe cumplir dos cosas:
- Debe aceptar las ecuaciones de Cauchy-Riemann
- Debe ser diferenciable
- Debe cumplir las ecuaciones de Laplace.
Sea G(x,y)=U(x,y)+V(x,y)
Donde F(x,y)=U(x,y) que es la parte real de la funciรณn.
โu
โx=
โv
โyโ 2๐ฅ =
โv
โy
โu
โy= โ
โv
โxโ 2๐ฆ = โ
โv
โx
Ahora aplicamos el teorema de Laplace:
โ2u
โx+โ2u
โy= 0
โ2u
โx= 2
โ2u
โy= 2
โ2u
โy+โ2u
โx= 4 โ 0
Por lo tanto, la funciรณn โfโ no puede ser la parte real de una funciรณn analรญtica.
PROBLEMA 2: Sea la funciรณn ๐ ๐ง =๐ง+2
3๐ง2โ1 , halle la derivada de f(z) cuando ๐ง โ โ
Soluciรณn:
๐ยด(๐ง) =(1)(3๐ง2 โ 1) โ (๐ง + 2)(6๐ง)
(3๐ง2 โ 1)2
๐ยด(๐ง) =(3๐ง2 โ 1 โ 6๐ง2 โ 12๐ง)
9๐ง4 โ 6๐ง2 + 1
๐ยด(๐ง) =โ3๐ง2 โ 12๐ง โ 1
9๐ง4 โ 6๐ง2 + 1
๐ยด(๐ง) =โ(3๐ง2 + 12๐ง + 1)
9๐ง4 โ 6๐ง2 + 1
lim๐งโโ
๐ยด ๐ง = limโ(3๐ง2 + 12๐ง + 1)
9๐ง4 โ 6๐ง2 + 1๐งโโ
limโ(
3๐ง2
๐ง4 +12๐ง๐ง4 +
1๐ง4)
9๐ง4
๐ง4 โ6๐ง2
๐ง4 +1๐ง4
๐งโโ
limโ(
3
๐ง2+12
๐ง3+1
๐ง4)
9โ6
๐ง2+1
๐ง4
๐งโโ
=0
9= 0
0 0
PROBLEMA 3: Enuncie y demuestre:
a) El teorema de Cauchy de la integral en un contorno de una regiรณn conexa e indique dos
ejemplos.
Soluciรณn:
Sea ๐(๐ง) una funciรณn analรญtica en A, A simplemente conexa y suave a trazos, entonces:
๐(๐ง)๐พ
๐๐ง = 0
Se conoce que:
๐(๐ง)๐พ
๐๐ง = (๐ข ๐๐ฅ โ ๐ฃ ๐๐ฆ)๐พ
+ ๐ ๐ข ๐๐ฆ + ๐ฃ ๐๐ฅ๐พ
, donde
๐ ๐ง = ๐ข ๐ฅ,๐ฆ + ๐ ๐ฃ ๐ฅ,๐ฆ
Como ๐(๐ง) es continua en A, entonces existe ๐โฒ(๐ง), tal que z pertenece a A y ๐ โฒ ๐ง es
continua en A, es decir que existen y son continuas en A, entonces podemos aplicar el
teorema de Green a las integrales (๐ข ๐๐ฅ โ ๐ฃ ๐๐ฆ)๐พ
+ ๐ ๐ข ๐๐ฆ + ๐ฃ ๐๐ฅ๐พ
, es decir:
๐ข ๐๐ฅ โ ๐ฃ ๐๐ฆ๐พ
= (๐ฟ
๐ฟ๐ฅ(โ๐ฃ)
๐ด
โ๐ฟ๐ข
๐ฟ๐ฆ)๐๐ฅ๐๐ฆ = โ (
๐ฟ๐ฃ
๐ฟ๐ฅ๐ด
+๐ฟ๐ข
๐ฟ๐ฆ)๐๐ฅ๐๐ฆโฆโฆโฆโฆโฆ (1)
๐ ๐ข ๐๐ฅ โ ๐ฃ ๐๐ฆ = ๐ (๐ฟ๐ข
๐ฟ๐ฅ๐ด
+๐ฟ๐ฃ
๐ฟ๐ฆ)๐๐ฅ๐๐ฆโฆโฆโฆโฆโฆ (2)
Sumando (1) y (2) se obtiene:
๐(๐ง)๐พ
๐๐ง = (๐ข ๐๐ฅ โ ๐ฃ ๐๐ฆ)๐พ
+ ๐ ๐ข ๐๐ฆ + ๐ฃ ๐๐ฅ๐พ
= โ (๐ฟ๐ฃ
๐ฟ๐ฅ๐ด
+๐ฟ๐ข
๐ฟ๐ฆ)๐๐ฅ๐๐ฆ + ๐ (
๐ฟ๐ข
๐ฟ๐ฅ๐ด
+๐ฟ๐ฃ
๐ฟ๐ฆ)๐๐ฅ๐๐ฆโฆโฆโฆโฆ (3)
Como ๐(๐ง) es analรญtica en A, entonces se cumple las ecuaciones de Cauchy Riemann.
๐ฟ๐ข
๐ฟ๐ฅ=
๐ฟ๐ฃ
๐ฟ๐ฆ ๐ฆ
๐ฟ๐ข
๐ฟ๐ฆ= โ
๐ฟ๐ฃ
๐ฟ๐ฅโฆโฆโฆโฆ (4)
Reemplazando (4) en (3) se obtiene:
๐(๐ง)๐พ
๐๐ง = 0 + 0๐ = 0
Ejemplo 1:
Hallar:
๐ ๐๐2๐ง
๐๐งโ1 โ 1๐ถ
๐๐ง
Siendo C la curva de la figura.
Primero:
๐(๐ง) =๐ ๐๐2๐ง
๐๐งโ1 โ 1๐๐ง
Luego:
๐ ๐๐(๐ง) โ Es una funciรณn derivable.
๐ ๐๐2(๐ง) โ Entonces al elevar al cuadrado tambiรฉn es una funciรณn derivable.
๐ง โ 1 โ Es una funciรณn derivable.
๐๐งโ1 โ Tambiรฉn es una funciรณn derivable.
๐๐งโ1 โ 1 โ Tambiรฉn es derivable.
Entonces una funciรณn derivable entre otra derivable. ๐ ๐๐ 2๐ง
๐๐งโ1โ1 Tambiรฉn es derivable.
Igualamos el denominador a 0:
๐๐งโ1 โ 1 = 0
๐๐งโ1 = 1
๐๐งโ1 = ๐0
๐ง โ 1 = 0
๐ง = 1
Entonces en ๐: ยข โ 1 โ ยข ๐๐ ๐๐๐๐๐ฃ๐๐๐๐
En el grafico
Para aplicar el teorema de Cauchy es necesario:
Un abierto simplemente conexo que contiene la curva y su derivada sea continua y que la
curva sea cerrada
โซS es el abierto simplemente conexo, la curva es cerrada.
๐: ๐ โ ยข ๐๐ ๐๐๐๐๐ฃ๐๐๐๐
Entonces por el teorema de Cauchy el resultado es 0.
Ejemplo 2
Hallar:
๐ ๐๐2(๐ง2 + 9
๐ง โ 3๐)
๐ถ
๐๐ง
Siendo C la elipse de centro 0 y semiejes 1 y 2.
Primero:
๐(๐ง) = ๐ ๐๐2(๐ง2 + 9
๐ง โ 3๐)
Luego:
๐ง โ Es una funciรณn derivable
๐ง2 โ Entonces al elevar al cuadrado tambiรฉn es una funciรณn derivable
๐ง2 + 1 โ Entonces al elevar al cuadrado tambiรฉn es una funciรณn derivable
๐ง โ Es una funciรณn derivable
๐ง โ 3๐ โ Tambiรฉn es una funciรณn derivable
Entonces una funciรณn derivable entre otra derivable ๐ง2+9
๐งโ3๐ โ Es derivable
๐ ๐๐ (๐ง2+9
๐งโ3๐) โ El seno tambiรฉn es derivable
๐ ๐๐2(๐ง2+9
๐งโ3๐) โ Al elevar al cuadrado tambiรฉn es derivable
Igualamos el denominador a 0
๐ง โ 3๐ = 0
๐ง = 3๐
Entonces en ๐: ยข โ 3๐ โ ยข ๐๐ ๐๐๐๐๐ฃ๐๐๐๐
En el grafico
Para aplicar el teorema de Cauchy es necesario:
Un abierto simplemente conexo que contiene la curva y su derivada sea continua y que la
curva sea cerrada.
S es el abierto simplemente conexo, la curva es cerrada.
๐: ๐ โ ยข ๐๐ ๐๐๐๐๐ฃ๐๐๐๐
Entonces por el teorema de Cauchy el resultado es 0.
b) El teorema de la formula de la integral de Cauchy e indique 2 ejemplos concretos de
aplicaciรณn de este teorema.
Soluciรณn:
La funciรณn ๐น ๐ง
๐งโ๐ง๐, es analรญtica dentro y sobre la curva ๐พ, excepto en el punto ๐ง = ๐ง๐
Del teorema de Cauchy se tiene
๐น ๐ง ๐๐ง
๐ง โ ๐ง๐๐พ
= ๐น ๐ง ๐๐ง
๐ง โ ๐ง๐๐
โฆโฆโฆโฆโฆโฆ (1)
Como ๐ se puede elegir como un cรญrculo de radio ํ con centro ๐ง๐ ; luego una ecuaciรณn para ๐ es:
๐ = ๐ง โ ๐ง๐ = ํ ๐ ๐ง โ ๐ง๐ = ํ ๐๐๐๐๐
Donde:
0 โค ๐ โค 2๐
Entonces:
๐๐ง = ํ๐ ๐๐๐๐๐
๐น ๐ง ๐๐ง
๐ง โ ๐ง๐๐พ
= ๐น(๐ง๐ + ํ ๐๐๐ )ํ๐ ๐๐๐๐๐
ํ ๐๐๐
2๐
0
= ๐น(๐ง๐ + ํ ๐๐๐ )๐๐
2๐
0
โฆโฆโฆโฆโฆ (2)
Ahora reemplazamos (2) en (1) y se obtiene lo siguiente:
๐น ๐ง ๐๐ง
๐ง โ ๐ง๐๐พ
= ๐น(๐ง๐ + ํ ๐๐๐ )๐๐
2๐
0
Tomando lรญmites a ambos cuando ๐ โ 0
lim๐โ0
๐น ๐ง ๐๐ง
๐ง โ ๐ง๐๐พ
= lim๐โ0
๐น(๐ง๐ + ํ ๐๐๐ )๐๐
2๐
0
๐น ๐ง ๐๐ง
๐ง โ ๐ง๐๐พ
= ๐ ๐น(๐ง๐)๐๐ง
2๐
0
= 2๐๐
Donde:
๐น ๐ง๐ =1
2๐๐
๐น ๐ง ๐๐ง
๐ง โ ๐ง๐๐พ
Ejemplo 1
Calcular la integral:
๐๐ง2
๐๐ง
๐ง โ ๐๐พ
Donde ๐พ = {๐ง โ๐ถ
๐ง = 4}
๐น ๐ง = ๐๐ง2 ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐ ๐๐ ๐ถ
๐น ๐ง๐ = ๐น ๐ = ๐๐2
Entonces Reemplazando:
๐๐ง2
๐๐ง
๐ง โ ๐๐พ
= 2๐๐๐น ๐ = 2๐๐๐2๐
Ejemplo 2
Calcular:
๐๐ง
๐ง2 + 8๐ง๐พ
Donde ๐พ: ๐ง = 1
A la integral:
๐๐ง
๐ง2 + 8๐ง๐พ
Se puede expresar:
๐๐ง๐ง + 8๐ง๐พ
Entonces:
๐ ๐ง =1
๐ง + 8
Es analรญtica en el interior del cรญrculo:
๐พ: ๐ง = 1 ๐ฆ ๐ง๐ = 0
Luego la formula integral de Cauchy:
๐๐ง๐ง + 8๐ง โ 0๐พ
= 2๐๐๐น 0 = 2๐๐ 1
0 + 8 =
๐๐
4
PROBLEMA 4:
1) Pruebe que en coordenadas polares, las ecuaciones de Cauchy-Riemann se escriben
como โu
โฮธ= โ๐
โv
โr y
โv
โฮธ= ๐
โu
โr
Soluciรณn:
Calcularemos las derivadas parciales de u y v con respecto a x e y usando la regla de la
cadena:
โu
โx=
โu
โr.โr
โx+โu
โฮธ.โฮธ
โxโฆ (1)
โu
โy=
โu
โr.โr
โy+โu
โฮธ.โฮธ
โyโฆ (2)
โv
โx=
โv
โr.โr
โx+
โv
โฮธ.โฮธ
โxโฆ (3)
โu
โy=
โu
โr.โr
โy+โu
โฮธ.โฮธ
โyโฆ (4)
Sabemos
๐ = ๐ฅ2 + ๐ฆ2 โ
โr
โx=
๐ฅ
๐ฅ2 + ๐ฆ2=
๐ฅ
๐=
๐๐๐๐ ๐
๐= ๐๐๐ ๐
โr
โy=
๐ฆ
๐ฅ2 + ๐ฆ2=
๐ฆ
๐=
๐๐ ๐๐๐
๐= ๐ ๐๐๐
๐ = ๐๐๐๐ก๐๐ฆ
๐ฅโ
โฮธ
โx=
โ๐ฆ
๐ฅ2 + ๐ฆ2= โ
๐ฆ
๐2=
โ๐๐ ๐๐๐
๐2=
โ๐ ๐๐๐
๐
โฮธ
โy=
๐ฅ
๐ฅ2 + ๐ฆ2=
๐ฅ
๐2=
๐๐๐๐ ๐
๐2=
๐๐๐ ๐
๐
Reemplazando en (1), (2), (3), (4):
โu
โx= ๐๐๐ ๐
โu
โrโ ๐ ๐๐๐
โu
โฮธ.1
r
โu
โy= ๐ ๐๐๐
โu
โr+ ๐ ๐๐๐
โu
โฮธ.1
r
โv
โx= ๐๐๐ ๐
โv
โrโ ๐ ๐๐๐
โv
โฮธ.1
r
โv
โy= ๐ ๐๐๐
โv
โr+ ๐๐๐ ๐
โv
โฮธ.1
r
Aplicamos las ecuaciones de Cauchy-Riemann:
โu
โrโ
1
r.โv
โฮธ ๐๐๐ ๐ โ
1
r.โu
โฮธ+โv
โr ๐ ๐๐๐ = 0โฆ (5)
1
r.โu
โฮธ+โv
โr ๐๐๐ ๐ โ
โu
โrโ
1
r.โv
โฮธ ๐ ๐๐๐ = 0โฆ (6)
Multiplicando las ecuaciones anteriores por cosฦ y senฦ y luego sumando:
โu
โrโ
1
r.โv
โฮธ (๐๐๐ ๐2 + ๐ ๐๐๐2) = 0
โu
โrโ
1
r.โv
โฮธ = 0
โu
โr=
1
r.โv
โฮธ
Ahora, multiplicamos las ecuaciones (5) y (6) por โsenฦ y cosฦ respectivamente y las
sumamos:
1
r.โu
โฮธ+โv
โr (๐๐๐ ๐2 + ๐ ๐๐๐2) = 0
โu
โrโ
1
r.โv
โฮธ = 0
โv
โr= โ
1
r.โu
โฮธ
2) Pruebe que en notaciรณn compleja las ecuaciones de Cauchy-Riemann se escriben como โf
โz = ๐
Soluciรณn:
De las ecuaciones de Cauchy-Riemann se tiene: ๐๐ข
๐๐ฅ=
๐๐ฃ
๐๐ฆ ๐ฆ
๐๐ข
๐๐ฆ= โ
๐๐ฃ
๐๐ฅ , que serรญa igual a:
๐๐ข
๐๐ฅโ
๐๐ฃ
๐๐ฆ= 0 ๐ฆ
๐๐ข
๐๐ฆ+
๐๐ฃ
๐๐ฅ = 0, esta รบltima ecuaciรณn multiplicado por el nรบmero
imaginario ๐ se tiene:
๐๐๐ข
๐๐ฆ+ ๐
๐๐ฃ
๐๐ฅ= 0
Sumando:
๐๐ข
๐๐ฅโ
๐๐ฃ
๐๐ฆ= 0
๐๐๐ข
๐๐ฆ+ ๐
๐๐ฃ
๐๐ฅ= 0
Se obtiene:
๐๐ข
๐๐ฅ+ ๐
๐๐ฃ
๐๐ฅ + ( โ
๐๐ฃ
๐๐ฆ+ ๐
๐๐ข
๐๐ฆ) = 0
๐ ๐ข + ๐๐ฃ
๐๐ฅ+ ๐
๐๐ข
๐๐ฆ+ ๐
๐๐ฃ
๐๐ฆ = 0
๐ ๐ข + ๐๐ฃ
๐๐ฅ+ ๐
๐ ๐ข + ๐๐ฃ
๐๐ฆ= 0
๐
๐๐ฅ+ ๐
๐
๐๐ฆ ๐ข + ๐๐ฃ = 0
De la igualdad ๐
๐๐ฅ+ ๐
๐
๐๐ฆ
1
2=
๐
๐๐ง :
2๐ ๐ข + ๐๐ฃ
๐๐ง = 0
๐ ๐ ๐ง
๐๐ง = 0
PROBLEMA 5:
a) Resolver la ecuaciรณn senz=2
Soluciรณn:
Empezamos utilizando la definiciรณn de la funciรณn seno:
2 = ๐ ๐๐๐ง = 1
2๐(๐๐๐ง โ ๐โ๐๐ง) =
๐2๐๐ง โ 1
2๐๐๐ง ๐
De aquรญ obtenemos: ๐2๐๐ง โ 1 = 4๐๐๐ง ๐. Esta es una ecuaciรณn de segundo grado en ๐๐๐ง
y sus soluciones son
๐๐๐ง = 1
2(4๐ ยฑ โ16 + 4) = ๐(2 ยฑ 3)
Entonces, las soluciones de la ecuaciรณn propuesta verifican:
๐ง = 1
๐๐๐๐๐(2 ยฑ 3) = โ๐๐๐๐๐(2 ยฑ 3) = โ๐(๐๐๐๐ + ๐๐๐(2 ยฑ 3))
= โ๐(๐(๐
2 + 2๐๐) + ๐๐๐(2 ยฑ 3))
=๐
2+ 2๐๐ โ ๐๐๐๐(2 ยฑ 3)
Es decir, para cada n โ Z tenemos dos soluciones:
๐ง1๐ = ๐
2+ 2๐๐ โ ๐๐๐๐ 2 + 3
๐ง2๐ = ๐
2+ 2๐๐ โ ๐๐๐๐ 2 โ 3
b) Evaluar ๐ง2
2โ๐ง๐๐ง +
๐ง
๐ง2+9
โ
๐2
โ
๐1๐๐ง donde c1 estรก dado por ๐ง โ 1 = 2 y c2 estรก dado
por ๐ง โ 2๐ = 4
Soluciรณn:
โ ๐ง2
2 โ ๐ง=
โ
๐1
๐ง2
1 โ (๐ง โ 1)๐๐ง =
๐ง2
๐ง โ 1 (1
๐ง โ 1 โ 1)๐1๐1
=
๐ง3 โ ๐ง2
2 โ ๐ง๐ง โ 1๐1
๐๐ง
๐ ๐ง =๐ง3 โ ๐ง2
2 โ ๐งโ ๐ 1 = 0
โ ๐ง
๐ง2 + 9=
๐ง๐ง + 3๐๐ง โ 3๐
๐๐ง +
๐ง๐ง โ 3๐
๐ง โ (โ3๐)๐๐ง = 2๐๐๐ 3๐ + 2๐๐๐ โ3๐
๐22๐21
โ
๐2
2๐๐3๐
6๐+ 2๐๐
โ3๐
โ6๐= 2๐๐
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