res 24 abril
Post on 12-Jul-2016
237 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
1.-Sea un haz plano propagándose oblicua y paraxialmente a lo largo del eje z, dado por : que incide en el plano z = 0 sobre un dióptrio esférico de índice n y de radio , siendo R > 0 y . 1.1.- Haciendo uso de las condiciones de continuidad en la frontera, determinar la expresión paraxial transmitida propagándose en el dióptrio, (2.0 p) 1.2.- Hallar el vector de onda local en la superficie de ésta. ¿A partir de que valor de z, la onda es divergente (1.0 p)
E (x, y, z ) = E0 eiko 2n(αx+z) e− iω t uy
R1 = −R z2 y z1 z(1)
z=0
z
x
R >01
R <02
x2 + y2 + (z − Ri )2 = Ri
2 ⇔ z( i ) = Ri ± Ri2 − (x2 + y2 ) = Ri ± Ri 1− (x
2 + y2 )Ri2 ≈ Ri − Ri 1−
(x2 + y2 )2Ri
2
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
solución:
por continuidad en la frontera del dióptrio:
considerando la pequeña curvatura de éste :
igualando fases:
igualando amplitudes:
de aquí:
E0 eiko 2n(αx+z(1 ) ) = ′Bz2
eikonz1( )e−ikonx− x1( )2 + y− y1( )2
2z2
E0 eiko 2n(αx+z(1 ) ) = ′Bz2 − z 1( )( )e
ikonz1( )e−ikon
x− x1( )2 + y− y1( )2
2 z2 − z 1( )( )
y1 = 0 z2 = R x1 = 2αz2 = 2αR
2n(αx+z(1) ) = nz 1( ) − nx − x1( )2 + y − y1( )2
2z2→ 2nαx − 2n (x
2 + y2 )2R2
= −n(x2 + y2 )2R2
− nx − x1( )2 + y − y1( )2
2z2
E0 =′Bz2e−iko
n x122z2 → ′B = E0 z2e
ikon x122z2 = E0 Reiko2α 2R
1.1
1.2
Etransmitida =E0R − z
Reiko2α 2Reikonzeikonx−2αR( )2 +y22 z−R( )
s =∇Ln
=x − 2αRz − R( ) ,
yz − R( ) ,1
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ → ∀z > R⇒ onda divergente
Examen Parcial 24 abril
2.1.- Utilizando el método de cálculo totalmente ondulatorio y en condiciones de paraxialidad (basta con desarrollar la expresión para una longitud de onda) calcule la Visibilidad de la figura de interferencia resultante en un plano situado a una distancia (z = D) (2.0 p) 2.2.- Si composición espectral de la fuente es ahora equienergética(i0 = cte.) en el dominio [kc − ∆k , kc + ∆k] centrado alrededor de una frecuencia central kc . ¿Cuál sería el valor de la Visibilidad ? (2.0 p)
i0 : λ0 ,λ0 + Δλ ,λ0 + 2Δλ2.- Sea una fuente luminosa puntual que emite tres longitudes de onda, con la misma intensidad situada una distancia z = −f de una lente esférica delgada (de focal:f ), situada en el plano z = 0 cuya función de transmisión es:
nota: La contribución diferencial de cada frecuencia es: siendo i(k0 ) la intensidad que llega al plano z = D dI (ko ) = 2i(ko )dko [1+ cos( kc + ko( ) dx
D)]
solución:
2.1
tL x, y( ) = t1t2eikon do exp −iko (x2 + y2 ) 2 f{ }
La luz emergente de la lente ilumina un interferómetro de Young, formado por dos pequeños orificios situados en los puntos de coordenadas (d/2, 0, 0) y ( −d/2, 0, 0). (Considere la función de transmisión de la lente y el plano de los dos orificios del interferómetro de Young situados ambos en z = 0)
-f D
S
S
z
x x
d/2
z=0
0
-d/2
1
S2lentedelgada
ψ tL ( z=0 )=
i0feik0 f e
ik0x2 +y22 f t1t2eikon doe
−ik0x2 +y22 f =
i0feik0 f t1t2eikon do
ψ i ( z=0 ) =i0feik0 f e
ik0x2 +y22 f
ψ+d 2
=i0feik0 f t1t2eikon do
1Deik0Deik0
x−d 2( )2 +y22D
ψ−d 2
=i0feik0 f t1t2eikon do
1Deik0Deik0
x+d 2( )2 +y22D
ψ T ( z=D ) =ψ +d 2+ψ
−d 2=
i0fD
e−ik0xd2D + e+ik0
xd2D⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫⎬⎪
⎭⎪eiϕ
ϕ = k0 f + D( ) + k0n do + k0d 2
8D+ k0
x2 + y2
2D
2.2
IT λi = 2I0 1+ cos k0ixdD
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
λi →
IT = 2I0 1+ cos k01xdD
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥+ 2I0 1+ cos k02
xdD
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥+ 2I0 1+ cos k03
xdD
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥=
= 2I0 3+ cos k0 − Δk0( ) xdD
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+ cos k0
xdD
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+ cos k0 + Δk0( ) xd
D⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥= 6I0 1+
13+23cos Δk0
xdD
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥cos k0
xdD
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
visibilidad
ko ∈ kc − Δk , kc + Δk[ ]
Q = 2 iof 2D2 dk0kc −Δk
kc +Δk∫ =2iof 2D2 Δk = I0
C = 2 iof 2D2 cos k0
xd
D⎛⎝
⎞⎠kc −Δk
kc +Δk∫ dk0 =2iof 2D2
Dxdsen k0
xd
D⎛⎝
⎞⎠
kc −Δk
kc +Δk
=2iof 2D2 2cos kc
xd
D⎛⎝
⎞⎠ senc Δkc
xd
D⎛⎝
⎞⎠
S = 2 iof 2D2 sen k0
xd
D⎛⎝
⎞⎠kc −Δk
kc +Δk∫ dk0 = −2iof 2D2
Dxdcos k0
xd
D⎛⎝
⎞⎠
kc −Δk
kc +Δk
=2iof 2D2 2sen kc
xd
D⎛⎝
⎞⎠ senc Δkc
xd
D⎛⎝
⎞⎠
dI (ko ) = 2i(ko )dko [1+ cos( kc + ko( ) dxD)]
i(k0 ) ==0 k0 < kc − Δk
io kc − Δk ≤ k0 ≤ kc + Δk0 k0 > kc + Δk
⎧
⎨⎪
⎩⎪
V (Q,C ,S ) = C 2 + S2
Q= senc Δkc
xd
D⎛⎝
⎞⎠ visibilidad
3.- Sean dos láminas de vidrio de caras planoparalelas de 75 mm de longitud por 25 mm de ancho (porta-objeto de microscópio), colocadas formando una cuña debido a un cubre-objeto de microscópio de 100 µm de espesor, interpuesto entre ellas en uno de los extremos. Si se ilumina con una onda de λ = 600 nm perpendicularmente a la superficie de las placas, mediante un divisor de haz, y observando con un microscopio reflejos de los extremos de la cuña de aire, a través del mismo divisor de haz:3.1.-Determinar el valor de la interfranja que puede medir el observador.¿Dónde se forman y cómo se denominan éstas? (2.0 p) 3.2.-Si entre las láminas se introduce un líquido de índice a determinar, ¿cuánto vale éste si las franjas se han aproximado entre ellas una distancia igual al 25 % de su separación inicial ? (1.0 p)
d x( ) = a + bx
desfase entre las ondas φ = 2k0n a + bx( ) ± π
I x( ) = 121+ cos 2k0n a + bx( ) ± π⎡⎣ ⎤⎦{ }intensidad normalizada
Xm = (2m +1) λ4nb
−ab
Xm → 2k0n a + bx( ) ± π = 2mπmáximos
xm → 2k0n a + bx( ) ± π = 2m +1( )πmínimos
xm = 2m λ4nb
−ab
solución:
3.1
3.2
donde b = 0,1 / 75 = 1, 3310−3 b <<( )
i = Xm+1 − Xm = xm+1 − xm =λ2nb
→ i = 600 10−9
2 1, 3310−3 = 2,256 10−4m
i´= 2,256 10−4 1− 0,25( ) = 1,692 10−4m n =λ2 i´b
=600 10−9
2 1,692 10−4 1, 3310−3 = 1, 33
franjas de igual espesor observables en el infinito. i.e. plano focal de una lente
!"#$%&'(!%
()&)#!%*($*****+',
!-(')-.)($-/$
0122
34522
lámina de espesor linealmente variable
top related