repaso y minutas para la practica
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Repaso y minutas para la practica
0 5 100
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Volumen
Pre
sion
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8
9
10
Distintos cortes de la misma ecuación: I. Compresión adiabáticaNkTPV
CPV
35
Esto vale en un gas monoatomico.
Pregunta, difícil: ¿Para un gas
diatomico, cuanto valdra gama?
Existe alguna restriccion para gama
Constantes y variables: El ejercicio (a veces difícil) de saber que depende de que …
dVPW
0 5 100
1
2
3
4
Volumen
Pre
sion
)(1 VfPV
constPNkTVP
)ln(a
b
VVNkT
VdVNkTpdVW
El experimento de Joule
¿Cuál es el balance de energía?
¿Cambia el volumen?¿La presión?¿La temperatura?
¿El proceso es reversible?
Presión del vapor es menor que la presión de
equilibrio
Presión de vapor en equilibrio es función de
la temperatura.
Simulaciones
IV.
Maquinas reversibles, Carnot, y las leyes de la termodinamica.
3 ) La génesis de las ideas fundamentales: Relacion entre calor y trabajo – reversibilidad...
Sadi Carnot (1824)
Es imposible que un sistema pueda extraer energía en forma de calor de una sola fuente térmica y convertirla completamente en trabajo sin que se
produzcan cambios netos en el sistema o en el medio que lo rodea.
Kelvin’s way
Es imposible un proceso cuyo único resultado sea transferir energía en
forma de calor de un objeto a otro mas caliente. Clausius
Es imposible que una maquina térmica funcione cíclicamente sin producir
ningún otro efecto que extraer calor de un solo foco realizando una cantidad de
trabajo exactamente equivalente. A la Carnot
Es imposible que un sistema pueda extraer energía en forma de calor de una sola fuente térmica y convertirla completamente en trabajo sin que se
produzcan cambios netos en el sistema o en el medio que lo rodea.
Kelvin’s way
Es imposible un proceso cuyo único resultado sea transferir energía en
forma de calor de un objeto a otro mas caliente. Clausius
Q
Ergo, una cantidad pertinente es la “eficiencia”
W
LA MAQUINA DE CARNOT:Entendiendo la segunda ley sin entender la primera.
(las mejores ideas “equivocadas” versión 1)
La producción de potencia motora (puissance motrice) en maquinas de vapor no se debe al consumo de calórico sino a su transporte de una fuente caliente a una fuente fría. Por analogía, cuanto mayor es la diferencia de temperaturas mayor la eficiencia de la maquina. ¡Esto de hecho es cierto!
Volumen
Pre
sion
LA MAQUINA DE CARNOT:La secuencia de ciclos
Primer fase: Expansión iso-termica a temperatura T1. Se absorbe calor Q1 (del baño a T1) que se utilice para expandir el pistón.
LA MAQUINA DE CARNOT:La secuencia de ciclos
Volumen
Pre
sion
Segunda Fase:Expansión adiabática. El gas se expande y la temperatura baja de T1 a T2. El gas pierde energía interna que se convierte en trabajo mecánico.
LA MAQUINA DE CARNOT:La secuencia de ciclos
Tercer Fase:Compresión isotermica. El gas se comprime temperatura T1. El pistón entrega energía mecánica que es absorbida, en forma de calor por el baño a temperatura T2.
Volumen
Pre
sion
LA MAQUINA DE CARNOT:La secuencia de ciclos
Cuarta Fase:Compresión adiabática. El gas se comprime y la temperatura sube de T1 a T2.
Volumen
Pre
sion
LA MAQUINA DE CARNOT:La secuencia de ciclos
Tres preguntas:¿Cuál es el resultado del ciclo?¿Esta maquina, puede operar al revés?
Volumen
Pre
sion
A
B
CD
T1T2
LA MAQUINA DE CARNOT:El resultado de un ciclo
El trabajo mecánico hecho por la maquina durante la fase de expansión. Volumen
Pre
sion
T1T2
Volumen
Pre
sion
LA MAQUINA DE CARNOT:El resultado de un ciclo
El trabajo mecánico entregado a la maquina durante la compresión.
El trabajo mecánico hecho por la maquina durante el ciclo.
¿De donde sale la energía para realizar este trabajo? ¿Se viola la segunda ley?
Q2
Q1
W=Q1-Q2
T1T2
LA MAQUINA DE CARNOT ES REVERSIBLE. PUEDE FUNCIONAR AL
REVES
T2
T1
W
Q1
Q2
El motor de Carnot
T2
T1
W
Q1
Q2
La heladera de Carnot
LA MAQUINA DE CARNOT:El resultado de un ciclo
ExpansiónIsoterma
ExpansiónAdiabatica
CompresiónIsoterma
CompresionAdiabatica
T2T1
W
Q1 Q2
Idealmente (en la situación de “eficiencia” máxima) todo el calor de la fuente caliente es convertido en trabajo. Se define entonces eficiencia como:
1QW
(es menor que 1 – cuanto mas cercano a 1, mayor conversión del calor de la fuente caliente a
trabajo)
Pregunta practica pertinente (que fue de hecho la motivación de Carnot): ¿qué determina la eficiencia?
Volumen
Pre
sion
D
LA MAQUINA DE CARNOT:Calculando la relación entre calor y trabajo
Para una maquina de Carnot operando en un gas ideal, puede calcularse explícitamente la relación entre calor y temperatura.
A
B
C
)ln(111a
b
VVNkT
VdVNkTpdVQ
12
11
cb VTVT
bbbccc
2
2
1
1
TQ
TQ
2
1
2
1
TT
T2T1
W
Q1 Q2
Si esta maquina es una maquina de Carnot operando en un gas ideal, entonces:
1
2
1
21
1
1QQ
QQQ
QW
Definición, vale siempre, simplemente reordenar términos
1
21TT
Vale, según acabamos de “probar” para una maquina de Carnot opearndo en un gas
ideal.
T2T1
W
Q1 Q2
De hecho, para cualquier maquina reversible, se tiene que:
1
2
1
1TT
QW
Este es uno de los resultados mas fuertes de la termodinámica (EL
CENTRO DEL UNIVERSO TERMODINAMICO – SEGUN
FEYNMAN).
2
2
1
1
TQ
TQ
RESPUESTA A LA PREGUNTA DE CARNOT:
LA EFICIENCIA QUEDA DETERMINADA POR EL
COCIENTE DE TEMPERATURAS!
V
Demostraciones termodinámicas por composiciones (lógicas) de Maquinas de
Carnot.
El motor y la heladera de Carnot
Álgebra de maquinas de Carnot
+ =...
Kelvin’s wayClausius
Q
T2
T1
Q
Supongamos que C no se cumple, es decir que existe una heladera que no consume trabajo
W
Q1
Q
= W=Q1-Q
Q1-Q
¿Existe alguna relación entre los calores absorbidos y entregados por dos maquinas trabajando a iguales temperaturas?
T2
T1
Wa
Q1(a)
Q2(a)T2
T1
Wb
Q1(b)
Q2(b)
Si A y B son maquinas de Carnot operando con gases ideales
entonces ...)()(???
)()(
2
1
2
1
bQbQ
aQaQ
¿Existe alguna relación entre los calores absorbidos y entregados por las dos maquinas?
T2
T1
Wa
Q1(a)
Q2(a)T2
T1
Wb
Q1(b)
Q2(b)
Si A es reversible entonces)()(???
)()(
2
1
2
1
bQbQ
aQaQ
¿Existe alguna relación entre los calores absorbidos y entregados por las dos maquinas?
T2
T1
Wa
Q1(a)
Q2(a)T2
T1
Wb
Q1(b)
Q2(b)
A es una Maquina Reversible
T2
T1
Wa
Q1(a)
Q2(a)T2
T1
Wb
Q1(b)
Q2(b)
¿cómo hacer para que opere a una unica temperatura... Para luego usar algun argumento de la ley C”
Q1(b) Ciclos (de refrigeracion de A)
Q1(a) Ciclos (de motor de B)
5 Joules 4 Joules
(4 vueltas) (5 vueltas)
T2
T1
Wa
Q1(a)
Q2(a)
Wb
Q1(b)
Q2(b)
¿cuál es el resultado de esta maquina compuesta?
Q1(b) Ciclos (de refrigeracion de A)
Q1(a) Ciclos (de motor de B)
T1
?
T2
Q2(b)*Q1(a)Q1(b)*Q2(a)+
T1
?
T2
¿qué podemos decir de esto?
)()()()( 1221 aQbQaQbQ T1
T2 Tienen que ser iguales (por primera ley) y en este sentido
(por segunda)
)()(
)()(
2
1
2
1
aQaQ
bQbQ
Q2(b)*Q1(a)Q1(b)*Q2(a)+
Ninguna maquina es mas eficiente que
una maquina reversible.
)()(
)()(
2
1
2
1
aQaQ
bQbQ
Jugando el mismo juego al reves (si ahora la maquina B es reversible) se tiene que, si ambas son reversibles entonces
)2,1()()(
)()(
2
1
2
1 TTfaQaQ
bQbQ
Es decir que el cociente de calores (y por ende la eficiencia...) es solo una funcion de la temperatura, para cualquier maquina reversible.
¿¿qué funcion de la temperatura??
??)log(cos(¿¿ 321
2
1 TTQQ
??)log(cos(¿¿ 321
2
1 TTQQ
El ultimo paso hacia “el centro del universo termodinámico” es mostrar que esta función ex exactamente T1/T2 y que por lo tanto, tal como ya
habiamos visto para el caso de los gases ideales, es cierto que para cualquier maquina reversible:
2
1
2
1
TT
Independientemente de los infinitos elementos que puedan distinguir a todas las maquinas reversibles. Carnot descansa en paz.
T0
T1
W
Q1
Q0
T2
T1
W’’
Q1
Q2
T2
W’
T0
Q0
Q2
)0,1(0
1 TTfQQ
)0,2(0
2 TTfQQ
)2,1(2
1 TTfQQ
)0,2()0,1()2,1(
TTfTTfTTf
21)2,1(TTTTf
21
21
TT
)0,2()0,1(
2
1
TTfTTf
)2()1()2,1(
TTTTf
T2T1
W
Q1 Q2
De hecho, para cualquier maquina reversible, se tiene que:
1
2
1
1TT
QW
Este es uno de los resultados mas fuertes de la termodinámica (EL
CENTRO DEL UNIVERSO TERMODINAMICO – SEGUN
FEYNMAN).
2
2
1
1
TQ
TQ
RESPUESTA A LA PREGUNTA DE CARNOT:
LA EFICIENCIA QUEDA DETERMINADA POR EL
COCIENTE DE TEMPERATURAS!
Ejercitando la segunda leyPensando el equilibrio y la
reversibilidad
REVERSIBILIDAD ¿QUÉ ES ESO?
Que todo sea lento ... Que no hayan cambios abruptos ... Estar todo el tiempo en equilibrio ... Que corresponda a un
punto bien definido en el plano P,V ... Que no haya fricción ...
Que pueda volver ¿Por donde? ¿por qué tiene que ser por el mismo camino? ¿tiene que ser por el mismo camino?
Empecemos por la mecánica, que es mas sencillo. Mi ejemplo favorito.
REVERSIBILIDAD ¿QUÉ ES ESO?
Sea A un edificio y B una masa apoyada en el techo del edificio
Lanzamiento de masa, versión 1:Polea con contrapeso de la misma masa. Velocidad inicial
(pequeña), viscosidad del aire y de las poleas despreciables.
REVERSIBILIDAD ¿QUÉ ES ESO?
Sea A un edificio y B una masa apoyada en el techo del edificio
Lanzamiento de masa, versión 1:Polea con contrapeso de la misma masa. Velocidad inicial
(pequeña), viscosidad del aire y de las poleas despreciables.
REVERSIBILIDAD ¿QUÉ ES ESO?
Sea A un edificio y B una masa apoyada en el techo del edificio
Lanzamiento de masa, versión 2:Bungee jumping con un resorte que se frena justo en el piso y
un gancho que ahí la sostiene.
REVERSIBILIDAD ¿QUÉ ES ESO?
Sea A un edificio y B una masa apoyada en el techo del edificio
Lanzamiento de masa, versión 2:Bungee jumping con un resorte que se frena justo en el piso y
un gancho que ahí la sostiene.
REVERSIBILIDAD ¿QUÉ ES ESO?
Sea A un edificio y B una masa apoyada en el techo del edificio
Lanzamiento de masa, versión 3:Caída libre.
REVERSIBILIDAD ¿QUÉ ES ESO?
Sea A un edificio y B una masa apoyada en el techo del edificio
Lanzamiento de masa, versión 3:Caída libre.
REVERSIBILIDAD ¿QUÉ ES ESO?
Sea A un edificio y B una masa apoyada en el techo del edificio
Lanzamiento de masa, versión 3:Caída libre.
REVERSIBILIDAD ¿QUÉ ES ESO?
Sea A un edificio y B una masa apoyada en el techo del edificio
Lanzamiento de masa, versión 4: La gran Charly. Salto a la pileta, la masa se frena por rozamiento con el agua.
REVERSIBILIDAD ¿QUÉ ES ESO?
Sea A un edificio y B una masa apoyada en el techo del edificio
Lanzamiento de masa, versión 4: La gran Charly. Salto a la pileta, la masa se frena por rozamiento con el agua.
REVERSIBILIDAD ¿QUÉ ES ESO?
¿cuáles son reversibles? ¿Según que noción de reversibilidad?¿cuál es la primer version termodinámica de este asunto?
“Fricción Térmica”: Dos experimentos de transferencia de calor de una fuente caliente a una fuente fría
T2
T1
WQ1
Q2 T2
T1
T1+x
T1-x
REVERSIBILIDAD COMO UN PROBLEMA DE CONSERVACION: ¿DE QUE?SOLUCION (A CASI TODOS LOS PROBLEMAS): ENTROPIA
El experimento arquetípico, versión 1:La expansión isotérmica de un pistón
Entrega de energía cinética (ordenada)
EL RESULTADO NETO ES:
El medio entrego calor. El pistón genero trabajo (Q=W) E se conservaEl gas se expandió (aumento la entropía)
Podemos utilizar el trabajo generador para “reinstalar el orden”, comprimiendo el gas
Q
W
El experimento arquetípico, versión 1:Expansion irreversible
El experimento arquetípico, versión 1:Expansion irreversible:
En este momento P no cambia, T no cambia y V cambio, el gas no esta en equilibrio
El experimento arquetípico, versión 1:Expansión irreversible Energia ordenada:
Este orden se pierde sin ganar nada a
cambio
EL RESULTADO NETO ES:
El gas se expandió (aumento la entropía)
No hubo intercambio de energía. No hubo paso de calor a trabajo que permita restaura el orden.
La entropía de todo este proceso no se conserva.
De Carnot a la entropia y de ahí a Boltzman
T2T1
W
Q1 Q2
De hecho, para cualquier maquina reversible, se tiene que:
1
2
1
1TT
QW
2
2
1
1
TQ
TQ
LA MAQUINA DE CARNOT ES REVERSIBLE. PUEDE FUNCIONAR AL
REVES
T2
T1
W
Q1
Q2
El motor de Carnot
En este ciclo Q1-Q2=W y por ende, se conserva la cantidad
WQ Esto es la primer ley y nos dice que la
energía se conserva.
¿Se conserva alguna otra cantidad?
0)/(2
2
1
1 TQTQ
TQ
Estamos en camino a la conservación de la entropía
T2
T1
W
Q1
Q2
2
2
1
1
TQ
TQ
Poniendole signo (aquí no queda a otra) a los calores
según su sentido:Positivo – Calor entregado
a la maquina.Negativo – Calor que vierte la maquina al medio (que
pierde, que ensucia…)02
2
1
1
TQ
TQ
De hecho (con una demostracion muy parecida a las anteriores,
puede probarse que)Para un ciclo reversible que intercambia calores q(i) con
temperaturas Ti se tiene:
0ii
i
TQ
T2
T1
W
Q1
Q2
2
2
1
1
TQ
TQ
Poniendole signo (aquí no queda a otra) a los calores
según su sentido:Positivo – Calor entregado
a la maquina.Negativo – Calor que vierte la maquina al medio (que
pierde, que ensucia…)02
2
1
1
TQ
TQ
¿Y si la maquina no fuese
reversible?
T2
T1
W*Q1
Q2*
Q2*>Q2W*>W
02
2
1
1
TQ
TQ
Q1
¿cuánto aumenta la entropía si
inyecto calor Q1?
Desordenar (calentar) un cuarto (gas) limpio (a baja temperatura) aumenta mas el desorden del mundo (la entropia) que desordenar un cuarto que ya
estaba desordenado.
1TQS
Q12TQS
01
TQS
SI HAY FRICCION Y POR ENDE CONVERSION DE ENERGIA
MECANICA A CALOR
SI DOS FUENTES TERMICAS A TEMPERATURAS DISTINTAS SE
PONEN EN CONTACTO
012
TQ
TQS
T2
T1
Q
Pierde Entropía
Gana Entropía
T2
T1
W
Q1
Q2
Igual que antes, esto puede generalizarse a:
Donde la igualdad vale solo si el ciclo es reversible.
0ii
i
TQ
P
V
A
BC1
C2
02
2
1
1
A
B
B
A TdQ
TdQ
TdQ
2
2
2
2
1
1
B
A
A
B
B
A TdQ
TdQ
TdQ
Ergo – el cambio de B
A TdQ a lo largo de cualquier camino
reversible que une A y B, es el mismo.
P
V0
Esto permite definir la entropía como la diferencia de
B
A TdQ Entre un punto de
referencia (0) y cualquier estado termodinámico.
p
S(p)= p
TdQ
0
P
V0
Ergo – el cambio de B
A TdQ a lo largo de cualquier camino
reversible que une A y B, es el mismo.
Enrico Fermi(Capitulo de Entropía)
S(B)-S(A)= B
A TdQ
R
S(B)-S(A)> B
A TdQ
I
¿Si el sistema es cerrado?
dQ=0S(B)>S(A)
La entropia de un sistema cerrado
aumenta
TdQdS
En un gas ideal, esta ecuación puede integrarse y el resultado es bastante ilustrativo.
1ln( ) ln( )( 1)
S Nk V T a
¿qué pasa con la entropía si se quita el separador?
Claude Shannon
Un brevísimo racconto sobre entropía e información.
Ludwig Boltzmann
¿Cuál esta mas ordenado? ¿qué es orden?
¿Cuál esta mas ordenado? ¿cuál mas probable?
Intuición del “desorden”: El estado macroscópico mas probable.
(y siguen...)
Todos los: “Cuatro Seis”
Todos los: “Un uno, un dos, un tres un cuatro”
Entropía y volumen: Otro puente entre lo microscópico y lo macroscopico
0 5 10 15 20 250
50
100
150
Suma de 4 dados (“Estado termondinamico”)
Can
tidad
de
mic
roes
tado
s co
mbi
naci
ones
com
patib
les
con
un e
stad
o m
acro
scop
ico
¿Cuál esta mas ordenado? ¿cuál mas probable?
S=f(p)Hipótesis
La entropia es aditiva y las probabilidades
multiplicativas
)()()( 212121 ppfpfpfSSS
Spkpf )ln()(
La tumba de Ludwig, en Viena
otra motivación del logaritmo (Versión grafica)
X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32}
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32
x > 16x > 8 (mod 16)x > 4 (mod 8)x > 2 (mod 4)x > 0 (mod 2)
Incerteza es:log(32)=5.
X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32}
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32
x > 16x > 8 (mod 16)x > 4 (mod 8)x > 2 (mod 4)x > 0 (mod 2)
Incerteza es:log(16)=4.
X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32}
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32
x > 16x > 8 (mod 16)x > 4 (mod 8)x > 2 (mod 4)x > 0 (mod 2)
Incerteza es:log(8)=3.
X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32}
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32
x > 16x > 8 (mod 16)x > 4 (mod 8)x > 2 (mod 4)x > 0 (mod 2)
Incerteza es:log(4)=2.
X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32}
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32
x > 16x > 8 (mod 16)x > 4 (mod 8)x > 2 (mod 4)x > 0 (mod 2)
Incerteza es:log(2)=1.
X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32}
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32
x > 16x > 8 (mod 16)x > 4 (mod 8)x > 2 (mod 4)x > 0 (mod 2)
Incerteza es:log(1)=0.
Segundo ejemplo trivial, otra motivación del logaritmo (Versión grafica)
X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32}
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32
x > 16x > 8 (mod 16)x > 4 (mod 8)x > 2 (mod 4)x > 0 (mod 2)
Cada una de estas
dos preguntas tenia probabilidad
½ de cada respuesta (divide
el espacio de posibilidades en
dos)
X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32}
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32
x={1,2,3,4}
Incerteza: 5 bits
x > 16
4 bits SI(Afortunado)
2 bits
X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32}
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32
x={1,2,3,4}
Incerteza: 5 bits
x > 16
4 bits SI(Afortunado)
2 bits log(28)
4.8 bits
NO
¿Cual es la incerteza esperada luego de haber hecho el experimento?
I(r1)*p(r1)+I(r2)*p(r2)=sum(-p*log(p))
2*(1/8)+4.8*(7/8) = 4.45 > 4
Taken “as is” from MacKay
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
1
2
3
4
5
6
7
Algunas funciones clásicas
-log(p)
El contenido de informacion de Shannon de un evento con probabilidad x.
La informacion diverge a medida que la probabilidad de x se acerca a 0.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Algunas funciones clásicas
-p*log(p)
-(1-p)*log((1-p)) +
LA ENTROPIA: El valor esperado de la información en un ensamble de dos elementos con probabilidad p y 1-p. LA ENTROPIA ES MAXIMA CUANDO p=1/N., cuando todos los
elementos de X son equiprobables.
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